Compressed Sensing and Interferometry

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  • 8/18/2019 Compressed Sensing and Interferometry

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    Motivación   Descripción del problema   Metodoloǵıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    Reconstrucción de imágenes en Interferometŕıa basada en la teoŕıa de Compressive Sensing

    Presentación de avance

    Roberto Rojas Pizarro

    Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas,

    Universidad de Chile

    October 29, 2015

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    http://find/ http://goback/

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    Motivación   Descripción del problema   Metodoloǵıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    Contenido

    1   Motivación

    2   Descripción del problema

    3   Metodoloǵıa

    4   Resultados

    5   Trabajo futuro

    6   Referencias

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    Motivación   Descripción del problema   Metodoloǵıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    ¿Qué es Interferometŕıa?

    Técnica que consiste en la superposición de ondas electromagnéticas para obtener información acerca de éstas.

    Cuando las ondas poseen la misma frecuencia, la onda resultante es determinada por el desfase de las ondas individuales.

    Figura 1:   Interferómetro básico

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    Motivación   Descripción del problema   Metodoloǵıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    Interferometŕıa en Astronomı́a

    Arreglo de antenas que realizan mediciones de a pares, todas

    apuntando en la misma dirección.

    Obtener intensidad de la fuente en dicha porción de cielo.

    Resolución depende de apertura efectiva, no del diámetro de la antena.

    Figura 2:   Very Large Array (New Mexico), que usa 27 antenas. 4 / 2 2

    M i i´ D i i´ d l bl M d l ´ R l d T b j f R f i

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    Motivación   Descripción del problema   Metodoloǵıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    Escenario básico Interferometŕıa

    Parámetros relevantes

    Vector   Pointing   s0. Posición  σ  en región celestial considerada. Baseline    Dλ  normalizado por  λ  de onda medida.

    Figura 3:   Escenario básico Interferometŕıa en Astronoḿıa. 5 / 2 2

    M ti i´ D i i´ d l bl M t d l ´ R lt d T b j f t R f i

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    Teorema de Van Cittert-Zernike

    Para un campo de visión pequeño, dicho teorema relaciona

    intensidad  I (l, m)  de la fuente y su Visibilidad  V   (u, v).

    V   (u, v) =

         I (l, m)e− j2π(ul+vm) dldm   (1)

    Figura 4:   Relación entre sistemas de coordenadas. 6 / 2 2

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    Motivacion   Descripcion del problema   Metodologıa   Resultados   Trabajo futuro   Referencias

    Obtención de datos

    La ecuación (2) muestra la salida del correlador.

    r(  Dλ, s0) = ∆ν 

      4π

    A(σ)I (σ)cos 

    2π  Dλ · (s0 + σ) 

     dΩ   (2)

    Además, la salida del correlador se relaciona con la Visibilidad mediante la ecuación (3).

    r(  Dλ, s0) = A0∆ν |V  | cos 2π  Dλ · s0 − φV     (3)

    Dada la ecuación (1), basta aplicar  F −1[V   ]  para obtener la señal deseada.

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    Plano de Fourier

    Cada  V   (u, v)  medida está determinada por sus frecuencias (u, v). El plano de Fourier grafica las frecuencias medidas.

    Las frecuencias medidas dependen de la separación entre el par de antenas y la dirección de observación s0.

    s0  a su vez está determinado por su ángulo horario  h  y declinación  δ .

    2 modos de medición:   Snapshot  y uso de la rotación terrestre.

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    Plano de Fourier

    Trayectorias eĺıpticas si se considera rotación terrestre.

    Problema: Cubrir el plano de Fourier en la práctica requiere un proceso de medición exhaustivo.

    Figura 5:   Plano de Fourier.

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    Compressed Sensing

    Reconstrucción de señal con una tasa de datos menor a la tasa de Nyquist.

    Las mediciones se realizan en el dominio de Fourier. Grado de libertad en dominio que promueve sparsidad y disposición de antenas.

    α̂ = argmin α

    ||α||1   s.t. y = AΦα   (4)

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    ot c o sc pc o p o to o og su t os jo utu o c s

    Metodoloǵıa

    Obtención de baselines continuos por medio de transformaciones matriciales.

    Discretización basada en Teorema del muestreo.

    Figura 6:   Metodoloǵıa empleada para la reconstrucción de una imagen en Interferometŕıa, basada en Compressed Sensing.

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    p p g j

    Metodoloǵıa

    Se considera mediciones sin ruido (Basis Pursuit clásico).

    No se considera rotación terrestre (Snapshot).

    En Figura 7 se aprecia imagen de prueba utilizada.

    Original image

    Figura 7:   Imagen de prueba considerada. Obtenida en observatorio ALMA.

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    g

    Etapa 1

    Validación algoritmo/código utilizado para implementar CS.

    Código basado en algoritmo   Douglas Rachford   (Combettes, 2007).

    Phase Transition, threshold=1e−10

    δ = M 

         ρ

       =

        K    M

    0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95

    0.95

    0.85

    0.75

    0.65

    0.55

    0.45

    0.35

    0.25

    0.15

    0.05

    Figura 8:   Phase transition obtenido para señal sparse en dominio de los pixeles. Medición aleatoria en Fourier.

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    Etapa 2

    Figura de mérito: Probabilidad de reconstrucción exitosa

    (Fannjiang, 2013).

    Imagen puntual de  60 × 60  pixeles.

    0 100 200 300 400 500 600 700 0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100 PRE v/s sparsity level, umbral: 0.01 , BP

    Sparsidad (Cantidad de fuentes puntuales)

       P  o   r  c   e   n    t  a    j  e   r  e   c   o   n   s    t  r   u   c   c    i  o   n   e   s   e   x   i   t

      o   s   a   s    (   %    )

     

    NRA

    URA

    VLA

    freqSelection

    Figura 9:   Probabilidad de reconstrucción exitosa versus sparsidad de imagen en dominio de los pixeles. Tasa de mediciones: 0.2. 10

    realizaciones por punto. 14/22

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    Etapa 3

    PRE versus razón de submuestreo (también llamado  uv 

    coverage ) para NRA, URA y selección aleatoria uniforme de frecuencias, considerando 4 bases de sparsidad distintas: Daubechies 4, Daubechies 8, Coiflet 3 y