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CORSO DI PREPARAZIONE AL TEST per l’ammissione ai corsi triennali

dell’area sanitaria

MATERIALI PER LA PREPARAZIONE AI TEST DI

MATEMATICA

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Premessa: la presente dispensa non ha alcuna pretesa né di rigore matematico, né di completezza dell’esposizione. È una semplice raccolta di informazioni e di suggerimenti per guidare alla risoluzione dei test. Insiemi numerici L’insieme dei numeri naturali è N = {0,1,2,3,4,…}. L’insieme dei numeri interi relativi è Z = {…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,…} Conoscenze e competenze richieste riguardo a N e Z: 1) Riconoscere il risultato di moltiplicazioni di grandi numeri senza svolgere il prodotto Es.: 5876 moltiplicato per 549788 è uguale a:

a. 3230554284 b. 3230554286 c. 3230554288 d. 3230554280 e. 3230554282

Suggerimento: è inutile svolgere l’intera operazione: basta pensare a quale dovrebbe essere la cifra delle unità del risultato: 6 x 8=48 2) Criteri di divisibilità e ricerca dei divisori Un numero a è divisibile per b se la divisione fra a e b dà per resto 0. Si dice allora che a è multiplo di b o che b è divisore di a. Si può sapere se un numero è divisibile per altri senza svolgere la divisione, ma usando i: CRITERI DI DIVISIBILITÀ:

Un numero è divisibile per solo se

2 l’ultima sua cifra è pari

3 la somma delle sue cifre è divisibile per 3

4 le ultime due cifre sono 00 oppure divisibili per 4

5 l’ultima sua cifra è 0 o 5

6 è divisibile per 2 e per 3

9 la somma delle sue cifre è divisibile per 9

10 l’ultima cifra è 0

11 La somma delle cifre di posto dispari è uguale alla somma di quelle di posto pari

N.B.1: ogni numero intero ha almeno due divisori banali: 1 ed il numero stesso. N.B.2: un divisore non banale di a non può essere più grande della metà di a. Es.: Quanti sono i divisori del numero 36 (1 e 36 compresi)?

a. 2 b. 4 c. 6 d. 9 e. 7

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Suggerimento: occorre passare in rassegna i numeri minori o uguali alla metà di 36: 2 è divisore di 36; 3 è divisore di 36; 4 è divisore di 36; 5 non è divisore di 36; 6 è divisore di 36; 7non è divisore di 36; 8 no è divisore di 36; 18 è divisore di 36 In tutto 7 divisori, ai quali vanno aggiunti i 2 divisori banali 1 e 36. Ma è un po’ lungo! Altro modo: 36 = 4 x 9= 22 x 32. Sono divisori di 36 tutti e soli i numeri che ottengo riempiendo gli esponenti di 2� x 3� in tutti i modi possibili con i numeri 0, 1, 2:

0 1 2

0 0,0 0,1 0,2

1 1,0 1,1 1,2

2 2,0 2,1 2,2

Allora in tutto 9 divisori. Si capisce allora che basta aumentare tutti gli esponenti dei fattori primi di una unità e moltiplicarli fra loro. Così, i divisori di 308 = 22 x 71 x 111 saranno 3 x 2 x 2, cioè 12. Es.: Tra i primi 200 numeri naturali, sono contemporaneamente divisibili per 2, 3, 5, 6:

a. 0 numeri b. 1 numero c. 2 numeri d. non è possibile stabilirlo e. 6 numeri

Suggerimento: il prodotto di 2,3,5,6, cioè 180 è divisibile per tutti questi numeri, ma vi sono numeri più bassi di 180 divisibili per 2,3,5,6 contemporaneamente? Sì, il loro m.c.m. = 5×6=30. Allora sono divisibili per 2,3,5,6 contemporaneamente tutti i multipli di 30 che non superino 200: 30, 60, 90, 120, 150, 180. 3) Numeri primi, primi fra loro, mcm, MCD Un numero maggiore di 1 si dice primo se è divisibile solo per i divisori banali (1 e se stesso) N.B.1: 1 non è primo Sono primi: 2, 3, 5, 7, 11, ... N.B.2: l’unico numero primo pari è 2. Tutti gli altri infiniti numeri primi sono dispari. Due numeri si dicono primi fra loro se non hanno divisori comuni, oltre all’1. Si chiama massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali il più grande numero che divide senza resto tutti i numeri dati. N.B.: dati due o più numeri, guardare sempre se il più piccolo tra loro è divisore degli altri. Allora quello sarà il MCD. In caso contrario si può determinare il MCD scomponendo i numeri dati in fattori primi e considerando il prodotto dei soli fattori comuni, presi con il minimo esponente. Si chiama minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali il più piccolo numero che sia multiplo di tutti i numeri dati.

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N.B.: dati due o più numeri, guardare sempre se il più grande tra loro è multiplo degli altri. Allora quello sarà il mcm. In caso contrario si può determinare il mcm scomponendo i numeri dati in fattori primi e considerando il prodotto dei tutti i fattori, senza ripetizioni, presi con il massimo esponente. Se a e b sono primi, allora sono anche primi fra loro. Non è vero il viceversa. Se a e b sono primi fra loro, allora MCD(a, b) = 1, mcm(a, b)=a×b Es.: il mcm tra 4, 10, 18, 25 è:

a. 270 b. 180 c. 18000 d. 450 e. 900

Suggerimento: 25 non è multiplo degli altri. Allora scomponiamo in fattori primi: 4 = 22 10 = 21×51 18 = 21×32 25= 52 mcm = 22×32×52=… Es. il MCD e il mcm tra 6, 20, 30, 60 valgono rispettivamente:

a. 6; 120 b. 2; 60 c. 2; 180 d. 6; 30 e. 3; 150

Suggerimento: il più piccolo, 6, non è divisore di tutti gli altri; pertanto 6 non può essere il MCD. Rimangono le alternative b, c, e. Anche 3 non è divisore di 20 e non può allora essere MCD. Rimangono solo b e c. Guardo ora il più grande fra i numeri dati: 60 è multiplo di tutti gli altri? Allora è il mcm. Risposta b. Osservazione: in questo caso si sarebbe ottenuta prima la risposta cercando il mcm prima del MCD. Ma è solo un caso particolare, non una regola generale!

4) Potenze e proprietà delle potenze Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza di base a ed esponente n il numero an così definito: se n > 1: an = a×a×…×a (n fattori) se n = 1: a1 = a

se n = 0: a0 = 1 (a patto che a≠0) 00 = ? può dare qualunque risultato; si dice che è una forma indeterminata.

Se l’esponente è un intero negativo: n

n

n

aaa

11 =

=− (in pratica, ogni volta che un fattore “sale o

scende” di “un piano” nella frazione, il suo esponente cambia segno)

Se l’esponente è una frazione: D ND

N

aa = , cioè il denominatore D si può tradurre in un radicale di

indice D.

PROPRIETÀ DELLE POTENZE:

nmnm aaa +=⋅ STESSA BASE

nmnm aaa −=: o anche: nm

n

m

aa

a −= STESSA BASE

( )mmm baba ⋅=⋅ STESSO ESPONENTE

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( )mmm baba :: = o anche m

m

m

b

a

b

a

= STESSO ESPONENTE

( ) nmnm aa ⋅= POTENZA DI POTENZA

N.B.: le proprietà valgono anche se lette da destra verso sinistra.

Es.: l’espressione ( )032 10301020 ⋅+⋅ vale:

a. 51050 ⋅

b. 61050 ⋅

c. 51060 ⋅ d. 1 e. nessuna delle precedenti

Es. l’espressione 3 16 vale:

a. 23/4 b. 41/3 c. 24/3 d. 43/2 e. 22/3

Es. l’espressione

=

−−−−2

1

2

1

2

322

1

/ bababay

vale: a. b-1/2 b. a-1/2 c. b d. a e. ab

Es. un numero negativo con esponente dispari è:

a. positivo b. negativo c. nullo d. sempre uguale a 1 e. non si può calcolare

Es. l’espressione 1/(0,3)2 vale:

a. 10/9 b. 9/100 c. 100/9 d. 0,009 e. nessuno dei precedenti

Es.: il rapporto 3-2/(5-4×32) equivale a:

a. (3/5)-1 b. 34×5-4

c. 15-1 d. 3-4×54 e. 15

Es.: calcolare l’espressione ( ) 32

1

102,0

55

1

⋅

+ −

:

a. 5 b. 1 c. 55 d. 0,01 e. 0

Es.: la decimillesima parte di 100030 è:

a. 100030/10000 b. (1000/10000)30 c. 100013 d. 1097 e. 10043

Es.: calcolare il valore di x per cui 37x = 1:

a. 0 b. 1/7 c. 3 d. -1 e. 7/2

Es.: il valore di ( ) 525/12/5 43222 −−+ è:

a. 227/10 b. 0 c. 237/10

d. 2 2 e. 2

Es. l’espressione ( )[ ]002 1−a , con a numero

reale: a. vale 0 b. vale 1 c. vale -1 d. è indeterminata solo se a è diverso da

0 e. è indeterminata per ogni valore di a

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5) Operazioni fra potenze di 10:

Es.: il prodotto 23 103109 −− ⋅×⋅ vale:

a. 6103 −⋅

b. 61027 −⋅ c. 0,3

d. 51027 −⋅

e. 11027 −⋅

Es. il prodotto fra 2103 −⋅ e 4108 −⋅ è un numero:

a. circa uguale a 2103 −⋅ b. compreso fra il minore ed il maggiore

dei due c. maggiore di entrambi d. minore di entrambi e. nessuna delle risposte precedenti

6) Scrittura polinomiale dei numeri in base 10:

Es.: l’espressione 2310 103107105104 ⋅+⋅+⋅+⋅ vale: a. 735 b. 4573 c. 4735 d. 4537 e. 7354

7) Traduzione in simboli Alcuni quesiti giocano sulla capacità di tradurre in simboli algebrici semplici termini o locuzioni: - “il doppio di a” = 2a - “il quadrato di a” = a2 - “la metà di a” = a/2 - “il triplo di a” = 3° - “il cubo di a” = a3 - “la terza parte di a” = a/3 - “il rapporto (quoziente) fra a e b” = a/b - “l’opposto di a” = -a - “il reciproco di a” = 1/a - “numero pari” = 2n - “numero dispari” = 2n+1 o 2n – 1 o 2n +3 ecc. - “il successivo di n” = n + 1 Es.: siano a, b, c numeri naturali non nulli. Se a è la metà del quadrato di b e c è il triplo del cubo b, qual è il rapporto fra il cubo di a e il quadrato di c?

a. 1/72 b. 8/9 c. 9/8 d. 72 e. 1/18

Es.: se il rapporto tra a e il successivo di b è uguale al doppio del reciproco di x, il valore di x è: a. ab /12 +

b. a

b 12 +

c. ( )12 +ba

d. ( )a

b 12 +

e. a

b 1+

Es. quale fra le seguenti espressioni rappresenta il triplo del successivo del quadrato di un numero naturale n?

a. 3(n2 + 1) b. 3(n + 1)2 c. 3n2 +1 d. (3n + 1)2 e. [3(n + 1)]2

6) I numeri razionali Q è l’insieme di tutti quei numeri positivi o negativi, detti numeri razionali, che possono essere scritti sotto forma di frazione (sono dette equivalenti quelle frazioni che, semplificate diventano

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uguali fra loro; un gruppo di frazioni equivalenti forma un numero razionale) o che possono essere scritti sotto forma di numero decimale illimitato1 periodico. N.B.: anche i numeri decimali limitati rientrano fra gli illimitati periodici; per esempio, 0,57 può

essere visto come 0,57000000…, cioè come 057,0 .

N.B.: talvolta il periodo di un numero decimale è scritto fra parentesi tonde: 057,0 = 0,57(0)

Cosa si deve sapere su Q:

• come svolgere le operazioni con le frazioni

• fra due numeri razionali, per quanto vicini essi siano, ve ne sono infiniti altri (Q è denso)

• frazioni generatrici: come risalire da un numero in forma decimale alla corrispondente frazione che lo genera:

o se il numero è decimale limitato: scrivo una frazione che ha: � per numeratore il numero decimale senza la virgola e senza lo/gli

eventuale/i zero/i iniziale/i � per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre a destra della

virgola � Es.: 0,0387 = 387/10000; 113,25 = 11325/100

o se il numero è decimale illimitato periodico: scrivo una frazione che ha: � per numeratore il numero decimale senza la virgola e senza lo/gli

eventuale/i zero/i iniziale/i meno la parte di numero che sta a sinistra del periodo

� per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (parte del numero compresa fra la virgola ed il periodo)

� Es.: 8703,0 = 9900

3387 −

Es.: Il numero 0,0(3):

a. non è razionale b. è uguale a 3/9 c. è uguale a 1/3 d. è uguale a 3/99 e. è uguale a 1/30

Suggerimento: il numeratore della frazione che lo genera sarà 3 – 0; il denominatore sarà costituito da un solo 9 (poiché il periodo di 0,0(3) è di una cifra), seguito da un solo 0 (poiché l’antiperiodo di 0,0(3) è di una cifra) . Quindi 3/90, cioè… 7) Proporzioni Quattro numeri a, b, c, d con b e d diversi da zero sono in proporzione se il rapporto fra i primi due è uguale al rapporto fra gli ultimi due e si scrive:

a : b = c : d

a e d sono i termini estremi della proporzione b e c sono i termini medi della proporzione Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Questa proprietà trasforma una proporzione in una semplice equazione.

1 Con un numero infinito di cifre a destra della virgola.

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Se in una proporzione i due termini medi sono uguali, il termine ripetuto si chiama medio/a proporzionale. Es.: Si consideri la proporzione

48:2:3

1 =x ; x vale:

a. 3 b. 1/3 c. 1/2 d. 1 e. 2

Suggerimento: dalla proprietà fondamentale

si ha che 3

482 =x , cioè

3

482 =x , da cui

2x = 4 e quindi … Es.: la media proporzionale tra 4 e 6 vale:

a. 241/2 b. 2/3

c. 3/2 d. 1/24 e. 5

Suggerimento: trovare la media proporzionale significa impostare una proporzione con termine medio incognito ripetuto: 4:x=x:6; per la proprietà fondamentale, x2 = 24, da cui… Es.: calcolare il valore di x nella proporzione: 10-2:x=10-4:103:

a. 103 b. 104 c. 10-4 d. 10-5 e. 105

8) Proporzionalità diretta e inversa Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto rimane costante:

kx

y=

o anche kxy =

Rappresentata nel piano cartesiano xOy, si ottiene come grafico una retta obliqua che passa per l’origine O(0,0). Due grandezze variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto rimane costante:

kyx =⋅

o anche

x

ky =

Rappresentata nel piano cartesiano xOy, si ottiene come grafico un ramo di iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Es.: due grandezze x e y legate dalla relazione y = -5x:

a. hanno sempre lo stesso segno b. sono solo confrontabili in modo qualitativo c. sono direttamente proporzionali tra loro d. non hanno alcuna relazione di proporzionalità e. sono inversamente proporzionali tra loro

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Es. 237: suggerimento: A = bh; essendo la base costante, A = kh o anche kh

A = ; dunque A e h sono

direttamente proporzionali ed il grafico corrispondente è una retta obliqua che passa per l’origine. Es.: 440: suggerimento: si sa che x = ky2 e y = h/z. Dunque, sostituendo h/z al posto di y nella prima equazione, si ha: x = (kh2)/z2, dove (kh2) è una costante che potremmo chiamare m; allora si ha che x = m/z2. Pertanto x è inversamente proporzionale al quadrato di z. 9) Percentuali

a) 30% di 1400 significa: 100

30 di 1400, cioè 42014301400

100

30 =⋅=⋅ .

b) 5 che percentuale è di 245? Imposto la proporzione: 5 : 245 = x : 100

e trovo %04,2245

1005 =⋅=x . Cioè 5 è circa il 2% di 245.

c) 5 è il 7% di quale numero? Posso tradurre la domanda così:

x⋅=100

75 (oppure con la proporzione 5 : x = 7 : 100)

e trovo che x è 71,4. Es.: il 5% del 10% di un numero è 1; qual è il numero?

a. 200 b. 300 c. 400 d. 450 e. 500

Suggerimento: rientra nella tipologia c): x⋅⋅=100

10

100

51 , cioè, semplificando, 1

200

1 =x , da cui…

Es.: se su un prezzo si pratica uno sconto del 20% e, sul nuovo prezzo così ottenuto si applica un nuovo sconto del 30%, quanto vale in percentuale lo sconto sul prezzo iniziale?

a. 60% b. 50% c. 56% d. 44% e. 10%

Suggerimento: detto P il prezzo iniziale, il prezzo dopo il primo sconto è PPP100

80

100

20 =− . Ora su

tale nuovo prezzo si applica uno sconto del 30%; il nuovo prezzo scontato sarà allora

PPPPP100

56

100

24

100

80

100

80

100

30

100

80 =−=⋅− . È allora come se su P si fosse fatto uno sconto del

44%. Per chi non ama il calcolo letterale: se il prezzo iniziale fosse 100, dopo il primo sconto del

20%, il prezzo sarebbe 80 e dopo lo sconto del 30% scenderebbe a (80 - 24), cioè 56; lo sconto

totale è di 44 su 100, cioè del 44%.

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Es.: una barra di cioccolato A è lunga 8 quadratini e la barra B supera A del 60% di se stessa. Quanto è lunga B?

a. 10 b. 12 c. 14 d. 18 e. 20

Suggerimento: B = A+ B100

60, cioè AB =

100

40 e quindi 208

4

10

4

10 =⋅== AB

Es.: se si aumenta la lunghezza della base di un rettangolo del 40% e quella dell’altezza del 10%, l’area aumenta del:

a. 54% b. 400% c. 25% d. 30% e. 50%

Suggerimento: l’area iniziale è bh. L’area nuova sarà bhhb100

154

100

110

100

140 =⋅ . L’aumento dell’area è

quindi del… 10) Numeri reali Si dicono irrazionali quei numeri che non sono esprimibili mediante alcuna frazione di Q; in modo equivalente, sono irrazionali i numeri che, scritti in forma decimale, sono illimitati e non periodici. Sono esempi di numeri irrazionali le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti o le radici cubiche di numeri che non sono cubi perfetti, ecc. Ma le radici non esauriscono i numeri

irrazionali. Sono per esempio irrazionali anche numeri come π o e. L’unione dell’insieme degli irrazionali con l’insieme Q dei numeri razionali viene detto insieme R dei numeri reali. Quindi l’insieme R dei reali contiene, oltre a tutti gli insiemi numerici già visti (N, Z, Q) anche i numeri irrazionali. In R, così come negli altri insiemi numerici esaminati, vale la cosiddetta legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due numeri vale 0 se e solo se l’uno o l’altro dei due numeri è 0. Useremo tale legge per la risoluzione di equazioni di grado superiore al primo. Dato un numero naturale n diverso da 0 e un numero reale a non negativo, la radice aritmetica n-esima di a è quel numero non negativo b, la cui potenza con esponente n è uguale ad a.

abba nn =⇔=

Il numero n è detto indice della radice Il numero a è detto radicando.

Il numero n a è detto radicale aritmetico.

N.B.: per convenzione, l’indice 2 viene sottointeso, cioè a significa 2 a .

N.B.: poiché il risultato di n a deve essere un numero non negativo, dire che xx =2 2 sarebbe

sbagliato, dal momento che non sappiamo che segno abbia il numero indicato con x. In casi come

questo dobbiamo scrivere xx =2 2 (le barrette indicano il valore assoluto di x, cioè il valore di x

assunto senza segno (e quindi positivizzato)).

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Es.: Riconosci il numero irrazionale:

a. 4 b. 5,3(6) c. 1/7

d. 3 9

e. 4

25

Es.: La radice quinta di 32 è:

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

Suggerimento: fra i numeri proposti, cercare quello che, elevato alla quinta, dà 32. Es.: se a è un numero positivo, allora (-a)0,25 è sicuramente un numero:

a. uguale a 1 b. non reale c. uguale a 1/25 di a d. in tutti i casi intero e. in tutti i casi nullo

Suggerimento: ( ) ( ) 44

125,0 aaa −=−=− , che

non esiste in R, considerata la definizione di radicale aritmetico, che richiede un radicando non negativo.

Es.: Quale dei valori riportati costituisce la

migliore approssimazione di 36123456 ?

a. 60 b. 600 c. 6000 d. 36123,456 e. 18061728

Suggerimento: 36123456 è circa 36.000.000, la cui radice è 6.000. Quindi… Es.: Quale dei valori riportati costituisce la

migliore approssimazione di 2

51 +?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

Suggerimento: la radice di 5 è circa 2,2. Quindi la frazione vale (1+2,2):2 = 3,2 : 2 = 1,6. Il valore più vicino a 1,6 è …

Per chi non sa che 2,25 ≈ , si può dire: 5

è poco più di 2; quindi 5 + 1 è poco più di 3;

allora 1,5di più poco3di più poco ==+

22

51. Il

numero più vicino è 2.

Proprietà invariantiva dei radicali: Pn Pmn m aa • •= , se p ≠0.

Prodotto e divisione di radicali: se due radicali hanno lo stesso indice, le due radici possono essere

“unificate” in una sola: nnn baba ⋅=⋅ e nn

n

b

a

b

a = .

Se non hanno lo stesso indice, possono essere ricondotti allo stesso indice (mcm dei due indici)

mediante la proprietà invariantiva: 6 a e 8 b diventano, senza variare, 24 4a e 24 6b

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice: un fattore del radicando può essere trasportato fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è maggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattore esterno avrà per esponente il quoziente della divisione m : n, quello interno ha per esponente il resto r della divisione.

Esempio 1: 3 214 75 ⋅ . Solo il fattore 514 può uscire perché ha l’esponente sufficientemente

elevato. Poiché 14 : 3 = 4 con il resto di 2, 3 2243 214 75575 ⋅⋅=⋅ .

Esempio 2: 2 2yx . Il fattore x2 può uscire, ma sarebbe sbagliato trasformarlo in 2 yx ⋅ , dal

momento che 2 2yx è sicuramente non negativo, mentre 2 yx ⋅ ha un segno che dipende da

12

quello di x e quindi potrebbe anche essere negativo. Per tutelarsi dall’eventuale negatività di x,

dobbiamo scrivere 22 2 yxyx ⋅= .

Potenza di un radicale: ( ) n pmp

n m aa ⋅=

Radice di radice: mnn m aa ⋅=

Razionalizzazione del denominatore di un radicale: significa ottenere una frazione equivalente a quella assegnata, ma con il denominatore non irrazionale (dobbiamo far sparire le radici dal denominatore). La tecnica per razionalizzare consiste sempre nel moltiplicare numeratore e denominatore per un’espressione (detta fattore razionalizzante) variabile a seconda dei casi:

Frazione da razionalizzare

Fattore razionalizzante

b

a b

bc

a b

cb

a

± cb m

cb

a

± cb m

Radicali doppi: il radicale doppio ba ± può essere trasformato in somma algebrica di due

radicali semplici solo se a2 – b è un quadrato perfetto, con radice uguale a c; allora:

22

cacaba

−±+=±

Esempio: 53 − . 4592 =−=− ba è un quadrato perfetto con radice c = 2.

Allora 2

1

2

5

2

23

2

2353 −=−−+=−

Somma di radicali simili: si dicono simili due radicali con stesso indice e stesso radicando. La somma di radicali è eseguibile solo se essi sono simili: si ottiene un radicale simile ai precedenti, avente per coefficiente la somma dei rispettivi coefficienti.

Es.: 33 è uguale a:

a. 4 73

b. 10 330

c. 8 123

d. 10 303

e. 332 ⋅

Es.: L’espressione 3 32 ⋅ vale:

a. 6 3

b. 5 63

c. 6 72

d. 6 9

e. 6 53

Es.: Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice, è un radicale avente per radicando il quoziente e per indice:

a. il prodotto degli indici b. la somma degli indici c. il quoziente degli indici d. lo stesso indice e. nessuna delle risposte precedenti

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Es.: L’espressione 83 ⋅ è equivalente alla:

a. 83 −

b. 26

c. 62

d. 32

e. 83 +

Es.: 328 + è uguale a:

a. 26

b. 40

c. 328 ⋅

d. 20

e. 44

Es.: 32

32

−+

vale:

a. 347 +

b. 347 −−

c. 2

332 +

d. 347 −

e. 2

347 −

Es.: 137 − vale:

a. 137 −

b. 137 −

c. 2

67

2

67 −−+

d. non si può semplificare e. nessuna delle risposte precedenti

Es.: L’equazione 317 =++ x ha

soluzione: a. 0 b. 1

c. 2 d. 3 e. 4

Suggerimento: conviene, come nella maggior parte dei casi in cui sono proposte soluzioni di equazioni, sostituire i valori proposti al posto della x e vedere se l’uguaglianza è corretta.

Es.: La somma di due numeri reali vale 23 e il loro prodotto vale -8; i due numeri sono:

a. 23 e 2

b. 22 e 22−

c. 26 e 23−

d. 24 e 2−

e. 2 e - 23

Es.: L’espressione 3 3 vale:

a. 9

b. 6 3

c. 5 3

d. 3 3

e. 4 3

Es.: L’espressione n ba + vale:

a. nn ba +

b. nn ba +

c. nn ba ⋅

d. ( )nba +/1

e. nessuna delle risposte precedenti

Es.: L’espressione ( )[ ]33 027,01,0 + vale:

a. 0,03 b. 0,1 c. 0,003 d. 0,5 e. 0,301

11) Successioni e progressioni Si dice successione una sequenza ordinata di numeri reali a0, a1, a2, a3, a4, … Il pedice numerico indica quale posizione è occupata, nella sequenza, dal numero reale. Una successione può essere definita:

• mediante una formula chiusa, che dica come costruire l’n-simo termine della successione:

14

o es.: 2

1+= nan definisce la successione: 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3,…

o es.: nn na = definisce la successione: 1, 4, 27, 256,…

• mediante una formula ricorsiva, che dica quanto valgono i primi termini e spieghi come costruire l’n-simo termine della successione a partire dai precedenti termini:

o es.: ( ) 1,1 210 +== −nn aaa definisce la successione: 1, 2, 5, 26, 677,…

o es.: 2110 ,1,1 −− +=== nnn aaaaa definisce la celebre successione di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. Alcune successioni costruite in modo particolare vengono chiamate progressioni. Si dice che una successione di numeri forma una progressione aritmetica (p.a.) se la differenza fra due termini consecutivi an – an-1 è sempre costante. Il valore d di questa differenza è detto ragione della progressione aritmetica. Elemento generico di una p.a.: an = a1 + (n-1)d an = ap + (n-p)d

Somma dei primi n termini di una p. a.: Sn = naa n

21 +

In particolare, se d = 1, la progressione aritmetica diventa la sequenza dei numeri naturali e Sn indica la somma di tutti i numeri naturali da 1 fino ad n. Adattando la formula precedente con a1 =

1 e an = n, si ottiene che 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ( )2

1+nn.

Si dice che una successione di numeri forma una progressione geometrica (p.g.) se il quoziente fra due termini consecutivi an/an-1 è sempre costante. Il valore q di questo quoziente è detto ragione della progressione geometrica.

Elemento generico di una p.g.: an = 11

−⋅ nqa

an = pnp qa −⋅

Somma dei primi n termini di una p.g. con primo termine a1 e ragione q : Sn = q

qa

n

−−

⋅1

11

Es.: Data la sequenza di numeri 1, 3, 7, 8, 13, 13, 19, 18, 25, 23, 31, 28,… qual è il termine successivo?

a. 30 b. 32 c. 34 d. 36 e. 37

Suggerimento: la successione contiene una p.a. con primo termine 1 e ragione 6 (1, 7, 13, 19, 25, 31,…), alternata con una p.a. con primo termine 3 e ragione 5 (3, 8, 13, 18, 23, 28,…). Il termine mancante è il successivo termine della prima progressione, cioè… Es.: i lati di un quadrilatero sono in p.a. e l’ultimo è il triplo del primo. Le misure dei quattro lati sono:

a. 2, 3, 4, 6 b. 2, 10/3, 14/3, 6

c. 1, 2, 3, 4 d. 10, 17, 24, 30 e. non è possibile che esista un

quadrilatero soddisfacente queste condizioni

15

Es.: la somma di 300 numeri naturali consecutivi, di cui il primo è 100, è pari a:

a. 79800 b. 74850 c. 60000 d. 75000 e. 78800

Es. In una p.g. il primo termine è 4 ed il quarto è 0,5. Il quinto valore è:

a. 0,125 b. 0,25

c. 1 d. 0 e. 0,1

Es.: Quanti sono i termini di una p.g. di ragione 3, con primo termine 2 e ultimo 1458?

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

12) Problemi di ordine e confronto fra numeri reali Che cosa c’è da sapere:

• un numero positivo è sempre più grande di un negativo

• un numero negativo con modulo maggiore è più piccolo di un numero negativo con modulo minore: -7 < -0,1

• se a < b, allora facendone le loro potenze (con ugual esponente positivo), esse si mantengono nello stesso ordine: a2 < b2, a3 < b3, ecc.

• se a < b, allora facendone le loro radici (con ugual indice), esse si mantengono nello stesso

ordine: ba < , 33 ba < ecc.

• se a < b, allora facendone i rispettivi reciproci, essi invertono l’ordine: 1/b < 1/a

• se a < b, allora moltiplicando ambo i membri per un numero c positivo, essi rimangono nello stesso ordine, se invece c è negativo, l’ordine si inverte: ac < bc se c>0, mentre ac > bc se c<0.

• se a < b e b < c, allora a < c (proprietà transitiva)

• in generale, elevare un numero positivo ad un esponente intero positivo fa sì che si ottenga un numero maggiore di quello di partenza, ma solo se la base è maggiore di 1; in caso contrario, l’elevamento a potenza dà un risultato inferiore rispetto al numero di partenza:

se a > 1 allora a2 > a

se 0 < a < 1 allora a2 < a

• in generale, estrarre la radice di un numero positivo fa sì che si ottenga un numero minore di quello di partenza, ma solo se esso è maggiore di 1; in caso contrario, la radice dà un risultato superiore rispetto al numero di partenza (meglio: compreso fra a e 1):

se a > 1 allora a < a

se 0 < a < 1 allora a > a (meglio: 1a <<a )

• in generale, il reciproco di un numero positivo è un numero minore di quello di partenza, ma solo se il numero di partenza è maggiore di 1; in caso contrario, il reciproco risulta superiore rispetto al numero di partenza:

se a > 1 allora 1/a < a

se 0 < a < 1 allora 1/a > a

16

Es.: disporre in ordine crescente a = - 1/3, b = -0,4, c = 0,001 a. c;a;b b. b;a;c c. a;b;c d. c;b;a e. a;c;b Es.: se per ipotesi si ha 0<x<y<1, allora:

a. y2 > y b. y2 < x c. x1/2 > x d. xy>x e. 1/x < 1/y

Es.: Elevando al quadrato un numero reale negativo, in valore assoluto minore di 1, si ottiene un numero:

a. uguale a -1; b. positivo e in valore assoluto maggiore

di 1 c. negativo e in valore assoluto

maggiore di 1 d. negativo e in valore assoluto minore

di 1 e. positivo e in valore assoluto minore di

1 Es.: Se x è un numero positivo, la disuguaglianza 1/x > x è verificata:

a. sempre b. mai c. solo per x> 1 d. solo per 0< x <1

e. solo se x è un numero primo Es.: se a, ,b, c, sono tre numeri reali positivi e a > b, b = c, c = 3d, allora:

a. a>d b. d<a/3 c. a=d d. a<3d e. a=3d

Es.: quale fra i seguenti numeri è il più piccolo?

a. 10-4

b. 10000

c. (0,0001)1/2 d. (0,0001)-1/2 e. 0,1

Es.: disporre in ordine crescente -9/5, 1,5 e 4/3: a. 4/3; 1,5; -9/5 b. -9/5; 4/3; 1,5 c. -9/5; 1,5; 4/3 d. 1,5; 4/3; -9/5 e. 1,5; -9/5; 4/3 Es.: disporre in ordine decrescente a = 1/5, b = 5-3, c = 0,05, d = 0,0(5), e = 51/2: a. a, b, c, d, e b. e, a, d, c, b c. e, d, a, c, b d. e, a, c, d, b e. e, a, d, b, c

13) Problemi vari Es.: Compro un oggetto a 1500 lire e lo vendo a 3000 lire; lo ricompro a 1800 e lo rivendo a 4000 lire. Quante lire guadagno?

a. 0 b. 1200 c. 1500 d. 2700 e. 3700

Suggerimento: sommo i ricavi e sottraggo i due costi…

Es.: In un gruppo di 200 persone, 130 sanno giocare a calcio, 100 sanno giocare a briscola, 25 non sanno giocare né a calcio né a briscola. Quante persone sanno giocare sia a calcio che a briscola?

a. mancano dati per rispondere b. il problema è impossibile c. 10 d. 55 e. 60

17

Es.: un’azienda sostiene un costo mensile di 270.000 euro; il costo di produzione di un singolo articolo è di 4 euro; ogni articolo è venduto sul mercato a 10 euro. Detto y il guadagno netto, x il numero di articoli prodotti in un giorno, individuare la relazione fra y e x:

a. y = -9000 + 10x b. y = -270.000 + 6x c. y = 270.000 + 6/x d. y = 9000 + 6/x e. y = -9000 + 6x

Es.: una procedura iterativa consiste nel dividere una lunghezza in 4 parti uguali, eliminare la prima, accantonare la seconda e la terza, usare la quarta per il ciclo successivo. Qual è il rapporto fra accantonato ed eliminato dopo 3 iterazioni?

a. 1 b. 1/4 c. 1/64 d. 2 e. 64

Es.: L’1/1/1997 era domenica; che giorno della settimana è stato l’1/1/2002?

a. sabato b. domenica c. lunedì d. martedì e. mercoledì

Suggerimento: si tratta di un periodo di 5 anni, di cui uno solo bisestile. In tutto 365×5 + 1 = 1826 giorni, che corrispondono a 260 settimane e 6 giorni. Quindi il giorno richiesto sarà sabato. Es.: Quali numeri reali sono tali che “aumentati di un loro terzo sono minori della loro metà”?

a. tutti quelli minori di 1 b. tutti quelli minori di 0 c. solo quelli compresi fra -1 e 0 d. tutti quelli minori di -1 e. non esistono numeri con tale

proprietà

14) Monomi Monomio = ogni espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni o divisioni, ma solo moltiplicazioni (e potenze). Si considerano monomi anche i singoli numeri. Esempio: -2/7 è un monomio; b è un monomio; 3a2bc è un monomio; 3a + 2b non è un monomio.

18

Operazioni con i monomi:

• ADDIZIONE/SOTTRAZIONE: si può eseguire solo se i monomi sono simili; dà come risultato un monomio con la stessa parte letterale e avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti: 3a + 2a = (3 + 2)a = 5a.

• MOLTIPLICAZIONE/DIVISIONE: si ottiene un monomio che ha per coefficiente il prodotto/quoziente dei coefficienti e per parte letterale il prodotto/quoziente delle parti letterali eseguito tenendo conto delle proprietà delle potenze (ogni lettera del prodotto/quoziente avrà per esponente la somma/differenza degli esponenti con cui essa compare nei singoli fattori)

• MCD tra monomi: è ogni monomio la cui parte letterale è formata da tutte le lettere comuni, prese ciascuna una sola volta con il proprio esponente minore.

• mcm tra monomi: è ogni monomio la cui parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni, prese ciascuna una sola volta con il proprio esponente maggiore

N.B.: i coefficienti di mcm e MCD fra monomi si calcolano come visto per i numeri naturali, determinando mcm e MCD dei singoli coefficienti. Se anche solo uno dei coefficienti è frazionario, il coefficiente di mcm e MCD si omette; non si usa scrivere segni “meno” davanti a mcm e MCD.

Es.: stabilire per quale coppia di monomi si può eseguire la somma:

a. xyz3, 3x2yz2 b. 3a, 3b

c. xyz3, 3xyz3 d. xy2, x2y e. abc, 1

19

Es.: il quoziente fra i monomi -6xy7z e +(2/3)xy3z-2 risulta:

a. non si può eseguire b. 9y4z-1 c. -9y4z-1 d. -9y4z3 e. 9y4z3

Es.: l’espressione (3x3)2 - (4y)3 vale:

a. 9x9 – 64y3 b. 9x6 + 12y3

c. 9x6 – 64y3 d. 9x3 – 64y3 e. 9x5 – 64y3

Es.: il MCD e il mcm dei monomi 3xy, 15x2y3z, 5x4y4zt sono:

a. 1, 15x2y3z b. xy, 15x4y2 c. xy, 15x4y4zt d. 10xy, 15x4y4zt e. 10xy, 15x4y2

20

15) POLINOMI

PRODOTTI NOTEVOLI: Si tratta di alcuni particolari prodotti fra polinomi, che devono essere “notati” (come dice il nome), poiché possono essere svolti più brevemente rispetto all’applicazione della proprietà distributiva.

Prodotto fra una somma e una differenza Differenza di quadrati ( )( )baba −+ 22 ba − Quadrato di binomio Sviluppo del quadrato di binomio

( )2ba ± 22 2 baba +±

Quadrato di trinomio Sviluppo del quadrato di trinomio

( )2cba ++ bcacabcba 222222 +++++

Cubo di binomio Sviluppo del cubo di binomio

( )3ba ± 3223 33 babbaa ±+±

Prodotto di un binomio per il suo falso quadrato

Somma o differenza fra cubi

( )( )22 bababa +± m 33 ba ±

21

Teorema del resto: se si divide un polinomio P(x) per un binomio del tipo x – c, per conoscere il resto non è necessario svolgere la divisione, ma basta calcolare P(c), cioè basta sostituire il valore di c (c è l’opposto del termine noto del binomio (x – c)) al posto di x nel polinomio. Es.: l’affermazione: la somma di due

monomi è un binomio è: a. sempre vera b. sempre falsa c. talvolta vera, talvolta falsa d. vera, se i due monomi sono simili e. nessuna delle risposte precedenti

Es.: Il grado del polinomio 53ab4y + 6a2b3y3 è:

a. 3 b. 4 c. 7 d. 8 e. 9

Es.: (2a – 2b)2 equivale a:

a. 4a2 – 4b2 b. 4a2 + 4b2 – 8ab c. 4a2 - 8b2 + 8ab d. 4a2 - 8b2 - 8ab e. 4a2 + 4b2

Es.: l’espressione yxxyx 2−+ è il

quadrato di:

a. yx −

b. xyx +

c. x+y

d. xyx −

e. yx 2+

Es.: l’espressione an – bn è divisibile per (a + b):

a. mai b. sempre c. solo se n è pari d. solo se n è dispari e. quesito senza soluzione univoca o

corretta Suggerimento: utilizzare il teorema del resto e sostituire l’opposto del termine noto del binomio, -b, al posto di a in an – bn. Si ottiene come resto (-b)n – bn, che vale 0 solo se n è pari. Es. Un quadrato ha lato a; se aumentiamo il lato di 1, l’area del quadrato aumenta di: a. 2a + 1 b. a +1 c. a-1 d. a2 e. 2a - 1

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI PRIMI: RACCOGLIMENTI:

Es.: l’espressione x

yxxyx

3

963 2−+ si può

ridurre a:

a. yxxy 2961 −+

b. xyyx 323 −+

c. xyy 321 −+

d. non è semplificabile e. nessuna delle precedenti

Es.: l’espressione ax+ay-bx-by equivale a:

a. (x+y)(a+b) b. (x-y)(a+b) c. (x-y)(a-b) d. (x+y)(a-b) e. (xy)(a+b)

22

SCOMPOSIZIONI CON PRODOTTI NOTEVOLI:

Es.: L’espressione 944 22 −++ baba può anche scriversi nella forma: a. ( )( ) 922 −−+ baba

b. ( ) 92 2 −− ba

c. ( ) ( )baba ++− 43 2

d. ( )( )9292 −+++ baba

e. ( )( )3232 ++−+ baba

Es. 148: l’espressione ( )( )xyyxxy −−− 222

si può scrivere: a. x3 – y3

b. 33xy

c. ( )3yx +−

d. ( )3yx −

e. quesito senza soluzione univoca o corretta

Es.: stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera:

a. x2 – 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) b. x2 – 5x + 6 = (x - 3)(x + 2) c. x2 – 5x + 6 = (x + 3)(x – 2) d. x2 – 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) e. x2 – 5x + 6 = (x + 1)(x - 6)

Es.: Semplificare 9

32

44

+−−

x

x:

a. 9 – x b. 9 – x2 c. (x – 3)(x + 3) d. 9 + x e. 9 + x2

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Es.: b

a

a+2 è uguale a:

a. ba +

2

b. ab

a+2

c. ab

aba +2

d. ab

ab 22 +

e. ba

ab

++ 22

Es.: 11

1

−−

− a

a

a è uguale a:

a. a

a

−+

1

1

b. 1

c. a

a

−−

1

1

d. 1

1

−−a

a

e. a

a

−+−

1

1

Es.: La frazione yx

xy

+ è uguale a:

a. (x + y)/(xy) b. 1/x + 1/y c. (1/x)(1/y) d. (1/x)/(1/y) e. 1/[(1/x)+(1/y)]

MCD E mcm DI POLINOMI: Es.: il MCD dei polinomi x+y e x2 – y2 è:

a. (x+y)(x-y) b. x+y c. 1 d. x-y e. (x-y)2

23

PROBLEMI CHE COINVOLGONO SCOMPOSIZIONI:

Es.: la disuguaglianza abba 44 22 ≥+ è verificata:

a. sempre b. mai c. solo se a = b = 0 d. solo se a e b sono positivi e. solo se a e b sono negativi

Es.: Sapendo che x – y = 3, quanto vale x2 + y2?

a. 9 b. 9 +2xy c. 9 – 2xy d. non si può dire e. si può dire solo se x e y sono positivi

Es. : x e y sono numeri naturali tali che la loro somma dà un numero a e x è il

successivo di y. Quanto vale 22 yx − ?

a. non si può determinare b. a c. –a

d. 2a+1 e. a2

Suggerimento: scomporre 22 yx − in

( )( ) 1⋅=−+ ayxyx .

Es.: nell’espressione 3223 33 babbaa +++ , sostituendo i valori a = 1/3 e b = 5/3 risulta:

a. 2 b. 3 c. 125 d. 8 e. 27

Es.: siano a, b, c tre numeri positivi. Allora:

a. a2 + b2 + c2 > (a+b+c)2 b. a2 + b2 + c2 < (a+b+c)2 c. a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 d. a2 + b2 + c2 < (a+b) e. non si può stabilire alcuna relazione

tra i tre numeri

16) STATISTICA Frequenze:

• frequenza assoluta (o frequenza): numero di volte con cui una determinata modalità compare in una rilevazione statistica

• frequenza relativa: rapporto fra la frequenza assoluta di una certa modalità e numero di

individui su cui si è fatta la rilevazione: N

ff ar = . È sempre un numero fra 0 e 1.

• frequenza percentuale: è il valore della fr moltiplicato per 100: 100⋅= rfp

Indici di posizione centrale:

• Media aritmetica = N

modalità delle somma=

N

aaa N+++ ...21 (se alcune modalità sono

negative, vanno prese col loro segno).

• Moda: è la modalità che si presenta con la frequenza assoluta più alta.

• Mediana: se i valori delle modalità sono disposti in ordine crescente (i valori ripetuti vanno presi in considerazione!), la mediana è il valore centrale, se N è dispari, o la media dei due valori centrali, se N è pari

Scarti: Si dicono scarti semplici (o scarti) dalla media le differenze fra le modalità e la loro media. Si dicono scarti assoluti gli scarti semplici presi in valore assoluto.

24

Si dicono scarti quadratici gli scarti semplici elevati al quadrato. Proprietà fondamentale degli scarti semplici: poiché gli scarti semplici possono essere sia positivi che negativi, la somma algebrica di tutti gli scarti semplici è sempre 0. Indici di variabilità:

• Campo di variabilità (o range): differenza fra la modalità massima e quella minima

• Scarto semplice medio: media degli scarti (presi in valore assoluto).

• Scarto quadratico medio: è la radice quadrata della media degli scarti elevati al quadrato. Es.: la moda dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4 è:

a. 7 b. 4 c. 5 d. 3 e. non è calcolabile

Es.: la mediana dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è:

a. 4,5 b. 4 c. 5 d. 3 e. non è calcolabile

Es.: uno studente ha la media del 5,5 in 4 prove; quale voto minimo deve prendere nella verifica successiva per assicurarsi la media del 6?

a. 6 b. 6,5 c. 7 d. 7,5 e. 8

Es.: il campo di variabilità dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è:

a. 8 b. 1 c. 5 d. 7 e. non è calcolabile

17) CALCOLO COMBINATORIO e problemi di conteggio Dn,k = numero delle disposizioni di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n (con nk ≤ ), tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per l’ordine. Non sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo.

( )( )44 344 21

fattori

, ...21k

kn nnnD −−=

25

D’n,k = numero delle disposizioni con ripetizione di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per l’ordine. Sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo.

kkn nD =,'

Pn = numero delle permutazioni di n elementi distinti: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con n elementi, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per l’ordine.

( )( ) !123...21 nnnnPn =⋅⋅−−=

N.B.: 1! = 1, 0! = 1. Cn,k = numero delle combinazioni di k elementi scelti fra n elementi: è il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n (con nk ≤ ), tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti. Non sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo. Non conta l’ordine interno degli elementi.

( )

=

−==

k

n

knk

n

P

DC

k

kn

kn!!

!,

,

Il simbolo

k

n è un sinonimo di Cn,k ed è stato introdotto da Newton nella celebre formula per lo

sviluppo di (a + b)n.

( ) nnnnn ban

nba

nba

nba

nba 022110 ...

210

++

+

+

=+ −− (formula del binomio di Newton)

k

n si legge “n su k” ed è detto coefficiente binomiale.

Es.: Quanti sono i modi distinti di realizzare un poker d’assi (4 assi e 1 carta diversa) scegliendo in un mazzo di 52 carte da gioco?

a. 48 b. 13 c. 4 d. 26 e. quesito senza soluzione univoca o

corretta Es.: per numerare le pagine di un libro sono state usate in totale 3297 cifre; le pagine del libro sono:

a. 3297 b. meno di 100 c. meno di 1000 d. più di 3297 e. più di 1000

Suggerimento: sicuramente meno di 3297. Per le prime nove pagine servono 9 cifre; per le 90 pagine dalla 10 alla 99 servono 180

cifre; per le 900 pagine dalla 100 alla 999 servono 2700 cifre (in tutto 2700 + 180 + 9 = 2889 cifre fino a pag. 999). Quindi le pagine sono meno di 3297, ma più di 1000. Es.: Disponendo delle cifre da 1 a 7, quanti diversi numeri di 3 cifre si possono comporre, accettando le ripetizioni? a. 210 b. 350 c. 73 d. 37 e. infiniti Es.: quanti terne non ordinate si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto? a. 2600 b. 1330 c. 63 d. 213 e. 321

26

Es.: quanti sono i termini dello sviluppo di (a + b)5?

a. 5 b. 25

c. 7 d. 6 e. 25

18) PROBABILITÀ

Probabilità di un evento = possibili casi n

favorevoli casin

°°

.

La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1. Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell’uno impedisce il verificarsi dell’altro. Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi l’altro. Teoremi per il calcolo della probabilità di eventi composti Col connettivo “o”:

( ) ( ) ( )BpApAoBp += se A, B sono incompatibili (o disgiunti)

( ) ( ) ( ) ( )AeBpBpApAoBp −+= se A, B sono compatibili

Col connettivo “e”:

( ) ( ) ( )BpApAeBp ⋅= se A, B sono indipendenti

( ) ( ) ( )ABpApAeBp |⋅= se A, B sono dipendenti

dove ( )ABp | è la probabilità che si verifichi B, sapendo che si è già verificato A.

Col connettivo “non”: ( ) ( )ApnonAp −= 1

Es.: due dadi sono lanciati contemporaneamente. Qual è la probabilità di ottenere un punteggio maggiore di 4?

a. 1/6 b. 5/5 c. 5/6 d. 7/6 e. 4/36

Suggerimento: considerati i 36 casi possibili, i casi favorevoli sono quelli scuri in figura: 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

cioè 30 su 36. Allora la probabilità cercata è 5/6. Es.: da un mazzo di 40 carte se ne estraggono 2; qual è la probabilità che siano due figure, supponendo di non rimettere la prima carta estratta nel mazzo?

a. 144/1296 b. 24/130 c. 11/130 d. 144/1600 e. 9/100

27

Suggerimento: occorre calcolare p(F e F), con F = “la carta estratta è una figura”. Poiché non si rimette la prima carta estratta nel mazzo, la composizione del mazzo risulta variata e pertanto la probabilità del secondo evento F dipende da quanto è avvenuto nella prima estrazione; in altri

termini i due eventi F sono dipendenti. Allora ( ) ( ) ...39

11

40

12|)( =⋅=⋅= FFpFpFeFp

Es.: in un’urna ci sono 50 palline, di cui 20 rosse, 25 gialle, 5 verdi. Prendendo a caso una pallina dall’urna, qual è la probabilità che non sia verde?

a. 5/50 b. 0 c. 1 d. 20/45 e. 9/10

Suggerimento: ( ) ( )50

45

50

511 =−=−= VpnonVp …

Es.: dati tre mazzi di 40 carte ciascuno, qual è la probabilità di estrarre da ognuno di essi, contemporaneamente, l’asso di picche o l’asso di cuori?

a. 1/40 b. 3/20 c. 1/8000 d. 1/16.000 e. 3/40

Suggerimento: sia A1 = “dal mazzo 1 esce l’asso di picche o l’asso di cuori”, e così A2 e A3. Dobbiamo calcolare p(A1 e A2 e A3). Le tre estrazioni sono fra loro indipendenti. Dunque: p(A1 e A2 e A3) = p(A1)p(A2)p(A3)= (1/40 + 1/40) (1/40 + 1/40) (1/40 + 1/40)=(2/40)3= 1/8000. Es.: Luca arriva puntuale al lavoro 3 volte su 5 e, quando è in ritardo, viene scoperto dal suo superiore 1 volta su 4. Qual è la probabilità che Luca venga colto in ritardo dal suo superiore?

a. 3/20 b. 17/20 c. 1/2 d. 1/10 e. 3/10

Suggerimento: R = “Luca arriva in ritardo” e S = “Luca è visto dal suo superiore”. Interessa calcolare

p(R e S)=p(R)p(S|R)= 4

1

5

3 ⋅ …

Es.: una moneta è lanciata 5 volte. Qual è la probabilità di ottenere 3 croci e due teste, sapendo che la prima volta si è ottenuto croce?

a. 1/16 b. 1/8 c. 3/16 d. 5/16 e. 3/8

Suggerimento: poiché la prima volta è uscito croce, occorre che ora escano 2 croci e 2 teste: p(C e C e T e T)=p(C)p(C)p(T)p(T)=(1/2)4=1/16. Ma le due croci e le due teste non necessariamente devono uscire nell’ordine CCTT; potrebbe essere anche che escano nell’ordine CTCT o CTTC o TTCC o TCCT o TCTC. In tutto in 6 possibili ordini. Quindi la probabilità richiesta è 6/16.

28

Es.: supponiamo di avere 2 urne di cui la prima contiene 3 palline rosse e 3 nere, la seconda 5 rosse e 6 nere. Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo una pallina; la probabilità che la pallina estratta sia rossa vale:

a. 8/17 b. 3/6 c. 5/11 d. 21/44 e. 23/44

Suggerimento: p(Rossa) = p[(U1 e Rossa) o (U2 e rossa)] = p(U1 e Rossa) + p(U2 e Rossa) =

...22

5

4

1

11

5

2

1

6

3

2

1 =+=⋅+⋅

Es.: si hanno due dadi con le facce di colori diversi. Ciascun dado ha 3 facce azzurre, 2 marroni e 1 verde. La probabilità che dopo un lancio simultaneo dei due dadi si ottengano facce dello stesso colore è:

a. 7/18 b. 6/36 c. 1/4 d. 1/9 e. 1/36

Suggerimento: p[(A e A) o (M e M) o (V e V)]= p(A e A) + p(M e M) + p(V e V) = p(A)p(A)+ p(M)p(M)+ p(V)p(V)=(3/6)2+(2/6)2+(1/6)2 Es.: in una popolazione la probabilità di essere pittore è 0,03. La probabilità di essere musicista è 0,05. La probabilità di essere pittore e musicista è 0,01. Qual è la probabilità che un individuo preso a caso sia pittore e/o musicista?

a. 7% b. 70% c. 8% d. 80% e. quesito senza soluzione univoca o corretta

Suggerimento: essere pittore ed essere musicista sono eventi compatibili; quindi p(P o M) = p(P) + p(M) – p(P e M) =… 19) Equazioni di 1° grado e sistemi di equazioni 1° grado; disequazioni di 1° grado Ogni equazione di 1° grado è riconducibile alla forma BxA =⋅ . Essa ha un’unica soluzione (si dice

che l’equazione è determinata) se A ≠ 0. Se A = 0 e B = 0, l’equazione ha infinite soluzioni (è

indeterminata); Se A = 0 e B ≠ 0, l’equazione non ha soluzioni (è impossibile). Due equazioni, qualunque sia il loro grado, si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Dato il sistema di equazioni:

=+=+

''' cybxacbyax

esso è

indeterminato se ''' c

c

b

b

a

a ==

29

impossibile se ''' c

c

b

b

a

a ≠=

determinato se '' b

b

a

a ≠

Disequazioni di 1° grado intere: valgono i metodi usati per le equazioni di 1° grado, ma attenzione: quando si moltiplicano/dividono entrambi i membri per un numero negativo, va invertito il verso della disuguaglianza ( > diventa < e viceversa). Es.: il rettangolo della figura ha dimensioni a e b, con a>b. Quanto deve valere x perché l’area del parallelogramma ombreggiato sia uguale all’area della rimanente parte?

a. 2

ba +

b. b/2 c. 2a/b d. ab/2 e. a/2 Suggerimento: occorre che l’area del parallelogrammo, cioè bx ⋅ sia uguale a metà dell’area del

rettangolo, cioè a 2

ab:

2

abbx = , quindi x =…

Es.: Date le equazioni I) 42 =x , II) 2=x , III) 42 =x , sono equivalenti:

a. I e II b. I e III c. II e III d. Nessuna e. Tutte

Es.: il sistema di equazioni 84 += xy e 42

12 −=− yx :

a. è impossibile b. è indeterminato c. ha la sola soluzione (1, 12) d. ha la sola soluzione (0, 8) e. ha la sola soluzione (2, 16)

Suggerimento: le due equazioni si possono portare nella forma canonica: 84 −=− yx e

42

12 −=− yx . Pertanto si vede che

''' c

c

b

b

a

a == ; il sistema è quindi…

Es.: le soluzioni della disequazione ( )( ) ( )( )4321 ++<++ xxxx sono:

a. x<-3 b. x>-3 c. x>-5/2 d. x<-5/2 e. -3<x<5/2

a

b

x

30

20) EQUAZIONI di 2° GRADO Un’equazione di 2° grado si presenta nella forma canonica:

02 =++ cbxax ( 0≠a ) Può capitare che b o c o entrambi valgano zero; l’equazione può assumere allora le seguenti forme:

• se b = 0: 02 =+ cax (l’equazione si dice pura e ha due soluzioni opposte se a e c sono

discordi, cioè a

cx −±=21, ; non ha invece alcuna soluzione reale, ma due soluzioni

immaginarie se a e c sono concordi);

• se 0=c : 02 =+ bxax (l’equazione si dice spuria e ha sempre due soluzioni reali: 01 =x

e a

bx −=2 )

• se b = 0 e 0=c : 02 =ax (l’equazione si dice monomia e ha come unica soluzione x = 0) Se l’equazione invece è completa, può essere risolta, oltre che tramite la scomposizione del trinomio (quadrato di binomio oppure trinomio particolare di 2° grado da scomporre con somma e prodotto), mediante la formula risolutiva:

a

bx

221

∆±−=, ,

dove acb 42 −=∆ è detto discriminante dell’equazione, perché a seconda del suo segno cambia il comportamento dell’equazione per quanto riguarda le soluzioni (o radici):

• se 0>∆ , l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte: 1x e 2x

• se 0=∆ , l’equazione ha 2 soluzioni reali e coincidenti: 1x = 2x

• se 0<∆ , l’equazione non ha soluzioni reali, ma ha due soluzioni complesse e coniugate

1x e 2x (un numero si dice complesso se è della forma iba + , dove a e b sono numeri reali

ed 1−=i è detto unità immaginaria; due numeri complessi della forma iba + e iba − , che differiscono solo per il segno della parte immaginaria, sono detti coniugati).

N.B. se b è un numero pari, si può utilizzare la cosiddetta formula risolutiva ridotta, ottenuta dividendo per 2 il numeratore ed il denominatore della formula precedente:

a

b

x 4221

∆±−=,

(con acb −

=∆ 2

24).

Es.: le soluzioni di 13

1

9

42

=−

+−

−xx

x sono:

a. ±2 b. ±3 c. ±4 d. ±5 e. non esistono

31

Es.: la disequazione 04 2

≤−x

x:

a. è verificata per -2<x<+2 b. è verificata per -2<x<0 o 0<x<+2 c. è verificata per x = ±2

d. è verificata per ogni x≠0 e. è verificata per x<-2 o x>+2

Es.: l’equazione 2202

=−

+−x

x:

a. è impossibile b. è indeterminata c. ammette come soluzioni x = ±2 d. ammette come soluzione solo x = -2

e. è equivalente a 2202

=−x

x

Suggerimento: poiché il numeratore del 1° membro è positivo (una radice quadrata è sempre positiva!) ed è positivo pure il secondo membro, perché l’uguaglianza fra i due membri sia possibile, è necessario che il denominatore –x sia pure positivo e quindi x deve essere negativa. Provando a sostituire -2 nell’equazione, l’uguaglianza è verificata, quindi la risposta giusta deve essere d.

Es.: se 44 =+x

x , quanto vale 3

3 64

xx + ?

a. 14 b. 16 c. 65 d. 18 e. 45

Es.: il sistema

+==+−

243016249 22

yxyxyx :

a. ha infinite soluzioni b. ha due soluzioni distinte c. non ha soluzioni d. ha due soluzioni coincidenti e. ha una sola soluzione

Suggerimento: dalla seconda equazione si ha 3x – 4y = 2, mentre dalla prima (3x – 4y)2=0, e quindi 3x – 4y = 0. Data l’incompatibilità delle due equazioni, il sistema è impossibile. Es.: un numero intero è tale che il suo quadrato supera di 12 il numero stesso. Esso vale:

a. 4 b. -3 c. 4 o -3 d. non esiste un numero siffatto e. nessuna delle altre risposte

32

Es.: l’equazione ( ) 123 2 +−=− ax :

a. non ha soluzioni per ogni valore di a b. ha soluzioni se e solo se a > 1 c. ha soluzioni se e solo se a < 1 d. ha soluzioni se e solo se 1≥a e. nessuna affermazione è vera

Es.: l’equazione 022 =++ CBxAx in uno dei seguenti casi ha sicuramente soluzioni nel campo reale. In quale caso?

a. A>0, B = 0, C<0 b. A<0, B = 0, C<0 c. A>0, B = 0, C>0 d. A>0, B>0, C>0 e. A>0, B<0, C>0

Es.: qual è il valore di m tale che nell’equazione 022 =−+mxx le due soluzioni siano reali e coincidenti?

a. -3 b. 3 c. 0 d. non esiste e. 1

Suggerimento: è necessario che 0=∆ , cioè 082 =+m ; ma ciò è impossibile, perché la somma di due numeri positivi non può dare 0. Quindi non esiste alcun m tale che sia soddisfatta la richiesta del problema. Osservazioni importanti:

1) nel caso in cui l’equazione ammetta due soluzioni reali, è possibile trovare i valori della loro somma e del loro prodotto, senza risolvere l’equazione; infatti:

a

bxxs −=+= 21

a

cxxp =⋅= 21

Es.: qual è il valore di m tale che nell’equazione 022 =−+mxx la somma delle soluzioni valga 3?

a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. non esiste

Suggerimento: sappiamo che la somma delle soluzioni è mm

a

bxxs −=−=−=+=

121 . Poiché

deve essere s = 3, allora sarà –m = 3, cioè m = -3.

33

Es.: se l’equazione 02 =++ nmxx ha come radici 1 e 5, quanto vale il suo discriminante? a. 10 b. 12 c. 25 d. 16 e. 36

Suggerimento: se le soluzioni sono 1 e 5, allora s = 6 e p = 5. Ma dalla teoria appena vista,

mm

a

bs −=−=−=

1 e n

n

a

cp ===

1. Quindi, confrontando le equazioni, si ha che –m = 6 (cioè m =

-6) e n = 5. L’equazione assume allora la forma 0562 =+− xx ed il suo 162036 =−=∆ .

2) Regola di Cartesio per la determinazione dei segni delle soluzioni 1x e 2x :

data l’equazione di 2° grado 02 =++ cbxax , si guardano nell’ordine i segni di a, b, c: ciò che interessa è vedere se nel passare da a a b c’è una variazione o una permanenza di segno (il segno cambia o no?) e così anche nel passare da b a c. Ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva; ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa. Esempio:

0172 =−+ xx . I segni di a, b, c sono: +, +, -. Dal primo al secondo c’è una permanenza; dal secondo al terzo c’è una variazione. Allora l’equazione avrà una soluzione negativa e una positiva.

0163 2 =−+− xx . I segni di a, b, c sono: -, +, -. Dal primo al secondo c’è una variazione; dal secondo al terzo c’è una variazione. Allora l’equazione avrà due soluzioni positive. N.B.: la regola ha senso solo se l’equazione ha due soluzioni reali: controllare prima che il sia positivo.

Es.: il sistema

==+1xyayx

con a numero reale:

a. ha soluzione per ogni valore di a b. ha due soluzioni per ogni valore di a c. ha soluzioni solo se a è positivo d. ha soluzioni solo se a è negativo e. ha due soluzioni distinte se a>2 o a<-2

Suggerimento: o si risolve graficamente (iperbole, retta) o algebricamente con sostituzione; si

arriva all’equazione 012 =+− axx , il cui ∆ vale a2 – 4. Si vede che esso è positivo, e quindi garantisce due soluzioni distinte, solo se a è esterno a ±2.

Es.: se l’equazione 042 =+− kxx ha una soluzione uguale a 3, quanto vale l’altra? a. 3 b. 3/4 c. 4/3 d. 2 e. 5

34

Suggerimento: poiché il prodotto delle due soluzioni vale 421 ==⋅a

cxx e 31 =x , allora 43 2 =x ;

perciò, 3

42 =x

Es.: l’equazione 1923 6 =x è verificata: a. mai b. per x = 2 c. per x = -2 d. per x = ±2 e. per x = 3

Es.: le soluzioni di 04423 =−−+ xxx : a. sono 2, 1, 2 b. sono -2, -1, -2 c. sono 1 (doppia) e -2 d. sono -2, -1, +2 e. non esistono

Es.: il polinomio 015 24 =−+ xax con a numero reale: a. è irriducibile per ogni valore di a b. ha come zero x = 1 in corrispondenza di un valore di a positivo c. ha come zero x = -1 in corrispondenza di a = -4 d. ha come zero x = 2 in corrispondenza di a = -4

e. si scompone in ( )( )51 22 −− axx per ogni valore di a

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO:

Per risolvere disequazioni del tipo 02 >++ cbxax ( <, ≥≥≥≥, ≤≤≤≤):

trovare il ∆ dell’equazione di 2° grado associata alla disequazione; successivamente, se:

∆>0 ∆<0 ∆=0

• trovare x1 e x2. Le soluzioni della disequazione saranno i valori interni o esterni ad x1 e x2, secondo la regola del DICE: Discordi Interne Concordi Esterne Cioè se il segno di a e il segno del trinomio (>0, <0) sono discordi, allora le soluzioni saranno interne ad x1 e x2, cioè

21 xxx << ; viceversa,

saranno esterne, cioè

21 xxxx >∨<

Le soluzioni della disequazione saranno tutti i reali (R) o l’insieme vuoto

(∅) secondo la regola del

CReD∅∅∅∅: Concordi R Discordi

∅∅∅∅

Il trinomio è riconducibile ad un quadrato di binomio e quindi è sicuramente un numero non negativo (cioè è nullo o positivo). Si presentano allora 4 possibili casi:

1) ( ) 02 >− nxa

S = R- {n}

2) ( ) 02 ≥− nxa

S = R

3) ( ) 02 <− nxa

S = ∅

4) ( ) 02 ≤− nxa

S = {n}

35

Se nella disequazione

compaiono ≤ o ≥, anche nelle soluzioni si aggiungono i segni di uguaglianza:

21 xxx ≤≤

21 xxxx ≥∨≤

NB: questo è uno dei possibili metodi; è possibile anche usare un metodo grafico, che fa riferimento alla parabola.

NB: il calcolo del ∆ è inutile quando si vedono a occhio i valori di x1 ed x2: già il fatto che vi siano

due soluzioni distinte significa che ∆>0 e quindi si utilizza la regola del DICE. NB: sono frequenti disequazioni del tipo x2 + 1>0, in cui la somma dei termini nel primo membro è palesemente un numero positivo, qualunque sia il valore di x. Pertanto le soluzioni sono tutti i reali, senza fare alcun calcolo. Es.: la disequazione ( )( ) 043 ≤−+ xx è soddisfatta per:

a. x ≥ -3

b. x ≤ 4

c. -3 ≤ x ≤ 4

d. x ≤ -3 o x ≥ 4

e. x ≤ 12

Es.: la disequazione 42 −<x è verificata per: a. ogni valore reale di x b. nessun valore reale di x c. tutti i valori compresi nell’intervallo (-2;+2) d. tutti i valori esterni all’intervallo (-2;+2) e. x<-2

Es.: la disequazione 0652 >+− xx è verificata per: a. ogni x reale b. x>3 c. x<2 d. 2<x<3 e. x<2 o x>3

Es.: la doppia disequazione 94 2 << x è verificata per: a. -3<x<-2 b. 2<x<3 c. -3<x<-2 o 2<x<3 d. -2<x<3 e. -3<x<2

36

Es.: le soluzioni della disequazione x2>0 sono: a. ogni x reale b. x>0 c. x>±0

d. x≠0 e. x<0

Es.: la disequazione ( )( ) 012

3 ≤+−

−xx

x è verificata per:

a. x < -1 o 2 < x ≤ 3

b. x ≤ -1 o 2 < x ≤ 3 c. 2 < x < 3

d. -1 < x < 2 o x ≥ 3

e. -1 < x < 3 e x ≠ 2

Es.: la disequazione 01

92

2

≥+−x

x è verificata per:

a. x<-3 o x>3 b. -3<x<3 c. 33 ≤≤− x d. 33 ≥∨−≤ xx e. mai

Es.: la disequazione ( )( ) 046 22 <−− xx è verificata per:

a. 6226 >∨<<−∨−< xxx

b. 66 >∨−< xx

c. 22 <<− x d. nessun valore reale di x e. ogni valore reale di x

Es.: il sistema di disequazioni

>−>−0406

2

2

xx

è verificato per:

a. 6226 >∨<<−∨−< xxx

b. 66 >∨−< xx

c. 22 <<− x d. nessun valore reale di x e. ogni valore reale di x

37

21) GEOMETRIA ANALITICA Il piano cartesiano

Es.: il punto P(k, k2+5) appartiene:

a. all’asse delle ascisse per k = 0; b. al semipiano positivo delle x per ogni

valore di k; c. al primo quadrante per ogni valore di

k; d. al semipiano positivo delle y solo se k

è positivo e. al semipiano positivo delle y per ogni

valore di k. Es.: le coordinate del punto medio del segmento di estremi (3,-2) e (8,14) sono:

a. (11/2;6) b. (5/2; 8) c. (-5/2; -8) d. (17/2; 3) e. (1/2, 5/2)

Es.: la distanza fra i punti P(2,0) e Q(0,7) è:

a. 9 b. 5

c. 53

d. 3

e. 45

38

LA RETTA nel piano cartesiano

39

Inoltre: il coefficiente angolare m di una retta è uguale alla tangente goniometrica dell’angolo αααα che la retta forma col semiasse positivo delle ascisse: αtan=m .

40

Es.: per quale valore del parametro k le rette 33 −−= xy e 042 =−+ yxk

sono perpendicolari?

a. 6 b. -6 c. 3 d. 1/3 e. -1/6

Es.: l’equazione 032 =−+− mmxy , al variare di m in R:

a. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3) b. non rappresenta alcuna retta parallela all’asse delle ascisse c. non rappresenta alcuna retta passante per il punto (0,5) d. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3), eccetto due e. rappresenta tutte le rette del piano passanti per (2,3), eccetto quella verticale

Es.: Per quale valore di k la retta di equazione 02063 =+− yx appartiene al fascio proprio

kxy +=2

1?

a. 3/10 b. -3/10 c. 10/3 d. -10/3 e. 6

Es.: l’equazione della retta che passa per (3,4) e (7,16) è:

a. y = 3x+5 b. y=3x-5 c. y=-3x+5 d. y=-3x-5 e. la retta non è unica

Es.: Dal grafico si deduce che nell’equazione y = mx+q della retta:

a. m>0, q>0 b. m>0, q<0 c. m<0, q>0 d. m<0, q<0 e. non si possono dedurre informazioni su m e q

Es.: quale coppia di condizioni deve essere verificata affinché il grafico di y = mx+q non passi per il 3° quadrante?

a. m>0, q>0 b. m>0, q<0 c. m<0, q>0 d. m<0, q<0 e. richiesta impossibile da soddisfare

41

Es.: la retta per (0,2) e che forma un angolo di 60° con il semiasse positivo delle x ha equazione:

a. xy 3=

b. 23 += xy

c. 2+= xy

d. 23

3 += xy

e. 2+−= xy

Es.: l’equazione della retta per (2,5) e perpendicolare a 23

1 +−= xy è:

a. y=3x-1 b. y=-3x+1 c. y=-3x-1

d. 13

1 −−= xy

e. 13

1 +−= xy

Es.: quale dei seguenti punti appartiene alla retta y = 3x -6?

a. (2; 3) b. (4; 6) c. (1; 3) d. (0; 6) e. (-1; 9)

LUOGO GEOMETRICO

Si dice luogo geometrico di punti del piano l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una certa proprietà.

LA CIRCONFERENZA È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto C, detto centro. La distanza fra il centro ed ognuno dei punti della circonferenza è detta raggio.

� Note le coordinate del centro () e la misura r del raggio, l’equazione della crf. è:

( ) ( ) 222 ryx =−+− βα

Sviluppando i quadrati, e ponendo a=− α2 , b=− β2 , cr =−+ 222 βα , si ha:

022 =++++ cbyaxyx ,

detta equazione canonica. Si nota che:

1) nell’equazione canonica della crf. sia x che y compaiono con esponente 2; cioè è un’equazione di secondo grado sia in x che in y

2) i termini di secondo grado (x2 e y2) hanno i coefficienti uguali (entrambi = +1) 3) manca il termine rettangolare (cioè quello con parte letterale xy). � Viceversa:

42

nota l’equazione canonica della circonferenza 022 =++++ cbyaxyx ,

il centro ha coordinate

−−2

;2

baC

il raggio vale cr −+= 22 βα .

N.B.1: Le formule qui sopra valgono solo se x2 e y2 hanno coefficienti = +1; se i coefficienti sono uguali fra loro, ma diversi da +1, è necessario, prima di applicare le formule per trovare centro e raggio, dividere tutti i termini dell’equazione per quel coefficiente.

N.B.2: affinché il raggio sia un numero reale, occorre che l’espressione sotto radice, c−+ 22 βα

sia un numero 0> . Quindi, data l’equazione 022 =++++ cbyaxyx , per essere sicuri che essa

rappresenti una circonferenza, occorre verificare, oltre alle tre condizioni riportate sopra, anche

che c−+ 22 βα 0> . Se ciò non accade, l’equazione data non rappresenta una circonferenza,

perché non ha punti reali, ma solo immaginari.

� Se a = 0, il centro appartiene all’asse y Se b = 0, il centro appartiene all’asse x Se c = 0, la crf. passa per l’origine degli assi.

� Sia d la distanza fra il centro C ed una retta r.

o Se d < r, la retta è secante la circonferenza o Se d = r, la retta è tangente alla circonferenza o Se d > r, la retta è esterna alla circonferenza.

LA PARABOLA

È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. L’asse interseca la parabola in un punto, detto vertice.

� Una parabola con asse parallelo all’asse y ha equazione canonica:

cbxaxy ++= 2 (con 0≠a )

Se a > 0, la parabola ha concavità verso l’alto Se a < 0, la parabola ha concavità verso il basso Se |a| “grande” la parabola è “chiusa” Se |a| “vicino” a 0, la parabola è “aperta”. Se b = 0, la parabola ha il vertice sull’asse delle y Se c = 0, la parabola interseca l’asse delle y nell’origine (altrimenti nel punto di ordinata c). Nota l’equazione canonica della parabola, possiamo determinare tutti i suoi elementi:

F

V

direttrice

asse

a4

1

a4

1

43

vertice

∆−−aa

bV

4;

2

asse a

bx

2−=

fuoco

+−a

ya

bF V 4

1;

2

direttrice a

yy V 4

1−=

� Una parabola con asse parallelo all’asse x ha equazione canonica:

cbyayx ++= 2 (con 0≠a )

Se a > 0, la parabola ha concavità verso destra Se a < 0, la parabola ha concavità verso sinistra Se |a| “grande” la parabola è “chiusa” Se |a| “vicino” a 0, la parabola è “aperta”. Se b = 0, la parabola ha il vertice sull’asse delle x Se c = 0, la parabola interseca l’asse delle x nell’origine (altrimenti nel punto di ascissa c). Nota l’equazione canonica della parabola, possiamo determinare tutti i suoi elementi:

vertice

−∆−a

b

aV

2;

4

asse a

by

2−=

fuoco

−+a

b

axF V 2

;4

1

direttrice a

xx V 4

1−=

� Data una parabola cbxaxy ++= 2 e una retta qmxy += , si possono trovare le

intersezioni fra le due curve risolvendo il sistema delle loro equazioni:

+=++=

qmxy

cbxaxy 2

Dopo la sostituzione si ottiene un’equazione di secondo grado in x; o Se > 0, ci sono due intersezioni distinte e quindi parabola e retta sono secanti o Se = 0, ci sono due intersezioni coincidenti e quindi parabola e retta sono tangenti o Se < 0, non ci sono intersezioni e quindi parabola e retta sono esterne

44

L’ELLISSE È il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle distanze da due punti

fissi 1F e 2F detti fuochi.

Le 4 intersezioni fra ellisse ed assi cartesiani sono dette vertici; i segmenti che congiungono due vertici opposti sono detti assi; i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici sono detti semiassi. Se i due assi sono uguali, allora l’ellisse è una circonferenza con centro nell’origine e raggio il semiasse. In generale, nell’ellisse i due assi sono diversi: sull’asse maggiore giacciono i fuochi.

CASO 1 CASO 2

Tutte le ellissi che noi utilizzeremo hanno come assi di simmetria l’asse x e l’asse y; come centro di simmetria l’origine O del piano cartesiano. Il rapporto fra la semidistanza focale ed il semiasse maggiore è detta eccentricità dell’ellisse:

maggiore semiasse

focale zasemidistan=e

Tale numero e è tale che, nel caso dell’ellisse:

10 <≤ e Se e = 0, l’ellisse non è eccentrica, cioè è una circonferenza. Quanto più e è prossima ad 1, tanto più è spiccata la differenza fra gli assi. L’equazione canonica dell’ellisse, quando il centro dell’ellisse è nell’origine del piano cartesiano, è:

12

2

2

2

=+b

y

a

x

In essa i termini in x e y compaiono entrambi con esponente 2 e con segni positivi (come nella circonferenza), ma i coefficienti di questi termini sono in generale due numeri diversi (se sono uguali si ricade nel caso della circonferenza)

I vertici dell’ellisse si trovano mettendo in sistema l’equazione 12

2

2

2

=+b

y

a

x con le equazioni degli

assi cartesiani; si trova: )0,(2,1 aA ±= e ),0(2,1 bB ±= . Inoltre:

CASO 1 (a > b)

CASO 2 ( b > a)

L’asse maggiore è quello orizzontale, lungo 2a L’asse maggiore è quello verticale, lungo 2b

F1 F2 A1 A2

B2

B1

F1

F2

A1 A2

B2

B1

45

xF asse2,1 ∈ ; ( )0,2,1 cF ±= con 222 bac −= yF asse2,1 ∈ ; ( )cF ±= ,02,1 con 222 abc −=

a

ce =

b

ce =

L’IPERBOLE

È il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la differenza delle distanze da due

punti fissi 1F e 2F detti fuochi.

Le 4 intersezioni fra iperbole ed assi cartesiani (due di esse sono immaginarie) sono dette vertici; i segmenti che congiungono due vertici opposti sono detti assi (l’asse che congiunge i due vertici reali è detto asse trasverso; quello che congiunge i due vertici non reali è detto asse non trasverso); i segmenti condotti dall’origine O fino ad uno qualunque dei vertici sono detti semiassi. Se i due assi sono uguali, allora l’iperbole è detta iperbole equilatera. Sull’asse trasverso giacciono i fuochi. L’iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti. Allontanandosi dall’origine, entrambi i rami si avvicinano sempre più a due rette, dette asintoti obliqui.

CASO 1 CASO 2

Tutte le iperboli che noi utilizzeremo hanno come assi di simmetria l’asse x e l’asse y; come centro di simmetria l’origine O del piano cartesiano. Il rapporto fra la semidistanza focale ed il semiasse trasverso è detta eccentricità dell’iperbole:

trasversosemiasse

focale zasemidistan=e

Tale numero e è tale che, nel caso dell’iperbole:

1>e L’equazione canonica dell’iperbole, quando il centro è nell’origine del piano cartesiano, è:

12

2

2

2

±=−b

y

a

x

In essa i termini in x e y compaiono entrambi con esponente 2 e con segni discordi. Il secondo membro è sempre 1± .

Gli asintoti obliqui sono due rette passanti per l’origine degli assi, di equazioni xa

by ±=

CASO 1

CASO 2

F1 F2 A1 A2

B2

B1 F1

F2

A1 A2 B2

B1

46

12

2

2

2

+=−b

y

a

x 1

2

2

2

2

−=−b

y

a

x

Vertici reali )0,(2,1 aA ±=

Vertici non reali ),0(2,1 bB ±=

Vertici non reali )0,(2,1 aA ±=

Vertici reali ),0(2,1 bB ±=

L’asse trasverso è quello orizzontale, lungo 2a L’asse trasverso è quello verticale, lungo 2b

xF asse2,1 ∈ ; ( )0,2,1 cF ±= con 222 bac += yF asse2,1 ∈ ; ( )cF ±= ,02,1 con 222 bac +=

a

ce =

b

ce =

Iperbole equilatera riferita agli assi Se a = b l’iperbole viene detta equilatera: i suoi due asintoti diventano fra loro perpendicolari (sono le bisettrici dei quadranti xy ±= )

CASO 1

CASO 2

12

2

2

2

+=−a

y

a

x o 222 ayx =− 1

2

2

2

2

−=−a

y

a

x o 222 ayx −=−

Vertici reali )0,(2,1 aA ±=

Vertici non reali ),0(2,1 aB ±=

Vertici non reali )0,(2,1 aA ±=

Vertici reali ),0(2,1 aB ±=

L’asse trasverso è quello orizzontale, lungo 2a L’asse trasverso è quello verticale, lungo 2a

xF asse2,1 ∈ ; ( )0,2,1 cF ±= con 22 2ac = yF asse2,1 ∈ ; ( )cF ±= ,02,1 con 22 2ac =

22 ===

a

a

a

ce 2

2 ===a

a

a

ce

Iperbole equilatera riferita agli asintoti Ruotando di 45° l’iperbole equilatera del caso precedente, i suoi asintoti diventano gli assi del sistema di riferimento. L’equazione della nuova iperbole è:

kyx =⋅

o

x

ky =

Se k > 0, l’iperbole occupa il 1° e 3° quadrante. Se k < 0, l’iperbole occupa il 2° e 4° quadrante. Iperbole omografica Se si trasla l’iperbole del caso precedente, i suoi asintoti si muovono e diventano rette parallele agli assi cartesiani. L’equazione di tale iperbole è:

dcx

baxy

++= con 0 e 0 ≠−≠ bcadc

47

Le equazioni dei suoi asintoti sono le seguenti:

Asintoto verticale: c

dx −= (zero del denominatore)

Asintoto orizzontale: c

ay = (rapporto tra i coefficienti di x)

Il centro dell’iperbole sarà quindi il punto:

−=c

a

c

dC ;

Es.: stabilire la natura della conica di equazione: 22 24 yx += . Si tratta di:

a. una circonferenza b. una parabola c. un’ellisse d. un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e. un’iperbole riferita ai propri assi

Es.: la conica di equazione 0222 =−+++ yxykx rappresenta rispettivamente una

circonferenza ed una parabola se: a. k = 1; k = -1 b. k = 0; k = 1 c. k = 1, k = 0 d. k = -1; k = 1 e. k = -1; k = 0

Es.: la parabola di equazione 22 2 −= xy :

a. ha il vertice nel punto ( )0;2−

b. ha il fuoco nel punto ( )2;0 −

c. ha come asse di simmetria l’asse delle ascisse d. ha come asse di simmetria l’asse delle ordinate e. non interseca l’asse delle ascisse

Es.: la curva di equazione 042 =+− yx :

a. è una circonferenza con centro in (-1/2; 0) b. interseca la retta x = -8 in due punti

c. non interseca la curva 1622 =+ yx

d. è una parabola con il vertice nel punto (0; -4) e. è una parabola con il vertice nel punto (-4; 0)

Es.: Se il fuoco di una parabola ha coordinate (0, 6) e la direttrice ha equazione y = 2, la parabola:

a. passa per O(0, 0) b. ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse c. ha il vertice nel punto (0; 1) d. non interseca l’asse delle ascisse e. non interseca l’asse delle ordinate

48

Es.: il luogo dei punti del piano equidistanti da una retta e da un punto fissati è una: a. circonferenza b. ellisse c. iperbole d. parabola e. nessuna delle precedenti

Es.: il sistema

==+4xyayx

con a numero reale:

a. non ha soluzione per ogni valore di a b. ha due soluzioni per ogni valore di a c. ha soluzioni solo se a è positivo d. ha soluzioni solo se a è negativo e. ha due soluzioni coincidenti se a = ±4.

Suggerimento: le due curve sono una retta parallela alla bisettrice del 2° - 4° quadrante ed un’iperbole equilatera riferita agli asintoti, con vertici di coordinate (2;2) e (-2;-2). Perché vi siano due intersezioni coincidenti fra retta e iperbole, occorre che la retta passi per i vertici dell’iperbole e questo accade solo se a = ±4.

Es.: il sistema

=−=++

byxayx 022

, con a e b reali:

a. ha sempre due soluzioni b. ha infinite soluzioni per ogni valore di a e di b c. ha soluzioni solo se a e b sono positivi d. ha soluzioni solo se a e b sono negativi e. può avere soluzioni solo se a è negativo

Suggerimento: la prima equazione è una circonferenza con punti reali solo se a è negativo (in caso contrario sarebbe fatta da punti immaginari ed il sistema non avrebbe soluzioni). Ammesso questo, non è detto che la retta intersechi necessariamente la circonferenza: quindi il sistema può avere soluzioni (non è detto che le abbia) se a è negativo.

Es.: la circonferenza di equazione 04322 22 =+++ yxyx ha:

a. centro (3/2, 2) e raggio 5/2 b. centro (-3/2, -2) e raggio 5/2 c. centro (3/4, 1) e raggio 5/4 d. centro (-3/4, -1) e raggio 5/2 e. centro (-3/4, -1) e raggio 5/4

Es.: la circonferenza di centro (2,5) e raggio 3 ha equazione:

a. ( ) ( ) 952 22 =+++ yx

b. ( ) ( ) 952 22 =+−+ yx

c. ( ) ( ) 352 22 =−+− yx

d. 02010422 =+−−+ yxyx

e. 02610422 =+−−+ yxyx

49

Es.: l’equazione ( ) ( ) kyx −=−+− 22 21 rappresenta una:

a. circonferenza per k>0 b. parabola per k<0 c. circonferenza per ogni valore di k d. circonferenza tangente all’asse x per k = -4 e. circonferenza tangente all’asse x per ogni valore di k 22) FUNZIONI (1ª parte) Una funzione è una relazione fra due insiemi A e B, che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Se A = B = R, la funzione si dice reale di variabile reale. L’elemento y del secondo insieme corrispondente ad un elemento x del primo insieme, si dice immagine di x e si scrive y = f(x) per indicare che y è l’immagine di x. y è detta variabile dipendente, mentre x è la variabile indipendente. Una funzione si dice lineare se y = ax +b, con a, b numeri reali fissati. Il campo di esistenza (C.E.) di una funzione è l’insieme degli elementi di R che posseggono l’immagine in R, cioè l’insieme di quei numeri reali x in corrispondenza dei quali è possibile determinare la y. Definizioni:

• una funzione si dice fratta quando la variabile indipendente x compare nel denominatore di qualche frazione; viceversa, si dice intera.

• una funzione si dice positiva quando f(x) > 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei quali la funzione ha punti al di sopra dell’asse x.

• una funzione si dice negativa quando f(x) < 0, cioè in quegli intervalli dell’asse delle x nei quali la funzione ha punti al di sotto dell’asse x.

• una funzione si dice pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y, cioè se f(-x) = f (x) per ogni x del C.E.

• una funzione si dice dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O, cioè se f(-x) = - f (x) per ogni x del C.E.

• una funzione si dice crescente in un intervallo I dell’asse x, se per ogni x1, x2 appartenenti ad I, con x1<x2, allora f(x1)<f(x2).

• Una funzione si dice monotona in un intervallo I⊆R, se in I essa è sempre crescente o sempre decrescente.

• una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A

• una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A

• una funzione si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. Teorema: se è noto il grafico di y = f (x), allora

• il grafico di y = f (x) + c è quello di f traslato verticalmente di |c| verso l’alto se c >0; verso il basso se c<0

• il grafico di y = f (x + c) è quello di f traslato orizzontalmente di |c| verso sinistra se c >0; verso destra se c<0

• il grafico di y = -f (x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse x

• il grafico di y = f (-x) è simmetrico di quello di f rispetto all’asse y

50

Es.: Per quali valori reali di x la funzione y = (a-1)4x2 +3 ha valori positivi?

a. solo per x = a+1 b. solo per x = 0 c. nessuno d. per qualsiasi valore di x e. per x>0

Es.: Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico simmetrico rispetto all’asse y?

a. 42 ++= xxy

b. 6

12

5

2 57 +−= xxy

c. 17 24 +−= xxy

d. 42 ++= xxy

e. x

xy3

135 −=

Es.: se ( ) 13 −+= xxxf , allora ( )xf −

vale:

a. 13 −−− xx

b. 13 +−− xx

c. 13 −− xx

d. 13 +− xx

e. nessuno dei precedenti Es.: Data una funzione f(x) tale che

( ) ( )5

31

−=+

xfxf e ( ) 131 =f , quanto vale

f (3)? a. non si può calcolare b. 1/5 c. -1/5 d. 2 e. -2

Es.: Data una generica funzione lineare y = ax +b, se x triplica, di quanto aumenta y?

a. 2b b. 2bx c. 2a d. 2ax e. 2x

Es.: la relazione rappresentata dal diagramma a lato:

a. non è una funzione b. è una funzione iniettiva ma non suriettiva c. è una funzione suriettiva ma non iniettiva d. è una funzione biiettiva e. nessuna della precedenti è corretta

Es.: la funzione y = x3 – 16x7:

a. ha un solo zero in x = 0 b. è dispari c. è positiva per ogni valore reale di x d. non è mai negativa e. non interseca l’asse y

Es.: data la funzione ( )21

31

xxf

++= , si

può dire che: a. è sempre maggiore di 1 b. assume almeno due volte il valore 1 c. non è pari d. f(0) =1 e. se x<-1, allora f(x) <0

23) Esponenziali e logaritmi N.B.: dire che una grandezza varia nel tempo con legge esponenziale, significa che in tempi uguali l’incremento della grandezza è percentualmente costante, cioè che in ogni intervallo di tempo il rapporto fra l’incremento della grandezza e la grandezza stessa (prima dell’incremento) è costante. Supponiamo, per esempio, che la grandezza sia il numero di batteri in una coltura e che il loro numero iniziale sia 10. Ipotizziamo che dopo un minuto il numero di batteri sia cresciuto di 10 (cioè del 100%). I batteri, alla fine del primo minuto saranno allora 20. Se ora la popolazione

51

subisce, nel minuto successivo, un incremento ancora del 100%, i batteri saranno alla fine 40; dopo il terzo minuto saranno 80 ecc. Quindi i valori della grandezza sono: 10, 20, 40, 80… cioè

n210 ⋅ (si può dire che la grandezza ha un tasso di moltiplicazione costante, per ogni unità di tempo). Con un incremento del 20% e valore iniziale della grandezza uguale a 1000, per esempio, avremmo dopo i primi intervalli di tempo, i seguenti valori: 1000, 1200, 1440, 1728, ecc.

52

53

N.B.: i logaritmi in base e sono detti “naturali” o “neperiani”; quelli in base 10 “decimali”.

Es.: la funzione xy −= 2 :

a. può essere sia positiva che negativa b. è sempre negativa c. non interseca l’asse delle ascisse

d. non interseca l’asse delle ordinate e. è crescente

54

Es.: l’equazione 22 −=+ kex nell’incognita x, con k parametro reale, ha soluzione:

a. per ogni valore di k non negativo b. per nessun valore di k c. solo per k = 1 d. solo per k = 0 e. per ogni valore di k compreso fra -1 e

1 Suggerimento: il primo membro è una somma di quantità positive, indipenden-temente dal valore di k…

Es.: l’equazione 0log2

1 =+ kx ha soluzione:

a. solo per valori di k non negativi b. solo per valori positivi di k c. per ogni valore di k d. solo per k = ½ e. solo per k=0

Es.: il grafico della funzione ( ) ( ) 13log 2 +−= xxf :

a. giace sempre sopra l’asse x b. giace sempre sotto l’asse x c. giace tutto nel secondo e terzo

quadrante d. interseca una volta l’asse x e. interseca una volta l’asse y

Suggerimento: il grafico è quello della funzione logaritmica, traslato di 3 verso destra e di 1 verso l’alto. Es.: se 5log 2 −=x , allora:

a. l’equazione non ha senso perché la base di un logaritmo non può mai essere negativa

b. x = 32 c. x = -32 d. x = -25 e. x = 1/32

Es.: la soluzione dell’equazione

x=5

1

9 27log è:

a. 3/10 b. 10/3 c. 2/3 d. -2/3 e. l’equazione è impossibile

Es.: Se 5=xe , allora: a. x = e5 b. x = e1/5

c. x = ln5 d. x = 5/e e. x è indeterminato

Es.: la funzione ( )

−=2

22ln

xxf è positiva

per:

a. 22 >∨−< xx b. x<-1 oppure x>1 c. mai d. sempre e. un logaritmo neperiano non può essere positivo

Es.: l’espressione ( )23ln −x equivale a:

a. 2ln(x-3) b. xln2 c. 2ln|x-3| d. ln2(x-3) e. ln2|x-3|

Suggerimento: due funzioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di definizione.

( )23ln −x esiste solo se x≠3. Quindi la

risposta esatta è c e non a. Es.: quale tra le seguenti è la soluzione dell’equazione 33loglog 1010 =−x ?

a. 2000 b. 3000 c. 6 d. 300 e. 1/3

Es.: ricordando che log102=0,3, allora: a. log1050=2,7 b. log10200=2,3 c. log100,02=-2,3 d. log100,5=-1,7 e. log104=0,9

Suggerimento: log10200 = log10(2×100)=log102 + log10100 =0,3 + 2 = 2,3. Es.: log24 + log21 + log21/2 + log20,125 =

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2

Es: l’equazione 0,01x + 4 = 14 ha come soluzione:

a. 0,5 b. -0,5

55

c. 2 d. -2 e. 0,02

Suggerimento: 144100

1 =+

x

equivale a

10100

1 =

x

, cioè 1010 2 =− x . Ciò è vero se

x = -1/2. Se l’equazione esponenziale o logaritmica è difficile da risolvere per via diretta si può sempre usare il metodo della verifica, sostituendo ad x i valori proposti e vedendo quali di essi rendono vera l’uguaglianza.

Es.: la funzione ( ) ( )75log 210 ++= xxxf è

positiva per:

a. x∈R b. x<-3 o x>-2

c. x≤-3 o x≥-2 d. -3<x<-2

e. mai Suggerimento: un logaritmo con base maggiore di 1 (lo si vede dal grafico) è positivo quando il suo argomento è maggiore

di 1. Quindi, basta risolvere 1752 >++ xx ,

ovvero 0652 >++ xx … Es.: il grafico in figura corrisponde a:

a. 1+= xey

b. 2−= xey

c. xey =

d. xey =

e. 1−= xey

1

-1

56

24) GONIOMETRIA

57

Conversione gradi - radianti

RELAZIONI FONDAMENTALI

1ª relazione: 1cossin 22 =+ αα , per ogni αααα

2ª relazione: ααα

cos

sin=tg , per ogni ππα k+≠2

3ª relazione: ααα

sin

coscot =g , per ogni πα k≠

PERIODICITÀ Le funzioni goniometriche sono periodiche, cioè sono tali che f(x+T) = f(x), per particolari valori di T.

y = senx e y = cosx hanno periodo T = 2π

y = tgx e y = cotgx hanno periodo T = π

y = sen(ax) e y = cos(ax) hanno periodo T = 2π/a

y = tg(ax) e y = cotg(ax) hanno periodo T = π/a

VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE PER ANGOLI DEL 1° QUADRANTE

αααα (gradi) αααα (radianti) senαααα cosαααα tgαααα cotgαααα

0° 0 0 1 0 Non esiste

30° π/6 2

1

2

3

3

3

3

45° π/4 2

2

2

2 1 1

60° π/3 2

3

2

1 3 3

3

90° π/2 1 0 Non esiste 0

N.B. Sia i grafici che i valori in tabella mostrano che:

per ogni αααα, 1sin1 ≤≤− α e 1cos1 ≤≤− α

per ogni αααα, 1cosec1cosec +≥∨−≤ αα e 1sec1sec +≥∨−≤ αα

per ogni αααα, +∞<<∞− αtg e +∞<<∞− αcotg

α° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

α(rad) 0

6

π

4

π

3

π 2

π π3

2 π4

3 π6

5 π π

6

7 π4

5 π3

4 π2

3 π3

5 π4

7 π

6

11 2π

58

ARCHI ASSOCIATI Si dicono “archi” o “angoli associati” all’angolo , i seguenti angoli:

α−°90 α+°90 α−°180 α+°180

α−°270 α+°270 α−°360 o α− α+°360

Questi angoli sono importanti perché le loro funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono, salvo cambi di segno ed eventuali scambi di funzione, uguali alle funzioni goniometriche dell’angolo α di partenza.

( ) αα cos90sin =−°

( ) αα sin90cos =−°

( ) αα cot90tan =−°

( ) αα tan90cot =−°

( ) αα sin180sin =−°

( ) αα cos180cos −=−°

( ) αα tan180tan −=−°

( ) αα cot180cot −=−°

( ) αα cos90sin =+°

( ) αα sin90cos −=+°

( ) αα cot90tan −=+°

( ) αα tan90cot −=+°

( ) αα sin180sin −=+°

( ) αα cos180cos −=+°

( ) αα tan180tan =+°

( ) αα cot180cot =+°

( ) αα cos270sin −=−°

( ) αα sin270cos −=−°

( ) αα cot270tan =−°

( ) αα tan270cot =−°

( ) ( ) ααα sinsin360sin −=−=−°

( ) ( ) ααα coscos360cos =−=−°

( ) ( ) ααα tantan360tan −=−=−°

( ) ( ) ααα cotcot360cot −=−=−°

( ) αα cos270sin −=+°

( ) αα sin270cos =+°

( ) αα cot270tan −=+°

( ) αα tan270cot −=+°

( ) αα sin360sin =+°

( ) αα cos360cos =+°

( ) αα tan360tan =+°

( ) αα cot360cot =+°

Es.: I valori cos1, cos2, cos3, cos4, disposti in ordine crescente, risultano:

a. cos1, cos2, cos3, cos4 b. cos2, cos4, cos1, cos3 c. cos3, cos2, cos4, cos1 d. cos3, cos4, cos2, cos1 e. cos4, cos3, cos1, cos2

Suggerimento: è importante visualizzare graficamente gli angoli di 1, 2, 3, 4 radianti, tenendo conto che l’arco sotteso da un radiante è uguale al raggio della crf., oppure che un radiante è poco

1 2

3

4

59

meno di 60°. I coseni, cioè le rispettive ascisse, ordinati in modo crescente dal più negativo a quello più positivo si susseguono in questo modo: cos3, cos4, cos2, cos1. Es.: per ogni x reale, la quantità 1 – cos23x è sempre:

a. strettamente positiva b. positiva o nulla c. negativa o nulla d. strettamente negativa e. uguale a 9sen2x

Suggerimento: un coseno è sempre compreso fra -1 e 1, estremi inclusi; quindi un coseno al quadrato è sempre compreso fra 0 e 1, estremi inclusi. Pertanto, 1 – cos23x è sempre un numero non negativo. Oppure: 1 – cos23x = sen23x, non negativo perché è un quadrato. Es.: il valore dell’espressione sen130° + cos130° è:

a. positivo b. 1 c. 0 d. negativo e. -1

Suggerimento: visualizzare graficamente l’angolo ed i rispettivi seno e coseno nella crf. Goniometrica. Si vedrà che il seno è positivo, il coseno è negativo, ma in valore assoluto il seno è maggiore del coseno; quindi… Attenzione a non confondere sen130° + cos130° con sen2130° + cos2130°, che per la 1ª relazione fondamentale vale 1.

Es.: stabilire, nell’intervallo [ππππ/2; ππππ], quale delle seguenti relazioni è vera:

a. xsensenx 21 −=

b. 01 ≤≤− senx

c. xsenx 21cos −=

d. xsenx 21cos −−=

e. 0>senx

Es.: se x – y = ππππ/2, la giusta identità è: a. 0cossin =+ yx

b. 1coscos =+ yx

c. 0coscos =+ yx

d. 0cossin =− yx

e. 1cossin −=− yx

Suggerimento: se x – y = π/2, allora x = π/2+ y

e senx = sen(π/2+ y) =cosy (vedi archi associati). Quindi… Es.: le funzioni seno e coseno sono entrambe negative:

a. nel primo quadrante

b. nel secondo quadrante c. nel terzo quadrante d. nel quarto quadrante e. non sono mai contemporaneamente

negative Es.: i valori assunti dalla funzione

( ) xxf 2cos3 −= sono:

a. 2<y<4

b. 2≤y≤4 c. 2<y<3

d. 2≤y≤3 e. non si possono stabilire a priori

Es.: l’equazione cosx +x2 + 2 = 0:

a. ha infinite soluzioni b. è un’equazione di 2° grado

nell’incognita x c. ha soluzioni appartenenti

all’intervallo [-π/2; + π/2] d. ha una sola soluzione e. non ha soluzioni

60

Suggerimento: l’equazione cosx=-x2-2 può essere risolta cercando le intersezioni fra la

cosinusoide e la parabola y=x2-2. Si vede che non vi sono soluzioni.

FORMULE GONIOMETRICHE FORMULE DI ADDIZIONE

( )( )

( )βα

βαβα

βαβαβαβαβαβα

tantan

tantantan

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

⋅−+=+

−=++=+

1

FORMULE DI SOTTRAZIONE ( )( )

( )βα

βαβα

βαβαβαβαβαβα

tantan

tantantan

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

⋅+−=−

+=−−=−

1

FORMULE DI DUPLICAZIONE ( )( )

( )α

αα

αααααααα

2

2222

1

22

12212

22

tan

tantan

cossinsincoscos

cossinsin

−=

−=−=−=

=

FORMULE DI BISEZIONE

αα

αα

ααα

αα

αα

cos

sin

sin

cos

cos

costan

coscos

cossin

+=−=

+−±=

+±=

−±=

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

2

Trigonometria

61

Teorema di Carnot (o del coseno): in un triangolo la misura di un lato al quadrato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo fra essi compreso. Relativamente a figura 3: a2 = b2 + c2 – 2bc cose così per gli altri lati. Teorema dell’area: l’area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due lati, per il seno

dell’angolo fra essi compreso. Relativamente a figura 3: Area = βαγ sin2

1sin

2

1sin

2

1acbcab ==

Fig. 3

62

Es.:la funzione y = sin3xcos3x: a. non è periodica

b. ha periodo π

c. ha periodo π/3

d. ha periodo 2π/3

e. ha periodo 3π/2

Suggerimento: sin3xcos3x= x6sin2

1e quindi

36

22 πππ ===a

T .

Es.208: l’espressione sen(9αααα) – sen(3αααα) equivale a:

a. 3(sen(3α)-senα)

b. 6senα

c. 2cos(6α)sen(3α)

d. 1/2(cos(6α) – cos(12α))

e. sen(9α)cos(3α) - cos(9α)sin(3α) Suggerimento: o si conoscono le formule di prostaferesi (senp-senq=2sen((p+q)/2)cos((p-q)/2)), oppure si testa la validità delle formule proposte con qualche angolo particolare al posto del

generico α. Per esempio, per α = 30°, sen(9α) – sen(3α) = sen270° - sen90° = -2, mentre:

3(sen(3α)-senα) = 3(sen90° - sen30°) = 3(1 – ½) ≠ -2

6senα = 6sen30° = 3 ≠ -2

2cos(6α)sen(3α) = 2cos180°sen90° = -2

1/2(cos(6α) – cos(12α)) = ½ (cos180° - cos360°) = -1 ≠-2, ecc... Es.: l’equazione cos2x = 4:

a. ha tra le soluzioni il numero x = 2

b. ha tra le soluzioni il numero x = π/4 c. ha tra le soluzioni il numero x = 0 d. è un’identità e. non ha soluzioni reali

Es.: nell’intervallo [0; 2ππππ), le soluzioni dell’equazione cosx = 2

3 sono:

a. π/4 oppure 3π/4

b. π/6 oppure -π/6

c. π/6 oppure 11π/6

d. π/4 oppure -3π/4

e. π/4 oppure 7π/4

Es.: se senαααα = 1/3 e cosαααα<0, allora:

a. 0°<α<30°

b. 150°<α<180°

c. α>30°

d. α<30°

e. 30°<α<45° Es.: quale dei seguenti angoli è radice dell’equazione senx –cos2x = 2?

a. 30° b. 90°

63

c. 150° d. 180° e. 270°

Suggerimento: sostituire i valori proposti

Es.: la disequazione ( ) 03sin2 2 >+x

a. non ha soluzioni b. ha infinite soluzioni c. ammette solo soluzioni irrazionali

d. ha soluzioni comprese fra -π/4 e π/4

e. ha soluzioni comprese fra -π/3 e π/3

Es.: nell’intervallo [0; 2ππππ), le soluzioni della disequazione senx≥≥≥≥cosx sono:

a. x∈[0;π/4]

b. x∈[π/4; π/2]

c. x∈[π/4; π]

d. x∈[π/4; 5π/4]

e. x∈(π/4; π)

Es.: nell’intervallo [0; 2ππππ), le soluzioni della disequazione 2

2cos

2

2 ≤≤− x sono:

a. x∈[0;π/4] oppure x∈[π;5π/4]

b. x∈[0;π/4] oppure x∈[π;7π/4]

c. x∈[π/4;3π/4] oppure x∈[π;5π/4]

d. x∈[π/4;3π/4] oppure x∈[5π/4;7π/4]

e. x∈[π/4;3π/4]

Es.: nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo nel vertice C, chiamato αααα l’angolo di vertice A, è:

a. sinα = BC/BA

b. sinα = BA/BC

c. sinα = BA/AC

d. sinα = BC/AC e. nessuna delle precedenti

64

25) FUNZIONI (2ª parte) Se, data una funzione f da A in B, scambiando l’insieme di partenza con quello di arrivo, la relazione inversa è ancora una funzione, la relazione inversa si dice funzione inversa e si indica con f

-1. La funzione inversa associa ad ogni y la x della quale y era corrispondente attraverso la funzione diretta f. Teorema: una funzione f ammette funzione inversa solo se f è biiettiva. Teorema: se una funzione f è monotona in un intervallo I, allora è invertibile in quell’intervallo. Nella funzione inversa f -1, x diventa la variabile dipendente e y quella indipendente. Poiché è prassi rappresentare la variabile dipendente sull’asse y, si procede di solito ad uno scambio di nomi delle variabili. Una conseguenza di questo fatto è la seguente: Teorema: il grafico di f -1 è simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del 1°-3° quadrante Esempi di funzioni inverse: la funzione inversa di y = senx è y = arcsenx (da non confondere con la funzione reciproca di y = senx, che è y = 1/senx = cosecx) la funzione inversa di y = cosx è y = arccosx (da non confondere con la funzione reciproca di y = cosx, che è y = 1/cosx = secx) la funzione inversa di y = tgx è y = arctgx (da non confondere con la funzione reciproca di y = tgx, che è y = 1/tgx = cotgx) la funzione inversa di y = 10x è y = log10x la funzione inversa di y = ex è y = lnx

la funzione inversa di y = xn è y = n x

Consigli per la ricerca del C.E. di una funzione: In presenza di denominatori, radicandi e argomenti di logaritmi contenenti la variabile x, occorre scrivere delle particolari condizioni, che poi andranno messe in sistema. Le soluzioni del sistema sono il C.E. della funzione. Conviene seguire questo elenco di domande:

1) nella funzione ci sono frazioni con la x nel denominatore D? Condizione: D ≠ 0

2) nella funzione ci sono radici di indice pari con la x nel radicando R? Condizione: R ≥ 0 3) nella funzione ci sono logaritmi con la x nell’argomento A? Condizione: A > 0

4) nella funzione ci sono tangenti con la x nell’argomento A? Condizione: A ≠ π/2 + kπ

5) nella funzione ci sono cotangenti con la x nell’argomento A? Condizione: A ≠ kπ Se la risposta a tutte le domande è negativa, C.E. = R; in caso contrario si risolve la disequazione o il sistema di disequazioni formato dalle condizioni che si sono poste.

Es.: calcolare il C.E. di ( )24

logx

xxf

−= è:

a. -2<x<0 oppure x>2 b. 0<x<2 c. x<-2 oppure 0<x<2 d. R – {-2, 0, +2} e. x>2

Es.: il C.E. della funzione ( ) ( )2log

1

++=x

exf

x

è: a. l’insieme dei numeri reali b. l’insieme dei numeri reali maggiori di

2

c. l’insieme dei numeri reali eccetto il -2 d. l’insieme dei numeri reali maggiori di -

2 e diversi da -1 e. l’insieme dei numeri reali eccetto il -1

Es.: la funzione 4−= xy è definita per:

a. 4≥x b. 22 >∨−< xx c. 22 +<<− x d. 44 ≤≤− x e. 44 ≥∨−≤ xx

65

Es.: il campo di esistenza di

xxtgy

2cos

121 −+= è:

a. R

b. R –{π/2+kπ}

c. {kπ} d. R – {0}

e. R –{π/4+kπ/2}

Es.: la funzione ( ) ( )( )2 2 19 xx

xxf

−−= ha

come C.E.: a. x<-3 o 1<x<3

b. x≤-3 o 1≤x≤3

c. x<-3 o 1<x<3 e x≠0 d. -3<x<1 o x>3

e. -3<x<1 o x>3 e x≠0 Es.: la funzione inversa e la funzione

reciproca di ( )x

xxf

1+= sono

rispettivamente:

a. 1

1

−=y

x e 1+

=x

xy

b. 1

1

+=y

x e 1+

=x

xy

c. 1

1

−=y

x e 1−

=x

xy

d. 1

1

+=y

x e 1−

=x

xy

e. nessuna delle precedenti

66

26) GEOMETRIA PIANA

67

68

Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti ed i lati corrispondenti in proporzione. Quindi due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono sempre fra loro simili. Cioè, due quadrati sono sempre simili, due pentagoni regolari sono sempre simili, ecc.

69

70

71

Es.: il rapporto tra il perimetro e l’area di un cerchio è: a. costante

b. uguale a π c. direttamente proporzionale al raggio d. inversamente proporzionale al raggio e. uguale al doppio del quadrato del raggio

Es.: se l’area di un cerchio vale 1200 m2, il raggio del cerchio è circa:

a. 100 m b. 20 m c. 10 m d. 1 m e. 3,14 m

Es.: con tre segmenti di lunghezze 1 cm, 3 cm, 7 cm:

a. non è possibile costruire un triangolo b. è possibile costruire un triangolo isoscele c. è possibile costruire un triangolo rettangolo d. è possibile costruire un triangolo scaleno e. è possibile costruire un triangolo equilatero

Suggerimento: ricordare che in un triangolo il maggiore dei lati è sempre minore della somma degli altri due. Es.: In un rombo una diagonale è tripla dell’altra e l’area vale 54. Quanto vale il lato del rombo?

a. 53

b. 180

c. non si può determinare d. 6

e. 103

Es.: in un quadrilatero gli angoli αααα, ββββ, γγγγ, δδδδ valgono: αααα = x; ββββ = αααα + 20°; γγγγ = ββββ + 30°; δδδδ = γγγγ + 40°.

Quanto vale l’angolo αααα? a. 30° b. 40° c. 50° d. 60° e. 70°

Es.: in due triangoli simili, i lati del più piccolo sono il 25% di quelli del più grande. Il rapporto fra l’area del triangolo grande e l’area del triangolo piccolo vale:

a. 4 b. 25 c. 16 d. 100 e. 36

Suggerimento: se i lati di 2 poligoni simili stanno nel rapporto k, allora le rispettive aree stanno nel rapporto k2…

72

Es.: se si fa ruotare un trapezio isoscele intorno alla base minore si ottiene: a. un tronco di cono b. un cono c. un cilindro scavato da due coni d. un cilindro con due coni sovrapposti alle sue basi e. nessuno dei precedenti

Es.: dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC e altezza AH:

a. AB2 = BC.CH b. AB2 = BC.AC c. AB2 = BC2 + AC2 d. AH2 = BH.CH e. AH2 = BH.BC

Es.: se un quadrato ha lato lungo 27 , la diagonale sarà lunga: a. 7 b. 8 c. 14

d. 214

e. 2/7

Es.: un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa doppia del cateto minore. Se il cateto maggiore è

lungo 3 , quanto misurano rispettivamente il cateto minore e l’ipotenusa?

a. 2; 4 b. 1; 2 c. i dati non bastano per rispondere d. 3; 6 e. ½; 1

Suggerimento: il triangolo rettangolo è un triangolo 30°-60°90°. Quindi… Es.: il rettangolo ABCD, di lati AB = 3 e AD = 4 è inscritto in una crf.. Quanto vale la lunghezza della crf.? a. 5

b. 5π

c. 5π/2

d. 10π e. non si può determinare Suggerimento: la diagonale del rettangolo è diametro della circonferenza… Es.: un campo circolare ha perimetro 1000 metri. Una palizzata esterna al campo lo circonda ad una distanza di 0,5 metri dal bordo. Quanto è lunga la palizzata?

a. 1000 + π

b. più di 1000π

c. 1000 + 2π

d. 1 + 1000/π

e. 1 + 1000/(2π)

73

Es.: dato un cerchio di raggio r, il lato del quadrato equivalente misura:

a. rπ

b. π2r

c. r/π

d. π/r

e. nessuno dei precedenti Es.: dato un rettangolo di altezza tripla della base b, il raggio del cerchio equivalente misura:

a. π/3b

b. π/3b

c. π3b

d. π/3b

e. π/3 2b

74

26) GEOMETRIA SOLIDA

75

Es.: dato un cubo di lato L e una sfera di raggio R = L, il rapporto dei loro volumi è:

a. π43

b. π4

3

c. π3

4

d. π34

e. nessuno dei precedenti Es.: sono date due sfere di raggi R1 e R2 e superfici S1 e S2. Se R1/R2 = 2, allora S1/S2 =:

a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e. 16

Es.: se una sfera e un cubo hanno uguale superficie, il volume della sfera è:

a. minore di quello del cubo b. maggiore di quello del cubo c. uguale a quello del cubo d. doppio di quello del cubo e. i dati forniti non sono sufficienti

Es.: Due coni C1 e C2 hanno basi di ugual raggio R. Se h1 = 3h2, quanto vale il rapporto V1/V2?

a. 1/3 b. 1 c. 2 d. 3 e. 9

Es.: se il raggio di un cilindro viene dimezzato e la sua altezza quadruplicata, il suo volume:

a. resta invariato b. raddoppia c. viene dimezzato d. quadruplica e. triplica

Es.: Un cilindro ha una base di raggio R e altezza 2R. Una sfera ha raggio 3R/2. Allora:

a. la sfera ha volume maggiore del cilindro b. la sfera ha volume minore del cilindro c. il rapporto tra il volume della sfera e quello del cilindro vale 4/3 d. il volume del cilindro è doppio di quello della sfera e. il prodotto tra il volume del cilindro e quello della sfera vale 4/3