Upload
mirra
View
105
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. Transformée de Fourier Discrète introduction. Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon. Signal à bande limitée X(f)=TF (x(t));X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
transformée de fourier discréte 1
TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE
transformée de fourier discréte 2
Transformée de Fourier Discrète introduction
)(lim
'
:int
,,,.
,
';,,.
:)(
)(),(:
var)(),(,,
)();(:min
nitéeduréede
signauxdestranchesdesavecqutravaillerpeutneonpratiqueladans
esContraAutres
lfréquentiennageéchantillo
fréquenceenrésolutionfentiermdiscretfréquencefmf
Shannondecritèretemporelnnageéchantillo
nnageéchantillodpériodetentierndiscrettempstnt
tionquantifica
fininbrendiscrétesvaleursdesprenantfonctionsdessontXetx
fXtxnumériquessignauxdesveutOn
continuesfontionsetiablesdessontfXtxft
fXtxContinusetistesDéterSignaux
m
n
mn
transformée de fourier discréte 3
Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon
• Signal à bande limitée
• X(f)=TF (x(t)) ; X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax
• pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que :
• sinon on observe un repliement de spectre
+fmax-fmax
X(f)x(t)
ft
nnageéchantillodpériodefTnnageéchantillodfréquencef
ff
ee
e
'/1;'
2 max
transformée de fourier discréte 4
Transformée de Fourier Discrète périodisation de la TFC par échantillonnage temporel
)/1()()(
:
)()(
).()(
))()(()(
)()()().()(
')(
)(
)(22/1
2/1
)(2
2
TpériodedefenpériodiquefonctionuneestfXTnx
conclusion
dfefXTTnx
eTnxfX
dteTnttxfX
TnttxTnttxTnx
nnageéchantillodpériodeTnnéeéchantilloversionlaTntx
tencontinuetx
e
TnjfT
Te
Tnjf
ne
jft
t ne
nne
e
transformée de fourier discréte 5
Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel
)( fXe
maxf maxf
)(tx
)( Tnx
T2/1T 2/1
Tf
repliementdepas
2/1max
)( fXe
maxf maxf
)(tx
)( Tnx
T2/1T 2/1
Tf
repliement
2/1max
transformée de fourier discréte 6
Transformée de Fourier Discrète définition
TNpériodedepériodiquefonctionuneestx(n)
:remarque
)()(
)(1
)(
fréquenceen résolution /1)()(
:)(
2/,2/;2/,2/);()(
:,
12/
2/
/2
12/
2/
/2
N
Nm
Njnm
N
Nn
Njnm
e
e
efmXTnx
eTnxN
fmX
TNffmXfX
fXdiscrétiseon
finielongueurdesignaux
NNmNNnfmXTnx
iefendiscrétefonctionunechercheon
transformée de fourier discréte 7
Transformée de Fourier Discrète propriétés
]Imag(X(m))m))-[Imag(X(N impaireimag(X(m))
Re(X(m))]m))-[réel(X(N paireréel(X(m))
tionmultiplica
cyclique nconvolutio
amplituded'modulation
tempsduntrenverseme
temporelretard
tempsdeéchelled'chg
constante
neutreélément
I
R
jk
X
X
mXmXnxnx
mXmXnxnx
kmXkmXNknnx
mXmXnx
efXknxa
mW
aanx
mAA
nAnA
linéarité
)(*)()()(
)()()(*)(
)()(2/1)/2cos()(
)()()(
)()(
)(1
)(
)(
)()(
2121
2121
*
2
transformée de fourier discréte 8
Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1)
)( fXe
)(tx
)( Tnx
)( fX)(tx
)( Tnxp
continueTF
Fourierdeséries
DiscrèteTF
temporelnnageéchantillo
)( fmX
nc
transformée de fourier discréte 9
Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (2)
• TEMPS FREQUENCE
• continu continu– non périodique - Fourier Continue
• continu discret– périodique - Série de Fourier
• discret continu– Fourier - périodique
• discret discret– périodique - périodique
– T.Fourier Discrète
transformée de fourier discréte 10
Transformée de Fourier Discréterésolution fréquentielle
• x(nT) signal– n = [-N/2, N/2-1] N points T période d ’échantillonnage,
– fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage.
– fe1/(2fmax) Shannon
• X(m f) = TFD [(x(n T)]– N points en fréquence f = 1/N T résolution en fréquence
• si N f • si N f
transformée de fourier discréte 11
Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1)
spectresur recherche onl' que cepar déterminé
est choix ledont fenêtres de types plusieurs existe il
spectral domaine au intéresses' onpuisqu'
arbitrairedevient irerectangula fenêtre la dechoix le -
fenêtre. la de TFD la avec
discret spectre leconvoluer àrevient signal du troncature la-
:Conclusion
fréquenceennconvolutio
ire.Rectangulafenêtreappeléeest
/2/2,
);(*)())(~(
)(
0,2/,2/;1)(
)().()(~:
)(
1
mWmXnxTFD
nw
ailleursNNnnwavec
nwnxnx
faitendoncétudieon
nxsignalletronqueon
nfinieduréedeestsignalLe
T
N
R
N
R
N
R
N
R
transformée de fourier discréte 12
Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1)
• Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
0 N/2
transformée de fourier discréte 13
Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2)
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
transformée de fourier discréte 14
Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3)
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
transformée de fourier discréte 15
Transformée de Fourier Discrèteeffet des fenêtres sur une sinusoïde (4)
0 100 200 300-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 15010
-1
100
101
102
0 100 200 300-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 15010
-10
10-5
100
105
transformée de fourier discréte 16
Transformée de Fourier Discrète résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre
Multiplication/fenêtre
• temps fréquence
Convolution/fenêtre(fuites)
transformée de fourier discréte 17
Transformée de Fourier Discrèteétude de l ’effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1)
notes de cours S érie de Fo urier
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20 40 60 80 100 12010
-4
10-2
100
wr(nT)=1 pour n=[0,N-1]
Wr(mf)= sin(N.2.pi.mf)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1]
transformée de fourier discréte 18
Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2)
• Cas d ’une sinusoïde :– N points, T période d ’échantillonnage,
– fe=1/ T, f=1/ NT
– la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3.f,….k. f …N/2. f
– soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N)
• cas 1: f0 = k. f
• cas 2: k.f f0 (k+1).f
transformée de fourier discréte 19
Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3)
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
f(k-1)
f(k)=f0
f(k+1)
X(k f)
W(k-1)
W(k)
W(k+1)
transformée de fourier discréte 20
Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4)
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
20 40 60 80 100 12010
-4
10-3
10-2
10-1
100
f(k-1)
f(k)
f(k+1)
X(k f)
W(k-1)
W(k+1)
W(k)
transformée de fourier discréte 21
Transformée de Fourier DiscrèteFenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1)
notes de cours Série de Fourier
0 10 20 30 400
0.5
1
20 40 60 80 100 12010
-4
10-2
100
0 10 20 30 400
0.5
1
20 40 60 80 100 12010
-4
10-2
100
0 10 20 30 40-2
0
2
20 40 60 80 100 12010
-4
10-2
100
0 10 20 30 400
0.5
1
20 40 60 80 100 12010
-4
10-2
100
Rectangulaire
Hanning
Blackman
Gaussienne
transformée de fourier discréte 22
Transformée de Fourier Discrètepropriétés des fenêtres : résumé (2)
• Fenêtre 1er lobe décroissance largeur lobe
• secondaire lobes secondaires principal
• (dB) (dB/décade) (*f)
• Rectangulaire -13 -20 1.
• Hanning -32 -60 1.5
• Hamming-43 -20 1.36
• Kaiser-Bessel -69 -20 1.8
• Flattop -93 0 3.7
• Gaussienne -69 -20 1.9
– rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible
– Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations)
transformée de fourier discréte 23
Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1)
N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m N² multiplications complexes
• exemple : N= 1000 pts 1.000.000 (X) !!
• Algorithme FFT• N=2k N.log2(N)= k.N
• exemple : N=1024 10. 000 (X)
• Plusieurs types d ’algorithmes
1,0,)()(1
0
/2
NmenxmXN
n
Njnm
transformée de fourier discréte 24
Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2)
• Principe :
• plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel.
2/22/
1
0
.
/2
)(;1)(;1)(
1,0,).()(
NNN
NN
N
N
n
knN
NN
WWWWor
NmWnxmX
eW