1

Convergence Time to Nash Equilibria

Eyal Even-Dar

Alex Kasselman

Yishai Mansour

עידו פלדמן

גיא גרבלה

2

נושאי ההרצאה

משחקיLoad Balancing ..מודל פורמלי.מוטיבציה.מכונות שונות.מכונות דומות.מכונות זהות

3

Load Balancingמשחקי

:מכונות בעלות פרמטרים שוניםהמשאבים :עבודות בעלות משקלים שוניםהשחקנים

:העומס על המכונה בה בחרמחיר לכל שחקן

4

Load Balancingדוגמה –

מספר שרתיFTP.זהים בתוכן, אך לא במהירות .כל שחקן מעוניין להוריד קובץ כלשהו

:לבחור שרת כך שזמן ההמתנה לקובץ המטרהיהיה מינימאלי.

5

סוגי מכונות

( 10זהות)שרתי קבצים בעלי רוחב פס זהה )דומות )שרתי קבצים בעלי רוחב פס שונה)שונות )מסוק ואופניים

6

סוגי עבודות

ניתן להוריד קובץ מכל אחד מהשרתים.:1מקרה

קיימים קבצים שלא נמצאים בכל :2מקרה השרתים.

נתעניין גם באפשרות בה לא כל עבודה יכולהלהתבצע על כל מכונה.

7

מוטיבציה

:חסמים כלליםחסמים עליונים עבור פונקציות משקל כלליות.–חסמים עבור מקרים פרטיים של פונקציות משקל.–

:אופטימיזציה לאסטרגית השרתחסמים עליונים לאסטרטגיות "טובות"–חסמים תחתונים לאסטרטגיות "רעות"–

8

המודל: מכונות ועבודות

m ,מכונותn.עבודות :למכונה מהירותMi מהירות .

:עבודה השמה מוגבלת J-תרוץ על מכונה ב R(J).:משקל לכל עבודה

.wp(J) משקל Mp על J לעבודה במכונות שונות:–

.w(J) משקל J לעבודה אחרת )מכונות דומות/זהות(:–

M(J,t): המכונה שמריצה אתJ בזמן t.

min max[ , ]iS S S

9

המודל: משקולות ועומסים

משקל כוללW משקל מקסימלי ,wmax.( משקלים כללים, שלמים או דיסקרטייםK.)סוגים

בזמןt:–Li(t) סכום משקלי העבודות במכונה – i.

)Lmax=max{Li}(

–Ti(t) : "זמן סיום" – Ti(t)=Li(t)/Si. )Tmax=max{Ti}(

10

(ESSהמודל: בקר )

בכל צעד, רק עבודה אחת יכולה לעבור למכונהאחרת )למה?(.

הבקר )אנחנו( שולט בזכות המעבר, אבל לאביעד.

:דוגמאות לאסטרטגיותMax Weight, Min Weight, Random.

11

המודל: דוגמה )מכונות דומות(

1

2 3

M1 M2

S1=1 S2=2

1

L1=3

T1=3

L2=3

T2=1.5

12

(Unrelatedמכונות שונות )

.משקל העבודה הוא תלוי מכונה.המערכת תמיד מתכנסת לש"מ נאש ,נראה חסמים עליונים עבור משקלים כלליים

משקלים דיסקרטיים ומשקלים שלמים.

:נראה חסם עליון משופר עבור: אופטימיזציהMax Load Machine

13

מכונות שונות - התכנסות

מצב במערכת לא חוזר פעמיים.טענה::100,30,10,70,50,80 נתבונן במצב במערכת:100,80,70,50,30,10 לאחר מיון

-בשתי המכונות 10 ל-80אם מעבירים משקל מ )למה?(80העומס יהיה קטן מ-

.לכן, הסדר הלקסיקוגרפי )הממוין( יהיה קטן יותר

14

מכונות שונות – התכנסות )המשך(

מספר הצעדים חסום ע"י מספר המצבים.מסקנה:

עבור מכונות שונות ומשקלים כללים, משפט: צעדים.)O)mnהמערכת מתכנסת לאחר

15

מכונות שונות – משקלים דיסקרטיים

.נשפר את החסם על מספר המצבים במערכת יהיni מספר העבודות עם משקל wi .

מספר המצבים עבור עבודות עם משקלwi:

:חסם למספר המצבים.זה החסם למספר הצעדים עבור משקלים דיסקרטיים

1 i K

im n

m

1

( 0) KmK

i

i

m n nc c c

m Km

16

מכונות שונות – משקלים שלמים

:נשתמש בפונקציית פוטנציאל. :לכל מצב, ובפרט למצב הסופי. :בכל מצב, ובפרט המצב ההתחלתי אם בזמןt-עבודה עוברת מ i-ל j:אזי

( )

1

( ) 4 i

mL t

i

P t

( ) 0P t

( ) 4WP t

( ) ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1) 4 4 4 4j ji iL t L tL t L tP t P t

( ) ( ) 1 ( ) 14 4 4i i iL t L t L t ( )4

( ) ( 1) 22

iL t

P t P t

Li)t+1(≤ Li)t(-1

Lj)t+1(≤ Li)t(-1

17

מכונות שונות – משקלים שלמים )המשך(

במכונות שונות ומשקלים שלמים, זמן משפט:.4W/2ההתכנסות הוא לכל היותר

Max-Load-Machineבאסטרטגית משפט:ומשקלים שלמים, זמן ההתכנסות חסום

maxע"י:

44

2

Ww

mmmW

18

Max-Load-Machineהוכחה -

שתי פאזות:

פאזה ראשונה נמשכת כל עוד:1.

בפאזה שנייה:2.

(:2הפוטנציאל בתחילת )

לכן, פאזה זו מסתיימת לאחר לכל היותר:

max max( )W

L t wm

max max( )W

L t wm

max max( ) /4 4L t w W mm m

max /4

2

w W mm

19

(:1בפאזה )

לכן, כל עבודה במכונה העמוסה ביותר יכולה לעבור.

השינוי בפוטנציאל הוא לפחות .

)P)t+1(≤P)t(∙)1-1/2m מכאן:

.4mW( חסום ע"י: 1 זמן שלב )ולכן:

Max-Load-Machine 1 – פאזה

min max max( ) ( )W W

L t L t wm m

max ( )( ) 4

2 2

L tP t

m

max( ) ( )4 4

2 2

iL t L t

P

max max( ) ( ) ( )

1 1

4 4 4i

m mL t L t L t

i i

m

41

4 1 12

mWW

m

20

מכונות דומות

פונקצית פוטנציאל שונה-זמן התכנסות לε-Nash.-זמן התכנסות לNash.)בשלמים(

)תוצאות אחרות )ללא הוכחה

21

(Related Machinesמכונות דומות )

,במכונות דומות

:חסם תחתון

:חסם עליון

2 2 22

1 1 1 1( , ) ( , )

( ( ))( ) ( ( ))

m n m nj i i

r j jj i j ij M i t M i t

L t w wP t S T t

S S S

2

min

2( )

WP t

S

( ) 0P t

22

i עוברת ממכונה w עבודה במשקל tאם בזמן למה:, אזי:jל-

הוכחה:

)השינוי בפוטנציאל(1למה

( 1) ( ) 2 1j iP t P t w T t T t

2 22 22 2( 1) ( )( 1) ( )j ji i

j i j i j i

L t L tL t L tw wP

S S S S S S

2 2 2 22 2( ) ( ) ( ) ( )j j i i

j i

L t w w L t L t w L t w

S S

22 ( ) 2 ( )2 ( ) ( )2j ji i

j i j i

L t w w L t wL t w L tw

S S S S

23

)המשך(1למה

( ) ( )2 j i

j i

L t w L tw

S S

2 ( 1) ( ) 0j iw T t T t

( 1) ( )2 j i

j i

L t L tw

S S

24

ε-Nashמכונות דומות –

במכונות דומות, זמן ההתכנסותמשפט:

הוא .ε-Nashל-

הירידה בפוטנציאל בכל צעד: הוכחה:

ולכן:

2

min

W

S

( ) ( 1) 2 1 2 2i jP t P t w T t T t w

22

min min

22

WWConvergence

S S

25

Nashמכונות דומות -

במכונות דומות עם משקלים ומהירויות משפט:בשלמים, זמן ההתכנסות לש"מ נאש

ע"י:חסום

אז:j ל-i עברה עבודה מ-tאם בזמן הוכחה:

2 2max

min

W S

S

1j i

j i

L t L t

S S

2max

1 1 1j i j j ii

i j i j

L t L t S L t SL t

S S S S S

26

תוצאות נוספות

עבור אסטרטגייתMax-Load-Machine החסם על ההתכנסות הוא:

עבור משקלי יחידה, קיימת אסטרטגיה שמתכנסת.)O)mnבזמן

עבור משקלי יחידה, קיימת אסטרטגיה שמתכנסת.)Ω)mnבזמן

2max max

min min

mS nwO W

S S

27

(Identical Machinesמכונות זהות )

בחלק זה נדון בחסמים משופרים לגבי מכונותזהות כאשר ההשמות אינן מוגבלות )כל עבודה

יכולה לרוץ על כל מכונה(. נשים לב כי בהצגת חסם תחתון למודל זה אנו

למעשה מראים חסם תחתון לכל המודלים נראה כי גם במקרה בו יש שתי מכונות בלבד יש

צעדים.)Ω)n2קונפיגורציה שמתכנסת תוך

28

מכונות זהות - תזכורת

במכונות זהות, לכל מכונהMi מתקייםSi=1

המשקל של עבודה מסוימתJ ,שווה על כל מכונה i לכל wi(J)=w(J)כלומר

29

הגדרות נוספות

Best-reply policy עבודה :J בוחרת במכונה Mi . )לאחר המעבר(Li את שממזערת

ביחס )best response )BRלמכונה הנבחרת נקרא Jל –

הוא העומס ללא J ביחס לעבודה Marginal loadה-J.

30

מכונות זהות – תכונות עיקריות

בכל יחידת זמן העומס המינימלי בין :1אבחנה .לא יורדהמכונות

עומס מינימלי עומס מינימלי

31

מכונות זהות – תכונות עיקריות

. B.R עברה למכונת ה Jאם עבודה :2אבחנה היא Mi אז tבזמן Miשלה,

minimal marginal load machine )MMLM(

משקל גדול בעלת tבזמן Miב ביחס לכל עבודה

Jאו שווה למשקל

32

מכונות זהות – תכונות עיקריות )המשך(

. t בזמן M עברה למכונה Jנניח שעבודה :1טענה רוצה לעבור למכונה אחרת בזמן Jאם

t’>t אז קיימת עבודה אחרת בעלת ,, ’’t בזמן Mגדול יותר שעברה ל משקל ’t<t’’≤tכאשר

נובע שהיא J. עבור B.R היא Mמכיוון ש הוכחה:.t בזמן MMLMה

33

מכונות זהות – המשך הוכחה

, העומס המינימלי לא יורד ולכן הסיבה 1לפי אבחנה רוצה לעבור מכונה היא שעבודה Jהיחידה ש

.Mאחרת הגיעה ל

34

מכונות זהות – המשך הוכחה

– הגעה של עבודה עם משקל קטן 2לפי אבחנה . לכן, J- ביחס לMMLM כ M תשמור על Jיותר מ

Jבהכרח עבודה אחת לפחות עם משקל גדול מ- . ’t ו t+1 בזמן שבין M ל-הצטרפה

35

Max Weight Jobמכונות זהות –

Max Weight Job strategyבמקרה של משפט:, עם מכונות זהות וללא B.R policyעם

הגבלת השמות, נתכנס לש"מ נאש צעדים.nהיותר בלכל

לפי הטענה, ברגע שעבודה עברה למכונה הוכחה:חדשה היא לא תעזוב עד שעבודה בעלת

משקל גדול יותר תגיע.

36

Max Weight Jobהמשך הוכחה –

רק עבודות בעלות משקל קטן MaxWJאבל לפי יותר

יכולות להגיע לאחר העבודה.

לכן כל עבודה עוברת לכל היותר פעם אחת.

מ.ש.), n=< מס' הצעדים חסום ע"י מס' העבודות)= ל

37

Min Weight Jobמכונות זהות –

,עם B.R עם מדיניות MinWJעבור משפט:מכונות זהות וללא הגבלת השמות, קיימת

קונפיגורציה כך שדרושים לפחות

צעדים כדי להגיע לש"מ נאש, כאשר: 2 !

Kn

KK

1K m

38

FIFO ו MinWJמכונות זהות –

B.R עם מדיניות FIFO ו MinWJעבור משפט: מכונות זהות ללא שתיבמערכת של

הגבלת השמות, קיימת קונפיגורציה הדורשת לפחות צעדים כדי להגיע

לש"מ נאש.

C1,C2,…,Cn/2נגדיר מחלקות של עבודות: הוכחה:

כל מחלקה מכילה שתי עבודות במשקל wi=3i-1

2 /4n

39

MinWJ ו FIFOהמשך הוכחה –

שווה wi במשקל Ciמשקלה של עבודה ב אבחנה: המחלקות i-1לסכום המשקלים ב

.1 הראשונות ועוד

בתחילה כל העבודות באותה מכונה.

k:חוץ מעבודה אחת ב -שלבCk כל העבודות מ ,C1,…,Ck.עוברות למכונה השנייה

40

MinWJ ו FIFO(2 – המשך הוכחה)

וכןMinWJ מהווים n/2,…,1קל לראות כי השלבים FIFO

)אם בשוויון לוקחים משקל מינימלי(

k 2-שלב לוקחk-1 צעדים, ולכן נזדקק ל n2/4.צעדים

41

מכונות זהות – חסמים נוספים

B.Rלאסטרטגיה אקראית עם מדיניות משפט:נגיע לש"מ נאש בזמן ממוצע של עד

n(n+1)/2 .צעדים

נגיע B.R עם מדיניות FIFOלאסטרטגית משפט: צעדים.n(n+1)/2לש"מ נאש בלכל היותר

בשקף הבא. הוכחה:

42

מכונות זהות – חסמים נוספים

נגיע ,B.R עם מדיניות FIFOלאסטרטגית משפט: צעדים.n(n+1)/2לש"מ נאש בלכל היותר

הוכחה:רצף מקסימלי של עבודות שעוברות סיבוב:

יותר מכונה, כאשר ברצף אף עבודה לא מופיעה מפעם אחת.

בעלת משקל מקסימלי המעוניינת J בעבודה Rנתבונן בסיבוב Rלעבור מכונה בתחילת

43

חסמים נוספים – המשך הוכחה

)ותעבור אם R תיבחר במהלך FIFO, Jלפי הגדרת

עדיין תרצה לעבור(

לא תעבור מכונה במהלך הסיבובים הבאים, J, 1לפי טענה עבודות.n-k+1יכיל לכל היותר kלכן הסיבוב ה

מכאן – סה"כ זמן ההתכנסות חסום ע"י1

1 ( 1) / 2n

k

n k n n

44

מכונות זהות – חסמים נוספים )המשך(

:משקלים דיסקרטיים B.Rבמקרה זה לכל אסטרטגיה במדיניות משפט:

O((n/K+1)K)ההגעה לש"מ נאש היא ב צעדים.

:משקלים שלמים B.Rבמקרה זה לכל אסטרטגיה במדיניות משפט:

צעדים.W+nההגעה לש"מ נאש היא ב

45

מכונות זהות – חסמים נוספים )המשך(

:משקלים זהים

קיימת אסטרטגיה כך שההגעה לש"מ נאש משפט:עבורה לוקחת לפחות

Ω)min{mn,nlogn)logm/loglogn(}(

46

הערות לסיכום

חקרנו בעיות שלload balancing כאשר העבודות (selfish usersהיו אנוכיות )

התעניינו במספר הצעדים שלוקח על מנת להגיעלש"מ נאש באסטרטגיות שונות.

ראינו כי עבור אסטרטגיות מסוימות ההגעה לש"מנאש נעשית במספר פולינומי של צעדים, ועבור

אסטרטגיות אחרות ייתכן מס' אקספוננציאלי של צעדים.

47

הערות לסיכום )המשך(

,לזמן ההתכנסות לש"מ נאש יש חשיבות גדולהאפילו במערכות שכבר פועלות בש"מ נאש,

המשתמשים יכולים להצטרף או לעזוב. לכן, בתכנון אלגוריתמים מבוזרים באינטרנט, יש

להתחשב בזמן ההגעה לש"מ נאש.