Conjunto - Noções Fundamentais

AARRIITTMMÉÉTTIICCAA FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL

CCuurrssoo AA110011

CCoonnjjuunnttoo –– NNooççõõeess FFuunnddaammeennttaaiiss

EEnngg.. JJoorrggee ddaa CCoossttaa FFeerrrreeiirraa

O Seu Professor Particular na Internet

Livro Digital

Aritmética FundamentalCurso A101. Conjunto – Noções Fundamentais

2

Eng. Jorge da Costa Ferreira www.centrodesaber.com.br

Livro Digital

Este Livro Digital foi produzido pelo CCeennttrroo ddee SSAABBEERR para oo WWeebbPPrrooffeessssoorr, a partir de material didático fornecido pelo autor, identificado no rodapé de cada página.

O CCeennttrroo ddee SSAABBEERR,

SSuporte à AAprendizagem BBaseado em EEducação RRemota

é uma central de serviços educacionais que estrutura soluções de educação a distância para orga-nizações públicas e privadas, empresas, instituições de ensino , associações e organismos do ter-ceiro setor.

Para isso, disponibiliza a seus clientes uma Ambiência Virtual de Ensino e Aprendiza-gem (AVEA) acessível pelos alunos, professores e demais usuários a partir do próprio site da or-ganização.

Para conhecer melhor o CCeennttrroo ddee SSAABBEERR, sua metodologia pedagógica, ambiência educacional e seus serviços e produtos, acesse

wwwwww..cceennttrrooddeessaabbeerr..ccoomm..bbrr

O WWeebbPPrrooffeessssoorr,

oo SSeeuu PPrrooffeessssoorr PPaarrttiiccuullaarr nnaa IInntteerrnneett

é um serviço de ensino de Matemática por meio de cursos online de curta duração via Internet, utilizando a metodologia pedagógica e a Ambiência Virtual de Ensino e Aprendizagem (AVEA) do CCeennttrroo ddee SSAABBEERR.

Seus pontos fortes são, além deste Livro Digital, que apresenta todo conteúdo das au-las em textos ricamente ilustrados, a programação bem estruturada dos tópicos a estudar, permi-tindo o retorno às aulas por conceito selecionado pelo aluno, a interatividade do aluno com os as-suntos abordados nas aulas, incluindo a exploração de situações envolvendo esses assuntos, as questões propostas, com correção comentada, o espaço de Anotações Pessoais do aluno e a tuto-ria provida por professores de Matemática.

Para saber mais, visite

wwwwww..wweebbpprrooffeessssoorr..ccoomm..bbrr

OO SSeeuu PPrrooffeessssoorr PPaarrttiiccuullaarr nnaa IInntteerrnneett


Aritmética Fundamental

Curso A101. Conjunto – Noções Fundamentais

3

www.webprofessor.com.br Eng. Jorge da Costa Ferreira


Sumário

01. Conjunto 6

01.01. Conjunto e Elemento do Conjunto 7

01.02. Representação do Conjunto 8

01.03. Descrição do Conjunto 9

01.04. Descrição de Conjunto Enumerando os Elementos 10

01.05. Descrição de Conjunto Mencionando Uma Propriedade 13

01.06. Ordem de Apresentação dos Elementos do Conjunto 15

01.07. Quando é Impossível Enumerar Todos os Elementos 16

02. Explorando Conjunto 17

02.01. Conjunto Finito e Conjunto Infinito 18

02.02. Conjunto Unitário 19

02.03. Generalização de Conceitos em Matemática 20

02.04. Conjunto Vazio 22

03. Conjunto e Pertinência 26

03.01. Pertinência 27

03.02. Conjuntos Iguais ou Idênticos 30

03.03. Conjuntos Equipotentes 32

04. Subconjunto 33

04.01. Subconjunto - Noção de Inclusão 34


4


04.02. O Conjunto Contém o Subconjunto Nele Contido 36

04.03. Não Contém. Não Está Contido 38

04.04. Generalizações da Noção de Subconjunto 40

04.05. Conjunto das Partes de Um Conjunto 41

04.06. Conjunto Universo 42

04.07. Dicionário de Símbolos Matemáticos 44




5



Estamos, hoje, num estágio de desenvolvimento tal que não constitui mais novidade todo o progresso tecnológico que testemunhamos a cada dia. À noite, em casa, com o simples movimento de um dedo, Você acende as luzes, sem nem sequer meditar sobre a quantidade de séculos que separa esse gesto tão simples das dificuldades pelas quais passaram os primeiros habitantes da Terra.

Mas pare! Pense um pouco! Não deve ter sido fácil a luta do homem durante esses anos, procurando descobrir os segredos da Natureza em busca de uma vida melhor, tendo pela frente, a cada momento, um novo problema a resolver, de cuja solução dependia, às vezes, sua própria vida. Com muita sabedoria, nossos antepassados buscavam em cada solução que encon-travam uma nova arma na sua luta pela sobrevivência; cada segredo desvendado era um instru-mento novo para a solução de problemas futuros, cada conhecimento adquirido era um achado importante na sua busca do progresso.

E foi justamente na Matemática que ele encontrou seu mais fiel servidor, sua mais útil ferramenta, seu mais poderoso aliado. Graças a ela, a ciência pôde avançar cada vez mais, e, por isso mesmo, ainda hoje, a Matemática tem sido a base do progresso da humanidade.

Então, se isso é verdade, por que tantas pessoas têm verdadeiro pavor desta ciência? Simplesmente porque, por dificuldade de compreensão, consideram a Matemática como um amontoado de números e conceitos abstratos que têm pouca ou nenhuma utilidade no mundo real. Pois elas não podiam estar mais erradas ...

Neste curso, vamos começar a percorrer o mundo da Matemática por um caminho leve e divertido para que Você compreenda que só temos medo daquilo que não entendemos.

Ao final do seu estudo, Você terá obtido uma base conceitual importante sobre con-junto, que será fundamental para entender os diversos fenômenos da Matemática.


6


01. Conjunto

Este módulo trata de um ente matemático com o qual Você convive no seu dia-a-dia e, mesmo assim, provavelmente nunca parou para pensar sobre o assunto. Estamos falando da ideia de conjunto.

Ele aborda do conceito de conjunto e d elemento do conjunto, da sua representação em linguagem matemática e das formas como podemos fazer a descrição de um conjunto e, ain-da, ordem de apresentação dos elementos de um conjunto.

Fala, ainda, de um aspecto importante em Matemática: a diferença entre um conjun-to com uma quantidade muito grande de elementos e um conjunto com uma quantidade de ele-mentos incapaz de ser determinada.




7


01.01. Conjunto e Elemento do Conjunto

Você, mesmo sem perceber, conhece uma infinidade de conjuntos: a mobília de sua casa, por exemplo, é um conjunto de móveis, um time de futebol é um conjunto de jogadores de futebol, uma biblioteca é um conjunto de livros, e por aí vai.

Vamos imaginar uma tribo pré-histórica:

Ela é formada pelos seguintes elementos:

• o chefe da tribo • os membros da família do chefe • os conselheiros, do Conselho dos Anciãos • os guerreiros • os indivíduos do povo, em geral • os escravos

Veja! A tribo nada mais é do que um conjunto – conjunto de pessoas. O chefe da tribo é um elemento deste conjunto; cada membro da família do chefe, cada conselheiro, cada guerreiro, cada indivíduo do povo, cada escravo é, também, um elemento do conjunto tribo. Cada um desses elementos pertence ao conjunto.

Igualmente, se uma biblioteca é um conjunto de livros, cada livro da biblioteca é um elemento do conjunto biblioteca, e cada um deles pertence a esse conjunto.


8


01.02. Representação do Conjunto

Já familiarizado com a ideia de conjunto, Você, talvez, esteja se perguntando: será que não existe uma maneira mais fácil de se representar os conjuntos sem ter que desenhar cada um dos seus elementos? Felizmente, a resposta é sim.

Vejamos, então, como se representa um conjunto em linguagem matemática.

Representação do Conjunto

Em linguagem matemática, a forma convencionada para designar os conjuntos é u-sar as letras maiúsculas do alfabeto.

Assim, falamos em conjunto A, conjunto B, conjunto M etc.

Nada impede, no entanto, que se usem outros símbolos, desde que isso não traga confusão ao tratamento do conjunto assim nomeado.

Se estamos tratando de uma tribo pré-histórica, podemos representar esse conjunto de pessoas, por exemplo, pela letra T. Simples, não?

Representação dos Elementos do Conjunto

Da mesma forma que representamos o conjunto como um todo por um símbolo (uma letra maiúscula do alfabeto), pode ser prático representar os elementos de um conjunto também por símbolos. Neste caso, procuraremos usar as letras minúsculas do alfabeto.

Vamos voltar ao exemplo da tribo pré-histórica, o conjunto que chamamos de T. Se quisermos nomear os elementos desse conjunto T, podemos batizá-los, segundo a nossa vonta-de, com as seguintes letras minúsculas:

x – chefe da tribo f – qualquer membro da família do chefe c – qualquer conselheiro g – qualquer guerreiro p – qualquer indivíduo do povo e – qualquer escravo

Assim sendo, podemos dizer, simplificadamente, que o conjunto T é formado pelos elementos x, f, c, g, p e e.




9


01.03. Descrição do Conjunto

Vejamos, agora, como descrever um conjunto em linguagem matemática, de uma maneira que fique bem claro sobre qual conjunto estamos falando.

Descrever um conjunto nada mais é do que apresentar os seus elementos. Podemos apresentá-los de duas formas diferentes:

enumerando (citando) um a um todos os seus elementos.

mencionando uma propriedade que todos os elementos do conjunto têm e que qualquer elemento que não seja do conjunto não tem.

Às vezes, é mais conveniente usar um modo, às vezes, o outro.


10


01.04. Descrição de Conjunto Enumerando os Elementos

Sabemos que podemos representar um conjunto enumerando um a um todos os seus os elementos. Isso pode ser feito de duas maneiras:

citar um a um todos os elementos dentro de duas chaves.

citar um a um todos os elementos dentro de um diagrama.

Para entender melhor cada uma dessas maneiras, vamos usar, como exemplo, o con-junto das vogais do nosso alfabeto, conjunto este que chamaremos de V.

Usando Duas Chaves

Apresentando o conjunto V das vogais por meio da enumeração de seus elementos, teremos a seguinte representação:

Identificamos, assim, o conjunto, enumerando, entre duas chaves { }, os seus ele-mentos formadores. E, como Você percebe, para que se saiba sobre qual conjunto estamos fa-lando, usamos uma letra maiúscula do alfabeto para representá-lo – neste caso, estamos usando a letra V.

Vimos, então, neste exemplo, que chamamos de V o conjunto das vogais e enume-ramos os seus elementos entre duas chaves e, mais, para mostrar que V é o conjunto formado pelos elementos descritos dentro das chaves, usamos o sinal de igualdade

= sinal este que já conhecemos há algum tempo. Temos, então, que uma das maneiras de represen-tar o conjunto das vogais do nosso alfabeto é usar a seguinte sentença matemática:

V = { a, e, i, o, u }




11


A esta altura da nossa conversa, Você deve estar pensando que, sendo assim, cada pessoa pode batizar um conjunto com o símbolo que quiser e descrever seus elementos entre as chaves da maneira que julgar melhor.

Mas é isso mesmo. Viu como é simples?

O Cuidado com os Símbolos

O cuidado que devemos ter é o de escolher símbolos que tenham alguma ligação com o conjunto que estamos querendo representar. Veja que usamos V para o conjunto das vo-gais e T para o conjunto da tribo pré-histórica, que são as letras iniciais dos conjuntos que repre-sentam.

Tomemos outro exemplo. Se quisermos enumerar os elementos do conjunto tribo pré-histórica, que chamamos de T, podemos, batizar, à nossa vontade, os elementos com letras minúsculas. Assim, se fizermos a seguinte correspondência:

x – chefe da tribo f – qualquer membro da família do chefe c – qualquer conselheiro g – qualquer guerreiro p – qualquer indivíduo do povo e – qualquer escravo

podemos representar esse conjunto da seguinte forma

T = { x, f, c, g, p, e }

e Você entende perfeitamente o que queremos dizer, porque já sabe expressar matematicamente um conjunto.

É importante Você observar que a letra que escolhemos para representar cada ele-mento é a inicial da sua definição, com exceção do chefe da tribo, que começa por c e foi repre-sentado por x. Isso porque preferimos deixar a letra c para o conselheiro, representando o chefe da tribo por x, em referência ao som que suas iniciais ch produzem. Esta solução o foi usada


12


pelo fato de que estes dois elementos têm a mesma letra inicial, e serve para entendermos dois aspectos importantes:

• podemos representar os conjuntos e seus elementos por quaisquer símbolos, desde que o mesmo símbolo não seja usado para conjuntos ou elementos dife-rentes;

• devemos usar símbolos que tenham alguma referência com o conjunto ou ele-mento que ele representa, para facilitar a sua identificação.

Usando Diagrama

A enumeração dos elementos de um conjunto representado pelo uso de um diagrama é bem simples. Veja só: podemos representar graficamente o conjunto V das vogais da seguinte forma:

O que se faz é apresentar os elementos do conjunto de modo claro, circundando-os por uma linha fechada. A linha pode ter qualquer forma.




13


01.05. Descrição de Conjunto Mencionando Uma Propriedade

Vejamos, agora, uma outra forma de apresentar os elementos de um conjunto.

Para definir, por exemplo, o conjunto das pessoas que moram na cidade de São Pau-lo, conjunto este que chamaremos de P, podemos usar a seguinte representação:

P = { habitantes da cidade de São Paulo }

O que fizemos foi mencionar uma propriedade comum a todos os elementos de P e só a eles, que é a de ser habitante da cidade de São Paulo, e, portanto, P será definido como o conjunto dos habitantes da cidade de São Paulo.

Logo, logo, Você vai perceber que o modo de se definir um conjunto mencionando uma propriedade é mais importante do que a definição por enumeração dos elementos; isso por-que, se conhecemos um a um todos os elementos de um conjunto, é sempre possível mencionar-se uma propriedade comum a eles e só a eles.

Assim, por exemplo, uma propriedade comum aos elementos do conjunto F definido a seguir

F = { maçã, cereja, jaca }

é a de ser uma das frutas maçã, cereja ou jaca, e F será definido como o conjunto das frutas maçã, cereja e jaca.

Já o caso inverso nem sempre é possível. Você pode identificar plenamente um con-junto pelo conhecimento de uma propriedade comum a todos os seus elementos e só a eles, mas nem sempre é capaz de enumerá-los um a um. Tente fazer isso, por exemplo, com o conjunto dos habitantes da cidade de São Paulo.

Se quisermos descrever um conjunto mencionando uma propriedade comum a todos os seus elementos e só a eles, podemos fazer uso da linguagem matemática, utilizando o se-guinte símbolo:

I

Trata-se de uma barra vertical, cuja tradução é tal que. Tomando-se como exemplo o conjunto P, dos habitantes da cidade de São Paulo, formaremos a seguinte sentença matemáti-ca:

P = { x I x é habitante da cidade de São Paulo }

Lê-se: P é conjunto dos elementos x tal que x é habitante da cidade de São Paulo.


14


Assim sendo, neste exemplo, estamos chamando de x a todos os elementos do con-junto P, ou seja, x representa cada um dos habitantes da cidade de São Paulo.

Do mesmo modo, voltando a exemplos anteriores, podemos escrever que

F = { f I f é ou maçã ou cereja ou jaca }

V = { v I v é vogal do alfabeto português }

Vemos, então, que essa maneira de descrever um conjunto C qualquer consiste em identificar uma propriedade P que seja verdadeira para cada um dos elementos do conjunto. Representando qualquer elemento deste conjunto por uma letra minúscula, como, por exemplo, a letra a, para dizer que C é o conjunto formado pelos elementos tais que satisfazem à proprie-dade P, podemos escrever que

C = { a I a satisfaz a P }

o que significa dizer que C é o conjunto formado pelos elementos a que satisfazem à proprieda-de P.

Percebeu? Então, vamos em frente.




15


01.06. Ordem de Apresentação dos Elementos do Conjunto

Existe uma coisa importante que Você precisa saber. Quando apresentamos um con-junto enumerando os seus elementos entre as chaves, Você deve ter percebido que eles são apre-sentados numa certa ordem, um depois do outro (Claro! É impossível enunciá-los todos de uma só vez). Mas é importante Você saber que não há uma ordem obrigatória de apresentação dos elementos de um conjunto, e, o que é óbvio, cada elemento só precisa ser apresentado uma vez.

Assim, podemos apresentar o conjunto das vogais (V) de qualquer das formas se-guintes:

V = { u, o, i, e, a } V = { e, a, i, u, o } V = { a, e, i, o, u }

De fato,

AA OORRDDEEMM DDEE AAPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS NNÃÃOO AALLTTEERRAA AA DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO DDOO CCOONNJJUUNNTTOO

Do mesmo modo, se convencionarmos, agora, que

m = maçã c = cereja j = jaca

podemos escrever que

F = { m, c, j } ou que

F = { c, m, j } ou que

F = { j, c, m } etc.


16


01.07. Quando é Impossível Enumerar Todos os Elementos

Os números que Você usa para efetuar uma contagem são o zero, o um, o dois, o três, etc. Logo adiante, vamos conversar sobre eles, e Você vai aprender que eles formam o conjunto dos números cardinais.

Se alguém lhe perguntasse: “quantos números cardinais existem?” – o que é que Você responderia?

Pense no seguinte: qual é o maior número que Você conhece? Um milhão, um bi-lhão, 100 trilhões?

A questão é: por maior que seja o número que Você imagine, sempre poderemos a-dicionar mais uma unidade a ele, obtendo, assim, um número maior. Assim sendo, se não pode-mos dizer qual é o maior número cardinal que existe, como poderemos contá-los? Não pode-mos!

Dizemos, por isso, que o conjunto dos números cardinais é um conjunto infinito.

Não cabe aqui ampliarmos a nossa conversa sobre conjuntos para esclarecer-lhe de um modo matemático a noção de infinito, mas, intuitivamente, Você pode perceber o que é um conjunto infinito – é impossível enumerar um a um todos os seus elementos. É um pouco dife-rente dos conjuntos com grande quantidade de elementos (o dos habitantes da Terra, por exem-plo). Por quê? Porque, embora seja muito difícil, não é impossível escrever um a um os nomes de todos os habitantes da Terra.

A quantidade de elementos desse conjunto é expressa por um número cardinal muito grande, mas, como Você já sabe, sempre existirá um número maior do que um número muito grande.

Em oposição dizemos que um conjunto que não é infinito, ou seja, um conjunto cu-jos elementos podem ser enumerados, é um conjunto finito.




17


02. Explorando Conjunto

Este módulo aprofunda o estudo de conjunto, explorando aspectos interessantes re-lacionados com este conceito.

Assim, ele aborda as noções de conjunto finito, conjunto infinito, conjunto unitário e conjunto vazio.


18


02.01. Conjunto Finito e Conjunto Infinito

Temos como exemplos de conjuntos finitos o das letras do alfabeto, o das marcas de automóveis produzidos nos Estados Unidos, o das mulheres louras residentes no Paquistão, o das letras impressas neste livro.

São exemplos de conjuntos infinitos o dos números pares, o dos números ímpares, o dos números cardinais maiores do que 371.527.

Sendo assim, Você deve estar imaginando que a maneira mais cômoda de descrever um conjunto infinito é a de citar uma propriedade comum a todos os seus elementos e só a eles.

Pois é isso mesmo. Se estiver pensando assim, Você está certo. Para descrever, por exemplo, o conjunto dos números pares, teríamos a seguinte sentença:

P = { p I p é um número par }

Você pode, ainda, apresentar um conjunto infinito pela enumeração de elementos entre as chaves. Ué, mas como é possível utilizar esta forma de descrição em um conjunto onde é impossível a enumeração dos seus elementos?

Simples. Basta enumerarmos alguns dos seus elementos, de modo que fique bem claro sobre qual conjunto estamos falando, e colocarmos reticências após o último elemento apresentado, indicando, assim, que existem mais elementos, ou seja, que o conjunto continua indefinidamente.

Utilizando o exemplo dos números pares, poderemos ter a seguinte representação:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

É importante que Você saiba que as reticências também podem ser usadas na descri-ção de conjuntos finitos.

Por exemplo, se considerarmos que C é o conjunto dos números cardinais maiores do que 0 (zero) e menores do que 100 (cem) e quisermos enumerá-los entre chaves, teríamos que escrever 999 numerais entre as chaves, um por um, o que seria pouco prático. Para facilitar, podemos utilizar a seguinte simbologia:

C = { 1, 2, 3, ..., 997, 998, 999 }

onde fica claro que o conjunto é finito, porque tem começo e fim, e as reticências representam os outros números que sabemos que existem mas não precisam ser enumerados.

Neste exemplo, Você percebe que, com as reticências, estamos indicando que os números cardinais maiores do que 3 e menores do que 997 são, também, elementos do conjunto C.




19


02.02. Conjunto Unitário

Na linguagem comum, conjunto é uma palavra que nos traz a ideia de vários objetos reunidos. Na matemática, a noção de conjunto tem uma característica mais própria. Podemos falar, por exemplo, em conjunto formado por um só elemento. Pode soar estranho – conjunto de um só elemento – mas é o que vamos ver aqui.

Pode acontecer que, fixada uma propriedade, e definido por ela um conjunto (o dos elementos que devam satisfazer à propriedade), só exista um elemento que satisfaça a ela. Tal conjunto teria, portanto, apenas um elemento. Chamamos um conjunto que possui somente um elemento de conjunto unitário.

Assim, por exemplo, a propriedade ser satélite natural da Terra define um conjunto unitário, cujo elemento é a Lua. Representando o conjunto dos satélites naturais da Terra por S, podemos escrever

S = { Lua } Você deve estar se perguntando: como podem existir conjuntos com apenas um ele-

mento, já que a ideia intuitiva de conjunto está ligada a vários elementos? Ocorre que a necessi-dade de ampliar o campo de aplicação do estudo dos conjuntos levou os matemáticos a generali-zar o conceito de conjunto, definindo o conjunto unitário – aquele formado por um só elemen-to.


20


02.03. Generalização de Conceitos em Matemática

Este é um aspecto importante da Matemática.

A necessidade de ampliar o campo de ampliação de um conceito é que levou os ma-temáticos à ideia de generalização de conceito.

Vejamos um exemplo de generalização de conceito no mundo dos conjuntos. Para isso, imaginemos os conjuntos A e B seguintes:

A = { algarismos dos números 123 }

B = { algarismos dos números 321 }

Ora, Você percebe que

A = { 1, 2, 3 }

B = { 1, 2, 3 }

E agora? Você acha que se trata do mesmo conjunto? Ou seja, Você acha que o que vemos aqui é um ou dois conjuntos?

Veja bem: a propriedade ser algarismo do número 123 define o conjunto A, e a pro-priedade ser algarismo do número 321 define o conjunto B. Portanto, duas propriedades, dois conjuntos.

Mas os elementos são os mesmos! E então?

Aqui entra a ideia de generalização de conceito, usando a noção de conjuntos i-guais. Ou seja, no nosso exemplo, dizemos que A e B são conjunto iguais.

Mas Você dirá: Ora, ora! Se dois conjuntos têm os mesmos elementos, eles são o mesmo conjunto; para que dizer que são dois conjuntos iguais?

Bem, de fato Você não deixa de ter razão. Mas na Matemática – e é bom que Você vá se acostumando com isso – são feitas, às vezes, certas generalizações ou extensões de con-ceito, para que o campo de aplicação de uma determinada teoria fique mais amplo, e Você possa aplicá-la mais livremente, sem o receio de exceções.

Isso produz, às vezes, certos entes matemáticos completamente desvinculados das nossas experiências do dia-a-dia, e que, por isso mesmo, não são facilmente aceitos. Alguns deles, o homem levou séculos para admiti-los!

Vejamos outro exemplo: se Você fixar a propriedade ter o mesmo nome e procurar entre as pessoas vivas aquelas que têm essa propriedade em comum com Você (aquelas que têm




21


o mesmo nome que Você) para formar um conjunto, concluirá, sem dúvida, que Você é elemen-to desse conjunto, e que, portanto, pode-se dizer

Você tem o mesmo nome que Você

Trata-se de uma conclusão matematicamente correta, embora não soe bem aos nos-sos ouvidos.


22


02.04. Conjunto Vazio

Você já está percebendo que definir um conjunto mencionando uma propriedade co-mum a todos os seus elementos e só a eles (quem for elemento do conjunto tem a propriedade, quem não for não tem) é mais fundamental do que o definir enumerando um a um os seus ele-mentos.

Uma Propriedade Define Um Conjunto. Sempre!

Assim, a cada propriedade o homem procura associar um conjunto, independente-mente de saber ou não enumerar os seus elementos.

Mas isto estaria certo?

E quando acontecesse de uma propriedade não ser satisfeita por nenhum elemento existente? Será possível termos um conjunto sem elementos?

Esta questão atormentou os matemáticos por um longo tempo, já que era difícil con-cretizar um conjunto sem nenhum elemento.

Os matemáticos, então, decidiram:

UUMMAA PPRROOPPRRIIEEDDAADDEE DDEEFFIINNEE SSEEMMPPRREE UUMM CCOONNJJUUNNTTOO

qual seja, o dos elementos que têm aquela propriedade.

Assim, uma dada propriedade, por mais absurda que seja, define um conjunto; se não houver nenhum elemento que satisfaça tal propriedade, teremos, então, um conjunto sem ele-mentos, que nem por isso deixará de ser um conjunto. Chamamos um conjunto que não possui nenhum elemento de conjunto vazio – é conjunto, já que foi definido por uma propriedade, e é vazio porque não tem nenhum elemento (não existe nenhum elemento que satisfaça a proprieda-de).

Você, provavelmente, está relutante em aceitar esta ideia e deve estar pensando: “a-final, se um conjunto não tem nenhum elemento, ele não existe.”

De fato, o conjunto vazio não é uma coisa palpável como um conjunto de laranjas ou de elefantes...- é um conceito matemático, uma extensão da ideia natural de conjunto, que foi criado para que se possa sempre, sem pensar em exceções, associar a uma dada propriedade um conjunto, independentemente do prévio conhecimento de quais são os seus elementos.




23


Exemplo de Conjunto Vazio

Assim, se Você der a alguém que não conheça muito sobre a história das bandas musicais de rock a tarefa de pesquisar quais foram estas bandas no século XX e acompanhar o procedimento normal dessa pessoa sob o ponto de vista matemático, verá que ela:

1 – fixa a propriedade ser banda de rock no século XX;

2 – associa a essa propriedade um conjunto, o das bandas de rock no século XX, cujos elementos vai procurar enumerar (ela não tem prévio conhecimento se e-xistiu ou não alguma banda de rock, nem se preocupa com isso);

3 – procura enumerar os elementos do conjunto, pesquisando quais foram as bandas de rock no século XX;

Designando por B esse conjunto, a pessoa poderá escrever:

B = { Beatles, U2, Nirvana, ... }

Se, agora, a tarefa para aquela pessoa é a de pesquisar quais foram as bandas de rock no século XIX (1801-1900) , nada impede que ela siga o mesmo procedimento anterior.

1 – fixa a propriedade (qual?);

2 – associa à propriedade um conjunto (qual?), sem se preocupar com a existência ou não dos elementos;


24


3 – procura enumerar os elementos do conjunto (quais são?).

Percebeu agora? Foi fixada uma propriedade, definido por ela um conjunto (o dos elementos que devem satisfazer à propriedade), mas não foi encontrado nenhum elemento que satisfaça a ela - trata-se, portanto de um conjunto vazio.

Assim, o conjunto das bandas de rock do século XIX é um conjunto vazio.

Representação Matemática do Conjunto Vazio

E como representar matematicamente o conjunto vazio?

Existem duas maneiras:

• a primeira é a utilização das duas chaves sem nenhum elemento registra-do entre elas:

{ } • a segunda, mais usada, é a utilização da letra grega phi (mostrada abai-

xo) como símbolo do conjunto vazio:

φ Assim, no exemplo do conjunto ( P ) das bandas de rock do século XIX, escreverí-

amos:




25


P = { } ou

P = φ

Guarde bem:

ssíímmbboolloo ddoo ccoonnjjuunnttoo vvaazziioo φφ

Vejamos um outro exemplo.

Qual é o conjunto dos estados brasileiros ( E ) banhados pelo Oceano Pacífico?

E = { e I e = estado brasileiro banhado pelo Oceano Pacífico }

Ora, como a costa brasileira é toda banhada pelo Oceano Atlântico, não há nenhum estado brasileiro banhado pelo Pacífico, e dizemos que

E = φ


26


03. Conjunto e Pertinência

Este módulo trata da noção de pertinência de um elemento em relação a um conjun-to.

Aqui, vamos aprender quando é que um elemento pertence a um conjunto, ou seja, faz parte da sua formação, e quando não pertence, ou seja, dele não faz parte.

Em consequência, ele aborda a noção de conjuntos iguais ou idênticos, que são a-queles formados pelos mesmos elementos, e a de conjuntos equipotentes, que são aqueles que têm a mesma quantidade de elementos.




27


03.01. Pertinência

Vamos conversar, agora, sobre o conceito de pertinência, ou seja, o fato de um e-lemento pertencer ou não pertencer a um conjunto.

Informando que o Elemento Pertence ao Conjunto

Para isso, voltemos a observar a tribo pré-histórica, com a qual formamos o conjunto T:

Observe novamente o conjunto T (a tribo). Se Você considerar apenas os guerreiros da tribo, verá que eles também formam um conjunto – conjunto dos guerreiros. Chamemos este conjunto de G.

Cada guerreiro é um elemento do conjunto G. Cada guerreiro, portanto, pertence a esse conjunto.

O símbolo matemático que representa a propriedade pertence é

Portanto, usando a linguagem matemática, para dizer que


28


guerreiro pertence ao conjunto dos guerreiros

escrevemos a seguinte sentença:

g G

onde designamos cada guerreiro por g.

Informando que o Elemento Não Pertence ao Conjunto

Na linguagem matemática, usa-se muito cortar alguns símbolos com um traço incli-nado

para indicar a ideia contrária à ideia original que o símbolo expressa.

Assim, por exemplo, para dizer que

escravo não pertence ao conjunto dos guerreiros




29


escrevemos

e Gonde designamos cada escravo por e.

Da mesma forma, se sabemos que

C = { x l x é consoante do alfabeto português }

podemos escrever que

b ∈ C a ∉ C m ∈ C 4 ∉ C

Agora que Você já entendeu o conceito de pertinência, é importante que Você saiba de uma coisa. A pertinência sempre tratará da situação de um elemento em relação a um conjun-to, ou seja, se um elemento pertence ou não a determinado conjunto, mas nunca da situação en-tre dois conjuntos.

Para expressar a situação relativa entre dois conjuntos, por exemplo entre G e T, em que G é uma parte de T, não dizemos que G pertence a T, mas sim que G está contido em T. Mas esta ideia de inclusão entre um conjunto e outro não é papo para agora.


30


03.02. Conjuntos Iguais ou Idênticos

Quando dois ou mais conjuntos são formados pelos mesmos elementos, dizemos que são conjuntos iguais ou conjuntos idênticos. Caso contrário, são chamados de conjuntos dife-rentes.

Veja, por exemplo: se Você fixar a propriedade ser uma das cores da bandeira da França e procurar no conjunto das cores aquelas que satisfaçam tal propriedade, para formar o conjunto F (das cores da bandeira da França), terá

F = { vermelho, branco, azul }

Se repetir o raciocínio para a propriedade ser uma das cores da bandeira dos Esta-dos Unidos da América e formar o conjunto E (das cores da bandeira dos Estados Unidos da América), terá

E = { vermelho, branco, azul }

e, portanto,

Então, foi preciso introduzir-se na Matemática o conceito de igualdade entre con-juntos, porque, como Você viu, duas propriedades diferentes podem definir o mesmo conjunto, e, o que é lógico, dadas duas propriedades diferentes, Você vai associar um conjunto a cada uma delas, sem atentar para o fato de que elas podem, esporadicamente, vir a definir o mesmo con-junto; se isso ocorrer, será evidenciado posteriormente, como no caso de E e F.

Veja mais: tomando como exemplos os quatro conjuntos que se seguem,

F = { f ⎪ f = cor da bandeira da França } T = { t ⎪ t = cor mais usada em sinais de trânsito }




31


J = { j ⎪ j = cor da bandeira do Japão } C = { c ⎪ c = branco ou azul ou vermelho }

temos que

F = { azul, vermelho, branco } T = { vermelho, verde } J = { vermelho, branco } C= { branco, azul, vermelho }

Podemos ver que:

• C e F são conjuntos iguais, porque são formados pelos mesmos elemen-tos;

• T e J são conjuntos diferentes, porque não são formados pelos mesmos elementos;

Para expressar isso em linguagem matemática, escrevemos,

C = F e

T ≠ J


32


03.03. Conjuntos Equipotentes

Por outro lado, conjuntos que têm a mesma quantidade de elementos, sejam eles os mesmos ou não, são chamados conjuntos equipotentes.

Assim, dos quatro conjuntos que vimos anteriormente, o C e o F são conjuntos equi-potentes assim como o T e o J também o são.

O símbolo matemático que representa a propriedade de equipotência é

→ Observe que

CCOONNJJUUNNTTOOSS IIGGUUAAIISS SSÃÃOO EEQQUUIIPPOOTTEENNTTEESS

Isso porque, se são iguais, possuem os mesmos elementos e, desse modo, possuem a mesma quantidade de elementos.

A recíproca desta afirmativa não é verdadeira, pois existem conjuntos equipotentes que são iguais, assim como existem conjuntos equipotentes que são diferentes.

Ainda no exemplo dado, conclua Você mesmo que

F e C são iguais e equipotentes: F = C e F ≅ C

T e J são diferentes e equipotentes: F ≠ J e F ≅ J

T e C são diferentes e não são equipotentes: T ≠ C e T → C




33


04. Subconjunto

Este módulo explora a noção de subconjunto, ou seja, um conjunto que é parte de outro, significando dizer que todos os elementos que pertencem a um subconjunto pertencem também ao conjunto de que ele é subconjunto.

Para isso, o módulo aborda a noção de inclusão, ou seja a de um conjunto ser ou não ser parte de outro, se um conjunto contém ou não contém outro, se um conjunto está ou não está contido em outro. Daí, ele evolui para o conceito de conjunto universo.

Confuso? Estude o conteúdo do módulo e veja como é um conceito bastante sim-ples, mas muito importante.

No final, é apresentado um Dicionário de Símbolos Matemáticos, contendo aque-les símbolos aprendidos no curso de que este módulo é parte.


34


04.01. Subconjunto - Noção de Inclusão

Você sabe que um todo é formado por partes, ou seja, o todo contém as suas partes, e, por sua vez, cada uma dessas partes está contida no todo.

Achou confuso? Claro que não. Vamos, então, tratar, agora, de um conjunto que contém outro, que, por sua vez, está contido naquele primeiro.

Vamos falar da tribo pré-histórica, aquela com cujos elementos formamos o conjun-to T.

Você já concluiu que os guerreiros da tribo formam um conjunto - conjunto de guer-reiros - que nós chamamos de G.

Observe o conjunto G. O que Você percebe? Veja que todos os elementos de G são, também, elementos do conjunto T, isto é, todos os elementos de G pertencem também a T.

O que se vê é que o conjunto G (dos guerreiros) é parte de um todo, que, neste caso, é o conjunto T (a tribo).

Dizemos, por isso, que

G é um subconjunto de T.




35


Por quê? Porque todos os elementos do conjunto dos guerreiros (G) pertencem ao conjunto tribo (G).


36


04.02. O Conjunto Contém o Subconjunto Nele Contido

Repetindo: um todo contém as suas partes, e cada uma dessas partes está contida nesse todo.

Assim, o conjunto G é uma parte de um todo, que é o conjunto T. Podemos ver, ain-da, que o conjunto dos guerreiros está contido (está incluído) no conjunto tribo e que, por sua vez, o conjunto tribo contém (inclui) o conjunto dos guerreiros.

O símbolo matemático que representa tanto a ideia de estar contido quanto a ideia de conter é o que vemos a seguir:

Portanto, usando a linguagem matemática, para dizer que

o conjunto de guerreiros está contido no conjunto tribo

escrevemos a seguinte sentença matemática:

G ⊂ T

onde chamamos de G o conjunto dos guerreiros e de T o conjunto tribo. Podemos expressar esta mesma ideia de maneira diferente, dizendo

o conjunto tribo contém o conjunto de guerreiros

escrevendo matematicamente (usando os mesmos símbolos G e T ),

T ⊃ G

Note que os dois símbolos

⊂ e ⊃




37


em forma de ferradura, expressam a mesma ideia, que é a de que o conjunto cujo nome se en-contra do lado das duas pontas livres da ferradura contém aquele cujo nome se encontra do ou-tro lado.

Assim, ao escrever a sentença

A ⊂ B

está-se dizendo que o conjunto A está contido no conjunto B e que, consequentemente, B contém A.


38


04.03. Não Contém. Não Está Contido

Veja agora: sabemos que, na linguagem matemática, usa-se cortar alguns símbolos com um traço inclinado

para indicar a ideia contrária à ideia original que o símbolo expressa.

Com isso em mente, Você vai saber traduzir, sem dificuldade, para a linguagem cor-rente a informação contida numa sentença matemática que utiliza o artifício do símbolo cortado.

Por exemplo, vejamos sentenças matemáticas com não está contido e não contém:

Assim,

a sentença

M ⊄ B

significa

o conjunto M não está contido no conjunto B

Da mesma forma,

a sentença

B M

significa

o conjunto B não contém o conjunto M

Parece que ficou claro para Você que as relações de inclusão e de pertinência são coisas diferentes, mas não custa repetir:




39


• se estamos falando de um elemento em relação a um conjunto, usamos a relação de pertinência para indicar que um elemento pertence ou não pertence ao conjunto;

• se estamos falando de um conjunto em relação a outro, usamos a rela-ção de inclusão para indicar que um conjunto está ou não está contido em outro.

Assim sendo, observando a situação a seguir esquematizada:

onde V é o conjunto das vogais, e L, o conjunto de todas as letras do nosso alfabeto, podemos dela extrair as seguintes sentenças matemáticas:

a ∈ V

V ⊂ L

a ∈ L


40


04.04. Generalizações da Noção de Subconjunto

A noção de subconjunto, do modo como foi apresentada, permite duas generaliza-ções interessantes, que veremos a seguir.

Repare: dado um conjunto A, qualquer outro conjunto cujos elementos pertencem todos também a A é subconjunto de A.

Sendo assim, e considerado o fato de que todos os elementos de A pertencem, obvi-amente, a A, podemos dizer que

TTOODDOO CCOONNJJUUNNTTOO ÉÉ UUMM SSUUBBCCOONNJJUUNNTTOO DDEE SSII MMEESSMMOO

Sendo assim, Você pode escrever:

A ⊂ A

Outra generalização interessante diz respeito ao conjunto vazio; embora, inicial-mente, seja difícil de se aceitar, é de grande conveniência em Matemática convencionar-se que

OO CCOONNJJUUNNTTOO VVAAZZIIOO ÉÉ SSUUBBCCOONNJJUUNNTTOO DDEE QQUUAALLQQUUEERR CCOONNJJUUNNTTOO

Você pode, então, escrever, dado um conjunto A, que

φ ⊂ A Assim sendo, qualquer conjunto diferente do vazio tem pelo menos dois subconjun-

tos: ele mesmo e o conjunto vazio.

E se A for um conjunto vazio? Não há problema, continua válida a afirmação, pois, como já vimos, todo conjunto é subconjunto de si mesmo.




41


04.05. Conjunto das Partes de Um Conjunto

Agora que Você já sabe que, qualquer que seja o conjunto, são seus subconjuntos ele mesmo e o conjunto vazio, podemos entender o conceito de partes de um conjunto.

Chamamos de partes de um conjunto A qualquer ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Por exemplo, se considerarmos o conjunto A como sendo

A = { 2, 4, 6 }

teremos como subconjuntos os seguintes subconjuntos:

com 1 elemento: { 2 } , { 4 } , { 6 }

com 2 elementos: { 2, 4 } , { 2, 6 } , { 4, 6 }

com 3 elementos (ele mesmo): { 2, 4, 6 } conjunto vazio: φ

Temos, então, que o conjunto das partes de A, normalmente representado por P(A), é dado por

P(A) = { φ, { 2 } , { 4 } , { 6 } , { 2, 4 } , { 2, 6 } , { 4, 6 } , { 2, 4, 6 } }

Esta é uma nova ideia sobre conjuntos: estamos vendo um conjunto de conjuntos, ou seja, um conjunto em que os elementos são também conjuntos.

Existe, ainda um outro conceito importante para Você conhecer - o de subconjunto próprio. Costuma-se chamar de subconjuntos próprios todos os subconjuntos de um conjunto diferentes dele mesmo.


42


04.06. Conjunto Universo

Você sabe que há duas maneiras de descrever um conjunto:

enumerando (citando) um a um todos os elementos.

mencionando uma propriedade que todos os elementos do conjunto têm e que qualquer elemento que não seja do conjunto não tem.

Toda vez que enunciamos uma propriedade e tentamos a partir dela determinar um conjunto por meio da enumeração dos elementos, o que fazemos é procurar dentro de um con-junto maior formado por todos os elementos que possivelmente possam satisfazer a essa propri-edade aqueles que realmente a satisfazem.

Suponhamos que Você esteja interessado em saber quais os países da América do Sul que são banhados pelo Oceano Atlântico. Como Você vai proceder? Provavelmente vai pro-curar na lista dos países da América do Sul aqueles que são banhados pelo Oceano Atlântico. Pois bem, neste exemplo, a propriedade é ser país da América do Sul banhado pelo Oceano Atlântico e o conjunto de todos os países da América do Sul é o conjunto universo sobre cujos elementos Você vai testar a propriedade.

Este pequeno exemplo nos ajuda a entender o conceito de conjunto universo: ao conjunto de todos os elementos que podem pertencer a um conjunto A chamamos de conjunto universo de A.

Por exemplo: se, ao conversarmos sobre a beleza das rosas de um jardim, Você ex-clamar ao ver um canteiro delas: “Olha, essas rosas são as mais bonitas!”, Você estará querendo dizer que aquelas são as mais bonitas existentes naquele jardim; talvez não sejam as mais boni-tas se considerarmos, também, as roseiras do vizinho ou as do mundo inteiro. Ou seja, as suas observações sobre aquelas rosas estão limitadas àquele jardim. Nesse caso, o jardim é o conjun-to universo ao qual estão limitadas as suas observações.

Conforme Você está percebendo, em cada caso existe um conjunto universo consi-derado, ou seja, para cada conjunto, em cada situação, Você pode escolher o conjunto universo mais conveniente. Assim, por exemplo, quando conversamos sobre música, o nosso conjunto universo pode ser a música brasileira, a música internacional deste século; as músicas de todas as épocas ou as músicas do último festival. Ao falarmos de cavalos, o conjunto universo pode ser o dos quadrúpedas, o dos mamíferos ou o de todos os animais.

Em linguagem matemática, costuma-se designar um conjunto universo pela letra

U

Em resumo: se queremos determinar o conjunto A dos elementos que satisfaçam à propriedade P, vamos escolher um conjunto universo U e testar os elementos contra a proprie-




43


dade P para ver quem é e quem não é elemento de A. Perceba que A é subconjunto desse conjun-to U.


44


04.07. Dicionário de Símbolos Matemáticos

Veja o nosso dicionário de símbolos matemáticos se formando:

Símbolo Significado Exemplos de Utilização

= igual a A = { a, e, i } B = { o, u }

≠ diferente de A ≠ B

⏐ tal que F = { x⏐x é uma fruta }

∈ pertence a Laranja ∈F

∉ não pertence a Borboleta ∉ F

φ conjunto vazio { x⏐x ∈ A e x ∈ b } = φ

⊂ está contido em A ⊂ { x⏐x é vogal }

⊄ não está contido em B ⊄ A

⊃ contém { x⏐x é vogal } ⊃ B

não contém P A

Documents

Conjunto - Noções Fundamentais