Conicas Bom

ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

FACULDADE DE CIENCIAS EXATASCAMPUS UNIVERSITARIOS DE JANE VANINE

DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA

AS CÔNICAS NO ENSINO MEDIO

Sidnei Villacien Lopes Silveira

Orientador: Profº João Severino filho

Cáceres 2005

INTRODUÇÃO

• Este trabalho representa um estudo de secções cônicas em seu aspecto histórico e geométrico. Relatando as secções que são obtidas através de um cone circular reto.

• E uma pesquisa realizada junto ao corpo docente da Escola Estadual “José Bejo” em Glória D’Oeste.

HISTÓRIA DOS TERMOS, ELIPSE HIPÉRBOLE E

PARÁBOLA• Pode se entender o significado desses termos

estudando as descobertas dos grandes matemáticos da história.

• Ploclus, o comentador grego, registra que essas três curvas foram descobertas por Menaecmus.

• Apolônio de Perga, repousa principalmente sobre seu extraordinário secções cônicas, no qual vamos estudar a seguir.

AS CÔNICAS

• AS cônicas foram estudadas por Menaecmus, Euclides e Arquimedes.

• A obra de nível mais avançada foi precisamente a feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior.

APOLÔNIO DE PERGA

• Apolônio nasceu em Perga na Panfilia, Sul da Ásia menor, que hoje é conhecida como Murtina ou Murtuna, na Turquia.

• Ficando conhecido como o “grande geômetra” ou o “geômetra magno”, deixou uma vasta obra que contribuiu para o desenvolvimento da matemática.

• Os dados da vida de Apolônio são escassos e quase todos de notas que aparecem nas introduções dos diferentes livros de cônicas.

• Morreu cerca de 190 ac. Em Alexandria no Egito.

A ELIPSE

O que é uma elipse?

Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes ao plano α, seja 2c a distancia entre eles.

Elipse é o conjunto dos pontos α cuja soma das distancias a F1 e F2, é a constante 2a (sendo 2a > 2c).

Elipse = {P є α / PF1 + PF2 = 2a}

ELEMENTOS DE UMA ELIPSE

• focos : os pontos F1 e F2

• centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo maior: a • semi-eixo menor: b • semidistância focal: c • vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• eixo maior: • eixo menor: • distância focal:

1 2F F

1 2 2A A a=

1 2 2B B b=

1 2 2F F c=

Equação da Elipse com F1F2 paralela ao eixo X

Vamos determinar uma equação para elipse no caso que F1F2 é paralela ao eixo x.

Seja C(x0, y0) o centro da elipse; então, as coordenadas dos focos são:

F1(x0 + c, y0) e F2(x0 – c, y0).

Para um ponto P(x, y) qualquer da elipse, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

2 22 2

2 22 22 2

2 2 2

2

2

Elevando os dois membros ao quadrado, temos.

2

4 4

x xo c y yo x xo c y yo a

x xo c y yo a x xo c y yo

x xo c y yo a x xo c y yo

x xo c y yo a a x xo

− + + − + − − + − =

− − + − = − − + + −

− − + − = − − + + −

− − + − = − − ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 22

2 2 2 22 2

22 2 2 2 22 2

2

desenvolvendo os quadrados temos:

2

4 4 2

4

4 2 2

c y yo x xo c y yo

x xo c x xo c y yo

a a x xo c y yo x xo c x xo c y yo

x xo x xo c c y yo y yo a x xo c y yo

a c x xo c x xo

+ + − + − + + −

− − − + + − =

= − − + + − + − + − + + −

− − − + − + − − − + − + + − = = + − + −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 4 4

dividindo os dois membros po 4, temos:

a x xo c y yo a c x xo


− + + − = + −

− + + − = + −

dpF1 + dpF2 = 2a

( ) ( ) ( )( )( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

222 2 2

2 2 22 4 2 2

2 2 22 2 4 2 2

Elevando novamente osdois membros ao quadrado, temos:

2

2 2

efetuando a multiplicaçao


a x xo c y yo a a c x xo c x xo

a x xo c x xo c y yo a a c x xo c x xo

− + + − = + −

− + + − = + − + −

− + − + + − = + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2 4 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2

do primeiro termo, temos:

a 2 2

2 2

Substituindo por , temos:

x xo a c x xo a c a y yo a a c x xo c x xo

a x xo c x xo a c x xo a c x xo a y yo a a c

x xo a c a y yo a a c

a c b

b x xo a y yo a

− + − + + − = + − + −

− − − + − − − + − = −

− − + − = −

−

− + − =

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

Dividindo os dois membros por b , temos:

1

b

a

b x xo a y yo a b

a b a b a b

x xo y yo

a b

− −+ =

− −+ =

Que é a equação da elipse com centro C(x0, y0) e F1F2 paralela ao eixo x.

Equação reduzida da Elipse com centro na origem e F1F2 contidos no eixo X

Se C = 0, F1F2 pertencentes ao eixo x, então a equação da elipse é a seguinte:

2 2

2 21

x y

a b+ =

Equação da Elipse com F1F2 paralela ao eixo Y

Vamos agora determinar uma equação para a elipse, no caso em que F1F2

é paralela ao eixo y. Seja C(x0, y0) o centro da elipse; então, as coordenadas do foco são:F1(x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c).

Qualquer que seja um ponto p(x, y) da elipse, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 22 2

2 22 2

2 22 22 2

2 2

2

0 2

2

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

2

2

F Fdp dp a

x xo y y c x xo y yo c a

x xo y yo c a x xo y yo c

x xo y yo c a x xo y yo c

x xo y yo c y

+ =

− + − + + − + − − =

− + − − = − − + − +

− + − − = − − + − + − + − − ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

22 2 22 2

22 2 2 2 22 2

2

22 2

2

4 4 2

4

4 2 2

4 4 4

Dividindo os dois membros por 4, temos:

yo c

a a x xo y yo c x xo y yo c y yo c

x xo x xo y yo y yo c c a x xo y yo c

a c y yo c y yo

a x xo y yo c a c y yo

a x xo y y

− + =

= − − + − + + − + − + − +

− − − + − − − + − + − + − + = = + − + −

− + − + = + −

− + −( ) ( )2 2o c a c y yo+ = + −

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2222 2

2 2 22 2 4 2 2

2 2 22 2 2 2 2 4

Elevando novamente os dois membros ao quadrado, temos:

2 2

Efetuando a multiplicaçao temos:

2 2

a x xo y yo c a c y yo

a x xo y yo c y yo c a a c y yo c y yo

a x xo a y yo a c y yo a c a a

− + − + = + −

− + − + − + = + − + −

− + − + − + = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

22 2

2 2 22 2 2 2 2 4 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

2 2

Colocando em evidencia, temos:

a a

Fazendo a ser igual a , temos:

Dividindo todos so membr

c y yo c y yo

a y yo c y yo a c y yo a c y yo a x xo a a c

c y yo a x xo a c

c b

b y yo a x xo a b

− + −

− − − + − − − + − = −

− − + − = −

−

− + − =

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

os por temos:

1

a b

b y yo a x xo a b

a b a b a b

y yo x xo

a b

− −+ =

− −+ =

Que é a equação da elipse com F1F2 paralela ao eixo y.

Equação reduzida da Elipse com centro na origem e F1F2 contidos no eixo Y

Se C = 0, F1 e F2 pertencerem ao eixo y, então a equação da elipse é :

2 2

2 21

y x

a b+ =

HIPÉRBOLEDados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja

2c a distancia entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α, cuja diferença (em valor absoluto) das distancias a F1 e F2 é a constante 2a (sendo 0 < 2a < 2c).

Hipérbole = {p є α / |pF1 – pF2| = 2a}.

ELEMENTOS DE UMA HIPÉRBOLE

1 2

1 2

1 2

e focos

0 centro

A eixo real ou transverso

B B eixo imaginario

2c distancia focal

2a medida do eixo real

2b medida do eixo imaginario

excentricidade e ́o numero real , 1 porque 0 < a < c

c

F F

A

ce e

a

→→

→→

→→→

= >

→

( )1 2

2 2 2

ponto medio do segmento

relaçao fundamental c pelo teorema de Pitagoras ;

F F

a b= +

Equação da Hipérbole com F1F2 paralela ao eixo X

Seja C(xo , yo) o centro da hipérbole; então os focos são:

Para um ponto qualquer P da hipérbole, temos:( ) ( )1 2, e ,F xo c yo F xo c yo+ −

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

2 22 2

2

2

2

dpF dpF a

dpF dpF a

x xo c y yo x xo c y yo a

− =− = ±

− − + − − − + + − = ±

Desenvolvendo, temos:

( ) ( )2 2

2 21

x xo y yo

a b

− −− =

Que é a equação da hipérbole com F1F2 paralela ao eixo X

Equação reduzida da Hipérbole com F1F2 contidos no eixo X

• Se F1 e F2 pertence ao eixo X e C = 0, a hipérbole tem a seguinte equação:

2 2

2 21

x y

a b− =

Equação da Hipérbole com F1F2 paralela ao eixo Y

Seja c(xo, yo) o centro da hipérbole, então os focos são.

Para um ponto qualquer P(x, y) da hipérbole temos:

( ) ( )1 2, e ,F xo yo c F xo yo c+ −

( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 22 2

2

2

dpF dpF a

x xo y yo c x xo y yo c a

− =

− + − − − − + − + = ±


( ) ( )2 2

2 21

y yo x xo

a b

− −− =

Que é a equação da hipérbole com F1F2 paralela ao eixo Y

Equação reduzida da Hipérbole com centro na origem e F1F2 contidos no eixo Y

Se F1 e F2 pertencem ao eixo y e c = 0, a hipérbole terá a seguinte equação.

2 2

2 21

y x

a b− =

Hipérbole Eqüilátera

Uma hipérbole é eqüilátera quando o centro esta na origem e os seus eixos real e imaginário possuem a mesma medida, ou seja, 2a = 2b ou simplesmente a = b.

Portanto temos a equação da hipérbole eqüilátera, como a equação reduzida , que é da formula , e a

hipérbole eqüilátera a = b temos que é a formula da hipérbole eqüilátera.

2 2

2 21

x y

a b− =

2 22 2 2

2 21 ou simplesmente

x yx y a

a a− = − =

PARÁBOLA

Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano , com F d, seja P a distancia entre F e d, parábola é o conjunto dos pontos de, que estão a mesma distancia de F e de d.

Parábola = { }/P PF Pdα∈ =

PF = Pd

∉αα

ELEMENTOS DE UMA PARÁBOLA

d: reta diretriz (reta fixa);F: Foco (ponto fixo); = p > 0: parâmetro VF: eixo de simetria;V: Vértice ( ponto médio de FB, FB ┴ d e B Є d)Sendo p o parâmetro da parábola, BF = p,

BV = .

Fdd ( )Fd FBd d=

e 2 2

p pVF =

Equação da Parábola com diretriz d paralela ao eixo Y e o foco à direita de d

, , ou seja, 02 2

p pF xo yo x xo + − + =

Seja V(xo, yo), o vértice da parábola, então: o foco é .

Para um ponto P(x,y) da parábola. Temos.

( )2

2

2 2

pd pFd d

p px xo x xo y yo

=

− + = − + + −


( ) ( )22y yo p x xo− = −

Que é a equação da parábola, quando a diretriz d esta paralela ao eixo y e o foco a direita de d

Equação Reduzida

Seja V(0,0), o vértice da parábola, então o foco é a equação da diretriz d é .

Para um ponto qualquer P(x,y) da parábola, temos.

,0 ,2

pF

0

2

px + =

pd pFd d=Desenvolvendo, temos:

2 2y xp=

Equação da Parábola com diretriz d paralela ao eixo Y e foco a esquerda da diretriz.

Seja V(xo,yo) o vértice da parábola, então, o foco é e a diretriz d tem equação .

Para um ponto qualquer P(x,y) da parábola, temos

,2

pF xo yo −

, ou seja, 02 2

p px xo x xo= + − − =


( ) ( )22y yo p x xo− = − −

Equação Reduzida

Seja V(0,0), o vértice da parábola, então o foco é , a equação da diretriz d é .

Para um ponto qualquer da P(x,y) parábola, temos

,02

pF

0

2

px − =


2 2y xp= −

Equação da Parábola com diretriz paralela ao eixo X e foco acima da diretriz.

Seja V(xo,yo), o vértice da parábola, então , o foco é , e a diretriz da equação .

Para um ponto qualquer P(x,y) da parábola, temos (Fig. 29):

,2

pF xo yo +

, ou seja, 02 2

p py yo y yo= − − + =


( ) ( )22x xo p y yo− = −

Equação Reduzida

Seja V(0,0), o centro da parábola, então o foco é , e a equação da diretriz d é .

Para um ponto qualquer P(x,y) da parábola, temos.

0,2

pF

02

py + =


2 2x yp=

Equação da Parábola com diretriz paralela ao eixo X e foco abaixo da diretriz.

Seja V(xo, yo), o vértice da parábola, então o foco é , e a diretriz tem equação .

Para um ponto qualquer P(x,y), da parábola, temos:

,2

pF xo yo −

, ou seja, 02 2

p py yo y yo= + − − =


( ) ( )22x xo p y yo− = − −

Equação ReduzidaSeja V(0,0), o vértice da parábola, então o foco é ,e a equação da diretriz d é .

Para um ponto qualquer P(x,y), da parábola, temos:

0,2

pF −

02

py − =


2 2x yp= −

PESQUISA REALIZADA NA ESCOLA JOSÉ BEJO EM GLÓRIA D’OESTE

1 – Você ensina as cônicas no 3º Ano do ensino médio? ( ) Sim ( x ) Não

2 – Se você não ensina, qual é o motivo que não permite que o aluno adquira este aprendizado?

“Devido o conteúdo estar no final do livro do 3º ano do ensino médio é muito difícil ser trabalhado; não encontramos tempo para ministrar o referido conteúdo.

O estado das cônicas fica mesmo restrito ao ensino superior, o máximo que se consegue é uma leve introdução de limite e das integrais, pois sabemos que o conteúdo trabalhado em sala de aula não pode ter somente volume, mas sim qualidade, porque não adiantaria nada terminar o livro todo se no final ninguém aprendeu nada.”

Com a resposta deste professor concluímos que a matéria cônicas está reservado somente para o ensino superior, já que o professor tem uma visão clara da educação, não basta somente o volume, o que é importante é a qualidade.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O principal objetivo desta monografia é fazer com que alunos e professores, percebam a importância dos conceitos geométricos, assim como eles podem ser tratados geometricamente. Com isso ao desenvolver com os alunos o estudo das cônicas, como ênfase deve recair sobre a compreensão da história e saber desenvolver uma equação para a obtenção de sua equação geral e também verificaras relações que há entre elipse, hipérbole e parábola, e não apenas na memorização de uma infinidade de equações.

O estudo das cônicas pode ser feito de modo a enfatizar a história como obtê-las, como representa – las, graficamente e como relacionar seu elemento com as equações gerais que as representam.

BIBLIOGRAFIA

SMOLE, Kátia Cristina, KIYUKAWA, Saburo, matemática, vol. 03, ed. Saraiva, São Paulo, 1998. PAIVA, Manoel, matemática, vol. 03, ed, moderna, São Pulo, 1999. IESSI, Gelson, Fundamentos da matemática elementar, vol. 07, geometria analítica, 4ª edição, ed. atual, São Paulo. 1993. EVES, howard, história da geometria, trad. Hygino H. Domingues, São Paulo, ed. Atual, 1992 (tópicos de historia da matemática para uso em sala de aula vol. 03). BOYER, Carl B., história da matemática, tradução Elza F. Gomid, 2ª edição, Garl Blucher, São Paulo, 1996.

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