MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES EN EL · PDF fileUNIDAD 2 Vectoriales 3D ... Ejercicios para la tarea ... Usando las funciones trigonométricas

UNIDAD 2 Vectoriales 3D _____________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________ Física I MSc. Franklin Molina.

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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES EN EL ESPACIO

Competencias: 1. Definir y dar un ejemplo de una magnitud escalar y vectorial en el espacio

2. Explicar las diferencias existentes entre los diferentes tipos de vectores en el espacio.

3. Determinar las componentes de un vector en el plano y en el espacio. 4. Graficar y escribir a un vector utilizando las diferentes formas de representarlo. 5. Efectuar las operaciones fundamentales con vectores 6. Aplicar y resolver problemas con vectores.



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MAGNITUDES ESCALARES En el medio en el cual nosotros vivimos podemos encontrar cantidades descritas por un número y su respectiva unidad. A estas se las denomina magnitudes escalares. Las magnitudes escalares conocidas son: la distancia ( 10 km ) , la masa ( 56 kg ) , el tiempo ( 8 horas ) , la rapidez ( 59 km/h ) , el volumen ( 180 cm

3 ) , la densidad ( 15 g / cm

3 ), el trabajo

( 18 J ) , la potencia ( 55 W ). Las magnitudes escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse de la manera usual. Por ejemplo: 14 mm + 15 mm = 29 mm 20 pulg

2 - 16 pulg

2 = 4 pulg

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MAGNITUDES VECTORIALES.

Una magnitud vectorial se la define completamente a través de su módulo, dirección y sentido acompañado de su respectiva unidad. Las magnitudes vectoriales más conocidas son: El desplazamiento ( 15 m al Sur ), Velocidad ( 80 m/s, N 34

0 E ), Fuerza ( 26 N , 178

0 ),

aceleración ( 4 i – 7 j ) m/s2

Para representar a un vector se utiliza una de las letras mayúsculas del alfabeto con una flechita en la parte superior ( A ). El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin la flecha en la parte superior. ( A ) otra manera de representarlo es la letra del vector entre dos barras paralelas . ( l A l ) A una magnitud vectorial se la puede representar gráficamente utilizando un segmento de recta orientado. Este segmento de recta debe tener dos puntos de referencia; el primer punto constituye el origen y el segundo punto es el extremo del vector. Q P θ x

CLASES DE VECTORES. 1. Vector libre.

Es el vector que a pesar de que se traslada su punto de aplicación u origen a cualquier punto del espacio este no altera su efecto de acción, un ejemplo de este vector constituye la velocidad de propagación del sonido en el vacío.

___ ___ B B 2. Vector deslizante.

Es el vector en el que el punto de aplicación se traslada a lo largo de su línea de acción, un ejemplo de este tipo de vector es la fuerza aplicada sobre un sólido rígido.

__ __ A A ------------------------------------------------------- 3. Vector fijo.

Es el vector en el cual su punto de aplicación no tiene movimiento, un ejemplo de este vector es la posición de un móvil. _ C

4. Vectores iguales. Son los vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido. __ __ P P

5. Vectores opuestos. Son los vectores que tienen la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto. Esto hace que el un vector es de signo contrario al otro. __ M __ - M



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6. Vector unitario

Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad y es igual a la razón entre e vector y su módulo. _ __ u B = B B

7. Vectores coplanares. Dos o más vectores se denominan coplanares,

cuando todos ellos estan contenidos en un mismo plano.

8. Vectores concurrentes

Dos o más vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o sus líneas de acción se intersecan en un mismo plano.

VECTORES EN EL ESPACIO El módulo del vector ( A o l A l ) constituye el valor numérico y esta dado por la longitud de este, que se la puede representar utilizando una escala adecuada. La dirección del vector constituye el ángulo ( θ ) formado entre el eje x y la proyección del vector en el plano xz. El sentido del vector esta dado por el ángulo Φ formado entre el vector y la proyección de este en el plano xz. y A x Φ Θ z

Para poder representar a un vector en el espacio se utiliza el octante, el cual está dividido en ocho sub espacios.

Cuatro superiores y cuatro inferiores, la ubicación de un punto en el espacio queda determinado por una triada (terna) de números ordenados (x,y,z), donde el primero representa la coordenada sobre el eje x, el segundo la coordenada sobre el eje y, y el tercero la coordenada sobre el eje z. Al observar la esquina del aula de clase, se puede verificar un ejemplo de un sistema de coordenadas espacial, el mismo que está formado por la pared que contiene el cuadro, la pared lateral donde se ubica la pizarra y el piso donde se encuentra el escritorio. Todos los ejes son perpendiculares entre si “normales”.

Podemos identificar los planos del sistema de coordenadas espacial, el cuadro se encuentra en el plano XY, el pizarrón en el plano YZ y el escritorio en el plano XZ.

DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO:

El plano de descomposición se puede escoger en forma arbitraria, los gráficos siguientes muestran la descomposición referida a los diferentes planos.



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Cuando se realiza la descomposición del vector en el espacio se forman dos triángulos, con las siguientes características.

El triángulo OAA´ es rectángulo por construcción ya que AA´ es perpendicular al plano XZ y se lo denomina triángulo principal. Los triángulos formados pueden estar expresados de la siguiente manera:

FORMAS DE REPRESENTAR A UN VECTOR Y SUS

TRANSFORMACIONES. 1. EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS

RECTANGULARES.

A un vector A que se lo dibuja en un sistema de coordenadas espacial donde su origen tiene de coordenadas ( 0 , 0, 0 ) y el extremo del vector, es decir la punta de la saeta tiene de coordenadas ( Ax , Ay , Az), cada coordenada recibe el nombre de componentes rectangulares. y Ay A = ( Ax, Ay, Az ) θ x Az 0 Ax A = ( Ax, Ay,Az ) Ejemplo: C = ( 4, - 8 , 6 ) m

Ejercicios para resolver con el maestro:

1. Representar gráficamente a los siguientes

vectores:

a) v = ( 8 , - 3 , 9 ) m/s

b) F = ( - 4 , 7, - 6 ) N



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Ejercicios para realizar en el aula.

a) R = ( - 5 , - 8, 6 ) m

b) G = ( 4. – 6, - 8 ) cm

Ejercicios para la tarea Nº 1

a) S = ( - 10, - 4. – 6 ) m b) T = ( 9, 0 , 6 ) N 2. EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BASE.

El vector A esta definido en el plano cuando la componente escalar del eje x es Axi , la componente escalar de y es Ayj, y la componente escalar de z es Azk, y esta expresado en función del vector base así: A = ( Axi + Ayj + Azk ) También se les conoce como unitarios normalizados u ortoganales, para espacios tridimensionales.

Ejemplo: C = ( 4 i - 8j + 6 k)) m

3. EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO. ( Forma Polar )

Al vector A se lo representa con la triada ( A , θ , Φ ) se afirma que esta expresado en la forma polar , donde A constituye el módulo del vector, θ constituye la dirección y Φ el sentido. A = ( A , θ , + Φ ) o A = ( A , θ , - Φ ) Ejemplo: C = ( 8,9 m ; 296,57

0 , 67

0 )

Para transformar a la forma en función de las coordenadas rectangulares se procede de la siguiente manera: Para transformar de LA FORMA EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BASE A COORDENADAS POLARES:



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θ Axz A Ay Az Φ Ax Axz Usando el teorema de Pitágoras tenemos: Módulo de la proyección:

Axz = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑧2 Módulo del Vector:

[ A ] = A = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐴𝑧2

Usando las funciones trigonométricas: Dirección del vector: θ = tan

- 1 ( Ax / Az )

Sentido del vector: Φ = sen

- 1 ( Ay / A )

Para transformar de LAS COORDENADAS POLARES A LA FORMA EN FUNCION DE LOS VECTORES BASE se procede: Componente rectangular de x :

Ax = Axz .sen θ Como : cos Φ = Axz /A ; se tiene Ax = A . cos Φ . sen Θ Componente rectangular de y:

Ay = A . sen Φ Componente rectangular de z:

Az = Axz cos Θ Az = A cos Φ .cos Φ Ejercicios para resolver con el maestro: Transformar a todas las formas conocidas 1. A = ( 8i + 6j - 4k ) m 2. B = ( 6 N ; 220

0 ; 50

0 )

3. C = ( 10 m ; 340

0 ; - 40

0 )


Transformar a todas las formas conocidas 1. G = ( - 6, 4, - 8 ) m



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2. F = ( 40 m/s ; 1200 ; 60

0)


Transformar a todas las formas conocidas 1. Z = (- 24 i -14 j + 18 k ) m 2. W = ( 30 m/s

2 ; 69

0 ; 45

0 )

4. EN FUNCION DE SUS COORDENADAS

GEOGRAFICAS.

y N Ay O E Az 0 Ax

S

La dirección del vector se define utilizando las coordenadas geográficas así:

N Θ E ; N Θ O ; S Θ E y S Θ O Cuando Θ = 45

0 se tiene:

N E ; N O ; S E y S O

El sentido del vector esta dado por la elevación y la depresión de este expresado con el valor del ángulo Φ. La representación del vector sería:

A = ( A ; N Θ E ; elevación (Φ ) ) o A = ( A ; S Θ E ; depresión (Φ ) )

Ejercicios para resolver con el maestro:

Transformar a todas las formas conocidas 1. A = ( 4, 8, 10 ) m 2. B = ( 16 N ; N80

0 ; depresión 40

0 )



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Transformar a todas las formas conocidas 1. J = ( 8, - 6, 10 ) m


Transformar a todas las formas conocidas 1. G = ( - 28, -18, 18 ) m 2. H = ( 20 N ; S 40

0 O; elevación 45

0 )

5. EN FUNCION DE SU MODULO Y UNITARIO.

Se define al vector unitario de un vector A como:

u A = A .

A u A = A x i + A y j + Azk . A u A = A x i + A y j + A z k A A A De donde se puede afirmar que:

1. La dirección del vector unitario es igual a la dirección del vector A.

Θ A = θ uA

2. La magnitud o módulo del vector unitario es siempre igual a 1 y es adimensional.

El vector A esta definido por: A = A . uA A = A. ( uAx i + uAy j + uAz k ) 6. EN FUNCION DE LOS ANGULOS DIRECTORES.

Los ANGULOS DIRECTORES son los que se forman entre el vector y los ejes positivos x, y e z de un sistema de coordenadas ortogonales. Su valor está dado entre 0

0 y 180

0 se los

representa en el PLANO con las letras griegas α , β, γ ; y no tienen convención para el giro de los ángulos directores. α es el ángulo director que forma el vector con el eje positivo de las x β es el ángulo director que forma el vector con el eje positivo de las y γ es el ángulo director que forma el vector con el eje positivo de las z Al graficar los ángulos directores en el primer octante tenemos:



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De donde obtenemos: LOS COSENOS DIRECTORES: Cos α = Ax ; Cos β= Ay ; Cos γ = Az A A A LOS ANGULOS DIRECTORES: α = cos

-1 ( Ax / A )

β = cos

-1 ( Ay / A )

γ = cos

-1 ( Az / A )

Además tenemos: u A = A x i + A y j + Az k A A A u A = cos α i + cos β j + cos γ k La longitud del vector unitario es:

| u A | = √cos2 α + cos2 β + cos2 γ

| u A | = 1 cos α

2 i + cos β

2 j + cos γ

2k = 1

El vector A queda representado por: A = A ( cos α i + cos β j + cos γ k ) Ejercicios para resolver con el maestro: Transformar a todas las formas conocidas 1. A = ( 10, 8, - 6 ) m 2. C = 4 m ( a i + 0,4 j + 0,6 k ) 3. D = 5 N ( cos 48

0 - cos 56

0 + cos 75

0 )

Ejercicios para realizar en el aula. Transformar a todas las formas conocidas 1. L = 27 m/s

2 ( - 0,82i - 0,37 j + 0,44 k )



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Transformar a todas las formas conocidas 1. M = ( - 34 , 28, -58 ) m 2. I = 12 m (- cos 40

0 + cos 59

0 + cos 45

0 )

OPERACIONES CON LOS VECTORES.

Las magnitudes vectoriales a pesar de estar definidas por su módulo, dirección y sentido también pueden ser relacionadas entre dos o más vectores a través de una serie de operaciones.

1. SUMA Y RESTA EN FUNCION DE LOS VECTORES BASE Para sumar dos o más vectores por el método analítico se debe transformar todos los vectores a la forma en función de los vectores base y se suma en forma algebraica las componentes vectoriales y se encuentra la resultante en cada eje del plano.

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

C = Cxi + Cyj + Czk .. ……………….. .. ………………… _________________

(A + B + C) = (Ax + Bx + Cx+ ….)i + ( Ay + By + Cy +…. )j + ( Az + Bz + Cz +…. )k Se tiene: Rx = Ax + Bx + Cx+ …. Ry = Ay + By + Cy +…. Rz = Az + Bz + Cz +…. R = ( Rxi + Ryj + Rzk) [ u ]

2. EN FUNCION DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES. Para sumar dos o más vectores se transforma todos los vectores en términos de las componentes rectangulares y se realiza la suma algebraica de las componentes rectangulares y se encuentra la resultante en cada eje del plano .

A = Ax + Ay + Az

B = Bx + By + Bz

C = Cx + Cy + Cz .. ……………… .. ……………… _________________

(A + B + C) = (Ax + Bx + Cx+ ….)

+ ( Ay + By + Cy +…. )

+ ( Az + Bz + Cz +…. ) Se tiene: Rx = Ax + Bx + Cx+ …. Ry = Ay + By + Cy +…. Rz = Az + Bz + Cz +…. R = ( Rx ; Ry , Rz ) [ u ] Ejercicios para realizar con el maestro.

1. Calcular el vector resultante de la suma de los vectores C = ( 3 , 8 ,-6) m

D = ( - 7 i – 4j + 3k )m

2. Calcular el vector resultante de la resta de los vectores G = ( 53 , 78 ,-96) m

F = ( - 73 i – 45j + 32k )m

Ejercicios para realizar en el aula. 1. Calcular el vector resultante de la suma y resta de los vectores P = ( -23 , 78 ,-86) N

Q = ( - 71 i – 49j + 32k )N



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Ejercicios para la tarea Nº 5 Calcular el vector resultante de la suma y resta de los vectores M = ( -21 ,- 79 ,-84) N

N = ( 69 i + 29j - 12k )N S = (28 N ; 120

0 ; 55

0 )

1. M + N + S 2. ( M – S ) – ( M + N )

2. MULTIPLICACION 1. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN

ESCALAR Al multiplicar un escalar ( m ) por un vector A, se obtiene como resultado otro vector cuyo módulo es m veces la longitud del vector A. La dirección y sentido del vector resultante es la misma del vector A si m > 0 La dirección y el sentido del vector resultante es opuesta a la del vector A si m < 0 Si m = 0 , la longitud del vector es igual a cero y el vector es nulo. m. A = A + A + A + … . + A m veces

El producto de un escalar m por el vector A se obtiene multiplicando m veces por la componente rectangulares del vector A así: m. A = m ( Ax i + Ay j + Az k ) m A = ( m Ax i + m Ay j + m Az k ) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DEL VECTOR POR UN ESCALAR.

1. Conmutativa: m. A = A. m

2. Asociativa.

m ( n . A ) = ( m . n ) A

3. Distributiva escalar

( m + n ) A = m. A + n. A

4. Distributiva vectorial

m ( A + B ) = m. A + m . B

Ejercicios para realizar con el maestro. Sean los vectores : P = ( 7 i – 6 j + 4 k ) m/s Q = ( - 4 i – 8 j – 9 k ) m/s

1. S = 8 . P

2. J = - ½ Q

Ejercicios para realizar en el aula:

1. 4 P + Q



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2. 2/5 ( P – Q )

3. 6 P – 2/3 Q

Ejercicios para la tarea N° 6 Dados los vectores, realizar las operaciones indicadas: A = ( 24 m/s

2 ; 348

0 ; - 35

0 )

B = ( 20 i + 12 j + 18 k) m/s

2

C = 16 m/s

2 ( 0,28 i – 0,53 j + 0,8 k )

1. 2 A + 8 C

2. -1/2 B – C

3. 3 ( A + B + C )

4. 6 ( 2 A – 4 B ) 2. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO

PUNTO ENTRE DOS VECTORES

Al multiplicar dos vectores a través del producto escalar o punto, el resultado es un ESCALAR cuyo módulo es igual al producto de los dos módulos de los vectores dados y por el coseno del ángulo comprendido entre los dos vectores. A Ω B A . B = A . B . cos Ω PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.

1. Conmutativa: A . B = B . A

2. Distributiva:

A ( B + C ) = A. B + A . C

3. Asociativa respecto a un escalar m ( A. B ) = A ( m B ) = ( m . A ) B



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RELACION ENTRE LOS VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES.

Cuando se multiplican dos vectores unitarios semejantes es igual a uno y si son unitarios diferentes su producto es igual a cero.

i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . i = k . j = k . i = 0 De esta manera entonces se puede deducir que el producto escalar de dos vectores en función de sus vectores base es: A . B = ( Ax i + Ay j + Az k) . ( Bx i + By j + Bz k ) A . B = ( AxBx i.i + AxBy i.j + Ax.Bz i.k + Ay.Bx j.i + Ay.By j.j + AyBz j.k + AzBx k.i + AzBy k.j + Az.Bz k.k ) A . B = ( AxBx 1 + AxBy 0 + Ax.Bz 0 + Ay.Bx 0 + Ay.By 1 + AyBz 0 + AzBx 0 + AzBy 0 + Az.Bz 1 ) A . B = ( AxBx + Ay.By + Az.Bz ) [ u

2 ]

APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR O PUNTO DE DOS VECTORES.

1. DETERMINACION DEL ANGULO

FORMADO ENTRE DOS VECTORES. Se sabe que :

A . B = A . B . cos Ω

Entonces el ángulo que se forma entre los dos vectores es igual a:

Ω = cos

– 1 ( A. B / A. B )

2. PROYECCION DE UN VECTOR EN LA

DIRECCION DE OTRO VECTOR.

Si los vectores A y B que forman entre si el ángulo Ω, la proyección vector A en la dirección del vector B esta dado por : A Ω

AB B

Cos Ω = AB

A AB = A . cos Ω Si un vector esta dado por : AB = AB . uB Entonces: AB = A . cos Ω . uB

BA = B . cos θ. uA

Ejercicios para realizar con el maestro.

1. Sean los vectores H = ( 16 i + 12 j – 5k ) km y el vector J = ( 28 km ; 60

0 ; 50

0 ).

Encontrar: a) El producto punto H . J b) El ángulo formado entre H y J c) La proyección de H sobre J

d) La proyección de J sobre H


1. Dado los vectores

F = ( 80; - 40 ; 50 ) m G = ( - 55 i + 36 j + 23 k) m. Calcular: a) El producto entre F y G

b) El ángulo formado entre F y G



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c) La proyección de F sobre G

d) La proyección de G sobre F

Ejercicios para la tarea N° 7

1. Sean los vectores : U = ( 42 m; 30

0 ; - 25

0)

V = ( - 10 i – 36 j - 25k ) m ; W = 50m ( - 0,39 + 0,45 + 0,81 ) ; Hallar: a) 3 U – V + W b) U.V + W c) La proyección de U sobre V d) El ángulo formado entre U y V

2. Dado los vectores A = ( 6 km ; 72 0 ; 34

0 )

B = ( - 8 ; - 2 ; 6 ) km C =( 46 km; S50

0E ; elevación 26

0 )

Determinar: a) B – A + 2 C b) B.C c) La proyección de C sobre B d) El ángulo formado entre B y C

3. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS VECTORES. Al realizar el producto vectorial o cruz entre dos vectores da como resultado otro vector cuyo módulo es igual al producto del módulo del un vector con el módulo del otro vector y por seno del ángulo comprendido entre ellos. La dirección del vector resultante es perpendicular al plano formado por los dos vectores que se multiplican y el sentido se determina por la regla de la mano derecha, para lo cual se debe orientar los cuatro dedos de la mano derecha en la dirección en la que rota el primer vector del producto respecto al segundo vector, y el dedo pulgar se orienta en la dirección del vector resultante. El signo ( x ) se debe colocar entre los dos vectores en el producto vectorial.



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A x B = C C

B Ω A El vector esta dodo por: El módulo de C es : C = A.B sen Ω La dirección de C es perpendicular al plano de A y B El sentido de C esta dado por la regla de la mano derecha: Se hace girar el primer vector hacia el segundo, con los dedos de la mano derecha que señala el sentido de rotación, el pulgar marca el sentido del vector C

Además se sabe que el sen 180

0 = 0 y

el sen 900 = 1

Si aumentamos un eje z a los ejes x , y y consideramos k como el vector unitario en dicho eje se tiene que el producto de los vectores unitarios rectangulares está dado por:

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k , j x k = i , k x i = j j x i = ( - k ) ; k x j = - i ; i x k = - j

El desarrollo del producto vectorial se puede realizar formando un determinante utilizando el método de menores o la regla de Cramer: Se aumenta dos filas o dos columnas y se procede a multiplicar los elementos de las diagonales de izquierda a derecha (que son

positivos) y las diagonales de derecha a izquierda (que son negativas)

A x B =

𝑖 𝑗 𝑘𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

A x B = ( Ay.Bz – By.Az) i – ( Ax.Bz –Bx.Az) j ( Ax . By - Bx.Ay ) k Las propiedades del producto vectorial son:

1. No es conmutativa: A x B = B x A

2. Es distributiva respecto a la suma de

vectores:

A x ( B + C ) = A x B + A x C

3. El producto de un vector por si mismo es cero:

A x A = 0

4. El producto vectorial de dos vectores

paralelos es cero.

APLICACION DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.

CALCULO DEL AREA DE UN PARALELOGRAMO:

B h

Ω A Sen Ω = h/B ; h = B . sen Ω Area = base x altura Area = A. h Area = A . B . sen Ω



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El área también está dado por : Area = A x B Ejercicios para realizar con el maestro.

1. Con los vectores dados :

B = ( - 70 ; 89 ; - 57 ) m/s C = ( 100 i + 200 j – 150 k ) m/s . Determinar: a) El producto B x C = C x B

b) El área de la figura geométrica formada por

los dos vectores.

c) El ángulo formado entre los dos vectores.

Ejercicios para realizar en el aula:

1. Dados los vectores:

P = ( 8 i – 12 j – 6 k ) N Q = ( 20 N ; 75

0 ; 25

0 ) Calcular:

a) El producto cruz P x Q b) El área del paralelogramo formado

PxQ

Ejercicios para la tarea N° 8

1. Un vehículo realiza los siguientes cambios en sus vectores velocidad:

v1 = (10 m/s; 160

0 ; - 55

0 )

v2 = (-3 i – 12 j + 36k ) m/s Encontrar: a) 2v1 + 4v2

b) 6v1 – v2

c) El producto punto v1. v2

d) El ángulo entre v1 y v2

e) La proyección de v1 sobre v2

f) El producto cruz v1 x v2

g) El área del paralelogramo formado por

v1 y v2 2. Un joven estudiante de física realiza la siguiente fuerza F = (-16; - 8 ; - 9 )N sobre una caja de madera que se desplaza d = ( - 4i + 6 j + 2 k ) m . Calcular:

1. El trabajo realizado por el estudiante si esta dado por el producto punto F . d 2. El ángulo entre los dos vectores. 3. El producto cruz entre los vectores



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PROBLEMAS CON APLICACIONES DE VECTORES.

1. En el paralelepípedo ABCDEFG determinar: a) PQ y ST en función de sus componentes rectangulares. b) El ángulo formado entre PQ y SE

2. En la figura determinar: AB = AE = CD = OC = OD = BE = 80 u CB = DE = OA = 60 u a) El ángulo formado entre AC y EC b) El vector proyección de OC sobre CD



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Ejercicios para la tarea N° 9 1. A partir del gráfico determinar: a) El Vector R = 2 NP + 3IB – 4 CF b) El vector proyección de MI sobre AD c) El ángulo entre NJ y GA d) El punto medio de AD

APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA

1. El mundo real es tridimensional (sin entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar matemáticamente la realidad. La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas

De esta forma mediante vectores podemos explicar cosas como:

1º Cinemática

Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores. 2º Dinámica.

Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación ( una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán. 3º CAMPOS.

Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la acción de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas ( carácter vectorial) 3º Electricidad.

Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con factores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.

Resumiendo, el mundo real es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores. Pongamos un último ejemplo que demostrará la necesidad de recurrir a vectores de dos o tres componentes, aunque este caso sólo es una aproximación de la realidad. Supone que quieres encontrarte con una persona. Necesitarás saber dónde está, pero si solo sabes que se encuentra a 1 km de ti, no podrás encontrarla con esa única información. Necesitarás saber en que dirección has de empezar a andar, y en que sentido, es decir, un vector de dos dimensiones. En este caso hemos considerado que la Tierra es plana y sólo nos movemos por su superficie. Pero si al llegar exactamente al punto que te han indicado, y te encuentras un edificio con 10 plantas, aún te falta saber una tercera coordenada más, y eso te llevaría a un vector de tres dimensiones. Con el vector completo ya tienes ubicada a la persona exactamente.



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2. EL VELOCIMETRO: La rapidez de un auto se mide conectando a una rueda un pequeño generador eléctrico, que produce una corriente eléctrica proporcional al número de vueltas por segundo de la rueda del auto, se debe considerar el radio más extremo de la llanta, proporcional a la rapidez instantánea del auto. El medidor de corriente graduado en km/h, se denomina velocímetro.

1. ALGUNAS RAPIDECES CONSTANTES. Las rapideces de uso frecuente son: a) La rapidez de la luz en el vacio es de

alrededor de 300 000 km/s. b) La rapidez del sonido en el aire a 0

0 C

es de 330 m/s.

c) Los aviones supersónicos vuelan a mach 1,5 , mach 2 o a más. Un mach es la rapidez del sonido en el aire a 20

0 C y es de 340 m/s o 1 224

km/h.

d) Los barcos en la navegación tienen su propia medida para la rapidez y es el nudo que es igual a una milla marina (1852m) por hora.

2. ESTUDIO DE CARDIOGRAMAS.

La actividad rítmica de ciertos órganos, como el corazón, está acompañada de la producción de una fuerza electromotriz (electricidad) paralela a su actividad biológica.

Estos pulsos eléctricos son proporcionales a los desplazamientos del corazón.

Los médicos utilizan la información relacionada con los pulsos (cardiograma), ya que se puede saber qué región del corazón está en movimiento y con qué rapidez (pendiente).

3. MEDIR LA DISTANCIA TIERRA – LUNA Desde la Tierra se puede mandar un pulso de luz ( con un láser ) hacia la Luna, que se refleja y regresa de nuevo a la Tierra. El tiempo total de ida y regreso de la luz es de 2,56 segundos, ya que la rapidez de la luz es constante y se mueve con M.R.U. se ha determinado que la distancia entre la Tierra y la Luna es 384 000 km. Utilizando este procedimiento desde la Tierra se ha medido la altura de las montañas y la profundidad de los valles de la Luna.

5. SISTEMAS DE REFERENCIA Cuando observamos a un tren en movimiento podemos ver que los pasajeros dentro de este se mueven, pero los que estan dentro del tren al observarse entre ellos miran que no se mueven. Un astronauta pude ver que todos los que estamos en la superficie de la Tierra nos movemos, mientras nosotros al mirarnos podemos decir que estamos en reposo, es decir podemos afirmar que el movimiento es relativo a un punto de referencia llamado marco de referencia.

Cuando un pasajero de un avión mira por la ventana, en pleno vuelo, y no puede apreciar nada por la enorme cantidad de nubes, este perderá su marco de referencia, puesto que no puede ver,

sentir, ni medir el movimiento. Pero cuando ve algún punto de la Tierra, alguna montaña, un arrecife o cualquier objeto fuera del avión, esto servirá como un punto, eje o sistema de referencia. Es decir el sistema de referencia es una entidad física, como un campo, una habitación o un vehículo en movimiento, a los cuales nos referimos la posición y el movimiento de un objeto .

Un corredor se mueve en el sistema de referencia de la Tierra, mientras un pasajero camina en el sistema de referencia de un vagón de tren en movimiento.

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