Cours EDSYS - Commande Adaptative Commande adaptative …homepages.laas.fr/peaucell/cours/edsys/SlidesCoursAdapat... · 2011. 6. 14. · n Commande adaptative directe w c u y q,d

Cours EDSYS - Commande Adaptative

Commande adaptative directe basee sur la passivite

Dimitri PEAUCELLE - LAAS-CNRS - Universite de Toulouse

Toulouse Mai 2011

Introduction

n Commande adaptative - Sequencement de gain

wc

uy

θδ

cΣ (θ )

θ

c

c

Σ(θ,δ)y

n Commande adaptative indirecte

w

cθ,δ

cΣ (θ ) Σ(θ,δ)c

yc

u y

θ,δ

θ

Cours EDSYS - Commande adaptative 1 May 2011, Toulouse

Introduction

n Commande adaptative indirecte

w

cθ,δ

cΣ (θ ) Σ(θ,δ)c

yc

u y

θ,δ

θ

n Commande adaptative directe

wc

u y

θ,δ

cΣ (θ )

θc

Σ(θ,δ)c

y


Introduction

n Commande adaptative directe

wc

u y

θ,δ

cΣ (θ )

θc

Σ(θ,δ)c

y

n Commande adaptative a modele de reference - MRAC

w

m

+−

cΣ (θ )

θc y

Σ

θ,δy

e

Σ(θ,δ)c

yc

u

m


Plan

Ê MRAC dans le cas SISO et regle du MIT

s Basee sur probleme de regulation a 2 degres de liberte (RST)

s Methode de gradient issue des techniques d’estimation

s Regle heuristique

Ë Stabilisation par PBAC - le cas MIMO

s Hypotheses de type passivite sur les systemes

s Preuves de stabilite avec theorie de Lyapunov

Ì PBMRAC

Í Cas des systemes non passifiables



n Commande a deux degres de liberte pour les systemes lineaires

l Hypotheses

s Systeme a commander SISO, LTI : y = BAu

s B = B+B− peut contenir zeros instables ou mal amortis : B−

s Modele de reference : ym = Bm

Amuc

s avec Bm = B−B′m et degAm − degBm ≥ degA− degB

l Loi de commande : u = TRuc − S

Ry

s Solution des equations (dont equation Diophantine, ou Bezout)

R = B+R1 , AR1 +B−S = AoAm , T = AoB′m

s ou Ao est un polynome a racines stables (rapides)

degAo ≥ 2 degA− degAm − degB+ − 1

l Defauts : A,B connues & contraintes sur Am, Bm



n Commande adaptative pour regler les coefficients de R, S, T

R(s) = sq + rq−1sq−1 + . . . r1s+ r0,

S(s) = sqsq + . . . s1s+ s0, T (s) = tqs

q + . . . t1s+ t0

l Parametres de commande

θc =(rq−1 · · · r0 sq · · · s0 tq · · · t0

)s Commande adaptative : ajuster les θci pour avoir y = ym

s Choix d’un cout a minimiser :

J1 = |e|, J2 =1

2e2...

ou e = y − ym



l Methode du gradient pour minimiser les parametres de commande :

dθcidt

= −γ ∂J∂θci

s Pour J2 on trouvedθcidt

= −γe ∂e∂θci

s Pour J1 on trouvedθcidt

= −γsign(e)∂e

∂θci

s Parfois on prend aussidθcidt

= −γsign(e)sign

(∂e

∂θci

)

l Connaıtre en temps reel∂e

∂θci?



u =T

Ruc −

S

Ry , y =

B

Au , ym =

Bm

Amuc

l L’erreur verifie l’equation e =

(TB

RA+BS− Bm

Am

)uc

s Derivee partielle vis-a-vis des coefficients de T :∂e

∂ti=

siB

RA+BSuc

s Derivee partielle vis-a-vis des coefficients de S :

∂e

∂si= − siBTB

(RA+BS)2uc = − siB

RA+BSy

s Derivee partielle vis-a-vis des coefficients de R :

∂e

∂ri= − siBTA

(RA+BS)2uc = − siB

RA+BSu

l Probleme : A,B inconnues



l Regle du MIT :

s Supposons que R, S ont converge vers valeur ideale :

B

RA+BS=

B+B−

B+(R1A+B−S)' B−

AoAm

s Supposons que le systeme n’a pas de zeros instables : B− = 1

l Les derivees partielles de l’erreur vis-a-vis des parametres sont alors

∂e

∂ti=

si

AoAmuc ,

∂e

∂si= − si

AoAmy ,

∂e

∂ri= − si

AoAmu

l Les regles d’adaptation sont realisable a l’aide de filtres et d’integrateurs

s Exemple pour cout J2 :

dsidt

= γesi

AoAmy +

− εm

i

si

Σ(θ,δ)

yθ,δ

*γs

y

Σ

A Aso m

m



l Remarques :

s Resultat est heuristique : pas de garantie (ni suivi de reference, ni stabilite)

s Si l’ordre du systeme est inconnu :

choisir Ao et degres de R, S et T intuitivement

s Stabilite implique convergence de e = y − yms Aucune indication sur la convergence des gains du correcteur



n Exemple : moteur a courant continu

−++

−

uc e

mG

kIs+f

ωω

l Boucle de regulationS

R=

s0

s+ r0, Precommande

T

R=

t0s+ r0

+−− 1

s

u

ω

cω t

s

r

o

o

o

so = γe[ 1Amω]

to = −γe[ 1Amωc]

ro = γe[ 1Amu]



n Exemple : moteur a courant continu - Simulations

lG(s) = 1s+1

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 0.6,

l ωc(t) creneau de periode 20s, valeur max = 0.375, valeur min = −0.125

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

s Relativement bonne convergence




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 0.6,


0 20 40 60 80 100 120 140 160−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

s Parait robuste




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 0.6,


0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

t0

s0

r0

s Convergence lente (deux periodes) - augmenter γ pour accelerer




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 6,


0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t0

s0

r0

s Les gains sont rapidement plus grands (et tres differents...)




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 6,


0 20 40 60 80 100 120 140 160

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ω

ωm

s Le transitoire (avant convergence des gains adaptatifs)

plus court, mais avec fort depassement




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

ωm

s Le transitoire tres court, mais avec fort depassement

s Suivi de reference parfait une fois que les gains ont converge




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−1

0

1

2

3

4

5

6

t0

s0

r0

s Les gains semblent vraiment converger




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 50 100 150

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

ω

ωm

s L’amplitude de l’erreur etant faible, la convergence est lente

s Possibilite pour eviter ces phenomenes : adapter γ




lG(s) = 10(s2+s+1)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

0

1

2

3

4

5

ω

ωm

s Ce n’est quand meme pas parfait pour tout systeme

s Degres du regulateur RST sous hypothese d’un systeme du 1er ordre




lG(s) = −1.1s+10(s2+s+1)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

ωm

s Il peut y avoir des phenomenes instables : ‘burst’




lG(s) = −1.1s+10(s2+s+1)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


330 335 340 345 350 355 3600

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

t0

s0

r0

s Ce ne sont evidement pas des valeurs de gain realisables




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


so = γsign(e)[ 1Amω] , to = −γsign(e)[ 1

Amωc] , ro = γsign(e)[ 1

Amu]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ω

ωm




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


so = γsign(e)[ 1Amω] , to = −γsign(e)[ 1

Amωc] , ro = γsign(e)[ 1

Amu]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

5

10

15

20

25

30

t0

s0

r0




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 1, γ = 0.6,


1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

ω

ωm

s Suivi de references tres abruptes est difficile




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 1, γ = 0.6,


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t0

s0

r0

s Pour les valeurs γ = 1; = 10 le systeme est instable.




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 50 100 150−2

0

2

4

6

8

10

ω

ωm

s Comportement proche au cas avec une reference plus faible, mais...




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60,


0 50 100 150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

t0

s0

r0

s Les gains sont tres grands et donc pas realisables



n Modification des lois d’adaptation

l Adapter γ en fonction de l’amplitude de l’erreur

so = γe[ 1Amω]


ro = γe[ 1Amu]

−→so = γ

1+βe2e[ 1Amω]

to = − γ1+βe2

e[ 1Amωc]

ro = γ1+βe2

e[ 1Amu]

s l’adaptation se ralentit des que e2 > 1/β




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 10,


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

ω

ωm

s Comportement degrade (surtout pour forts ecarts), mais...




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 10,


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

5

10

15

20

25

30

35

t0

s0

r0

s Les gains sont plus raisonnables



n Modification des lois d’adaptation

l σ-modification : Empecher les gains de diverger

(en particulier sous l’effet de bruits de mesure)

so = γe[ 1Amω]


ro = γe[ 1Amu]

−→so = γ

1+βe2e[ 1Amω]− σso

to = − γ1+βe2

e[ 1Amωc]− σto

ro = γ1+βe2

e[ 1Amu]− σro

s Pas de point d’equlible possible pour les gains




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 10, σ = 0.01,


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

0

2

4

6

8

10

12

14

ω

ωm

s Comportement degrade (surtout pour forts ecarts), mais...




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 10, σ = 0.01,


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t0

s0

r0

s Les gains sont plus raisonnables

s Les gains ne divergent pas




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 0.1, σ = 10−4,


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

0.5

1

1.5

2

ω

ωm

s Bon reglage de l’algorithme d’adaptation : bonnes performances de suivi




lG(s) = 10(s+0.8)(s+8)

, Gm(s) = 6s2+5s+6

, γ = 60, β = 0.1, σ = 10−4,


0 50 100 150 200 250 300−5

0

5

10

15

20

t0

s0

r0

s Bon reglage de l’algorithme d’adaptation : gains raisonnables, varient peu



n Conclusions

l Algorithme du gradient potentiellement satisfaisant

s Robustesse relativement grande - mais non prouvee

s Pas besoin de connaıtre le modele du systeme

s γ influe sur la vitesse de convergence, a regler par experimentations

s β, σ modifications, a regler par experimentations

l Aucune preuve de stabilite/performance

s Quelles hypotheses a faire sur le systeme ?

s Est-il possible de stabiliser des systemes instables ?

s Extensions aux systemes MIMO ?

s Comment garantir des gains bornes/realisables ?


Plan




s Regle heuristique




Ì PBMRAC



Ë Stabilisation par PBAC

n Commande adaptative basee sur la passivite (PBAC)



w

m

+−

cΣ (θ )

θc y

Σ

θ,δy

e

Σ(θ,δ)c

yc

u

m

l Dans un premier temps on suppose yc = 0

l On veut montrer que le systeme est stable



n Systemes passifs

l Systeme non-lineaire x = f(x, v), z = g(x, v) est passif si

s il est carre : nombre d’entrees v = nombre de sorties z,

s pour des CI nulles x(0) = 0, pour tout v et pour tout t ≥ 0, on a∫ t

0

zT (t)v(t)dt ≥ 0

l Passivite : produit scalaire entrees/sorties est positif

“sorties vont dans le meme sens que les entrees”

l Propriete de nombreux systemes

l Pour les systemes mecaniques (entrees : forces - sorties : vitesse),

l’integrale correspond a l’energie accumulee dans le systeme



n Systemes passifs

l Systeme non-lineaire x = f(x, v), z = g(x, v) est passif si


0

zT (t)v(t)dt ≥ 0

l Systeme non-lineaire x = f(x, v), z = g(x, v) est strictement passif si

s il existe ε > 0


0

zT (t)v(t)dt ≥ ε

∫ t

0

xT (t)x(t)dt



n Theoreme - Systemes passifs

Un systeme est strictement passif s’il existe une fonction V : Rn → R

s nulle a l’origine : V (0) = 0

s definie-positive : V (x) > 0 ∀x 6= 0

s dont les derivees le long des trajectoires du systeme verifient

V (x) ≤ zTv − εxTx

l V : “storage function”

l aussi fonction de Lyapunov prouvant la stabilite asymptotique du systeme



n Retroaction de systemes passifs

l Soient deux systemes avec le meme nombre d’entrees/sorties

x1 = f1(x1, v1) , z1 = g1(x1, v1)

x2 = f2(x2, v2) , z2 = g2(x2, v2)

s s’ils sont tous les deux strictement passifs

s alors l’interconnexion v2 = z1, v1 = −z2 est asymptotiquement stable

l Preuve V1 + V2 ≤ zT1 v1 + zT2 v2︸︷︷︸=0

−ε1xT1 x1 − ε2xT2 x2 < 0

l Cas particulier : z2(t) = ∆K(t)v2(t) avec ∆K(t) + ∆TK(t) � 0

s un cone de gains statiques qui preservent la stabilite de la boucle fermee

s les gains peuvent varier dans le temps, quelle que soit la regle, adaptative ?



n Cas des systemes lineaires a parametres variants

l Approximation au premier ordre de x = f(x, v), z = g(x, v) :

x = A(θ)x+B(θ)v , z = C(θ)x+D(θ)v

θ : suppose constant, car lentement variant, dependant du point de linearisation

s en general D(θ) = 0

l [HC98] Theoreme

x = fA(x) + fB(x)v, z = gc(x) + gD(x)v

est strictement passif si et seulement si son approximation au premier ordre

x = Ax+Bv , z = Cx+Dv

est strictement passif.



l Conditions de strict-passivite des systemes lineaires :

P = P T � 0 :

ATP + PA+ 2ε1 PB − CT

BTP − C −D −DT

� 0

s Preuve : V = 12xTPx(

x

w

)T [ATP + PA+ 2ε1 PB − CT

BTP − C −D −DT

](x

w

)= 2(V − zTw + εxTx) ≤ 0

s Dans le cas des systemes sans transfert direct (D = 0)

P = P T � 0 , ATP + PA+ 2ε1 � 0 , PB = CT



n [Fra74, BK85] Theoreme

l Passification par retour de sortie adaptatif des systemes “presque passifs”

l S’il existe un retour de sortie statique u = −Koy qui rend le systeme

x = Ax+Bu+Bv, y = Cx, z = y

strictement passif en boucle fermee, alors, pour tout Γ � 0,

la commande adaptative

u = −Ky, K = yyTΓ

rend le systeme passif en boucle fermee.



l Preuve intuitive

s Existence d’un retour de sortie passifiant :

⇒ x = (A−BKoC)x+Bv, z = Cx est passif

⇒ ∀∆TK + ∆K � 0 x = (A−BKoC −B∆KC)x est stable

s En prenant ∆K suffisamment grand,

tout K = Ko + ∆K , K +KT � 0, stabilise le systeme

s La loi adaptative K = yyTΓ “pousse” les gains a devenir “grands”

dans la direction K +KT � 0

s Tand que y n’a pas converge a zero,

la loi tend a augmenter le gain de commande



l Preuve par la theorie de Lyapunov

s On souhaite prouver la passivite du systeme non lineaire :

x(t) = (A−BK(t)C)x(t)+Bv(t) , K(t) = y(t)yT (t)Γ , z(t) = Cx(t)

s sous l’hypothese qu’il existe un gain Ko strictement passifiant :

∃Ko, P � 0, ε > 0 :

(A−BKoC)TP + P (A−BKoC) + 2ε1 � 0 , PB = CT

s Choix d’une fonction de Lyapunov qui depend de tous les etats

V (x,K) =1

2

(xTPx+ Tr

((K −Ko)Γ

−1(K −Ko)T))

s Il suffit de demontrer que V ≤ zTv, le long des trajectoires



l Preuve par la theorie de Lyapunov

V (x,K) =1

2

(xTPx+ Tr

((K −Ko)Γ

−1(K −Ko)T))

s Calcul de sa derivee

V = xTPx+ Tr(KΓ−1(K −Ko)

T)

s Trajectoires : x = (A−BKC)x+Bv, K = yyTΓ

V = xT (A−BKC)TPx+ vTBTPx+ Tr(yyT (K −Ko)

T)

s Propriete de l’operateur trace : Tr(AB) = Tr(BA) :

Tr(yyT (K −Ko)

T)

= Tr(yT (K −Ko)

Ty)

= yT (K −Ko)Ty

s Donc comme y = Cx on a

V = xT (A−BKC)TPx+ vTBTPx+ xTCT (K −Ko)TCx



l Preuve par la theorie de Lyapunov (suite)

V = xT (A−BKC)TPx+ vTBTPx+ xTCT (K −Ko)TCx

s Passification par gain statique Ko implique PB = CT , donc :

V = xT (A−BKC)TPx+ vTCx+ xTCT (K −Ko)TBTPx

= xT (A−BKC +B(K −Ko)C)TPx+ vTCx

= xT (A−BKoC)TPx+ vTCx

s Passification par Ko : (A−BKoC)TP + P (A−BKoC) + 2ε1 � 0

V =−εxTx+ vTCx ≤ vTCx

s Donc, avec z = Cx, on a bien V ≤ vT z = zTv. �



n Proprietes des correcteur PBAC : K = yyTΓ , Γ � 0

l Point d’equilibre ? Stable ?

x(t) = (A−BK(t)C)x(t)+Bv(t) , K(t) = y(t)yT (t)Γ , z(t) = Cx(t)

s Pour une perturbation nulle, v = 0, l’equilibre est : x = 0, K constante

s La preuve indique que V ≤ −εxTx quand v = 0

c’est a dire que V est strictement decroissante tant que x 6= 0

s x = 0 constitue donc un point d’equilibre asymptotiquement stable

s Quand x = 0 est atteint, alors K = K∞ est constante

s 1ere methode de Lyapunov indique que A+BK∞C est stable

s Le point d’equilibre (x = 0, K = K∞) n’est pas unique

d’ailleurs si Ko stabilisant, Ko + ∆K stabilisant ∀∆K + ∆TK � 0



n Conditions pour qu’un systeme lineaire soit stabilisable par PBAC

[Fra03]

l Cas des systemes SISO, y = H(s)u :

s Le systeme doit etre stabilisable par u = −ky avec k > 0 grand

s Lieu d’Evans : H(s) ne doit pas avoir de zeros instables

s Lieu d’Evans : H(s) doit etre de degre relatif≤ 1

l Cas des systemes MIMO : (A,B,C) a hyper minimum de phase

s det(sI − A) det(C(sI − A)−1B) a toutes ses racines stables (zeros)

s CB = (CB)T � 0, gain haute frequence est defini positif

(le degre relatif du systeme≤ m ou m : nb d’entrees)

l Limitations

s Systemes carres (CB est carree), et tels que CB = (CB)∗ � 0

s Degre relatif≤ m et zeros stables



n PBAC modifiee pour les systemes non-carres

n [Fra03] Theoreme

l S’il existe un retour de sortie statique u = −Koy,

et une matrice G qui rendent le systeme

x = Ax+Bu+Bv, y = Cx, z = Gy

strictement passif en boucle fermee, alors, pour tout Γ � 0,

la commande adaptative

u = −Ky, K = GyyTΓ

rend le systeme passif en boucle fermee.

s Exercice : demontrer le theoreme

l Applicable si le nombre de sorties est superieur au nombre de commandes



l Condition d’existence de Ko et G qui rendent le systeme strictement passif

P � 0 , (A−BKoC)TP + P (A−BKoC) + ε1 � 0 , PB = CTGT

s Ces conditions impliquent

ATP + PA+ ε1 � CT (KTo G+GTKo)C

⇒ Un choix trivial est Ko = kG avec k > 0 suffisamment grand

s Le systeme admet une “direction” G

dans laquelle les grands gains sont tous stabilisant



n Exemple - Modele avion

l x =(α q

)T, α incidence, q vitesse de tangage,

l u = δ braquage de gouverne

x =

zα 1

mα mq

x+

0

mδ

u , y = x

s Matrice de transfert :

y =mδ

s2 − (zα +mq)s+ zαmq −mα

1

s− zα

u



n Exemple - Modele avion

s Combinaison lineaire des sorties z =[g1 g2

]y :

z

u=

mδg2(s− zα + g1/g2)

s2 − (zα +mq)s+ zαmq −mα

est a hyper minimum de phase si g1/g2 − zα > 0 et mδg2 > 0

s En prenant g2 = sign(mδ) (mδ doit etre de signe connu)

et en prenant |g1| suffisamment grand devant valeurs attendues de zα

u = −Ky , K = GyyTΓ

stabilise le systeme pour toute valeur des parametres.

s Γ (et β, σ modifications) a regler en simulation.


Plan




s Regle heuristique




Ì PBMRAC



Ì PBMRAC

n MRAC basee sur la passivite

w

m

+−

cΣ (θ )

θc y

Σ

θ,δy

e

Σ(θ,δ)c

yc

u

m

l Jusqu’ici yc = 0 et commande u(t) = −K(t)y(t)

l Cas avec modele de reference : u = −K(t)e(t)+L(t)xm(t)+M(t)yc(t)

sK(t) a pour role de stabiliser la boucle (comme precedemment)

s L(t) et M(t) definissent une pre-commande pour le suivi de la reference

l Etude menee pour les systemes lineaires (linearise d’un modele non-lineaire)


Ì PBMRAC

n Hypotheses sur le systeme

l Le systeme est “presque passif” :

Il existe un retour de sortie statique u = −Koy,



strictement passif en boucle fermee

l Il existe une pre-commande Lo, Mo qui permet le suivi parfait :

xo = Axo +B(Loxm +Moyc) ⇒ Cxo = ym

ou xm est l’etat du modele de reference (dont l’ordre peut etre 6= n)

xm = Amxm +Bmyc , ym = Cmxm

s Hypothese forte, equivalente aux hypotheses sur regulateurs RST


Ì PBMRAC

n MRAC basee sur la passivite

w

m

+−

cΣ (θ )

θc y

Σ

θ,δy

e

Σ(θ,δ)c

yc

u

m

l Si les hypotheses sont verifies, alors pour tous ΓK � 0, ΓL � 0, ΓM � 0,

la loi de commande

u = −K(t)e(t) + L(t)xm(t) +M(t)yc(t) , e = y − ymK = GeeTΓK , L = −GexTmΓL , M = −GeyTc ΓM

est telle que lim(x(t)− xo(t)) = 0.


Ì PBMRAC

n Preuve de PBMRAC : convergence de tous les etats vers solution ideale

l Choix d’une fonction de Lyapunov, fonction des etats x,K,L,M :

V =1

2

(x− xo)TP (x− xo) + Tr(K −Ko)Γ−1K (K −Ko)

T

+Tr(L− Lo)Γ−1L (L− Lo)T + Tr(M −Mo)Γ

−1M (M −Mo)

T

ou P est solution de (condition de passivite pour le gain Ko)

(A−BKoC)TP + P (A−BKoC) ≺ −ε1 , PB = CTGT

et xo(t), Lo, Mo correspondant au suivi parfait de la reference (Cxo = ym).

l Calcul de sa derivee

V =

Ax−BKe+BLxm +BMyc

−Axo −BLoxm −BMoyc

T

P (x− xo)

+TrKΓ−1K (K −Ko)

T + TrLΓ−1L (L− Lo)T + TrMΓ−1

M (M −Mo)T


Ì PBMRAC

V =

Ax−BKe+BLym +BMyc

−Axo −BLoym −BMoyc

T

P (x− xo)

+TrKΓ−1K (K −Ko)

T + TrLΓ−1L (L− Lo)T + TrMΓ−1

M (M −Mo)T

s Additions et soustractions donnent

V =

(x− xo)T (A−BKoC)TP (x− xo)

−eT (K −Ko)TBTP (x− xo) + TrKΓ−1

K (K −Ko)T

+xTm(L− Lo)TBTP (x− xo) + TrLΓ−1L (L− Lo)T

+yTc (M −Mo)TBTP (x− xo) + TrMΓ−1

M (M −Mo)T

s Le premier terme est≤ −ε||x− xo||2 ≤ 0 par definition de P,Ko

s Les trois autres sont nuls car BTP (x − xo) = GC(x − xo) = Ge

et en remplacant K , L, M par leur valeurs.


Ì PBMRAC

l Remarque concernant les hypotheses

s Hypothese sur G garanti la stabilite interne de la boucle de regulation

s Hypothese d’existence de Lo, Mo garanti convergence exacte

Si elle n’est pas remplie la convergence sera approchee

Voir le cas d’un modeleGm(s) = 1 dans les simulations precedentes

1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

ω

ωm


Ì PBMRAC

n Variantes de PBMRAC (preuves de stabilite identiques)

w

m

+−

cΣ (θ )

θc y

Σ

θ,δy

e

Σ(θ,δ)c

yc

u

m

l Loi basee sur l’erreur

u = −Ke+ Lxm +Myc , e = y − ymK = GeeTΓK , L = −GexTmΓL , M = −GeyTc ΓM

l Loi basee sur la sortie (proche de la regle du MIT)

u = −Ky + Lxm +Myc , e = y − ymK = GeyTΓK , L = −GexTmΓL , M = −GeyTc ΓM


Ì PBMRAC

n Variantes de PBMRAC

u = −Ke+ Lxm +Myc , e = y − ymK = GeeTΓK , L = −GexTmΓL , M = −GeyTc ΓM

l Reecriture compacte

e =

e

xm

yc

,u = −Ke , ˙

K = GeeTΓ

K =[K −L −M

]l Variante avec un terme “proportionnel”

u = −(K1 + K2)e , K1 = GeeTΓ1 ,˙K2 = GeeTΓ2

s Preuve de stabilite : le terme supplementaire du a K1 dans V est

−(BGeeTΓ1e)TP (x− xo) = −(eTΓ1e)(e

TGTGe) ≤ 0


Ì PBMRAC

n PBMRAC a ete presente dans le cas d’une commande “statique”

u = −Ke+ Lym +Myc

l Extension au cas de correcteurs dynamiques pleins : η

u

︸︷︷︸

u

=

AK BK

CK DK

︸︷︷︸

−K

η

e

︸︷︷︸

e

+

BL

DL

︸︷︷︸

L

ym +

BM

DM

︸︷︷︸

M

yc

Equivalent au cas statique mais pour le systeme augmente suivant

˙x =

A 0

0 0

x+

0 B

1 0

u, y =

0 1

C 0

x, e = y−

0

ym

l Une procedure analogue est possible quand AK et CK sont fixees


Ì PBMRAC

n Exemple pour le moteur a courant continu

+−

−+

+

ω

ωc

mx

G

e

m

m

ωkIs+f

1s

uv

l Commande PBMRAC du premier ordre (comme dans le cas RST precedent)


Ì PBMRAC

+−ωk

Is+f1s

uv

e

ωm

cω

Gmx m

l Commande PBMRAC

ν = −Ke , e =

u

e

ωc

xm

,˙K = GeeTΓ


Ì PBMRAC

+−ωk

Is+f1s

uv

e

ωm

cω

Gmx m

l Commande PBMRAC

ν = −Ke , ˙K = GeeTΓ

l Choix de G pour que g1s

+ g2ks(Is+f)

soit hyper minimum de phase

s g1 > 0 et g2 > 0

s Par exemple G =[

0.1 1]

s Le schema tend a faire converger u vers 0...


Ì PBMRAC

l β = 0.1, Γ = 1001, σ = 10−4, G =[

0.1 1]

0 50 100 150 200 250 300−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

s Evolution des gains acceptable


Ì PBMRAC

l Γ = 100 · 1, β = 0.1, σ = 10−4, G =[

0.1 1]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

s Erreur d’autant plus grande que u = 0 est contradictoire

s Comment lever cette difficulte ?

s On ne peut pas prendre G =[

0 1]

,

sinon hypotheses non verifiees et systeme instable


Ì PBMRAC

l On garde G =[

0.1 1]

pour la boucle de regulation

l On prend G1 =[

0 1]

pour l’adaptation des pre-gains

ν = −K

u

e

−K1

xm

yc

, e = ω − ωm

K = G

u

e

( u e)

Γ , K1 = e(xTm yc

)Γ

+−

−+

+

ω

ωc

mx

G

e

m

m

ωkIs+f

1s

uv


Ì PBMRAC

l Γ = 100 · 1, β = 0.1, σ = 10−4, G =[

0.1 1]

et G1 =[

0 1]

0 50 100 150 200 250 300

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

s Erreur plus faible, mais transitoire avec depassements


Ì PBMRAC

l Γ = 100 · 1, β = 0.1, σ = 10−4, G =[

0.1 1]

et G1 =[

0 1]

0 50 100 150 200 250 300−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

300

s Les gains divergent - solution pas acceptable


Ì PBMRAC

l Mais a-t-on besoin d’un correcteur avec des dynamiques du premier ordre ?

−+

ωkIs+f

u

e

ωm

cω

Gmx m

0 5 10 15 20 25 30 35

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15−5

0

5

10

15

20


Ì PBMRAC

l Σ(s) = 1s2+2s−3

−+

ωkIs+f

u

e

ωm

cω

Gmx m

0 5 10 15 20 25 30

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


Ì PBMRAC

n PBMRAC pour une classe de systemes nonlineaires

x = Ax+ Aφφ(y, u, t) +Bu , y = Cx

l Hypotheses :

s φ est une non-linearite connue

s rang[Aφ B

]= rang B (il existe No telle que Aφ +BNo = 0)

s Le signal de consigne est constant a partir de t1 : yc(t > t1) = yc = cst

s La partie lineaire du systeme est “presque passive” :

Il existe un retour de sortie statique u = −Koy et G qui rendent le systeme

x = Ax+Bu+Bv, y = Cx, z = Gy strictement passif en boucle fermee

s Il existe Lo, Mo qui permet le suivi parfait du systeme lineaire :

xo = Axo +B(Loxm +Moyc) ⇒ Cxo = ym


Ì PBMRAC

n PBMRAC pour une classe de systemes nonlineaires

x = Ax+ Aφφ(y, u, t) +Bu , y = Cx

l La loi de commande suivante stabilise le systeme et x(t)→ xm(t).

u = −Ke+ Lxm +Myc +Nφ , e = y − ymK = GeeTΓK , L = −GexTmΓL , M = −GeyTc ΓM , N = −GeφTΓN

s Example : systeme sature

x = Ax+Bsat(u) = Ax+Bu−Bdz(u)

Le terme Ndz(u) de la commande est un anti-windup.

s En pratique si yc n’est pas constante N(t) diverge...


Ì PBMRAC

n Conclusions sur PBMRAC

l Fort potentiel d’application pour les systemes “presque passifs”

(existence de G et Ko tels que G(H(s) ? Ko) est passif

l Loi d’adaptation de la forme K = GeeTΓ

s Tant que e n’a pas converge les gains s’adaptent, dans la direction G

s Ils peuvent potentiellement diverger

s Si (transitoirement) ||e|| est grand, alors K est grand (pas realisable)

l Possibilite de faire β, σ modifications :

˙K = GeeTΓ(1 + eTβe)−1 − σK

s mais les preuves de stabilite ne tiennent plus ...

s Ici dans le cas β = 0

V ≤ −ε||x− xo||2 − σTr(KΓ−1(K − Ko)T ) ≤ 0?

Si K est bornee, on peut avoir V ≤ 0 pour ||x− xo|| ≥ ρ : “almost stable”


Plan




s Regle heuristique




Ì PBMRAC




n PBMRAC a ete presente sous les hypotheses (systeme “presque passif”)

l Il existe un retour de sortie statique u = −Koy,



strictement passif en boucle fermee.

l Equivalente a l’existence de G telle que

x = Ax+Bu, y = GCx

est a hyper minimum de phase

s Hypothese tres restrictive qui exclue par exemple le systeme

1

s2 + 2ζωns+ ω2n

!!



n PBAC d’un systeme SISO stabilisable

l Soit le systeme Σ(s) = N(s)D(s)

et un regulateur stabilisant K(s) = R(s)S(s)

s Les racines de D(s)S(s) +N(s)R(s) sont stables

s Les zeros de N(s)D(s)

+ S(s)R(s)

= D(s)S(s)+N(s)R(s)D(s)R(s)

sont stables

s Donc Σ(s) +K−1(s) = N(s)D(s)

+ S(s)R(s)

est a hyper minumum de phase si

deg(D(s)R(s))− deg(D(s)S(s) +N(s)R(s)) ≤ 1

s On peut appliquer un regulateur PBAC a Σ(s) +K−1(s)

l Exemple : N(s)D(s)

= 1s2+s+1

stabilisable par R(s)S(s)

= s+1k

pour tout k > 0

s Σ(s) +K−1(s) = s+1+k(s2+s+1)(s+1)(s2+s+1)

est a hyper minimum de phase

s Stabilisable par PBAC



n Parallel feedforward ou Shunt - S(s)

l Si le systeme Σ(s) n’est pas “presque passif”

s mais que l’on trouve S(s) tel que Σ(s) + S(s) est presque passif

(des methodes existent partant de S−1(s) controleur stabilisant)

s alors on peut appliquer PBAC

−+ +

S

Σ

y

y

ycs

K

l La stabilite interne de la boucle garanti la stabilite des etats de Σ

s mais comment garantir convergence de y vers yc ?

l L’erreur sera faible si ||S|| � 1

s Cela revient a prendre 0 < k � 1 dans l’exemple precedent

l Il existe des schemas MRAC modifies pour tenir compte de l’erreur [KBS94]



n Parallel feedforward - Gains adaptatif bornes

−+ +

S

Σ

y

y

ycs

K ⇔ cyΣ

y

S

+−

−+ K

l La boucle composee de S(s) et K(t) forme un controleur adaptatif

s Si S est un gain constant alors le gain adaptatif equivalent est

Ke(t) = (1 +K(t)S)−1K(t)

ce gain est borne meme si K(t) est non borne

s Resultat coherent :

seuls les systemes “presque passifs” sont stabilisables avec des grands gains



n Commande adaptative avec gains bornes

l En pratique les lois adaptatives sont telles (cas scalaire)

s Si k < kmax, alors k = γe2

s k = kmax sinon et kmax doit etre un gain stabilisant.

l [PKP09, PDPM11] Prevenir les gains de sortir d’un domaine maximal donne

K = GeeTΓ− ψ(K) ·KΓ

s ψ(K) = 0 tant que K est dans un domaine souhaite

‖K‖2F = Tr(KKT ) ≤ α

s ψ(K)→ +∞ si K approche la frontiere du domaine maximal

‖K‖2F = Tr(KKT ) ≤ β , α < β

l Exemple : α < ‖K‖2F < β alors ψ(K) =‖K‖2F−αβ−‖K‖2F



l [PKP09, PDPM11] Prevenir les gains de sortir d’un domaine maximal donne


s ψ(K) = 0 tant que K est dans un domaine souhaite

s ψ(K)→ +∞ si K approche la frontiere du domaine maximal

l Preuve que les gains sont bornes avec V (K) = Tr(KKT ) = ‖K‖2F

V (K) = 2Tr(KKT ) = 2Tr(GeeTΓKT )−2ψ(K)Tr(KKT )︸︷︷︸<0

s On suppose eeT bornes

s Comme ψ(K)→∞ quand ‖K‖2F → β

il existe β∗ < β telle que V (K) < 0 pour tout β∗ ≤ V (K) < β

s Le domaine V (K) ≤ β∗ est donc attractif et K est bornee



l Peut-on prouver la stabilisation du systeme avec cette loi de commande ?


l Oui, sous certaines hypotheses, dont la principale est

s Il existe une commande u = −Koy telle que ‖Ko‖2F ≤ α

et deux matrices G et D telles que le systeme suivant

x = Ax+Bu+Bv, y = Cx, z = Gy +Dv

est strictement passif en boucle fermee.

l Remarque importante :

le transfert direct D n’est pas utilise pour la commande



s Il existe une commande u = −Koy telle que ‖Ko‖2F ≤ α

et deux matrices G et D telles que le systeme suivant

x = Ax+Bu+Bv, y = Cx, z = Gy +Dv

est strictement passif en boucle fermee.

s Cette hypothese est moins forte que avec D = 0, elle s’ecrit : ∃P � 0 (A−BKoC)TP + P (A−BKoC) + 2εP PB − CTGT

BTP −GC −D −DT

� 0

Tout systeme stabilisable par un gain Ko verifie cette contrainte.

Mais D peut-etre grand.

Evite la contrainte forte PB = CTGT .



n Cas des systemes variant dans le temps

x(t) = A(t)x+B(t)u(t) , y(t) = C(t)x(t)

l Condition de passivite d’une boucle de commande u(t) = −Ko(t)y(t) :

∃P � 0, ∃G,D P (t) + ATcl(t)P (t) + P (t)Acl(t) + 2εP P (t)B(t)− CT (t)GT

BT (t)P (t)−GC(t) −D −DT

� 0

ou Acl(t) = A(t)−B(t)Ko(t)C(t).

s Cette condition n’est pas realisable siD = 0 (ou alors cas tres particulier)

s Peut-on avec cette seule hypothese prouver la stabilite

du point d’equilibre x = 0 pour la boucle fermee avec PBAC ?

u(t) = −K(t)y(t) , K(t) = Gy(t)yT (t)Γ



n Choix d’une fonction de Lyapunov

V (x,K) =1

2(xT (t)P (t)x(t) + Tr((K(t)−Ko(t))Γ

−1(K(t)−Ko(t))T )

l Calcul de sa derivee

V =1

2xT P x+ xTPx︸︷︷︸

V1

+ Tr(KΓ−1(K −Ko)T )︸︷︷︸

V2

−Tr(KoΓT (K −Ko)

T )

V1 =1

2xT (P + ATclP + PAcl)x− xTCT (K −Ko)

TBTPx

V2 = yT (K −Ko)TGCx = xTCT (K −Ko)

TGCx

s On pose M = BTP −GC(nulle pour les systemes strictement passifiables sans transfert direct)



l On trouve

V ≤12xT (P + ATclP + PAcl)x+ xTCT (K −Ko)

TMxT

−Tr(KoΓ−1(K −Ko)

T )

s La condition

P + ATclP + PAcl + 2εP PB − CTGT

BTP −GC −D −DT

� 0

implique P + ATclP + PAcl � −2εP

l On trouve donc

V ≤ −εxTPx+ xTCT (K −Ko)TMx+ Tr(KoΓ

−1(K −Ko)T )

s Conditions additionnelles :

K , Ko bornees et M = PB − CTGT suffisamment petit en norme tq

xT (−εP + CT (K −Ko)TM)x ≤ −εxTPx



l Ainsi, si M = PB − CTGT est suffisamment proche de la condition de

passivite sans transfert direct (M = 0), on a

V ≤ −εxTPx− Tr(KoΓ−1(K −Ko)

T )

s Le terme Tr(KoΓ−1(K −Ko)) est non signe (et inconnu)

s Si on suppose K , Ko et Ko bornees alors

∃τ > 0 : −Tr(KoΓ−1(K −Ko)

T ) ≤ τ

s c’est a dire V < 0 quand xTPx ≥ τε.

l Theorie de Lyapunov ne permet pas de conclure que l’etat converge vers 0

mais permet de conclure a la convergence dans le voisinage xTPx ≤ τε.



n Conclusions

l Fort potentiel d’application pour les systemes “presque passifs”

(existence de G et Ko tels que G(H(s) ? Ko) est passif

l Loi d’adaptation de la forme K = GeeTΓ

s Tant que e n’a pas converge les gains s’adaptent, dans la direction G

s Ils peuvent potentiellement diverger

s Si (transitoirement) ||e|| est grand, alors K est grand (pas realisable)

l Possibilite de faire β, σ modifications :˙K = GeeTΓ(1 + eTβe)−1 − σK

l Extensions pour les systemes non “presque passifs”

s Transfert direct en parallele - difficultes : trouver le shunt, MRAC pas exact

s Approche avec gains bornes - travail en cours

l Systemes LTI→ systemes LTV et NL

s Stabilite de domaines d’attraction, stabilite locale... [AKO07]


REFERENCES Quelques references REFERENCES

References

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control with applications, Communications and Control Engineering,

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Autom. Remote Contr. 70 (2009), no. 9, 1540–1552.


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