notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE Dfinitions
et applications
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notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE contenu
Annulation d cho Dfinitions cepstre de puissance cepstre complexe
proprits Quelques applications mesures de fonction de transfert et
de coefficient de rflexion annulation d chos analyse des vibrations
d engrenages
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notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE le problme
de l annulation d chos x(t)= s(t) + s r (t) s(t) son direct, s r
(t) son rflchi le problme de l annulation d chos comment extraire
s(t) de x(t), i.e, supprimer l cho ?
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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo formulation du
problme Hypothses simplificatrices la rflexion ne gnre qu un retard
et une attnuation s r (t)= a 0.s(t-t 0 ) x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 )
Dans le domaine frquentiel
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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo illustration
Domaine temporel Domaine frquentiel s(t) a 0 s(t-t 0 ) t0t0 [X(f)]
2
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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo proprits de la
phase Imag Rel 2.pi.f.t 0 1
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notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo Effet du
logarithme On prend le Log pour rendre additif l effet de l cho On
en prend la Transforme de Fourier (inverse) f t
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notes de cours Analyse Cepstrale Le cepstre Plusieurs
dfinitions Cepstre de puissance: Cepstre complexe:
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre de puissance Proprits
C x ( ) = [TF -1 (Ln(S xx (f))] 2 frquence temps relation avec la
fonction d autocorrlation R( )=TF -1 (S xx (f)) S xx (f) est rel et
pair le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Proprits C x
( ) = TF -1 [Ln(X(f)] X(f)=X Rel (f) + j.X Imag (f)=[X(f)].e j (f)
Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) x(t) est rel X rel pair et X imag
impair (f) est impair [X(f)] est pair Ln [X(f)] est pair le CEPSTRE
COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstres de puissance et
complexe Cas de signaux minimum de phase Soit x(t), X(f) = TF(x(t))
= [X(f)].e j (f) x(t) minimum de phase H{ln[X(f)]}= (f) C x ( ) =
TF -1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) C x ( ) est rel et causal (
>0) c est la somme dune partie paire et d une partie impaire TF
-1 {Ln[X(f) 2 ]} est la partie paire, ie, le cepstre de puissance
TF -1 { (f)} est la partie impaire, ie, le cepstre de phase 1 2
1
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Redploiement
de la phase C x ( ) = TF -1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) pour
valuer (f), on obtient une fonction variant entre - et +, qu il est
ncessaire de redployer (Unwrapping) (f) doit tre une fonction
continue en f. Il existe des algorithmes ddis (algorithmze de
Triboulet 1977) f
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Proprits, application
la dconvolution Systme linaire temps : y(t)=h(t)*x(t)produit de
convolution frquence :Y(f)=H(f).X(f)produit cepstre :C y ( ) = C h
( ) + C x ( ) somme (du fait du Log!) d o les applications de
dconvolution pour sparer x (t) (l entre) de h(t) (le milieu)
annulation d chos, identification des sources (sismique, etc..)
h(t) x(t)y(t)
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notes de cours Analyse Cepstrale Dconvolution via le cepstre
Exemple de l annulation d chos x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 ),
X(f)=S(f)[1+a 0.e -2 jft0 ] c x (t) = c s (t) +TF -1 {Ln(1+a 0 2
+2a 0.cos(2 ft 0 )} on liftre c s (t) S(f)= TF{exp(c s (t))} et
s(t)=TF -1 {S(f)} remarque: le processus de reconstruction suppose
les signaux minimum de phase tt
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Exemple d
annulation d chos
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Vocabulaire
vocabulaire (Bogert 1963): SpectreCepstre FrquenceQufrence
FiltrageLiftrage HarmoniqueRahmonique PriodeRpiode PhaseSaphe
AmplitudeGamnitude
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notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre ANNEXES A: Proprits de
symtrie et de parit par Transformes de Fourier Directe et inverse
B: Systmes minimum de phase C: caractrisation de matriaux
(acoustique)
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la
Transforme de Fourier (1/3) ie, x(t) X(f) x(-t) X(-f) x(t) TF
directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) FFFF
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la
Transforme de Fourier (2/3) x(t) relX(f) = X*(-f) Re(X(f)) =
Re(X(-f)) Im(X(f) = - Im(X(-f)) x(t) rel pairx(t) = x(-t)
X(f)=X(-f) Im(X(f)) = 0 x(t) rel impairx(t) = -x(-t) Re (X(f)) =
0
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Proprits de la
Transforme de Fourier (3/3) Signal temporelSpectre rel, pairrel,
pair rel, impairimag, impair imag, pairimag, pair imag, impairrel,
impair relcomplexe conjugu pair complexe conjugu pairrel
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systmes minimum de
phase (1/2) Plusieurs dfinitions : x(n) est minimum de phase ssi
ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert H{Ln[X(w)]} =
Arg(X(w)) un systme linaire de fonction de transfert H(w) est dit
minimum de phase ssi H(w) est stable et d inverse stable, ie, ses
ples et ses zros sont l intrieur du cercle unit (systme discret),
ou gauche de l axe jw (systme continu)
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systmes minimum de
phase (2/2) X 1 (f) = TF(x 1 (t))X 2 (f) = TF(x 2 (t)) (1) X 1 (f)
= X 2 (f) (2)Arg(X 1 (f))>Arg (X 2 (f)) Si x 1 (t) est tel que
(1) et (2) sont vrifies quelque soit x 2 (t) vrifiant (2), alors x
1 est dit phase minimum.( en ralit maximum) x 1 (n) x 2 (n)
Arg(X(f)
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractrisation de
matriaux (1/3) Caractrisation acoustique dun matriau: x(t)= p(t) +
(r 1 /r 2 ).p(t)*h(t-t 0 ) r 1, r 2 coefficients de rflexion t 0
=(r 2 -r 1 )/c X(f)=P(f){1+(r 1 /r 2 ).H(f).e -2 fto } on veut
estimer h(t) la rponse impulsionnelle de la surface rflchissante ou
on veut estimer r 1, r 2 Haut parleur micro
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notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractrisation de
matriaux (2/3) Expression du cepstre de puissance [X(f)] 2 =[P(f)]
2. {1+(r1/r2).H(f). e -2 fto }. {1+(r1/r2).H * (f). E +2 fto } on
utilise le dveloppement Ln(1+z)=z-z 2 /2+ z 3 /3,. Pour [z]