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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
HILTON MOULIN CALIMAN
AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA VARIAÇÃO DA ENTROPIA DA INFORMAÇÃO
DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
PARTE I – DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTAL DE ANÁLISE
VITÓRIA
2014
HILTON MOULIN CALIMAN
AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA VARIAÇÃO DA ENTROPIA DA INFORMAÇÃO
DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
PARTE I – DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTAL DE ANÁLISE
Projeto de Graduação apresentado ao Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Mecânico. Orientador: Prof. Ms. Rogério Silveira de Queiroz.
VITÓRIA
“A leitura de todos os bons livros é como uma
conversa com os melhores espíritos dos
séculos passados, que foram os seus autores,
e até uma conversa estudada, em que eles só
nos revelam os seus melhores pensamentos.”
René Descartes
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer à Deus que sempre me iluminou e me proporcionou tantas
oportunidades e realizações em minha vida.
À todos que contribuíram de alguma forma para a minha formação, em especial:
Meus familiares que me apoiaram e me incentivaram sempre que foi preciso.
Ao professor orientador Rogério Silveira de Queiroz, pelo auxílio durante este
trabalho e durante todo o curso, não apenas à mim, mas à todos os seus alunos.
Ao grande amigo Victor Luiz Gripa, que foi um parceiro imprescindível para a
realização deste trabalho.
Aos amigos e colegas que caminharam junto comigo ao longo destes cinco anos,
proporcionando momentos incríveis e tornando esta jornada uma experiência tão
enriquecedora.
Aos professores que nos deram tanto conhecimento, não apenas na área da ciência,
mas para a vida.
À Agência Nacional de Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP), pela grande
auxílio e incentivo dado aos alunos para desenvolvimento de estudos que irão
contribuir para o avanço desta área tão relevante atualmente.
Obrigado.
RESUMO
O presente estudo apresenta o desenvolvimento de uma ferramenta computacional
para a avaliação e caracterização do escoamento de fluidos em meios porosos,
utilizando conceitos de entropia configuracional. Esta avaliação é realizada através
de processamento de imagens obtidas em experimentos. O aplicativo consiste em
padronizar, realizar o tratamento das imagens e a partir desta calcular a entropia
binarizada. O trabalho ainda inclui testes de conceito do software e por fim a análise
dos resultados obtidos, além de sugestões para trabalhos futuros.
Palavras-chave: Entropia configuracional. Processamento de imagens. Meio poroso.
ABSTRACT
This study introduces the development of a computational tool to evaluate and
characterize the fluids flow through a porous media, using the concept of
configuration entropy. The evaluation is done through the processing of images
obtained from experiments. The application consists in standardize, perform the
image treatment and then calculate the binarized entropy. This work also includes
the software concept proof, result analysis and proposals for future works.
Keywords: Configuration entropy. Image processing. Porous media.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Falha geológica aprisionando fluidos. Fonte: Paleontological Research
Institution. .................................................................................................................. 19
Figura 2. Reservatório típico de petróleo e gás. Fonte: PetroGasNews (2011) ........ 20
Figura 3. Ilustração da molhabilidade com ângulos de contato para diferentes fluidos.
Fonte: Ahmed (2006)................................................................................................. 23
Figura 4. Representação da tensão superficial entre ar e água num tubo capilar.
Fonte: Ahmed (2006)................................................................................................. 24
Figura 5. Entropia de uma fonte de informação binária. Fonte: Shannon (1965) ...... 41
Figura 6. Fotografia de uma população de 625 partículas que interagem numa região
de tamanho 50x50 e que representam uma microestrutura bifásica em evolução.
Fonte: Siclen (1997). ................................................................................................. 43
Figura 7. (A) Imagem de um filme granular de ouro acima do limite de percolação,
60% de fração metálica e comprimento ótimo de entropia de 100nm. (B) Entropia da
informação normalizada para diferentes tamanhos de janela. Fonte: Andraud e Lafait
(1998). ....................................................................................................................... 45
Figura 8. Exemplo de histograma de uma imagem de tons de cinza. ....................... 47
Figura 9. Tela inicial do programa. ............................................................................ 50
Figura 10. Diagrama de blocos do programa. ........................................................... 50
Figura 11. Tela da sub-rotina "Padroniza Nomes"..................................................... 51
Figura 12. Imagem padrão dos experimentos testados. Fonte: Strey (2012). ........... 52
Figura 13. Tela da sub-rotina "Tratamento Inicial". ................................................... 53
Figura 14. Tela de checagem do resultado da sub-rotina "Tratamento Inicial". ........ 54
Figura 15. Tela de mudança de parâmetros da sub-rotina “Tratamento Inicial”. ....... 54
Figura 16. Imagem após o tratamento inicial. ............................................................ 55
Figura 17. Tela da sub-rotina "Corta e Binariza". ...................................................... 56
Figura 18. (A) Imagem binarizada sem filtro. (B) Imagem binarizada com filtro. ....... 57
Figura 19. Tela da sub-rotina "Entropia Binarizada". ................................................. 57
Figura 20. Tela de aviso de parâmetros não possíveis. ............................................ 58
Figura 21. Exemplo de gráfico entropia e janela ótima em função das imagens. ...... 61
Figura 22. Exemplo da evolução da entropia de tons de cinza. ................................ 63
Figura 23. Disposição simplificada das nove janelas em uma imagem de tons de
cinza. ......................................................................................................................... 64
Figura 24. Entropia normalizada e janela ótima do experimento 03. ......................... 67
Figura 25. Entropia normalizada e janela ótima do experimento 20. ......................... 67
Figura 26.Entropia normalizada e janela ótima do experimento 22. .......................... 68
Figura 27. Exemplo de imagens da dispersão de uma substância líquida em um
meio líquido. .............................................................................................................. 70
Figura 28. Entropia de tons de cinza do experimento 06. ......................................... 70
Figura 29. Entropia de tons de cinza do experimento 14. ......................................... 71
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Unidades de Medida de Informação.........................................................39
Tabela 2 – Exemplo de Resultados de Entropia Não Normalizada...........................58
Tabela 3 – Exemplo de Resultados de Entropia Binarizada......................................59
Tabela 4 – Exemplo de Resultados de Entropia de Tons de Cinza...........................61
Tabela 5 – Comparação dos Resultados do Programa com os da Bibliografia.........67
Tabela 6 – Esquema de Organização dos Dados......................................................75
Tabela 7 – Graus de Liberdade dos Fatores..............................................................79
LISTA DE SÍMBOLOS
Porosidade
Soma do volume dos poros
Volume total
Porosidade absoluta
Porosidade efetiva
Volume de poros interligados
Saturação
Volume
Ângulo de contato da interface líquido sólido
Tensão superficial, tensão interfacial
Raio do tubo capilar
Altura da coluna de líquido
Aceleração da gravidade
Massa específica
Pressão capilar
Permeabilidade
Velocidade aparente do fluxo fluido
Viscosidade do fluido
Queda de pressão
Comprimento do canal
Taxa de fluxo
Área da seção transversal do canal
Compressibilidade
Calor
Energia
Trabalho
Média da soma dos quadrados da energia das partículas
( ) Probabilidade do estado quântico
Número do estado quântico, quantidade de partículas ou
pixels pretos em uma janela amostral
Instante de tempo
Entropia da informação
( ) Função arbitrária em
Constante arbitrária
Informação
Evento
Fonte de eventos
Tamanho do lado da janela amostral
Total de partículas da imagem
Tamanho do lado da imagem
Entropia da informação para o sistema perfeitamente
aleatório
( ) Probabilidade real
( ) Entropia da informação normalizada
Tamanho do lado da janela amostral
( ) Quantidade de amostras de uma imagem
( ) Quantidade de janelas amostrais de lado contendo pixels
pretos
Tamanho de janela amostral ótimo
Taxa de variação da entropia da informação normalizada
Valores observados para cada combinação de fatores
Soma dos quadrados
Quantidade de níveis dos fatores
Graus de liberdade
Média da soma dos quadrados
Resultado do teste F.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 14
1.1 MOTIVAÇÃO ................................................................................................ 14
1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................... 14
1.3 OBJETIVOS ................................................................................................. 16
1.3.1 Objetivos Gerais .................................................................................... 16
1.3.2 Objetivos Específicos ............................................................................ 16
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................... 17
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................................... 18
2.1 O PETRÓLEO .............................................................................................. 18
2.1.1 Formação do Petróleo ........................................................................... 18
2.1.2 Migração do Petróleo ............................................................................. 18
2.1.3 Acumulação do Petróleo ........................................................................ 19
2.2 A ROCHA RESERVATÓRIO E SUAS PROPRIEDADES ............................ 20
2.2.1 Definição de reservatório ....................................................................... 21
2.2.2 Porosidade (ϕ) ....................................................................................... 21
2.2.2.1 Porosidade Absoluta (ϕabs) ................................................................. 21
2.2.2.2 Porosidade Efetiva (ϕefetiva) ................................................................. 22
2.2.3 Saturação .............................................................................................. 22
2.2.4 Molhabilidade ......................................................................................... 22
2.2.5 Tensão Superficial e Tensão Interfacial ................................................. 23
2.2.6 Pressão Capilar ..................................................................................... 25
2.2.7 Permeabilidade ...................................................................................... 25
2.2.8 Compressibilidade ................................................................................. 27
2.3 MECANISMOS DE PRODUÇÃO E A RECUPERAÇÃO ADICIONAL .......... 27
2.3.1 Mecanismos de Produção ..................................................................... 27
2.3.2 Recuperação Adicional .......................................................................... 28
2.4 PRINCÍPIOS TERMODINÂMICOS .............................................................. 29
2.4.1 Primeira Lei da Termodinâmica ............................................................. 29
2.4.2 Segunda Lei da Termodinâmica ............................................................ 30
2.4.2.1 Evolução Histórica do Conceito de Entropia ...................................... 30
2.4.2.2 Conceito Microscópico de Entropia .................................................... 32
2.4.2.3 Relação Entre Microestado e Macroestado ........................................ 34
2.4.2.4 A Função Entropia .............................................................................. 34
2.5 ENTROPIA DA INFORMAÇÃO DE SHANNON ........................................... 36
2.5.1 Definição de Informação ........................................................................ 37
2.5.2 Definição da Entropia de Shannon ........................................................ 40
2.5.3 Princípio da Máxima Entropia ................................................................ 41
2.5.4 Entropia Configuracional........................................................................ 42
2.5.4.1 O Lado de Janela Ótimo ..................................................................... 45
2.5.5 Entropia de Tons de Cinza .................................................................... 46
2.5.6 Caracterização do Escoamento Através da Taxa de Variação da
Entropia Configuracional Normalizada................................................................ 47
3 DESCRITIVO DO PROGRAMA .......................................................................... 48
3.1 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS ......................................................... 48
3.1.1 Padroniza Nomes .................................................................................. 51
3.1.2 Tratamento Inicial .................................................................................. 52
3.1.3 Corta e Binariza ..................................................................................... 55
3.1.4 Entropia Binarizada ............................................................................... 57
3.1.5 Entropia Tons de Cinza ......................................................................... 61
3.1.6 Nove Janelas ......................................................................................... 63
3.2 MELHORIAS PROPOSTAS AO CÓDIGO ................................................... 64
4 TESTES DE CONCEITO .................................................................................... 66
4.1 ENTROPIA CONFIGURACIONAL ............................................................... 66
4.1.1 Experimento 03 ...................................................................................... 67
4.1.2 Experimento 20 ...................................................................................... 67
4.1.3 Experimento 22 ...................................................................................... 68
4.1.4 Comparação com Cálculos da Bibliografia ............................................ 68
4.2 ENTROPIA DE TONS DE CINZA ................................................................ 69
4.2.1 Experimento 06: ..................................................................................... 70
4.2.2 Experimento 14: ..................................................................................... 71
5 TRABALHOS FUTUROS .................................................................................... 72
6 CONCLUSÕES ................................................................................................... 73
7 REFERÊNCIAS .................................................................................................. 74
APÊNDICE – ANÁLISE ESTATÍSTICAS DOS DADOS ............................................ 75
14
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
A engenharia de reservatório é a área da engenharia de petróleo na qual se estuda
o reservatório de petróleo e gás natural e se aplicam os princípios científicos aos
problemas de drenagem que surgem durante o desenvolvimento e produção destes
reservatórios, de modo a obter uma máxima recuperação dos recursos. Estes
reservatórios consistem de rochas porosas onde o óleo e gás encontram-se presos
entre seus interstícios.
Sabe-se que estes reservatórios, assim como todo o processo de recuperação, são
extremamente complexos e relacionam de forma direta a qualidade da
caracterização destes com a eficiência da recuperação. A caracterização da rocha
reservatório e do escoamento do fluido dentro dessa são alguns dos fatores mais
cruciais. No entanto entende-se que isto cria barreiras e desafios devido ao seu
elevado grau de complexidade, sendo assim necessário o desenvolvimento de
ferramentas que permitam um entendimento e caracterização de qualidade destes
fatores, sendo esta a principal motivação deste estudo.
1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este estudo tem como base o conceito de entropia da informação, estabelecido por
Claude Elwood Shannon (1916 - 2011). Em seus estudos, a entropia de um sistema
pode ser interpretada como a quantificação da incerteza da informação do mesmo.
15
Fazendo uso deste conceito ele pôde então analisar a eficiência de transmissão de
dados em sistemas de comunicação de forma sistemática.
Tendo em vista que a morfologia é o principal parâmetro no que diz respeito à
resposta óptica de um meio heterogêneo, Andraud e Lafait (1998) desenvolveram
uma ferramenta para análise morfológica destes meios, conhecida como entropia
configuracional normalizada. Em seu trabalho, esta foi aplicada especificamente ao
estudo da morfologia granular de filmes metálicos finos. O método proposto permite
a determinação de um comprimento típico, característico da desordem da imagem,
possibilitando a criação de um modelo óptico do meio heterogêneo a partir da
partição da imagem real deste meio. Este modelo gerou bons resultados para
propriedades ópticas para filmes próximos do limiar de percolação, onde as teorias
clássicas falham.
Vakarin e Badiali (2007?) analisaram a utilização da máxima entropia na estimativa
de propriedades estatísticas de meios aleatórios através de sondas indiretas. O
estudo mostrou que a abordagem da máxima entropia estabelece claramente uma
ligação entre a quantidade de informação em um meio aleatório e a diferença entre,
a função resposta da sonda e a estimativa do modelo. Isto permite traduzir a
resposta em taxa de informação sem entrar nos detalhes microscópicos do
comportamento da sonda. A maior vantagem apresentada no estudo desta
abordagem é evitar medições parametrizadas de entropia.
Siclen (1997) desenvolveu um estudo a partir de uma microestrutura bifásica
evolutiva simulada por um conjunto de partículas que interagiam entres si
bidimensionalmente em uma superfície. Foi observado que a entropia da informação
aumenta em todas as escalas de comprimento à medida que a configuração
aleatória inicial das partículas evoluí para produzir uma distribuição ramificada. A
função da entropia da informação normalizada é obtida a partir da subtração da
entropia da informação de uma configuração de partículas perfeitamente aleatória
daquela da configuração ramificada. A função neste caso tem seus máximos valores
em escalas de comprimento onde o sistema mais se difere da configuração aleatória
inicial e mínimo para escalas de comprimento onde o sistema se encontra
relativamente ordenado ou periódico. Foi então demonstrado que a entropia da
informação fornece uma avaliação sensível da complexidade de um sistema com
16
múltiplos componentes, onde o termo "complexidade" se refere ao alcance da escala
de comprimento onde as características morfológicas estão presentes.
Feldman e Crutchfield (2002) mostram em seu trabalho que a maneira na qual a
entropia condicional converge para seus valores assintóticos serve como forma de
avaliação da estrutura e correlação global para sistemas espaciais em qualquer
dimensão. Além disso foi comparado a convergência da entropia com outras
técnicas para quantificar estruturas espaciais.
Schreiber (2008), tendo em vista que técnicas padrões de lapso temporal para
avaliar informação falham no sentido de distinguir informação que é trocada de fato,
daquela que é compartilhada, desenvolveu um estuo de avaliação da informação
teórica que quantifica a coerência estatística entre sistemas que evoluem no tempo.
Em sua nova abordagem, a influência de sinais de entrada e histórico em comum
das partículas são eliminadas através de condicionamento apropriado de
probabilidades de transição. Assim, a entropia de transferência resultante é capaz
de distinguir elementos de ação e resposta.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivos Gerais
Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta para análise
da entropia da informação de Shannon cara caracterização de escoamento em
meios porosos.
1.3.2 Objetivos Específicos
Realizar uma revisão bibliográfica de estudos feitos relacionados à entropia de
informação e transporte de informação. Desenvolvimento de uma ferramenta
aplicativo para a avaliação da entropia da informação em escoamentos em meios
17
porosos. Testes de conceito do aplicativos, análises dos resultados e sugestões
para estudos futuros.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
No capítulo 1 deste trabalho, apresenta-se um introdução ao assunto abordado,
juntamente com revisões bibliográficas. No capítulo 2, é realizada uma
fundamentação teórica que serviu de base para o estudo. No capítulo 3 é feito um
descritivo da ferramenta desenvolvida para a análise. No capítulo 4 é realizado um
teste de conceito do ferramental, onde os resultados obtidos são analisados. No
capítulo 5, aborda-se sugestões e propostas para trabalhos futuros que poderão ser
feitos a partir deste projeto. E por fim, no capítulo 6, as conclusões do trabalho são
apresentadas.
18
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste tópico, será apresentado a fundamentação teórica na qual este trabalho
utilizou como base.
2.1 O PETRÓLEO
2.1.1 Formação do Petróleo
O petróleo é um combustível fóssil derivado de restos de matéria orgânica pré-
histórica fossilizada, como algas e zooplânctons. Grandes quantidades destes restos
se acumularam no fundo de lagos e oceanos, se misturaram com sedimentos e
foram soterrados. À medida que novas camadas de sedimento se acumularam por
cima destes leitos, condições extremas de temperatura e pressão foram criadas nas
regiões mais profundas. Este processo fez a matéria orgânica se transformar
primeiro em um composto conhecido como kerogen, e em seguida, com condições
mais intensas de temperatura e pressão, transformou-se em hidrocarbonetos
líquidos e gasosos, através de um processo conhecido como catagênese. A
formação do petróleo ocorre por meio da pirólise (decomposição termoquímica de
um material orgânico submetido a elevadas temperaturas na ausência de oxigênio)
dos hidrocarbonetos numa variedade de reações endotérmicas a elevadas
condições de temperatura e/ou pressão.
2.1.2 Migração do Petróleo
A expulsão do petróleo de sua rocha geradora para camadas rochosas adjacentes é
chamada de migração primária. Esta expulsão se deve ao fato de que quando o
kerogen se transforma em fluidos (líquidos e gasosos), ocorre uma expansão
19
volumétrica do composto, elevando a pressão nos interstícios da rocha geradora.
Estes fluidos são então forçados a passar através de poros ou fissuras existentes
entre as camadas de rochas adjacentes. Caso essas fissuram não existam, a
pressão no interior das rochas geradoras se eleva a ponto criar passagens para a
expulsão dos fluidos. De qualquer forma, a migração primária é controlada a partir
da taxa de geração de petróleo no interior das rochas geradoras.
Assim que o petróleo deixa as vizinhanças da rocha geradora, ocorre a migração
secundária, onde outras condições físicas prevalecem. As formações rochosas
desta vez apresentam porosidade e permeabilidade significantemente maiores, com
poros cujos tamanhos permitem a formação de gotas e até mesmo pequenos filetes
contínuos de óleo, isto é, uma rede interconectada de poros contendo óleos e gases.
O movimento destas pequenas correntes ocorre principalmente devido ao empuxo,
existente devido à diferença de densidade entre água e óleo, que naturalmente
desloca os fluidos para cima por entre as falhas geológicas das formações rochosas.
A taxa que esse movimento ocorre depende do empuxo, da porosidade e da
permeabilidade das rochas
2.1.3 Acumulação do Petróleo
O movimento ascendente do petróleo continua até que o fluido encontra com
camadas rochosas impermeáveis e que, devido à falhas geológicas, formam um
reservatório ou “armadilha” onde os fluidos ficam armazenados, como ilustrado na
figura abaixo.
Figura 1. Falha geológica aprisionando fluidos. Fonte: Paleontological Research Institution.
20
Uma vez estabelecido dentro deste reservatório poroso, devido à gravidade, os
fluidos tendem a se organizar em camadas de acordo com sua densidade. Dessa
forma, dentro de uma rocha reservatório encontram-se três camadas de fluidos: a
camada de gases (mais leve) por cima da de óleo, que por sua vez está por cima da
camada de água (mais pesada). A figura a seguir ilustra um típico reservatório de
óleo e gás.
Figura 2. Reservatório típico de petróleo e gás. Fonte: PetroGasNews (2011)
2.2 A ROCHA RESERVATÓRIO E SUAS PROPRIEDADES
Propriedades das rochas, caracterização das jazidas, propriedades dos fluidos e
maneira como estes interagem são itens estudados na Engenharia de
Reservatórios. Portanto, pode-se afirmar que uma das áreas de aplicação da teoria
exposta neste trabalho é a Engenharia de Reservatórios. Esta importante área da
Engenharia se preocupa basicamente com a retirada dos fluidos do interior das
rochas reservatórios, de modo que eles possam ser conduzidos até a superfície.
Com o objetivo de definir parâmetros para a produção de petróleo, várias
propriedades foram definidas. Para contextualizar o leitor à aplicabilidade deste
21
trabalho, algumas destas propriedades foram descritas abaixo. É preciso salientar
que a Engenharia de Reservatórios não é o foco deste trabalho, portanto os
conceitos abaixo são superficiais.
2.2.1 Definição de reservatório
A característica principal de uma rocha reservatório é a presença de permeabilidade
e porosidade adequadas à acumulação de petróleo. Além disso, um reservatório
deve ser selado por rochas impermeáveis. O conjunto supracitado chama-se
armadilha de petróleo, ou trapa. No caso dos hidrocarbonetos serem compostos por
gás e petróleo, o gás, menos denso, encontra-se por cima do petróleo, mais denso.
2.2.2 Porosidade (ϕ)
Porosidade é a medida da capacidade de uma rocha armazenar fluidos. De uma
maneira quantitativa, a porosidade pode ser expressa pela razão entre volume de
poros e volume total da rocha, ou seja:
É preciso destacar que podem haver poros dentro da rocha que sejam isolado, ou
seja, não existe nenhum caminho para que o fluido os ocupem. Estes poros não
possuem utilidade para o armazenamento de fluidos. Devido a este fato, define-se
dois tipos de porosidade, a porosidade absoluta e a relativa.
2.2.2.1 Porosidade Absoluta (ϕabs)
É expressa pela razão entre o volume total de poros (incluindo os poros isolados) e
o volume total da rocha, matematicamente:
22
2.2.2.2 Porosidade Efetiva (ϕefetiva)
Neste caso considera-se apenas o volume de poros interligados, ou seja, aqueles
que podem efetivamente serem ocupados por fluido, matematicamente:
2.2.3 Saturação
Além de hidrocarbonetos, os poros de uma rocha reservatório podem contes água.
Portanto o conhecimento do percentual de volume poroso que é ocupado por cada
fluido é essencial para concluir sobre a viabilidade do poço e outras coisas. A
saturação é definida como a fração do volume do poro ocupado por um determinado
fluido (óleo, gás ou água). Assim:
2.2.4 Molhabilidade
Diz-se que um líquido molha um corpo sólido quando é susceptível a se espalhar e
aderir sobre o mesmo. Uma gota de mercúrio sobre uma placa de vidro não se
espalha, uma vez que o mercúrio não molha o vidro. Já uma gota de água se
espalha e pode se aderir ao vidro de modo espontâneo, molhando-o.
23
A molhabilidade pode ser medida através dos valores do ângulo que o líquido forma
em contato com o sólido: quanto menor o ângulo, maior a molhabilidade. Este
fenômeno depende da atração entre às molecular superficiais do líquido pelas
moléculas da parede do sólido.
A molhabilidade em rochas reservatório é importante na distribuição dos fluidos
nesse meio. Por causa das forças atrativas, fases com maior molhabilidade tendem
a ocupar poros menores e fases com maior molhabilidade ocupam espaços mais
abertos.
Figura 3. Ilustração da molhabilidade com ângulos de contato para diferentes fluidos. Fonte: Ahmed (2006).
2.2.5 Tensão Superficial e Tensão Interfacial
Tensão superficial (ou tensão interfacial, quando ocorre entre dois líquidos) é um
efeito físico que ocorre na camada superficial de um líquido que leva a sua
superfície a se comportar como uma membrana elástica. As moléculas situadas no
interior de um líquido são atraídas em todas as direções pelas moléculas vizinhas e,
por isso, a resultante das forças que atuam sobre cada molécula é praticamente
nula. As moléculas da superfície do líquido, entretanto, sofrem apenas atração
lateral e inferior. Esta força para o lado e para baixo cria a tensão na superfície, que
faz a mesma comportar-se como uma película elástica. Uma modelagem
matemática é feita para tubos capilares (Figura 4) e as tensões podem ser
calculadas segundo a equação (AHMED, 2006):
24
( )
Onde:
: massa específica do fluido mais denso (1);
: massa específica do fluido menos denso (2);
: tensão superficial ou tensão interfacial entre os fluidos 1 e 2;
: ângulo de contato;
: raio do tubo capilar;
: diferença de altura entre as superfícies do fluido dentro e fora do tubo capilar;
: aceleração da gravidade.
Figura 4. Representação da tensão superficial entre ar e água num tubo capilar. Fonte: Ahmed (2006).
25
2.2.6 Pressão Capilar
Quando dois fluidos estão em contato e contidos em uma estrutura porosa, uma
descontinuidade na pressão existe através da interface que separa ambos os
fluidos. A magnitude dessa descontinuidade depende da curvatura da interface em
determinada região do espaço poroso. Essa diferença de pressão através da
interface é conhecida como pressão capilar. Referindo-se novamente aos
parâmetros apresentados na Figura 4, a pressão capilar pode ser calculada por
(AHMED, 2006):
( )
Pode-se interpretar a pressão capilar como uma medida da tendência de um meio
poroso absorver um fluido molhante ou repelir um fluido não molhante (BEAR,
1972). Muitas vezes, quando se deseja obter informações da geometria porosa de
determinado meio poroso, como a porosidade e a distribuição do tamanho dos
poros, costuma-se injetar um fluido na fase porosa, como mercúrio, variando-se as
pressões externas aplicadas. Esse processo fornece as curvas de pressão capilar,
que permitem a obtenção de relações entre a pressão capilar aplicada e a saturação
de uma das fases. Essas informações podem ser úteis em processos de
deslocamento imiscível em meios porosos, pois podem fornecer as quantidades das
fases que são bloqueadas durante o deslocamento. Assim, se pode fazer uma
estimativa da quantidade de determinado fluido que pode ser extraído de um
determinado meio poroso.
2.2.7 Permeabilidade
Permeabilidade é a propriedade que avalia a capacidade de um meio poroso em
permitir a passagem de fluidos através do mesmo. Meios com grande
permeabilidade, permitem que os fluidos passem mais facilmente através da rocha.
26
É uma propriedade que é afetada pela pressão no meio. O conceito de
permeabilidade é importante na determinação das características do escoamento de
hidrocarbonetos nas rochas reservatório. A propriedade foi definida
matematicamente por Henry Darcy em 1856 e a equação que define essa
propriedade é chamada Lei de Darcy (AHMED, 2006):
Onde:
: velocidade aparente do fluxo fluido;
: permeabilidade;
: viscosidade do fluido;
: queda de pressão por unidade de comprimento.
Para um modelo linear, isola-se κ e se obtém:
Onde:
: taxa de fluxo;
: queda de pressão no canal;
: comprimento do canal (poros interligados);
: área da seção transversal do canal.
Para que a equação acima seja válida, as seguintes condições devem ser atendidas:
a) fluxo laminar;
b) não ocorrência de reações entre fluido e rocha;
27
c) apenas uma fase presente no poro; e
d) poro completamente saturado.
2.2.8 Compressibilidade
É definido como a mudança, em fração de volume, devida a uma variação unitária
da pressão a uma dada temperatura. A importância dessa propriedade é que a
rocha reservatório varia seu volume a partir do momento em que é descoberta e isso
influencia na produção do petróleo. De uma forma geral:
Onde:
: compressibilidade;
: porosidade;
: pressão.
2.3 MECANISMOS DE PRODUÇÃO E A RECUPERAÇÃO ADICIONAL
2.3.1 Mecanismos de Produção
Os fluidos contidos em uma rocha reservatório dispões de uma certa quantidade de
energia natural que possibilita a produção “espontânea” do conteúdo do reservatório.
Essa energia resulta de todas as situações e circunstâncias geológicas pelas quais a
jazida passou até se formar completamente e é manifestada sob a forma de
pressão. Para que ocorra a produção natural (recuperação primária), esta pressão
28
precisa ser suficiente para vencer as resistências oferecidas pelos canais porosos e
deslocar os fluidos em direção aos poços de produção.
De um modo geral, esta produção ocorre devido a dois efeitos principais: a
descompressão (que causa e expansão dos fluidos contidos no reservatório e
contração do volume poroso); e o deslocamento de um fluido por outro fluido. A este
conjunto de fatores que fazem desencadear esses efeitos dá-se o nome de
Mecanismos de Produção do Reservatório.
2.3.2 Recuperação Adicional
Foi observado que os mecanismos naturais de produção acima apresentados são
pouco eficientes, o que significa que após a exaustão da energia natural do
reservatório, este ainda retém uma grande quantidade de hidrocarbonetos. Dessa
forma é vantajoso o emprego de uma série de processos que visam a obtenção de
uma recuperação adicional. Esses processos são chamados de Métodos de
Recuperação, que, de uma maneira geral, tentam interferir nas características do
reservatório.
Baseadas na ideia de que as baixas recuperações eram resultados de baixas
pressões nos reservatórios, as primeiras experiências buscavam fornecer pressão
ao reservatório por meio da injeção de um fluido cujas finalidades eram deslocar o
fluido residente no meio poroso e ocupar o espaço deixado por este. Como nem
sempre o aspecto mais crítico do fluxo dos fluidos nos meios porosos é a baixa
pressão, a simples injeção de fluidos para deslocar outros fluidos nem sempre
resultava em sucesso. Como resultado da observação e da análise dos
comportamentos dos meios porosos quando sujeitos a injeções de fluidos, surgiram
os diversos processos. O presente estudo tem por objetivo avaliar condições e
parâmetros envolvidos nesta recuperação no sentido de torná-la o mais eficiente
possível.
A aplicação de um processo de recuperação é muito mais ampla que a simples
intervenção em alguns poços, ou seja, a área de atuação é todo o reservatório,
29
independente da simplicidade ou complexidade do método que está sendo utilizado.
Não é necessário esperar o declínio total da produção para se começar a injeção de
fluidos no reservatório. Ao contrário, a boa prática de engenharia recomenda que a
injeção seja iniciada bem antes que isso aconteça. Ou seja, os métodos de
recuperação são aplicados mesmo havendo condições de produção com
recuperação primária.
2.4 PRINCÍPIOS TERMODINÂMICOS
2.4.1 Primeira Lei da Termodinâmica
Um aspecto fundamental sobre o conceito de energia é que energia se conserva, ou
seja, a energia de um sistema isolado é constante. A equação que traduz
matematicamente esta lei fornece as bases para uma análise quantitativa das
interações entre dois sistemas.
Esta lei é simples, porém sua aplicação pode não ser tão simples uma vez que todos
os tipos de energia envolvidos em um processo devem ser identificados, isso inclui:
energia cinética, energia potencial gravitacional, energia potencial elástica, energia
de pressão, energia química, energia radiante, energia elétrica, energia sonora,
energia térmica, etc.
A equação mais utilizada para a primeira lei da termodinâmica entre dois estados 1 e
2 é a explicitada abaixo:
Onde:
Q é a transferência de energia sobre a forma de calor para o sistema;
W é o trabalho realizado pelo sistema entre os estados 1 e 2;
Ei é a energia interna do sistema no estado i.
30
MORAN et al se aprofunda no estudo da primeira lei em sistemas fechados e
volumes de controle. Esta análise mais aprofundada não é abordada neste trabalho
pois não pertence ao escopo do mesmo.
2.4.2 Segunda Lei da Termodinâmica
A ideia central da ciência é que a natureza se comporta de maneira previsível. Os
conceitos de energia e conservação da energia previamente apresentados são
tentativas de quantificar este comportamento da natureza.
Sabe-se pela experiência que existem mudanças espontâneas de estado que
podem ocorrer em um sentido mas nunca é observada no sentido oposto. Um
exemplo é a reação de oxigênio e hidrogênio. Estes dois elementos se transformam
espontaneamente em água, mas a reação oposta (e igualmente espontânea) nunca
foi observada.
A primeira lei não pode revelar a possibilidade ou impossibilidade de um processo e
esta habilidade é essencial para qualquer teoria de previsão da natureza – objetivo
principal da ciência. É neste contexto que a segunda lei da termodinâmica se faz tão
necessária.
2.4.2.1 Evolução Histórica do Conceito de Entropia
Os primeiros pensamentos registrados sobre o desenvolvimento da segunda lei da
termodinâmica remetem a Carnot, e são datados da primeira metade do século XIX.
Carnot propôs que o calor sempre é perdido para que um motor produza trabalho,
porém ele não quantificou esta perda. Rudolf Clausius foi o primeiro a apresentar
trabalhos conclusivos sobre o assunto. Em seu quarto memorando, Clausius (apud
MORAN et al, 2002) afirma que “é impossível para qualquer sistema operar de
maneira que o único resultado seria a transferência de energia sob a forma de calor
de um corpo mais frio para um corpo mais quente.”
31
A desigualdade de Clausius, desenvolvida em seu sexto memorando (CLAUSIUS,
1865), é aqui repetida:
∮(
)
Onde:
δQ é um elemento de calor transmitido pelo corpo às vizinhanças através de uma
parte da fronteira b;
T é a temperatura absoluta da parte da fronteira por onde ocorreu a troca de
calor e no momento em que ela ocorreu.
A soma algébrica de todas as transformações ocorrendo em um processo cíclico
deve ser positiva, ou, no caso extremo, nula. Seguindo o pensamento,
Qualquer processo que aumenta a entropia de um sistema isolado é
possível; qualquer processo que diminua a entropia de um sistema isolado é
impossível e qualquer processo que mantenha a entropia de um sistema
isolado constante é possível nas duas direções. (REYNOLDS, 1965).
Acredita-se que Clausius escolheu o nome entropia devido à seu significado grego
“conteúdo de transformação” e porque ele queria um nome o mais similar possível
com energia. Como pode-se verificar estas duas propriedades são muito relacionas
fisicamente. Já a letra que representa a entropia (S), acredita-se que ele escolheu
em homenagem a Sadi Carnot (Clausius trabalhou por 15 anos no artigo de Carnot
de 1924).
Com o conceito exposto pela segunda lei da termodinâmica, é possível prever
direções possíveis de reações químicas e também de troca de calor entre corpos
com diferentes temperaturas.
32
2.4.2.2 Conceito Microscópico de Entropia
Tendo explicado o conceito macroscópico da entropia, uma explanação sobre os
conceitos microscópicos desta propriedade será feita. Esta explanação tem como
objetivo estabelecer paralelos em ter a entropia e a teoria da informação discorrida
posteriormente neste texto. O exemplo abaixo de Reynolds (apud STREY, 2012)
serve para elucidar a relação entre os conceitos macroscópicos e microscópicos da
segunda lei da termodinâmica.
Considera-se hipoteticamente um balde com um grande número de “feijões saltantes
treinados,” metade deles vermelhos e metade brancos. Imagine que os feijões foram
treinados para saltar em pares e assim trocar de lugar. O balde está inicialmente
com os feijões vermelhos em um lado e os brancos em outro. Um observador vê o
balde de uma distância grande o suficiente para não conseguir identificar os feijões
individualmente. Para este observador o balde é apenas um objeto com uma parte
branca e outra parte vermelha. Agora, permite-se que os feijões comecem a saltar.
O observador identificará que a parte vermelha do balde está se difundindo para a
parte branca e vice-versa.
Após um tempo, o observador verá apenas uma tonalidade rosa e deste momento
em diante ele não verá mais mudanças no balde. Porém na visão microscópica,
pode-se observar mudanças continuas no balde pois os feijões continuam saltando e
trocando de posições entre si. Pode-se até observar momentâneas concentrações
de uma das cores em alguns pontos, mas estas concentrações desaparecem rápido.
Este mesmo experimento pode ser repetido inúmeras vezes e todas as vezes o
observador verá, a princípio, a difusão do vermelho no branco e depois de um tempo
o sistema se torna rosa. O observador pode formular várias teorias matemáticas
sobre esta difusão e talvez até prever a taxa de difusão e mesmo sem conhecer a
dinâmica dos feijões saltadores ele pode construir uma boa teoria sobre isso. Mas
certamente uma teoria que considere os feijões saltadores seria uma teoria melhor e
mais inteligível.
Com o conhecimento da existência dos feijões saltadores pode-se postular uma
teoria estatística de que o arranjo dos feijões dentro do balde se torna cada vez mais
33
incerto à medida que eles pulam. Por exemplo, no instante inicial quando os feijões
estão organizados por cor a posição dos feijões é relativamente certa e à medida
que o tempo passa o observador fica cada vez menos certo sobre o detalhamento
instantâneo do estado. Ou seja, a desordem ou incerteza dos feijões aumenta.
Assim uma teoria sobre o comportamento dos feijões pode ser baseada na premissa
de que esta desordem nunca diminui. Três termos utilizados em Mecânica Quântica
e que são se suma importância para a compreensão do texto que segue são
definidos a seguir (STREY, 2012):
a) microestado é qualquer estado microscópico do sistema, especificado em
termos das propriedades individuais das partículas;
b) macroestado é qualquer estado do sistema especificado em termos das
propriedades da coleção de todas as partículas, sendo importante observar
que há vários microestados possíveis para um dado macroestado;
c) conjunto é a totalidade de macroestados (ou microestados) onde energia,
volume, magnetização e polarização se mantêm fixos, ou seja, representam
um sistema isolado.
Outro conceito importante existente em mecânica quântica é que a quantidade de
microestados possíveis de um sistema pode ser discretamente quantificada. Estes
estados possíveis são determinados pela natureza das partículas e pelas
circunstâncias nas quais elas se encontram. O cálculo dos microestados permitidos
pode ser feito pela equação de Schroedinger que não será explorada neste texto
porque não faz parte do escopo deste trabalho.
No caso do exemplo supra citado, um microestado seria uma configuração de feijões
saltadores em um determinado tempo (vista por um observador de curta distância) e
um macroestado seria uma tonalidade vista pelo observador que não pode observar
os feijões individualmente.
Como pode-se observar, este raciocínio tem pontos em comum com as noções de
entropia macroscópica e da segunda lei da termodinâmica amplamente difundidas
nos cursos de Engenharia. A seguir está mostrado o desenvolvimento da função de
entropia conhecida atualmente.
34
2.4.2.3 Relação Entre Microestado e Macroestado
Considere um sistema que pode apresentar n estados quânticos (microestados).
Suponha que estes estados possam ser bem observados. Seja pi (1<i<n) a
probabilidade de um microestado ocorrer, pi é determinado pela razão entre a
quantidade de vezes que o microestado ocorreu e a quantidade total de
microestados observados ou a quantidade de tempo em que o sistema esteve no
estado i dividido pelo total de tempo observado, de forma que:
∑
Considere ainda que o sistema em questão está em equilíbrio com suas vizinhanças
de forma que não existam mudanças macroscópicas. Sabe-se que as propriedades
macroscópicas do sistema podem ser obtidas pela média das propriedades de cada
microestado ponderadas pela probabilidades do mesmo (REYNOLDS, 1965), ou
seja, considera-se G como o valor de uma propriedade do sistema:
∑
2.4.2.4 A Função Entropia
Para iniciar as considerações sobre o cálculo da entropia do ponto de vista
microscópico, propõe um exemplo hipotético (REYNOLDS, 1965):
Supõe-se um sistema que possa existir em 3 microestados (n=3) e considera-se
cinco casos listados abaixo:
A) p1=1; p2=0; p3=0;
B) p1=0,8; p2=0,2; p3=0;
C) p1=0,8; p2=0,1; p3=0,1;
35
D) p1=0,1; p2=0,8; p3=0,1;
E) p1=1/3; p2=1/3; p3=1/3.
Para o caso A o sistema possui incerteza nula pois sabemos que o sistema sempre
apresenta o microestado 1.
Para o caso B o microestado mais provável continua sendo o 1, mas neste caso a
incerteza é maior que no caso A.
Para o caso C, pode-se verificar que ele apresenta maior incerteza que os anteriores
pois os 20% do tempo que o sistema não apresenta o microestado 1 agora é
dividido entre o microestado 2 e 3.
O caso D apresenta a mesma incerteza que o C apesar de ser uma configuração
diferente. Neste ponto começa-se a perceber a ideia (explicada posteriormente no
tópico de teoria da informação) de que estamos interessados em captar a
informação de um sistema e não no conteúdo da informação em si.
O caso E é o caso que todos os microestados ocorrem com igual probabilidade e
este caso é o apresenta a maior incerteza (explanações sobre entropia máxima
serão feitas em um tópico a parte posteriormente).
Como pode-se notar, o conjunto das probabilidades dos microestados apresenta
uma boa noção da incerteza de um sistema, porém tal conjunto é de difícil utilização
(por ser uma lista muito extensa). Seria muito mais conveniente a existência de um
único número para medir a incerteza. A entropia fornece esta medida.
A função para o cálculo da entropia deve primordialmente satisfazer às premissas
seguintes:
a) deve ser proporcional à incerteza do sistema; e
b) deve ser extensiva.
Abaixo são mostradas algumas das possíveis funções para o cálculo da entropia e o
porquê que elas não foram escolhidas (REYNOLDS,1965):
a) a multiplicação das probabilidades de cada microestado não satisfaz as
premissas pois é zero quando a probabilidade de algum microestado é zero;
36
b) o somatório das probabilidades de cada microestado não satisfaz por ser
sempre é igual à unidade;
c) a probabilidade média do sistema apesar de ser proporcional à incerteza do
sistema, não é extensiva (REYNOLDS, 1965).
A última função testada mostrou uma boa diretriz para a definição de uma função
para a entropia: a média das probabilidades. Basta agora escolher uma função, a
ser aplicada em todas as probabilidades, cuja a média seja extensiva. Uma função
que satisfaz esta necessidade é a função logaritmo.
Pode ser mostrado então que a forma mais genérica para a função cuja média é
uma propriedade extensiva é a seguinte (REYNOLDS, 1965):
Como pi é menor que a unidade assume-se a constante negativa para que a
entropia seja positiva. Assim a definição de entropia assume a seguinte forma:
∑
Onde K é a constante de Boltzmann.
[
]
2.5 ENTROPIA DA INFORMAÇÃO DE SHANNON
O conceito de entropia é de suma importância na Teoria da Informação. Este
conceito foi usado primeiramente em 1864 pelo físico R. Clausius que postulou a
segunda lei da termodinâmica. Trabalhos subsequentes de L. Boltzmann definiram
entropia como uma medida natural de desordem. Os precursores e fundadores da
Teoria da informação (L. Szilàrd, H. Nyquist, R. Hartley, J. Von Neumann, C.
37
Shannon, E. Jaynes, e L. Brillouin) estabeleceram vários paralelos entre medida de
informação e entropia física.
Comparar informação com desordem não é nada intuitivo, isso porque o senso
comum conceitua informação como o oposto de desordem. Os tópicos a seguir têm
o objetivo de esclarecer estes conceitos para facilitar o completo entendimento do
ambiente no qual o presente trabalho foi desenvolvido.
2.5.1 Definição de Informação
A princípio, introduz-se o conceito de informação. Pode-se dizer que a teoria da
informação está interessada no conteúdo da informação da mensagem e não na
mensagem em si, de forma que a quantidade de informação possa ser relacionada à
uma grandeza numérica (MINEI, 1999).
Acredita-se que as primeiras ideias sobre a teoria da informação foram publicadas
por Nyquist (1924) no artigo “Certain Factors Affecting Telegraph Speed”. Neste
artigo Nyquist quantifica a velocidade com que uma „inteligência‟ pode ser
transmitida como:
Onde:
W é a velocidade de transmissão;
m é o número de valores de corrente possíveis;
K é uma constante.
Após isso, Hartley (1928) em seu artigo “Transmission of Information” mede a
informação presente em uma sequência de símbolos da seguinte maneira:
38
Onde:
H é a informação da sequência de símbolos;
m é a quantidade de símbolos da sequência;
s é a quantidade de alternativas que cada símbolo pode assumir.
Por exemplo, em um evento onde há duas alternativas igualmente prováveis um bit
de informação dirá qual das duas alternativas ocorreu.
Pode-se notar que tanto Nyquist quanto Hartley consideraram eventos discretos e
que possuem igual probabilidade de ocorrer. Shannon em seu artigo 1948 e em seu
livro em coautoria com Weaver em 1964, verificou que a definição de informação
deveria ser generalizada para contabilizar a influência da probabilidade de cada
evento e para o caso de medir a variação de uma variável continua. Com base nisso
ele definiu a Entropia de Shannon que é explicada neste texto.
Uma definição mais recente que segue muito os conceitos introduzidos por Nyquist,
Hartley e Shannon foi feita por Minei (1999). Minei define a quantidade de
informação recebida decorrente da ocorrência de um evento como:
(
)
Onde:
p‟ é a probabilidade do evento, junto ao receptor, após a chegada da mensagem;
p é a probabilidade do evento, junto ao receptor, antes da chegada da
mensagem.
Considera-se a situação ideal, onde não há interferência na transmissão de
informação, ou seja, o receptor tem certeza de estar recebendo a mensagem
correta. Neste caso, p‟ é igual a 1. Logo:
39
Deusuvire (2009) utiliza a mesma definição de informação da equação acima e dá
uma definição leiga para a quantidade de informação de um evento: a quantidade de
informação de um evento é proporcional à surpresa que ele causa.
Hartley citado em Shannon (1948) mostra razões pelas quais a função logarítmica é
mais conveniente:
a) é mais prática. Parâmetros de importância para a engenharia como o tempo,
largura de banda, número de transmissões, etc., tendem a variar linearmente
com o logaritmo do número de possibilidades. Por exemplo, somando uma
transmissão a um grupo de transmissões dobra-se o número de transmissões
possíveis.
b) está mais próxima do nosso sentimento intuitivo quanto à medida adequada.
Está bastante relacionado com o fato de que nós, intuitivamente, medimos
por uma comparação linear com padrões comuns. Por exemplo, o sentimento
de que dois canais idênticos devem possuir o dobro de capacidade de
transmissão. É matematicamente mais satisfatório. Muitas operações em
termos de limites são simples em forma de logaritmo. A unidade de
informação varia de acordo com a base logarítmica utilizada.
Tabela 1 - Unidades de Medida de Informação
Base
Logarítmica
Unidade de
Informação
2 Bit
e Napier ou Nats
10 Decibel ou Hartley
Deste ponto em diante, todas as medidas de informação ou entropia serão feitas em
napiers.
40
2.5.2 Definição da Entropia de Shannon
Shannon (1948) definiu uma maneira de calcular a quantidade de informação
produzida por uma fonte de informação discreta. Considera-se que esta fonte de
informação possa produzir n eventos (dados) dos quais as probabilidades de
ocorrência p1, p2, ..., pn são as únicas informações que existem a seu respeito.
Segundo Shannon, uma função H(p1, p2, ..., pn) capaz de medir o quanto de
incerteza (ou informação) existente neste conjunto de eventos deve satisfazer às
seguintes premissas:
a) H deve ser contínua em pi, 1 ≤ i ≤ n;
b) H deve obter um máximo quando os eventos tem probabilidades iguais, i.e.
pi=1/n; e
c) se um evento for dividido em dois a entropia do evento original deve ser
obtida por uma soma ponderada dos valores individuais dos sub eventos
(análogo à extensividade).
Shannon (1948), afirma que a única função H que satisfaz as premissas acima é:
∑
Onde K é uma constante positiva, que relaciona-se apenas com a unidade de
medida escolhida (Tabela 1).
Shannon (1948), também define a entropia de uma variável continua que possua um
função densidade de probabilidades p(x):
∫ ( ) ( )
Pode-se notar que a escolha da função logarítmica preserva a propriedade extensiva
da entropia, i.e. seja um sistema A composto pelas partes B e C:
( ) ( ) ( )
41
Sendo que a inequação acima será uma igualdade quando as partes B e C forem
independentes.
A entropia de Shannon pode ser entendida como a informação média ponderada de
um conjunto de eventos. A ponderação de cada evento é dada pela probabilidade do
evento ocorrer.
2.5.3 Princípio da Máxima Entropia
Para ilustrar um caso simples, Shannon considera dois eventos, y1 e y2 com
probabilidades p e q = 1-p respectivamente. A seguir ele aplica a definição de
entropia à uma fonte Y= {y1, y2 }:
( )
O resultado está plotado na figura abaixo:
Figura 5. Entropia de uma fonte de informação binária. Fonte: Shannon (1965)
Faz-se duas observações da imagem:
a) para p=0 ou p=1, H=0. Nestes dois casos já existe o conhecimento prévio
sobre o resultado do evento, logo, a informação adicionada é nula;
b) para um dado n, H é máximo e igual a log n quando todos os p i são iguais.
42
Este exemplo é consistente tanto com a noção microscópica da entropia quanto com
a noção de que a informação de um evento é máxima quando ele é o mais
improvável possível, ou seja, quando todas as suas possibilidades são igualmente
prováveis.
2.5.4 Entropia Configuracional
Todos as teorias desenvolvidas sobre o comportamento de meios heterogêneos
utilizam a morfologia. O exemplo mais simples de análise morfológica no estudo da
resposta ótica de meios heterogêneos é a mensuração da fração de área ocupada
por um dos elementos do meio. Segundo Siclen (1997) a função entropia da
informação fornece uma medida sensível da complexidade de um sistema
multifásico.
A Entropia Configuracional Normalizada foi desenvolvida baseada na Teoria da
Informação de Shannon. Esta teoria permite fazer uma análise morfológica de um
meio heterogêneo composto de duas fases. A figura abaixo é uma representação de
um meio bifásico. Uma fase é representada pelos pixels pretos e a outra pelos pixels
brancos.
43
Figura 6. Fotografia de uma população de 625 partículas que interagem numa região de tamanho 50x50 e que representam uma microestrutura bifásica em evolução. Fonte: Siclen (1997).
O método para o cálculo da Entropia Configuracional Normalizada consiste em
varrer a imagem acima com n células de lado l. A seguir, para cada conjunto de
imagens de lado l, define-se a distribuição de probabilidades pi(l). Onde pi(l) é
definida da seguinte maneira:
( ) ( )
( )
Onde:
Ni(l) é o número de células de lado l que contém i pixels pretos (ou brancos);
N(l) é o número total de células de lado l.
A equação da Entropia Configuracional é obtida aplicando-se a Entropia de Shannon
à distribuição de probabilidades acima. Ela é descrita abaixo:
( ) ∑ ( ) [ ( )]
44
A equação acima mostra a entropia configuracional não normalizada. A
normalização se faz necessária na medida em que pretende-se comparar valores de
entropias de diferentes tamanhos de janelas (l). A normalização é feita com base no
máximo valor que a entropia pode obter para o lado l. A máxima entropia é obtida
quando a desordem dos pixels é máxima, ou seja:
( )
Pode-se descrever a equação acima como: todas as probabilidades são iguais entre
si e equivalem ao inverso do total de possibilidades. Calcula-se a entropia
configuracional máxima:
( ) ∑
[
]
( ) ∑
[ ]
Como trata-se de um somatório de (l2+1) parcelas idênticas, pode-se simplificar a
equação:
( ) ( ) [
[ ]]
( ) [ ]
Portanto a equação da Entropia Configuracional Normalizada pode ser expressa da
seguinte forma:
( ) ∑ ( ) [ ( )]
[ ]
É preciso notar que a Entropia Configuracional Normalizada permite a comparação
entre diferentes valores de l, porém a normalização faz com que a função não seja
mais uma função extensiva.
45
2.5.4.1 O Lado de Janela Ótimo
Andraud (1998) aplicou a Entropia Configuracional Normalizada para diversas
imagens experimentais e simuladas. Para todas elas pode-se observar a presença
de um lado ótimo. O lado ótimo é aquele onde:
a) a entropia normalizada é máxima;
b) a desordem é máxima; e
c) a distribuição de probabilidades é próxima de um histograma plano.
A figura a seguir mostra uma imagem de uma meio bifásico (esquerda) e os valores
da entropia Configuracional Normalizada para esta imagem.
Figura 7. (A) Imagem de um filme granular de ouro acima do limite de percolação, 60% de fração metálica e comprimento ótimo de entropia de 100nm. (B) Entropia da informação normalizada para diferentes tamanhos de janela. Fonte: Andraud e Lafait (1998).
Pode-se observar na figura acima que o lado ótimo é o lado correspondente a 18
pixels. O lado ótimo é característica da desordem de uma imagem. Quanto mais a
imagem é complexa, menor é o lado ótimo.
46
2.5.5 Entropia de Tons de Cinza
O que faz a análise de imagens uma disciplina comum a diferentes áreas é que
imagens são na realidade um suporte físico para troca e transporte de informações.
Esta informação pode estar associada a uma medida (neste caso falamos de um
sinal em associação a um fenômeno físico), ou pode estar associada a um nível
cognitivo (neste caso falamos de conhecimento).
Processar uma imagem consiste em transformá-la sucessivamente com o objetivo
de extrair a informação nela presente. Estas transformações vão desde o sinal
numérico até tratamentos de mais alto nível, que correspondem ao sentido cognitivo
da imagem. Uma destas transformações com o objetivo de quantificar a informação
contida na imagem é a entropia de tons de cinza.
Analogamente a todos os conceitos de entropia mostrados neste trabalho, a entropia
da imagem pode ser definida como um número quantificador da aleatoriedade da
imagem. Ela é matematicamente definida como:
∑
Onde M é o número total de tons diferentes na imagem. No caso das imagens
utilizadas, elas apresentam 256 tonalidades de cinza. Sendo a tonalidade 0 a mais
escura e 255 a tonalidade totalmente branca. Abaixo, segue um exemplo de
histograma de uma imagem em tons de cinza.
47
Figura 8. Exemplo de histograma de uma imagem de tons de cinza.
Onde pi é a probabilidade da tonalidade i ocorrer, ou seja:
Onde:
Ni é a quantidade de pixels encontrados com a tonalidade i;
Nt é a quantidade total de pixels.
Sabe-se que a tonalidade de um pixel está relacionada com a concentração de
rodamina naquela posição, desta forma a entropia de tons de cinza pode ser
utilizada para quantificar a dispersão do contaminante (e por consequência do fluido
que leva o contaminante) pelo meio poroso.
2.5.6 Caracterização do Escoamento Através da Taxa de Variação da Entropia
Configuracional Normalizada
48
Vakarin e Badiali (2007), citados na revisão bibliográfica deste trabalho mostram que
que existe uma relação explícita entre a resposta de um sistema analisado a um
estímulo externo e a taxa de informação.
Logo utiliza-se esta relação para quantificar o desenvolvimento de um escoamento.
Após isso faz-se a análise estatística da influência de cada parâmetro no
desenvolvimento do escoamento.
3 DESCRITIVO DO PROGRAMA
3.1 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS
A linguagem de programação utilizada para programar as análises e manipulações
das imagens através da entropia de imagem foi a Octave/MATLAB. O MATLAB
(abreviatura de Matrix Laboratory) é um software computacional altamente difundido
em todo o mundo devido a ser uma ferramenta excelente para soluções de
49
problemas matemáticos, científicos e tecnológicos, que possuí comandos muito
próximos da forma como escrevemos as expressões matemáticas, o que facilita seu
uso. Sua popularidade também é devida ao seu sistema interativo cujo elemento
básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento, permitindo
resoluções de problemas de uma forma muito mais rápida do que em outras
linguagens de programação. Além disso o MATLAB conta com uma vasta família de
aplicativos ("toolboxes"), que são coleções de funções usadas para solucionar
determinados problemas específicos. Dentro das vantagens do software temos a
opção de construir um interface gráfica interativa para o usuário, facilitando bastante
a operação. No entanto, por ser uma linguagem interpretada, pode ser um pouco
mais lenta para ser compilada, além do fato de que uma cópia completa do MATLAB
é significativamente mais cara do que de um compilador convencional.
Toda a análise foi dividida em sub-rotinas. Cada sub-rotina possui sua interface para
entrada dos parâmetros necessários. Os possíveis erros dos usuários que foram
identificados foram tratados (ou ao menos, foram feitas instruções a fim de minimiza-
los).
As sub-rotinas foram organizadas utilizando a interface GUIDE do MATLAB. Esta é a
interface principal do código. Ela é mostrada na figura abaixo:
50
Figura 9. Tela inicial do programa.
Como é possível observar na imagem acima, a interface é composta por seis botões
(um para cada sub-rotina) e por um espaço chamado “visualizador de imagens”
utilizado para mostrar ao usuário alguns resultados e possibilitar a mudança de
parâmetros baseada nestes resultados.
As sub-rotinas principais do código são descritas no diagrama de blocos abaixo:
Figura 10. Diagrama de blocos do programa.
51
Além das sub-rotinas voltadas para o cálculo da taxa de variação da entropia
configuracional, o código possui uma sub-rotina para o cálculo das entropias de tons
de cinza e outra sub-rotina para possibilitar uma possível analise de transporte de
informação. Todas estas sub-rotinas são explicadas no corpo do texto.
Além destas sub-rotinas o código possui uma ferramenta que cria imagens de
acordo com os parâmetros entrados pelo usuário. Esta ferramenta visa auxiliar
aqueles que não possuíres imagens experimentais ou que quiserem analisar o
comportamento do programa com algumas imagens específicas.
O código deve ser colocado dentro da pasta que contenha as imagens provenientes
dos experimentos. Tais imagens normalmente estão em formato “.jpeg”.
3.1.1 Padroniza Nomes
Esta sub-rotina é apenas um facilitador de manipulação das imagens. Visto que
cada experimento pode ter mais de 100 imagens e que a ordem das imagens é
importante, programou-se a mudança dos nomes das imagens do padrão da
máquina fotográfica utilizada para nomes no padrão “expX_imY.jpg”. Este padrão
facilita a identificação da imagem durante a análise dos resultados. O único
parâmetro de entrada é o número do experimento, como pode-se observar na
imagem abaixo.
Figura 11. Tela da sub-rotina "Padroniza Nomes".
52
3.1.2 Tratamento Inicial
As imagens obtidas experimentalmente podem possuir alguns problemas que
impossibilitam ou prejudicam a análise pela entropia configuracional. Além disso elas
podem abranger uma área maior do que a área de interesse para a análise.
A imagem abaixo ilustra alguns dos problemas pelos quais a sub-rotina de
tratamento inicial das imagens se faz necessária.
Figura 12. Imagem padrão dos experimentos testados. Fonte: Strey (2012).
Problemas da imagem1:
a) imagem rotacionada;
b) imagem decentralizada;
c) imagem com regiões não interessantes para a análise.
A caixa de diálogo da sub-rotina de tratamento inicial é mostrada na imagem abaixo:
1 A maioria destes problemas foi gerada devido ao fato das imagens não teres sido capturadas da maneira ideal. A segunda parte deste projeto de graduação fará a análise utilizando fotos retiradas de maneira mais apropriada, mesmo assim, um tratamento inicial mais apurado pode ser necessário.
53
Figura 13. Tela da sub-rotina "Tratamento Inicial".
O usuário precisa entrar com:
a) o número do experimento a ser feita a análise;
b) a quantidade de imagens que este experimento possui;
c) as dimensões (em pixels) dos lados horizontais e verticais da imagem a ser
gerada. O objetivo é excluir as partes não significativas da imagem;
d) o parâmetro de centralização, que varia de -10 até +10. Um número negativo
desloca a imagem para a esquerda e um número positivo desloca a imagem
para a direita;
e) posição vertical do primeiro pixel (em pixels) – exclui a faixa superior da
imagem original que normalmente retrata apenas o protótipo de vidro;
f) ângulo de rotação anti-horária. Rotaciona a imagem (a entrada de parâmetros
negativos permite a rotação horaria).
Após entrar com todos os parâmetros de maneira correta, o código exibe o resultado
das modificações no visualizador de imagens (utilizando a última imagem da série
como exemplo) e uma janela de diálogo que pergunta se o usuário gostaria de
mudar os parâmetros.
54
Figura 14. Tela de checagem do resultado da sub-rotina "Tratamento Inicial".
Esta iteração é de suma importância para a escolha correta dos parâmetros (como
alguns estão em pixels, não é fácil ter a sensibilidade necessária para acertar na
primeira tentativa). Caso o usuário escolha alterar os parâmetros uma nova janela
de entrada de parâmetros é aberta.
Figura 15. Tela de mudança de parâmetros da sub-rotina “Tratamento Inicial”.
55
Um ponto facilitador para o usuário é que nesta nova janela de entrada de
parâmetros, os parâmetros “default” que aparecem inicialmente nos campos são
aqueles anteriormente inseridos pelo usuário.
Ao final desta sub-rotina gera-se um conjunto de imagens em tons de cinza com a
imagem abaixo:
Figura 16. Imagem após o tratamento inicial.
Nota-se que um inconveniente desta imagem é a presença de ruídos (reflexos da
captura da foto). Estes ruídos serão eliminados durante a binarização da imagem.
3.1.3 Corta e Binariza
Esta sub-rotina tem a finalidade principal de gerar imagens binarizadas (em preto e
branco). Os parâmetros de entrada são mostrados na imagem e descritos em
seguida:
56
Figura 17. Tela da sub-rotina "Corta e Binariza".
O número do experimento e quantidade de imagens é análogo às outras sub-rotinas.
A porcentagem da borda a cortar é utilizada caso o usuário queira excluir as bordas
verticais das imagens. O limiar é o parâmetro de binarização. Pode variar de 0 até 1,
sendo que quanto mais próximo de 0 maior a tendência de um ponto cinza ficar
branco (se for 0, toda a imagem se torna branca).
Área do ruído é utilizado para retirar pequenos pontos brancos do corpo da imagem.
Por exemplo, se área do ruído for 100 pixels quadrados todos os aglomerados
brancos com menos de 100 pixels serão excluídos. Esta ferramenta é muito útil para
retirar ruídos pontuais que não foram removidos durante a binarização e garantir
uma imagem do escoamento mais íntegra. Um exemplo da utilização deste filtro é
mostrada na Figura 18.
Analogamente à sub-rotina anterior, nesta sub-rotina existe uma iteração para a
mudança dos parâmetros. O resultado é mostrado e, caso o usuário deseje mudar
os parâmetros, uma nova janela de entrada é aberta.
Esta rotina gera uma pasta chamada “ExpX_imagens_finalizadas”. Dentro desta
pasta o código cria imagens chamadas “ExpX_imY_gray_finalizada.jpg” e
“ExpX_imY_bin.jpg”.
57
Figura 18. (A) Imagem binarizada sem filtro. (B) Imagem binarizada com filtro.
3.1.4 Entropia Binarizada
Esta sub-rotina calcula a entropia binarizada (configuracional) das imagens.
Figura 19. Tela da sub-rotina "Entropia Binarizada".
58
Com relação aos parâmetros de entrada, deve-se notar:
a) o número do experimento (análogo às sub-rotinas anteriores);
b) a quantidade de imagens (análogo às sub-rotinas anteriores);
c) a quantidade de janelas aleatórias. Como foi explicado anteriormente, é a
quantidade de janelas que o programa irá gerar (dentro de cada imagem)
para cada tamanho de lado. Foram utilizadas 500 janelas aleatórias. Este
número é suficiente, uma vez que executou-se o programa 3 vezes com as
mesmas imagens e os resultados deram idênticos, logo, pode-se concluir que
o número de janelas é grande o suficiente para tornar imperceptível variações
aleatórias;
d) o lado inicial, lado final e intervalo de lado. São usados para entrar com a
gama de lados com a qual cada imagem será „varrida‟ e a entropia
configuracional calculada. Exemplo: Se, lado inicial = 100, lado final = 200 e
intervalo de lados = 20; as imagens serão „varridas‟ por janelas de lado 100,
120, 140, 160, 180 e 200.
e) que o lado final deve ser menor que a menor dimensão do grupo de imagens
daquele experimento. Caso o usuário insira valores que não permitem uma
configuração correta, a mensagem da Figura 20 é exibida e a janela de
entrada de parâmetros é reaberta.
Figura 20. Tela de aviso de parâmetros não possíveis.
Assim que o código é finalizado, ele gera uma planilha do Excel dentro da pasta
“ExpX_imagens_finalizadas” chamada “entropy_expX.xls”. Dentro desta pasta do
Excel, existem duas planilhas. A primeira chamada “entropia” armazena todos os
59
valores de entropia calculados para cada uma das imagens. Um exemplo desta
tabela é mostrado abaixo:
Tabela 2 – Exemplo de Resultados de Entropia Não Normalizada
image_1 image_2 image_3 image_4 image_5 image_6 image_7 image_8 image_9 image_10
100 0 0 0,02885 0,014427 0,144091 0,072096 0,158478 0,086503 0,115305 0,144091
200 0 0 0,02885 0 0,04327 0,100906 0,244712 0,144091 0,244712 0,187239
300 0 0 0,072096 0,04327 0,100906 0,115305 0,115305 0,187239 0,227577 0,373784
400 0 0 0,057685 0,100906 0,201613 0,241939 0,244712 0,31646 0,359459 0,359459
500 0 0 0,072096 0,1297 0,115305 0,299346 0,473937 0,31646 0,428267 0,58814
600 0 0 0,155705 0,17286 0,287773 0,388104 0,551297 0,659376 0,628122 0,727729
700 0 0 0,155705 0,256297 0,302119 0,353914 0,653155 0,653831 0,895201 0,869645
800 0 0 0,184466 0,37874 0,296574 0,614259 0,60833 1,004514 0,991697 0,957625
900 0 0 0,223758 0,524892 0,505705 0,883144 0,969254 1,018089 1,075304 1,189147
1000 0 0 0,302128 0,390732 0,690639 0,726329 0,917486 1,006319 1,133787 1,363892
1100 0 0 0,394023 0,598683 0,703804 0,913848 1,118032 1,430186 1,153592 1,534562
1200 0 0 0,314162 0,52807 0,7861 0,859085 1,362097 1,544034 1,687177 2,038438
1300 0 0 0,4923 0,626274 0,884125 1,146323 1,443831 1,925351 2,027512 1,971559
1400 0 0 0,589331 1,024958 1,306866 1,610912 2,123229 2,083666 2,447425 2,812589
1500 0 0 0,771896 1,391957 1,662667 2,232876 2,701401 3,073585 3,443623 3,831562
Esta pastas do Excel possui uma segunda planilha chamada “entropia normalizada”.
Esta planilha possui uma tabela que armazena os valores das entropias
normalizadas. Abaixo desta tabela existem duas linhas que armazenam os valores
das máximas entropias normalizadas de cada imagem e o lado com o qual tal
entropia máxima foi obtida. Abaixo, segue um exemplo desta planilha:
60
Tabela 3 – Exemplo de Resultados de Entropia Binarizada
image_1 image_2 image_3 image_4 image_5 image_6 image_7 image_8 image_9 image_10
100 0 0 0,003132 0,001566 0,015644 0,007828 0,017206 0,009392 0,012519 0,015644
200 0 0 0,002723 0 0,004083 0,009522 0,023093 0,013598 0,023093 0,01767
300 0 0 0,00632 0,003793 0,008846 0,010108 0,010108 0,016414 0,01995 0,032766
400 0 0 0,004814 0,008421 0,016825 0,02019 0,020422 0,026409 0,029998 0,029998
500 0 0 0,005801 0,010435 0,009277 0,024084 0,038131 0,025461 0,034456 0,047319
600 0 0 0,01217 0,013511 0,022493 0,030335 0,043091 0,051538 0,049096 0,056881
700 0 0 0,011884 0,019561 0,023059 0,027012 0,049851 0,049902 0,068325 0,066374
800 0 0 0,013798 0,028329 0,022183 0,045946 0,045502 0,075136 0,074178 0,071629
900 0 0 0,016447 0,038581 0,037171 0,064914 0,071244 0,074833 0,079039 0,087407
1000 0 0 0,021869 0,028282 0,04999 0,052573 0,06641 0,07284 0,082066 0,098722
1100 0 0 0,028132 0,042744 0,05025 0,065246 0,079824 0,102111 0,082363 0,109564
1200 0 0 0,022155 0,03724 0,055437 0,060584 0,096057 0,108887 0,118982 0,143753
1300 0 0 0,03433 0,043673 0,061653 0,079937 0,100684 0,134262 0,141386 0,137484
1400 0 0 0,040676 0,070743 0,0902 0,111186 0,146546 0,143816 0,168922 0,194126
1500 0 0 0,052774 0,095167 0,113675 0,15266 0,184693 0,210139 0,235438 0,261961
1600 0 0 0,087426 0,129732 0,176812 0,214972 0,281468 0,306917 0,32089 0,320812
1700 0 0 0,214607 0,227283 0,226408 0,226114 0,226397 0,227039 0,22684 0,227017
Entropia Máxima 0 0 0,214607 0,227283 0,226408 0,226114 0,281468 0,306917 0,32089 0,320812
Janela Ótima 100 100 1700 1700 1700 1700 1600 1600 1600 1600
Além destes dados, o código também gera um gráfico (em formato de imagem). Um
exemplo deste gráfico é mostrado abaixo:
61
Figura 21. Exemplo de gráfico entropia e janela ótima em função das imagens.
Pode-se notar que o gráfico possui duas abscissas. A abscissa da esquerda retrata
a entropia normalizada e a da direita o lado da janela onde a maior entropia
normalizada ocorreu em cada janela.
3.1.5 Entropia Tons de Cinza
O objetivo desta sub-rotina é quantificar a variação na entropia de tons de cinza nas
imagens no decorrer do experimento. As entradas desta sub-rotina são apenas o
número do experimento e a quantidade de imagens deste experimento. A principal
saída gerada é uma pasta do Excel chamada “ent_tons_cinza_expX” onde são
62
armazenadas os valores das entropias de tons de cinza para cada uma das
imagens. Um exemplo da tabela é mostrado abaixo2:
Tabela 4 – Exemplo de Resultados de Entropia de Tons de Cinza
Imagens Entropias
Imagem1 4,221749
Imagem2 4,20301
Imagem3 4,213114
Imagem4 4,211312
Imagem5 4,209269
Imagem6 4,208342
Imagem7 4,215168
Imagem8 4,211472
Imagem9 4,227929
Imagem10 4,23938
Além disso, a sub-rotina cria uma imagem com a evolução da entropia de tons de
cinza com o experimento. Um exemplo é mostrado abaixo:
2 Por conveniência, apenas uma parte da tabela foi mostrada.
63
Figura 22. Exemplo da evolução da entropia de tons de cinza.
Uma melhoria importante que deve ser feita no código é a utilização de um filtro para
diminuir a influência de ruídos no valor da entropia de tons de cinza.
3.1.6 Nove Janelas
Esta sub-rotina foi criada para possíveis análises futuras utilizando transporte de
informação. Ela cria nove janelas na imagem original, calcula a entropia (tons de
cinza) de todas as janelas e salva estes valores em uma planilha do Excel. As
janelas geradas por esta sub-rotinas são dispostas como no exemplo a seguir:
64
Figura 23. Disposição simplificada das nove janelas em uma imagem de tons de cinza.
3.2 MELHORIAS PROPOSTAS AO CÓDIGO
Apesar de todo o trabalho ter sido realizado com bastante dedicação e atenção,
sempre haverá espaços para melhorias. Algumas delas são listadas a seguir:
a) detecção completa de erros de entrada de dados:
- limitar centralização à -10 +10
- lados finais da imagem maiores que os lados originais da imagem no
“tratamento inicial”
- limitar limiar de binarização
- limitar porcentagem da borda a cortar
b) caixas de diálogo:
- erro de centralização
65
- número de experimento inexistente
- imagem inexistente
c) ferramentas de ajuda;
d) otimização de tempo de execução pela redução da quantidade de iteração
entre MATLAB e Excel;
e) fazer uma estimativa de tempo de execução e mostrar ao usuário;
f) transformar as sub-rotinas “tratamento inicial” e “corta e binariza” em uma
única sub-rotina sequencial;
g) eliminação da necessidade de entrar com o número do experimento e a
quantidade de imagens em todas as sub-rotinas;
h) calculo automático da taxa de variação da entropia (associando-a ao tempo
de escoamento);
i) tratar os ruídos na análise de entropia de tons de cinza;
j) dar a opção de salvar ou não as janelas criadas na sub-rotina nove janelas;
k) permitir a personalização do tamanho final da imagem binarizada;
l) impedir execução do programa sem a entrada de dados.
66
4 TESTES DE CONCEITO
4.1 ENTROPIA CONFIGURACIONAL
Afim de comprovar a funcionalidade do programa, fez-se análise de entropia
binarizada de três séries de imagens de experimentos feitos por Strey (2012). Os
experimentos escolhidos foram os que melhor atendiam os critérios seguintes:
a) maior número de imagens;
b) maior qualidade das imagens; e
c) imagens com menos ruído.
Desta forma os experimentos escolhidos foram os 03, 20 e 22. O tratamento inicial
das imagens foi feito conforme descrito anteriormente e o cálculo da entropia
configuracional foi feito utilizando os seguintes parâmetros:
a) tamanho das imagens: aproximadamente 850 x 850 pixels;
b) lado inicial: 50 pixels;
c) lado final: 850 pixels;
d) intervalo de lados: 50 pixels; e
e) quantidade de janelas aleatórias: 500.
Intervalo de lados e tamanho das imagens foram limitados devido à capacidade de
processamento da máquina disponível (computador pessoal convencional –
processador CORETM I7). O tempo de execução do programa foi em torno de 5
horas para cada experimento. Como explicado acima, os resultados obtidos
consistem em tabelas do Excel onde todos os valores de entropias (normalizados e
não normalizados) são armazenados. Estas tabelas não são mostradas neste
trabalho devido ao seu tamanho inconveniente. Desta forma mostra-se a seguir
apenas os gráficos de entropia normalizada e lado ótimo em função da imagem
analisada:
67
4.1.1 Experimento 03
Figura 24. Entropia normalizada e janela ótima do experimento 03.
4.1.2 Experimento 20
Figura 25. Entropia normalizada e janela ótima do experimento 203.
3 A parte inicial é zero, pois as imagens deste experimento não mostram escoamento.
68
4.1.3 Experimento 22
Figura 26.Entropia normalizada e janela ótima do experimento 22.
4.1.4 Comparação com Cálculos da Bibliografia
Afim de verificar a confiabilidade do código, fez-se a análise de séries de imagens
que já haviam sido analisadas na bibliografia, principalmente provenientes do
trabalho de Strey (2012). Uma destas comparações é mostrada abaixo, onde o
experimento analisado foi o experimento 01:
Tabela 5 – Comparação dos Resultados do Programa com os da Bibliografia
Imagens STREY Código próprio
(500 janelas)
1 0 0
2 0,236149 0,233002
3 0,324251 0,328583
69
Tabela 5 – Comparação dos Resultados do Programa com os da Bibliografia
Imagens STREY Código próprio
(500 janelas)
4 0,539092 0,552132
5 0,594599 0,596468
6 0,641681 0,6433
7 0,683837 0,686352
8 0,719739 0,725528
9 0,738714 0,729096
10 0,688765 0,688767
11 0,660024 0,648919
4.2 ENTROPIA DE TONS DE CINZA
No caso da entropia de tons de cinza, procedeu-se com o tratamento inicial das
imagens de maneira adequada e após isso, calculou-se as entropias de tons de
cinza. O tempo de processamento foi bem reduzido, comparado à entropia
binarizada, não passou de um minuto.
Analogamente ao caso da entropia configuracional, a saída da sub-rotina entropia de
tons de cinza é uma grande tabela com todos os valores de entropia para todas as
imagens e gráficos de entropia de tons de cinza versus imagens. A seguir expõe-se
os gráficos obtidos para as imagens de dois experimentos feitos por Loureiro (2001).
Estes experimentos foram realizados a partir da dispersão de uma substância líquida
em um meio líquido, ilustrado pela Figura 27, e os resultados se encontram na
sequência.
70
Figura 27. Exemplo de imagens da dispersão de uma substância líquida em um meio líquido.
4.2.1 Experimento 06:
Figura 28. Entropia de tons de cinza do experimento 06.
71
4.2.2 Experimento 14:
Figura 29. Entropia de tons de cinza do experimento 14.
72
5 TRABALHOS FUTUROS
Como o próprio título deste projeto sugere, ele é composto por duas partes. A
primeira parte foi o desenvolvimento e o teste de conceito do software. A segunda
parte será composta pelos seguintes assuntos:
a) aprimoramento do código com os itens listados no corpo do texto;
b) projeto experimental de um meio poroso;
c) obtenção de imagens de escoamentos com o auxílio do laser de íon argônio
do Laboratório de Aerossóis e Bioescoamentos da UFES;
d) obtenção da taxa de variação da entropia de cada experimento com o auxílio
do código;
e) análise estatística da influência dos parâmetros de cada experimento na taxa
de variação da entropia de acordo com o Apêndice deste projeto.
Vale ressaltar este trabalho foi programado para ser feito em duas partes, desta
forma a parte dois já está em processo de elaboração, por exemplo, o
aprimoramento do código é algo que está sendo feito initerruptamente e o projeto de
um meio poroso está em fase de testes.
73
6 CONCLUSÕES
De acordo com os resultados mostrados no texto, pode-se afirmar que o código
possibilita a análise dos experimentos de maneira facilitada e com um tempo de
execução apropriado (ainda suscetível de melhoria). Além de proporcionar outras
vantagens como a remoção próxima da totalidade de ruído das imagens e o fato de
que o tempo de análise da entropia em tons de cinza é praticamente insignificante
em comparação com a da entropia binarizada. Além disso, pode-se verificar os
resultados obtidos pelo código com resultados da bibliografia, indicando que os
resultados gerados pelo código são corretos. Outro item satisfatório foi a praticidade
proporcionada pelo código que facilitara muitas futuras analises com esta teoria.
Vale ressaltar que a análise em nove janelas serve de base para futuras análises de
transporte de informação dentro da imagem.
Também nota-se que o programa é funcional não apenas para a análise de
escoamentos em meios porosos, mas também para outros meios, assim como
mostrado na análise de tons de cinza de imagens de experimentos de dispersão
entre uma substância líquida em um meio líquido.
74
7 REFERÊNCIAS
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12. PEROTA, M. L. L. R.; CARVALHO, I. C. L.; BECCALLI, A. M. Normalização
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Acessado em 11 de dezembro de 2013.
14. REYNOLDS, W. C. Thermodynamics. 1. ed. New York: McGraw-Hill, 1965.
15. SCHREIBER, T. Measuring Information Transfer. Dresden: Max Plank
Institute for Physics of Complex Systems, 2008.
16. SHANNON, C. E. A Mathematical Theory of Communication. The Bell
System Technical Journal, [S.I.], v. 27, p. 379-423, 623-656, 1948.
17. SICLEN, C. D. V. Information entropy of complex structures. Physical Review
E, [S.I.], v. 56, n. 5, p. 211-215, 1997.
18. STREY, N. F. Avaliação Experimental da Variação da Entropia da
Informação de Escoamentos em Meios Porosos. Vitória: UFES, 2012.
19. THOMAS, J. E. et al Fundamentos de engenharia do petróleo. 1. ed. Rio
de Janeiro: Interciência, 2001.
20. VAKARIN, E. V.; BADIALLI, J. P. Maximum entropy approach to
characterization of random media. Paris, [2007?]
APÊNDICE – ANÁLISE ESTATÍSTICAS DOS DADOS
76
A fim de estudar o efeito de cada um dos fatores envolvidos no escoamento
(porosidade, fluido e vazão), a análise estatística dos dados será feita de forma
fatorial, onde todas as combinações de níveis dos fatores serão avaliadas em
experimentos. Isto significa que em um estudo contendo 3 fatores, A (com a níveis),
B (com b níveis) e C (com c níveis), onde para cada combinação de níveis dos três
fatores foram realizados n experimentos, existe um total de abcn observações.
Generalizando, seja yijkl a resposta observada do experimento onde o fator A se
encontra no i-ésimo nível (i = 1, 2, ..., a), o fator B se encontra no j-ésimo nível (j = 1,
2, ..., b), o fator C se encontra no k-ésimo nível (j = 1, 2, ..., c), durante a l-ésima
realização do experimento (l = 1, 2, ..., n) para a respectiva combinação de níveis
dos fatores. Os dados obtidos com os experimentos são organizados conforme a
tabela a seguir:
Tabela 6 – Esquema de Organização dos Dados
Fator B Nível 1 Nível 2
yi... Fator C Nível 1 Nível 2 Nível 1 Nível 2
Fator A – Nível 1
y1111 y1121 y1211 y1221
y1... y1112 y1122 y1212 y1222
y1113 y1123 y1213 y1223
yijk. y111. y112. y121. y122.
yij.. y11.. y12..
Fator A – Nível 2
y2111 y2121 y2211 y2221
y2... y2112 y2122 y2212 y2222
y2113 y2123 y2213 y2223
yijk. y211. y212. y221. y222.
y....
yij.. y21.. y22..
y.jk. y.11. y.12. y.21. y.22.
y.j.. y.1.. y.2..
Visando a organização dos dados, seja yi... a soma de todas as observações dentro
do i-ésimo nível do fator A. Analogamente, y.j.. é a soma de todas as observações
77
dentro do j-ésimo nível do fator B, yij.. é a soma de todas as observações dentro das
combinações do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, y.jk. é a soma
de todas as observações dentro das combinações do j-ésimo nível do fator B e do k-
ésimo nível do fator C, yijk. é a soma de todas as observações dentro das
combinações do i-ésimo nível do fator A, do j-ésimo nível do fator B e do k-ésimo
nível do fator C e, finalmente, y.... é a soma de todas as observações de todos os
experimentos. Além disso, definimos ̅i..., ̅.j.., ̅ij.., ̅.jk. e ̅ijk. como as médias das
suas variáveis correspondentes. Matematicamente:
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑∑
∑
1 SOMA TOTAL DOS QUADRADOS
Em análises estatísticas como a deste estudo, a Soma Total dos Quadrados é um
indicador padrão para apresentar resultados obtidos durante a análise. É definida
como a soma, a partir de todas as observações, do quadrado da diferença entre o
valor observado e a média total. A “distância” de qualquer ponto de um conjunto de
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dados até a média deste conjunto é o desvio, isto é, se todos estes desvios foram
elevados ao quadrado, e em seguida somados, obtém-se a soma total dos
quadrados para este conjunto de dados. Dessa forma, este indicador representa
quanto o conjunto de dados desvia da média. A Soma Total dos Quadrados
usualmente pode ser expressa da seguinte forma:
∑∑ ∑ ∑
Realizando uma partição da soma dos quadrados em vários componentes permite
que a variação total de um conjunto de dados seja expresso em diferentes fontes de
desvios, onde a relevância/importância de cada um é quantificada pela influência de
cada componente na Soma Total dos Quadrados.
Dessa forma, a soma total pode ser dividida em desvios devido ao fator A, desvios
devido ao fator B, desvios devido ao fator C, desvios devido à interação dos fatores
A e B, desvio devido à interação dos fatores B e C, desvios devido à interação dos
fatores A e C, desvios devido à interação dos fatores A, B e C, e desvios devido à
erros. Matematicamente:
∑
∑
∑
Para obter os valores da soma para as interações de fatores, é conveniente separar
o cálculo em duas etapas: primeiro calcula-se a soma de todos os desvios que
envolvem os dois fatores (que inclui a soma devido cada fator individualmente, além
da soma devido à interação dos fatores), denominada “Soma Subtotal”, em seguida
subtrai-se deste valor a soma devido cada fator individualmente (que pode ser
calculada com as expressões acima). Assim:
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∑∑
∑ ∑
∑ ∑
Analogamente, para obter a soma devido à interação dos três fatores, temos:
∑∑∑
O que restar para completar a Soma Total dos Quadrados é a parte da soma devido
aos erros. Assim, temos:
2 GRAUS DE LIBERDADE
Em sistemas dinâmicos, o Grau de Liberdade é definido como o número mínimo de
coordenadas independentes capazes de especificar completamente o movimento.
Matematicamente, Grau de Liberdade é o número de dimensões do domínio de um
vetor aleatório, ou essencialmente, o número de componentes “livres” (o número de
componentes que precisam ser conhecidos para que o vetor seja completamente
determinado).
Geralmente, em análise estatística, os Graus de Liberdade de uma estimativa de um
dado parâmetro é igual ao número de dados independentes que entram na
estimativa, menos o número de parâmetros usados como etapas intermediárias na
80
estimativa do parâmetro em questão, que no caso é “1”, já que a média é a única
etapa intermediária.
Dessa forma, no estudo em questão, os fatores principais A, B e C que possuem a,
b e c níveis, possuem (a – 1), (b – 1) e (c – 1) graus de liberdade respectivamente.
Os graus de liberdade das interações dos fatores são simplesmente os graus de
liberdade total para a combinação de níveis dos fatores, menos os graus de
liberdade de cada fator individualmente, assim:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
Analogamente:
( ) ( )( )( )
Dentro da combinação de todos os fatores existem n repetições dos experimentos,
assim temos abc(n – 1) graus de liberdade para o erro. O número total de graus de
liberdade é a soma de todos os descritos anteriormente e é expresso na tabela a
seguir.
Tabela 7 – Graus de Liberdade dos Fatores
Fator Graus de
Liberdade
A a – 1
B b – 1
C c – 1
AB (a–1)(b–1)
AC (a–1)(c–1)
BC (b–1)(c–1)
ABC (a–1)(b–1)(c–1)
Erro abc(n – 1)
Soma abcn – 1
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A Soma Total dos Quadrados pode ser relacionada com o Grau de Liberdade com a
finalidade de estimar a dispersão, ou variância, dos dados observados em torno do
valor médio. Esta relação pode ser feita através da Média da Soma dos Quadrados,
que pode ser calculada como:
3 TESTANDO HIPÓTESES
3.1 Teste F
A hipótese de não haver diferença entre as médias dos fatores (hipótese nula) pode
ser verificada comparando os valores de MQFATORES e MQERRO. Uma maneira de
comparar esses valores é tomando a razão entre as duas. Obtém-se o valor F0 do
chamado teste F. Assim:
Valores altos de implicam em diferenças grandes entre as médias dos fatores e
dos erros, resultando num efeito significativo do fator no valor da variável resposta,
ou seja, ele é representativo para o experimento em questão.
3.2 P-Valor
Uma forma de quantificar a significância do fator de forma efetiva é calcular, a partir
do número de graus de liberdade e do valor , o nível de significância deste fator,
também chamado de P-Valor. De certa forma, o P-Valor representa a chance de um
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dado efeito de um fator ter ocorrido ao acaso. O que se busca então é o menor P-
Valor possível para confirmar que o efeito de um determinado fator é válido. Para
fins práticos e de engenharia o valores abaixo de 5% já são bem aceitáveis. O P-
Valor pode ser extraído de tabelas específicas ou ser calculado de forma iterativa.
