Cours Applications Transformee z

8/17/2019 Cours Applications Transformee z

1/99


2/99

I. Méthode générale

Partie 3 - Séquence 4 Application de la transformée en z

http://find/


3/99


4/99


Méthode

La démarche générale comporte trois étapes :

On applique la transformée en z à l’́equation ŕecurrente (ouéquation aux différences) et on obtient une équationalgébrique.


http://goforward/http://find/http://goback/


5/99


Méthode

La démarche générale comporte trois étapes :

On applique la transformée en z à l’́equation ŕecurrente (ouéquation aux différences) et on obtient une équationalgébrique.

On résout cette équation algébrique et on obtient latransformée en z de la solution cherchée.


http://find/


6/99


7/99

Un premier exemple (une suite arithmétique)

Résolvons l’́equation

u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


http://find/


8/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.

En appliquant la transformée en z aux deux membres de l’équation,on obtient l’équation :


http://find/http://goback/


9/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z




10/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3)


http://find/


11/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) =




12/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z )


http://find/


13/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z ) + 2z

z − 1




14/99


15/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z ) + 2z

z − 1

Après résolution, on obtient :

(Z u )(z ) =


http://find/


16/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z ) + 2z

z − 1


(Z u )(z ) = 2z

(z − 1)2 +

3z

z − 1


http://find/


17/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z ) + 2z

z − 1


(Z u )(z ) = 2z

(z − 1)2 +

3z

z − 1

Une recherche d’original donne :


http://find/


18/99



u n+1 = u n + 2

u 0 = 3.


z ((Z u )(z ) − 3) = (Z u )(z ) + 2z

z − 1


(Z u )(z ) = 2z

(z − 1)2 +

3z

z − 1

Une recherche d’original donne :

u n = 2n + 3


http://find/


19/99

II Equations récurrentes d’ordre 1


20/99

II. Equations recurrentes d ordre 1


II. Equations récurrentes d’ordre 1

http://find/


21/99


Exercice

Résoudre l’équation aux différences :x(n + 1) − 2x(n) = 2ne(n)

x(0) = 1



http://find/


22/99


Exercice


x(0) = 1

Solution

Remarquons d’abord que l’on peut calculer de proche enproche les valeurs de x(n) :



http://find/


23/99


Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1) =



http://find/


24/99

q t o s c t s o

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1) = 2x(0) + 0



http://find/


25/99

q

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1) = 2x(0) + 0 = 2



http://find/


26/99

q

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1) = 2x(0) + 0 = 2x(2) =



http://find/


27/99

q

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1

) =2x

(0

) +0

=2x(2) = 2x(1) + 2



http://find/


28/99

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1

) =2x

(0

) +0

=2x(2) = 2x(1) + 2 = 6



http://find/


29/99

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1

) =2x

(0

) +0

=2x(2) = 2x(1) + 2 = 6

x(3) =



http://find/


30/99

Exercice


x(0) = 1

Solution


x(1

) =2x

(0

) +0

=2x(2) = 2x(1) + 2 = 6

x(3) = 2x(2) + 4



http://find/


31/99

Exercice


x(0) = 1

Solution

Remarquons d’abord que l’on peut calculer de proche enproche les valeurs de x(n) :x(

1) =

2x(

0) +

0=

2x(2) = 2x(1) + 2 = 6x(3) = 2x(2) + 4 = 16



http://find/


32/99

Exercice


x(0) = 1

Solution

Remarquons d’abord que l’on peut calculer de proche enproche les valeurs de x(n) :x(1) = 2x(0) + 0 = 2x(2) = 2x(1) + 2 = 6x(3) = 2x(2) + 4 = 16 ...


http://find/


33/99

Solution (suite)

Notons X(z ) la transformée en z de x(n).


S ( )

http://find/


34/99

Solution (suite)

Notons X(z ) la transformée en z de x(n). On applique latransformée en z aux deux membres de l’équation et on obtient :


S l i ( i )

http://find/


35/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1)


S l i ( i )



36/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z )


S l ti ( it )



37/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) =


Solution (suite)



38/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


Solution (suite)



39/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2

Après résolution on obtient :


Solution (suite)



40/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


X(z ) =


Solution (suite)

http://find/


41/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


X(z ) = 2z

(z − 2)(z − 1)2


Solution (suite)

http://find/


42/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


X(z ) = 2z

(z − 2)(z − 1)2 +

z

z − 2


Solution (suite)

http://find/


43/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


X(z ) = 2z

(z − 2)(z − 1)2 +

z

z − 2

On décompose 2

(z − 2)(z − 1)2 en éléments simples et on obtient :


Solution (suite)

http://find/


44/99

Solution (suite)


z (X(z ) − 1) − 2X(z ) = 2z

(z − 1)2


X(z ) = 2z

(z − 2)(z − 1)2 +

z

z − 2

On décompose 2

(z − 2)(z − 1)2 en éléments simples et on obtient :

2

(z − 2)(z − 1)2 = −

2

z − 1 −

2

(z − 1)2 +

2

z − 2




45/99

Solution (suite)

Et donc :


http://find/


46/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) =


http://find/


47/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


http://find/


48/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2

Une recherche d’original donne alors :


http://find/


49/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) =


http://find/


50/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) = (−2




51/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) = (−2 − 2n


http://find/


52/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) = (−2 − 2n + 3 × 2n)


http://find/


53/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) = (−2 − 2n + 3 × 2n) e(n)




54/99

Solution (suite)

Et donc :

X(z ) = − 2z

z − 1 −

2z

(z − 1)2 +

3z

z − 2


x(n) = (−2 − 2n + 3 × 2n) e(n)



http://find/


55/99



Exercice 1

http://find/


56/99

Exercice 1

Résoudre l’équation aux différences :

y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N



Exercice 1

http://find/


57/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution

Les conditions initiales sont données implicitement par le fait

que y est un signal causal et donc y(−1) = y(−2) = 0.



Exercice 1

http://find/


58/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution


que y est un signal causal et donc y(−1) = y(−2) = 0.Notons Y (z ) la transformée en z de y(n).



Exercice 1

http://find/


59/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution


que y est un signal causal et donc y(−1) = y(−2) = 0.Notons Y (z ) la transformée en z de y(n). En appliquant latransformée en z aux deux membre, on obtient :



Exercice 1

http://find/


60/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z )



Exercice 1

http://find/


61/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z ) − 3z −1Y (z )



Exercice 1

http://find/


62/99

Exercice 1


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z ) − 3z −1Y (z ) + 2z −2Y (z )



Exercice 1



63/99

e c ce


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z ) − 3z −1Y (z ) + 2z −2Y (z ) = 1



Exercice 1



64/99


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z ) − 3z −1Y (z ) + 2z −2Y (z ) = 1

c’est-à-dire :



Exercice 1

http://find/


65/99


y(n) − 3 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = d(n) n ∈ N

Solution



Y (z ) − 3z −1Y (z ) + 2z −2Y (z ) = 1

c’est-à-dire :

Y (z ) − 3Y (z )

z +

2Y (z )

z 2 = 1


Solution (suite)


http://find/


66/99


Solution (suite)


http://find/


67/99

Y (z ) =


Solution (suite)


http://find/


68/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2


Solution (suite)


http://find/


69/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)


Solution (suite)


http://find/


70/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)

Après décomposition en éĺements simples de Y (z)

z on obtient :


Solution (suite)


http://find/


71/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = − z

z − 1 + 2z

z − 2


Solution (suite)


http://find/


72/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 + 2z

z − 2

Une recherche d’original donne alors y(n) =


Solution (suite)


http://find/


73/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 + 2z

z − 2

Une recherche d’original donne alors y(n) = ( −1


http://find/


74/99

Solution (suite)



75/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2 =

z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 + 2z

z − 2

Une recherche d’original donne alors y(n) = ( −1 + 2 × 2n)e(n)


http://find/


76/99

Solution (suite)



77/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2

= z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 + 2z

z − 2

Une recherche d’original donne alors y(n) = ( −1 + 2 × 2n)e(n) soit :

y(n) =


Solution (suite)


http://find/


78/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2

= z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 + 2z

z − 2


y(n) = ( −1 + 2n+1)e(n)


Solution (suite)


http://find/


79/99

Y (z ) = z 2

z 2 − 3z + 2

= z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 +

2z

z − 2


y(n) = ( −1 + 2n+1)e(n)


Solution (suite)


2 2

http://find/


80/99

Y (z ) = z 2

z 2

− 3z + 2

= z 2

(z − 1)(z − 2)


z on obtient :

Y (z ) = −

z

z − 1 +

2z

z − 2


y(n) = ( −1 + 2n+1)e(n)


Exercice 2

Résoudre l’équation récurrente :y(n + 2) − 3y(n + 1) + 2y(n) = d(n)

http://find/


81/99

y(n + 2) 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

y(0) = 0

y(1) = 0


Exercice 2

Résoudre l’équation récurrente :y(n + 2) − 3y(n + 1) + 2y(n) = d(n)

http://find/


82/99

y(n + 2) 3 y(n + 1) + 2 y(n) d(n)

y(0) = 0

y(1) = 0

Solution

Notons Y (z ) la transformée en z de y(n).


Exercice 2Résoudre l’équation récurrente :

y(n + 2) − 3y(n + 1) + 2y(n) = d(n)

http://find/


83/99

y(n + 2) 3 y(n + 1) + 2 y(n) d(n)

y(0) = 0

y(1) = 0

Solution

Notons Y (z ) la transformée en z de y(n). En appliquant la

transformée en z aux deux membres de l’équation on obtient :



y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

http://find/


84/99

y( + ) y( + ) + y( ) ( )

y(0) = 0

y(1) = 0

Solution



z 2Y (z )



y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

http://find/


85/99

y( ) y( ) y( ) ( )

y(0) = 0

y(1) = 0

Solution



z 2Y (z ) − 3zY (z )



y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

http://find/


86/99

y y y

y(0) = 0

y(1) = 0

Solution



z 2Y (z ) − 3zY (z ) + 2Y (z )



y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

http://find/


87/99

y(0) = 0 y(1) = 0

Solution



z 2Y (z ) − 3zY (z ) + 2Y (z ) = 1



y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)

http://find/


88/99

y(0) = 0 y(1) = 0

Solution



z 2Y (z ) − 3zY (z ) + 2Y (z ) = 1



http://find/


89/99


y(n + 2) − 3 y(n + 1) + 2 y(n) = d(n)


90/99

y(0) = 0 y(1) = 0

Solution



z 2Y (z ) − 3zY (z ) + 2Y (z ) = 1


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)


Solution (suite)

On transforme alors l’e pression de Y(z)

http://find/


91/99

On transforme alors l expression de Y (z ) :

Partie 3 Séquence 4 Application de la transformée en z

Solution (suite)

On transforme alors l’expression de Y(z) :

http://find/


92/99


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)


Solution (suite)


http://find/


93/99


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)

= −1

z − 1 +

1

z − 2


Solution (suite)


http://find/


94/99


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)

= −1

z − 1 +

1

z − 2

= z −1 −z

z − 1 + z −1 z

z − 2

Partie 3 Séquence 4 Application de la transform´ee en

z

http://find/


95/99

Solution (suite)



96/99


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)

= −1

z − 1 +

1

z − 2

= z −1 −z

z − 1 + z −1 z

z − 2

On en déduit :

y(n) =

Partie 3 Séquence 4 Application de la transform´ee en

z

Solution (suite)


http://find/


97/99


Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)

= −1

z − 1 +

1

z − 2

= z −1 −z

z − 1 + z −1 z

z − 2

On en déduit :

y(n) = ( −1




98/99

Solution (suite)

On transforme alors l’expression de Y (z ) :


99/99

p ( )

Y (z ) = 1

(z − 1)(z − 2)

= −1

z − 1 +

1

z − 2

= z −1 −z

z − 1 + z −1 z

z − 2

On en déduit :

y(n) = ( −1 + 2n−1

)e(n − 1)


Documents

Cours Applications Transformee z