1

FSICA UNIDAD 2

2. MAGNITUDES Y VECTORIALES

MAGNITUDES.- Una magnitud es una propiedad o cualidad medible de un sistema fsico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medicin o

una relacin de medidas.

2.1. CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES

MAGNITUDES ESCALARES Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un slo nmero real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al nmero real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecnico; la potencia; la temperatura. FUENTE: http://materias.fi.uba.ar/6201/MosqVectoresacr.pdf MAGNITUDES VECTORIALES Son las que quedan completamente definidas cuando se especifican su mdulo, direccin y Sentido. Por ejemplo, la velocidad y la aceleracin, la fuerza, el desplazamiento y la intensidad de campo elctrico, entre otras. Cualquier magnitud vectorial puede ser representada grficamente por una flecha llamada vector, que consiste en un segmento de recta dirigido. Adems, la letra que define a una cantidad vectorial

se identifica por una flecha sobre ella. As, el vector velocidad se representa por , y el vector fuerza

por .

VECTOR.- Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B

(extremo).

Los elementos que forman un vector son: Origen.- Tambin denominado punto de aplicacin es el punto exacto sobre el que acta el vector. Magnitud o Mdulo: representada por un nmero y la unidad de medida correspondiente. Direccin: Lnea a sobre la cual esta trazado el vector, se expresa mediante un ngulo.

2

La direccin del vector es la direccin de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a el la.

Sentido: es hacia el lado que apunta la flecha. Puede ser al norte, sur, este, oeste, hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.

El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B .

FUENTE: file:///C:/Users/CESAR/Downloads/magnitudesvectorialesyescalares-121220095432-phpapp02.pdf OPERACIONES CON MAGNITUDES ESCALARES. Para efectuar operaciones con magnitudes escales se usa la Aritmtica como hemos estudiado.

2.2. REPRESENTACIN Y EXPRESIONES ANALTICAS DE MAGNITUDES

VECTORIALES REPRESENTACIN GRAFICA Grficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras maysculas, o colocado una sola letra minscula en al segmento. La lnea orientada indica la direccin, la flecha indica su sentido. La longitud de la lnea es proporcional a la magnitud del vector.

Para representar grficamente vectores en el plano se utiliza el plano cartesiano o eje de coordenadas:

3

Ejemplo: Si deseamos representar un vector de magnitud 4 [km] Norte 30Este:

Para comprender mejor qu es un vector del plano vectorial real bidimensional podemos hacer una representacin grfica en el sistema cartesiano, la realizamos de esta forma: Elegimos un punto A cualquiera del plano y a partir de l nos movemos horizontalmente a la derecha, si es positivo el primer nmero del vector, o a la izquierda si es negativo. Una vez colocados en la nueva posicin nos movemos verticalmente hacia arriba, si es positivo el segundo nmero del vector, y hacia abajo si es negativo. Si unimos el punto A con el punto B obtenido despus de estos movimientos con un segmento orientado; es decir, con una flecha, obtenemos la representacin grfica del vector.

4

Ejercicios:

Dados los puntos a (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0) Para representar un vector grficamente, en el espacio, necesitamos sus tres coordenadas (x, y, z)

(Fig. 2). Ejemplo: v (3,4,1).

z

v y

x

Figura 2. Representacin grfica de un vector.

El vector se obtiene uniendo el origen de coordenadas, con el punto del espacio, que posee esas

coordenadas. Sentido: desde el origen al punto en cuestin.

REPRESENTACIN ANALTICA

Coordenadas de un vector.- Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B son:

5

Las coordenadas del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplo:

Punto medio de un segmento.-

Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Magnitud o mdulo de un vector.- La magnitud de un vector es la distancia entre el

punto inicial P y el punto final Q . En smbolos la magnitud de es escrita como .

Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector estn dadas, la frmula de la

distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.

6

La magnitud o mdulos de un vector se pueden obtener a partir de sus coordenadas o de sus

componentes:

Componentes:

Coordenadas:

Ejemplo : Encuentre la magnitud del vector cuyo punto inicial P est en (1, 1) y punto final

es Q y est en (5, 3).

Solucin: Use la frmula de la distancia. Sustituya los valores de x1 , y1 , x2 , y y2 .

La magnitud de es alrededor de 4.5

Fuente: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/magnitude-and-direction-of-vectors.html

Vector Unitario.- Para representarlo analticamente es necesario definir los llamados vectores unitarios.

Los vectores unitarios tienen de mdulo la unidad.

7

Normalizar un vector.- Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la

misma direccin y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide ste por su

mdulo.

Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma

direccin y sentido.

Ejercicios:

Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma direccin

y sentido.

En fsica hay tres vectores unitarios, asignados a los tres ejes de coordenadas, que son

respectivamente: i, j y k.

z

k j i y

x

Figura 3. Representacin grfica de los 3 vectores unitarios.

Las coordenadas de los 3 vectores unitarios son: i (1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1).

Direccin y sentido de un vector.- Direccin de un vector.- La direccin de un vector es la medida del ngulo que hace con una lnea horizontal.

8

Una de las frmulas siguientes puede ser usada para encontrar la direccin de un vector:

, donde x es el cambio horizontal y y es el cambio vertical

o

, donde ( x1 , y1 ) es el punto inicial y ( x2 , y2 ) es el punto terminal.

Ejemplo:

Encuentre la direccin del vector cuyo punto inicial P est en (2, 3) y punto final Q est en (5,

8).

Las coordenadas del punto inicial y del punto terminal estn dadas. Sustityalos en la

frmula .

Encuentre la tan inversa, luego use una calculadora.

El vector tiene una direccin de alrededor 59 ? .

9

Ejemplos:

EJERCICIOS:

Un vector tienen de componentes (5, 2). Hallar las coordenadas de A si se conoce

el extremo B(12, 3).

Calcular la distancia entre los puntos:

Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma direccin

y sentido.

Hallar un vector unitario de la misma direccin que el vector =(8, -6).

Hallar las coordenadas del punto med io del segmento AB, de extremos:

10

1. Calcula la inclinacin del vector u = (4,3)

2. Calcula la direccin de los siguientes vectores y di luego cules tienen la misma direccin:

a = (3,4) c = (5,12)

b = (6,8) d =

(15,20)

3. Los puntos A(1,2) y B(2,4) del plano determinan el vector AB. Calcula su inclinacin.

4. Calcula la inclinacin de los siguientes vectores:

u = (1,2) w = (5,12)

v = (6,8) t = (15,2)

5. Calcula las coordenadas de un vector sabiendo que el mdulo y la inclinacin son:

a) 4, 30 c) 4. 60

b) 4, 45 d) 4, 90

Clculo del mdulo de un vector en el espacio.- El vector tiene su punto de aplicacin en el origen de coordenadas (0, 0, 0):

Sea el vector v (x, y, z), cuyo punto de aplicacin est en el origen de coordenadas.

z

v (x, y, z)

O (0, 0, 0)

y

x

Figura. Vector v que parte del origen de coordenadas

El clculo se realiza de la siguiente manera:

kzjyixv ...

222 )0()0()0( zyxv

11

222 zyxv

Hemos aplicado la frmula que nos da la distancia entre 2 puntos cualesquiera del espacio, con la que

obtendremos la longitud del vector:

Si 1v , se tratara de un vector unitario y si 1v , no sera un vector unitario.

Para calcular un vector unitario en la direccin y sentido de otro basta con dividir el vector entre su

mdulo:

v

vu

Ejemplo, sea el vector v (3, 0, -4)

kikikji

v

vu .

5

4

5

3

5

.4.3

403

.4.0.3

222

As obtenemos un vector unitario, en la direccin y sentido del vector v, cuyas coordenadas son (3/5,

0, -4/5).

CLASIFICACIN DE VECTORES.-

Tipos de vectores

Vectores equipolentes.- Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo,

direccin y sentido.

12

Vectores libres.- El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se

llama vector l ibre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

Vectores fijos.- Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores

fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y origen.

Vectores ligados.- Los vectores ligados son vectores equipolentes que actan en la

misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y se

encuentran en la misma recta

Vectores opuestos.- Los vectores opuestos tienen el mismo mdulo, direccin, y

distinto sentido.

Vectores unitarios.- Los vectores untario tienen de mdulo, la unidad. Para obtener

un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado se divide ste por

su mdulo.

13

Vectores concurrentes.- Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posicin.- El vector que une el origen de coordenadas O con

un punto P se llama vector de posicin del punto P.

Vectores linealmente dependientes.- Varios vectores libres del plano son linealmente

dependientes si existe una combinacin lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin

que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

Vectores linealmente independientes.- Varios vectores libres son l inealmente

independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los

otros

14

a1 = a2 = = an = 0

Vectores ortogonales.- Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto

escalar es cero.

Vectores ortonormales.- Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero. 2. Los dos vectores son unitarios.

FUENTE: http://issuu.com/ernestoyanezrivera/docs/definici_n_de_vector_y_representaci_n_gr_fica_de_u http://matesmiguel.es/pdf/1BC/Uni4/Pregunta3.pdf

COORDENADAS RECTANGULARES En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. En un par de nmeros (x,y) en el cual x es el primer nmero y y el segundo se llama pareja ordenada. Se traza una recta horizontal y una vertical que se cortan en el origen 0 y con una medida conveniente se hace una escala de nmeros reales en cada eje coordenado dejando que el origen sea (0,0). La direccin positiva se escoge hacia La derecha en el eje x y hacia arriba en el Eje y.

La coordenada x, o abscisa, de un punto p es la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto. La coordenada y u ordenada de un punto p es la distancia desde el eje x hacia el punto.

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Un punto de coordenadas dadas se marca midiendo las distancias apropiadas desde los ejes y sealando el punto as localizado. Por ejemplo si las coordenadas de un punto son (-4,3) la abscisa -4 significa que el punto esta 4 unidades a ala izquierda del eje y contando desde el origen y la ordenada 3 significa que el punto esta 3 unidades hacia arriba del eje x contando desde el origen.

COORDENADAS POLARES Para definir la posicin de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ngulo y una distancia, definido por un origen O y una lnea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce tambin como eje polar. Tambin este sistema para localizar puntos en un plano es muy til como lo utilizan en los radares de submarinos. Se usan los grados y la distancia de la recta usando estos smbolos: Alfa que son los grados y da que es el tamao de la recta que est marcada en un punto.

COORDENADAS GEOGRFICAS Son un conjunto de lneas imaginarias que permiten ubicar con exactitud un lugar en la superficie de la Tierra. Este conjunto de lneas corresponden a los meridianos y paralelos. Estas lneas o crculos son trazados por los cartgrafos sobre los mapas. Cualquier punto de nuestro planeta puede ubicarse al conocerse el meridiano de longitud y el paralelo de latitud.

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- Latitud: su lnea de base es el Ecuador.

- Longitud: su lnea de base es el Meridiano de Greenwich. Estas coordenadas se expresan en grados sexagesimales: - Para los paralelos, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.076

km, 1 equivale a 113,3 km.

- Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman

circunferencias de 40.007 km de longitud, 1 equivale a 111,11 km.

La latitud.- Es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el

meridiano que pasa por dicho punto.

- Se expresa en grados sexagesimales.

- Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud.

- Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominacin Norte (N).

- Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominacin Sur (S).

- Se mide de 0 a 90.

- Al Ecuador le corresponde la latitud de 0. - Los polos Norte y Sur tienen latitud 90 N y 90 S respectivamente.

La longitud.- Es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Meridiano de

Greenwich, medida sobre el paralelo que pasa por dicho punto.

- Se expresa en grados sexagesimales.

- Todos los puntos ubicados sobre el mismo meridiano tienen la misma longitud.

- Aquellos que se encuentran al oriente del meridiano de Greenwich reciben la denominacin

Este (E).

- Aquellos que se encuentran al occidente del meridiano de Greenwich reciben la

denominacin Oeste (O).

- Se mide de 0 a 180.

- Al meridiano de Greenwich le corresponde la longitud de 0.

- El antimeridiano correspondiente est ubicado a 180. - Los polos Norte y Sur no tienen longitud.

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Transformacin de Coordenadas Rectangulares a Polares y Viceversa.- Para transformar de coordenadas rectangulares a polares se utilizan los siguientes mtodos.

Se hace un tringulo rectngulo para saber cunto mide da y para esto se utiliza el teorema de

Pitgoras.

6 al cuadrado es igual a 36 y 3 al cuadrado es igual a 9 entonces 9 y 36 se suman y despus se

les saca la raz cuadrada lo cual es el resultado de la hipotenusa=6.70 que es DA.

Una vez obtenido el valor de DA, se debe obtener el valor de los grados sea alfa en el cual se

utiliza la siguiente formula:

=Tan-1 (CO/CA)

=Tan-1(3/6)

=Tan-0,5

= 26,5650

Te dan los grados y la distancia de la recta para que los transformes en El sistema (x,y).

Si te dan solo estos 2 datos (4,280) lo que tienes que hacer es lo siguiente:

Ejercicios:

18

Un pirata que habita en una isla quiere encontrar un tesoro y la ubicacin que le dio su capitn

en coordenadas rectangulares fue (6,10) pero el solo identifica puntos en coordenadas polares.

As que ayuda al pirata transformando las coordenadas rectangulares a polares.

A un soldado que viajaba en un submarino su teniente le ordeno que al desembarcar la costa

seria su punto de origen y que tendra que llegar a la base militar que estaba en (10,100) se la

dio en coordenadas polares puesto que el teniente vio en su radar de submarino las coordenadas

pero el soldado no sabe cambiar coordenadas polares a rectangulares as que ayundelo a

cambiarlas.

Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geografiagral/Coordenadasgeog.htm http://www.aularagon.org/files/espa/atlas/longlatitud_index.htm

MODULO POR UNITARIO Transformacin a Mdulo Vector unitario.-

El mdulo vector unitario, es el vector representado en su mdulo multiplicado por su forma

unitaria (como dice el nombre).

De coordenadas polares a Mdulo Vector unitario:

Primero, debemos hallar el mdulo: ser el mismo mdulo de las coordenadas polares.

Luego, hallamos el vector unitario: el coseno del ngulo ser la parte "i", y el seno del ngulo, la

parte "j".

Planteamos el vector as:

A = mdulo { (nmero obtenido al sacar el cos. del ngulo) i + (nmero obtenido al sacar el sen.

del ngulo) j }

ejem.:

A =8m ( cos 125 i + sen 125 j)

A = 8m (- 0,5736 i + 0,8191 j )

19

Ejercicio:

Expresar en funcin de su mdulo y vector unitario el siguiente vector C= (44m, 340)

sen70 cateto opuesto sobre hipotenusa

sen70= cateto opuesto sobre 44

44sen70=cateto opuesto

41.34=cateto opuesto (x,i)

cos70= cateto adyacente sobre hipotenusa

cos70= cateto adyacente sobre 44

44cos70= cateto adyacente

15.04=cateto adyacente

i= i sobre modulo j= j sobre modulo

i= 41.34 sobre 44 j= 15.04 obre 44

i= 0.93 j=0.34

C= 44(0.93i + 0.34j) m

Fuente:

http://gsaint32.wikispaces.com/Transformaci%C3%B3n+a+M%C3%B3dulo+Vector+unitario

COORDENADAS CILNDRICAS Las coordenadas cilndricas constituyen una generalizacin de las coordenadas polares del

plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al

plano , como sigue:

La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje .

La coordenada acimutal, , es el ngulo que la proyeccin del vector de posicin sobre el

plano forma con el eje .

La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano .

Los rangos de variacin de estas coordenadas son:

El ngulo tambin puede variar en el intervalo [0,2).

20

Uno de los ejemplos ms sencillos de uso de las coordenadas cilndricas lo proporcionan las gras.

Para controlar la posicin de la carga, es preciso indicar el ngulo de giro de la echa (el brazo de la gra), dado por , la altura a la que se sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a

lo largo de la echa ( ).

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MODULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO Obtencin del mdulo de un vector unitario. Al referirse a un vector en el espacio es un segmento que posee direccin y control y tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Se representa por una coordenada tridimensional

trazando una lnea (i) que es perpendicular en el punto del origen j y k.Cada punto posee X, Y y Z. Ejemplo de grafica tridimensional.

Para obtener el mdulo de un vector se necesita la frmula del mdulo.

Y los puntos que se trazaran en las coordenadas (Xi , Yj , Zk ).

Ejercicio 1. Obtener el modulo del siguiente vector unitario. Los puntos son (3, 4, 5)

Primero se hace la grfica, concluimos que 3=i, 4=j y 5=k.

Teniendo la grfica y el modulo trazado (El vector modulo es la ARISTA que parte DEL PUNTO DEL ORIGEN

al ULTIMO PUNTO, es decir de (0,0) a K = 5) se realiza la ecuacin, sustituyendo 3, 4 y 5 en la formula por

X, Y y Z.

22

El resultado es 7.07, y se representa en la grfica..

Fuente: http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/02/21/vectores-en-el-espacio-obtencion-

del-modulo-de-un-vector-unitario/

NGULOS O COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Se llaman Cosenos directores del vector a los cosenos de los ngulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:

Se identifican 3 ngulos en la imagen (Alpha = , Beta = , Gamma = ) Y sus frmulas para saber el tamao del ngulo son:

Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|

Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|

Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|

Para saber el modulo del vector A se usa la frmula:

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EJEMPLO

Mediante los cosenos directores determinar los ngulos de , , del vector (4, 5, 3)

Paso 1. Se hace la grafica

Paso 2. Se obtiene el modulo del vector con la formula

Paso 3. Sustituir el modulo del vector en la formula correspondiente a su eje.

Paso 4. Representar los ngulos en la grfica.

24

Fuente: http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/04/25/cosenos-directores-de-un-vector-problema-resuelto/

2.3. SUSTRACCIN DE VECTORES

VECTOR NEGATIVO DE UN VECTOR. Un vector negativo se define como un vector que al sumarse a un vector original genera una suma 0.

Un vector negativo tiene el mismo origen que su vector positivo.

Fcil no?, tan solo invertir los signos, cierto?

La respuesta es s y no. Si para los vectores que tienen su origen en el punto (0 : 0), pero qu sucede con

un vector que dependa de otro?

Observemos el siguiente ejemplo.

El vector negativo de [B] no se obtiene tan simplemente con volver negativo sus puntos, de hecho si lo

hacemos, obtenemos un vector completamente diferente.

La mejor forma de obtener los nuevos puntos es conceptualizando. Los nuevos puntos de vector negativo

a quien llamaremos [C] dependen de, su origen que est determinado por la punta de [A] y por la magnitud

de [B]. Por lo tanto escribiremos esto.

25

El punto [Cx] ser igual a la distancia que ya tiene y que obtenemos de [Ax] ms la magnitud del vector

[Bx], debido a que la magnitud es un escalar no importa su sentido nos sirve para encontrar la distancia

entre el punto [Ax] y el punto [Cx].

Ahora, la magnitud en un solo eje es extremadamente simple de determinar, simplemente es el punto final

menos el punto de inicio.

Por lo tanto reemplazamos la magnitud por la resta que ya conocemos.

Finalmente solo reorganizamos y listo.

Lo mismo para el otro eje.

Ecuacin que sirve para obtener el vector negativo de [B] que dependa de la posicin de otro vector [A].

Con estas ecuaciones podremos invertir cualquier vector que nos den de manera analtica, sin tener que

dibujarlo en un plano y luego invertirlo.

Fuente: http://cienciasdejoseleg.blogspot.com/2012/02/vector-negativo.html

MTODOS GRFICOS Y ANALTICOS PARA RESTAR VECTORES. Suma de vectores.- Mtodos Analticos para sumar vectores.-

Teorema de Pitgoras.-

Cuando los vectores forman un ngulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de Pitgoras y la direccin por la relacin trigonomtrica tangente.

26

Ejercicio. Un avin vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razn de 72 km/h y desva su rumbo. Hallar la velocidad del avin para un observador en la tierra.

Solucin:

Para anotar la respuesta en coordenadas polares, tomamos el ngulo complementario. Respuesta: S: 92.2 m/s , 77.5 ( en coordenadas polares ).

Ley de Senos y Cosenos

Cuando los vectores forman cualquier ngulo la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio

del teorema de cosenos y la direccin por el teorema de los senos.

Ejercicio Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un ngulo de 60

entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote

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Solucin:

Respuesta: s : 156.2 m/s, 26.3 (en coordenadas polares )

Ejercicio Propuesto: Un conductor de automvil maneja 3 km en la direccin de 60 noreste y luego 4 km en la direccin

norte.Dnde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el mtodo anterior, compare su resultado con su respuesta si utiliza el mtodo grafico.

Mtodo del Tringulo.-

28

Mtodos grficos para sumar vectores.-

Mtodo del Polgono: trazado los vectores en un plano cartesiano, con su magnitud direccin,

sentido y origen. Es importante que uses una escala para indicar la magnitud del vector.

Mtodo del Paralelogramo: se trazan lneas paralelas a los vectores y la resultante se traza del

origen al punto donde se Cruzan.

SUMA DE VECTORES MATEMATICA.-

Para realizar la suma matemtica de vectores, lo nico que tenemos que hacer es sumar las respectivas

componentes de los vectores sumndolos, as obtenemos el vector suma.

EJEMPLO 1:

Obtener la suma de los vectores A(-5, 2, 3) y D(2, 3, -1) con modulo resultante.

Hacemos la grfica primero, dndole valores a los puntos con i, j, k por ejemplo

29

A = -5i + 2j + 3k

B = 2i + 3j -1k

Teniendo los puntos A, B se crea un rectngulo paralelo a los puntos, se toman los puntos A y B y se

realiza una suma.

(-5i + 2j + 3k) + (2i + 3j -1k) = -3i + 5j + 2k

El punto del rectngulo a trazar es C (-3i + 5j + 2k). La grafica queda as:

Ya teniendo la grfica con puntos vectoriales y su rectngulo sigue sacar el modulo del vector resultante.

La frmula es:

Vector Resultante = (-3)2 + ( 5)2 + (2)2

Vector Resultante = 9 + 25 + 4

Vector Resultante = 38

Vector Resultante = 6.16

30

OPERACIONES CON VECTORES POR EL MTODO DE LAS COMPONENTES

ste mtodo mejora la precisin y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento

de las componentes del vector; adems tiene la ventaja de sumar o restar dos o ms vectores a la vez,

mediante un proceso algebraico.

El mtodo consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de

sta operacin es la componente en x del vector resultante.

De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente

en y del vector resultante.

Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, direccin y sentido de ste

vector.

Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de sa componente es contrario

a los lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo,

la proyeccin en el eje y de se vector apunta hacia abajo.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

Note que para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a

partir del eje x positivo (ngulos suplementarios).

Para el vector B, = 180 - 45 = 135

Para el vector C, = 180 + 55 = 235

Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:

Ax = (200 N) cos (30) = 173.20 N

Bx = (300 N) cos (135) = - 212.13 N

Cx = (155 N) cos (235) = - 88.90 N

Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:

Ay = (200 N) sen (30) = 100 N

31

By = (300 N) sen (135) = 212.13 N

Cy = (155 N) sen (235) = - 126.97 N

Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de sta fuerza, a partir de una simple

suma de componentes de fuerzas individuales.

RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Ejercicios propuestos:

Escribe las componentes de cada vector:

1 (5, 8), (2, 3)

,

2 (3, 5), (1, 1)

,

3 (2, 5), (0, 3)

,

4 (8, 2), (10, 1)

,

Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los datos proporcionados:

5 (1, 5), (4, 7)

,

32

6 (3, 5), (1, 8)

,

7 (1, 9), (4, 6)

,

8 (4, 2), (1, 7)

,

Escribe las componentes de cada vector (Producto de vectores por un escalar):

9

,

10

,

11

,

12

,

Dados los vectores , resuelve en cada caso (Operaciones

con vectores):

13 ,

14 ,

15 ,

16 ,

Soluciones:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

33

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

2.4. MULTIPLICACIN

PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UN VECTOR.

El producto de un nmero k por un vector es otro vector:

1 De igual direccin que el vector .

2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo .

3 De sentido contrario del vector si k es negativo.

4 De mdulo

34

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes

del vector.

Ejemplo:

Propiedades del producto de un nmero por un vector

1 Asociativa

k (k' ) = (k k')

2 Distributiva respecto a la suma de vectores

k ( + ) = k + k

3 Distributiva respecto a los escalares

(k + k') = k + k'

4 Elemento neutro

1 =

FUENTE: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_7.html

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma direccin que el primero. Al hacer la multiplicacin, el escalar cambia el mdulo del vector (grficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia tambin el sentido. La direccin del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.

Matemticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector. Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas: V = (x, y) k V = k (x, y) = (kx, ky)

Ejemplo:

35

V = (2,1) k = 2 k V = 2 (2, 1) = (4, 2)

Ejemplo:

V= (2, 2)

k = -1 k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)

Si los vectores son de ms de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas.

PRODUCTO ENTRE VECTORES: PRODUCTO PUNTO ESCALAR

Ejemplos:

36

El producto escalar de dos vectores es un nmero real que resulta al multiplicar el producto

de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman.

Ejemplo:

1 Expresin analtica del producto escalar

Ejemplo:

2 Expresin analtica del mdulo de un vector

Ejemplo:

3 Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Ejemplo:

37

Ejercicio: Determinar el ngulo que forman los vectores = (1, 2, 3) y = (2, 4, 1).

4 Condicin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:

Propiedades del producto punto

1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.

PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL El producto cruz o producto vectorial de dos vectoreses

otro vector cuya direccin es perpendicular a los dos vectores y

38

su sentido sera igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.

Su mdulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos

Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y = (1, 1, 2).

Dados los vectores y , hallar el producto cruz de dichos

vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y .

El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .

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rea del paralelogramo

Geomtricamente, el mdulo del producto cruz de dos vectores coincide con el rea del

paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo

Dados los vectores y , hallar el rea del paralelogramo que tiene

por lados los vectores y

rea de un tringulo

Ejemplo

Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y

C(3, 3, 1).

40

Ejercicio:

Propiedades del producto cruz

1. Anticonmutativa

x = x

2. Homognea

( x ) = ( ) x = x ( )

3. Distributiva

x ( + ) = x + x

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.

x =

5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .

Fuente: http://www.geoan.com/analitica/vectores/producto_cruz.html