Comportamento assintótico de problemas de difusão não ...€¦ · Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e semilineares do tipo Neumann Patrícia Neves

Comportamento assintóticode problemas de difusãonão locais e semilineares

do tipo Neumann

Patrícia Neves de Araújo

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Ciências

Programa: Matemática AplicadaOrientador: Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro da CAPES

São Paulo, junho de 2019

Comportamento assintóticode problemas de difusãonão locais e semilineares

do tipo Neumann

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 02/07/2019. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira - IME-USP

• Profa. Dra. Silvia Sastre Gomez - UFPE

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por me permitir ultrapassar os obstáculos que sempre surgemno caminho e chegar até aqui.

Agradeço aos meus pais, Iva e Monteiro, por me apoiarem sempre e incondicionalmente. Obri-gada por todo amor e paciência, nada disso seria possível se não fosse por vocês. Agradeço à minhairmã Paula por sempre estar disposta a me ajudar e por ter tanta paciência para lidar comigo. Cadaparte desse trabalho tem um pouco de vocês e eu os amo imensamente.

Gostaria também de agradecer ao Rafael, meu noivo, por estar comigo em todos os momentose apoiar os meus sonhos. Te amo infinitamente.

Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira, por toda a gentileza e disponi-bilidade em me orientar. Muito obrigada por tornar possível a realização deste trabalho.

Agradeço aos colegas e professores que contribuíram para o desenvolvimento desta pesquisa,tanto em discussões em aulas, quanto em seminários e outros momentos.

Agradeço ainda a todos os que me apoiaram e, de perto ou de longe, acompanharam esta jornada.Muito obrigada!

i

Resumo

ARAÚJO, P. N. de Comportamento assintótico de problemas de difusão não locais e se-milineares do tipo Neumann. 2019. 70 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática eEstatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.

Neste trabalho abordamos dois exemplos de equações de difusão não locais do tipo Neumann:o problema linear homogêneo e um semilinear com termo de reação representado pela funçãof(u) = |u|p−1u. Em ambos os casos, apresentamos condições de existência e unicidade de solu-ções e analisamos seu comportamento em relação ao tempo. Estudamos uma discretização parao problema linear e a utilizamos para realizar simulações numéricas nas quais podemos verificaralgumas das propriedades demonstradas. Também simulamos o problema semilinear observando ocomportamento de suas soluções mesmo em casos em que as hipóteses dos teoremas apresentadosnão são todas satisfeitas.

Palavras-chave: equações não locais, problemas do tipo Neumann, comportamento assintótico,blow-up.

iii

Abstract

ARAÚJO, P. N. de Asymptotic behavior of nonlocal and semilinear diffusion problemsof Neumann type. 2019. 70 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística,Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.

In this work we approach two examples of nonlocal diffusion equations of Neumann type: thehomogeneous linear problem and a semilinear with a reaction term represented by the functionf(u) = |u|p−1u. In both cases, we present conditions of existence and uniqueness of solutions andwe analyze their behavior with respect to time. We study a discretization to the linear problem anduse it to perform numerical experiments in order to illustrate some of the demonstrated properties.We also simulate the semilinear problem observing the behavior of its solutions even in cases wherethe hypothesis of the presented theorems are not all satisfied.

Keywords: nonlocal equations, problems of Neumann type, asymptotic behavior, blow-up.

v

Sumário

Lista de Figuras ix

Introdução 1

1 Contextualização e descrição do problema 3

2 Problema de difusão não local do tipo Neumann homogêneo 92.1 Existência e unicidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Comportamento assintótico das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Subsoluções e supersoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Problema com condições de Neumann e um termo de reação 213.1 Existência e unicidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Condições e taxas de explosão de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Tratamento numérico de problemas não locais 414.1 Discretização do operador linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Esquema semidiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.2 Esquema totalmente discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Simulações numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1 Problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.2 Problema com termo de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Conclusões 66

Referências Bibliográficas 69

vii

viii SUMÁRIO

Lista de Figuras

4.1 Gráfico da solução do problema 1 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 504.2 Gráfico da solução do problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Gráfico da solução do problema 2 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 514.4 Gráfico da solução do problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 Gráfico da solução do problema 3 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 524.6 Gráfico da solução do problema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Gráfico da solução do problema 4 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 534.8 Gráfico da solução do problema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.9 Gráfico da solução do problema 5 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 554.10 Gráfico da solução do problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.11 Gráfico da solução do problema 6 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 564.12 Gráfico da solução do problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.13 Gráfico da solução do problema 7 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 584.14 Gráfico da solução do problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.15 Gráfico da solução do problema 8 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 594.16 Gráfico da solução do problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.17 Gráfico da solução do problema 9 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . . 614.18 Gráfico da solução do problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.19 Gráfico da solução do problema 10 para t = 5, 754 · 10−1 no intervalo [−0, 08, 0, 08]. . 624.20 Gráfico da solução do problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.21 Gráfico da solução do problema 11 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . 644.22 Gráfico da solução do problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.23 Gráfico da solução do problema 12 para determinados valores de t. . . . . . . . . . . 654.24 Gráfico da solução do problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ix

x LISTA DE FIGURAS

Introdução

Neste trabalho, estudaremos uma classe de equações não locais com condições de Neumannhomogêneas amplamente utilizadas na modelagem de fenômenos que envolvem difusão. Para tanto,consideramos ao longo de todo o trabalho Ω um aberto limitado em RN e J ∈ C1(RN ,R) umafunção não negativa, radial, contínua, com J(0) > 0 e tal que∫

RNJ(x)dx = 1.

Note que tais propriedades caracterizam J como uma função de densidade de probabilidade.O problema que trataremos inicialmente é{

ut(x, t) =∫

Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0,u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.

(1)

Esta formulação é conhecida como problema de difusão não local do tipo Neumann homogênea e éamplamente utilizada em diversas áreas, como redução de ruído em imagens [GO07], peridinâmica[TD13] e sistemas de partículas [OS17].

O outro problema a ser estudado é{ut(x, t) =

∫Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + |u|

p−1u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,

(2)

que pode ser entendido como um problema de difusão não local com condições de Neumann e umtermo de reação não linear representado pela função monótona |u|p−1u. Aqui assumimos p > 0.

O objetivo deste trabalho é estudar propriedades referentes aos problemas mencionados, comoexistência, unicidade e comportamento assintótico das soluções no tempo. Além disso, apresenta-remos uma discretização que será utilizada para obter simulações que nos permitam observar ocomportamento das soluções para domínios Ω unidimensionais.

O Capítulo 1 será dedicado a uma breve apresentação das equações não locais (1) e (2), suasmotivações e relações com os problemas de difusão locais, com base nos estudos realizados por Fife[Fif03] e Sastre [Góm14]. No Capítulo 2, apresentaremos um estudo mais rigoroso do problema (1),cuja referência principal é o livro de Andreu-Vaillo et al. [AVt10]. Nesse Capítulo, verificaremoscondições de existência e unicidade de soluções e o comportamento assintótico das mesmas, além deum princípio de comparação. No Capítulo 3, estudaremos as propriedades do problema (2), comocondições de existência local e global, unicidade de soluções e taxa de explosão para os casos queapresentam blow-up com base em [PLR09] e utilizando [GR01] como material de apoio.

No Capítulo 4 apresentamos um tratamento numérico para as equações (1) e (2). Para isto,seguiremos o artigo [PLR11] para estudo de uma discretização. Além disso, apresentaremos simula-ções numéricas sobre as quais poderemos verificar algumas propriedades demonstradas e conjecturaralgumas outras com base na análise dos gráficos obtidos.

1

Capítulo 1

Contextualização e descrição doproblema

Os problemas não locais vêm sendo amplamente estudados devido à sua aplicação em diversasáreas do conhecimento. Em Biologia, por exemplo, os problemas estão relacionados à dinâmica depopulações, sendo utilizados para analisar seu comportamento mediante determinadas condições.Nessa direção veja Carillo e Fife [CF05] onde uma formulação não local foi utilizada para analisar ocomportamento de uma espécie sob específicas leis de movimento. Outro exemplo é a argumentaçãoapresentada por Hutson et al. em [HMMV03], que também analisam o movimento de indivíduosem um habitat.

Outra área na qual os problemas não locais estão sendo utilizados é a computação. Em [Tt18]se analisa redes neurais não locais e em [GO08] se estuda operadores não locais com aplicações emprocessamento de imagens. Em Física Estatística, o trabalho de Fournier e Laurençot [FL06] avaliaa equação de coagulação de Smoluchowski em uma classe de núcleos homogêneos.

Além das aplicações em outras áreas, os operadores não locais estão sendo utilizados para estudarmodelos matemáticos propostos por equações diferenciais. Neste sentido, destacamos o estudo daequação de Cahn-Allen não local apresentado em [BC02] e o artigo [SMD18], dedicado a apresentaralgoritmos para resolução de modelos não locais na esfera (entre eles, a equação de Cahn-Allen).

Neste capítulo, veremos como podemos relacionar um operador não local ao operador de Laplacea fim de compreender os modelos de difusão não local.

Iniciaremos considerando uma população em um habitat N -dimensional cuja densidade na po-sição x no instante t é representada por uma função u(x, t).

Para o caso N = 1, temos a seguinte formulação, conforme apresentado por Sastre em [Góm14].Seja Ω ⊂ R um intervalo representando o habitat considerado. Dividindo-o em partes de tamanho∆x fixo, obtemos uma malha unidimensional {xi}, −M ≤ i ≤ M , na qual analisaremos a densi-dade populacional. Discretizamos o tempo em partes de tamanho ∆t. Seja u(i, t) a densidade depopulação no intervalo i, isto é, no intervalo [xi−1, xi] para −M < i ≤M , no tempo t. Assumimosprimeiramente que a taxa na qual os indivíduos saem da posição i para a posição j é constante.Consideramos que o número de indivíduos saindo do intervalo i para j é proporcional à populaçãono intervalo i, dada por u(i, t)∆x, ao tamanho do intervalo, que é ∆x, e também ao intervalo detempo durante o qual o trânsito de indivíduos está sendo analisado, isto é, ∆t. Assim, se denotamospor J(j, i) a constante de proporcionalidade temos que o número de indivíduos saindo da posição ipara a posição j durante o intervalo [t, t+ ∆t] é

J(j, i)u(i, t)∆t(∆x)2.

Analogamente, o número de indivíduos que chegam em i, vindos de todas as posições, durante

3

4 CONTEXTUALIZAÇÃO E DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 1.0

o mesmo intervalo, éM∑

j=−M+1j 6=i

J(i, j)u(j, t)∆t(∆x)2.

Temos assim que a quantidade de indivíduos em i no tempo t + ∆t é dada pela soma dosindivíduos que lá estavam com os que vieram de outras posições, menos os que saíram, isto é,

u(i, t+ ∆t)∆x = u(i, t)∆x+

M∑j=−M+1j 6=i

J(i, j)u(j, t)∆t(∆x)2 −M∑

j=−M+1j 6=i

J(j, i)u(i, t)(∆x)2(∆t),

ou seja,

u(i, t+ ∆t)∆x− u(i, t)∆x =M∑

j=−M+1j 6=i

J(i, j)u(j, t)(∆x)2∆t−M∑

j=−M+1j 6=i

J(j, i)u(i, t)(∆x)2(∆t).

Dividindo os dois lados da equação por ∆x e ∆t, obtemos

u(i, t+ ∆t)− u(i, t)∆t

=M∑

j=−M+1j 6=i

J(i, j)u(j, t)∆x−M∑

j=−M+1j 6=i

J(j, i)u(i, t)∆x.

Tomando então os limites ∆t→ 0 e ∆x→ 0, obtemos

ut(x, t) =

∫Ω

(J(x, y)u(y, t)− J(y, x)u(x, t))dy. (1.1)

Essa expressão nos fornece informações sobre a variação instantânea da densidade populacionalem um ponto x ∈ Ω. Aplicando o mesmo raciocínio para N > 1, obteremos a mesma expressão.O problema (1.1) é chamado de problema de difusão não local por considerar o movimento deindivíduos não apenas na posição x, mas em todo o domínio.

Consideramos uma função J : Rn → R satisfazendo as seguintes condições

(H)J ∈ C(RN ,R) é não negativa, com J(x) = J(−x), limitada (com K = ||J ||∞) tal que

J(0) > 0 e∫RN

J(z)dz = 1.

A hipótese (H) caracteriza J como uma função de “densidade de probabilidade”.No estudo de difusão local, uma das condições de contorno mais comuns é a de Dirichlet. No

caso, a difusão ocorre em RN , porém devemos definir o valor que ela assume fora do domínio Ω.Assim, a função u(x, t) satisfaz a expressão

ut(x, t) =∫RN J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,u(x, t) = g(x), x /∈ Ω.

Esta é a versão não local do problema de difusão com condições de Dirichlet. Note que a “condiçãode contorno” é não homogênea se g 6= 0.

Caso estejamos modelando problemas nos quais não há entrada ou saída de indivíduos numdeterminado habitat Ω (ou seja, aos indivíduos se permite movimentação apenas em Ω), temos que

1.0 5

a difusão ocorre apenas em Ω e logo procuramos soluções para o problema{ut(x, t) =

∫Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.

Este é o nosso objeto de interesse neste estudo, a versão não local do problema com condiçõesde Neumann ditas homogêneas, como destacam Sastre [Góm14], Fife [Fif03], Andreu-Vaillo et al.[AVt10] e diversos outros autores.

Como visto, podemos utilizar formulações não locais para analisar problemas que são comumentemodelados por equações locais. Veremos, a seguir, outra forma de relacionar estes dois tipos deproblemas. O estudo proposto por Fife [Fif03] relaciona o problema semilinear com condições deNeumann homogêneas

ut = ∆u− f(u) (1.2)

definido pelo operador Laplaciano ∆ =N∑i=1

∂2

∂x2ià sua versão não local

ut(x, t) =

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy − f(u(x, t)).

Caracterizaremos primeiramente −∆u como a derivada em u da integral

E0(u) =

∫Ω

1

2|∇u|2dx.

De fato, temos que

d

dtE0(u) =

∫Ω∇u∇utdx = −

∫Ωut∆udx+

∫∂Ωut∂u

∂ηdS,

onde η é o vetor normal a ∂Ω apontando para fora. Aqui utilizamos a identidade de Green.Logo, com condições de contorno apropriadas (como ut ≡ 0 ou ∂u∂η ≡ 0 em ∂Ω para todo t ≥ 0)

obtemosd

dtE0(u) = −

∫Ωut∆udx =< ut,−∆u >

em L2(Ω) para toda função u suave nessas condições. Aqui < ·, · > denota o produto interno emL2(Ω). Assim, podemos escrever formalmente que

∂E0∂u

= −∆u.

Observe que E0(u) ≥ 0. Além disso, E0(u) = 0 ⇐⇒ u é constante. Logo, a energia E0(u) medeo quanto a função u está distante de ser constante. Uma forma alternativa de obter essa medida é

E10(u) =

∫Ω

∫Ω

1

4J(x− y)(u(x)− u(y))2dxdy,

onde J satisfaz as condições dadas pela hipótese (H). Vemos que E10(u) ≥ 0 com E10 = 0 ⇐⇒ ué constante em Ω. Mas J é par e (u(x)− u(y))2 = (u(x)− u(y))u(x)− (u(x)− u(y))u(y). Logo

E10(u) =

∫Ω

∫Ω

1

4J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dxdy −

∫Ω

∫Ω

1

4J(x− y)(u(x)− u(y))u(y)dxdy

=

∫Ω

∫Ω

1

4J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dxdy +

∫Ω

∫Ω

1

4J(y − x)(u(y)− u(x))u(y)dydx


e, observando que as parcelas são iguais, obtemos que

E10(u) =

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dxdy.

Logod

dtE10(u) =

d

dt

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dxdy.

Daí, temos

d

dtE10(u) =

d

dt

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dxdy

=1

2

∫Ω

∫ΩJ(x− y)((ut(x)− ut(y))u(x) + (u(x)− u(y))ut(x))dxdy

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(x)ut(x)dxdy −

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)ut(y)u(x)dxdy −

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)ut(x)u(y)dxdy.

Utilizando a simetria de J , temos que∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)ut(y)u(x)dxdy =

∫Ω

∫Ω

1

2J(x− y)ut(x)u(y)dxdy,

e portanto

d

dtE10(u) =

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(x)ut(x)dxdy −

∫Ω

∫ΩJ(x− y)ut(x)u(y)dxdy

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))ut(x)dxdy

=〈−∫

ΩJ(x− y)(u(y)− u(x))dy, ut(x)

〉.

Assim, se escrevemos A(x) =∫

Ω J(x− y)dy, temos formalmente que

∂E10∂u

(x) = A(x)u(x)− (J ∗ u)(x),

onde J ∗ u é o operador convolução.Por meio destes produtos internos, conseguimos relacionar ∆u e A(x)u(x)− (J ∗ u)(x), ou seja,

obtivemos uma expressão não local para o Laplaciano com condições de contorno homogêneas deNeumann.

De fato, se consideramos a energia local

E(u) = E0(u) +

∫ΩW (u)dx (1.3)

com W ′(u) = f(u) e a energia não local

E1(u) = E10(u) +

∫ΩW (u)dx (1.4)

1.0 7

concluímos que

d

dtE(u) =

d

dt

(E0(u) +

∫ΩW (u)dx

)= −

∫Ωut∆udx+

∫ΩW ′(u)utdx

= −∫

Ωut∆udx+

∫Ωf(u)utdx.

Desta forma, se assumimos (1.2) obtemos que

ut = −∂E

∂u.

Por outro lado, segue da energia (1.4) que

d

dtE1(u) =

d

dt

(E10(u) +

∫ΩW (u)dx

)= A(x)u(x)− (J ∗ u)(x) +

∫ΩW ′(u)utdx

= A(x)u(x)− (J ∗ u)(x) +∫

Ωf(u)utdx.

Isso nos permite escrever∂E10∂u

= A(x)u(x)− (J ∗ u)(x) + f(u).

Portanto, relacionamos assim a equação (1.2) com condições de contorno homogêneas de Neu-mann à expressão não local dada por

ut = J ∗ u−A(x)u− f(u). (1.5)

Essas relações são muito importantes e se justificam, pelo menos formalmente, mostrando evi-dências de que o problema local (1.2) e o não local (1.5) compartilham diversas propriedades, comoveremos de maneira rigorosa no próximo capítulo.

Capítulo 2

Problema de difusão não local do tipoNeumann homogêneo

Neste capítulo são apresentadas algumas propriedades do problema de difusão não local comcondições de Neumann homogêneas. O estudo dessa equação foi realizado com base em [AVt10].

2.1 Existência e unicidade de soluções

Consideramos o problema{ut(x, t) =

∫Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy, x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,(2.1)

com J satisfazendo (H) e Ω domínio limitado em RN . Recordamos que a versão local desse problemaé formalmente dada por

ut(x, t) = ∆u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,∂u

∂η(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.

Como veremos a seguir, a equação local e sua versão não local compartilham algumas propri-edades como existência e unicidade de soluções, preservação da massa total em Ω e princípios decomparação. Entretanto, não há efeito de regularização das condições iniciais [AVt10].

Definimos como solução do problema (2.1) uma função u : [0,∞)→ L1(Ω) tal que

u(x, t) = e−A(x)tu0(x) + e−A(x)t

∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds, x ∈ Ω, t ≥ 0, (2.2)

onde A(x) =∫

Ω J(x− y)dx.Verificamos que encontrar uma função que satisfaz (2.2) é equivalente a encontrar uma solução

de (2.1). De fato, multiplicando a primeira equação em (2.1) por eA(x)t, integrando em (0, t) eutilizando a condição inicial, obtemos a condição (2.2). Por outro lado, se partimos da definição desolução temos


∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds

⇒ eA(x)tu(x, t) = u0(x) +∫ t

0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds.

9

10 PROBLEMA DE DIFUSÃO NÃO LOCAL DO TIPO NEUMANN HOMOGÊNEO 2.1

Derivando em relação a t, obtemos

A(x)eA(x)tu(x, t) + eA(x)tut(x, t) = eA(x)t

∫ΩJ(x− y)u(y, t)dy

⇒u(x, t)A(x) + ut(x, t) =∫

ΩJ(x− y)u(y, t)dy

⇒ut(x, t) =∫

ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy.

Portanto, procuramos uma função que satisfaça a definição (2.2). Para tanto, seguimos o racio-cínio apresentado por Pérez-Llanos e Rossi em [PLR09]. Iniciamos definindo, para t0 > 0 fixado, oseguinte espaço

Yt0 = {w ∈ C([0, t0], L1(Ω))} com a norma

||w||Yt0 = max0≤t≤t0||w(·, t)||L1(Ω)= max

0≤t≤t0

{∫Ω|w(x, t)|dx

}.

Nesse espaço, definimos o operador Tw0 : Yt0 → Yt0 por

Tw0(w)(x, t) = e−A(x)tw0(x) + e

−A(x)t∫ t

0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)(w(y, s)− w(x, s))dyds,

para x ∈ Ω, t > 0 e w0 ∈ L1(Ω).A solução do problema (2.2) é um ponto fixo do operador Tu0 , cuja existência é garantida pelo

Teorema do Ponto Fixo de Banach desde que este seja uma contração estrita e o espaço seja deBanach.

Primeiramente, verificamos que (Yt0 , ||·||Yt0 ) é um espaço de Banach. Tomando uma sequênciade Cauchy (xm) ⊂ Yt0 , observamos que

||xm − xn||Yt0→ 0 quando m,n→∞.⇒ max

0≤t≤t0||xm(t)− xn(t)||L1(Ω)→ 0 quando m,n→∞.

Vemos então que, para todo t ∈ [0, t0], (xm(t)) é uma sequência de Cauchy em L1(Ω). ComoL1(Ω) é um espaço de Banach, a sequência converge para x(t) ∈ L1(Ω). Para cada t ∈ [0, t0]tomamos x(t) = lim

n→∞xn(t) em L1(Ω).

Sejam 0 ≤ t′ ≤ t ≤ t0. Como as funções xn(t) estão em Yt0 , elas são contínuas em t. Logo, paratodo m fixado, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

|t− t′|≤ δ ⇒ |xm(t)− xm(t′)|<ε

3.

Pela convergência das sequências, dado ε > 0, existe N1 > 0 tal que |x(t)−xm(t)|≤ ε3 ,∀m > N1.Da mesma forma, existe N2 > 0 tal que |xm(t′) − x(t′)|≤ ε3 ,∀m > N2. Tomemos então N =max{N1, N2}. Assim, para m > N ,

|x(t)− xm(t)|<ε

3e |xm(t′)− x(t′)|<

ε

3.

Temos

|x(t)− x(t′)| = |x(t)− xm(t) + xm(t)− xm(t′) + xm(t′)− x(t′)|≤ |x(t)− xm(t)|+|xm(t)− xm(t′)|+|xm(t′)− x(t′)|.

2.1 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES 11

Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

|t− t′|≤ δ ⇒ |x(t)− x(t′)|< ε3

+ε

3+ε

3= ε.

Logo x ∈ Yt0 de onde concluímos que Yt0 é um espaço vetorial normado e completo, i.e.,um espaço de Banach. Além disso, obtemos que o operador Tw0 está bem definido, isto é, queTw0(w) ∈ C([0, t0], L1(Ω)). Primeiro, vemos que∫

Ω|Tw0w(x, t)|dx =

∫Ω|e−A(x)tw0(x) + e−A(x)t

∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)w(y, s)dyds|dx

≤ ||w0||L1(Ω)+||J ||∞∫

ΩeA(x)t0

∫ t0||w(s)||L1(Ω)dsdx

≤ ||w0||L1(Ω)+||J ||∞|Ω|et0t0||w||Yt0 ,

pois e−A(x)t ≤ 1 e eA(x)t é crescente, dado que A(x) é positivo pela hipótese (H). Aqui tambémutilizamos que A(x) ≤ 1. Portanto, Tw0 ∈ L1(Ω). Agora, como w0, w(x, t) e e−A(x)t são contínuasem t temos que Tw0w(x, t) também é contínua em t, de onde concluímos que o operador Tw0 estábem definido.

Para verificar a existência e a unicidade de solução do problema (2.1), utilizamos o lema a seguir.

Lema 2.1.1. Sejam w0, z0 ∈ L1(Ω) e w, z ∈ Yt0. Então existe uma constante C dependendo apenasde J e Ω tal que

||Tw0(w)− Tz0(z)||Yt0≤ Ct0||w − z||Yt0 +||w0 − z0||L1(Ω).

Demonstração: Temos que∣∣∣∣∣∫

ΩTw0(w)(x, t)− Tz0(z)(x, t)dx

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫

Ω

(e−A(x)tw0(x) + e

−A(x)t∫ t

0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)w(x, s)dyds

−e−A(x)tz0(x) + e−A(x)t∫ t

0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)z(x, s)dyds

)dx

∣∣∣∣∣≤∫

Ω|w0 − z0|(x)dx+ et0

∫Ω

∣∣∣∣∣∫ t

0

∫ΩJ(x− y)(w(y, s)− z(y, s))dyds

∣∣∣∣∣dx.Para analisar a segunda parcela da soma acima, utilizamos a desigualdade de Hölder e obtemos

et0∫

Ω

∣∣∣∣∣∫ t

0


∣∣∣∣∣dx ≤ et0∫

Ω

∫ t0

∫Ω|J(x− y)||w − z|(y, s)dydsdx

≤et0∫

Ω

∫ t0||J ||L∞(Ω)||w(·, s)− z(·, s)||L1(Ω)dsdx ≤ et0

∫ΩtK||w − z||Yt0dx

≤et0tK|Ω|||w − z||Y t0 .

Tomando o máximo em t nos dois lados, obtemos

||Tw0(w)(x, t)− Tz0(z)(x, t)||Yt0≤ ||w0 − z0||L1(Ω)+Ct0||w − z||Yt0 ,

provando assim a estimativa desejada. �

O teorema a seguir estabelece a condição de existência e unicidade de soluções em Ω× [0,∞).

Teorema 2.1.1. Para cada u0 ∈ L1(Ω), existe uma única solução do problema (2.1) em [0,∞).


Demonstração: Seja t0 tal que Ct0 < 1. Consideramos ainda, no lema anterior, w0 ≡ z0 ≡ u0.Dessa forma, obtemos

||Tu0(w)− Tu0(z)||Yt0< Ct0||w − z||Yt0 ,

logo Tu0 é uma contração de Yt0 em Yt0 . Pelo teorema do ponto fixo de Banach, Tu0 tem um pontofixo u ∈ Yt0 . Assim,


∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds, x ∈ Ω, t ∈ [0, t0].

Como visto, u é solução em [0, t0]. Para obter uma solução definida em [0, 2t0], podemos tomarcomo condição inicial a função u(x, t0) e aplicar o procedimento acima. Podemos então obter umasolução definida em [0, nt0], para todo n, tomando como condição inicial a função u(x, (n − 1)t0).Assim, concluímos que existe uma única solução do problema em [0,∞). �

2.2 Comportamento assintótico das soluções

Nesta seção é estudado o comportamento das soluções da equação não local linear. Para isto,iniciamos verificando que as soluções preservam a massa total em Ω.

Teorema 2.2.1. Para cada u0 ∈ L1(Ω), a única solução u do problema (2.1) preserva a massatotal em Ω, isto é, ∫

Ωu(x, t)dx =

∫Ωu0(x)dx ∀t ∈ [0,+∞).

Demonstração: Como u é solução, podemos escrevê-la na forma

u(x, t) = u0(x) +

∫ t0

∫ΩJ(x− y)(u(y, s)− u(x, s))dyds.

Integrando os dois lados da equação em x, aplicando o teorema de Fubini e observando que Jé radial, obtemos que∫

Ωu(x, t)dx =

∫Ωu0(x)dx+

∫Ω

∫ t0

∫ΩJ(x− y)(u(y, s)− u(x, s))dydsdx

=

∫Ωu0(x)dx+

∫ t0

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dydxds−

∫ t0

∫Ω

∫ΩJ(y − x)u(x, s)dxdyds

=

∫Ωu0(x)dx.

�

Prosseguimos com um resultado referente às soluções estacionárias do problema linear. Procurarsoluções estacionárias para o problema é equivalente a encontrar soluções para a equação

0 =

∫ΩJ(x− y)(ϕ(y)− ϕ(x))dy, (2.3)

pois u(x, t) = ϕ(x) ⇐⇒ ut(x, t) = 0.A proposição a seguir refere-se à forma das soluções estacionárias da equação linear.

Proposição 2.1. Toda solução estacionária do problema (2.1), isto é, toda função ϕ ∈ L1(Ω) quesatisfaz (2.3) é constante.

2.2 COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DAS SOLUÇÕES 13

Demonstração: A equação (2.3) implica que ϕ é contínua em Ω, e portanto pode ser estendidacontinuamente para o fecho Ω. De fato, temos que J(0) > 0 e

ϕ(x) =1

A(x)

∫ΩJ(x− y)ϕ(y)dy, ∀x ∈ Ω.

A integral∫

ΩJ(x− y)ϕ(y)dy é contínua devido à regularidade de J . Seja g(x) = 1

A(x). Em decor-

rência da hipótese (H) a função J é uniformemente contínua em conjuntos compactos de RN . Logo,dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se |x− x′|< δ, então |J(x− y)− J(x′ − y)|< ε. Tem-se então

|A(x)−A(x′)| =∣∣∣∣ ∫

ΩJ(x− y)dy −

∫ΩJ(x′ − y)dy

∣∣∣∣≤∫

Ω|J(x− y)− J(x′ − y)|dy < ε|Ω|,

de onde concluímos que A(x) é contínua. Verificamos que A(x) ≥ C > 0 em Ω. De fato, se issonão ocorre, então existe uma sequência (xn) ⊂ Ω tal que 0 ≤ A(xn) ≤ 1n . Desta forma, vemos queA(xn) → 0 e podemos supor, tomando uma subsequência se necessário, que xn → x ∈ Ω, pois(xn) ⊂ Ω, que é um conjunto limitado e fechado. Se x ∈ Ω, A(xn)→ A(x) pela continuidade de Ae portanto

0 = A(x) =

∫ΩJ(x− y)dy > 0,

pois J(0) > 0 e J ≥ 0 por (H) e chegamos assim a um absurdo. Caso x ∈ ∂Ω, tem-se∫

Ω J(x−y)dy =0, o que também é absurdo por (H), uma vez que J é não nula em uma vizinhança de 0. Logo, A(x)é estritamente positiva e a função g(x) é contínua, o que implica na continuidade de ϕ. Assim ϕadmite extensão contínua para Ω.

Sejam agora K = maxx∈Ω

ϕ(x) e Z = {x ∈ Ω|ϕ(x) = K}. O conjunto Z é não vazio e, por ser

imagem inversa de um conjunto fechado por uma função contínua, também será fechado em Ω.Então, para provar que Z = Ω, basta provar que Z é aberto em Ω. Tomamos x0 ∈ Z. Daí

0 =

∫ΩJ(x0 − y)(ϕ(y)− ϕ(x0))dy.

Como J é não negativa, J(0) > 0 e ϕ(y) ≤ ϕ(x0), vale que ϕ(y) = ϕ(x0) para y ∈ Ω ∩ Bδ(x0)onde δ é tomado tal que Bδ(0) ⊂ supp(J). Portanto, Z é aberto e concluímos que Z = Ω já que Ωé conexo. Logo ϕ é constante, ou seja, ϕ(x) ≡ K. �

Avaliamos então o comportamento das soluções em relação à solução estacionária

ϕ =1

|Ω|

∫Ωu0(x)dx.

Observe que ∫Ωϕdy =

∫Ωu0(x)dx =

∫Ωu(x, t)dx, ∀ t > 0.

Consideramos então a quantidade

β1 = infu∈L2(Ω)∫

Ω u=0u6=0

12

∫Ω

∫Ω J(x− y)(u(y)− u(x))

2dx∫Ω u

2(x)dx. (2.4)

Conforme veremos, as soluções do problema convergem exponencialmente para ϕ de acordo como valor de β1. Neste sentido, verificamos algumas estimativas para tal quantidade.


Proposição 2.2. Dado β1 conforme definido acima, β1 > 0.

Demonstração: Primeiramente, temos que β1 ≥ 0, pois1

2

∫Ω

∫ΩJ(x − y)(u(y) − u(x))2dx e∫

Ωu2(x)dx são não negativos. Para provar que β1 é estritamente positivo, considere o conjunto

H = {u ∈ L2(Ω)|∫

Ω u(x)dx = 0} e o operador T : H → H dado por

T (u)(x) =

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))dy = −

∫ΩJ(x− y)u(y)dy +A(x)u(x),

onde A(x) =∫

ΩJ(x− y)dy.

Temos que T é auto-adjunto, pois

< u, Tv > − < Tu, v >

=

∫Ω

(u(x)

∫ΩJ(x− y)(v(x)− v(y))dy

)dx−

∫Ω

(v(x)

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))dy

)dx

=

∫Ω

∫Ω

(u(x)J(x− y)(v(x)− v(y))− v(x)J(x− y)(u(x)− u(y))

)dxdy

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(−u(x)v(y) + v(x)u(y))dxdy

= −∫

Ω

∫ΩJ(x− y)u(x)v(y)dxdy +

∫Ω

∫ΩJ(x− y)v(x)u(y)dxdy

= −∫

Ωv(y)

∫ΩJ(x− y)u(x)dxdy +

∫Ωv(x)

∫ΩJ(y − x)u(y)dydx

= 0,

onde utilizamos o Teorema de Fubini e a simetria de J . O operador T é a soma de dois operadores,sendo eles B(u)(x) = A(x)u(x), que é inversível uma vez que A(x) é estritamente positiva, eD(u)(x) = −

∫Ω J(x − y)u(y)dy, que é compacto, por ser um operador de Hilbert-Schmidt (ver

[Bre10]). Então, como T é simétrico, seu espectro σ(T ) é tal que σ(T ) ⊂ [m,M ], onde

m = infu∈H

||u||L2(Ω)=1

< Tu, u > e M = supu∈H

||u||L2(Ω)=1

< Tu, u > .

Vemos que

m = infu∈H

||u||L2(Ω)=1

< Tu, u >

= infu∈H

||u||L2(Ω)=1

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dydx

= infu∈H

||u||L2(Ω)=1

∫Ω

∫Ω J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dydx∫

Ω u2(x)dx

.

Mas ∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dydx =

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y)− u(x))u(y)dxdy


e ainda ∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dydx+

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y)− u(x))u(y)dxdy

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y)− u(x))2dydx,

logo

infu∈H

||u||L2(Ω)=1

∫Ω

∫Ω J(x− y)(u(x)− u(y))u(x)dydx∫

Ω u2(x)dx

= infu∈H

||u||L2(Ω)=1

12

∫Ω

∫Ω J(x− y)(u(y)− u(x))

2dydx∫Ω u

2(x)dx

e portanto m = β1. Sabemos que m ≥ 0. Suponha então que m = 0. Se isso ocorre, 0 ∈ σ(T ), ouseja, T não é inversível. Assim, T (u) = 0 possui solução não trivial, isto é,

T (u)(x) =

∫ΩJ(x− y)(u(x)− u(y))dy = 0

para u não trivial. Pela proposição (2.1), u deve ser constante. Entretanto, u ∈ H, onde H é ocomplemento ortogonal das constantes, o que nos leva a uma contradição. Portanto, β1 > 0. �

Estabelecemos agora um limite superior para o valor de β1.

Lema 2.2.1. Seja β1 conforme definido em (2.4). Então β1 ≤ minx∈Ω

∫ΩJ(x− y)dy.

Demonstração: Seja A(x) =∫

ΩJ(x − y)dy. Como Ω é compacto e A é uma função contínua,

então existe x0 ∈ Ω tal que A(x0) = minx∈Ω

A(x). Para cada ε pequeno, sejam Bε(x1(ε)) e Bε(x2(ε))

duas bolas disjuntas contidas em Ω, ambas com raio ε, com x1 e x2 de modo que xi(ε)→ x0, parai = 1, 2, quando ε→ 0. Consideramos então a função característica

χB(x) =

{1, se x ∈ B,0, se x /∈ B,

(2.5)

que utilizamos como função teste em β1. Usando uε(x) = χBε(x1(ε))(x)− χBε(x2(ε))(x), temos que∫Ωuε(x)dx = 1|Bε(0)|−1|Bε(0)|= 0. (2.6)

Vale que

β1 ≤12

∫Ω

∫Ω J(x− y)(uε(y)− uε(x))

2dydx∫Ω u

2ε(x)dx

=

∫Ω

∫Ω J(x− y)(uε(x)− uε(y))uε(x)dydx∫

Ω u2ε(x)dx

.

Por outro lado∫Ωu2ε(x)dx =

∫Ωχ2Bε(x1(ε))(x)dx−

∫Ω

2χBε(x1(ε))(x)χBε(x2(ε))(x)dx+

∫Ωχ2Bε(x2(ε))(x)dx

= 2|Bε(0)|.


Logo ∫Ω

∫Ω J(x− y)(uε(x)− uε(y))uε(x)dydx∫

Ω u2ε(x)dx

=

∫ΩA(x)u

2ε(x)dx−

∫Ω

∫Ω J(x− y)uε(y)uε(x)dydx

2|Bε(0)|.

Temos ainda que∫Ω

∫ΩJ(x− y)uε(y)uε(x)dydx =

∫Ωuε(x)

∫ΩJ(x− y)uε(y)dydx ≤

∫Ωuε(x) · C0dx = 0

por (2.6). Neste caso, C0 = |Ω|K, pois∫ΩJ(x− y)uε(y)dy ≤ K

∫Ωuε(y)dy ≤ K|Ω|.

Obtemos assim ∫ΩA(x)u

2ε(x)dx−

∫Ω


2|Bε(0)|

=

∫ΩA(x)u

2ε(x)dx

2|Bε(0)|

=

∫ΩA(x)(χ

2Bε(x1(ε))

(x) + χ2Bε(x2(ε))(x))dx

2|Bε(0)|

Tomando o limite da expressão acima, obtemos

limε→0

∫ΩA(x)u

2ε(x)dx−

∫Ω


2|Bε(0)|= A(x0).

Assim, temos que β1 ≤ A(x0) = minx∈Ω

∫ΩJ(x− y)dy. �

Por fim, apresentamos o resultado principal desta seção, que estima a convergência, em certosentido, da solução da equação linear não local para o valor médio da condição inicial.

Teorema 2.2.2. Para todo u0 ∈ L2(Ω), a solução u(x, t) de (2.1) satisfaz∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u(·, t)− 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2(Ω)

≤ e−β1t∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u0 − 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2(Ω)

(2.7)

para β1 como em (2.4). Além disso, se u0 é contínua e limitada, existe uma constante positiva C > 0tal que ∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣u(·, t)− 1|Ω|∫

Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L∞(Ω)

≤ Ce−β1t. (2.8)

Demonstração: Definimos

H(t) =1

2

∫Ω

(u(x, t)− 1

|Ω|

∫Ωu0

)2dx.


Derivando a expressão acima, obtemos

H ′(t) =1

2

∫Ω

2

(u(x, t)− 1

|Ω|

∫Ωu0

)ut(x, t)dx

=

∫Ωu(x, t)

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dydx− 1

|Ω|

∫Ω

((∫Ωu0

)∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy

)dx

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(x, t)(u(y, t)− u(x, t))dydx− 1

|Ω|

(∫Ωu0

)∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dydx

=

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(x, t)(u(y, t)− u(x, t))dydx

= −12

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))2dydx.

Temos, pela conservação da massa,∫Ω

(u(x, t)dx− 1

|Ω|

∫Ωu0

)dx =

∫Ωu(x, t)dx− 1

|Ω|

∫Ω

(∫Ωu0(y)dy

)dx

=

∫Ωu(x, t)dx− |Ω|

|Ω|

∫Ωu0(x)dx = 0.

Logo, temos que u(x, t)− 1|Ω|

∫Ωu0 = w(x, t) ∈

{v ∈ L2(Ω),

∫Ωv = 0

}. Portanto

12

∫Ω

∫Ω J(x− y)((u(y, t)−

1|Ω|∫

Ω u0)− (u(x, t)−1|Ω|∫

Ω u0))2dydx∫

Ω (u(x, t)−1|Ω|∫

Ω u0)2dx

=12

∫Ω

∫Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))

2dydx∫Ω (u(x, t)−

1|Ω|∫

Ω u0)2dx

≥β1,

pela definição de β1. Multiplicando os dois lados da desigualdade por −∫

Ω

(u(x, t)− 1

|Ω|

∫Ωu0

)2dx

obtemos

−12

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))2dydx ≤ −β1

∫Ω

(u(x, t)− 1

|Ω|

∫Ωu0

)2dx.

Utilizando a expressão de H(t), segue-se que

H ′(t) ≤ −2β1H(t).

Integrando em (0, t),H(t) ≤ H(0)e−2β1t.


Desta forma, observamos que

H(t) =1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u(·, t)− 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

L2(Ω)

≤ 12

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u0 − 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

L2(Ω)

e−2β1t

⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u(·, t)− 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2(Ω)

≤

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u0 − 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2(Ω)

e−β1t,

que é a estimativa (2.7).Para verificar a estimativa (2.8), definimos a função

w(x, t) = u(x, t)− 1|Ω|

∫Ωu0,

cuja norma em L∞(Ω) avaliamos.Como o operador que define o problema (2.1) é linear, temos que w é solução do problema em

H. Logo satisfaz

w(x, t) = e−A(x)tw0(x) + e−A(x)t

∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)w(y, s)dyds,

onde A(x) =∫

Ω J(x− y)dy e w0(x) = u0(x)−1

|Ω|

∫Ωu0.

Temos que

|w(x, t)|≤ e−A(x)t|w0(x)|+e−A(x)t∫ t

0eA(x)s

∫Ω|J(x− y)||w(y, s)|dyds.

Utilizando a estimativa (2.7), que se refere à norma de w em L2(Ω), e a desigualdade de Hölder,temos que ∫

ΩJ(x− y)|w(y, s)|dy ≤M

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u0 − 1|Ω|

∫Ωu0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣L2(Ω)

e−β1s,

onde M = maxx∈Ω||J(x− ·)||L2(Ω). Assim

|w(x, t)|≤ e−A(x)t|w0(x)|+C1e−A(x)t∫ t

0eA(x)s−β1sds,

o que nos aponta o decaimento exponencial de w. Pelo Lema 2.2.1, A(x) − β1 ≥ 0. Na integralacima, se A(x) = β1, a estimativa é verificada com C = C1 pois a desigualdade é válida para todot. Caso contrário,∫ t

0eA(x)s−β1sds =

1

A(x)− β1e(A(x)−β1)t − 1

A(x)− β1≤ 1A(x)− β1

e(A(x)−β1)t,

e assim

|w(x, t)|≤ e−A(x)t|w0(x)|+Ce−β1t

A(x)− β1.

Portanto, considerando t→∞, temos que existe uma constante C tal que

||w(·, t)||L∞(Ω)≤ Ce−β1t,

conforme a estimativa (2.8). �

2.3 SUBSOLUÇÕES E SUPERSOLUÇÕES 19

2.3 Subsoluções e supersoluções

Concluímos o capítulo com a definição de supersolução e resultados referentes à preservação desinal das soluções.

Definição 2.3.1. Uma função u ∈ C(Ω× [0, T ]) é uma supersolução do problema (2.1) se

ut(x, t) ≥∫

ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy.

Invertendo as desigualdades, definimos subsoluções.

Lema 2.3.1. Seja u0 ≥ 0. Se u ∈ C(Ω× [0, T ]) é uma supersolução do problema (2.1), então u ≥ 0.

Demonstração: Suponha que u é negativa em algum ponto (x1, t1). Consideramos a funçãov(x, t) = u(x, t) + εt, com ε tão pequeno que v(x1, t1) ainda seja negativa. Seja (x0, t0) o ponto demínimo da função v. Como u0 ≥ 0, temos que t0 > 0 e

vt(x0, t0) = ut(x0, t0) + ε

>

∫ΩJ(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy

=

∫ΩJ(x0 − y)(v(y, t0)− v(x0, t0))dy ≥ 0,

pois J é positiva e v(y, t0) ≥ v(x0, t0) . Assim, vt(x0, t0) > 0, o que é uma contradição pois (x0, t0)é ponto de mínimo de v. Portanto, u ≥ 0. �

Corolário 2.3.0.1. Seja u ∈ C(Ω× [0, t]) uma solução do problema (2.1) com u0 ≥ 0. Então u ≥ 0.

Demonstração: Uma solução u ∈ C(Ω× [0, t]) é uma supersolução do problema (2.1) que satisfazas hipóteses do Lema 2.3.1. Portanto, u ≥ 0. �

Destacamos que Andreu-Vaillo et al. [AVt10] argumentam que vale um resultado mais geral queenunciaremos a seguir.

Lema 2.3.2. Sejam u0, v0 ∈ L1(Ω) com u0 ≥ v0. Sejam u e v soluções do problema (2.1) comcondições iniciais u0 e v0, respectivamente. Então u ≥ v.

Demonstração: Seja w = u − v. Esta função é solução do problema (2.1) com condição inicialw0 = u0 − v0 ≥ 0. Considerando o Lema 2.1.1, obtemos a continuidade da solução em relação àcondição inicial. Além disso, J ∈ L∞(RN ). Desta forma, podemos considerar que u e v são contínuas,o que implica na continuidade de w. Estamos então nas hipóteses de (2.3.1) e portanto w ≥ 0. (ver[AVt10]). �

Destacamos, entretanto, a necessidade de considerar que a solução é contínua. Isto é feito con-siderando a densidade de C(Ω) em L1(Ω), o que nos permite afirmar que qualquer solução pode seraproximada por uma função contínua.

Concluímos esta seção com um resultado de comparação entre subsoluções e supersoluções.

Corolário 2.3.0.2. Sejam u ∈ C(Ω× [0, t]) e v ∈ C(Ω× [0, t]) uma supersolução e uma subsoluçãodo problema (2.1). Então, u ≥ v.

Demonstração: Seja w = u− v. A função w é supersolução do problema (2.1) com w0 ≡ 0. Daí,w ≥ 0. �

Capítulo 3

Problema com condições de Neumann eum termo de reação

Consideramos então o problema de difusão não local com condições de contorno de Neumann eum termo de reação não linear, dado por{

ut(x, t) =∫

Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + |u|p−1u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,(3.1)

onde J satisfaz (H) e p > 0. Este problema apresenta algumas propriedades semelhantes ao problemalocal correspondente dado por

ut(x, t) = ∆u(x, t) + |u|p−1u(x, t), x ∈ Ω, t > 0,∂u

∂η(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.

A seguir, estudamos propriedades relativas ao problema (3.1), como existência e unicidade desoluções, condições de explosão, entre outros, com base na discussão apresentada por Pérez-Llanose Rossi em [PLR09]. Vemos também que, se a condição inicial u0(x) for não trivial e não negativa,então a solução é não negativa em todos os pontos de [0, T )×Ω fazendo com que o problema (3.1)seja equivalente a{

ut(x, t) =∫

Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + up(x, t), x ∈ Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,(3.2)

com p > 0.

3.1 Existência e unicidade de soluções

Compreendemos aqui como solução do problema (3.1) uma função u ∈ C([0, T ), C(Ω)) quesatisfaz (3.1).

Para verificarmos a existência e a unicidade de soluções utilizamos o Teorema do Ponto Fixode Banach com base nas ideias apresentadas em [Góm14] e [PLR09]. Para tanto, fixamos t0 > 0 econsideramos o espaço Xt0 = C([0, t0], C(Ω)) com a norma

||w||Xt0 = max0≤t≤t0||w(·, t)||L∞(Ω)= max0≤t≤t0

maxx∈Ω|w(x, t)|.

O espaço Xt0 é de Banach. De fato, seja (xn) uma sequência de Cauchy em Xt0 . Então

||xm − xn||Xt0→ 0 quando m,n→∞.

21

22 PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE NEUMANN E UM TERMO DE REAÇÃO 3.1

Logo, fixado t ∈ [0, t0],

||xm(t)− xn(t)||L∞(Ω)→ 0 quando m,n→∞,

pois, se o máximo de ||xm(t) − xn(t)||L∞(Ω) em [0, t0] tende a zero, então o mesmo acontece paracada valor de t. Dessa forma, (xn(t)) é uma sequência de Cauchy em C(Ω).

O espaço (C(Ω), ||·||∞) é de Banach e x(t) := limn→∞

xn(t) é o limite uniforme de uma sequênciade funções contínuas, portanto é contínua. Do mesmo modo, podemos concluir que x(t) é contínuaem t. Portanto, o espaço Xt0 é de Banach.

Consideramos então o operador Tw0 : Xt0 → Xt0 dado por

Tw0(w)(x, t) = e−A(x)tw0(x) +

∫ t0e−A(x)(t−s)

(∫ΩJ(x− y)w(y, s)dy + |w|p−1w(x, s)

)ds, (3.3)

no qual A(x) =∫

Ω J(x− y)dy e w0 ∈ C(Ω). Utilizamos esse operador para verificar a existência ea unicidade de uma solução para o problema (3.1) com condição inicial w0. Para isto, provamos oseguinte lema.

Lema 3.1.1. Seja w0 ∈ C(Ω) e considere Tw0 : Xt0 → Xt0 o operador definido por (3.3). EntãoTw0 está bem definido e satisfaz para todo aberto limitado U ∈ Xt0 que

||Tw0(w)− Tz0(z)||Xt0≤ ||w0 − z0||L∞(Ω) + Ct0||w − z||Xt0

para todo w0, z0 ∈ C(Ω) e todo w, z ∈ U . Além disso, para t0 suficientemente pequeno, Tu0 é umacontração estrita na bola B(u0, 2||u0||L∞(Ω)).

Demonstração: Primeiramente, verificamos que Tw0 está bem definido. Para todos (x, t1), (x, t2) ∈Ω× [0, t0], com t2 ≥ t1, vale

|Tw0(w)(x, t2)− Tw0(w)(x, t1)|

=

∣∣∣∣w0(x)(e−A(x)t2 − eA(x)t1) + ∫ t2t1

e−A(x)(t−s)∫

ΩJ(x− y)w(y, s)dyds+

∫ t2t1

e−A(x)(t−s)|w|p−1w(x, s)ds∣∣∣∣

≤|w0(x)(e−A(x)t2 − eA(x)t1)|+∫ t2t1

e−A(x)(t−s)∫

Ω|J(x− y)||w(y, s)|dyds+

∫ t2t1

e−A(x)(t−s)|w|p(x, s)ds

≤||w0||L∞(Ω)|e−A(x)t2 − eA(x)t1 |+(t2 − t1)K|Ω|||w||Xt0 +(t2 − t1)||w||pXt0

≤||w0||L∞(Ω)|e−A(x)t0 − 1|+(t2 − t1) max {K|Ω|, 1} (||w||Xt0 +||w||pXt0

).

Utilizamos acima os fatos de que A(x) > 0 em Ω e que e−t ≤ 1 se t ≥ 0. Assim, vemos que Tw0 écontínua para todo t ∈ [0, t0].

Temos que Tw0(w) é contínua em x, pois w0 é contínua e a convolução com J também o é, vistoque w é contínua em x. Portanto, Tw0 está bem definida.

Provamos então a estimativa. Sejam w0, z0 ∈ C(Ω) e w, z ∈ Xt0 . Para todo (x, t) ∈ Ω × [0, t0],


vale

|Tw0(w)(x, t)− Tz0(z)(x, t)|

=

∣∣∣∣e−A(x)t(w0(x)− z0(x)) + ∫ t0e−A(x)(t−s)


+

∫ t0e−A(x)(t−s)(|w|p−1w(x, s)− |z|p−1z(x, s))ds

∣∣∣∣≤e−A(x)t||w0 − z0||L∞(Ω)+

∣∣∣∣∫ t0e−A(x)(t−s)


∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ t0e−A(x)(t−s)(|w|p−1w(x, s)− |z|p−1z(x, s))ds

∣∣∣∣≤||w0 − z0||L∞(Ω)+


∫Ω|J(x− y)||w − z|(y, s)dyds

+

∫ t0e−A(x)(t−s)||w|p−1w(x, s)− |z|p−1z(x, s)|ds.

Consideramos então a função f : R→ R dada por f(x) = |x|p−1x. Temos que

f ′(x) =

{pxp−1, se x > 0,(−1)p−1pxp−1, se x < 0.

Daí, pelo Teorema do Valor Médio, para 0 < x < y, existe a ∈ (x, y) tal que

|f ′(a)|= |f(x)− f(y)||x− y|

⇒ p|ap−1||x− y|= |x|x|p−1−y|y|p−1|.

Logo, a partir dessa análise, verificamos que para cada (x, s) ∈ Ω×[0, t0] existe η ∈ (w(x, s), z(x, s))que satisfaz

||w|p−1w(x, s)− |z|p−1z(x, s)|= pηp−1|w(x, s)− z(x, s)|.

Podemos então tomar η ≤ max{||w||Xt0 , ||z||Xt0

}de modo que valha a desigualdade

||w|p−1w(x, s)− |z|p−1z(x, s)|≤ pηp−1|w(x, s)− z(x, s)|.

Utilizamos ainda os fatos de que A(x) > 0 para todo x e e−t ≤ 1 se t ≥ 0 para obter

|Tw0(w)(x, t)− Tz0(z)(x, t)| ≤ ||w0 − z0||L∞(Ω)+∫ t

0K|Ω|||w(·, s)− z(·, s)||L∞(Ω)ds

+ pηp−1∫ t

0||w(·, s)− z(·, s)||L∞(Ω)ds

≤ ||w0 − z0||L∞(Ω)+K|Ω|t||w − z||Xt0 +pηp−1t||w − z||Xt0

= (K|Ω|+pηp−1)t|||w − z||Xt0 .

Logo, tomando o máximo nos dois lados da desigualdade, obtemos

||Tw0(w)− Tz0(z)||Xt0 ≤ ||w0 − z0||L∞(Ω)+K|Ω|t0||w − z||Xt0 +pηp−1|t0||w − z||Xt0

= ||w0 − z0||L∞(Ω)+(K|Ω|+pηp−1)t0|||w − z||Xt0

= ||w0 − z0||L∞(Ω)+Ct0|||w − z||Xt0

e a estimativa está provada.


Escolhendo então t0 tal que Ct0 < 12 e u0 ≡ w0 ≡ z0, temos

||Tu0(w)− Tu0(z)||Xt0≤ Ct0||w − z||Xt0< ||w − z||Xt0 .

Então, Tu0 é uma contração estrita na bola B(u0, 2||u0||L∞(Ω)). �

A partir daqui, podemos provar resultados referentes à existência e à unicidade de soluçõescontínuas para o problema. Além disso, provamos uma identidade acerca da massa total em Ω.

Teorema 3.1.1. Para toda função u0 ∈ C(Ω) existe uma solução u ∈ C([0, T ), C(Ω)) de (3.1),onde T é o tempo maximal de existência da solução. Se T for finito, então a solução explode nanorma L∞(Ω), isto é

limt→T−

sup||u(·, t)||L∞(Ω)=∞.

Além disso, a massa total de u em Ω verifica a identidade∫Ωu(x, t)dx =

∫Ωu0(x)dx+

∫ t0

∫Ω|u|p−1u(x, s)dxds.

Demonstração: Sejam Xt0 e Tu0 como definidos no Lema 3.1.1. Aplicando o Teorema do PontoFixo de Banach ao operador Tu0 verificamos que o mesmo possui apenas um ponto fixo, pois é umacontração (ver [Hön61]). Assim, existe uma única função u ∈ Xt0 tal que

u(x, t) = e−A(x)tu0(x) +


∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)|u|p−1u(x, s)ds.

Verificamos então que uma função é solução do problema (3.1) se e somente se for ponto fixo deTu0 .

Se u é ponto fixo do operador Tu0 , então

u(x, t) = e−A(x)tu0(x) +

∫ t0

∫ΩJ(x− y)e−A(x)(t−s)u(y, s)dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)|u|p−1u(x, s)ds

⇒ eA(x)tu(x, t) = u0(x) +∫ t

0

∫ΩJ(x− y)eA(x)su(y, s)dyds+

∫ t0eA(x)s|u|p−1u(x, s)

⇒ A(x)eA(x)tu(x, t) + eA(x)tut(x, t) = eA(x)t∫

ΩJ(x− y)u(y, t)dy + eA(x)t|u|p−1u(x, t)

e, como eA(x)t 6= 0, temos

A(x)u(x, t) + ut(x, t) =

∫ΩJ(x− y)u(y, t)dy + |u|p−1u(x, t)

⇒ ut(x, t) =∫

ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + |u|p−1u(x, t).

Por outro lado, se ut(x, t) =∫

Ω J(x− y)u(y, t)dy −A(x)u(x, t) + |u|p−1u(x, t), então

eA(x)tut(x, t) = eA(x)t

∫ΩJ(x− y)u(y, t)dy − eA(x)tA(x)u(x, t) + eA(x)t|u|p−1u(x, t).

Integrando por partes o lado esquerdo da igualdade, temos∫ t0eA(x)sut(x, s)ds = u(x, t)e

A(x)t −∫ t

0eA(x)sA(x)u(x, s)ds− u0(x).


Obtemos assim

u(x, t)eA(x)t −∫ t

0eA(x)sA(x)u(x, s)ds− u0(x) =

∫ t0eA(x)s

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds

−∫ t

0eA(x)sA(x)u(x, s)ds+

∫ t0eA(x)s|u|p−1u(x, s)ds

⇒ u(x, t) = u0(x)e−A(x)t +∫ t

0e−A(x)(t−s)

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)|u|p−1u(x, s)ds.

Logo, se encontrarmos um ponto fixo para o operador Tu0 , então esta função é uma solução parao problema (3.1). Como vimos, o operador possui um único ponto fixo u em Xt0 . Se ||u||Xt0< ∞,então podemos considerar o problema{

ut(x, t) =∫

Ω J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + |u|p−1u(x, t), x ∈ Ω, t ∈ [0, t0]

u(x, 0) = u(x, t0), x ∈ Ω.(3.4)

Dessa forma, podemos encontrar t1 > t0 tal que a solução esteja definida em [0, t1). Se ||u||Xt1<∞, então podemos continuar estendendo a solução. Se o tempo máximo de existência da solução Tfor finito, isso indica que a norma L∞(Ω) explode em tempo finito. De fato, se isso não ocorresse,a solução poderia ser estendida para t2 > T . Logo,

limt→T−

sup||u(·, t)||L∞(Ω)=∞.

Para obtermos o resultado referente à conservação da massa em Ω, basta notarmos que, se u ésolução, então

u(x, t) = u0(x) +

∫ t0

∫ΩJ(x− y)(u(y, s)− u(x, s))dyds+

∫ t0|u|p−1u(x, s)ds.

Integrando os dois lados da equação em x e aplicando o Teorema de Fubini, observando queJ(x− y) = J(y − x), obtemos∫

Ωu(x, t)dx =

∫Ωu0(x)dx+

∫ t0

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y, s)− u(x, s))dydxds

+

∫Ω

∫ t0|u|p−1u(x, s)dxds

=

∫Ωu0(x)dx+

∫ t0

∫Ω

∫ΩJ(x− y)u(y, s)dydxds

−∫ t

0

∫Ω

∫ΩJ(y − x)u(x, s)dxdyds+

∫Ω

∫ t0|u|p−1u(x, s)dsdx

=

∫Ωu0(x)dx+

∫ t0

∫Ω|u|p−1u(x, s)dxds.

�

Trataremos a seguir do Princípio de Comparação. Os argumentos aqui apresentados foramadaptados de [Góm14].

Lema 3.1.2. Seja u uma solução do problema (3.1) com condição inicial u0 não negativa e nãotrivial. Então u(x, t) ≥ 0 ∀(x, t) ∈ Ω× [0, T ).

Demonstração: Seja Tu0 definido como no Lema 3.1.1. Utilizamos aqui o método das aproximaçõessucessivas e o Teorema do Ponto Fixo de Banach conforme [Hön61]. Consideremos a sequência defunções (vi(x, t)) em Xt0 onde v1(x, t) = u0(x) e para i ≥ 1


vi+1(x, t) = Tu0(vi(x, t)).

Para cada t ∈ [0, T ), tomamos 0 ≤ t < t0 < T para então analisarmos o comportamento dasequência em Xt0 . Como Tu0 é uma contração, a sequência vi(x, t) converge para a solução u(x, t)uniformemente. Note que para verificar a afirmação do Lema é suficiente concluir que

vn(x, t) ≥ 0 ∀(x, t) ∈ Ω× [0, t0] e n ≥ 1.

Provaremos essa desigualdade por indução. Para i = 1, vale por hipótese, pois v1(x, t) = u0(x) ≥0 em Ω. Supondo que valha para i = k, temos que

vk+1(x, t) = e−A(x)tu0(x) +


∫ΩJ(x− y)vk(y, s)dyds

+

∫ t0e−A(x)(t−s)|vk|p−1vk(x, s)ds ≥ 0,

pois J ≥ 0 e vk(x, t) ≥ 0 em Ω× [0, T ). Portanto, vk+1(x, t) ≥ 0 para todo (x, t) ∈ Ω× [0, t0].Logo, o limite da sequência u(x, t) é tal que

u(x, t) ≥ 0 ∀(x, t) ∈ Ω× [0, t0].

�

A partir do Lema 3.1.2 concluímos que, quando a condição inicial u0 for não trivial e nãonegativa, o problema (3.1) é equivalente ao problema (3.2), fato que passaremos a utilizar nospróximos teoremas. Prosseguimos então com um resultado análogo ao Princípio do Máximo Fracoapresentado em [Góm14].

Teorema 3.1.2. Sejam u0, v0 ∈ C(Ω), ambas não negativas e não triviais. Se u0(x) ≥ v0(x) emΩ e u e v são soluções de (3.2) com condições iniciais u0 e v0 respectivamente, então u ≥ v emΩ× [0, T ), onde T é o tempo maximal de existência de u.

Demonstração: Utilizamos novamente o operador Tu0 . Sejam (wi(x, t)) e (zi(x, t)) duas sequênciasde funções em Xt0 tais que w1(x, t) = u0(x), z1(x, t) = v0(x) e para i ≥ 1,

wi+1(x, t) = Tu0(wi(x, t)),

zi+1(x, t) = Tv0(zi(x, t)).

Temos que wn(x, t)→ u(x, t) e zn(x, t)→ v(x, t) quando n→∞. Verificando que

wn(x, t) ≥ zn(x, t) ∀(x, t) ∈ Ω× [0, t0]

obteremos o resultado desejado. Procedendo novamente por indução, temos que, para i = 1, apropriedade é válida pois w1(x, t) = u0(x) ≥ v0(x) = z1(x, t). Suponha que vale para i = k. Temosentão

wk+1(x, t) = e−A(x)tu0(x) +


∫ΩJ(x− y)wk(y, s)dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)wpk(x, s)ds

≥ e−A(x)tv0(x) +∫ t

0e−A(x)(t−s)

∫ΩJ(x− y)zk(y, s)dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)zpk(x, s)ds

= zk+1(x, t).

Portanto, a propriedade é válida para todo i. Temos então que

u(x, t) ≥ v(x, t) ∀(x, t) ∈ Ω× [0, t0].

3.2 CONDIÇÕES E TAXAS DE EXPLOSÃO DE SOLUÇÕES 27

�

Concluímos esta seção com a definição de subsoluções e supersoluções e um resultado referentea essas funções.

Definição 3.1.1. Uma função u ∈ C1([0, T ), C(Ω)) é uma supersolução de (3.2) se satisfazu(x, t) ≥ e−A(x)tu(x, 0) +


∫ΩJ(x− y)(u(y, s)− u(x, s))dyds

+

∫ t0e−A(x)(t−s)up(x, s)ds,

u(x, 0) ≥ u0(x).

(3.5)

Invertendo as desigualdades, definimos subsoluções u para o problema.

Lema 3.1.3. Sejam u e u super e subsoluções de (3.2) respectivamente. Então, para todo (x, t) ∈Ω× [0, T ), u(x, t) ≥ u(x, t).

Demonstração: Seja (vi(x, t)) uma sequência de funções em Xt0 com v1(x, t) = u(x, t) e

vi+1(x, t) = Tu0(vi(x, t))

para i ≥ 1. A sequência converge para u(x, t) para todo t ∈ [0, t0]. Verificamos então que u(x, t) ≥vn(x, t) em Ω× [0, t0] para todo n.

Temos que u ≥ v1, pois v1 = u. Suponha então que vale para i = k. Temos

u ≥ Tu0(u) ≥ Tu0(vk) = vk+1,

pois Tu0 preserva as desigualdades entre funções. Assim, u(x, t) ≥ u(x, t) para todo t ∈ [0, t0].Para todo t ∈ [0, T ) existe um intervalo [0, t1] tal que t ∈ [0, t1] e no qual a solução está definida.Portanto, o resultado vale para todo t ∈ [0, T ).

Um resultado análogo pode ser obtido para subsoluções invertendo as desigualdades. Assim

u(x, t) ≥ u(x, t) ≥ u(x, t)

em Ω× [0, T ) e a prova está concluída. �

3.2 Condições e taxas de explosão de soluções

O primeiro teorema que será estudado nesta seção trata das condições para a ocorrência deexplosão em tempo finito da solução.

Teorema 3.2.1. Seja u0 ∈ C(Ω) não negativa e não trivial. Se p > 1, a solução de (3.2) corres-pondente a u0 explode. Se p ≤ 1 toda solução do problema é global. Além disso, temos a estimativapara o tempo de explosão T

T ≤ 1p− 1

(|Ω|∫

Ω u0(x)dx

)p−1. (3.6)

Demonstração: Esta demonstração tem como base as ideias apresentadas em [PLR09]. Conside-remos o caso p > 1. Integrando a equação em x ∈ Ω e aplicando o Teorema de Fubini obtemos

∫Ωut(x, t)dx =

∫Ω

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dydx+

∫Ωup(x, t)dx

=

∫Ωup(x, t)dx.

(3.7)


Temos que∫

Ωup(x, t)ds = ||u(·, t)||p

Lp(Ω)e f(x) ≡ 1 ∈ Lp∗(Ω), com 1

p+

1

p∗= 1, logo p∗ =

p

p− 1.

Aplicando a desigualdade de Hölder, temos

||u(·, t)||L1(Ω)≤ ||u(·, t)||Lp(Ω)||1||Lp∗ (Ω)

⇒(∫

Ωu(x, t)dx

)p≤(∫

Ωup(x, t)dx

)(∫Ω

1dx

) p·(p−1)p

⇒(∫

Ωu(x, t)dx

)p|Ω|1−p≤

∫Ωup(x, t)dx.

Consequentemente, obtemos de (3.7)

∂

∂t

∫Ωu(x, t)dx ≥

(∫Ωu(x, t)dx

)p|Ω|1−p. (3.8)

Note que se m(t) é tal que m′(t) ≥ λmp(t), então m não pode ser global. De fato, temos que mé supersolução do problema ordinário f ′(t) = λfp(t), com p > 1. Integrando em (0, t), obtemos

f1−p(t)

1− p= λt+ C,

onde C =f1−p(0)

1− p. Daí

fp−1(t) =1

(λt+ C)(1− p)

⇒ f(t) =(

1

(λt+ C)(1− p)

) 1p−1

.

Logo f explode quando t → T+ com T = −C

λ. Como m é supersolução da mesma equação,

concluímos que m também explode.

Utilizando este fato em (3.8), vemos que∫

Ωu(x, t)dx não pode ser global, logo ||u||L1(Ω) ex-

plode em tempo finito T . Pela desigualdade de Hölder, ||u||L∞(Ω) também explode. Integrando adesigualdade (3.8) em (0, t), temos

1

1− p

(1

(∫

Ω u(x, t)dx)p−1 −

1

(∫

Ω u0(x)dx)p−1

)≥ |Ω|1−pt.

Tomando o limite t→ T , obtemos

− 11− p

1

(∫

Ω u0(x)dx)p−1 ≥ |Ω|

1−pT

⇒ 1p− 1

1

(∫

Ω u0(x)dx)p−1 ≥ |Ω|

1−pT

⇒T ≤ 1p− 1

(|Ω|∫

Ω u0(x)dx

)p−1.

Provada a estimativa para T , verificamos agora o comportamento da solução se p ≤ 1. Consi-deramos o problema auxiliar z

′(t) = z(t)

z(0) = maxx∈Ω{u0(x), 1} .


A condição inicial garante que z(t) > 1 para todo t > 0. Como p ≤ 1, z(t) ≥ zp(t). Sejav(x, t) = z(t) para todo x ∈ Ω, isto é, v é constante em x. Vale então

vt(x, t) = z′(t) = z(t) ≥ zp(t) = vp(x, t).

Multiplicando os dois lados da desigualdade por eA(x)t e integrando em [0, t], obtemos

v(x, t) ≥ e−A(x)tv(x, 0) +∫ t

0e−A(x)(t−s)vp(x, s)ds

=


∫ΩJ(x− y)(v(y, s)− v(x, s))dyds+

∫ t0e−A(x)(t−s)vp(x, s)ds

e v(x, 0) ≥ u0(x). Vemos então que v(x, t) é supersolução global do problema, o que nos dá u(x, t)globalmente definida por comparação. �

O teorema a seguir refere-se à taxa de explosão da solução e sua demonstração é uma versãodetalhada da apresentada em [PLR09].

Teorema 3.2.2. Considere o problema (3.2) com p > 1, u0 ≥ 0 contínua e u uma solução explo-dindo no tempo T . Então

limt→T−

(T − t)1

p−1 maxx∈Ω

u(x, t) =

(1

p− 1

) 1p−1

. (3.9)

Demonstração: Seja T o tempo maximal de existência da solução, T 1, obtemos que(1

1− p

)(1

up−1(x0, t1)− 1up−1(x0, t)

)≤ (t1 − t).

Tomando o limite t1 → T , temos que u(x0, t1)→∞ e portanto

−

(1

1− p

)(1

up−1(x0, t)

)≤ (T − t)

⇒ 1up−1(x0, t)

≤ (T − t)(p− 1)

⇒ up−1(x0, t) ≥1

(T − t)(p− 1)

⇒ u(x0, t) ≥ (T − t)−1

p−1

(1

p− 1

) 1p−1

⇒ maxx∈Ω

u(x, t) ≥ (T − t)−1

p−1

(1

p− 1

) 1p−1

.


Por outro lado, para todo (x, t) ∈ Ω× [0, T ), vale

ut(x, t) =

∫ΩJ(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + up(x, t)

=

∫ΩJ(x− y)u(y, t)dy −

(∫ΩJ(x− y)dy

)u(x, t) + up(x, t)

Temos que∫

ΩJ(x− y)dy ≤ 1 e como u(x, t) ≥ 0,

∫ΩJ(x− y)u(y, t)dy ≥ 0. Logo

ut(x, t) ≥ −u(x, t) + up(x, t) = up(x, t)(1− u−(p−1)(x, t)).

Em particular, vale para maxx∈Ω

ut(x, t), isto é,

maxx∈Ω

ut(x, t) ≥ maxx∈Ω

up(x, t)(1−maxx∈Ω

u−(p−1)(x, t)).

De fato, se, para t fixado, o máximo de ut(x, t) em Ω ocorre em x1 e o máximo de u(x, t) ocorreem x0, então

maxx∈Ω

ut(x, t) = ut(x1, t) ≥ ut(x0, t) ≥ up(x0, t)(1− u−(p−1)(x0, t))

= maxx∈Ω

up(x, t)(1−maxx∈Ω

u−(p−1)(x, t)).

Temos então que

maxx∈Ω

u(x, t) ≥(

1

(p− 1)(T − t)

) 1p−1

. (3.10)

Daí, obtemos

maxx∈Ω

up−1(x, t) ≥(

1

(p− 1)(T − t)

)⇒max

x∈Ωu−(p−1)(x, t) ≤ (p− 1)(T − t)

⇒1−maxx∈Ω

u−(p−1)(x, t) ≥ 1− (p− 1)(T − t).

Portanto,maxx∈Ω

ut(x, t) ≥ maxx∈Ω

up(x, t)(1− (p− 1)(T − t)).

Re-escrevendo a desigualdade e integrando-a em (t, t1), vemos que

maxx∈Ω

(1

1− p

)(u−p+1(x, t1)− u−p+1(x, t)) ≥ (t1 − t)− (p− 1)

(Tt1 −

t212− Tt+ t

2

2

).

Tomando o limite t1 → T ,

1

1− p

(−max

x∈Ωu−p+1(x, t)

)≥ (T − t)− (p− 1)

(T 2 − T

2

2− Tt+ t

2

2

)= (T − t)− p− 1

2(T − t)2,

de onde encontramos

maxx∈Ω

u−(p−1)(x, t) ≥ (p− 1)(T − t)− 12

(p− 1)2(T − t)2.


Logo

maxx∈Ω

u(x, t) ≤

((p− 1)(T − t)− 1

2(p− 1)2(T − t)2

)− 1p−1

. (3.11)

Utilizando (3.10) e (3.11), vemos que(1

p− 1

) 1p−1

≤ maxx∈Ω

u(x, t)(T − t)1

p−1

≤

((p− 1)(T − t)− 1

2(p− 1)2(T − t)2

)− 1p−1

(T − t)1

p−1

= (T − t)−1

p−1

((p− 1)− 1

2(p− 1)2(T − t)

)− 1p−1

(T − t)1

p−1 ,

daí (1

p− 1

) 1p−1

≤ maxx∈Ω

u(x, t)(T − t)1

p−1 ≤

((p− 1)− 1

2(p− 1)2(T − t)

)− 1p−1

.

Vale então

limt→T−

(1

p− 1

) 1p−1

=

(1

p− 1

) 1p−1

e

limt→T−

((p− 1)− 1

2(p− 1)2(T − t)

)− 1p−1

=

(1

p− 1

) 1p−1

.

Logo

limt→T−

maxx∈Ω

u(x, t)(T − t)1

p−1 =

(1

p− 1

) 1p−1

.

�

Assim como no problema local, a taxa de explosão é a mesma que vale para o problema ordináriou′ = up. Pérez-Llanos e Rossi [PLR09] destacam que o termo de difusão não tem papel determinantena taxa de explosão, fato que é observado também na dependência apenas de p para que ocorra aexplosão em tempo finito.

Definimos então o conjunto de explosão do problema como o conjunto de pontos do espaço ondea solução explode, isto é,

B(u) ={x ∈ Ω : existe xn → x, tn → T , com u(xn, tn)→∞

}.

Vemos, mediante determinadas condições, que o conjunto B(u) constiste em apenas um ponto,como por exemplo é o caso do modelo local com p > 1 e condição inicial radialmente simétrica commáximo único na origem. Nos teoremas a seguir, consideraremos o caso em que Ω é unidimensionalpara simplificar. Entretanto, o resultado é válido para RN , como obsevado em [PLR09].

Antes de apresentar os teoremas referentes ao conjunto de explosão, demonstramos um lemareferente à simetria da solução u. A demonstração a seguir foi adaptada de [FPL12].

Lema 3.2.1. Considere (3.2) com p > 1 em BR = {|x|< R} = Ω e J satisfazendo (H) tal quesupp(J) = [−1, 1], J ∈ C1(R,R) e monótona decrescente em [0, 1]. Seja u0 ∈ C1(BR) uma funçãosimétrica não negativa com um único máximo na origem, isto é,

u0 = u0(r) ≥ 0, u′0(r) < 0 se 0 < r < R, u′′0(0) < 0.


Então a solução u é simétrica e ux < 0 em (0, L]× (0, T ).

Demonstração: Seja w(x, t) = u(−x, t). Então

wt(x, t) = ut(−x, t) =∫ L−L

J(−x− y)(u(y, t)− u(−x, t))dy + up(−x, t)

=

∫ L−L

J(x− (−y))(w(−y, t)− w(x, t))dy + wp(x, t),

pois J é par. Daí, fazendo a substituição z = −y, obtemos

wt(x, t) = −∫ −LL

J(x− z)(w(z, t)− w(x, t))dz + wp(x, t)

=

∫ L−L

J(x− z)(w(z, t)− w(x, t))dy + wp(x, t).

Portanto, como w também é solução da equação, u(x, t) = u(−x, t) por unicidade de soluções.Seja agora v = ux. Então v satisfaz

vt(x, t) =

∫ L−L

J ′(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy − v(x, t)∫ L−L

J(x− y)dy + pup−1(x, t)v(x, t).

Suponha por contradição que existe um menor tempo t0 > 0 e um menor valor x0 > 0 tais quev(x0, t0) = 0. Temos então que

0 ≤ vt(x0, t0) =∫ L

0J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy,

pois v é crescente nesse ponto, uma vez que v(x0, 0) < 0. Como supp(J) = [−1, 1], obtemos que

vt(x0, t0) =

∫ x0+1x0−1

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy.

Observamos que J ′(α) < 0 se α > 0 e J ′(α) > 0 se α < 0 pelas condições de simetria emonotonicidade de J . Então, obtemos que J ′(x0 − y) > 0 se y > x0 e J ′(x0 − y) < 0 se y < x0.Temos que J ′(x0 − y)(u(y, t0) − u(x0, t0)) < 0 se |y|< x0, pois neste caso u(y, t0) > u(x0, t0) umavez que x0 é o menor valor em que v se anula. Logo,∫ x0

−x0J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy < 0.

Vemos também que, se y ∈ [x0, x0 + 1], J ′(x0 − y)(u(y, t0) − u(x0, t0)) < 0, pois neste casoJ(x0 − y) > 0 e u(y, t0)− u(x0, t0) ≤ 0. A última afirmação decorre do fato de que v(y, t0) ≤ 0 sey > x0. Caso contrário, pela continuidade de u teríamos t1 < t0 no qual v se anularia. Portanto,∫ x0+1

x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy < 0.

Analisamos então a integral em I = [x0 − 1,−x0]. Caso I = ∅, temos

0 ≤ v(x0, t0) =∫ x0+1x0−1

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy

=

∫ x0−x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy +∫ x0+1x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy < 0,


chegando assim a uma contradição. Caso I 6= ∅, consideremos Ir = [3x0, x0 + 1] o intervalo refletidode I em relação a x0. Temos que, para todo y ∈ I, u(y, t0) − u(x0, t0) > 0, J ′(x0 − y) > 0 e

portanto a integral∫ −x0x0−1

J ′(x0 − y)(u(y, t0) − u(x0, t0))dy é positiva. Porém, como J ′ é simétrica

em relação à origem, para todo y ∈ I, existe z ∈ Ir tal que |J ′(x0 − y)|= |J ′(x0 − z)|, com|u(y, t0)− u(x0, t0)|< |u(z, t0)− u(x0, t0)|. Daí obtemos que∫ −x0

x0−1J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy < −

∫ x0+13x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy.

Concluímos então que

0 ≤v(x0, t0) =∫ x0+1x0−1

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy

=

∫ −x0x0−1

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy +∫ x0−x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy

+

∫ x0+1x0

J ′(x0 − y)(u(y, t0)− u(x0, t0))dy < 0,

chegando novamente a uma contradição. Portanto, v = ux < 0 em (0, L]× (0, T ). �

Teorema 3.2.3. (Caso Simétrico) Nas condições do Lema 3.2.1 e p > 2, B(u) = {0}.

Demonstração: Esta demonstração é uma expansão das ideias apresentadas em [PLR09], adap-tando argumentos utilizados por Groisman e Rossi em [GR01].

O primeiro passo é verificar que o único ponto que satisfaz a estimativa de explosão (3.9) éx = 0.

Seja x0 > 0 e w(t) = u(0, t)− u(x0, t). Vale, para esta função,

w′(t) = ut(0, t)− ut(x0, t)

=

∫ L−L

J(−y)(u(y, t)− u(0, t))dy + up(0, t)−∫ L−L

J(x0 − y)(u(y, t)− u(x0, t))dy − up(x0, t)

=

∫ L−L

J(−y)(u(y, t)− u(0, t))dy −∫ L−L

J(x0 − y)(u(y, t)− u(x0, t))dy + ξp−1(t)w(t),

onde ξ(t) é um ponto entre u(0, t) e u(x0, t) (o Teorema do Valor Médio garante a existência destevalor). Observemos que, para todo z ∈ [−L,L] existe um ponto y ∈ [x0 − L, x0 + L] tal queJ(−z) = J(x0 − y), enquanto u(z, t)− u(0, t) ≥ u(y, t)− u(0, t). Logo, fazendo uma translação daprimeira integral, obtemos

w′(t) ≥∫ L−L

J(x0 − y)((u(y, t)− u(0, t))− (u(y, t)− u(x0, t)))dy + pξp−1(t)w(t)

= (u(0, t)− u(x0, t))(−∫ L−L

J(x0 − y)dy) + pξp−1(t)w(t)

= w(t)(−∫ L−L

J(x0 − y)dy + 1)− w(t) + pξp−1(t)w(t)

≥ −w(t) + pξp−1(t)w(t).


Re-escrevendo e integrando em (t0, t), obtemos

dw

w(t) ≥ (−1 + pξp−1(t))

⇒ln(w(t))− ln(w(t0)) ≥∫ tt0

−1 + pξp−1(s)ds.

Suponha por contradição que limt→T−

(T − t)1

p−1u(x0, t) = Cp =

(1

p− 1

) 1p−1

. Como x0 > 0, pelo

Lema 3.2.1, temos u(x0, t) ≤ ξ(t) ≤ u(0, t). Daí,

limt→T−

(T − t)1

p−1u(x0, t) ≤ limt→T−

(T − t)1

p−1 ξ(t) ≤ limt→T−

(T − t)1

p−1u(0, t).

Como, pela simetria de u, x = 0 é máximo de u(x, t), então

limt→T−

(T − t)1

p−1u(0, t) =

(1

p− 1

) 1p−1

.

Logo temos quelimt→T−

(T − t)1

p−1 ξ(t) = Cp.

Observamos que∫ tt0

(−1 + pξp−1(s))ds = (t0 − t) + p∫ tt0

ξp−1(s)ds

≥ (t0 − t) + p∫ tt0

Cp−1p − εT − s

ds, para algum ε > 0.

Mas

p

∫ tt0

Cp−1p − εT − s

ds = −p(Cp−1p − ε)ln(T − t)− C1,

onde C1 = −p(Cp−1p − ε)ln(T − t0).Daí

w(t) ≥ D(T − t)p(Cp−1p −ε)

= D(T − t)−p

p−1 +pε,

onde D depende de w(t0) e C1. Note ainda que Cp−1p =1

p− 1.

Além disso,

limt→T−

(T − t)1

p−1w(t) = limt→T−

(T − t)1

p−1u(0, t)− limt→T−

(T − t)1

p−1u(x0, t) = 0.

Logo

0 = limt→T−

(T − t)1

p−1w(t) ≥ D limt→T−

(T − t)1

p−1−p

p−1 +pε = D limt→T−

(T − t)−1+pε =∞,

o que implica que x0 não satisfaz a taxa de explosão. Provando que o único ponto de explosãopossível é a origem chegaremos ao resultado esperado. Sejam então

z(x, s) = (T − t)1

p−1u(x, t), (T − t) = e−s, t < T.


Logo, z(x, s) = es

p−1u(x, t(s)). Assim temos

zs(x, s) =∂

∂s(e− s

p−1u(x, t(s)))

= u(x, t(s))∂

∂s[(T − t)

1p−1 ] + (T − t)

1p−1

∂

∂su(x, t(s))

= u(x, t(s))(T − t)

1p−1−1(−1)p− 1

(T − t) + (T − t)1

p−1ut(x, t(s))(T − t)

= −u(x, t(s)) 1p− 1

(T − t)1

p−1 + (T − t)1

p−1 (T − t)ut(x, t(s))

Sabemos que

ut(x, t) =

∫ L−L

J(x− y)(u(y, t)− u(x, t))dy + up(x, t)

=

∫ L−L

J(x− y)(z(y, s)− z(x, s))(T − t)−1

p−1dy + zp(x, s)(T − t)−p

p−1 ,

logo

zs(x, s) = −z(x, s)

p− 1+ (T − t)

∫ L−L

J(x− y)(z(y, s)− z(x, s))(T − t)1

p−1 (T − t)−1

p−1dy

+ (T − t)1

p−1 (T − t)zp(x, s)(T − t)−p

p−1

= −z(x, s)p− 1

+ e−s∫ L−L

J(x− y)(z(y, s)− z(x, s))dy + zp(x, s).

Temos que s > −ln(T ). De fato, se s ≤ −ln(T ), ln(t) ≤ 0, absurdo. Além disso, a taxa deexplosão indica que z(x, s) ≤ Cp < M para todo s ∈ (−ln(T ),∞), pois se T − t > 0, s > −ln(T ).Desta forma vemos que

z(x, s) = (T − t)1

p−1u(x, t) ≤ Cp < M,

poislimt→T−

(T − t)1

p−1 maxx∈Ω

u(x, t) = Cp.

Verificamos que, se existe s0 tal que zp(x, s0) −1

p− 1z(x, s0) < −Me−s0 , então z(x, s) → 0

quando s→∞.De fato, z é limitada. Além disso,

zs(x, s) = e−s∫ L−L

J(x− y)(z(y, s)− z(x, s))dy − 1p− 1

z(x, s) + zp(x, s)

≤Me−s − 1p− 1

z(x, s) + zp(x, s),

pois M > z(y, s) e z(x, s) > 0, logo z(y, s)− z(x, s) < M e∫ L−L

J(x− y)dy ≤ 1.

Seja agora w uma solução dews(x, s) = Me−s −1

p− 1w(x, s) + wp(x, s),

w(x, s0) = z(x, s0) < M.(3.12)


Se existe s0 tal que zp(x, s0)−1

p− 1z(x, s0) < −Me−s0 , então ws(x, s0) < 0, pois

ws(x, s0) = Me−s0 − 1

p− 1w(x, s0) + w

p(x, s0) = Me−s0 − 1

p− 1z(x, s0) + z

p(x, s0) < 0.

Suponha então que existe s1 > s0 mínimo tal que ws(x, s1) = 0. Vale

wss(x, s1) = −Me−s1 −1

p− 1ws(x, s1) + pw

p−1(x, s1)ws(x, s1)

= −Me−s1 < 0, pois M > 0.

Logo ws é decrescente em s1, absurdo, pois ws(x, s0) < 0. Portanto, ws(x, s) < 0 para todos > s0. Concluímos então que w é decrescente e w(x, s) > 0 em s > s0 pelo sinal de z, poisa condição inicial é positiva e caso houvesse um primeiro tempo no qual w se anulasse, ws seriapositivo neste ponto. Pelo mesmo raciocínio, w não se anula.

Portanto, existe lims→∞

w(x, s) = l.Temos que w(x, s) ≥ 0 e ws(x, s) < 0, logo w é limitada e obtemos assim lim

s→∞ws(x, s) = 0.

Comolims→∞

− 1p− 1

w(x, s) + wp(x, s) = lims→∞

ws(x, s)−Me−s,

tem-se− 1p− 1

l + lp = 0⇒ l = 0 ou lp−1 = 1p− 1

ou ainda

l = 0 ou l =

(1

p− 1

) 1p−1

= Cp.

Como w(s0) ≤ Cp pela definição de z e w é decrescente, l 6= Cp. Logo l = 0. Por comparação,z(x, s)→ 0 quando s→∞.

Verificamos então que, se existe s0 tal que zp(x, s0) −1

p− 1z(x, s0) > Me

−s0 , então z(x, s)

explode em tempo finito s̃. Vale

zs ≥ −Me−s −1

p− 1z(x, s) + zp(x, s).

Procedendo como anteriormente, obtemos que, se w(x, s) é solução de

ws(x, s) = −Me−s −1

p− 1w(x, s) + wp(x, s),

com w(x, s0) = z(x, s0), temos que ws(x, s) > 0. De fato,

ws(x, s0) = −Me−s0 −1

p− 1z(x, s) + zp(x, s) > 0.

Se houver s1 > s0 tal que ws(x, s1) = 0, vale

wss(x, s1) = Me−s1 − 1

p− 1ws(x, s1) + pw

p−1(x, s)w(x, s)

= Me−s1 > 0.


Portanto, ws(x, s) > 0 para todo s > s0 e assim, w(x, s) é crescente. Temos que

ws(x, s) = −Me−s −1

p− 1w(x, s) + wp(x, s) > 0

⇒ ws(x, s) +1

p− 1w(x, s) +Me−s > wp(x, s).

Como w é crescente, existe ε > 0 tal que

ws(x, s) ≥ εwp(x, s).

Como p > 2, w explode em tempo finito. Por comparação, z explode em tempo finito s̃.Para x 6= 0, z(x, s) é limitado e não converge para Cp, logo z(x, s) → 0. Assim, dado ε > 0,

temos

zs(x, s) ≤Me−s −

(1

p− 1− ε

)z(x, s).

Por comparação obtemos

z(x, s) ≤ K1e−s +K2e(−1

p−1−ε)s.

Temos então

(es

p−1 z(x, s))s = es

p−11

p− 1z(x, s)

+ es

p−1

(e−s

∫ L−L

J(x− y)(z(y, s)− z(x, s))dy − 1p− 1

z(x, s) + zp(x, s)

)

= es

p−1

(e−s

∫ L−L

J(x− s)(z(y, s)− z(x, s))dy + zp(x, s)

).

Integramos para obter a relação

z(x, s) = e− s

p−1

(C1 +

∫ ss0

e− p−2

p−1σ∫ L−L

J(x− y)(z(y, σ)− z(x, σ))dy + eσzp(x, σ)dσ

).

Temos quee

sp z(x, s) ≤ K1e−s+

sp +K2e

−( 1p−1−ε)s+sp .

Observamos que

−s+ sp

=s(−p+ 1)

p< 0

e− 1p− 1

+ ε+1

p=−p+ εp(p− 1) + p− 1

p(p− 1)= ε− 1

p− 1< 0

para ε suficientemente pequeno. Daí

eszp(x, s) ≤(K1e

−s+ sp +K2e

−( 1p−1−ε)s+sp

)p→ 0 quando s→∞.

Logo

z(x, s) ≤ e−s

p−1(C1 + C2

∫ ss0

e− p−2

p−1σdσ).


Utilizando que p > 2, temos∫ ss0

e− p−2

p−1σdσ = −p− 1p− 2

(e− p−2

p−1σ

∣∣∣∣ss0

)= −p− 1

p− 2

(e− p−2

p−1 s − e−p−2p−1 s0

)<p− 1p− 2

e− p−2

p−1 s0 = C3.

Portanto,z(x, s) ≤ (C1 + C2C3)e−

1p−1 s.

Sendo assim, para u(x, t) vale

u(x, t) = e1

p−1 sz(x, s) ≤ (C1 + C2C3)⇒ u(x, t) é limitada se x 6= 0.

�

O teorema a seguir apresenta um resultado mais geral acerca do comportamento da solução emrelação à condição inicial.

Teorema 3.2.4. (Caso geral) Considere o problema (3.2) em um domínio geral com p > 2. Dadosx0 ∈ Ω e ε > 0, existe uma condição inicial u0 tal que B(u) ⊆ Bε(x0) = {x ∈ Ω : ||x− x0||< ε}.

Demonstração: Assim como no Teorema 3.2.3, a demonstração têm como base os argumentosapresentados em [PLR09] e [GR01]. Dado x0 ∈ Ω e ε > 0, procuramos uma condição inicial tal queB(u) ⊆ Bε(x0). Consideremos u0 concentrada em uma vizinhança de x0 e pequena longe de x0.

Seja ϕ não negativa e suave tal que

supp(ϕ) ⊂ B ε2(x0) e ϕ(x) > 0 em B ε

2(x0).

Seja então u0(x) = Nϕ(x) + δ. Procuramos definir N e δ de modo que u0 seja a função queprocuramos.

Vale a estimativa

T ≤ 1p− 1

(|Ω|∫

Ω u0(x)dx

)p−1≤ C(Ω, p, ϕ)

Np−1.

Como o tamanho de N inferfere no denominador, então tomando-o suficientemente grande,obtemos T tão pequeno quanto for necessário.

No Teorema 3.2.2, obtivemos a estimativa superior

maxx∈Ω

u(x, t) ≤

((p− 1)(T − t)− 1

2(p− 1)2(T − t)2

)− 1p−1

≤ C1(T − t)−1

p−1 ,

já que (p− 1)− 12

(p− 1)2(T − t) é limitado em intervalos limitados.Para todo x̃ ∈ Ω,

ut(x̃, t) =

∫ΩJ(x̃− y)(u(y, t)− u(x̃, t))dy + up(x̃, t)

≤∫

ΩJ(x̃− y)u(y, t) + up(x̃, t),

pois∫

ΩJ(x̃− y)u(x̃, t)dy ≥ 0. Logo,

ut(x̃, t) ≤ C(J,Ω, p)(T − t)−1

p−1 + up(x̃, t).


De fato, ∫ΩJ(x̃− y)u(y, t)dy ≤

∫ΩJ(x̃− y)C1(T − t)−

1p−1dy

≤ |Ω|||J ||∞C1(T − t)−1

p−1 = C(J,Ω, p)(T − t)−1

p−1 .

Assim, u(x̃, t) é subsolução de

wt(t) = C(J,Ω, p)(T − t)−1

p−1 + wp(t).

Seja w(0) = δ e z(s) = e−s

p−1w(t) com s = −ln(T − t). Daí, tomando t = t(s) temos

z′(s) = − 1p− 1

e− s

p−1w(t) + e− s

p−1wt(t)e−s

= − 1p− 1

e− s

p−1w(t) + e− s

p−1 (C(J,Ω, p)es

p−1 + wp(t))e−s

= − 1p− 1

z(s) + C(J,Ω, p)e−s + e− s

p−1wp(t)e−s

= − 1p− 1

z(s) + C(J,Ω, p)e−s + e− s

p−1pwp(t)

= − 1p− 1

z(s) + C(J,Ω, p)e−s + zp(t).

Se t = 0, z(−lnT ) = T1

p−1w(0) = T1

p−1 δ. Tomando N grande, temos T pequeno, e se δ tambémé pequeno, teremos z′(s) < 0. De fato, como

z′(s) = Ke−s − 1p− 1

z(s) + zp(s),

com K = C(J,Ω, p), para s = −lnT

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