Practica: Conicas

1. Clasifica las siguientes conicas. Hay una elipse, una circumferencia una parabola, una hiperbola y

otra ecuacion que no es la una conica

(x 1)2 3y = 0

(x 1)2 + 3(y + 6)2 + 14 = 0

5x2 + 3y2 + 10x 12y 14 = 0

5x2 + 5y2 + 10x+ 20y + 18 = 0

5x2 + 5y2 18 = 0

2. Determina la posicion relativa de la recta 4x + 3y 15 = 0 con respecto a la circunferenciax2 + y2 25 = 0. Si se cortaran en algun punto, halla sus coordenadas.

3. Dada la circumferencia de la ecuacion (x 3)2 + (y + 1)2 = 9, determina el valor de para losque la recta y = es no incidente, tangente o secante a la circumferencia.

4. Dada la circumferencia de ecuacion 3x2 + 3y2 + 6x 12y + 6 = 0

a) Determina su centro y su radio.

b) Calcula la ecuacion de la circumferencia de radio 7 concentrica a la anterior.

5. Escribe la ecuacion de la circunferencia con centro en P = (3,1) que es tangente a la rectax y + 5 = 0.

6. Considera el lugar geometrico de los puntos P = (x, y) del plano tales que su distancia a Q =

(2, 4) sea igual a mayor que 3. De que figura se trata?

7. Determina la ecuacion de la circumferencia que pasa por P = (3, 2), Q = (4, 5), R(2, 5).

1

8. Halla el lugar geometrico de los puntos P del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los

puntos A = (5, 0) y B = (5, 0) es 250. Identifica la figura resultante.

9. Halla la ecuacion del lugar geometrico de los puntos P del plano tales que su distancia al punto

A = (2, 0) es el triple de su distancia a la recta x = 4. Identifica la figura resultante.

10. Halla el lugar geometrico de los puntos P del plano cuya distancia a A = (0,1) es el doble de sudistancia a B = (0, 2). Identifica la figura resultante.

11. Hallar la ecuacion en forma canonica de una elipse

a) Cuyo eje mayor es 12 y un vertice del eje menor es B = (0, 5).

b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor mide 10.

c) Cuya excentricidad es e = 3/5 y el eje menor mide 16.

d) Dada por la expresion x2 + 4y2 2x+ 2y 11 = 0.

12. Determina los elementos caractersticos de las siguientes conicas, descrbelas y representalas grafi-

camente:

a)y2

4 x

2

9= 1.

b) 3x2 4y2 48 = 0

c) 2x2 + 3y2 24 = 0

SOLUCIONES

1. parabola

No es conica

elipse

circumferencia

hiperbola

2

2. Resolver el sistema

4x+ 3y 15 = 0x2 + y2 25 = 0 proporciona las soluciones (0, 5), (24/5,7/5). Es decir,la recta y la circumferencia son secantes y s cortan en dichos puntos.

3. No incidente > 2, < 4. Tangente = 4, 2. Secante 4 < < 2.

4. (x+ 1)2 + (y 2)2 9 = 0

5. El radio de la circumferencia debe ser la distancia de P a r, que puedes calcular como dist(P,r)=

|3(1)+5|12+(1)2 =

92

. De ah (x 3)2 + (y + 1)2 812

= 0

6. De todo el plano excepto el crculo (borde incluido) delimitado por la circumferencia (x + 2)2 +

(y 4)2 = 3

7. Necesitamos conocer su centro (a, b) y su radio r. El sistema

(3 a)2 + (2 b)2 = r2

(4 a)2 + (5 b)2 = r2

(22 a)2 + (5 b)2 = r2tiene

por solucion a = 1, b = 7/3 y r =

145/3

8. Es la circumferencia x2 + y2 = 102

9. Es la hiperbola 8x2 y2 32x+ 140 = 0

10. Es la circumferencia x2 + (y + 2)2 = 4

11. a)x2

36+y2

25= 1

b) De entre todas las posibles, elegimos la que esta centrada en el origen.x2

169+y2

25= 1

c) De entre todas las posibles, elegimos la que esta centrada en el origen. Hay que tener en

cuenta que e =c

ay a2 = b2 + c2. La ecuacion es

x2

100+y2

8= 1

d)(x 1)2

41/4+

(y + 1/4)2

41/16= 1

12. a) a = 2, b = 3 por lo que c =

4 + 9 =

13. Los focos estan en (13, 0) y (13, 0), losvertices en (2, 0), (2, 0) y las asntotas son y = 3

2.

3

b) La ecuacion canonica esx2

16 y

2

12= 1. De ah tenemos que c = 6 y que los focos estan en

(6, 0) y (6, 0) y los vertices en (4, 0), (4, 0). Las asntotas son y = 34

.

c) La ecuacion canonica esx212

+y2

8= 1. De ah tenemos que c = 2

5 y que los focos estan en

(0,25) y (0, 25). Los vertices estan en (0,22) y (0, 22) y las asntotas son y =

23

.

Las graficas son, respectivamente

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