-
CORRECTION MATHS BAC D 2010EXERCICE 1
Partie A
1. Les racines carres de 6
6
6
6
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
4
3
3
2
4 1
1
1
1
3
3
3
3 3
6
6
6i
6
6i
6i
6i
3i
3i
3i
3i
3i
i
3i
3i
3i
6i
3i
6i 6 6 i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
6i
6i
i
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ + +
+
+ +
+
+
+
+
+ +
- -
+ + + +
3%
3%6 36 3636% % % % %3%
3%
3%3%
3%3%
3%3%
3%
3%3%
3%3%
3%
3% 3%
3%
3%3%
3%3%
3% 3%
3%
3%
3%
3%3%
3%
3%
3%3% 3%
3%
3%
3% 3%
3%
3%Soit =
=
=
=
=
=
=
=
= =
=
= = =
=
=
=
=
=
=
=
= = = = ==
==
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
>
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
( )
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x y
y y
y y y
y y y
y y y
y y
x 3 108 144 12
12Soit d + une racine carre de . On a :
{ { {{ {
Re
2 2Im( )
12 18
9 3 3
6 6
3
6 3
(1) (1)
(1)(2)
(2)
(2)
2
2
+
-
0 et sont de mme signe.
ou
ou
-
-
On en dduit que les racines carres de sont :
d
d
d
d
et -
-
-
- - -
-
-
-
-
-
-
-
2. Rsolvons dans C lquation 2 z z
z
z
z
zz
z
zz
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
2
22
1+ 4 0
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4x2x(-4) 1+ 2x1x ( () )+ + 32 ; 27 32
Les racines carres de sont et ( daprs 1. )
1
2
-b-d
-b + d
2a
2a
2x2
2x2
4
4
2
2
2
2
1
1
(
(
)
)
S = C { ;3.a. Dvelopper, rduire et ordonner : 2
82
2
2
2
2
24
4
4
4
2
+
++
1
1
(
(
)
)
[
[
2
22
2
2
2
3
3
3
3
2
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
- -
-
-
-
4
4
4
4
4
1
4
]
] =
=
=
=
8
9
33
-
b. En dduire les solutions de (E).
i
ii
i
i
ii
i
i
i i i
i i
i
i
i
i
i
i
i
ii
6i + +
++
3%
3%3%
3%3%
3%
3%
3%
%
%
3%
3
3
3 3
3 3
4
%
%
% %
% %
%
3%
3%3%
3%
3% 3%
3%
4%
3%
3%
z z
zz
z z
zz
( (
((
) )
))
2 2
2
2
- -
--
- -
---
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
4 4
44
3 1
11
3z z
zz
z
z
zz
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
4 2
2
2
22
3- = =
==
=
=
=
=
== =
= =
=
=
=
=
= ==
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= =
=
=
= =
= =
= =
=
0 0
00
0
( )+
+
1
1
[ 3
33
]
ouou12
12
12
12
12
12
12
12
1
22
12 1
2
2 2 22 2
2
3
3
3
3 3 3
3 33
3 2
2
1 1 1
3 2
3
12
12
12
12
12
12
12
12
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0 01 10
1
2
0
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
;
;
+
+
+ +
+
+
++
+
+
+
+
+
;
;
1
1SC
4. Expression de , et sous forme trigonomtrique
arg( )
arg( )
arg( )
arg( ) B B
B
B
B
B B B
B B B
B B
B
B (cos + isin )
( (
(
(
(
1
11
1
1
1
1) )
)
)
)
x x x
x
- 2
2
2
2
+
+
1
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Soit
Soit
cos
cos
cos
cos
cos
cos
( ); on a :
; on a : do ; 2 ( )
Partie B
S similitude directe de centre O, dangle et de rapport k 2.-
-
=1.a. Ecriture complexe de S.
z az b
z
z zz zz
z
=
=
+
a
a a a
=
= =
= == = =
= =
= = = =ke ei i2 2 2[ [-
-
- -( ( () ) )+ +] ]1
1
b b
1
1 1
w w--
-
- -
-( () )0 0x
( )
b. Justifions que ( )
( )
( )M
M
MM
M
M0
0
11
1
2S
S
S=
=
=et
( ( () ) )
ainsi
-
;
-
i i
i
i
i i
i
3 3
3
3
4 2 2
22
3 3
3
3 3
3
3 3
2
% %
%%
%% %
%% %
%%1
212
12
12
12
12
12
z
z zz z
1 1
1
1
1 1
1
( (
(
(
( (
() )
)
)
) )
)i i
i
i--
-
-
2 2
2
2 2
2
1
1 12 2
1 +
+ +
+ +z=
= ===
=
=
=
=
= =
=
=
=
= = =
= == =
= =
=
= =
=
= = =
==
=
= =- -
-
-
- -
+
2 ; ( )
( )
M
M
M
M
1 2S
S
=
=
2. Justifions que z
zz
z
z
z z z z
zn
nn
n
0
012
12 12
0
0M M
n n
n
n
n
n
n n n n
nn
n
n
n
n
n
n
n
nn n
12
n
n
+
++
+
++
+
+
1
11
1
11
1
1 f( )
3. Soit dfinie pour tout entier parU
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
UU
U U
U U
(
(
(
(
)
)
)
)
n z
z
z
zz z z
a. Dmontrons que est une suite gomtrique dont on dterminera la
raison et le premier terme.
x x x
x
x x
x 2
2
2
donc est une suite gomtrique de raison et de premier terme q
q
b. Justifions que la distance OM
OM
OM
12
12
12
2048
12 12 12or car est une suite gomtrique .
4096 2048 2048
Exercice 2
M : Prise du mdicament
M : Pas de prise du mdicament
B : Baisse du taux glycmie
B : Pas de baisse du taux de glycmie
Arbre de probabilit
M
M
B
B
B
B
80
60
40
20
90
10
100
100
100
100
100
100
-
1. La probabilit davoir une baisse du taux de glycmie sachant
quon a pris le mdicament est :
P (M )
P (M )
P (B) P (B)
P (B)
P (B)
P (B)M
P (B)M
P (B)M
P 1 BM( )
P 1 BM( ) P (M )P 1 BM( ) P (B)M
= 80
60
60
52
52100
52
4800 40040 480
80
48
4848 48 12
10
100
100
100
100
10052 52 13
100
100 100100 100100 100100
100
100
100100
100
2. Montrons que la probabilit davoir une baisse du taux de
glycmie est 0,52.
=
= =
=
= = =
+ +
x
x
x
x
xx x
x x
+ ++
0,52
3. Probabilit que lindividu ait pris le mdicament sachant que
lon constate une baisse de son taux de glycmie.
P (M )B
P (M )B
=
= = = ==
==
0,93
4. Soit p la probabilit davoir une baisse du taux de glycmie
:
p = 0,52 ; pq = =1 ; 0,48
Le contrle sur un individu conduit 2 ventualits :- une baisse du
taux de glycmie de probabilit p = 0,52- ou une absence de baisse du
taux de glycmie de probabilit q = 0,48. Cest donc une preuve de
Bernoulli.
On rpte 5 fois cette preuve.On calcule les probabilits laide de
la loi binomiale P
P
P
P
P
P
P
P
(
(
(
(
(
(
(
(
X
X
X
X
X
X
X
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= =
K )
)
)
)
)
)
)
)
C
C
C
C
k
3
5
n
5
n
k
2
0
0
2 3
5
n
n
n
n
n
n
k
2
0
0
n
5
5
n
nP
P
P
P
q
q
q
q
q
q
-
a. La probabilit davoir exactement deux personnes dont le taux
de glycmie a baiss.
2
1
1
1
1
0
0
10 x x(0,52) (0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
(0,48)
( )
0,299
b. La probabilit davoir au moins un individu dont le taux de
glycmie a baiss.
1
1
-
-
1
1
1
1
1
1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
0,975
5. Dterminons n pour que la probabilit davoir au moins un
individu dont le taux de glycmie a baiss soit suprieure 0,98.
0,98
0,98
0,98
0,02
0,02
0,02
0,98
0,02
0,02
1-
ln ln
ln
lnln
ln
(
()
)
n
n nn 5,33 ; = 6
-
PROBLEME
Partie A
1. a. Justifions que V
V
V
V
x
x
x
x
]
]
] ]] ]
0 ; +
0 ; +
0 ; + 0 ; +
; ; + +
8
88
8
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
=
=
=
=
= = =
1
1
1
1
1
1
+
+ + +
+
+
+
lnx
lnx lnx lnx lnx
lnx
lnx
lnx lnx
lnx
x
x
x x x
x x
xx x( ( ( ( (() ) ) ) ))x xx x1
1
1 1
1 1
1
1
b) Etude des variations puis tableau de variation de g
0
0
0 0
0
0
e
e
e
e
e
e
e
e e
e e
e
+
+
+
+
> > > > >1 1- -
< 0
08 8
Tableau de variation de g :
Do g est strictement dcroissante sur
Do g est strictement croissante sur
-
-
1
12. g admet sur ]0 ; + 8 0 comme minimum absolu. Donc g(x) >
0
-
Partie B
lim
lim
lim
lim
lim
lim lim
lim
x
x
x
x
x
x x
x
f (x)f (0)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
0
0
0
0
0
0 0
0
{lnx
lnx
lnx
lnxlnx lnx
lnx
lnx
lnx
lnx
lnx lnx lnx
lnxlnx
lnx lnx lnxlnx lnx lnx
lnx
lnx lnx
x
x
x
xx x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x
xx
x
x
x x
x x
xx
x
x
x
f(0)
f(0)
f(0)
f(0)
f (0)f (0)
f(0)
=
=
=
0
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
1
11 1
1
1
11
1
1
1 1 1
+
++ +
+
+
++
+
+ + +
+
+ + +
1.a. Etude de la continuit de f en 0
==
= =
=
00
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
car
f est donc continue en 0.
b. Etude de la drivabilit de f en 0
-
-
-
-
-
-
-
- -
-x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x x
x
x
x x=
= =
= =x 1 1
1 1 car
existe et est finie donc f est drivable en 0 et f (0) = 1
c. Tangente au point dabscisse 0
(T ) :
(T ) :
y
y
=
=
=
=
=
= = =
= ==
=
=
= =
=( (
(
(
) )
)
)
+ +1x
d. Position relative de (C ) et (T )
-
-
-
- - - -
-
-
- 2 2 2
2
x
]0 ; + 8V g(x) > >
> >
0 0
0 0 0
et donc le signe de dpend du signe de
e0 1
On en dduit :
]
]
0
1
;
;
1Sur (C ) est au dessus de (T )
8
8
+
+
Sur (C ) est en dessous de (T )
2. Dmontrons que (OI) est une asymptote (C) en
1 1
11
( )
1
1
0
0 0x x xx8+ 8+
8+
8+8+lim lim limlim car et
-
f(x) =
=
=
=
=
=
=
=
=
x 8+
8+lim 0 (OI) ; y = 0 est asymptote (C ) en .
3.a. Dmontrons que : lnx
lnx
lnx lnx
lnx lnx
lnx
lnx
lnx
lnx lnx
lnx
lnx
lnx lnx
lnx
lnx
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+ + +
+
1f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
-(
(
( (
( (
(
(
(
(
(
( ((
)
)
) )
) )
)
)
)
)
)
) ))
2
2
2 2
2 2
2
2
( ) ( )
( )
x
x x
x
x xx
-
- -
- -
-
-
-
0 1
b. Etude des variations et tableau de variation de f
> 0 le signe de dpend du signe de
88
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
x
x
1
1
0
0
0
0
+
+
+
+
]
]
0
1
;
;
1
8+
VV
x
x
> 0
0
et f est strictement croissante
et f est strictement dcroissante
Tableau de variation de f
0 0
-
4. Construction de la droite (T ) et de la courbe (C ) dans le
plan muni du repre (O, I, J)
Partie C
1.a. Justifions que : f
f
f
f
(x)
(x)
(x)
(x)
]
]
]
]]
0
1
1 1
1 1
1
00
;
;
;
; ;
8
88
+
+ +
V
V
V
x
x
x x x
x x
x x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x
x
x
1
1
#
#
# # #
# #
#
# #
# # #
# ##
#
#f admet sur 1 comme minimum absolu et f(1) = 1 . Donc
1. Dmontrons que : e
ee e
x
x
x x
x
e
x x
x
x
x
x
x x x
x x
1 1
1
1 1
1
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
11 1 1
1 1
1
-+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+ + +
+ +
++
ln lnln
ln ln
ln ln ln
ln ln
ln
ln
car la fonction est strictement croissante
-
- -
-
2. A A
est laire de la partie du plan limite par (C ), (OI ) et les
droites dquations x = 1 et x = e.
Dmontrons que : 16 16 16 ( ((e e- -1 1) ))+ ln
-
ee
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ee
e
e
e
e
e e1
1
1
1 1
1
1
1
11
1
1
1
1
1 1f f (x) (x)
x
xxx
xx
xxx
xx
1 + ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
f
f
f f
f
(x)
(x)
(x) (x)
(x)
]
]
1
1
;
;
V
V
x
x
#
#
# #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
e
e
x
x
x x
x x
x
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
f (x)]0 ; 8+ Vx 1
1
1
#
#
#
A
A
A
A
A
A
= = = = =*
**
**
**
* *( - 0) dx
d x
dd
dd
ddd
x x xUA UA UAUA
UA UA UA
; 4 x 4 16 cm2
On a montr : en 1.a. que
en 1.b. que
donc
((
)) x x x
[
[
[
[
(
(
(
(
)
)
)
)
]
]
]
]
x x
x
16
16
16
16
16
16
16
16
1616 16
(1
1
1
+
+
+
2
2
2
(
(
((
)
)
))
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![Topologie - Puissance Maths · 2015. 10. 29. · []éditéle10juillet2014 Enoncés 1 Topologie Ouverts et fermés Exercice 1 [ 01103 ] [correction] Montrerquetoutfermépeuts](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60b32003e9ea3e6b9941f7d6/topologie-puissance-2015-10-29-ditle10juillet2014-enoncs-1-topologie.jpg)
