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Junho, 2013
CONTROLE DE VIBRAÇÕES
MECÂNICAS TIPO “STICK-SLIP”
EM COLUNAS DE PERFURAÇÃO
Aluno: Michael Angel Santos Arcieri
Orientador: Oscar A. Z. Sotomayor
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Arcieri, Michael Angel Santos
A674c Controle de vibrações mecânicas tipo “stick slip” em colunas de perfuração / Michael Angel Santos Arcieri ; orientador Oscar A. Z. Sotomayor. – São Cristóvão, 2013. 105 f. : il. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade
Federal de Sergipe, 2013.
O
1. Coluna de perfuração. 2. Fenômeno stick-slip. 3. Controle proporcional-integral. 4. Controle por modo deslizante. 5. Controle por linearização entrada-saída. I. Sotomayor, Oscar A. Z., orient. II. Título.
CDU: 620.178.3
iv
Dedico este trabalho a minha
mãe, pelo exemplo de vida que é, ao meu
pai, pelo seu incentivo, aos meus irmãos, a
minha namorada Luana, e especialmente
ao meu avô Gerino.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço esse trabalho inicialmente a Deus, por ter me dado a vida.
Ao meu avô Gerino por cada ensinamento, agradeço a Deus por cada momento que
estive com o senhor, que Deus o tenha! SAUDADES!
Aos meus pais, Josefa e Angelo, e meus irmãos, Jofrancis, Denis, Jean e Ryan pelo
companheirismo e amizade que sempre me proporcionaram.
A minha namorada, Luana, pelo amor, amizade, companheirismo, força e compreensão
que me ofereceu durante o mestrado.
Aos amigos do mestrado, Rodrigo, Iury, Manoel, Cássio, David e Carlos Eduardo que
me ajudaram durante toda essa jornada.
Ao meu orientador e professor Oscar Sotomayor que me incentivou a entrar na área de
controle, através de seus bons ensinamentos e conselhos.
vi
“As conquistas não são fáceis de serem
atingidas, muitos obstáculos haverá pela
frente, mas o verdadeiro conquistador
tem o espírito lutador, planejador, e
sonhador. Estará sempre seguindo em
frente e rompendo todos os obstáculos.”
André Luiz Palma
vii
Resumo da Dissertação apresentada ao PROEE/UFS como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre (Me.)
CONTROLE DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TIPO “STICK-SLIP” EM COLUNAS
DE PERFURAÇÃO
Michael Angel Santos Arcieri
Março/2013
Orientador: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor
Programa: Engenharia Elétrica
Vibrações mecânicas são inevitáveis nas operações de perfuração. Vibrações
torcionais stick-slip são vibrações que ocorrem em colunas de perfuração, as quais são
produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por grandes oscilações
da velocidade da broca. Estas vibrações são prejudiciais, mais pela característica cíclica
do fenômeno que pela amplitude da mesma, podendo originar fadiga da tubulação,
falhas nos componentes da coluna de perfuração, deformações nas paredes do poço,
desgaste excessivo da broca, baixa taxa de penetração e, inclusive, colapso do processo
de perfuração. A frequência destas oscilações indesejadas pode ser reduzida pela
aplicação de técnicas de controle automático. O objetivo deste trabalho é avaliar,
mediante simulações numéricas, a aplicação de técnicas de controle convencional, como
o controle proporcional-integral (PI), e não linear, como o controle por modos
deslizantes (SMC) e o controle por linearização entrada-saída (IOLC) para eliminar a
presença de oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Os controladores são
desenvolvidos principalmente para manter constante a velocidade do sistema de rotação,
mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a
velocidade da broca, fornecendo desta maneira condições ótimas de operação, além de
preservar a estabilidade do sistema. Resultados das simulações, usando modelos
torcionais de uma coluna de perfuração de dois graus de liberdade (2-DOF) e de quatro
graus de liberdade (4-DOF), mostram o desempenho dos sistemas de controle
propostos, os quais são analisados e comparados qualitativamente.
Palavra-chaves: Coluna de perfuração, fenômeno stick-slip, controle PI, controle por
modos deslizantes, controle por linearização entrada-saída.
viii
Abstract of Dissertation presented to PROEE/UFS as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master.
CONTROL OF STICK-SLIP VIBRATIONS IN OIL WELL DRILLSTRINGS
Michael Angel Santos Arcieri
March/2013
Advisor: Prof. Dr. Oscar A. Z. Sotomayor
Department: Electrical Engineering
Mechanical vibrations are inevitable in drilling operations. Torsional stick-slip
vibrations are vibrations that occur in drilling columns, which are produced by periodic
variations of torque and characterized by large fluctuations in the speed of the drill bit.
These vibrations are dangerous, primarily by the cyclical characteristic of the
phenomenon that by the amplitude of the same, which can cause fatigue of the pipe,
failures in the components of the drill string, deformations in the walls of the well,
excessive wear of the drill, low rate of penetration, and collapse of the drilling process.
The frequency of these unwanted oscillations can be reduced by the application of
automatic control techniques. The objective of this study is to evaluate through
numerical simulations, the application of conventional control techniques, such as
proportional-integral control (PI), and nonlinear, as the sliding mode control (SMC) and
the input-output linearization control (IOLC), to eliminate the presence of stick-slip
oscillation in drilling columns. The controllers are designed primarily to maintain a
constant speed of rotation system, by manipulating engine torque, thereby inferentially
control the speed of the drill, thus providing optimum operation conditions, beyond
preserving system stability. Results of simulations using drill string torsional models of
two degrees of freedom (2-DOF) and four degrees of freedom (4-DOF) show the
performance of the proposed control systems, which are analyzed and qualitatively
compared.
Keywords: drill string, stick-slip phenomenon, PI control, sliding mode control, control
by input-output linearization.
ix
SUMÁRIO
Lista de Figuras .......................................................................................................................... xi
Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xiv
Lista de Abreviaturas ................................................................................................................ xv
Capítulo 1. Introdução ................................................................................................................. 1
1.1. O Processo de Perfuração .............................................................................................. 1
1.2. O Fenômeno "Stick-Slip" .............................................................................................. 3
1.3. Objetivos do Trabalho ................................................................................................... 5
1.4. Revisão Bibliográfica .................................................................................................... 6
1.5. Estrutura do Trabalho .................................................................................................... 8
Capítulo 2. Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração ............................................... 10
2.1. Modelo Matemático de n-DOF ................................................................................... 10
2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF .......................................................................... 16
2.3. Simulação de um Sistema de 3-DOF .......................................................................... 20
2.4. Simulação de um Sistema de 4-DOF .......................................................................... 25
Capítulo 3. Controle PI das Vibrações “Stick-Slip” ................................................................ 31
3.1. Introdução ................................................................................................................... 31
3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-P ........................................................... 32
3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema de 2-DOF ................................... 36
3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no Sistema 4-DOF ....................................... 41
Capítulo 4. Controle por Modos Deslizantes ........................................................................... 48
4.1. Introdução ................................................................................................................... 48
4.2. Aspectos Gerais do SMC ............................................................................................ 48
4.3. Síntese do Controlador SMC ...................................................................................... 49
4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna de Perfuração ........................................ 54
4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 2-DOF ............................................. 55
4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema de 4-DOF ............................................. 58
Capítulo 5. Controle por Linearização Exata por Realimentação ........................................ 61
5.1. Introdução ................................................................................................................... 61
5.2. Conceitos Básicos Fundamentais ................................................................................ 62
5.2.1. Campo vetorial .................................................................................................... 62
5.2.2. Campo covetorial ................................................................................................ 62
5.2.3. Produto interno .................................................................................................... 62
x
5.2.4. Gradiente ............................................................................................................. 62
5.2.5. Jacobiano ............................................................................................................. 63
5.2.6. Derivada de Lie ................................................................................................... 63
5.2.7. Parêntese de Lie .................................................................................................. 63
5.2.8. Difeomorfismo .................................................................................................... 64
5.2.9. Teorema de Frobenius ......................................................................................... 65
5.3. Linearização Entrada-Estado ...................................................................................... 65
5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída (IOLC) ...................................................... 70
5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um Controlador ISLC para a Coluna de
Perfuração ............................................................................................................................... 73
5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a Coluna de Perfuração .................................. 78
5.7. Simulação do Controlador IOLC nos Sistemas 2-DOF e 4-DOF ............................... 79
5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema de 4-DOF ............................................. 81
Capítulo 6. Conclusões e Recomendações de Trabalhos Futuros .......................................... 85
Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 87
xi
Lista de Figuras
Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore ....................................................................... 2
Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)4
Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de
perfuração real (Serrarens et al., 2008) ............................................................................. 5
Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n
graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na
Tabela 2.1. ....................................................................................................................... 11
Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração ................... 17
Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-
DOF ................................................................................................................................ 19
Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3).
Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema
de 2-DOF ........................................................................................................................ 19
Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF ................................... 20
Figura 2.6 – Estrutura do modelo de 3-DOF de uma coluna de perfuração ................... 21
Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa
rotatória (x2) do sistema de 3-DOF ................................................................................. 23
Figura 2.8 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de
perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa
rotatória e a broca no sistema de 3-DOF ........................................................................ 24
Figura 2.9 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 3-DOF ................................... 24
Figura 2.10 – Estrutura do modelo de 4-DOF de uma coluna de perfuração ................. 25
Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos .................................................................. 27
Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4)
e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF ................................................................ 29
Figura 2.13 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de
perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular
entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF ................................................... 29
Figura 2.14 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 4-DOF ................................. 30
Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido ...................... 35
xii
Figura 3.2 – Implementação do controlador PI no sistema de 2-DOF no
Simulink/MatlabTM
......................................................................................................... 37
Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 38
Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador
PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ................................................... 38
Figura 3.5 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 39
Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis
controladas (II) variável manipulada .............................................................................. 40
Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 40
Figura 3.8 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 41
Figura 3.9 – Implementação do controlador PI no sistema de 4-DOF no
Simulink/MatlabTM
. ........................................................................................................ 42
Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 43
Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 44
Figura 3.12 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 45
Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 45
Figura 3.14 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................... 46
Figura 3.15 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I)
variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas ........................................................... 46
Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991) ...... 51
Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 57
Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador
SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 57
xiii
Figura 4.4 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 58
Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 59
Figura 4.6 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................. 59
Figura 4.7 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador SMC: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 60
Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com 휀 = 8: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada .............................................................. 80
Figura 5.2 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o controlador
IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 80
Figura 5.3 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 81
Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada ............................................................................. 82
Figura 5.5 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ............................................. 83
Figura 5.6 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador IOLC:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada ......................................................... 83
xiv
Lista de Tabelas
Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração ...................... 12
Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF ............................................ 18
Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF ............................................ 22
Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF ........................................... 28
Tabela 4.1– Valores dos parâmetros de sintonia do SMC desenvolvidos para o sistema
2-DOF ............................................................................................................................. 56
xv
Lista de Abreviaturas
2-DOF Sistema com 2 Graus de Liberdade
3-DOF Sistema com 3 Graus de Liberdade
4-DOF Sistema com 4 Graus de Liberdade
𝑛-DOF Sistema com 𝑛 Graus de Liberdade
BHA Composição de Fundo da Coluna
IOLC Controle por Linearização Entrada-Saída
ISLC Controle por Linearização Entrada-Estado
MPC Controle Preditivo Linear
NMPC Controle Preditivo Não-linear
PD Proporcional-Derivativo
PI Proporcional-Integrativo
PID Proporcional-Integrativo-Derivativo
PI-P Proporcional-Integrativo-Proporcional
ROP Taxa de Penetração
SMC Controle por Modos Deslizantes
𝑊𝑜𝑏 Peso sobre a Broca
VSC Controle com Estrutura Variável
VSCS Sistema de Controle com Estrutura Variável
1
Capítulo 1
Introdução
1.1. O Processo de Perfuração
O trabalho de uma sonda de perfuração consiste em perfurar a crosta terrestre
objetivando a extração de recursos naturais tais como água, gás natural ou petróleo. Os
primeiros poços foram perfurados com o intuito de obter água diretamente de aquíferos,
reservas de águas subterrâneas, para suprir a necessidade de uma determinada região.
Porém com o desenvolvimento da indústria e a urgência de obtenção de novas fontes de
energia, as técnicas de perfuração até então conhecidas foram aprimoradas permitindo a
exploração do petróleo subterrâneo em grande escala, tornando a indústria petrolífera
um dos principais expoentes econômicos da sociedade atual.
Existem, basicamente, dois métodos de perfuração:
Método percussivo: a perfuração é feita golpeando a rocha com uma broca,
causando a sua fragmentação por esmagamento. Os cascalhos gerados no
interior do poço após vários golpes são retirados posteriormente através de
uma ferramenta chamada caçamba. Este método foi o primeiro a ser
utilizado na indústria do petróleo.
Método rotativo: a perfuração é realizada através do movimento de rotação
de uma broca, comprimindo a rocha, causando o seu esmerilhamento. A
retirada dos cascalhos gerados é realizada por um fluido de perfuração que,
injetado nos tubos de perfuração, retorna pelo anular, espaço existente entre
da coluna de perfuração e as paredes do poço. Este método é considerado o
padrão da indústria do petróleo, sendo utilizado nas perfurações atuais.
A perfuração de poços de petróleo é realizada por uma sonda de perfuração,
como ilustrado na Figura 1.1. A sonda da figura é uma plataforma fixa tipo jaqueta
usada nas operações de perfuração offshore. A coluna de perfuração, com a broca de aço
na sua extremidade, é ligada ao topdrive, um motor elétrico é responsável pela rotação
da coluna e que se encontra localizado na parte superior do mastro ou torre de
perfuração. O efeito combinado do peso sobre a broca e da sua rotação sobre a formação
causa a fragmentação da rocha. O topdrive é preso a um gancho no mastro, o que torna
possível a movimentação vertical (para cima e para baixo) da coluna pelo sistema de
2
elevação. Durante a perfuração, à medida em que a broca vai penetrando a formação
rochosa e a posição do topdrive alcança o fundo do mastro, uma nova seção de tubo de
perfuração é adicionada à coluna e a posição do gancho é movida para o topo da nova
conexão, retomando o processo. O comprimento de cada tubulação é de
aproximadamente 27 m, de modo que para uma taxa de penetração típica de 15m/h
exigirá uma nova conexão a cada duas horas aproximadamente.
Além das sondas equipadas com top drive existem as sondas convencionais,
nas quais o sistema de rotação é dado pela mesa rotativa. Localizada na plataforma da
sonda, a mesa rotativa é um equipamento que transmite rotação à coluna de perfuração
através de um tubo de parede externo poligonal, o kelly, que fica enroscado no topo da
coluna de perfuração. A mesa rotativa, em algumas operações, tem o papel de suportar o
peso da coluna de perfuração. Há ainda a possibilidade de perfurar com um motor de
fundo, em que o torque necessário é dado pela passagem do fluido de perfuração no seu
interior (Thomas, 2001).
Figura 1.1 – Sonda de perfuração offshore
Embora não claramente ilustrado na Figura 1.1, a sonda de perfuração contém
um sistema de circulação de fluido ou lama de perfuração. Uma bomba é responsável
por injetar o fluído de perfuração por dentro da coluna, o qual passa através da broca e
retorna pela região anular, espaço compreendido entre a coluna de perfuração e a parece
do poço, trazendo consigo os cascalhos gerados no processo. Depois de fluir por uma
linha de retorno, a lama passa por uma peneira vibratória, para separar os sólidos mais
grosseiros, e volta ao reservatório para ser novamente utilizada.
Além de transportar os cascalhos gerados para a superfície, o fluido de
perfuração tem as seguintes funções: limpar e esfriar a broca, atuar como lubrificante
3
onde houver atrito, fornecer pressão hidrostática para evitar a entrada de fluidos no
poço, impedir que os fragmentos de rocha se sedimentem no fundo durante as paradas
das perfurações, obturar os orifícios das camadas porosas atravessadas na perfuração,
proteger contra a corrosão etc.
Atualmente, com a descoberta das novas reservas petrolíferas no litoral
brasileiro, na chamada camada do pré-sal, surgiram problemas relacionados com a
extração devido à sua localização. Sua profundidade pode chegar a mais de 7 mil
metros, tornando o processo de perfuração, para o aproveitamento das reservas de
petróleo e gás nelas contidas, um grande desafio tecnológico. A hostilidade do
ambiente, o comportamento das rochas dessa camada, as elevadas profundidades, a
variação de pressão e de temperatura, e a distância do litoral, são exemplos de
problemas que devem ser vencidos e que exigem equipamentos complexos, tais como
sondas de perfuração em águas profundas, e a busca por novas soluções para os diversos
problemas da perfuração, visando aumentar a eficiência e reduzir o tempo e o custo da
operação.
1.2. O Fenômeno "Stick-Slip"
Sendo a coluna de perfuração um sistema mecânico, vibrações são inevitáveis
nas operações de perfuração, as quais podem ser classificadas como: axiais ou
longitudinais, torcionais e laterais. Essas vibrações são responsáveis por quase 80% dos
problemas prematuros em colunas de perfuração, representando uma perda de
aproximadamente 5% do custo total da exploração de um poço (Spanos et al., 2003).
Elas englobam diversas consequências danosas para as operações, que vão desde uma
diminuição da taxa de penetração até uma ruptura da coluna de perfuração, evento este
indesejado, pois pode provocar diversos danos ao poço e aos equipamentos de
perfuração. Além disso, essas vibrações afetam um dos principais fatores que
influenciam o custo da operação, o tempo de perfuração.
Associado a cada tipo de vibração tem-se uma série de fenômenos, conforme
mostrado na Figura 1.2.
whirl (remoinho): vibração lateral que ocorre quando o centro da gravidade
da coluna não coincide com o seu eixo geométrico de rotação, causando
choque entre a coluna e as paredes do poço (Navarro-López & Suárez,
2005).
stick-slip (adere-desliza): vibração torcional caracterizado por uma variação
da velocidade da broca de zero a dez vezes a velocidade de giro da coluna.
Normalmente, este fenômeno vem associado a importantes variações de
torque (Tucker & Wang, 1999).
bit bouncing (rebote): vibração axial na qual a broca dá saltos de forma
periódica, perdendo contato com o fundo do poço, podendo, inclusive,
chegar a se despender (Divényi, 2009).
4
Figura 1.2 – Vibrações que podem ocorrer em uma coluna de perfuração (Alamo, 2002)
A presença das vibrações em colunas de perfuração dá-se em instantes de
operação distintos e em faixas de frequências diferentes, o que permite estudá-las
individualmente. O presente trabalho concentra-se nas vibrações torcionais e no
fenômeno stick-slip que elas produzem.
O fenômeno stick-slip pode aparecer quando duas superfícies em contato estão
deslizando uma em relação à outra. No caso da coluna de perfuração, as oscilações
stick-slip são produzidas pelas variações periódicas de torque e caracterizadas por
grandes alterações da velocidade na broca. Essas alterações ocorrem pelo fato da coluna
de perfuração apresentar elasticidade. O atrito não-linear do poço faz com que a
velocidade da broca chegue a parar por um período de tempo, fase esta denominada
stick. Quando isso ocorre, a rotação na mesa continua e a coluna funciona como uma
mola armazenando energia torcional. A partir do momento que o atrito é superado pela
energia acumulada na coluna, a broca tem a sua velocidade diferente de zero, podendo
chegar a dez vezes a velocidade angular da mesa rotativa, fase esta conhecida como slip.
Nesse caso, o sistema pode ficar alternando entre as fases stick e slip a uma frequência
específica. A Figura 1.3 delineia o comportamento típico das velocidades angulares da
mesa rotatória e da broca durante um processo de perfuração.
As vibrações stick-slip são prejudiciais, mais pela característica cíclica do
fenômeno do que pela amplitude das mesmas. Experimentos em campo assinalam que
ditas oscilações aparecem em 50% do tempo de perfuração, podendo originar fadiga da
tubulação, falhas nos componentes da coluna de perfuração, desvio da trajetória do
poço, alargamento do poço, deformações nas paredes do poço, desgaste excessivo da
broca e baixa taxa de penetração. Estas instabilidades na velocidade de giro da broca
podem, em alguns casos, romper a coluna de perfuração constituindo um grave
problema, não apenas por conta da perda material da coluna, mas principalmente por
conta da perda de tempo da operação, podendo também ocasionar a necessidade de se
5
efetuar um desvio no poço acima do ponto de ruptura da coluna ou, até mesmo, a perda
do poço (Divényi, 2009).
Figura 1.3 – Velocidades angulares da mesa rotatória e da broca em um sistema de
perfuração real (Serrarens et al., 2008)
Face à complexidade das colunas de perfuração de poços de petróleo, a prática
da perfuração faz uso das metodologias de controle automático a fim de suprimir os
fenômenos oscilatórios indesejados. Segundo Navarro-López (2010), o controlador é
interpretado como um método de seleção de parâmetros de segurança offline. Antes de
começar a operação, o modelo de simulação e o controlador podem ajudar o operador a
projetar o perfil de perfuração do poço com valores de referências para o torque no
sistema rotatório (𝑇𝑚 ), o peso sobre a broca (𝑊𝑜𝑏 ) e as velocidades de rotação desejadas
(Ω). Para uma combinação (𝑊𝑜𝑏 ,Ω), o torque 𝑇𝑚 pode ser calculado tal que o fenômeno
oscilatório na broca possa ser evitado.
1.3. Objetivos do Trabalho
O objetivo principal do presente trabalho é auxiliar os operadores de colunas de
perfuração de poços de petróleo avaliando, mediante simulações numéricas, a aplicação
de técnicas de controle não-linear, tais como o controle por modos deslizantes e o
controle baseado em linearização por realimentação, para obter velocidades constantes
do mecanismo rotatório da mesa e da broca, com o intuito de reduzir a presença de
oscilações mecânicas tipo stick-slip e manter condições de operação ótimas, apesar de
incertezas e mudanças nas condições de operação, além de preservar a estabilidade e a
recuperação do sistema.
6
Objetivos secundários deste trabalho são:
Propiciar um melhor entendimento das vibrações mecânicas em colunas de
perfuração;
Aumentar a eficiência e desempenho da perfuração com a introdução de
novas soluções para problemas provocados por vibrações tipo stick-slip;
Contribuir com o desenvolvimento de novas técnicas de controle e
automação de poços;
Fortalecer a área de conhecimento de engenharia de perfuração;
Estabelecer as bases para a consolidação de um grupo de pesquisa em
automação na indústria de petróleo e gás no DEL/UFS.
1.4. Revisão Bibliográfica
Na literatura técnico-científica foram propostos diversos métodos e técnicas de
controle para eliminar ou reduzir a presença do fenômeno stick-slip em sistemas de
perfuração. O resumo de alguns desses trabalhos são apresentados a seguir.
Serrarens et al. (1998) mostraram que a supressão de oscilações auto-excitadas
stick-slip e a resposta transitória da velocidade da broca podem ser amplamente
melhoradas pelo uso de um controlador 𝐻∞, quando comparado a sistemas de controle
tipo PD (proporcional-derivativo), comumente aplicados na perfuração de poços de
petróleo. O controlador era linear e invariante no tempo. Embora a fricção na broca
fosse altamente não-linear, a escolha por um controlador linear pareceu eficaz. Pelo uso
de funções de ponderação dinâmica para os sinais de entrada e saída foi possível
modelar funções de transferência em malha fechada de tal forma que os requisitos de
desempenho no domínio do tempo e no domínio da frequência fossem alcançados.
Resultados experimentais realizados em um sistema de bancada forneceram uma
perspectiva promissora para aplicações em sistemas reais.
Abdulgalil & Siguerdidjane (2005) apresentou um controlador PID
(proporcional-integral-derivativo) robusto para lidar com vibrações stick-slip em
sistemas de perfuração. O projeto do controlador é baseado em uma função de
superfície deslizante que trabalha em conjunto com um controlador por linearização
entrada-estado, fornecendo um controlador para sistemas não-lineares com incertezas. A
técnica de modos deslizantes era aplicada escolhendo o erro de velocidade angular da
broca como superfície deslizante. A estabilização e desempenho do controlador foram
avaliados e comparados com um controlador clássico por realimentação.
Canudas-de-Wit et al. (2005) analisaram o fato de que para conseguir uma boa
taxa de penetração (rate of penetration - ROP) em sistemas de perfuração de poços de
7
petróleo era necessário manter um peso sobre a broca (weight on bit - 𝑊𝑜𝑏 ) grande.
Mas, com o aumento do 𝑊𝑜𝑏 , aumentou a possibilidade das oscilações stick-slip
ocorrerem. A partir desse estudo, os autores apresentaram o mecanismo D-OSKIL, o
qual visava usar a força do 𝑊𝑜𝑏 como uma variável manipulada adicional para suprimir
o fenômeno. Uma análise baseada em função descritiva deu uma boa intuição sobre a
resposta oscilatória do sistema e o projeto do controlador. Uma propriedade importante
do D-OSKIL era que permitia recuperar as condições de operação nominal enquanto as
oscilações eram suprimidas. Simulações da aplicação do mecanismo proposto com um
controlador tipo PI (proporcional-integrativo) mostraram que as oscilações stick-slip
podiam ser eliminadas sem exigir um re-projeto do controle de velocidade da mesa
rotatória. Outro fato interessante do D-OSKIL, era que a lei de controle resultante era
global e assintoticamente estável. Uma análise formal de estabilidade do método foi
fornecida por Corchero et al. (2006).
Navarro-López & Cortés (2007b) propuseram um controle por modos
deslizantes (sliding mode control - SMC) que ultrapassava o movimento de
deslizamento existente quando a velocidade angular da broca era zero, conduzindo essa
velocidade a um valor desejado, evitando problemas de aderência na broca durante o
processo de perfuração. A coluna de perfuração é representada por um modelo de torção
descontínuo de quatro graus de liberdade. A idéia fundamental do controlador era
introduzir no sistema uma superfície de deslizamento em que a dinâmica desejada era
realizada, ou seja, conduzir a velocidade dos componentes da coluna de perfuração ao
valor de operação pré-determinado. O objetivo de controle era alcançado apesar das
variações da força do 𝑊𝑜𝑏 e na presença de oscilações stick-slip.
Navarro-López (2008) apresentou duas metodologias de controle com o intuito
de suprimir as oscilações stick-slip em colunas de perfuração. Por um lado, tinha-se um
controlador por realimentação convencional, i.e o controlador PI, e por outro lado, um
controlador do tipo descontínuo, o controlador SMC. Os parâmetros dos controladores
eram escolhidos para que as transições não-desejadas do sistema desaparecessem. O
objetivo de ambos os controladores era eliminar o fenômeno stick-slip, conduzindo a
velocidade para o valor desejado, e reduzindo a influência das variações dos principais
parâmetros. As simulações mostraram resultados semelhantes para ambos os
controladores, concluindo que para altas velocidades e baixo valor da força peso 𝑊𝑜𝑏 o
sistema convergia para o equilíbrio desejado.
Hernandez-Suarez et al. (2009) propuseram o uso da lei de controle SMC
combinada com um esquema de controle em cascata para a supressão das oscilações
stick-slip durante o processo de perfuração de petróleo. A ideia subjacente na
abordagem de controle era forçar a dinâmica de erro para uma superfície deslizante que
compensasse parâmetros incertos e termos desconhecidos. A lei de controle de modo
deslizante era reforçada com um observador para estimação de incertezas. Simulações
8
numéricas mostravam que as oscilações stick-slip podiam ser suprimidas e estabilizadas
a uma referência desejada na presença de incertezas nos parâmetros do modelo.
Johannessen & Myrvold (2010) desenvolveram um sistema de controle
preditivo não-linear (nonlinear model predictive control - NMPC) para prevenção de
oscilações stick-slip em colunas de perfuração de poços de petróleo. A natureza não-
linear da força de fricção atuando sobre a broca motivou o uso do NMPC. Nesse
trabalho, um modelo dinâmico não-linear de 86 estados de uma coluna de perfuração
(43 estados descreviam a aceleração de 43 elementos diferentes, e os restantes 43
estados descreviam as diferenças de velocidades entre os elementos conectadas uns aos
outros) foi reduzido, baseado na técnica de truncamento balanceado de gramianos
empíricos, e usado na implementação do NMPC, como também para representar o
processo. Resultados de simulações, comparando o NMPC, um MPC linear e o sistema
comercial SoftSpeed da National Oilwell Varco, que é basicamente um controlador PI,
mostraram que todos os controladores eram capazes de lidar com o problema stick-slip
quando ajustados adequadamente. No entanto, para o caso de mudança do ponto de
operação, o NMPC apresentou melhor desempenho, fazendo com que a saída
estabilizasse no novo setpoint mais rapidamente e dando uma resposta menos agressiva,
sendo possível manter um ótimo ROP.
Zhang et al. (2010) apresentaram um modelo torcional de uma coluna de
perfuração vertical convencional e usaram um controlador SMC para eliminar o
fenômeno stick-slip. No sistema de controle proposto a velocidade angular da broca foi
direcionada a um valor de referência desejado, apesar da presença do atrito causado
entre o contato da broca com a formação rochosa. O desenvolvimento do controlador
consistia de dois passos: primeiro, um controlador por linearização entrada-estado foi
derivado e, segundo, um controlador PID baseado no SMC foi projetado.
Shi et al. (2011) apresentaram um SMC derivativo e integrativo a fim de
eliminar as oscilações stick-slip de um sistema de perfuração rotacional. O controlador
era baseado em modelos de torção de colunas de perfuração e o projeto do controle
consistiu de três etapas: a primeira era composta pela linearização entrada-estado do
sistema de perfuração; a segunda definia o projeto do SMC integral, e a última projetava
o SMC integral e derivativo. Para a verificação da estabilidade e robustez do sistema
foram utilizados os princípios de Lyapunov. Resultados de simulações mostraram que o
SMC integral não apresentou boa robustez em comparação com o SMC integral e
derivativo, tendo este último uma resposta dinâmica mais rápida, aumentando a ROP e
suprimindo as oscilações stick-slip da coluna de perfuração.
1.5. Estrutura do Trabalho
A presente dissertação está dividida nos seguintes capítulos:
9
Capítulo 1 – Introdução. Esse capítulo apresenta uma breve descrição sobre o
processo de perfuração de poços de petróleo e das vibrações mecânicas que
podem ocorrem em colunas de perfuração, dando ênfase às vibrações
torcionais tipo stick-slip. Também são apresentados os objetivos do trabalho e
uma revisão bibliográfica sobre técnicas de controle para minimizar as
oscilações stick-slip disponíveis na literatura.
Capitulo 2 – Modelo Torcional de uma Coluna de Perfuração. Neste
capítulo é apresentado o modelo torcional de uma coluna de perfuração de n
graus de liberdade. A partir dessa modelagem, são mostradas simulações de
colunas de perfuração com 2, 3 e 4 graus de liberdade, fazendo-se uso do
pacote computacional Simulink/MATLAB®. Grande interesse das respostas
dessas simulações é o surgimento do fenômeno stick-slip.
Capítulo 3 – Controle PI das Vibrações “Stick-Slip”. Este capítulo mostra o
desenvolvimento e aplicação de um controlador tipo PI nos modelos torcionais
de 2 e 4 graus de liberdade da coluna de perfuração. Diversos casos são
apresentados, tais como a capacidade de eliminação do fenômeno stick-slip,
mudanças no ponto de operação e perturbações no sistema.
Capítulo 4 – Controle por Modo Deslizante. Este capítulo trata da
abordagem da teoria do controle por modo deslizante (SMC) e sua aplicação
para estabilização e controle da coluna de perfuração. São apresentados
resultados de simulações baseados nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus de
liberdade.
Capítulo 5 – Controle por Linearização Exata por Realimentação. Nesse
capítulo é apresentada a teoria básica para o desenvolvimento de um
controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e um controlador por
realimentação entrada-saída (IOLC). A impossibilidade teórica da
implementação de um controlador ISLC para o processo em estudo é provada.
Um controlador IOLC é implementado nos sistemas torcionais de 2 e 4 graus
de liberdade, e os resultados são analisados e discutidos.
Capítulo 6 – Conclusão e Recomendações para Trabalhos Futuros. Neste
capítulo são expostas as conclusões sobre os resultados obtidos no presente
trabalho, além de algumas propostas de trabalhos futuros.
10
Capítulo 2
Modelo Torcional de uma Coluna de
Perfuração
2.1. Modelo Matemático de n-DOF
Modelo matemático é um conjunto de equações cuja solução é uma
aproximação da resposta de um processo real, e, como tal, apresenta inúmeras
limitações. No entanto, alguns modelos são melhores que outros em descrever certos
sistemas físicos e de engenharia. Para propósitos de análise e controle, simplificações
são necessárias a fim de facilitar a manipulação das equações. Nesse contexto, os
modelos de parâmetros concentrados, e.g., modelos em equações diferenciais
ordinárias, conduzem a uma análise e simulação do sistema mais simples em
comparação com os modelos de parâmetros distribuídos, e.g., modelos em derivadas
parciais.
A ideia de usar modelos dinâmicos para representar as condições de operação
da coluna de perfuração tem sido um grande desafio. Diversos modelos de parâmetros
concentrados foram propostos na literatura para descrever a resposta torcional da
coluna, o composição de fundo da coluna (bottom hole assembly - BHA1) e o fenômeno
stick-slip. Estes modelos consideram que a broca tem o comportamento de um pêndulo
torcional, que pode ser descrita como um pêndulo de torção simples impulsionado por
um sistema de rotação (motor elétrico); que os tubos de perfuração se comportam como
uma mola de torção, que pode ser representada por uma mola linear de constante k e
amortecimento torcional c, e que o contato entre a broca e a formação pode ser descrito
por um modelo de atrito não- linear.
A maioria dos modelos torcionais de parâmetros concentrados é de dois graus
de liberdade (2-DOF), i.e., esses modelos descrevem a dinâmica do sistema de rotação
(tipicamente considerado como mesa rotatória) e o BHA (tipicamente considerado
1 BHA: Trecho da coluna de perfuração imediatamente acima da broca. Este trecho consiste
principalmente de tubos com parede de grande espessura, resistentes a esforços de compressão conhecidos como comandos de perfuração (drill collars). O BHA inclui ainda outros acessórios como estabilizadores, conectores de redução e outros.
11
como a broca) (Navarro-López, 2010). Embora os modelos de 2-DOF tenham revelado
importantes características da coluna de perfuração e das condições de fundo de poço,
eles não refletem dois importantes fatores: o comprimento da coluna aumenta conforme
a operação de perfuração progride e as oscilações ao longo dos tubos de perfuração
conectados e os comandos de perfuração ou drill collars (logo acima da broca).
Navarro-López & Cortés (2007a) propuseram um modelo descontínuo de parâmetros
concentrados de n-DOF de uma coluna de perfuração vertical convencional que leva em
conta os fatores anteriormente mencionados. A descontinuidade é introduzida pela
interação broca-formação, a qual é modelada por uma relação de fricção a seco
combinada com uma lei de decaimento exponencial. O modelo de n-DOF de Navarro-
López & Cortés (2007a) é mostrado na Figura 2.1.
Figura 2.1 – Modelo torcional de uma coluna de perfuração vertical convencional com n
graus de liberdade. A nomenclatura das variáveis e parâmetros do modelo é listada na
Tabela 2.1.
Na Figura 2.1, quatro partes da coluna de perfuração são claramente
distinguidos: o sistema de rotação (basicamente a mesa rotatória, incluindo o motor
elétrico e a caixa de transmissão do eixo real), os tubos de perfuração (cuja quantidade p
varia de acordo com a profundidade do poço sendo perfurado), o BHA (incluindo o drill
collars) e a broca. Na modelagem apresentada por Navarro-López & Cortés (2007a) são
assumidas as seguintes considerações:
i. o poço e a coluna de perfuração são ambos verticais e em linha reta;
ii. não há movimento lateral da broca;
12
iii. o atrito nas conexões dos tubos de perfuração e entre os tubos e o poço
são omitidas;
iv. a lama de perfuração é simplificada por um elemento de atrito do tipo
viscoso na broca;
v. o movimento orbital do fluido de perfuração é laminar;
vi. a dinâmica do motor não é levada em conta, o torque de impulso é
suposto constante e positivo;
vii. os tubos de perfuração tem a mesma inércia.
Assim, com as considerações acima citadas e definindo 𝜑𝑖 e 𝜑 𝑖 𝑖 ∈
𝑟, 𝑗, 𝑙, 𝑏 ,∀ 𝑗 = 1,… ,𝑝, como sendo o deslocamento angular e a velocidade angular
dos elementos da coluna de perfuração, em que os sub-índices 𝑟, 𝑗, 𝑙 e 𝑏 indicam as
diferentes partes da coluna, isto é, sistema de rotação, tubos de perfuração, BHA e
broca, respectivamente, o modelo mecânico rotacional da Figura 2.1 pode ser descrito
pelo seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias (Navarro-López & Cortés,
2007a; Navarro-López, 2010):
𝜑 𝑟 =1
𝐽𝑟 𝑇𝑚 − 𝑇𝑟 − 𝑐𝑡𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡𝜑 1 − 𝑘𝑡𝜑𝑟 + 𝑘𝑡𝜑1 (2.1a)
𝜑 1 =1
𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 + 𝜑 2 − 2𝜑 1 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑟 + 𝜑2 − 2𝜑1 (2.1b)
⋮
𝜑 𝑗 =1
𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑗−1 + 𝜑 𝑗+1 − 2𝜑 𝑗 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑗−1 + 𝜑𝑗+1 − 2𝜑𝑗 (2.1c)
⋮
𝜑 𝑝 =1
𝐽 𝑐𝑡 𝜑 𝑝−1 − 𝜑 𝑝 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝−1 − 𝜑𝑝 − 𝑐𝑡𝑙 𝜑 𝑝 − 𝜑 𝑙 − 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝 − 𝜑𝑙 (2.1d)
𝜑 𝑙 =1
𝐽𝑙 𝑐𝑡𝑙 𝜑 𝑝 − 𝜑 𝑙 + 𝑘𝑡𝑙 𝜑𝑝 − 𝜑𝑙 − 𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 − 𝜑 𝑏 − 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 − 𝜑𝑏 (2.1e)
𝜑 𝑏 =1
𝐽𝑏 𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 − 𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 − 𝜑𝑏 − 𝑇𝑏 (2.1f)
Na Equação (2.1a), o torque de impulso 𝑇𝑚 é proveniente de um motor elétrico
localizado na superfície. Dado que é assumido que torques arbitrários podem ser
aplicados sem levar em consideração a dinâmica do atuador que gera o torque, então
𝑇𝑚 = 𝑢, com 𝑢 > 0, sendo 𝑢 uma das entradas de controle do sistema. A outra entrada
de controle é o 𝑊𝑜𝑏 . O torque de amortecimento viscoso 𝑇𝑟 corresponde à lubrificação
dos elementos mecânicos do sistema de rotação, descrito como 𝑇𝑟 = 𝑐𝑟𝜑 𝑟 .
13
Tabela 2.1– Variáveis e parâmetros do modelo da coluna de perfuração
Símbolo Nomenclatura
𝑻𝒎 Torque do motor
𝑻𝒃 Torque sobre a broca
𝑻𝒓 Torque na mesa rotativa
𝑻𝒇𝒃 Modelo de atrito entre a broca e a rocha
𝑻𝒔𝒃 Torque necessário para superar o coeficiente de atrito estático
𝑱𝒓 Inércia do sistema de rotação
𝑱 Inércia dos tubos de perfuração
𝑱𝒍 Inércia do BHA
𝑱𝒃 Inércia da broca
𝝋𝒓,𝝋 𝒓 Deslocamento e velocidade angular do sistema de rotação
𝝋𝒃,𝝋 𝒃 Deslocamento e velocidade angular da broca
𝒄𝒓 Coeficiente de amortecimento viscoso
𝒄𝒕 Coeficiente de amortecimento torcional entre a mesa e os tubos
𝒄𝒕𝒍 Coeficiente de amortecimento torcional entre os tubos e o BHA
𝒄𝒃 Coeficiente de amortecimento torcional entre o BHA e a broca
𝒄𝒕𝒃 Coeficiente de amortecimento torcional da broca
𝒌𝒕 Coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos
𝒌𝒕𝒍 Coeficiente de rigidez torcional entre os tubos e o BHA
𝒌𝒃 Coeficiente de rigidez torcional entre o BHA e a broca
14
𝒌𝒕𝒃 Coeficiente de rigidez torcional da broca
𝝁𝒃 Coeficiente de atrito na broca
𝝁𝒄𝒃 Coeficiente de atrito Coulomb associado com 𝐽𝑏
𝝁𝒔𝒃 Coeficiente de atrito estático associado com 𝐽𝑏
𝑹𝒃 Raio da broca
𝑾𝒐𝒃 Peso sobre a broca
𝒗𝒇 Velocidade induzida a fim de ter unidades apropriadas
𝜸𝒃 Constante que define a taxa de redução de velocidade (0 < 𝛾𝑏 < 1)
Definindo:
𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 … 𝜑𝑗 𝜑 𝑗 …𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇
= 𝑥1 𝑥2 … 𝑥2 𝑗+1 −1 𝑥2(𝑗+1) …𝑥2𝑛−3 𝑥2𝑛−2 𝑥2𝑛−1 𝑥2𝑛 𝑇 (2.2)
como o vetor de estados do sistema, com 𝑗 = 1,… ,𝑝, e 𝑛 sendo um número inteiro que
representa o grau de liberdade do modelo, a Equação (2.1) pode ser escrita como um
modelo em espaço de estados da forma:
𝐱 𝑡 = 𝐴𝐱 𝑡 + 𝐵𝑢 + 𝑇𝑓𝐱 𝑡 (2.3)
em que A, B e 𝑇𝑓 são matrizes, cujas dimensões dependem do grau de liberdade. Para
um sistema com 𝑛-DOF, a matriz A, de ordem 2𝑛 × 2𝑛, e as matrizes B e 𝑇𝑓 , de ordem
1 × 2𝑛, têm a seguinte estrutura:
15
𝐴 =
0 1 0 0 0 0 ⋯ ⋯ 0 0
−𝑘𝑡
𝐽𝑟−
(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)
𝐽𝑟
𝑘𝑡
𝐽𝑟
𝑐𝑡𝐽𝑟
0 0 ⋯ ⋯ 0 0
0 0 0 1 0 0 ⋯ ⋯ 0 0𝑘𝑡
𝐽
𝑐𝑡𝐽
−2𝑘𝑡
𝐽−
2𝑐𝑡𝐽
𝑘𝑡
𝐽
𝑐𝑡𝐽
0 … 0 0
0 0 0 0 0 1 0 … 0 0
0 0𝑘𝑡
𝐽
𝑐𝑡𝐽
−2𝑘𝑡
𝐽−
2𝑐𝑡𝐽
𝑘𝑡
𝐽
𝑐𝑡𝐽
… 0
0 0 0 0 0 0 0 1 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 …𝑘𝑡
𝐽
𝑐𝑡𝐽
−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙)
𝐽−
(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙)
𝐽
𝑘𝑡𝑙
𝐽
𝑐𝑡𝑙𝐽
0 0
0 0 0 … … … … 1 0 0
0 0 0 …𝑘𝑡𝑙
𝐽𝑙
𝑐𝑡𝑙𝐽𝑙
−(𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 )
𝐽𝑙−
(𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 )
𝐽𝑙
𝑘𝑡𝑏
𝐽𝑙
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑙
0 0 0 … … … 0 0 0 1
0 0 0 … … …𝑘𝑡𝑏
𝐽𝑏
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑏
−𝑘𝑡𝑏
𝐽𝑏−
(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)
𝐽𝑏
(2.4)
𝐵 =
01 𝐽𝑟
0⋮0
(2.5)
𝑇𝑓 =
00⋮0
−𝑇𝑓𝑏 (𝐱) 𝐽𝑏
(2.6)
O torque na broca 𝑇𝑏 , que associa o torque de atrito seco mais o torque de
amortecimento viscoso da broca, é descrito por (Navarro-López & Cortés, 2007a):
𝑇𝑏 𝐱 = 𝑇𝑎𝑏 + 𝑇𝑓𝑏 (𝐱) (2.7)
sendo que 𝑇𝑎𝑏 = 𝑐𝑏𝑥2𝑛 é o torque de amortecimento viscoso associado com o contato
da broca e a formação. Este torque aproxima a influência da lama de perfuração na
resposta da broca. 𝑇𝑓𝑏 (𝐱) representa o modelo de atrito entre a broca e a formação. O
contato broca-formação é proposto como uma variação do atrito Stribeck conjuntamente
com o modelo de atrito seco (Armstrong-Hélouvry et al., 1994). O modelo de atrito
seco, quando 𝑥2𝑛 = 𝜑 𝑏 = 0, é aproximado por uma combinação do modelo switch
proposto por Leine et al. (1998) e uma variação do modelo de Karnopp (1985), que
introduz uma banda de velocidade zero. Assim, tem-se que (Navarro-López & Cortés,
2007b):
𝑇𝑓𝑏 𝐱 =
𝑇𝑒𝑏 𝐱 , 𝑠e 𝑥2𝑛 < 𝐷𝑣 , 𝑇𝑒𝑏 ≤ 𝑇𝑠𝑏 (fase stick)
𝑇𝑠𝑏𝑠𝑔𝑛 𝑇𝑒𝑏 𝐱 , se 𝑥2𝑛 < 𝐷𝑣 , 𝑇𝑒𝑏 > 𝑇𝑠𝑏 (transição da fase stick para slip)
𝑊𝑜𝑏𝑅𝑏 µ𝑐𝑏+ µ
𝑠𝑏− µ
𝑐𝑏 𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥2𝑛 𝑠𝑔𝑛 𝑥2𝑛 , se 𝑥2𝑛 ≥ 𝐷𝑣 (fase slip)
(2.8)
16
em que 𝐷𝑣 > 0 é a largura da banda no modelo de atrito broca-formação 𝑇𝑓𝑏 (𝐱). 𝑇𝑒𝑏 é o
torque de reação, isto é, o torque que deve o torque de atrito estático 𝑇𝑠𝑏 superar para
que a broca se mova. 𝑇𝑠𝑏 é definido como:
𝑇𝑠𝑏 = 𝜇𝑠𝑏𝑊𝑜𝑏𝑅𝑏 (2.9)
sendo 𝑅𝑏 > 0 o raio da broca. O torque de reação 𝑇𝑒𝑏 é dado por:
𝑇𝑒𝑏 𝐱 = 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 −𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡 𝜑𝑟 −𝜑𝑏 − 𝑇𝑎𝑏, 𝑠𝑒 𝑛 = 2
𝑐𝑡𝑏 𝜑 𝑙 −𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡𝑏 𝜑𝑙 −𝜑𝑏 − 𝑇𝑎𝑏 , 𝑠𝑒 𝑛 > 2
(2.10)
A resposta de decaimento exponencial do torque sobre a broca 𝑇𝑏 coincide com
valores experimentais de torque na broca (Navarro-López & Cortés, 2007b). Note que o
modelo da Equação (2.3) é um sistema não-linear descontínuo 2n-dimensional. A
descontinuidade é introduzida pelo atrito broca-formação, mais especificamente pela
função sgn na Equação (2.8), considerada como:
𝑠𝑔𝑛 𝑎 =
𝑎
𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
0 −1,1 , 𝑠𝑒 𝑎 = 0
(2.11)
Do ponto de vista matemático, a função sgn é a descontinuidade do sistema e a
causa de fenômenos dinâmicos complexos como as oscilações stick-slip.
A seguir são apresentadas simulações de casos particulares do modelo de n-
DOF que capturam o principal fenômeno stick-slip e as oscilações nos tubos de
perfuração.
2.2. Simulação de um Sistema de 2-DOF
O modelo torcional de 2-DOF de uma coluna de perfuração vertical
convencional é composto de duas inércias amortecidas acopladas mecanicamente
através de um eixo elástico com coeficientes de rigidez e amortecimento 𝑘𝑡 e 𝑐𝑡 ,
respectivamente. A Figura 2.2 representa a estrutura do modelo do sistema.
Definindo o vetor de estados:
𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]
𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑇
(2.12)
usando a Equação (2.1), e considerando 𝑘𝑡𝑏 = 𝑘𝑡 e 𝑐𝑡𝑏 = 𝑐𝑡 , o modelo para um sistema
de 2-DOF pode ser escrito como:
17
𝑥 1 = 𝑥2
𝑥 2 = 1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 + 𝑇𝑚
𝑥 3 = 𝑥4
𝑥 4 = 1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 (𝐱)
(2.13)
em que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é definido pela Equação (2.8).
Figura 2.2 – Estrutura do modelo de 2-DOF de uma coluna de perfuração
Re-arranjando a Equação (2.13), na forma da Equação (2.3), obtêm-se as
seguintes matrizes do modelo em espaço de estado:
𝐴 =
0 1 0 0
−𝑘𝑡𝐽𝑟
−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)
𝐽𝑟
𝑘𝑡𝐽𝑟
𝑐𝑡𝐽𝑟
0 0 0 1𝑘𝑡𝐽𝑏
𝑐𝑡𝐽𝑏
−𝑘𝑡𝐽𝑏
−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑏)
𝐽𝑟
(2.14)
𝐵 =
01 𝐽𝑟
00
(2.15)
𝑇𝑓 =
000
−𝑇𝑓𝑏 (𝑥) 𝐽𝑏
(2.16)
O modelo (2.13) é implementado usando a plataforma computacional
Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros utilizados na simulação
18
correspondem ao projeto de uma coluna de perfuração real conforme Navarro-López
(2008), os quais são mostrados na Tabela 2.2.
A Figura 2.3 representa o comportamento da velocidade angular da broca
(𝑥4 = 𝜑 𝑏 ) e da mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ). É possível notar que em certos momentos a
velocidade da broca é nula, ou seja, a broca pára de girar em relação à formação,
causando o fenômeno denominado stick. Durante essa fase, o torque aplicado sobre a
coluna passa a deformar a coluna por torção. Quando o torque sobre a broca supera o
atrito estático entre a broca e a formação, a broca volta a se movimentar causando o
fenômeno slip, no qual a energia armazenada durante a fase stick causa picos na
velocidade angular da broca. A fase slip acontece até que o atrito broca-formação passa
a superar o torque sobre a broca, repetindo-se todo o ciclo.
Tabela 2.2- Valores dos parâmetros do modelo de 2-DOF
Variável Valor Variável Valor
𝑱𝒓 2122 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃
0,5
𝜸𝒃 0,9 µ𝒔𝒃
0,8
𝒗𝒇 1 𝑫𝒗 10−6
𝑾𝒐𝒃 53018 𝑁 𝑻𝒎 6 𝑘𝑁 𝑚
Os deslocamentos angulares da mesa rotatória (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) e da broca (𝑥3 = 𝜑𝑏 )
são mostrados na Figura 2.4 (lado esquerdo). Como pode ser visualizado na fase stick,
enquanto o deslocamento angular da mesa rotatória praticamente continua constante,
não há progressão do deslocamento da broca dado que a sua velocidade é nula nessa
fase e, portanto, não há perfuração da formação. A diferença de deslocamento angular
entre a mesa rotatória e a broca é mostrada na Figura 2.4 (lado direito). Note-se que essa
diferença de deslocamento é sempre positiva, o que significa que o deslocamento da
mesa rotatória está sempre à frente do deslocamento da broca. As paradas da broca na
fase stick contribuem a uma redução do seu deslocamento em relação à mesa rotatória.
19
Na Figura 2.5 ilustra-se a trajetória do sistema no espaço 𝑥1 − 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥4 ,
denotando o ciclo do fenômeno stick-slip, em que P1 e P2 são os pontos que indicam
quando o sistema entra e sai da fase stick, respectivamente, i.e., o intervalo em que a
velocidade angular da broca é nula. O perfil da trajetória tem a forma de ciclos limites,
mostrando a natureza oscilatória e periódica do movimento do sistema.
Figura 2.3 – Velocidade angular da broca (x4) e da mesa rotatória (x2) do sistema de 2-
DOF
Figura 2.4 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1) e da broca (x3).
Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca no sistema
de 2-DOF
20
Figura 2.5 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 2-DOF
2.3. Simulação de um Sistema de 3-DOF
Para o caso do sistema de perfuração com 3 graus de liberdade, é considerado
que o sistema é composto de três inércias (𝐽𝑟 , 𝐽𝑝 e 𝐽𝑏 ) amortecidas e acopladas
mecanicamente através de dois eixos elásticos com coeficientes de rigidez 𝑘𝑡 e 𝑘𝑡𝑏 e de
amortecimento 𝑐𝑡 e 𝑐𝑡𝑏 , respectivamente. A distribuição destes elementos no sistema é
mostrada na estrutura mecânica da Figura 2.6.
Definindo o vetor de estados:
𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6
𝑇 (2.17)
e usando a Equação (2.1), o modelo para um sistema de 3-DOF pode ser representado
por:
21
Figura 2.6 – Estrutura do modelo de 3-DOF de uma coluna de perfuração
Usando a Equação (2.1), a modelagem para o sistema 3-DOF pode ser
representada por:
𝑥 1 = 𝑥2
𝑥 2 = 1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 + 𝑇𝑚
𝑥 3 = 𝑥4
𝑥 4 = 1
𝐽𝑝 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥4 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6
𝑥 5 = 𝑥6
𝑥 6 = 1
𝐽𝑏 𝑘𝑡𝑏 𝑥3 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥4 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥6 − 𝑇𝑓𝑏 𝐱
(2.18)
sendo que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é descrito pela Equação (2.8). Colocando a Equação (2.18) na forma
matricial da Equação (2.3), tem-se que as matrizes do modelo em espaço de estado são:
𝐴 =
0 1 0 0 0 0
−𝑘𝑡𝐽𝑟
−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)
𝐽𝑟
𝑘𝑡𝐽𝑟
𝑐𝑡𝐽𝑟
0 0
0 0 0 1 0 0𝑘𝑡𝐽𝑝
𝑐𝑡𝐽𝑝
−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑏 )
𝐽𝑝−
(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑏 )
𝐽𝑝
𝑘𝑡𝑏𝐽𝑝
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑝
0 0 0 0 0 1
0 0𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑏
−𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏
−(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)
𝐽𝑏
(2.19)
22
𝐵 =
01 𝐽𝑟
0000
(2.20)
𝑇𝑓 =
00000
−𝑇𝑓𝑏 (𝑥) 𝐽𝑏
(2.21)
O modelo (2.18) é implementado usando o pacote Simulink/MATLAB®. Os
valores dos parâmetros de simulação correspondem ao projeto de uma coluna de
perfuração real, reportados por Navarro-López (2009), os quais são apresentados na
Tabela 2.3.
Tabela 2.3– Valores dos parâmetros do modelo de 3-DOF
Variável Valor Variável Valor
𝑱𝒓 2122 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒑 750 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒃 181,49641 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝒌𝒕𝒃 907,482089 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃
0,5
𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒔𝒃
0,8
𝜸𝒃 0,9 𝑫𝒗 10−6
𝒗𝒇 1 𝑻𝒎 8138 𝑁 𝑚
𝑾𝒐𝒃 74386 𝑁
As velocidades angulares dos componentes do sistema são mostradas na Figura
2.7. Nesta figura, é notória a presença do fenômeno stick-slip na coluna pela forma
23
oscilatória da velocidade angular da broca (𝑥6 = 𝜑 𝑏 ), sendo esta zero em determinados
instantes (fase stick) e apresentando picos de velocidade elevada em outros (fase slip).
Também é possível verificar na Figura 2.7, que a velocidade angular dos tubos de
perfuração (𝑥4 = 𝜑 𝑙 ) é diferente da velocidade angular da mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ),
revelando perdas de energia entre a mesa e os tubos. Lembrando que os tubos de
perfuração são responsáveis repassar a energia gerada pela mesa para a broca, energia
esta armazenada na fase stick e gasta na fase slip.
Figura 2.7 – Velocidade angular da broca (x6), do tubo de perfuração (x4) e da mesa
rotatória (x2) do sistema de 3-DOF
Na Figura 2.8, no lado esquerdo é mostrado o deslocamento angular dos
elementos do sistema durante a perfuração. Observe que na fase stick, enquanto o
deslocamento da angular da mesa (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) praticamente continua constante, não há
deslocamento da broca (𝑥5 = 𝜑𝑏 ), porém existe uma redução do deslocamento dos
tubos de perfuração (𝑥3 = 𝜑𝑙 ). Já, no lado direito da Figura 2.8, visualiza-se a
diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca que, embora
oscilatória, é sempre positiva. Esta diferença começa aumentar na fase stick e diminui
durante a fase slip.
A Figura 2.9 apresenta a trajetória do sistema no espaço 𝑥1 − 𝑥5, 𝑥2, 𝑥6 ,
ressaltando o ciclo do fenômeno stick-slip. Os pontos P1 e P2 indicam os locais onde o
sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.
24
Figura 2.8 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de
perfuração (x3) e da broca (x5). Direita: diferença de deslocamento angular entre a mesa
rotatória e a broca no sistema de 3-DOF
Figura 2.9 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 3-DOF
25
2.4. Simulação de um Sistema de 4-DOF
O modelo torcional de 4-DOF de uma coluna de perfuração vertical
convencional considera quatro inércias (𝐽𝑟 , 𝐽𝑙 , 𝐽𝑝 e 𝐽𝑏 ), que representam o sistema de
rotação, tubos de perfuração, BHA e broca, amortecidas e acopladas mecanicamente
através de três eixos elásticos com coeficientes de rigidez 𝑘𝑡 , 𝑘𝑡𝑙 e 𝑘𝑡𝑏 e de
amortecimento 𝑐𝑡 , 𝑐𝑡𝑙 e 𝑐𝑡𝑏 , respectivamente. A estrutura mecânica da Figura 2.10
mostra a localização destes elementos no modelo.
Figura 2.10 – Estrutura do modelo de 4-DOF de uma coluna de perfuração
Definindo o vetor de estados:
𝐱 = [𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑝 𝜑 𝑝 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 ]𝑇 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8
𝑇 (2.22)
e usando a Equação (2.1), o modelo o sistema de 4-DOF é descrito pelo seguinte
conjunto de equações no espaço de estados:
26
𝑥 1 = 𝑥2
𝑥 2 = 1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 + 𝑇𝑚
𝑥 3 = 𝑥4
𝑥 4 = 1
𝐽𝑝 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥6
𝑥 5 = 𝑥6
𝑥 6 = 1
𝐽𝑙 𝑘𝑡𝑙 𝑥3 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4 − 𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 − 𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥7 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥8
𝑥 7 = 𝑥8
𝑥 8 = 1
𝐽𝑏 𝑘𝑡𝑏 𝑥5 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥7 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥8 − 𝑇𝑓𝑏
(2.23)
sendo que 𝑇𝑓𝑏 𝐱 é definido pela Equação (2.8). A Equação (2.23) pode ser expressa na
forma matricial da Equação (2.3). Assim, as matrizes do modelo em espaço de estados
são:
𝐴 =
0 1 0 0 0 0 0 0
−𝑘𝑡𝐽𝑟
−(𝑐𝑡 + 𝑐𝑟)
𝐽𝑟
𝑘𝑡𝐽𝑟
𝑐𝑡𝐽𝑟
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0𝑘𝑡𝐽𝑝
𝑐𝑡𝐽𝑝
−(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 )
𝐽𝑝−
(𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 )
𝐽𝑝
𝑘𝑡𝑙𝐽𝑝
𝑐𝑡𝑙𝐽𝑝
0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0𝑘𝑡𝑙𝐽𝑙
𝑐𝑡𝑙𝐽𝑙
−(𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 )
𝐽𝑙−
(𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 )
𝐽𝑙
𝑘𝑡𝑏𝐽𝑙
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑙
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏
𝑐𝑡𝑏𝐽𝑏
−𝑘𝑡𝑏𝐽𝑏
−(𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏)
𝐽𝑏
(2.24)
𝐵 =
01 𝐽𝑟
000000
(2.25)
𝑇𝑓 =
0000000
−𝑇𝑓𝑏 (𝑥) 𝐽𝑏
(2.26)
O modelo (2.23) é implementado usando o pacote computacional
Simulink/MATLAB®. Os valores dos parâmetros usados na simulação correspondem a
27
uma coluna de perfuração real2, composta de 130 tubos de perfuração (cada tubo tem
12,7 cm de diâmetro externo, 11,2 cm de diâmetro interno e 9 m de comprimento) e
uma broca de rolamentos cônicos (de 32,11 cm de diâmetro externo, 16,5 cm de
diâmetro interno e 1,5 m de comprimento). Exemplos de brocas de rolamentos cônicos
são mostrados na Figura 2.11.
Figura 2.11 – Brocas de rolamentos cônicos
Os parâmetros da coluna são obtidos de Navarro-López e Cortés (2007b) e são
listados na Tabela 2.4.
A Figura 2.12 delineia o comportamento da velocidade angular dos elementos
da coluna, podendo ser facilmente observado o fenômeno stick-slip, pela resposta
oscilatória e de velocidade zero da broca (𝑥8 = 𝜑 𝑏 ) em determinados instantes. Devido
à estrutura do modelo, é possível diferenciar as velocidades da broca e do BHA
(𝑥6 = 𝜑 𝑙 ). A velocidade do BHA tem um perfil similar à velocidade da broca na fase
slip. As frequências de oscilação da velocidade dos tubos de perfuração (𝑥4 = 𝜑 𝑝 ) e da
mesa rotatória (𝑥2 = 𝜑 𝑟 ) apresentam defasagem em relação à velocidade dos outros
componentes da coluna, sendo a amplitude da velocidade da mesa maior na fase stick,
quando é necessário um torque suficiente, para superar o atrito broca-formação.
A Figura 2.13 (lado esquerdo) apresenta o deslocamento angular dos elementos
da coluna. Na fase stick, é possível visualizar que enquanto a broca pára de se
movimentar (𝑥7 = 𝜑𝑏 ), há uma certa redução no deslocamento angular do BHA
(𝑥5 = 𝜑𝑙 ) e dos tubos de perfuração (𝑥3 = 𝜑𝑝 ). Já o deslocamento angular da mesa
rotatória (𝑥1 = 𝜑𝑟 ) aumenta, em razão do aumento da velocidade angular da mesa
nessa fase. Na fase slip, o deslocamento angular da broca é superior ao deslocamento
angular dos outros componentes da coluna. Na Figura 2.13 (lado direito) mostra-se a
2 Parâmetros de um sistema em escala reduzida podem ser obtidos em Navarro-López & Cortés (2007a).
28
diferença de deslocamento angular entre a mesa rotatória e a broca, a qual aumenta na
fase stick e diminui na fase slip.
A Figura 2.14 mostra a trajetória do sistema de 4-DOF no espaço 𝑥1 −
𝑥7, 𝑥2, 𝑥8 , denotado o ciclo do fenômeno stick-slip, sendo P1 e P2 são os pontos que
indicam onde o sistema entra e saí da fase stick, respectivamente.
Tabela 2.4 – Valores dos parâmetros do modelo de 4-DOF
Variável Valor Variável Valor
𝑱𝒓 930 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕 139,6126 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒃 471,9698 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒓 425 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒑 2782,25 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒃 181,49 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑱𝒍 750 𝑘𝑔 𝑚2 𝒄𝒕𝒍 190 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑹𝒃 0,155575 𝑚 𝒄𝒃 50 𝑁 𝑚 𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝒌𝒕𝒃 907,48 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒄𝒃
0,5
𝒌𝒕 698,063 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 µ𝒔𝒃
0,8
𝒌𝒕𝒍 1080 𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑 𝑫𝒗 10−6
𝒗𝒇 1 𝜸𝒃 0,9
𝑾𝒐𝒃 97347 𝑁 𝑻𝒎 10 𝑘𝑁 𝑚
29
Figura 2.12 – Velocidade angular da broca (x8), do tubo de perfuração (x6), do BHA (x4)
e da mesa rotatória (x2) do sistema de 4-DOF
Figura 2.13 – Esquerda: deslocamento angular da mesa rotatória (x1), dos tubos de
perfuração (x3), do BHA (x5) e da broca (x7). Direita: diferença de deslocamento angular
entre a mesa rotatória e a broca no sistema de 4-DOF
30
Figura 2.14 – Ciclo do fenômeno stick-slip do sistema de 4-DOF
As simulações dos sistemas de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF mostraram que o
modelo torcional apresentado neste capítulo reflete as oscilações características do
fenômeno stick-slip em colunas de perfuração, semelhante à resposta real mostrada na
Figura 1.3. Portanto, o modelo apresentado é adequado para o desenvolvimento do
presente trabalho.
31
Capítulo 3
Controle PI das Vibrações “Stick-
Slip”
3.1. Introdução
O surgimento de vibrações é inevitável durante o processo de perfuração. Os
sintomas causados por essas excessivas vibrações podem ser verificados na superfície
através das oscilações dos valores de rotação da coluna de perfuração e do torque da
mesma. As vibrações são consideradas causas de dificuldades de avanço, pois quando
elas ocorrem causam baixa ou nula taxa de perfuração, além de provocar danos aos
equipamentos, que por sua vez, requerem manobras para trocá-los, resultando em tempo
de perfuração não-produtivo (Chipindu, 2010).
Medições no fundo do poço mostram que a aplicação de uma rotação constante
na superfície não necessariamente se traduz em uma rotação constante na broca. De
fato, a velocidade de rotação no fundo do poço tipicamente apresenta grandes oscilações
de amplitude durante grande parte do tempo de perfuração. Essa velocidade de rotação
não uniforme deve-se à excitação dos modos de vibrações torcionais (Divényi, 2009).
Devido a esses excessivos problemas causados pelas oscilações stick-slip durante o
processo de perfuração, foram realizados estudos de aplicações de leis de controle com
o objetivo de eliminar ou diminuir a frequência dessas oscilações. Entre os diferentes
tipos de controladores que foram aplicados nesses sistemas, o uso do controlador PID é
um dos mais referenciados na literatura.
Baseado no trabalho de Canudas-de-Wit et al. (2008), o presente capítulo
mostra o desenvolvimento e aplicação do controlador PI e PI-P (proporcional,
integrativo-proporcional) no sistema torcional apresentado no capítulo anterior. O
objetivo principal do controle é conduzir a velocidade do sistema de rotação à
velocidade desejada e, inferencialmente ou indiretamente, conduzir a velocidade da
broca à velocidade do sistema de rotação, visando, assim, suprimir as oscilações stick-
slip em colunas de perfuração.
32
3.2. Desenvolvimento dos Controladores PI e PI-
P
Os controladores PI e PI-P são desenvolvidos tomando como base o sistema
torcional de 2-DOF. Ambos os controladores possuem como variável manipulada o
torque do motor 𝑇𝑚 e como variável controlada a velocidade do sistema de rotação
(𝑥2 = 𝜑 𝑟 ). Já o controlador PI-P adiciona uma correção proporcional ao erro entre a
velocidade da broca (𝑥4 = 𝜑 𝑏) e a velocidade do sistema de rotação. Além dessas
variáveis, há para ambos os controladores a perturbação do sistema, representada pela
variação da força peso sobre a broca 𝑊𝑜𝑏 . Inicialmente, será apresentado o
desenvolvimento do controlador PI, considerando a seguinte lei de controle:
𝑢 = 𝑘1𝑥5 + 𝑘2𝑥 5 (3.1)
em que 𝑘1 e 𝑘2 representam os parâmetros de sintonia do controlador e 𝑥5 representa a
integral do erro entre a variável controlada e o setpoint, ou seja:
𝑥5 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡 (3.2)
𝑥 5 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 (3.3)
sendo que 𝜔𝑑 refere-se ao setpoint da velocidade angular do sistema de rotação, o qual
para um caso típico de operação de perfuração tem valor entre 12 e 14 rad/s (Navarro-
López, 2009). Neste trabalho o valor do setpoint escolhido foi de 12 rad/s, estando
dentro da faixa de operação para perfuração de poços de petróleo.
Considerando a Equação (3.2), o novo vetor em espaço de estado para o sistema
em malha fechada é:
𝑥𝑓 = 𝑥1𝑓 𝑥2𝑓 𝑥3𝑓 𝑥4𝑓 𝑥5𝑓 = 𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 𝑥5 (3.4)
Assim, substituindo a lei de controle da Equação (3.1) nas equações em espaço
de estado do sistema de 2-DOF, Equação (2.13), e adicionando o novo estado 𝑥5, o
sistema em malha fechada é descrito por:
𝑥 1𝑓 = 𝑥2𝑓
𝑥 2𝑓 = 1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2𝑓 + 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥4𝑓 + 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓
𝑥 3𝑓 = 𝑥4𝑓
𝑥 4𝑓 = 1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥2𝑓 − 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4𝑓 − 𝑇𝑓𝑏
𝑥 5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝑥2𝑓
(3.5)
33
A determinação dos parâmetros de sintonia do controlador (𝑘1 e 𝑘2) é baseada
no método de ajuste proposto por Canudas-de-Wit et al. (2008). Para isto é definida
uma nova variável 𝑧 e uma constante 휀 representadas por:
𝑧 = 𝑘𝑡 (𝜑𝑟 − 𝜑𝑏) (3.6)
휀2 =1
𝑘𝑡 (3.7)
A partir das Equações (3.1), (3.4) e (3.5), tem-se que:
𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 − 𝜑 𝑏 + 𝑘𝑡 𝜑𝑟 − 𝜑𝑏 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.8)
𝐽𝑏𝜑 𝑏 − 𝑐𝑡 𝜑 𝑟 − 𝜑 𝑏 − 𝑘𝑡 𝜑𝑟 − 𝜑𝑏 + 𝑐𝑏𝜑 𝑏 = −𝑇𝑓𝑏 (3.9)
Substituindo as Equações (3.6) e (3.7) nas Equações (3.8) e (3.9), obtêm-se:
𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑐𝑡휀2𝑧 + 𝑧 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.10)
𝐽𝑏𝜑 𝑏 − 𝑐𝑡휀2𝑧 − 𝑧 + 𝑐𝑏𝜑 𝑏 = −𝑇𝑓𝑏
(3.11)
A Equação (3.12) é gerada a partir da subtração das Equações (3.10) e (3.11),
i.e.:
휀2𝑧 = −𝑧
𝐽𝑒𝑞− 휀2
𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝑧 +
𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +
𝑢
𝐽𝑟+𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 (3.12)
𝐽𝑒𝑞 = 𝐽𝑏 𝐽𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟
(3.13)
Salvo que o coeficiente de rigidez torcional entre a mesa e os tubos (𝑘𝑡) seja
muito maior que 1 (𝑘𝑡 ≫ 1), então, de (3.7), pode-se assumir que 휀 = 0. Portanto:
𝐽𝑟𝜑 𝑟 + 𝑧 + 𝑐𝑟𝜑 𝑟 = 𝑢 (3.14)
0 = −𝑧
𝐽𝑒𝑞+
𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +
𝑢
𝐽𝑟+𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 (3.15)
Isolando a variável 𝑧 da Equação (3.15), obtém-se:
𝑧 = 𝐽𝑒𝑞 𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +
𝑢
𝐽𝑟+𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 (3.16)
Substituindo a Equação (3.16) e a lei de controle da Equação (3.1) na Equação
(3.14), resulta-se em:
𝜑 𝑟 + 𝑐𝑏 + 𝑐𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟
𝜑 𝑟 = 1
𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 −
1
𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝑇𝑓𝑏 (3.17)
34
Supondo que 𝑐𝑏 + 𝑐𝑟 ≪ 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 , e definindo as novas variáveis 𝜑 𝑟 , 𝜑 𝑟 e 𝜑 𝑟
como:
𝜑 𝑟 = 𝑥5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟
𝑠 (3.18)
𝜑 𝑟 = 𝑥 5𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 (3.19)
𝜑 𝑟 = −𝜑 𝑟 (3.20)
Temos que substituindo na Equação (3.17), resulta em:
𝜑 𝑟 + 𝑘1
𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +
𝑘2
𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜑 𝑟 =
𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 (3.21)
É possível notar que a Equação (3.21) pode ser representada pela forma padrão
de um sistema de 2ª ordem, cuja função de transferência é:
𝐺 𝑠 =𝑘𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 (3.22)
𝜔𝑛 =1
𝜏 (3.23)
onde:
ζ representa o fator de amortecimento. Sua função é obter uma medida da
quantidade de amortecimento do sistema, ou seja, o grau de oscilação na
resposta do processo após uma perturbação.
τ equivale ao tempo característico de período natural de oscilação do
sistema, isto é, determina a velocidade (ou equivalentemente, o tempo de
resposta) do sistema.
𝑘 representa o ganho do sistema.
𝜔𝑛 é a frequência natural de amortecimento
Analisando a Equação (3.21) como uma equação de 2ª ordem, e impondo o
fator de amortecimento ζ e a frequência natural 𝜔𝑛 , encontram-se as equações referentes
aos ganhos do controlador 𝑘1 e 𝑘2.
𝑘1 = 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 2 ζ 𝜔𝑛 −𝑐𝑏 + 𝑐𝑟𝐽𝑏 + 𝐽𝑟
(3.24)
𝑘2 = 𝐽𝑏 + 𝐽𝑟 𝜔𝑛2
(3.25)
Para o projeto do controlador PI foi escolhido um ζ > 1, ou seja, um sistema
superamortecido referente a um sistema com dois pólos (raízes) reais puros e distintos,
representados na Figura 3.1 e definidos por:
35
𝑝1 = − ζ − ζ2 − 1 𝜔𝑛 (3.26)
𝑝2 = − ζ + ζ2 − 1 𝜔𝑛 (3.27)
Figura 3.1 – Representação dos pólos para um sistema superamortecido
A principal característica do sistema superamortecido se concentra na
capacidade do sistema absorver toda a energia vibratória inicial antes que ocorra o ciclo
vibratório, ou seja, inibe a vibração.
O controlador alternativo PI-P é uma combinação do controlador PI com o
controlador P, sendo o PI responsável em induzir à velocidade de rotação (𝑥2) a
velocidade desejada (𝑤𝑑), e o controlador P tem o papel de induzir à velocidade da
broca (𝑥4) a velocidade do sistema de rotação. Canudas-de-Wit et al. (2008) basearam-
se em Christoforou & Yigit (2003), e propuseram uma lei de controle expressa da
seguinte forma:
𝑢 = 𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 + 𝑘3(𝑥2𝑓 − 𝑥4𝑓) (3.28)
Note que essa nova lei de controle resulta da lei descrita anteriormente,
acrescida de um ganho proporcional a partir de um novo erro (𝑒 = 𝑥2 − 𝑥4). Para o
ajuste deste controlador, todo o procedimento para encontrar os valores das constantes
𝑘1 e 𝑘2 é o mesmo proposto para o desenvolvimento do controlador PI. Já para o
cálculo do parâmetro 𝑘3 considera-se novamente a Equação (3.12) e substitui-se a nova
lei de controle 𝑢 da Equação (3.28), obtendo-se a seguinte expressão:
휀2𝑧 = −𝑧
𝐽𝑒𝑞− 휀2
𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝑧 +
𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟
+𝑘1𝑥5𝑓 + 𝑘2𝑥 5𝑓 + 𝑘3(𝑥2𝑓 − 𝑥4𝑓)
𝐽𝑟+𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏
(3.29)
A lei de controle 𝑢 pode ser representada como:
36
𝑢 = 𝑢𝑠 + 휀 𝑢𝑓 (3.30)
onde 𝑢𝑠 = 𝑘1 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 +𝑘2
𝑠 𝜔𝑑 − 𝜑 𝑟 , e 휀𝑢𝑓 = 𝑘3(𝑥2 − 𝑥4).
Reescrevendo a Equação (3.29) tem-se:
휀2𝑧 = −𝑧
𝐽𝑒𝑞− 휀2
𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝑧 +
𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟 +
𝑢𝑠
𝐽𝑟+
휀
𝐽𝑟𝑢𝑓 +
𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 (3.31)
Considerando 휀 ≠ 0 a Equação (3.31) pode ser reescrita como:
휀2𝑧 = −𝑧
𝐽𝑒𝑞− 휀2
𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝑧 +
휀
𝐽𝑟𝑣𝑓 +
𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏+ 𝜌 𝜑 𝑟
∗,𝜑𝑟∗ (3.32)
sendo que 𝜌 𝜑 𝑟∗,𝜑𝑟
∗ é definido como:
𝜌 𝜑 𝑟∗,𝜑𝑟
∗ = 𝑐𝑏𝐽𝑏
−𝑐𝑟𝐽𝑟 𝜑 𝑟
∗ +𝑣𝑠(𝜑 𝑟
∗,𝜑𝑟∗)
𝐽𝑟=
𝑧∗
𝐽𝑒𝑞−𝑇𝑓𝑏
𝐽𝑏 (3.33)
Considerando uma nova variável 𝜉 = 𝑧 − 𝑧∗, e 𝑢𝑓 = −𝑘3𝜉 a Equação (3.32)
é reescrita da seguinte forma:
𝜉 + 𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏 𝜉 +
1
휀2𝐽𝑒𝑞𝜉 =
1
𝐽𝑟휀𝑢𝑓 (3.34)
Ou
𝜉 + 𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
+𝑐𝑏𝐽𝑏
+𝑘3
𝐽𝑟휀 𝜉 +
1
휀2𝐽𝑒𝑞𝜉 = 0 (3.35)
Do mesmo modo que no caso da Equação (3.21), a Equação (3.35) pode ser
representada pela forma padrão de um sistema de 2ª ordem. Assim, impondo um fator
de amortecimento 휁𝑡𝑜𝑟 e a frequência natural 𝜔𝑛 , o ganho 𝑘3 pode ser calculado a partir
da seguinte relação:
𝑘3 =𝐽𝑟
𝑘𝑡
2휁𝑡𝑜𝑟𝜔𝑛 −𝑐𝑡𝐽𝑒𝑞
−𝑐𝑏𝐽𝑏 (3.36)
3.3. Simulação dos Controladores PI e PI-P no
Sistema de 2-DOF
Neste tópico serão mostrados alguns resultados de simulações da aplicação dos
controladores PI e PI-P no modelo torcional da coluna de perfuração apresentado no
capítulo anterior.
37
O ajuste dos controladores é baseado no método de alocação de pólos, usando a
análise apresentada na seção anterior. Portanto, assumindo os valores dos fatores de
amortecimento ζ = 1,55 e 휁𝑡𝑜𝑟 = 5,76, e da frequência natural 𝜔𝑛 = 0,062 rad/s, e
usando as Equações (3.24), (3.25) e (3.36), obtêm-se os ganhos 𝑘1 = 25, 𝑘2 = 10 e
𝑘3 = 20, respectivamente.
Inicialmente, é aplicado o controlador PI no sistema de 2-DOF, cuja
implementação na plataforma Simulink/MATLAB™ é mostrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Implementação do controlador PI no sistema de 2-DOF no
Simulink/MatlabTM
Primeiramente assume-se que o sistema está em malha aberta, i.e. a operação
apresenta o fenômeno stick-slip. Após 50 segundos, ativa-se o controlador PI com um
setpoint para a velocidade angular do sistema de rotação 𝜔𝑑 = 12 rad/s. A Figura 3.3
apresenta o comportamento da variável controlada principal e da variável controlada
inferida, velocidades do sistema de rotação (𝑥2) e da broca (𝑥4), respectivamente. Nota-
se que após a aplicação do controlador, o sistema obteve velocidades constantes e iguais
ao setpoint tanto para a broca quanto para a mesa rotativa, inibindo as oscilações stick-
slip. A figura também mostra o perfil da variação da variável manipulada, torque no
motor (𝑇𝑚 ).
A Figura 3.4 ilustra o comportamento do sistema, estando ele sob controle, a
variações no setpoint nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Percebe-se que
o sistema acompanha o valor desejado sem sofrer oscilações, consequência da resposta
característica de um sistema de 2ª ordem superamortecido, fator almejado durante o
desenvolvimento do projeto.
38
Figura 3.3 – Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada
Figura 3.4 - Resposta a variações no setpoint do sistema de 2-DOF com o controlador
PI: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
Na Figura 3.5 é apresentado o desempenho regulador do sistema controlado
sob os efeitos de perturbações. Para isto, assume-se que no instante 𝑡 = 500𝑠 há um
aumento no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ) de 53018 N para 63621,6 N, provocando uma redução
39
nas velocidades de rotação do sistema. Para compensar esta perturbação, o controlador
aumenta o torque do motor, fazendo que as velocidades tendam a retornar ao valor de
referência. Situação similar ocorre em 𝑡 = 900𝑠, onde 𝑊𝑜𝑏 sofre uma redução de
63621,6 N para 42414,4 N, fato que aumenta as velocidades de rotação, sendo o
controlador obrigado a reduzir o valor de 𝑇𝑚 . Finalmente, em 𝑡 = 1300 há um novo
aumento do 𝑊𝑜𝑏 de 42414,4 N para 53018 N e, por conseguinte, um aumento no valor
do torque 𝑇𝑚 .
Figura 3.5 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
Observa-se que para todos os casos que foram simulados, apesar da variável a
ser controlada seja a velocidade do sistema de rotação, o controlador consegue controlar
de forma indireta ou inferencial a velocidade angular da broca, absorvendo as oscilações
e levando-a ao valor do setpoint.
Do mesmo modo, foram realizadas simulações utilizando o controlador PI-P.
Como poderá ser deduzido das respostas a seguir, o ganho proporcional extra
adicionado ao controlador PI não influencia significativamente o desempenho do
sistema.
As Figuras 3.6, 3.7 e 3.8 apresentam os valores das velocidades do sistema de
rotação e da broca para o sistema 2-DOF utilizando o controlador PI-P, sendo que na
primeira figura o controlador só é acionado após 50 segundos de operação. A segunda
figura mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint, e a terceira
figura apresenta a resposta do sistema controlado a alterações no peso na broca 𝑊𝑜𝑏 nos
instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente. Em todas as figuras, as respostas do
sistema com o controlador PI-P são semelhantes às obtidas com o controlador PI,
40
mostrando assim o bom desempenho do controlador PI na eliminação de oscilações
stick-slip e controle de sistemas de perfuração de poços de petróleo.
Figura 3.6 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I) variáveis
controladas (II) variável manipulada
Figura 3.7 - Resposta a variações no setpoint no sistema 2-DOF com o controlador PI-P:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
41
Figura 3.8 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador PI-P: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
3.4. Simulação dos Controladores PI e PI-P no
Sistema 4-DOF
Nesse item serão apresentados os resultados das simulações referentes à
aplicação dos controladores PI e PI-P no sistema 4-DOF, sendo que os parâmetros de
ajuste dos controladores são os mesmos usados no caso do controle do sistema de 2-
DOF. Isto foi realizado com o objetivo de introduzir incertezas no desenvolvimento dos
controladores.
Para o sistema de 4-DOF, considera-se a seguinte lei de controle:
𝑢 = 𝑘1𝑥9 + 𝑘2𝑥 9 (3.37)
𝑥9 = 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡 (3.38)
Assim, para o sistema em malha fechada formula-se um novo vetor em espaço
estado, 𝑥𝑓 , da seguinte forma:
𝑥𝑓 = 𝑥1𝑓 𝑥2𝑓 𝑥3𝑓 𝑥4𝑓 𝑥5𝑓 𝑥6𝑓 𝑥7𝑓 𝑥8𝑓 𝑥9𝑓 = 𝜑𝑟 𝜑 𝑟 𝜑𝑝 𝜑 𝑝 𝜑𝑙 𝜑 𝑙 𝜑𝑏 𝜑 𝑏 𝑥9 (3.39)
As equações em espaço estado do sistema de 4-DOF em malha fechada são
obtidas da mesma forma que para o caso do sistema de 2-DOF, ou seja, adicionando o
42
novo estado 𝑥9 e a lei de controle da Equação (3.37) no sistema da Equação (2.23),
obtendo:
𝑥 1𝑓 = 𝑥2
𝑥 2𝑓 = 1
𝐽𝑟
− 𝑘𝑡 𝑥1𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2𝑓 + 𝑘𝑡 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥4𝑓 + 𝑘1𝑥9𝑓 + 𝑘2𝑥 9𝑓
𝑥 3𝑓 = 𝑥4
𝑥 4𝑓 = 1
𝐽𝑝
𝑘𝑡 𝑥1𝑓 + 𝑐𝑡 𝑥2𝑓 − 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥3𝑓 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4𝑓 + 𝑘𝑡𝑙 𝑥5𝑓 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥6𝑓
𝑥 5𝑓 = 𝑥6𝑓
𝑥 6𝑓 = 1
𝐽𝑙
𝑘𝑡𝑙 𝑥3𝑓 + 𝑐𝑡𝑙 𝑥4𝑓 − 𝑘𝑡𝑙 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥5𝑓 − 𝑐𝑡𝑙 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6𝑓 + 𝑘𝑡𝑏 𝑥7𝑓 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥8𝑓
𝑥 7𝑓 = 𝑥8
𝑥 8𝑓 = 1
𝐽𝑏
𝑘𝑡𝑏 𝑥5𝑓 + 𝑐𝑡𝑏 𝑥6𝑓 − 𝑘𝑡𝑏 𝑥7𝑓 − 𝑐𝑡𝑏 + 𝑐𝑏 𝑥8𝑓 − 𝑇𝑓𝑏
𝑥 9𝑓 = 𝜔𝑑 − 𝑥2𝑓
(3.40)
A Figura 3.9 ilustra graficamente a aplicação do controlador PI no sistema de
4-DOF no Simulink/MATLAB™.
Figura 3.9 – Implementação do controlador PI no sistema de 4-DOF no
Simulink/MatlabTM
.
43
A Figura 3.10 mostra a estabilização do sistema depois do controlador ficar
ativo. Em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF (Figura 3.3), no presente
caso, embora as oscilações stick-slip sejam maiores em amplitude e o tempo de
estabilização seja maior, a sobrepassagem é bem menor. As variáveis controladas, direta
e indireta, i.e a velocidade do sistema de rotação (𝑥2) e a velocidade da broca (𝑥8),
respectivamente, são praticamente as mesmas e ambas apresentam uma leve vibração
depois de ativado o controle, a qual desaparece na estabilização, alcançando juntas o
setpoint 𝜔𝑑 = 12 rad/s. O perfil da variável manipulada (𝑇𝑚 ) é mais conservativo que
no caso do controle do sistema de 2-DOF.
A Figura 3.11 mostra a resposta do controle do sistema de 4-DOF a variações
no setpoint, ocorrendo estas variações nos instantes 500s, 900s e 1300s,
respectivamente. Em comparação com as respostas do sistema de 2-DOF da Figura 3.4,
no presente caso as respostas das velocidades do sistema de rotação e da broca são
idênticas e ambas apresentam características de um sistema de subamortecido, com leve
sobrepassagem e oscilação tênue a cada mudança de setpoint. A variável manipulada
acompanha o perfil de resposta das variáveis controladas. Quando uma velocidade
angular maior é requerida, o controlador fornece um torque maior e vice-versa.
Figura 3.10 - Resposta do sistema de 4-DOF com o Controlador PI: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada
Na Figura 3.12 se ilustra a resposta reguladora do controle PI do sistema de 4-
DOF sujeito a perturbações aplicadas no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ). Estas perturbações
equivalem a variações de +20% do valor inicial do peso, um decréscimo de -40% e
retorno ao valor inicial, ocorrendo nos instantes 500s, 900s e 1300s, respectivamente.
Como pode ser visualizado, o controle consegue compensar as perturbações, tratando de
44
manter a variável controlada principal (𝑥2) e controlada indireta (𝑥8) no setpoint.
Porém, comparando com o controle do sistema de 2-DOF da Figura 3.5, neste caso os
picos nas velocidades angulares são maiores, apresentando leves sobrepassagens no
retorno ao ponto de operação. Conforme mostrado nas simulações anteriores, a variável
manipulada apresenta uma curva de resposta característica de um sistema de 2ª ordem,
diferente da Figura 3.5, cuja curva é característica de um sistema de 1ª ordem.
Figura 3.11 - Resposta a variações no setpoint do sistema 4-DOF com o controlador PI:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
A aplicação do controlador PI-P no sistema de 4-DOF apresentou um
desempenho levemente superior que o do controlador PI. No caso da estabilização da
resposta, Figura 3.13, não existe as pequenas vibrações nas variáveis controladas depois
da ativação do controle, embora o valor máximo da variável manipulada seja superior.
No caso de variações no setpoint, Figura 3.14, a resposta é ligeiramente menos
oscilatória depois de cada mudança do ponto de operação; sendo que no caso das
perturbações no peso da broca, Figura 3.15, os picos das velocidades do sistema de
rotação e da broca são menores depois de cada variação no 𝑊𝑜𝑏 .
45
Figura 3.12 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
Figura 3.13 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I) variável
controladas, (II) variável manipulada
46
Figura 3.14 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
PI-P: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
Figura 3.15 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador PI-P: (I)
variáveis controladas, (II) variáveis manipuladas
A partir dos resultados das simulações que foram apresentadas é possível
chegar às seguintes conclusões:
47
Os controladores PI e PI-P se mostraram eficiente na eliminação das
oscilações stick-slip, seguimento do setpoint e rejeição de perturbações em
colunas de perfuração,
Os controladores PI e PI-P foram desenvolvidos baseados num sistema de 2ª
ordem, e apresentaram o mesmo desempenho quando aplicados na coluna
de perfuração de 2-DOF.
Os controladores PI e PI-P desenvolvidos para o sistema de 2-DOF podem
ser aplicados a sistemas de ordem superior, como no de 4-DOF, com
desempenho ligeiramente superior do controlador PI-P.
48
Capítulo 4
Controle por Modos Deslizantes
4.1. Introdução
Este capítulo apresenta a abordagem do controle por modos deslizantes
(Sliding Mode Control – SMC) de primeira ordem e sua aplicação em sistemas de
perfuração de poços de petróleo.
O SMC é conhecido por ser um método de controle robusto adequado para o
controle de sistemas incertos. Sua alta robustez é mantida contra vários tipos de
incertezas, tais como perturbações externas e erros de medição. O SMC pode ser
realizado pelo controle com estrutura variável (VSC). Como o nome sugere, o VSC são
classes de sistemas na qual a lei de controle é deliberadamente mudada durante o
processo de controle, conforme algumas regras definidas, as quais vão depender do
estado do sistema (Edwards & Spurgeon, 1998).
A inclusão do estudo do SMC no presente trabalho deve-se ao fato das
inúmeras referências reportadas na literatura voltadas ao controle do fenômeno stick-
slip. A seguir serão apresentados os conceitos básicos do SMC e, posteriormente, o
desenvolvimento de um SMC e sua aplicação no controle da velocidade do sistema de
rotação de uma coluna de perfuração.
4.2. Aspectos Gerais do SMC
O termo VSCS fez sua primeira aparição no final da década de 50. Desde
aquela época, novas direções de pesquisas foram apontadas devido ao surgimento de
novas classes de problemas de controle, aos novos métodos matemáticos, aos avanços
recentes em circuitos de comutação e aos princípios de novas leis de controle (Utkin,
1993).
Uma das principais características do VSCS é a capacidade de se obter
trajetórias que descrevem um novo tipo de movimento, denominado modo deslizante.
Essencialmente, o VSCS utiliza uma lei de controle de comutação de alta velocidade
para conduzir a trajetória do estado da planta não linear a uma superfície escolhida e
49
especificada no espaço de estado, denominada de superfície de deslizamento ou de
comutação (DeCarlo et al., 1998). Essa superfície especifica um comportamento
desejado para a dinâmica do sistema em malha fechada.
Em geral, a dinâmica transiente do SMC consiste em dois modos: um modo de
longo alcance (ou modo nonsliding), seguido por um modo deslizante. Assim, o projeto
do SMC envolve, em primeiro lugar, um projeto de uma apropriada função de
chaveamento 𝑠(𝑥) para uma dinâmica desejada do modo de deslizamento (Gao &
Hung, 1993) e, em segundo lugar, o projeto do controlador tal que satisfaça as
condições de existência e alcançabilidade (Damazo, 2008).
O SMC oferece vantagens significativas, tais como bom comportamento
transitório, capacidade de rejeição às perturbações não-modeladas e insensibilidade a
não-linearidades da planta ou variações dos parâmetros. Entretanto, há algumas
dificuldades no SMC, como (Oliveira, 2006):
Ocorrência indesejável do fenômeno de trepidação (chattering) induzido
por não-idealidades, como pequenos atrasos ou dinâmicas não-modeladas
(modo deslizante real);
Necessidade geral de se ter acesso ao vetor de estado completo para
implementar a superfície de chaveamento;
Conhecimento da direção de controle.
O chattering é um fenômeno indesejável de oscilações com frequência e
amplitude finita, as quais ocorrem durante aplicações práticas de controle por modo
deslizante. Este fenômeno pode excitar as dinâmicas não modeladas, as quais podem
levar o sistema à instabilidade.
4.3. Síntese do Controlador SMC
Considere uma classe de sistema não linear representado por:
𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑡 + 𝑔 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝜉(𝑡)𝑦 = (𝑥, 𝑡)
(4.1)
onde 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 é o vetor de estados, 𝑦 ∈ 𝑅𝑚 é o vetor de saída, 𝑢 ∈ 𝑅𝑚 é o vetor de
entrada, 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑔(𝑥, 𝑡) e (𝑥, 𝑡) são funções conhecidas, limitadas e continuamente
diferenciáveis em relação a todos os argumentos, e 𝜉(𝑡) representa uma perturbação
desconhecida (Fergütz, 2001).
Uma superfície de deslizamento 𝑠 é definida no espaço de estados 𝑅𝑛
igualando a zero a variável 𝑠(𝑥, 𝑡), descrita por (Ming, 1997):
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡+ 𝛿
𝑛−1
𝑥 (𝑡) (4.2)
50
Sendo que 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥𝑑(𝑡) representa o erro de rastreamento da variável
𝑥, onde 𝑥𝑑(𝑡) é o estado desejável, e δ é uma constante estritamente positiva,
considerada como a largura de banda do sistema. A modo de exemplos, superfícies de
deslizamento para 𝑛 = 2 e 𝑛 = 3 são dadas pelas Equações (4.3) e (4.4),
respectivamente:
𝑠 = 𝑥 + 𝛿𝑥 (4.3)
𝑠 = 𝑥 + 2𝛿𝑥 + 𝛿2𝑥 (4.4)
Para que o problema de seguimento seja alcançado usando o controle finito 𝑢,
o estado inicial desejado 𝑥𝑑(0) deve ser tal que:
𝑥𝑑 0 = 𝑥(0) (4.5)
Dada as condições iniciais, Equação (4.5), o problema de seguimento do vetor
𝑥𝑑 de dimensão 𝑛 pode em efeito ser substituído por um problema de estabilização de 1ª
ordem em 𝑠. De fato, já que a expressão de 𝑠 na Equação (4.2) contém 𝑥 (𝑛−1), só é
necessário diferenciar 𝑠 uma vez para que a entrada 𝑢 possa aparecer de forma explícita
(Slotine & Li, 1991).
Um resultado similar deve ser obtido se for usado o controle integral, da forma
(Slotine & Li, 1991):
𝑠 = 𝑑
𝑑𝑡+ 𝛿
𝑛−1
𝑥 𝑡
0
𝑑𝜏 (4.6)
Após simplificar a expressão 𝑠 como uma equação de primeira ordem, o
problema de manter 𝑠 em zero pode ser alcançado pela escolha da lei de controle 𝑢 da
Equação (4.1).
Para garantir a existência de um modo deslizante ideal, ou seja, garantir que a
superfície de deslizamento seja alcançada em um tempo finito, é necessário considerar a
condição de alcançabilidade, descrita por (Nunes, 2004):
𝑠 𝑠 ≤ −휂|𝑠| (4.7)
onde 휂 é uma constante pequena e estritamente positiva. Reescrevendo a Equação (4.7)
tem-se que:
1
2
𝑑
𝑑𝑡𝑠2 ≤ −휂|𝑠| (4.8)
Integrando a Equação (4.8), de 0 a 𝑡𝑠, resulta em:
𝑠 𝑡𝑠 − |𝑠(0)| ≤ −휂𝑡𝑠 (4.9)
51
sendo 𝑡𝑠 o tempo de alcance da superfície de deslizamento, ou seja, 𝑠 = 0, a Equação
(4.9) pode ser reescrita da seguinte forma:
0 − |𝑠(0)| ≤ −휂𝑡𝑠 (4.10)
Isso implica que:
𝑡𝑠 ≤𝑠(0)
휂 (4.11)
A Figura 4.1 ilustra o comportamento de um sistema de 2ª ordem (𝑛 = 2),
onde se pode notar que a condição de alcançabilidade mostrou-se satisfatória. A
superfície de deslizamento é uma linha no retrato de fase de declive δ e que contem o
ponto 𝑥𝑑 = [𝑥𝑑 𝑥 𝑑 ]𝑇 . O movimento da trajetória do sistema pode ser dividido em duas
fases. Na fase de aproximação, a trajetória começa de algum ponto inicial no plano de
fase, e é conduzida até a superfície em um tempo finito menor do que 𝑠 0
휂 . Na segunda
fase, o sistema entra em modo deslizante, ou seja, desliza ao longo da superfície na
direção de 𝑥𝑑 , com uma constante de tempo igual a 1/𝛿, ocorrendo uma redução na
ordem da dinâmica do sistema, que passa a ser dada pela equação da superfície de
deslizamento. Observa-se que, uma vez na superfície, a trajetória permanece na
superfície (Slotine & Li, 1991).
Figura 4.1 – Interpretação gráfica das Equações (4.6) e (4.8) (Slotine & Li, 1991)
Em resumo, a idéia é usar uma equação que represente de forma satisfatória a
superfície de deslizamento 𝑠, de acordo com a Equação (4.2), e, em seguida, selecionar
uma lei de controle 𝑢 em (4.1), tal que as trajetórias do sistema continuem apontado em
direção a superfície de deslizamento, apesar da presença das perturbações e incertezas
do modelo.
Supondo que 𝑠 = 𝑤 𝑥, 𝜉, 𝑡 , podemos escrever 𝑠 = 𝑤 𝑥,𝑢, 𝑡 da seguinte
forma (Fergütz, 2001):
52
𝑠 =𝜕𝑤
𝜕𝜉𝜉 +
𝜕𝑤
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑥
= 𝜕𝑤
𝜕𝜉𝜉 +
𝜕𝑤
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑥[𝑓 𝑥, 𝑡 + 𝑔 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝜉(𝑡)]
= 𝑎 𝑥, 𝑡 + 휂 𝜉 + 𝑏 𝑥, 𝑡 𝑢(𝑡)
(4.12)
onde
𝑎 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑤
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑓 𝑥, 𝑡
휂 𝜉 =𝜕𝑤
𝜕𝜉𝜉 +
𝜕𝑤
𝜕𝑥𝜉
𝑏 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑔(𝑥, 𝑡)
(4.13)
A simplificação e o desacoplamento da equação (4.12) com relação ao controle
podem ser feitos com a seguinte lei de controle (Fergütz, 2001):
𝑢 = − 𝑏(𝑥, 𝑡) −1𝑎 𝑥, 𝑡 + [𝑏(𝑥, 𝑡)]−1𝑢𝑛 (4.14)
sendo 𝑏(𝑥, 𝑡) uma matriz não-singular, e 𝑢𝑛 a lei de controle descontínua. Substituindo
a Equação (4.14) na Equação (4.1), obtem-se:
𝑠 𝑥,𝑢, 𝜉, 𝑡 = 𝑢𝑛 + 휂(𝜉) (4.15)
Para o projeto e estudo de um sistema de controle, um dos pontos mais
importantes é a sua estabilidade. De forma geral deve-se garantir que o sistema seja
estável. Um sistema instável além de ser difícil de controlar é potencialmente perigoso,
se a energia a ele associada for elevada (Silva, 2003). Portanto, o controle 𝑢𝑛 é
projetado de acordo com as condições de estabilidade de Lyapunov. Para isso,
considera-se a seguinte função de Lyapunov (Fergütz, 2001):
𝑉 𝑠 =1
2𝑠2 (4.16)
Para garantir a estabilidade, a função escalar 𝑉(𝑠), tem que ser contínua com
sua primeira derivada contínua, de forma que:
𝑉 0 = 0 e 𝑉 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ≠ 0;
𝑉 𝑥 → ∞, quando 𝑥 → ∞;
𝑉 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ≠ 0.
Logo o ponto de equilíbrio na origem é dito globalmente e assintoticamente
estável.
A derivada da Equação (4.16) fica:
53
𝑉 =𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑠𝑠 (4.17)
Substituindo a Equação (4.17) na Equação (4.15), tem-se que:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(𝑢𝑛 + 휂) (4.18)
A negatividade da expressão 𝑉 (𝑠) é garantida considerando as seguintes leis de
controle descontínuas (Fergütz, 2001):
a) Lei de alcançabilidade de taxa constante
𝑢𝑛 = −𝑘 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) , 𝑘 > 0 (4.19)
onde 𝑘 é o índice de taxa constante.
Substituindo a Equação (4.19) na Equação (4.18), chega-se a:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) + 휂) (4.20)
Para manter a estabilidade de 𝑠 para a origem de 𝑠, é necessário garantir a
negatividade da expressão 𝑉 𝑠 , portanto, é possível obter um valor de 𝑘 que satisfaça a
condição 𝑘 > |휂|, resultando na seguinte lei de controle:
𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠)) (4.21)
b) Lei de alcançabilidade do número de índice
𝑢𝑛 = −𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠, 𝑘 > 0, 𝜆 > 0 (4.22)
onde 𝜆 é o índice expoente.
Substituindo a Equação (4.22) na Equação (4.18), resulta:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) (4.23)
Para garantir a estabilidade sabe-se que:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) < 0
𝑉 𝑠 ≤ − 𝑠 𝑘 − 휂 − 𝜆 𝑠2 < 0 (4.24)
É garantida as condições de existência e acessibilidade do modo deslizante
apenas se 𝑘 − 휂 > 0, ou seja, 𝑘 > |휂|, resultando na seguinte lei de controle:
𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠)) − 𝜆 𝑠 ) (4.25)
c) Lei de alcançabilidade exponencial
𝑢𝑛 = −𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠, 0 ≤ 𝛼 < 1, 𝑘 > 0, 𝜆 > 0 (4.26)
54
Substituindo a Equação (4.26) na Equação (4.18), resulta:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 |𝑠|𝛼𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) (4.27)
A estabilidade de 𝑠 é mantida garantindo a negatividade da expressão 𝑉 𝑠 .
Assim:
𝑉 (𝑠) = 𝑠(−𝑘 |𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) − 𝜆 𝑠 + 휂) < 0
𝑉 𝑠 ≤ − 𝑠 𝑘|𝑠|𝛼 − 휂 − 𝜆 𝑠2 < 0 (4.28)
Logo:
𝑘|𝑠|𝛼 − 휂 > 0 (4.29)
𝑘 > 휂
|𝑠|𝛼 (4.30)
Portanto, a seguinte lei de controle é obtida:
𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠 ) (4.31)
Zhang et al. (2010) mostraram a lei de alcançabilidade exponencial fornece
uma resposta mais suave em relação à lei de alcançabilidade de taxa constate e à lei de
alcançabilidade do número de índice. Com base nisso, a seção a seguir concentra-se no
desenvolvimento e aplicação do controlador SMC, com lei de alcançabilidade
exponencial, nos sistemas de perfuração em estudo.
4.4. Projeto do Controlador SMC para a Coluna
de Perfuração
Levando em consideração a coluna de perfuração de 2-DOF, a superfície de
deslizamento do controlador SMC, obtida da Equação (4.6), é:
𝑠 = 𝑥 + 𝛿 𝑥 𝑡
0
𝑑𝜏 = 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝛿 (𝑥2 − 𝜔𝑑)𝑡
0
𝑑𝜏 (4.32)
Note que a Equação (4.32) tem a característica de uma lei de controle PI. A
simplificação e o desacoplamento da Equação (4.12), com relação ao sistema 2-DOF,
podem ser realizados com a seguinte lei de controle:
𝑢 = − 𝑏(𝑥, 𝑡) −1𝑎 𝑥, 𝑡 + [𝑏(𝑥, 𝑡)]−1𝑢𝑛 (4.33)
onde:
55
𝑏 𝑥, 𝑡 −1 = 𝐽𝑟 (4.34)
𝑎 𝑥, 𝑡 = 𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + (−𝑘𝑡𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡𝑥3 + 𝑐𝑡𝑥4)/𝐽𝑟 (4.35)
sendo 𝑢𝑛 a a lei de alcançabilidade exponencial, denotada pela Equação (4.27).
Portanto, a lei de controle do SMC é dada pela seguinte relação:
𝑢 = 𝑏 𝑥, 𝑡 −1(−𝑎 𝑥, 𝑡 − 𝑘|𝑠|𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 − 𝜆 𝑠 ) (4.36)
𝑢 = 𝑐𝑡(𝑥2 − 𝑥4) + 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑥3 + 𝑐𝑟𝑥2 − 𝐽𝑟(𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝑘 𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 + 𝜆 𝑠) (4.37)
Com o intuito de melhorar as propriedades de robustez do sistema controlado,
é implementada a seguinte modificação na lei de controle SMC (Navarro-López &
Cortés, 2007b):
𝑢 = 𝛥1𝑐𝑡(𝑥2 − 𝑥4) + 𝛥2𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑥3 + 𝛥3𝑐𝑟𝑥2
−𝐽𝑟(𝛿 𝑥2 − 𝜔𝑑 + 𝑘 𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 + 𝜆 𝑠) (4.38)
com os fatores de ponderação 0 < 𝛥𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, 2, 3.
A aplicação do controle SMC, da Equação (4.37), pré-supõe que os estados do
sistema (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) estão disponíveis para realimentação.
4.5. Simulação do Controlador SMC no Sistema
de 2-DOF
O controlador SMC da Equação (4.38) é aplicado na coluna de perfuração de
2-DOF. Na avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta são
considerados os seguintes casos:
Estabilização do sistema após ativação do controlador no instante 𝑡 = 50𝑠.
Reposta do sistema controlado a variações no setpoint nos instantes
𝑡 = 500, 900 e 1300𝑠
Resposta do sistema perturbações no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ), ocorrendo nos
instantes 𝑡 = 500, 900 e 1300𝑠.
As simulações são realizadas com o auxílio do pacote Simulink/MATLAB™.
Os parâmetros de sintonia do controlador são listados na Tabela 4.1, os quais foram
selecionados por tentativa e erro, visando ter o melhor desempenho possível.
56
Tabela 4.1–Parâmetros de sintonia do controlador SMC
Parâmetro Valor
𝜟𝟏 0,9
𝜟𝟐 0,5
𝜟𝟑 0,7
𝜹 0,053
𝒌 0,01
𝝀 0,095
A Figura 4.2 mostra a estabilização do sistema após a ativação do controle.
Como pode ser observada, a velocidade do sistema de rotação (𝑥2) alcança o ponto de
operação desejado (𝑤𝑑=12 rad/s), sendo acompanhada pela velocidade da broca (𝑥4).
Em comparação com a resposta do controle PI, da Figura 3.3, a resposta do controle
SMC não apresenta sobrepassagem, sendo a estabilização muito mais rápida. A variação
do torque do motor (𝑇𝑚 ) fornecida pelo controlador SMC é relativamente bem
comportada, sem o pico acentuado depois da ativação do controle apresentando pelo PI.
A Figura 4.3 apresenta o comportamento das variáveis controladas direta e
indireta (velocidades do sistema de rotação e da broca, respectivamente) a mudanças no
setpoint. Comparando estas respostas com as obtidas pelo sistema sob controle PI, da
Figura 3.4, o SMC gera um controle mais suave, porém mais lento. O perfil da variável
manipulada mostra que o controlador SMC “assegura” o fornecimento do torque
necessário, depois de uma atuação repentina, após cada mudança de setpoint.
Na Figura 4.4 se apresenta a resposta do sistema sob controle SMC sujeito a
variações no peso da broca (𝑊𝑜𝑏 ). Conforme pode ser visualizado, a velocidade da
broca acompanha bem a velocidade do sistema de rotação, a qual trata de voltar ao
setpoint depois da introdução da perturbação. Em comparação com o desempenho do
sistema sob controle PI, da Figura 3.5, embora as variáveis controladas experimentem
picos menores, o retorno ao setpoint é mais lento, com pequenas oscilações no topo dos
picos. Como no caso anterior, é observado que a variável manipulada reage
abruptamente após a perturbação, porém logo ela é “assegurada”, o que motiva a
compensação lenta da perturbação.
57
Figura 4.2 - Resposta do sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada
Figura 4.3 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o Controlador
SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
58
Figura 4.4 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador SMC: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
4.6. Simulação do Controlador SMC no Sistema
de 4-DOF
O controlador SMC da Equação (4.37), desenvolvido baseado no sistema de 2-
DOF, com parâmetros de sintonia da Tabela 4.1, porém com as variáveis
correspondentes ao sistema de 4-DOF, é aplicado no controle da coluna de perfuração
de 4-DOF. Como no caso do controle PI, o objetivo aqui é introduzir incertezas no
desenvolvimento do controlador.
A Figura 4.5 apresenta a estabilização do sistema de 4-DOF depois da ativação
do controle SMC. Em comparação à resposta do sistema de 2-DOF, da Figura 4.2, no
presente caso as velocidades da coluna demoram em alcançar o ponto de operação
desejado, sendo que a variável manipulada apresenta grandes oscilações no início da
ativação do controle.
A Figura 4.6 mostra a resposta do sistema controlado a variações no setpoint.
Como pode ser visualizada, a resposta do sistema é mais rápida em alcançar o novo
setpoint, se comparada à resposta do controle SMC do sistema de 2-DOF, da Figura 4.3.
Já, a Figura 4.7 mostra o desempenho do SMC na regulação do sistema de 4-DOF
sujeito a perturbações no peso da broca. As variáveis controladas conseguem retornar ao
ponto de operação. Mas, em comparação com a resposta do sistema de 2-DOF, da
Figura 4.4, os picos nas velocidades do sistema de 4-DOF são maiores, com oscilações
nos cumes dos picos mais acentuadas.
59
Figura 4.5 - Resposta do sistema 4-DOF com o controlador SMC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada
Figura 4.6 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
SMC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
60
Figura 4.7 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador SMC: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
Os resultados das simulações do SMC apresentados no presente capítulo levam
às seguintes conclusões:
O controlador SMC consegue eliminar as oscilações stick-slip, fazer o
seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação de
colunas de perfuração.
O controlador SMC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF
pode ser aplicado a sistemas de ordem superior. No sistema de 4-DOF, a
aplicação do controle apresentou melhoras, em relação ao sistema de 2-
DOF, no caso de variações no setpoint.
O controlador SMC fornece uma ação repentina, após uma mudança no
setpoint ou perturbação no sistema, a qual logo é “assegurada”. Esta ação
repentina provoca oscilações na variável manipulada, sendo mais notória
quando aplicada no sistema de 4-DOF.
61
Capítulo 5
Controle por Linearização Exata por
Realimentação
5.1. Introdução
Grande parte dos sistemas físicos pode ser descrita por equações diferenciais
não lineares. O controle destes sistemas pode ser afetado pela fidelidade na reprodução
dos efeitos não lineares pelas equações que descrevem a dinâmica. Quando estes efeitos
não lineares tornam-se significativos na dinâmica do sistema, os métodos de controle
linear mostram-se limitados para se alcançar um desempenho desejado. É neste
contexto que se inserem os métodos de controle não linear, fazendo ênfase no método
de linearização por realimentação (Henson & Seborg, 1997).
A idéia central do método de linearização por realimentação consiste em usar
técnicas de manipulação matemática que permitam transformar algebricamente um
sistema não linear em um sistema totalmente ou parcialmente linear, numa região finita,
de modo que técnicas de controle linear, como as clássicas, possam ser aplicadas no
projeto do controlador (Slotine & Li, 1991). Técnicas de linearização por realimentação
podem ser vistas como uma forma de transformar modelos originais do sistema em
modelos de forma mais simples equivalentes.
O presente capítulo trata sobre o estudo e aplicação de métodos de linearização
exata por realimentação no controle de colunas de perfuração. Duas técnicas de controle
por linearização por realimentação são discutidas do ponto de vista teórico: o
controlador por linearização entrada-estado (ISLC) e o controlador por linearização
entrada-saída (IOLC). A partir dessa análise, um desses controladores será
implementado no controle do sistema torcional da coluna de perfuração, sendo seu
desempenho avaliado quando submetido a diversas condições de operação.
62
5.2. Conceitos Básicos Fundamentais
Para melhor entendimento da abordagem de linearização exata por
realimentação é necessário introduzir brevemente os seguintes conceitos básicos
fundamentais:
5.2.1. Campo vetorial
Se 𝐷 é uma região em ℜ𝑛 , então um campo vetorial em 𝐷 é uma função 𝐹 que
atribui a cada (𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) em 𝐷, um vetor 𝐹 (𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛) de dimensão 𝑛. Quando
𝑛 = 1 o campo vetorial tem um nome de campo escalar e será :𝐷 → ℜ.
5.2.2. Campo covetorial
Designa-se por campo covetorial ao transposto de um campo vetorial.
Representa-se por um vetor linha.
5.2.3. Produto interno
Define-se produto interno de um campo vetorial 𝑓(𝑥) por um campo
covetorial 𝑤(𝑥), representado por < 𝑤, 𝑓 >, ao escalar:
< 𝑤,𝑓 >= 𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑤𝑖 𝑥 𝑓𝑖(𝑥)
𝑛
𝑖=1
(5.1)
O produto de 𝑤 𝑥 por 𝑓 𝑥 deve ser entendido como o produto matricial de
uma matriz 1 × 𝑛 (covetor 𝑤) por uma matriz coluna n× 1 (vetor 𝑓).
5.2.4. Gradiente
A gradiente de uma função escalar (𝑥), cujos elementos se obtêm derivando
(𝑥) em relação a cada uma das componentes de 𝑥. Pode representar-se por 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑥),
ou por ∇(𝑥), como:
∇ x = 𝑔𝑟𝑎𝑑 x =𝜕(𝑥)
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥1,𝜕
𝜕𝑥2,… ,
𝜕
𝜕𝑥𝑛 (5.2)
63
5.2.5. Jacobiano
Jacobiano é uma forma multidimensional de derivada. Seja, por exemplo, um
campo vetorial 𝑓(𝑥). Então se define jacobiano de um campo vetorial como:
∇𝑓 x = 𝜕𝑓𝑖(𝑥)
𝜕𝑥𝑗 =
𝜕𝑓1(𝑥1)
𝜕𝑥1⋯
𝜕𝑓1(𝑥𝑛)
𝜕𝑥𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛(𝑥1)
𝜕𝑥1⋯
𝜕𝑓𝑛(𝑥𝑛)
𝜕𝑥𝑛
𝑛×𝑛
𝑖, 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛 (5.3)
5.2.6. Derivada de Lie
A derivada de Lie é uma das ferramentas mais importantes da geometria
diferencial, e é bastante utilizada na linearização de sistemas não lineares. A derivada de
Lie entre um campo escalar e um campo vetorial pode ser representada da seguinte
forma:
𝐿𝑓 =𝜕 𝑥
𝜕𝑥𝑓 x = ∇ 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 =< ∇ 𝑥 ,𝑓 𝑥 > (5.4)
onde :ℜ𝑛 → ℜ, representa o campo escalar e, 𝑓:ℜ𝑛 → ℜ𝑛 , representa o campo
vetorial. Assim, a derivada de Lie 𝐿𝑓, é simplesmente a derivada direcional de ao
longo da direção do vetor 𝑓.
Uma vez que a derivada de Lie de uma função escalar é também uma função
escalar, é possível calcular as derivadas de Lie de ordem 2, 3, etc. A sua definição faz-se
por recorrência. Portanto tem-se que:
𝐿𝑓0 𝑥 = (𝑥)
𝐿𝑓1 𝑥 =
𝜕 𝑥
𝜕𝑥𝑓 x
𝐿𝑓2 𝑥 = 𝐿𝑓(𝐿𝑓 𝑥 ) =
𝜕 𝐿𝑓 𝑥
𝜕𝑥𝑓 x
⋮
𝐿𝑓𝑘 𝑥 = 𝐿𝑓(𝐿𝑓
𝑘−1 𝑥 ) =𝜕 𝐿𝑓
𝑘−1 𝑥
𝜕𝑥𝑓 x
(5.5)
5.2.7. Parêntese de Lie
Sejam 𝑓 e 𝑔 campos vetoriais em ℜ𝑛 . O parêntese de Lie de 𝑓 e 𝑔 é um campo
vetorial de dimensão 𝑛, definido por:
64
𝑓,𝑔 = 𝑎𝑑𝑓𝑔 = ∇𝑔 ∙ 𝑓 − ∇𝑓 ∙ 𝑔 =𝜕𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑓 𝑥 −
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥𝑔(𝑥) (5.6)
O parênteses de Lie de ordem 𝑖 é definido da seguinte forma:
𝑎𝑑𝑓0𝑔 = 𝑔
𝑎𝑑𝑓1𝑔 = 𝑓,𝑔
⋮𝑎𝑑𝑓
𝑖𝑔 = 𝑓,𝑎𝑑𝑓𝑖−1𝑔
(5.7)
O parêntese de Lie satisfaz as seguintes propriedades:
(𝑖) Anti-simetria: 𝑓,𝑔 = −[𝑔,𝑓]
(𝑖𝑖) Bilinearidade: 𝛼1𝑓1 + 𝛼2𝑓2 ,𝑔 = 𝛼1 𝑓1,𝑔 + 𝛼2[𝑓2 ,𝑔]
sendo 𝑓,𝑓1,𝑓2 ,𝑔 campos vetoriais suaves e 𝛼1,𝛼2 escalares constantes.
(𝑖𝑖𝑖) Identidade de Jacobi: 𝐿[𝑓 ,𝑔] = 𝐿𝑓𝐿𝑔 − 𝐿𝑔𝐿𝑓
5.2.8. Difeomorfismo
A aplicação 𝜙:𝛺 → ℜ𝑛 , na qual 𝛺 é um conjunto aberto de ℜ𝑛 , é denominada
um difeomorfismo se 𝜙−1(𝑥) existe e se 𝜙(𝑥) e 𝜙−1(𝑥) são diferenciáveis e contínuas
em 𝛺. Se, adicionalmente, 𝛺 = ℜ𝑛 , então 𝜙(𝑥) é um difeomorfismo global (Slotine &
Li, 1991).
Uma das aplicações dos difeomorfismos consiste em transformar o modelo de
estado de um sistema não linear num outro modelo de estado, linear ou não linear,
através de uma mudança de variável de estado. Considere o sistema da Equação (5.8).
Efetuando a mudança da variável de estado 𝑧 = 𝜑(𝑥), e derivando ambos os lados,
obtém-se:
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑢𝑦 = (𝑥)
(5.8)
𝑧 =𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑥 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑓 𝑥 +
𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑔 𝑥 𝑢 (5.9)
Como 𝜙 é um difeomorfismo, tem-se 𝑥 = 𝜑−1 𝑧 . Logo:
𝑧 = 𝑓∗ 𝑧 + 𝑔∗(𝑧) ∙ 𝑢𝑦 = ∗(𝑧)
(5.10)
65
5.2.9. Teorema de Frobenius
Seja {𝑓1,𝑓2,… , 𝑓𝑚 } um conjunto de 𝑚 campos vetoriais, definidos em ℜ𝑛 , com
𝑚 < 𝑛. Este conjunto é completamente integrável se e só se for involutivo.
Um campo de campos vetoriais se diz involutivo se e somente se existirem
funções escalares 𝛼𝑖 𝑗 𝑘 :ℜ𝑛 → ℜ tais que os parênteses de Lie da Equação (5.11), de
dois campos vetoriais, possam ser expressos por uma combinação linear dos campos de
vetores originais, i.e.:
𝑓𝑖 ,𝑓𝑗 = 𝛼𝑖𝑗𝑘 𝑥 𝑓𝑘(𝑥)
𝑚
𝑘=0
(5.11)
5.3. Linearização Entrada-Estado
Considere um sistema não-linear SISO descrito pela seguinte equação de
estado:
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑢 (5.12)
onde 𝑓 e 𝑔 são campos vetoriais em ℜ𝑛 . A esse sistema dá-se o nome sistema linear na
entrada, linear no controle ou linear na variável de controle (Silva, 2003). Além dessa
estrutura, o sistema pode aparecer de forma genérica, como:
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑤[𝑢 + 𝜙 𝑥 ] (5.13)
sendo 𝑤 uma função escalar invertível e 𝜙 uma função arbitrária. A Equação (5.13)
pode ser convertida a forma da Equação (5.12), fazendo:
𝑣 = 𝑤[𝑢 + 𝜙 𝑥 ] (5.14)
Isolando a variável 𝑢, através da inversa de 𝑤, tem-se:
𝑢 = 𝑤−1𝑣 − 𝜙(𝑥) (5.15)
Definição (linearização entrada-estado). Um sistema não linear na forma da Equação
(5.12) é dito ser linearizável entrada-estado se existir uma região 𝛺 em ℜ𝑛 , um
difeomorfismo 𝜙:𝛺 → ℜ𝑛 , e uma lei de controle por realimentação, da forma:
𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑣 (5.16)
onde:
66
𝛼 𝑥 = −𝐿𝑓𝑛 𝑧1
𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1
(5.17)
𝛽 𝑥 =1
𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1
(5.18)
tal que as novas variáveis de estado 𝑧 = 𝜙(𝑥) e a nova entrada 𝑣 satisfazem a relação
linear invariante no tempo (Slotine & Li, 1991):
𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝑏𝑣 (5.19)
sendo:
𝐴 =
0 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 10 0 0 ⋯ 0
, 𝑏 =
00⋮01
(5.20)
A nova variável de estado 𝑧 é designada por estado linearizado, e a lei de
controle 𝑢 (Eq. 5.16) é chamada lei de controle linearizante. A “nova entrada” 𝑣 pode
ser representada da seguinte forma (Henson & Seborg, 1997):
𝑣 = −𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏
𝑡
0
(5.21)
Resultando numa lei de controle:
𝑢 =−𝐿𝑓
𝑛 𝑧1 − 𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏
𝑡
0
𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1
(5.22)
onde os 𝛼𝑛 são os parâmetros de sintonia do controlador, sendo 𝛼0 o parâmetro
associado com o termo integral. A lei de controle integral (5.22) produz a seguinte
equação característica:
𝑠𝑛+1 + 𝛼𝑛𝑠𝑛 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 = 0
(5.23)
Os parâmetros 𝛼𝑛 são escolhidos tal que ao pôr as raízes da equação
característica, Equação (5.23), no semi-plano esquerdo aberto, a trajetória do erro decai
exponencialmente a zero.
A lei de controle integral resultante gera a seguinte função de transferência em
malha fechada, para mudanças no setpoint (Henson & Seborg, 1997):
𝑦(𝑠)
𝑦𝑠𝑝(𝑠)=
𝛼0
𝑠𝑛+1 + 𝛼𝑛𝑠𝑛 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 (5.24)
67
O controlador da Equação (5.22) envolve 𝑛 + 1 parâmetros de sintonia.
Segundo Kravaris & Wright (1989), uma função de transferência em malha fechada
com um único parâmetro de sintonia 휀, da forma (Henson & Seborg, 1990, 1991,
1992b):
𝑦(𝑠)
𝑦𝑠𝑝(𝑠)=
1
(휀𝑠 + 1)𝑛+1 (5.25)
pode ser obtida, pela escolha dos 𝛼𝑛 da seguinte maneira (Henson & Seborg, 1990):
𝛼𝑘 = 𝑟 + 1 𝑟 − 1 𝑟 − 2 … (𝑟 − 𝑘 + 2)
𝑘!휀𝑘−𝑟−1, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (5.26)
sendo 𝛼0 = 휀−(𝑟+1). Valores pequenos de 휀 fornecem uma vigorosa ação de controle,
enquanto valores grandes podem causar respostas muito lentas.
Nota-se que a forma das matrizes 𝐴 e 𝑏 faz com que o sistema da Equação
(5.20) tenha a forma de um integrador múltiplo. Este fato não introduz qualquer perda
de generalidade, uma vez que todo o sistema linear pode ser escrito na forma
companheira, que por sua vez, por meio da mudança de variável (𝑧 = 𝜙(𝑥)) pode ser
transformado num integrador múltiplo.
Lema. Um sistema não linear, da forma da Equação (5.12), com 𝑓 e 𝑔 sendo campos
vetoriais suaves, é linearizável entrada-estado se, e somente se, existir uma região 𝛺 tal
que satisfaça as seguintes condições (Chen et al., 2004):
O campo de vetor {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} seja linearmente independente em
𝛺.
O conjunto {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} é involutivo na região 𝛺.
A primeira condição implica em dizer se o sistema é controlável. Para sistemas
lineares, o campo de vetores {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} torna-se {𝑏,𝐴𝑏,… ,𝐴𝑛−1𝑏} e,
portanto, a independência destes valores equivale a 𝑛, sendo 𝑛 a característica da matriz
de controlabilidade [𝑏,𝐴𝑏,…𝐴𝑛−1𝑏]. Em síntese, para o sistema ser controlável a matriz
de controlabilidade deve ser não-singular.
A segunda condição é a condição de involutividade, sendo essa a menos
intuitiva. Ela é trivialmente satisfeita para sistemas lineares (que têm campos de vetores
constantes), mas não é genericamente satisfeita em caso de sistemas não lineares
(Slotine & Li, 1991).
Prova do Lema (Slotine & Li, 1991). Assumindo que exista uma transformação de
estado 𝑧 = 𝑧(𝑥) e uma transformação da entrada 𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑣, tal que 𝑧 e 𝑣
satisfaçam a Equação (5.19). Expandindo a primeira linha da Equação (5.19), obtém-se:
68
𝑧 1 =𝜕𝑧1
𝜕𝑥 𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢 = 𝑧2 (5.27)
Fazendo o procedimento similar com as outras componentes de 𝑧, leva-se a um
conjunto de equações diferenciais parciais, representadas da seguinte forma:
𝜕𝑧1
𝜕𝑥𝑓 +
𝜕𝑧1
𝜕𝑥𝑔 𝑢 = 𝑧2
𝜕𝑧2
𝜕𝑥𝑓 +
𝜕𝑧2
𝜕𝑥𝑔 𝑢 = 𝑧3
⋮𝜕𝑧𝑛𝜕𝑥
𝑓 +𝜕𝑧𝑛𝜕𝑥
𝑔 𝑢 = 𝑣
(5.28)
Uma vez que 𝑧1,… , 𝑧𝑛 são independentes de 𝑢, enquanto 𝑣 não é, conclui-se a
partir da Equação 5.28 que:
𝐿𝑔𝑧1 = 𝐿𝑔𝑧2 = ⋯ = 𝐿𝑔𝑧𝑛−1 = 0
𝐿𝑔𝑧𝑛 ≠ 0 (5.29)
𝐿𝑓𝑧𝑖 = 𝑧𝑖+1, 𝑖 = 1, 2,… ,𝑛 − 1 (5.30)
As equações 𝑧 citadas acima podem ser comprimidas a um conjunto de
equações de restrição em 𝑧1, ou seja:
∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓
𝑘𝑔 = 0, 𝑘 = 0, 1, 2,… ,𝑛 − 2
∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 ≠ 0
(5.31)
A primeira propriedade do teorema pode ser inferida a partir da equação 5.31,
pois o campo de vetor {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔} deve ser linearmente independente. De
fato, pois se existisse algum número 𝑖 (𝑖 ≤ 𝑛 − 1), existiria escalares 𝛼1 𝑥 ,… ,𝛼𝑖−1(𝑥)
tal que:
𝑎𝑑𝑓𝑖𝑔 = 𝛼𝑘𝑎𝑑𝑓
𝑘𝑔
𝑖−1
𝑘=0
(5.32)
ou seja,
𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 𝛼𝑘𝑎𝑑𝑓
𝑘𝑔
𝑛−2
𝑘=𝑛−𝑖−1
(5.33)
Isso, juntamente com a primeira parte da Equação (5.31), i.e. ∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓𝑘𝑔 = 0,
𝑘 = 0, 1, 2,… ,𝑛 − 2, implicaria que:
69
∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 𝛼𝑘 ∇𝑧1 𝑎𝑑𝑓
𝑘𝑔 = 0
𝑛−2
𝑘=𝑛−𝑖−1
(5.34)
o que contradiz a segunda parte da Equação (5.31), i.e. ∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 ≠ 0.
A segunda propriedade do Lema, pode ser inferida a partir da Equação (5.31).
Essa propriedade resulta na existência de uma função escalar 𝑧1 para satisfazer as
equações diferenciais parciais na primeira parte da Equação (5.31). Essa propriedade
também pode ser determinada a partir do Teorema de Frobenius. Uma vez que a
condição de involutividade é satisfeita, então a partir do Teorema de Frobenius existe
uma função escalar não-zero 𝑧1(𝑥) que satisfaz a Equação (5.31).
Com base na teoria exposta, Silva (2003) apresenta o seguinte algoritmo para o
método de linearização entrada-estado:
1) Construir os campos vetoriais {𝑔, 𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔};
2) Verificar se as condições de controlabilidade e involutividade são
satisfeitas.
Para o sistema ser controlável os campos vetoriais {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔}
têm que ser linearmente independentes, e para satisfazer a condição de
involutividade o conjunto de vetores {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} tem que ser
involutivo. Caso não sejam satisfeitas as condições o sistema não será
linearizável entrada-estado. Caso contrário, passar para o seguinte passo.
3) Calcular a primeira componente do novo vetor de estado, 𝑧1, a partir de:
∇𝑧1𝑎𝑑𝑓
𝑖𝑔 = 0, 𝑖 = 0, 1,… ,𝑛 − 2
∇𝑧1𝑎𝑑𝑓𝑛−1𝑔 = 0
(5.35)
4) Calcular o novo estado
𝑧 𝑥 = 𝑧1 𝐿𝑓𝑧1 … 𝐿𝑓𝑛−1𝑧1
𝑇 (5.36)
5) Calcular a “nova entrada” 𝑣
𝑣 = −𝛼𝑛𝐿𝑓𝑛−1𝑧1 −⋯+ 𝛼1 𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1 + 𝛼0 [𝑦𝑠𝑝 − 𝑧1]𝑑𝜏
𝑡
0
(5.37)
6) Calcular a lei de controle
𝑢 = 𝛼 𝑥 + 𝛽(𝑥) (5.38)
Com 𝛼(𝑥) e 𝛽(𝑥) dados por
𝛼 𝑥 = −𝐿𝑓𝑛 𝑧1
𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1
(5.39)
𝛽 𝑥 =1
𝐿𝑔 𝐿𝑓𝑛−1 𝑧1
(5.40)
70
5.4. Controle por Linearização Entrada-Saída
(IOLC)
Para o desenvolvimento da técnica de controle por linearização entrada-saída, é
necessário ter conhecimento sobre o grau relativo do sistema. O grau relativo ou ordem
relativa é uma propriedade importante dos sistemas não-lineares. Para um sistema
linear, representado por uma função de transferência, o grau relativo é a diferença entre
as ordens dos polinômios do denominador e do numerador. Em síntese, para um sistema
não-linear, o grau relativo (𝑟) representa o número de vezes que a saída 𝑦 pode ser
diferenciada com respeito ao tempo, tal que a entrada 𝑢 apareça de forma explícita.
Considere o seguinte sistema companheira:
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑢𝑦 = (𝑥)
(5.41)
Derivando a saída e usando a definição de derivada de Lie, tem-se:
𝑦 =𝜕(𝑥)
𝜕𝑥𝑥 =
𝜕 𝑥
𝜕𝑥(𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢) (5.42)
𝑦 =𝜕(𝑥)
𝜕𝑥𝑓 +
𝜕(𝑥)
𝜕𝑥𝑔 ∙ 𝑢 (5.43)
𝑦 = 𝐿𝑓 𝑥 + 𝐿𝑔(𝑥) ∙ 𝑢 (5.44)
O sistema da Equação (5.41) terá grau relativo 𝑟 no ponto 𝑥0, ao redor do qual
a linearização local é feita, se:
𝐿𝑔𝐿𝑓
𝑖 𝑥 = 0, 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 2
𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1(𝑥) ≠ 0
(5.45)
O grau relativo do sistema deverá ser menor ou igual à ordem do próprio
sistema, ou seja:
𝑟 ≤ 𝑛 (5.46)
Em efeito 𝑟 não pode ser superior a 𝑛, porque se fosse possível derivar um
número de vezes superior a 𝑛, o sistema não seria de ordem 𝑛, mas de ordem superior a
𝑛. Portanto, se após derivar a saída do sistema 𝑛 vezes e, mesmo assim, não houver uma
relação explícita entre a entrada e a saída o sistema não será controlável (Silva, 2003).
71
Na teoria de controle não linear, o problema de linearização local entrada-saída
consiste em encontrar uma lei de controle por realimentação de estados não-linear
estática, da forma:
𝑢 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑣 (5.47)
onde 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥) representam funções algébricas das variáveis de estado e 𝑣 a entrada
de referência externa denominada de “nova entrada”. Substituindo a Equação (5.47) na
Equação (5.41), o sistema em malha fechada é dada por:
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝑔 𝑥 + [𝑏 𝑥 𝑔(𝑥)]𝑣𝑦 = (𝑥)
(5.48)
Resultando em um sistema exatamente linear. Isto implica que o mapeamento
entre a “nova entrada” 𝑣 e a saída 𝑦 é linear para todos os valores dos estados 𝑥 na
vizinhança do ponto de análise 𝑥0. O problema é local no sentido que a solução pode só
existir na vizinhança 𝑥0 (Isidori, 1995). Se o sistema da Equação (5.41) possui um grau
relativo bem definido, então as primeiras derivadas de 𝑦 podem ser representadas como:
𝑦𝑖 = 𝐿𝑓𝑖 𝑥 ; 𝑖 = 0, 1,… , 𝑟 − 1
(5.49)
𝑦𝑟 = 𝐿𝑓𝑟 𝑥 + 𝐿𝑔𝐿𝑓
𝑟−1 𝑥
(5.50)
Agora, se o sistema em malha fechada satisfaz a propriedade:
𝑦𝑟 𝑡 = 𝑣(𝑡) (5.51)
a lei de controle IOLC pode ser formulada como segue (Henson & Seborg, 1991;
Henson, 1992):
𝑢 𝑡 =−𝐿𝑓
𝑟(𝑥)
𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1(𝑥)
+1
𝐿𝑔𝐿𝑓𝑟−1 𝑥
𝑣(𝑡) (5.52)
Devido à estrutura especial da Equação (5.51), onde a “nova entrada” governa
diretamente o sinal de saída, o projeto do controlador para vários objetivos é um tanto
simples. Como exemplo, considere o problema da trajetória assintótica, que é projetar
uma lei de controle tal que a saída 𝑦(𝑡) siga assintoticamente uma trajetória desejada,
𝑦𝑠𝑝(𝑡). Obviamente, isto pode ser obtido fazendo com que o erro, 𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝(𝑡),
satisfaça a seguinte equação diferencial (Isidori, 1995; Henson & Seborg, 1991):
𝑒𝑟 𝑡 + 𝛼𝑟𝑒 𝑟−1 𝑡 + ⋯+ 𝛼2𝑒 𝑡 + 𝛼1𝑒 𝑡 = 0
(5.53)
onde 𝛼1,… ,𝛼𝑟 são tais que:
72
𝑠𝑟 + 𝛼𝑟𝑠𝑟−1 + ⋯+ 𝛼2𝑠 + 𝛼1
(5.54)
seja um polinômio de Hurwitz (Lin,1994; Henson & Seborg, 1997), visto que as 𝑟
primeiras derivadas são disponíveis, então:
𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝(𝑡)
𝑒 𝑡 = 𝑦 𝑡 − 𝑦 𝑠𝑝(𝑡)
⋮𝑒𝑟 𝑡 = 𝑦𝑟 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝
𝑟 𝑡 = 𝑣 𝑡 − 𝑦𝑠𝑝𝑟(𝑡)
(5.55)
Inserindo as Equações (5.55) na Equação (5.53) e rearranjando, a “nova
entrada” pode ser escolhida como (Lin, 1994):
𝑣 𝑡 = 𝑦𝑠𝑝𝑟 + 𝛼𝑖[𝑦𝑠𝑝
𝑖−1 − 𝐿𝑓𝑖−1(𝑥)]
𝑟
𝑖=1
(5.56)
onde 𝛼𝑖 são os parâmetros de sintonia do controlador. Estes parâmetros são escolhidos
de modo que as raízes da sua equação característica, Equação (5.54) tenham sua parte
real estritamente negativa, ou seja, estiverem no semi-plano esquerdo aberto, fazendo
que a trajetória do erro decaia exponencialmente a zero.
Na teoria, as raízes podem ser designadas arbitrariamente. Não obstante,
devido a erros de modelagem e restrições na entrada manipulada, os 𝛼𝑖 podem ser
escolhidos para prover um compromisso entre desempenho e robustez. Se os parâmetros
do controlador são selecionados apropriadamente e o modelo é perfeito, a lei de
controle nas Equações (5.52) e (5.56) asseguram uma estabilidade entrada-saída
(Henson & Seborg, 1991).
A “nova entrada”, proposta por Henson & Seborg (1991), contém um termo
integral que penaliza o erro, com o objetivo de manter a saída no setpoint, apesar dos
distúrbios não medidos e imperfeições no modelo do processo. Esta “nova entrada” é
feita para processos com grau relativo 𝑟 e tem a seguinte forma (Henson & Seborg,
1990, 1991, 1992b):
𝑣 = − 𝛼𝑖[𝐿𝑓𝑖−1(𝑥)]
𝑟
𝑖=1
+ 𝛼0 𝑦𝑠𝑝 − 𝑦 𝑑𝑡𝑡
0
(5.57)
Assim, um controlador linearizado entrada-saída modificado pode ser obtido
usando as Equações (5.52) e (5.57). A lei de controle integral resultante gera a seguinte
função de transferência em malha fechada (Henson & Seborg, 1990):
𝑦(𝑠)
𝑦𝑠𝑝(𝑠)=
𝛼0
𝑠𝑟+1 + 𝛼𝑟𝑠𝑟 + ⋯+ 𝛼1𝑠 + 𝛼0 (5.58)
73
O controlador IOLC envolve (𝑟 + 1) parâmetros de sintonia. De forma similar
ao caso do controlador ISLC, uma função de transferência em malha fechada com um
único parâmetro de sintonia 휀, da forma:
𝑦(𝑠)
𝑦𝑠𝑝(𝑠)=
1
(휀𝑠 + 1)𝑟+1 (5.59)
pode ser obtida, através da escolha dos 𝛼𝑖 do seguinte modo:
𝛼𝑖 = 𝑟 + 1 𝑟 − 1 𝑟 − 2 … (𝑟 − 𝑖 − 2)
𝑖!휀𝑖−𝑟−1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 (5.60)
onde 𝛼0 = 휀−(𝑟+1).
Nota-se que na linearização entrada-saída de um sistema com grau relativo
𝑟 = 𝑛 também é conduzido a um integrador múltiplo de ordem 𝑛. Isto significa que se
um sistema for linearizável entrada-estado e a sua saída for a 1ª componente do vetor de
estado, 𝑦 = 𝑧1, então o sistema é linearizável entrada-saída, com grau relativo 𝑟 = 𝑛
(Silva, 2003).
5.5. Impossibilidade Teórica do Projeto de um
Controlador ISLC para a Coluna de
Perfuração
Considere o sistema torcional de 2-DOF, descrito no capítulo 2, e que
novamente é mostrado aqui pela seguinte equação:
𝑥 1 = 𝑥2
𝑥 2 = 1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 + 𝑇𝑚
𝑥 3 = 𝑥4
𝑥 4 = 1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 (𝐱)
(5.61)
Reescrevendo a Equação (5.61), na forma companheira da Equação (5.12),
tem-se:
𝑥 =
𝑥2
1
𝐽𝑟 – 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
𝑥4
1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 𝐱
+
0
1/𝐽𝑟
0
0
𝑢 (5.62)
onde 𝑢 = 𝑇𝑚 , com os campos vetoriais:
74
𝑓 𝑥 =
𝑓1
𝑓2
𝑓3
𝑓4
=
𝑥2
1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
𝑥4
1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 (𝐱)
(5.63)
𝑔 𝑥 =
01/𝐽𝑟
00
(5.64)
Como pode ser visto a ordem deste sistema é 𝑛 = 4. O algoritmo do método de
linearização entrada-estado (Silva, 2003), descrito na seção 5.3, propõe definir
primeiramente o campo de vetores 𝐶𝑉 = {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔, 𝑎𝑑𝑓
3𝑔}. O vetor 𝑔 é
representado na Equação (5.64), e os demais componentes, na sequência, podem ser
representados como:
𝑎𝑑𝑓𝑔 =𝜕𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑓 𝑥 −
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥𝑔 𝑥
(5.65)
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥=
0 1 0 0−𝑘𝑡𝐽𝑟
−𝐴𝑘𝑡𝐽𝑟
𝑐𝑡𝐽𝑟
0 0 0 1𝑘𝑡𝐽𝑏
𝑐𝑡𝐽𝑏
−𝑘𝑡𝐽𝑏
−𝐵 − 𝐶
(5.66)
𝜕𝑔 𝑥
𝜕𝑥=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(5.67)
𝒂𝒅𝒇𝒈 =
−1 𝐽𝑟
𝐴 𝐽𝑟 0
−𝑐𝑡 𝐽𝑟
(5.68)
𝑎𝑑𝑓2𝑔 =
𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑓 𝑥 −
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥
(5.69)
𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥
𝜕𝑥=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(5.70)
75
𝒂𝒅𝒇𝟐𝒈 =
−𝐴
𝐽𝑟𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡
2
𝐽𝑏𝐽𝑟2
𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟
𝑘𝑡 − 𝑐𝑡𝐴 − [𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)]
𝐽𝑏𝐽𝑟
(5.71)
𝑎𝑑𝑓3𝑔 =
𝜕𝑎𝑑𝑓2𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑓 𝑥 −
𝜕𝑓 𝑥
𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓
2𝑔 𝑥 (5.72)
𝜕𝑎𝑑𝑓2𝑔 𝑥
𝜕𝑥=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0𝑐𝑡(𝐷 + 𝐸)
𝐽𝑏𝐽𝑟
(5.73)
𝒂𝒅𝒇𝟑𝒈 =
𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡
2 − 𝐽𝑏𝑘𝑡
𝐽𝑏𝐽𝑟2
𝐹
𝐽𝑏𝐽𝑟2
−(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶))
𝐽𝑏𝐽𝑟𝐺
𝐽𝑏2𝐽𝑟
2
(5.74)
sendo:
𝐴 = 𝑐𝑟 + 𝑐𝑡
𝐽𝑟
(5.75)
𝐵 = 𝑐𝑏 + 𝑐𝑡
𝐽𝑏
(5.76)
𝐶 = 𝛾𝑏𝑠𝑔𝑛(𝑥4) 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)
𝐽𝑏𝑣𝑓𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4
(5.77)
𝐷 = 𝛾𝑏
2𝑠𝑔𝑛(𝑥4)2 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)
𝐽𝑏𝑣𝑓2𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4
(5.78)
𝐸 = −2𝛾𝑏𝛿(𝑥4) 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏 (µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏)
𝐽𝑏𝑣𝑓𝑒𝑥𝑝−(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4
(5.79)
𝐹 = 𝐴𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡𝑘𝑡 − 𝐴 𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡
2 − 𝐽𝑏𝐾𝑡 − 𝑐𝑡(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)) (5.80)
76
𝐺 = − 𝐵 + 𝐶 𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡 𝐵 + 𝐶 + 𝐴𝑘𝑡 + 𝑐𝑡𝑓4(𝐷 + 𝐸) (𝐽𝑏𝐽𝑟) +
𝑐𝑡𝑘𝑡𝐽𝑟 − 𝑐𝑡 𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡
2 − 𝐽𝑏𝑘𝑡
(5.81)
O segundo passo do algoritmo consiste em verificar as condições de
controlabilidade e involutividade. De acordo com o Lema da seção 5.3, o sistema é dito
controlável quando os campos de vetoriais 𝐶𝑉 = {𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔,𝑎𝑑𝑓
3𝑔} são
linearmente independentes, onde 𝐶𝑉 é definido como:
𝐶𝑉 =
0 −
1
𝐽𝑟
−𝐴
𝐽𝑟
𝐽𝑏𝐽𝑟𝐴2 + 𝑐𝑡
2 − 𝐽𝑏𝑘𝑡
𝐽𝑏𝐽𝑟2
1
𝐽𝑟
𝐴
𝐽𝑟
𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡2
𝐽𝑏𝐽𝑟2
𝐹
𝐽𝑏𝐽𝑟2
0 0𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟
−(𝐴𝑐𝑡 − 𝑘𝑡 + 𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶))
𝐽𝑏𝐽𝑟
0 −𝑐𝑡𝐽𝑟
𝑘𝑡 − 𝑐𝑡𝐴 − [𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)]
𝐽𝑏𝐽𝑟
𝐺
𝐽𝑏2𝐽𝑟
2
(5.82)
Observa-se que a matriz 𝐶𝑉 é uma matriz quadrada 𝑛x𝑛. Os campos vetoriais
𝐶𝑉 são linearmente independente se o posto (𝑝) da matriz 𝐶𝑉 for igual ao número de
linhas ou colunas dessa matriz. Uma forma de identificar o posto da matriz é obtendo
sua forma escalonada3 através da eliminação de Gauss.
A matriz escalonada da matriz 𝐶𝑉 é:
𝑈 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
(5.83)
Como a matriz 𝑈 não apresenta nenhuma linha nula, então a matriz 𝐶𝑉 é dita
de posto cheio (𝑝 = 4). Isto significa que os campos vetoriais são linearmente
independentes e, portanto, o sistema é controlável.
Por outro lado, o conjunto de vetores {𝑔, 𝑎𝑑𝑓𝑔,… ,𝑎𝑑𝑓𝑛−2𝑔} é involutivo se
após aplicar o parênteses de Lie entre eles, o resultado possa ser expresso por uma
combinação linear dos vetores originais. Por exemplo, considere o parêntese de Lie dos
vetores 𝑣1 e 𝑣2, então:
𝑣1 , 𝑣2 =𝜕𝑣2
𝜕𝑥𝑣1 𝑥 −
𝜕𝑣1 𝑥
𝜕𝑥𝑣2 𝑥 = 𝑐1𝑣1(𝑥) + 𝑐2𝑣2(𝑥)
(5.84)
3 No Matlab™, o comando “rref” fornece a matriz escalonada de uma matriz. Já, pelo comando “rank” é
possível obter diretamente o posto de uma matriz.
77
No presente caso, sejam 𝐿1 e 𝐿2 os parênteses de Lie dos vetores 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 e
𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔, respectivamente. Assim:
𝐿1 = 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 =𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑔 𝑥 −
𝜕𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥 =
0000
(5.85)
𝐿2 = 𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔 =
𝜕𝑎𝑑𝑓2𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥 −
𝜕𝑎𝑑𝑓𝑔 𝑥
𝜕𝑥𝑎𝑑𝑓
2𝑔 𝑥 =
000𝐻
(5.86)
onde:
𝐻 = 𝑅𝑏𝑊𝑜𝑏𝛾𝑏𝑐𝑡
2 µ𝑐𝑏 − µ𝑠𝑏 (2𝑣𝑓𝛿 𝑥4 − 𝛾𝑏𝑠𝑔𝑛(𝑥4)2)
𝐽𝑏3𝐽𝑟
2𝑣𝑓2𝑒𝑥𝑝(𝛾𝑏 𝑣𝑓) 𝑥4
(5.87)
Os vetores 𝐿1 e 𝐿2 precisam ser formados por uma combinação linear de
𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔 e 𝑎𝑑𝑓𝑔,𝑎𝑑𝑓2𝑔, respectivamente. Uma forma de descobrir isso é formar uma
matriz com os vetores envolvidos e encontrar seu posto. Considere as matrizes 𝑀1 e 𝑀2,
sendo 𝑀1 composta pelos vetores 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝐿1, e 𝑀2 composta pelos vetores
𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔, 𝐿2:
𝑀1 =
01/𝐽𝑟
00
−1 𝐽𝑟
𝐴 𝐽𝑟 0
−𝑐𝑡 𝐽𝑟
0000
(5.88)
𝑀2 =
−
1
𝐽𝑟
−𝐴
𝐽𝑟0
𝐴
𝐽𝑟
𝐴2𝐽𝑏𝐽𝑟 − 𝑘𝑡𝐽𝑏 + 𝑐𝑡2
𝐽𝑏𝐽𝑟2
0
0𝑐𝑡𝐽𝑏𝐽𝑟
0
−𝑐𝑡𝐽𝑟
𝑘𝑡 − 𝑐𝑡𝐴 − [𝑐𝑡(𝐵 + 𝐶)]
𝐽𝑏𝐽𝑟𝐻
(5.89)
Sabendo que os campos 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔 são linearmente independentes e que o
posto das matrizes 𝑀1 e 𝑀2 são 2 e 3, respectivamente, pode-se dizer que 𝐿1 é uma
combinação linear de 𝑔,𝑎𝑑𝑓𝑔, e que 𝐿2 não é uma combinação linear de 𝑎𝑑𝑓𝑔, 𝑎𝑑𝑓2𝑔.
Em conclusão, o sistema não é involutivo e, portanto, não pode ser linearizável entrada-
estado.
78
5.6. Projeto de um Controlador IOLC para a
Coluna de Perfuração
Considerando o sistema 2-DOF, na forma companheira da Equação (5.41),
tem-se que:
𝑓 𝑥 =
𝑓1
𝑓2
𝑓3
𝑓4
=
𝑥2
1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
𝑥4
1
𝐽𝑏 𝑘𝑡 𝑥1 + 𝑐𝑡 𝑥2 − 𝑘𝑡 𝑥3 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑏 𝑥4 − 𝑇𝑓𝑏 (𝐱)
(5.90)
𝑔 𝑥 =
01/𝐽𝑟
00
(5.91)
𝑦 = 𝑥 = 𝑥2 (5.92)
com 𝑢 = 𝑇𝑚 . Derivando a saída com respeito ao tempo e levando em conta o conceito
de derivada de Lie, resulta em:
𝑦 =𝜕(𝑥)
𝜕𝑥𝑥 =
𝜕 𝑥
𝜕𝑥 𝑓 + 𝑔 ∙ 𝑢 = 𝐿𝑓 𝑥 + 𝐿𝑔(𝑥) ∙ 𝑢
(5.93)
onde:
𝐿𝑓 𝑥 =1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
(5.94)
𝐿𝑔 𝑥 = 1/𝐽𝑟 (5.95)
Portanto:
𝑦 =1
𝐽𝑟 − 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4 +
1
𝐽𝑟𝑢
(5.96)
Da Equação (5.96), como a entrada 𝑢 aparece de forma explícita logo na
primeira derivada da saída 𝑦, então o sistema tem grau relativo 𝑟 = 1.
Da Equação (5.52), a lei de controle do IOLC pode ser definida como:
𝑢 𝑡 =−
1𝐽𝑟
− 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
1/𝐽𝑟+
1
1/𝐽𝑟𝑣(𝑡)
(5.97)
com a “nova entrada” 𝑣(𝑡) sendo da forma:
79
𝑣 = − 𝛼1𝑦 + 𝛼0 𝑦𝑠𝑝 − 𝑦 𝑑𝑡𝑡
0
(5.98)
onde 𝑦𝑠𝑝 a velocidade angular desejada do sistema de rotação, i.e 𝜔𝑑 = 12 rad/s.
Os parâmetros de sintonia do controlador são determinados a partir da Equação
(5.60), resultando em 𝛼0 = 휀−2 e 𝛼1 = 2휀−1. Usando a Equação (5.59), obtêm-se a
seguinte função de transferência em malha fechada:
𝑦(𝑠)
𝑦𝑠𝑝(𝑠)=
1
(휀𝑠 + 1)2
(5.99)
com o parâmetro 휀 = 8, o qual foi selecionado para prover um compromisso entre
desempenho e robustez.
Finalmente, a lei de controle IOLC resultante é da forma:
𝑢 𝑡 =−
1𝐽𝑟
− 𝑘𝑡 𝑥1 − 𝑐𝑡 + 𝑐𝑟 𝑥2 + 𝑘𝑡 𝑥3 + 𝑐𝑡 𝑥4
1/𝐽𝑟
+ − 2휀−1𝑥2 + 휀−2 𝜔𝑑 − 𝑥2 𝑑𝑡
𝑡
0
1/𝐽𝑟
(5.100)
A aplicação do controle IOLC, da Equação (5.100), pré-supõe que os estados
do sistema (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) estão disponíveis para realimentação.
5.7. Simulação do Controlador IOLC nos
Sistemas 2-DOF e 4-DOF
O controlador IOLC desenvolvido na seção anterior é aplicado na coluna de
perfuração de 2-DOF. Para avaliação de desempenho da estratégia de controle proposta
são considerados os casos de estabilização do sistema, seguimento do setpoint e rejeição
a perturbações, conforme detalhados nos capítulos anteriores. As simulações são
realizadas na plataforma Simulink/MATLAB™.
A Figura 5.1 mostra a resposta da estabilização do sistema depois da ativação
do controle. Como pode ser observada, a velocidade da broca (𝑥4) segue a velocidade
do sistema de rotação (𝑥2), e ambas apresentam um pico considerável antes de retornar
ao setpoint e nele permanecer. O perfil da variável manipulada (𝑇𝑚 ) mostra um pico de
grande magnitude e bem pronunciado, antes de alcançar o ponto de estabilização.
80
Figura 5.1 - Resposta do Sistema 2-DOF com o Controlador IOLC com 𝜺 = 𝟖: (I)
variáveis controladas, (II) variável manipulada
A Figura 5.2 apresenta a resposta do sistema a mudanças no setpoint. Como
pode ser visualizada, a velocidade da broca segue a velocidade do sistema de rotação, e
ambas acompanham muito bem as alterações do ponto de operação, de forma rápida e
sem sobrepassagens. As variações no torque do motor são suaves e bem comportadas.
Figura 5.2 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 2-DOF com o controlador
IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
81
Figura 5.3 - Resposta às perturbações no sistema de 2-DOF com o controlador IOLC:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
Na Figura 5.3 mostra-se a resposta da coluna de perfuração a perturbações no
peso na broca, cujos efeitos são rapidamente bem compensados pelo sistema de
controle. Embora não seja percebido na figura, a variável principal de controle, i.e. a
velocidade do sistema de rotação, permanece inalterável aos efeitos das perturbações.
Já, a variável indireta de controle, i.e. a velocidade da broca, sofre alterações muito
pequenas depois da ocorrência da perturbação, sendo reconduzida rapidamente ao ponto
de operação. A figura também apresenta o perfil rígido da variável manipulada
produzida pelo controlador.
5.8. Simulação do Controlador IOLC no Sistema
de 4-DOF
Nesta seção, o controlador IOLC é aplicado no sistema de 4-DOF. Os
parâmetros de sintonia deste controlador são os mesmos usados para o sistema de 2-
DOF, porém com os valores das variáveis correspondentes ao sistema de 4-DOF. Como
nos casos do controle PI e controle SMC, o objetivo aqui é introduzir incertezas no
desenvolvimento do controlador.
A Figura 5.4 mostra a aplicação do, para estabilização do sistema de 4-DOF.
Como pode ser visualizado nessa figura, a velocidade do sistema de rotação apresenta
um pico de magnitude considerável depois da ativação do controle, para logo retornar
ao ponto de operação desejado. Já, em comparação com o sistema de 2-DOF, a
velocidade da broca torna-se altamente oscilatória, estabilizando posteriormente. A
82
variável manipulada segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de
controle.
A Figura 5.5 ilustra o desempenho do controle do sistema de 4-DOF sujeito a
variações no setpoint. As respostas para este caso são praticamente similares ao controle
do sistema de 2-DOF. No entanto a variável manipulada apresenta leves oscilações,
sendo estas mais acentuadas na mudança negativa da variação do setpoint. As pequenas
oscilações na variável controlada secundária, que aparecem antes da primeira variação
positiva do setpoint, provêm do caso da estabilização do sistema, mostrada na Figura
5.4.
Finalmente, a Figura 5.6 mostra do controle do sistema de 4-DOF à
perturbações no peso da broca. Em comparação com o controle do sistema de 2-DOF, a
variável secundária de controle apresenta fortes oscilações depois da introdução das
perturbações, as quais são logo corrigidas pelo sistema de controle. Por outro lado, a
variável principal de controle não é afetada pelas perturbações. A variável manipulada
segue o mesmo perfil oscilatório da variável secundária de controle.
Figura 5.4 - Resposta do sistema de 4-DOF com o controlador IOLC: (I) variáveis
controladas, (II) variável manipulada
83
Figura 5.5 - Resposta a variações no setpoint no sistema de 4-DOF com o controlador
IOLC: (I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
Figura 5.6 - Resposta às perturbações no sistema de 4-DOF com o controlador IOLC:
(I) variáveis controladas, (II) variável manipulada
Os resultados das simulações apresentados no presente capítulo conduzem as
seguintes conclusões:
84
Em geral, o controlador IOLC consegue eliminar as oscilações stick-slip,
fazer o seguimento do setpoint e rejeitar perturbações presentes na operação
de colunas de perfuração.
O controlador IOLC desenvolvido para o sistema de perfuração de 2-DOF
não apresenta o mesmo desempenho quando aplicado a sistemas de ordem
superior. No sistema de 4-DOF, a aplicação do controle apresentou
respostas semelhantes em relação ao sistema de 2-DOF, no caso de
variações no setpoint.
No controle IOLC do sistema de 2-DOF, para o caso de rejeição de
perturbações, a variável secundária de controle não acompanha bem a
variável principal de controle. Esta resposta é mais notória no controle do
sistema de 4-DOF, nos casos de estabilização do sistema e rejeição de
perturbações.
85
Capítulo 6
Conclusões e Recomendações de
Trabalhos Futuros
O objetivo do presente trabalho foi estudar as oscilações stick-slip, presentes
em colunas de perfuração e projetar sistemas de controle visando estabilizar e controlar
a operação do sistema.
Os modelos torcionais de 2-DOF, 3-DOF e 4-DOF de colunas de perfuração
que foram apresentados conseguem reproduzir o fenômeno oscilatório de forma similar
a um sistema real, sendo, portanto, adequados para o desenvolvimento do trabalho.
Quanto maior o grau de liberdade do modelo, maior o desacoplamento entre as
diferentes partes da coluna, permitindo uma diferenciação entre os deslocamentos e
velocidades de cada uma dessas partes.
Três sistemas de controle foram projetados: PI (e uma variante PI-P), SMC e
IOLC. O objetivo era controlar principalmente a velocidade do sistema de rotação,
mediante a manipulação do torque do motor, para assim controlar inferencialmente a
velocidade da broca, que é parte da coluna que manifesta a presença das oscilações
stick-slip. Inicialmente os controladores foram desenvolvidos baseados no sistema de 2-
DOF, e ajustados para controlar este sistema. Posteriormente, os controladores com os
mesmos parâmetros de sintonia, porém considerando os valores das variáveis do
sistema de 4-DOF, foram aplicados no sistema de 4-DOF. Isto foi realizado para
introduzir erros no desenvolvimento dos controladores quando aplicados a sistemas de
ordem superior. É necessário enfatizar que a aplicação dos controladores SMC e IOLC
pré-pressupôs que os estados do sistema a ser controlado estavam disponíveis para
realimentação.
A comparação de desempenho dos controladores, quando aplicados aos
sistemas de 2-DOF e 4-DOF, foi qualitativa e não quantitativa. No caso de estabilização
do sistema, depois da ativação do controle, o SMC e o PI apresentaram melhor
desempenho quando aplicados aos sistemas de 2-DOF e 4-DOF, respectivamente. No
caso de variações do setpoint, o IOLC mostrou melhor desempenho quando aplicado
tanto no sistema de 2-DOF como no de 4-DOF. Já, no caso de rejeição de perturbações,
o IOLC e o PI apresentaram melhor controle quando aplicados nos sistemas de 2-DOF e
4-DOF, respectivamente. Fazendo um balanço geral, o IOLC apresentou melhor
86
desempenho quando aplicado no sistema de 2-DOF, sendo o PI o controlador com
melhor desempenho quando aplicado no sistema de 4-DOF, o que deixa claro a
dependência da qualidade do modelo do controlador IOLC.
Como forma de complementar o presente trabalho, e dar continuidade ao
mesmo, são sugeridos os seguintes trabalhos futuros:
Estudo e implementação de outros modelos de colunas de perfuração, tais
como modelos de elementos finitos; modelos que levem em consideração a
modelagem de outras partes da coluna, como drill collars; e modelos que
reproduzam a interação entre diferentes tipos de vibrações, como torcionais
e axiais.
Análise de estabilidade da coluna de perfuração e mapeamento das
condições que conduzem ao estado oscilatório do sistema.
Desenvolvimento de observadores de estados para os controladores por
realimentação de estados SMC e IOLC.
Estudo e implementação de outras técnicas de controle para vibrações em
colunas de perfuração, tais como o controle preditivo e o controle robusto.
87
Referências Bibliográficas
[1] ABDUGALIL, F., SIGUERDIDJANE, H. PID based on sliding mode control for
rotary drilling system. In: Proceedings of the International Conference on
Computer as a Tool 2005 (EUROCON 2005), Belgrade, Serbia & Montenegro,
2005.
[2] ARMSTRONG-HÉLOUVRY, B., DUPONT, P., CANUDAS-DE-WIT, C. “A
survey of models tools, and compensation methods for the control of machines
with friction”. Automatica, 30(7): 1083-1183, 1994.
[3] ALAMO, F.J.C. Dinâmica de um rotor vertical em um balanço com impacto.
Dissertação de Mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio
de Janeiro-RJ, Brasil, 2002.
[4] CANUDAS-DE-WIT, C., RUBIO, R.F., CORCHERO, M.A. D-OSKIL: “A new
mechanism for controlling stick-slip oscillations in oil well drillstrings”. IEEE
Transactions on Control Systems Technology, 16(6): 1177-1191, 2008.
[5] CANUDAS-DE-WIT, C., RUBIO R.F., CORCHERO M.A., NAVARRO-LÓPEZ,
E. D-OSKIL: A new mechanism for suppressing stick-slip in oil well drillstrings.
In: Proceedings of the 44th
IEEE Conference on Decision and Control and 2005
European Control Conference (CDC-ECC’05), Sevilla, Spain, 2005.
[6] CHEN, CHIH-KENG; LIN, CHIH-JER; Yao, LIANG-CHUN “Input-State
linearization of a rotary inverted pendulum”. Asian Journal of Control, 6(1): 130-
135, 2004.
[7] CHIPINDU, N.S.C. Pós-análise em problemas de perfuração de poços marítimos de
desenvolvimento. Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas-SP, Brasil, 2010.
[8] CHRISTOFOROU, A.P., YIGIT, A.S. “Fully coupled vibrations of actively
controlled drillstrings”. Journal of Sound and Vibration, 267(5): 1029-1045,
2003.
[9] CORCHERO, M.A., CANUDAS-DE-WIT, C., Rubio, R.F. Stability of the D-
OSKIL oscillation suppression mechanism for oil well drillstrings. In:
Proceedings of the 45th
IEEE Conference on Decision and Control (CDC’06), San
Diego-CA, USA, 2006.
88
[10] DAMAZO G.A. Controle com modos deslizantes aplicado em sistemas com atraso
e acesso somente à saída. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal Paulista
“Júlio de Mesquita Filho”, Ilha Solteira-SP, Brasil, 2008.
[11] DeCARLO R.A., ZAK S.H., MATTHEWS G.P. “Variable structure control of
nonlinear multivariable systems: A Tutorial”. Proceedings of the IEEE, 76(3):
212-232, 1998.
[12] DIVÉNYI, S. Dinâmica de sistemas não-suaves aplicada à perfuração de poços de
petróleo. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio
de Janeiro-RJ, Brasil, 2009.
[13] EDWARDS C., SPURGEON S.K. Sliding mode control: theory and applications.
Taylor & Francis, Londres, 1998.
[14] FERGÜTZ M. Controle em modos deslizantes do servomotor C.A. Dissertação de
Mestrado, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville-SC, Brasil, 2001.
[15] GAO W., HUNG J.C. “Variable structure control of nonlinear systems: a new
approach”. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 40(1): 45-55, 1993.
[16] HALSEY, G.W., KYLLINGSTAD, A., KYLLING, A. Torque feedback used to
cure slip-stick motion. In: Proceedings of the 1988 SPE Annual Technical
Conference and Exhibition, Houston-TX, USA, 1988.
[17] HENSON M. E. Feedeback linearization strategies for nonlinear process control.
PhD Thesis, University of California, Santa Barbara, 1992.
[18] HENSON M. E., SEBORG D. E. “Input-output linearization of general nonlinear
process control”. AIChE Journal, v.36, n.11, p.1753-57, 1990.
[19] HENSON M. E., SEBORG D. E. “Critique of exact linearization strategies for
process control”. Journal Process Control, v.1, p.122-39, 1991.
[20] HENSON M. E., SEBORG D. E. “Nonlinear control strategies for continuous
fermenters”. Chemical Engineering Science, v.47, n.4, p.821-35, 1992b.
[21] HENSON M. E., SEBORG D. E. Nonlinear Process Control. Prentice Hall, New
Jersey, 1997.
[22] HERNANDEZ-SUAREZ, R., PUEBLA, H., AGUILAR-LOPEZ, R.,
HERNANDEZ-MARTINEZ, E. “An integral high-order sliding mode control
approach for stick-slip suppression in oil drillstrings”. Petroleum Science and
Technology, 27(8): 788-800, 2009.
[23] ISIDORI, A. “Nonlinear control systems”. 3ª Ed., Springer-Verlag, Berlim, 1995.
[24] JOHANNESEN, M.K., MYRVOLD, T. Stick-slip prevention of drill strings using
nonlinear model reduction and nonlinear model predictive control. Master Thesis,
Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norway, 2010.
89
[25] KARNOPP, D. “Computer simulation of stick-slip friction in mechanical dynamic
systems”. ASME Journal of Dynamics Systems, Measurement and Control,
107(1): 100-103, 1985.
[26] KRAVARIS, C., WRIGHT, R. A. “Deadtime compensation for nonlinear
processes”. AIChE Journal, 35, 1535 – 1542, 1989.
[27] KYLLINGSTAD, Å.E., NESSJOEN, P.J. A new stick-slip prevention system. In:
Proceedings of the 2009 SPE/IADC Drilling Conference and Exhibition,
Amsterdam, The Netherlands, 2009.
[28] LEINE, R.I., VAN CAMPEN, D.H., DE KRAKER, A., VAN DEN STEEN, L.
“Stick-slip vibrations induced by alternate friction models”. Nonlinear Dynamics,
16(1): 41-54, 1998.
[29] LIN, CH.-F. Advanced control systems design. New York, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1994.
[30] MING Q. Sliding mode control design for ABS system. Thesis of Master, Faculty of
the Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia,
Estados Unidos, 1997.
[31] NAVARRO-LÓPEZ, E.M. Discontinuities-induced phenomena in an industrial
application: analysis and control solutions. In: Proceeding of the 7th
International
Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences,
(ICNPAA 2008), Genoa, Italy, 2008.
[32] NAVARRRO-LÓPEZ, E.M. “An alternative characterization of bit-sticking
phenomena in a multi-degree-of-freedom controlled drillstring”. Nonlinear
Analysis: Real World Applications, 10(5): 3162-3174, 2009.
[33] NAVARRO-LÓPEZ, E.M. “Bit-sticking phenomena in a multi-degree-of-freedom
controlled drillstring”. Exploration and Production: Oil and Gas Review, 8(2):70-
75, 2010.
[34] NAVARRO-LÓPEZ, E.M., CORTÉS, D. “Avoiding harmful oscillations in a
drillstring through dynamical analysis”. Journal of Sound and Vibration, 307(1-
2): 152-171, 2007a.
[35] NAVARRO-LÓPEZ, E.M., CORTÉS, D. Sliding-mode control of a multi-DOF
oilwell drillstring with stick-slip oscillations. In: Proceedings of the 2007
American Control Conference (ACC’07), New York-NY, USA, 2007b.
[36] NAVARRO-LÓPEZ, E.M., SUÁREZ, R. “Vibraciones mecánicas en una sarta de
perforación: problemas de control”. Revista Iberoamericana de Automática e
Informática Industrial, 2(1): 43-54, 2005.
90
[37] NUNES, E.V.L. Controle por modos deslizantes de ordem superior com
estabilidade global. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Rio de Janeiro-RJ, Brasil, 2004.
[38] OLIVEIRA T.R. Controle por modos deslizantes de sistemas incertos com direção
de controle desconhecida. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Rio de Janeiro-RJ, Brasil, 2006.
[39] SERRARENS, A.F.A., VAN DE MOLENGRAFT, M.J.G., KOK, J.J., VAN DEN
STEEN, L. “𝐻∞ control for suppressing stick-slip in oil well drillstrings”. IEEE
Control Systems Magazine, 18(2): 19-30, 1998.
[40] SHI, F., LI, L., ZHANG, Q., RASOL, N. Derivative and integral sliding mode
control for rotary drilling system. In: Proceedings of the Third International
Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation (ICMTMA
2011), Xi’an, China, 2011.
[41] SILVA G.V.M. Controlo não linear. Lecture notes. Escola Superior Tecnologia,
Lisboa, 2003.
[42] SLOTINE J.-J.E., LI W. Applied nonlinear control. Editora Prentice-Hall do
Brasil, Ltda., Rio de Janeiro, 1991.
[43] SPANOS, P.D., CHEVALLIER, A.M., POLITIS, N.P., PAYNE, M.L. “Oil and
gas well drilling: a vibration perspective”. Shock and Vibration Digest, 35(2): 85-
103, 2003.
[44] THOMAS, J.E. Fundamentos de engenharia de petróleo. Interciência: Rio de
Janeiro-RJ, Brasil, 2001.
[45] TUCKER, W.R., WANG, C. “An integrated model for drill-string dynamics”.
Journal of Sound and Vibration, 224(1): 123-165, 1999.
[46] UTKIN V.I. “Sliding mode control design principles and applications to electric
drives”. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 40(1): 23-36, 1993.
[47] ZHANG, Q.-Z., HE, Y.-Y., LI, L., Nurzat. Sliding mode control of rotary drilling
system with stick slip oscillation. In: Proceeding of the 2nd
International
Workshop on Intelligent Systems and Applications, Wuhan, P.R. of China, 2010.