COMPETENCIAS BASICAS EN EDUCACION MATEMATICA.pdf

8/18/2019 COMPETENCIAS BASICAS EN EDUCACION MATEMATICA.pdf

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González Marí, J. L. Didáctica de la Matemática UMA 1

COMPETENCIAS BÁSICAS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

González Marí, J. L.Didáctica de la Matemática. Universidad de Málaga

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Indice

Introducción

Los fines (¿Para qué la Educación Matemática?¿Qué se pretende y qué se debería conseguir?)

Evaluación diagnóstica del rendimiento en matemáticas: Principios y elementos (¿qué preparaciónmatemática efectiva proporciona el Sistema Educativo?)

Evaluación PISA-OCDE 2003FinesInstrumentoPrincipios y elementos básicos

Alfabetización MatemáticaCompetencias Matemáticas

Según NissEjemplos

En el proyecto Pisa 2003Ejemplos de tareas

Algunos resultadosEvaluación de diagnóstico Junta de AndalucíaFines y principiosCompetencias evaluadasEjemplos de tareas

Condiciones y medios (¿Qué hacer a partir de ahora?)Currículo: Diseño y orientaciones

Fines: Matematización o proceso de hacer y aplicar MatemáticasOrientaciones oficiales LOE Primaria y ESOOtras consideraciones. Organizadores. Diseño de unidades didácticas

Currículo y Enseñanza: Algunas notas para una aproximaciónAlgunas orientaciones Nuestra posición

Tipos de situaciones didácticasCompetencias básicas y avanzadasEsquema del proceso didácticoEjemplos

Bibliografía


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Competencias Básicas en Educación Matemática


Introducción

La Educación Matemática no es un campo aislado. Como parte de un complejo proceso de formación, laEducación Matemática presenta numerosos problemas derivados del cuerpo del que forma parte, junto a

problemas específicos debidos a la naturaleza del conocimiento matemático y a las características propias

de los procesos de enseñanza y aprendizaje correspondientes.Tres de los problemas más importantes de la Educación Matemática son: los fines (¿Qué enseñar, porquéy para qué?; ¿qué se quiere conseguir?), los medios (¿Cómo lograr los fines propuestos?) y la evaluación(¿Cómo averiguar si se han alcanzado los fines propuestos y en qué grado, empleando los medios

previstos y qué consecuencias se deducen de los resultados obtenidos para mejorar los planteamientos ydesarrollos futuros?)La Unión Europea1 ha contemplado como eje fundamental de la política educativa común, el énfasis enuna educación centrada en el aprendizaje en contraposición a una educación centrada en la enseñanza2, esdecir, en la adquisición de capacidades, habilidades, competencias y valores que permitan al individuouna actualización permanente de los conocimientos para desenvolverse con soltura en un mundocambiante y complejo. Ello significa que es obligado prestar atención al aprendizaje orientado al

desarrollo de competencias y a la consecución de lo que se conoce como “alfabetización matemática” yno sólo a la enseñanza y aprendizaje de contenidos, a los aspectos funcionales y formativos de lasmatemáticas y no sólo, ni prioritariamente, a los aspectos instrumentales y técnicos. Los conceptos decompetencia, matematización y alfabetización matemática, como veremos, ponen el acento en losresultados del aprendizaje, en lo que el alumno es capaz de hacer al término del proceso educativo y enlos procedimientos que le permitirán continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de su vida.Tomando como base los principios mencionados, y bajo lo que se conoce como informe PISA 2003, laOCDE ha desarrollado un proceso evaluador del rendimiento matemático de alumnos de determinadasedades, cuyos resultados en España han sido más bien modestos en comparación con los de los restantes

países. Pero dicho proceso se ha realizado tomando como base unos fines y unos medios teóricos para laconsecución de los mismos que no son exactamente los fines y los medios que han caracterizado los

procesos educativos en matemáticas en España y en el resto de países. Por tal motivo, los resultados sólose pueden interpretar (gráfico adjunto):

1

Proyecto Sócrates-Erasmus "Tuning Educational Structures in Europe"2 Tudela y otros (2005).- Las Competencias en el Nuevo Paradigma Educativo para Europa. Vicerrectorado de Planificación,Calidad y evaluación. Universidad de Granada

(país i) Fines Xi Medios Yi

Relatividad e interpretación de los procesos y resultados

España resto países OCDE

Resultados R E

Resultados PISAi

Fines XE Medios YE

EvaluaciónPISA 2003 Resultados R i

Evaluación EVi Evaluación EVE

Resultados PISAE

ProyectoPISA 2003Fines X p

¿?

11

2

3 ¿?


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1) en términos de lo que podríamos llamar el rendimiento relativo de cada país, es decir, lavaloración de los resultados obtenidos en el marco de los supuestos curriculares teóricos del

proyecto PISA en relación con los planteamientos curriculares reales de cada país;2) en términos de la comparación absoluta aislada de los resultados;3) en términos de la comparación de los rendimientos relativos de los diferentes países.

La interpretación 1 es la que sirve de base para realizar una revisión de los diseños y desarrolloscurriculares bajo la óptica de los supuestos teóricos de la OCDE.

A la luz de los resultados e interpretaciones mencionadas, de otros diseños y desarrollos curricularesefectivos en Educación Matemática (NCTM, KOM, etc.), y en base a las exigencias del espacio europeoeducativo común, surgen recientemente nuevos diseños curriculares base para las enseñanzas mínimas enPrimaria y en ESO en España y en las Comunidades Autónomas. Estas orientaciones se fundamentan enlos principios del proyecto PISA y su desarrollo efectivo requiere de nuevas consideraciones en cuanto alos medios necesarios para alcanzar los nuevos fines que se proponen y a los criterios para evaluar laadecuación de todo el proceso educativo.

En lo que sigue se plantea una primera reflexión sobre los fines de la Educación Matemática, en la que seestablezcan referencias para situar los nuevos planteamientos. A continuación, de acuerdo con los finesgenerales establecidos y con objeto de profundizar en los aspectos que van a guiar los procesos educativosen matemáticas en Europa a partir de ahora, se abordarán brevemente los principios y resultados de lasevaluaciones PISA y de Diagnóstico de la Junta de Andalucía. El análisis concluye con las orientacionescurriculares del desarrollo normativo de la LOE para Primaria y ESO y algunas consideraciones para eldiseño y el desarrollo curriculares en España y en Andalucía.

Los fines

¿Para qué la Educación Matemática?¿Qué se pretende y qué se debería conseguir?

El problema de la determinación de las finalidades o metas de la Educación Matemática, es una cuestiónde especial relevancia para el diseño y el desarrollo de cualquier currículo de matemáticas (Rico,L.;1997). Se trata, en nuestra opinión, de uno de los aspectos centrales de la Educación Matemática,estrechamente relacionado con la naturaleza del conocimiento matemático, con las necesidadessocioculturales e individuales y con las características globales del proyecto sociocultural que ha dealbergar la formación de las nuevas generaciones; en defintiva, se trata del conjunto de argumentos que

justifican la enseñanza misma de las matemáticas y su situación, organización y tratamiento dentro delSistema Educativo.

Pero los fines de la Educación Matemática varían sustancialmente de unos países a otros y sufren cambiosimportantes a través de la historia. Desde el punto de vista más reciente, la Ley de Ordenación General delSistema Educativo en España establecía las siguientes finalidades educativas generales:

- El pleno desarrollo de la personalidad del alumno;- La formación en el respeto de los derechos y libertades fundamentales y en el ejercicio de la

tolerancia y de la libertad dentro de los principios democráticos de convivencia;- La adquisición de hábitos intelectuales y técnicas de trabajo, así como de conocimientos

científicos, técnicos, humanísticos, históricos y estéticos;- La capacitación para el ejercicio de actividades profesionales;- La formación en el respeto de la pluralidad lingüística y cultural de España;- La preparación para participar activamente en la vida social y cultural;- La formación para la paz, la cooperación y la solidaridad entre los pueblos.


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Las Matemáticas deben y pueden contribuir, junto a otras disciplinas, a la consecución de todas y cadauna de las metas generales anteriores. Pero al mismo tiempo deben contribuir a la consecución de unaformación matemática específica.Tradicionalmente se han planteado numerosos interrogantes en torno a la finalidad de la EducaciónMatemática: ¿Para qué enseñar matemáticas?, ¿qué matemáticas enseñar en una sociedad tecnológica?,

¿cómo lograr un currículo flexible que atienda a las diversas necesidades de los escolares?, ¿cómo atendera la diversidad cultural?. Sin embargo, se aprecian diferencias importantes entre los fines propuestos pordiversos autores. A la pregunta ¿Por qué se enseñan matemáticas?, se han dado numerosas respuestas,como la que aparece en el documento “Mathematics from 5 to 16” del Department of Education andScience Británico (1985) para la Educación Matemática en el periodo obligatorio:

1.- Las matemáticas son un elemento esencial de comunicación2.- Las matemáticas son una herramienta potente3.- Hay que apreciar las relaciones internas dentro de las matemáticas4.- Las matemáticas deben resultar una actividad fascinante5.- Hay que fomentar la imaginación, iniciativa y flexibilidad de la mente

6.- Trabajar de modo sistemático7.- Trabajar independientemente8.- Trabajar cooperativamente9.- Profundizar en el estudio de las matemáticas10.- Conseguir la confianza del alumno en sus habilidades matemáticas

O en estudios y propuestas como el Informe Cokcroft (1982):Meta 1: Permitir que cada alumnos desarrolle, de acuerdo con sus propias aptitudes, las destrezas y losconocimientos matemáticos necesarios para su vida adulta, para el empleo y para continuar el estudio y laformación, siendo consciente al mismo tiempo de las dificultades que algunos alumnos experimentarán.Meta 2: Proporcionar a cada alumno el tipo de matemáticas que pueda necesitar para el estudio de otrasmaterias.Meta 3: Ayudar a cada alumno a desarrollar en lo posible su apreciación y disfrute de las matemáticas porsí mismas y su comprensión del papel que éstas han desempeñado y seguirán desempeñando tanto en eldesarrollo de la ciencia y la tecnología como de nuestra civilización.Meta 4: Por encima de todo, hacer conscientes a todos los alumnos de que las matemáticas les

proporciona un poderoso medio de comunicación.

O el N.C.T.M. (1989), en cuyos planteamientos se empiezan a apreciar elementos que apuntan alos planteamientos actuales:Meta 1: Aprender a valorar las matemáticas. Comprender su evolución y el papel que desempeñan en la

sociedad y en las ciencias.Meta 2. Adquirir confianza en la aptitud propia. Llegar a confiar en el pensamiento matemático propio y poseer la capacidad de dar sentido a situaciones y resolver problemas.Meta 3. Adquirir la capacidad de resolver problemas matemáticos. Esto es esencial para llegar a ser unciudadano productivo y exige experiencia para resolver diversos problemas generalizados y no rutinarios.Meta 4. Aprender a comunicarse matemáticamente. Aprender los signos, los símbolos y los términosmatemáticos.Meta 5. Aprender a razonar matemáticamente. Realizar conjeturas, reunir pruebas y construir argumentosmatemáticos.

Asimismo, son de destacar los fines establecidos en documentos curriculares, tales como el Decreto de

Educación Primaria de la Junta de Andalucía (1992):


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"La finalidad que se le atribuye a la formación matemática es la de favorecer, fomentar y desarrollar enlos alumnos la capacidad para explorar, formular hipótesis y razonar lógicamente, así como la facultad deusar de forma efectiva diversas estrategias y procedimientos matemáticos para plantearse y resolver

problemas relacionados con la vida cultural, social y laboral".

Este problema central aparece también en los debates y reuniones de expertos, como ocurre en el casode D’Ambrosio (1979) sobre el trabajo realizado en el ICME III y la reflexión de Romberg, T. (1991)sobre las funciones de la Educación Matemática. Este último considera dos tipos de justificaciones:funcionales y otras; las comentamos brevemente a continuación.Las justificaciones funcionales se basan en la idea de que las matemáticas satisfacen una necesidadfuncional de largo alcance, es decir, son necesarias para la formación de los sujetos en orden a cumplirdiversas finalidades tanto individuales como sociales o científicas. Las cuestiones que surgen a partir del

planteamiento anterior tienen que ver con las matemáticas que serán útiles en el futuro, con las que debenser comunes a todos los individuos y las que deben corresponder a currículos diferenciados, o con lasmatemáticas que se debieran implantar en el contexto de los diversos planes de reforma educativa.Las justificaciones “no funcionales” atienden, según Romberg, a razones que tienen que ver con la

belleza de las matemáticas, con el desarrollo de capacidades, actitudes y destrezas de alto nivel, con lanecesidad de formación de matemáticos profesionales o con la importancia de las matemáticas como partede nuestra cultura.

Niss, en un trabajo más reciente (Rico, op. cit., pág. 10), y en la misma línea que Romberg, reconocetambién dos tipos de argumentos en los estudios sobre fines de la Educación Matemática: argumentosutilitarios y argumentos de formación general . Entre los primeros se encuentran: la formación paradesenvolverse en la vida y las necesidades tanto laborales como para el estudio de otras ciencias. Entre lossegundos se pueden situar: el desarrollo de las capacidades formativas, de la personalidad y de lasactitudes asì como las que atienden al carácter estético y recreativo de las matemáticas.Pero “no parece haber aún consenso en las respuestas que hay que dar a la pregunta: ¿Porqué enseñamosmatemáticas?” (op. cit., pág. 11). Por otra parte “no está clara la correspondencia entre los fundamentoscontemplados y las implicaciones curriculares que se pretenden derivar de los mismos” (op. cit., pág. 10),ya que se aprecian disparidades e incoherencias entre las finalidades pretendidas y la puesta en prácticadel currículo de matemáticas; entre los fundamentos y las prácticas reales.

Se pueden identificar dos categorías amplias de finalidades: socioculturales y formativas.Las finalidades socioculturales tienen que ver con la transmisión de la herencia cultural básica de cadasociedad y con la consecución de dos tipos de finalidades sociales: a) proporcionar al ciudadano comúnlas herramientas matemáticas básicas para su desempeño social; b) proporcionar cualificación profesionaladecuada para atender a las necesidades y a los retos de la sociedad actual. No en vano, el conocimientomatemático no puede considerarse aislado del medio cultural, se conforma socialmente, es público y tiene

lugar mediante relaciones de comunicación entre las personas. La Matemática y la Educación Matemáticano pueden vivir de espaldas a la realidad sociocultural, sencillamente porque tendrían que vivir deespaldas a los matemáticos que hacen posible la creación matemática y a los alumnos que la aprenden,recrean y transmiten en el futuro, lo cual es un contrasentido.Es de destacar aquí la contribución de las matemáticas a cuestiones tan relevantes como: los fenómenos

políticos, económicos, ambientales, de infraestructuras, transportes, movimientos poblacionales; los problemas del tráfico en las ciudades; la necesidad y formación de profesionales cualificados; lossuministros básicos; el diseño de parques y jardines; la provisión de alimentos; la economía familiar o laformación en cultura matemática de las nuevas generaciones.Entre las finalidades socioculturales se ha de tener en cuenta también que el conocimiento matematico esun conocimiento auxiliar de primer orden para la mayoría de las ciencias, de manera que la modelización

matemática permite reducir los fenómenos a dimensiones manejables. El estudio de problemas


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importantes actuales, como el calentamiento de la atmósfera, la globalización, las células madre, energíasalternativas, los problemas de la salud, etc., necesitan de las matemáticas.Por último, aunque no en último lugar, son importantes la difusión de los valores democráticos y deintegración social así como la realización y el ejercicio de la crítica y el esfuerzo por la accióncomunicativa, aspectos en los que las matemáticas proporcionan estilos de pensamiento adecuados.

También tiene especial relevancia en este punto el debate sobre las aplicaciones de las matemáticasconsideradas como conocimiento tecnológico y las consecuencias éticas y sociales de las mismas.

Las finalidades formativas se justifican en base a la satisfacción de necesidades individuales.Pero la utilidad individual de la matemática en la vida diaria es más indirecta que directa. ¿Quién hatenido necesidad alguna de vez de hacer una integral, hallar las raíces de un polinomio de 6º grado ocalcular un límite?. Es evidente que no es una justificación sólida, por sí sola. Sin embargo, ¿quién nonecesita cada día: ordenar, estructurar, establecer prioridades, axiomatizar, algoritmizar acciones, decidirestrategias, estimar, razonar, codificar y decodificar mensajes, construir comportamientos complejos,manejar varias variables simultáneamente, utilizar esquemas topológicos, etc.?. Esto sí es útil, pero,¿cómo se lo explicamos a los alumnos o a los padres?. Quizás no haya que explicárselo; simplemente que

lo comprueben por ellos mismos.Está fuera de toda duda que “las matemáticas son una herramienta intelectual potente, cuyo dominio

porporciona privilegios y ventajas intelectuales” (op. cit., pág. 15); la educación matemática debecontemplar, por este motivo, además de la información y la instrucción en habilidades y técnicas, eldesarrollo de capacidades, estructuras conceptuales y procedimientos y estrategias cognitivas, tanto

particulares como generales, que conformen un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo ydivergente. En este sentido, las matemáticas poseen unos valores formativos innegables, tales como:

- La capacidad para desarrollar el pensamiento del alumno para determinar hechos, establecerrelaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva, potenciar el razonamiento y la capacidad de acciónsimbólica, el espíritu crítico, la tendencia a la exhaustividad, el inconformismo, la curiosidad, la

persistencia, la incredulidad, la autonomía, la rigurosidad, la imaginación, la creatividad, lasistematicidad, etc.

- La utilidad para promover la expresión, elaboración y apreciación de patrones y regularidades,así como su combinación para pbtener eficacia o belleza; las matemáticas han de promover el uso deesquemas, representaciones gráficas, y fomentar el diseño de formas artísticas y la apreciación y creaciónde belleza;

- La facilidad para estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación ycolaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones;

- La potencialidad para desarrollar el trabajo científico y para la búsqueda, identificación yresolución de problemas;

- La riqueza de situaciones para movilizar este tipo de conocimientos, de manera que se estimule

la gratificación por los esfuerzos intelectuales y la satisfacción con el trabajo bien hecho.En resumenParticipamos de las consideraciones generales establecidas, que resumimos desde nuestro punto de vistaen tres grandes finalidades de la Educación Matemática:El proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas debe favorecer y permitir alcanzar, mediante laadquisición de unos instrumentos, unas técnicas y procedimientos, unas habilidades, unas actitudes, unasestrategias y un vocabulario específico, una formación cultural e intelectual que permita al individuo:

1.- Su adaptación al medio, organizarlo y potencialmente transformarlo, lo que implica unconocimiento profundo del mismo y el desarrollo de capacidades relacionadas con el análisis de larealidad, la construcción de modelos y la creación de alternativas que mejoren la situación individual asi

como de la sociedad y la vida en ella.


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2.- Adquirir un buen nivel de autonomía intelectual, lo que se traduce en que el individuo seacapaz de analizar todas las posibilidades de una situación real o ficticia y, de entre ellas, elegir lasmejores;

3.- Conocer la Matemática como parte de la cultura universal y desenvolverse en su mundo, loque conlleva un gusto por el trabajo matemático y una profundización en los objetos y métodos propios,

siendo consciente de su situación actual y de la evolución sufrida a través de la historia.La enseñanza de las matemáticas debe contribuir, al igual que otras disciplinas, al fin 1, es un factorimportante para alcanzar el fin 2 y es fundamental para alcanzar el fin 3.

Algunas precisiones finales- La determinación de los fines depende de la naturaleza y fenomenología del conocimiento, de sucontribución formativa, de los medios de que se disponga y de intereses y consideraciones sociales,culturales, políticas y económicas, es decir, de lo que la sociedad establezca para el Sistema de laEducación Matemática a través de sus representantes y organismos;- Los fines condicionan en buena medida el proceso, los medios, la evaluación y los resultados;- No es suficiente con enunciar las finalidades para que se desarrollen de manera armoniosa y coordinada;

- Algunas de las metas enunciadas suelen ser contradictorias en la práctica;- Los fines suelen ser sobreabundantes o excesivos y a veces utópicos;

Evaluación diagnóstica del rendimiento

¿Qué preparación matemática proporciona el Sistema Educativo?

El concepto de evaluación atiende a la regulación tanto de la planificación de la enseñanza como de sudesarrollo, constituyéndose en pieza clave del proceso educativo; constituye la base de lo que Giménez(1997) denomina la “regulación” del proceso educativo.

Desde el punto de vista general de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las orientaciones dadas por el NCTM (1991) distinguen cinco propósitos en la acción de evaluar:1) Propósito de diagnóstico: qué entiende el alumno, qué le es difícil, etc.2) Retroalimentación docente: qué saben los alumnos de lo expuesto, qué ritmo llevar, etc.3) Calificación: puede aplicar lo aprendido, puede pasar de nivel, etc.4) Logros matemáticos generales: capacidad matemática general en relación con otros.5) Valoración del programa: ¿es eficaz el programa?.

y las siguientes competencias matemáticas3 a evaluar:

a) Potencia matemática

La potencia matemática engloba todos los aspectos del conocimiento matemático, su inter-conexión y su aplicación.

- capacidad para aplicar lo que saben a la resolución de problemas.- capacidad de utilizar el lenguaje matemático para expresarse- capacidad de razonamiento y análisis- comprensión de la naturaleza de las matemáticas

b) Resolución de problemas- formular problemas- aplicar diversas estrategias para resolver problemas- resolver problemas

3 El término no tiene aquí el mismo significado que se está utilizando en la actualidad, pero se puede decir que estos planteamientos han constituído el gérmen para los principios y fines que se están tratando aquí.


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- comprobar e interpretar resultados- generalizar soluciones

c) Comunicación- expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas;- entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentándolas de forma escrita oral o visual;

- utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describirrelaciones y modelar situaciones.d) Razonamiento

- utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas;- utilizar el razonamiento proporcional y espacial- utilizar el razonamiento deductivo- analizar situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes- reconocer la naturaleza axiomática de las matemáticas

e) Conceptos matemáticos- dar nombre, verbalizar y definir conceptos;- identificar y generar ejemplos válidos y no validos;

- utilizar modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos;- pasar de un modo de representación a otro;- reconocer los diversos significados e interpretaciones de los conceptos- identificar propiedades de un concepto determinado- comparar y contrastar conceptos

f) Procedimientos matemáticos- reconocer cuando es adecuado un procedimiento- explicar las razones para los distintos pasos de un procedimiento- llevar a cabo un procedimiento de forma fiable y eficaz- verificar el resultado de un procedimiento- reconocer procedimientos incorrectos- generar procedimientos nuevos

g) Actitud matemática- confianza en el uso de la matemática- interés, curiosidad e inventiva al hacer matemáticas- valorar la aplicación matemática en la experiencia diaria.

Pero en la reflexión que se presenta nos interesa particularmente la evaluación de diagnóstico con propósitos de averiguar si un proceso educativo en matemáticas prepara realmente a los alumnos para laadquisición de unas capacidades y competencias que se desea que constituyan los elementos clave queguíen en el futuro la formación matemática de las nuevas generaciones. De los resultados se seguirán

recomendaciones y modificaciones curriculares en el sentido de introducir tales elementos básicos como principales organizadores de un nuevo currículo que será implementado en todos los paises de la UniónEuropea. En Andalucía se han desarrollado recientemente dos evaluaciones del tipo mencionado: laevaluación del proyecto PISA 2003 y la evaluación de diagnóstico de la Junta de Andalucía.

Evaluación PISA-OCDE 2003

Los nuevos objetivos de la educación europea tuvieron sus inicios en el proyecto Sócrates-Erasmus,conocido como proyecto Tunning, en el que se adoptaba la adquisición de competencias como eje centralde los nuevos diseños y desarrollos curriculares.En consonancia con esta iniciativa, surgió en el seno de la OCDE el Programa Internacional de

Evaluación de Estudiantes (Programme for International Student Assessment, PISA).


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• El Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos –PISA–, es un estudio de evaluacióninternacional del rendimiento de los alumnos de 15 años, realizado a iniciativa y bajo la coordinación dela Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE). Las materias evaluadas son:Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas.

• PISA evalúa el conocimiento y las destrezas de los alumnos de 15 años. El objetivo general es conocercomo están preparados los alumnos de esa edad para afrontar los retos de la vida adulta en un contexto devida cotidiana.

• PISA no es una evaluación curricular en la que se evalúa lo que se les ha enseñado a los alumnos en laescuela. Es una evaluación de los conocimientos y destrezas esperables en un alumno próximo a terminarsu escolaridad obligatoria y a punto de incorporarse al mercado laboral o de proseguir estudios noobligatorios. El carácter no curricular de PISA facilita que los resultados entre países sean comparables,con independencia de los distintos modos de organizar las enseñanzas en cada país.

• Los estudios PISA se repiten cada tres años. En cada uno de ellos se profundiza especialmente en una de

las materias. En el primer estudio, realizado en el año 2000, se profundizó en Lectura; participaron 32 países. En el segundo, realizado en 2003, se ha profundizado en Matemáticas y en él han participado 41 países. El tercer estudio se he llevado a cabo en 2006 y la materia principal ha sido Ciencias; han participado más de cincuenta países.

• En cada uno de los estudios, además de las pruebas de conocimientos y competencias sobre las materiasseñaladas, también se recoge información sobre el origen social, el contexto de aprendizaje y laorganización de la enseñanza a través de cuestionarios dirigidos a los propios alumnos y a los directoresde sus centros, con el fin de identificar los factores asociados a los resultados educativos.caracterizado porlos siguientes elementos:

Fines de la evaluación

1) concretar y someter a prueba los principios y elementos básicos del espacio europeo deEducación ;

2) aver iguar en quémedida los jóvenes de l5 años:o están preparados al f inali zar l a escolar idad obli gatoria para uti li zar l o que han

aprendido en situaciones cotidianas, desempeñar un papel activo en la sociedad del sigloXXI y satisfacer los desafios que dicha sociedad les plantea 4

o dominan las herramientas matemáticas, usan y se impl ican con las Matemáticas y tienenun buen n ivel de “Al fabetización Matemática” (Mathematical L iteracy) en términos de

capacidades relacionadas con las matemáticas y sus apli caciones para enf rentarse conproblemas cotidianos.

Instrumento

Una EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA del rendimiento acumulado de los estudiantes, en términos decapacidades para utilizar y hacer matemáticas en situaciones reales, es decir, para analizar, razonar ycomunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedadde dominios y situaciones. Todo ello significa, no sólo utilizar las matemáticas y resolver problemasmatemáticos sino también, comunicar, relacionarse con las matemáticas, valorar e incluso apreciar ydisfrutar con ellas.

4 Rico, L. (2003): “Investigación en el aula de matemáticas. La evaluación”


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La evaluación se ha basado en unos principios y elementos básicos que son:- el concepto de alfabetización matemática- el concepto de competencia matemática- el concepto de matematización

y se han tenido en cuenta:

1.- Las situaciones y contextos, en la medida en que en el proceso de hacer matemáticas(matematización) siempre se hace referencia a alguna parcela de la experiencia o de la realidad, inclusoaunque esta sea virtual.

2.- Los contenidos matemáticos, tanto desde el punto de vista de la disciplina (aritmética,geometría, álgebra, etc.) como desde el punto de vista de los fenómenos reales (cantidad espacio y forma,cambios y relaciones, incertidumbre).

3.- Las competencias necesarias para desarrollar con soltura los procesos de matematización(aunque las competencias en sí no son variables de tarea sino de sujeto).

Principios y elementos básicos

Alfabetización Matemática

Se conoce como alfabetización matemática o “mathematical literacy” a:“La capacidad individual para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo,hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquéllos momentos en que se

presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo, comprometido yreflexivo” (OCDE, 2003).

La alfabetización matemática “. . se refiere a las capacidades de los estudiantes para analizar, razonar ycomunicar eficazmente, cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad

de dominios y situaciones . . “ (Rico, 2004)5

y es considerada por unanimidad como un elemento muyimportante a tener en cuenta para el desarrollo individual, social y científico de cualquier país.

La alfabetización matemática supone:- atreverse a pensar con ideas matemáticas;- utilizar lo aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana;- que dicha utilización sea espontánea y con plena conciencia de su importancia y necesidad y de

la evidencia de su utilidad, es decir, que sea incorporada plenamente al conjunto de instrumentosy capacidades que el sujeto utiliza en sus relaciones cotidianas con su entorno;

Formación para una alf abetización matemática

Una formación matemática adecuada y completa debe abarcar todos los aspectos de las matemáticas:o PURO O FUNDAMENTAL, como ciencia purao APLICADO como ciencia aplicadao INSTRUMENTAL, como conjunto de herramientas prácticaso EDUCATIVO, como materia formativao ESTÉTICO, como campo creativo y de belleza

En consecuencia, la formación para una alfabetización matemática efectiva debe contemplar, al menos6:

5

“Evaluación de competencias matemáticas. Proyecto PISA/OCDE 2003”. En: Castro y de la Torre (eds.). Actas del VIIISimposio de la SEIEM. A Coruña. Universidad de A Coruña.6 Nota añadida del autor


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- los contenidos: conceptos y procedimientos matemáticos, aisladamente y en contextos (en sufaceta de aplicación)

- las técnicas y destrezas, aisladamente y en contextos (en su faceta de aplicación)- el conocimiento del uso social de las matemáticas, de su carácter práctico- las relaciones de las matemáticas con los valores de equidad, objetividad y rigor

- los aspectos de creatividad, ingenio y belleza de las matemáticasPero:- no es suficiente, aunque sí necesario, conocer los contenidos del currículo oficial de

matemáticas, aunque quizás deberían ser conocidos o “experimentados” o aprendidos comomedios y no como fines7;

- no es suficiente, aunque sí necesario, el mero dominio de los aspectos instrumentales básicos, delos conceptos y de las técnicas y destrezas matemáticas, aunque quizás deberían ser conocidos o“experimentados” o aprendidos como medios y no como fines;

- la alfabetización matemática no se puede reducir al mero conocimiento de los conceptos, procedimientos y destrezas matemáticas. Estos son prerrequisitos, pero no son suficientes.

Ampli tud de la al fabetización matemática

La alfabetización matemática no sólo aporta beneficios específicos, relacionados con las matemáticas,sino que contribuye a la formación o alfabetización general. Se encuentra en el centro de los modossegún los que se percibe y comprende el mundo y es un componente esencial de dicha alfabetizacióngeneral o “liberating literacy”, que tiene que ver con la comprensión de los hechos generales y susrelaciones en la construcción del mundo, cubriendo cuestiones que tienen que ver con la naturaleza, lasociedad, la cultura, la tecnología, etc. y sus relaciones. Aquí se pueden poner como ejemplos lossiguientes: distinguir entre astronomía y astrología; entre medicina científica y no científica; entre

psicología y espiritismo; entre afirmaciones descriptivas y normativas; entre hechos e hipótesis; exactitudy aproximación; el comienzo y el fin de la racionalidad, etc.

Al fabetización matemática y rendimiento escolar tradicional

Es posible que existan personas con un buen nivel de alfabetización matemática y que, sin embargo, surendimiento en las matemáticas escolares ha sido bajo o malo?.De hecho, la alfabetización matemática se configura mediante un repertorio básico de conocimientos,técnicas y destrezas matemáticas a las que hay que añadir un cúmulo de capacidades y competenciasconstituidas sobre la base de la utilización de dicho repertorio en contextos cotidianos.

¿Es posible que un individuo no domine las reglas algebraicas, la resolución de la ecuación de segundo

grado, el signo igual, etc. y tenga un buen nivel de pensamiento algebraico y relacional?. ¿Es posible quetenga una formación amplia en regularidades, patrones y relaciones funcionales desde un punto de vista práctico y no domine la simbolización algebraica, las propiedades y las manipulaciones algebraicasformales?. En este caso, se puede dar un mayor grado de alfabetización, aunque limitado por la falta dedominio de cuestiones que permiten extender y ampliar las competencias.La alfabetización aquí se produce a través de las experiencias vividas fuera del contexto de la educaciónformal?.

Algunas cuestiones para la refl exión

Surgen numerosas cuestiones interesantes, como por ejemplo:

7 Opinión del autor


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- ¿hasta qué punto es importante el contenido, las destrezas, los conceptos, los procedimientosmatemáticos desarrollados en el currículo escolar tradicional?

- ¿es necesario realizar una selección urgente de contenidos matemáticos elementales?¿esnecesario revisar los contenidos?¿y la metodología?

ConjeturaLa alfabetización matemática se consigue gracias al desarrollo de capacidades específicas quedenominamos competencias matemáticas

Competencias matemáticasEl concepto de competencia hace referencia a lo que el individuo es capaz de hacer (capacidad derespuesta)8.El concepto de competencia matemática está íntimamente relacionado con el punto de vista funcional delas matemáticas, que tiene que ver con:

- las matemáticas como “modo de hacer”- la utilización de herramientas matemáticas

- el conocimiento matemático en funcionamientoy en el que intervienen los siguientes elementos:

o tareas contextualizadaso herramientas conceptuales y procedimientaleso sujeto cognitivo

y las relaciones entre ellos, tal y como se representa en el gráfico adjunto.

SujetoCompetencias (cognitivas, matemáticas)Capacidades, conocimientos, . . . generales y específicos

Pensar y razonarArgumentarComunicar aprende y utilizaRepresentarModelizar. . .

MatemáticasHerramientas conceptuales y procedimentales

Actúa y aplica Conocimientos básicos, destrezas

RealidadTareas y situacionesFenómenosContextosProblemas

Significados

Tres significados para el término competencia:

8 Este planteamiento coincide con el que se adopta a propósito de las manifestaciones observables de la comprensión según elmodelo para el diagnóstico y evaluación de la comprensión del conocimiento matemático de Gallardo (2004)


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1).- La competencia como dominio de estudio y finalidad principal y prioritaria de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas.Tiene que ver con la idea de alfabetización matemática y un modo global de hacer matemáticas, deresolver problemas prácticos;2).- La competencia como conjunto de procesos generales.

Las competencias son procesos matemáticos generales que concretan las finalidades educativas, orientanlas tareas y caracterizan los niveles en el rendimiento de los alumnos3).- Las competencias agrupadas en forma de grupos o niveles de complejidad cognitiva expresablesmediante una escala.

Utilidad múltiple del concepto de competencia matemáticaLas competencias matemáticas sirven para:1.- Propósitos formativos Para orientar los procesos de formación hacia el desarrollo de determinadas capacidades.2.- Propósitos normativos

para especificar aspectos curriculares, fines, métodos, etc.

3.- Propósitos descriptivos para describir y caracterizar las prácticas de enseñanza de las matemáticas en el aula, las respuestas de losestudiantes, los fines que se persiguen con determinadas tareas, etc.4.- Propósitos comparativos Se pueden comparar diferentes curricula, diferentes clases de educación matemática, en diferentes niveleso en diferentes lugares, etc.5.- Propósitos evaluadores; como soportes metacognitivos para evaluación de procesos tanto de

profesores como de alumnos

Las competencias matemáticas han sido analizadas con los fines descritos por Niss, M. (1999)9 a propósito de la preparación del Proyecto danés KOM (Competencias y aprendizaje de las Matemáticas).De dichos planteamientos, aunque esta vez con fines comparativos y evaluadores, la OCDE adoptó una

parte de dichas consideraciones para el desarrollo del proyecto PISA 2003. Veamos primero el enfoque de Niss con una cierta amplitud para pasar posteriormente al exámen de las consideraciones realizadas parala elaboración y desarrollo del proyecto PISA 2003.

Competenci as matemáticas según Niss

Arranca de la pregunta ¿Qué significa dominar las matemáticas?: domina las matemáticas quién poseecompetencias matemáticas.Poseer una competencia, o ser competente, en algún campo o dominio de la vida personal, profesional o

social es dominar, en un cierto grado y dependiendo de las condiciones y circunstancias, aspectosesenciales de la vida en ese dominio o campo. Poseer competencia matemática significa:

poseer habi l idad para comprender, juzgar, hacer y usar l as matemáticas en una variedad de contextosintra y extra matemáticos y situaciones en las que las matemáticas juegan o pueden tener unprotagonismo

Las competencias matemáticas:- se adquieren, se construyen o se desarrollan;- se poseen, se dispone de ellas o se tienen en mayor o menor grado;- se manifiestan en las actuaciones del sujeto ante situaciones que las activan.

9 Niss, M. (1999).- Mathematical competencias and the learning of mathematics: The Danish KOM Project


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Es necesario distinguir, por tanto, entre tareas de diagnóstico, tareas de aprendizaje y tareas deaplicación o utilización práctica de dichas competencias, si bien todas pueden cumplir todas las funcionescon las orientaciones adecuadas.

Requisitos básicos (necesarios pero no suficientes) para tener competencia matemática:

- poseer conocimiento factual- poseer destrezas técnicas

Tipos de competencias matemáticas y situaciones en las que se manifiestan10

El autor distingue dos grupos de competencias:1º grupo, competencias 1, 2, 3 y 4.2º grupo, competencias 5, 6, 7 y 8

Primer grupo Tienen que ver con la habilidad para preguntar y responder cuestiones en matemáticas y pormedio de las matemáticas

1.- PENSAR MATEMÁTICAMENTE (dominar los modos matemáticos de pensamiento)- proponer cuestiones características de las matemáticas conociendo las clases de respuestas (nonecesariamente las respuestas concretas ni como obtenerlas);- comprender y manejar el alcance y las limitaciones de un concepto dado;- ampliar el dominio de un concepto abstrayendo algunas de sus propiedades;- generalizar los resultados a clases más amplias de objetos;- distinguir entre diferentes clases de enunciados / afirmaciones matemáticas, incluyendo sentenciascondicionadas, cuantificadores, suposiciones, definiciones, teoremas, conjeturas, casos, etc.

Ejemplos:

1.a.- Dos hermanos se quieren repartir un campo rectangular en partes iguales. ¿Cómo lo puedenhacer?. ¿De cuántas maneras distintas?. ¿Cómo pueden estar seguros de que los trozos son iguales?.

1.b.- Sin hacer la multiplicación ¿se puede saber si 17 x 28 es mayor o menor que 400?. Explica porqué. ¿Hay varias formas de hacerlo?.

2.- PROPONER Y RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS- identificar, proponer y especificar diferentes clases de problemas de matemáticas (puro-aplicado, abiertocon solución-cerrado, etc.);- resolver diferentes clases de problemas de matemáticas (puro-aplicado, abierto con solución o cerrado,

propuesto por otros o por uno mismo, propuestos de diferentes modos, etc.); Ejemplos:

2.a.-

10 Se proponen algunos ejemplos a pesar de la complejidad de la elección y representatividad de las tareas y situaciones.


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2.b.- Encontrar los números enteros a, b, c y d tales que: 4 / a = 1 / b + 1 / c + 1 / d

3.- MODELIZAR MATEMÁTICAMENTE (analizar, construir y evaluar modelos)Se puede entender también la competencia de modelización como el conjunto de habilidades, destrezas yactitudes que son importantes para el proceso de modelización matemática. Dicho proceso se puede

referir a:- analizar fundamentos y propiedades de modelos existentes, valorar su rango y validez;- decodificar modelos existentes (traducir e interpretar elementos de un modelo en términos de la realidadmodelizada);- aplicar un modelo a un contexto dado, lo que requiere:

- estructurar el campo- matematizar- interpretar y resolver problemas- trabajar con el modelo- validar el modelo, interna y externamente- analizar y criticar el modelo, en sí mismo y en sus posibles alternativas

- comunicar el modelo y sus resultados- observar y controlar el proceso de modelización

Niveles en la competencia de modelización11

Nivel 1.- Reconocer y comprender la modelizaciónSe caracteriza por la habilidad para:- reconocer y describer el proceso de modelización,- caracterizar, distinguir y localizar las fases en el proceso de modelización

11 Los niveles y ejemplos que se mencionan en este apartado han sido elaborados a partir de: Henning, H.; Keune, M. (2004).Levels of modelling competence. Department of Mathematics. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg, Germany.


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Nivel 2.- Modelización independienteSe caracteriza por la habilidad para:- analizar y estructurar los problemas y abstraer las cantidades,- adoptar diferentes perspectivas,- aplicar y establecer modelos matemáticos,

- trabajar sobre modelos matemáticos,- interpretar resultados y otros aspectos de los modelos,- validar los modelos y el proceso completo.

Nivel 3.- Reflexión sobre el proceso de modelizaciónSe caracteriza por la habilidad para:- analizar críticamente el proceso de modelización,- caracterizar los criterios para la evaluación del modelo utilizado,- reflexionar sobre la causa de la modelización,- reflexionar sobre las aplicaciones de las matemáticas.

Ejemplos basados en el estudio PISA (OCDE, 2003) para cada uno de los niveles

3.1.- El problema del tanque de agua(nivel 1)Tenemos un tanque vacio que se llena de agua a la razón de un litro por segundo. Lo que aparece en lasfiguras siguientes son los resultados de un proceso de construcción de un modelo realizado por un grupode alumnos. En dicho proceso, los alumnos han hecho ciertas suposiciones sobre el tanque con las quehan dibujado el gráfico que acompaña al dibujo del tanque.

Tanque de agua

a) Describe cómo crees que los alumnos realizaron el proceso de modelización b) ¿Qué suposiciones hicieron?c) ¿Qué clase de modelo usaron?d) ¿Cuál puede ser el próximo paso teniendo en cuenta el gráfico?

3.2.- Fiesta escolar(nivel 2) (resolver un problema utilizando técnicas de modelización)Se va a celebrar una fiesta en el colegio a la que va a venir a tocar un famoso grupo musical. La mayoría

de los alumnos del centro y de otros centros cercanos querrán asistir a la fiesta, de manera que es posibleque se llene el local.

altura

tiempo

1.0 m

1.5 m

1.5 m


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Sabiendo que el grupo cobra una cantidad y que el colegio subvenciona con otra cantidad, losorganizadores te encargan la tarea de averiguar el máximo número de personas que caben en el gimnasioy fijar un precio para la entrada.

a) Explica como harías para resolver el problema y los pasos necesarios para encontrar la solución; b) Completa la tarea como creas conveniente. Si falta información precisa, emplea la estimación.

Los organizadores quieren convencer al Director del colegio mediante una presentación corta de lasconclusiones de tu trabajo,c) Elabora un guión corto con los puntos clave para que dicha exposición sea convincente.

3.3.- Accidentes de tráfico(nivel 3) (reflexión crítica sobre el proceso de modelización y su uso en una aplicación real; evaluar el usotendencioso de modelos matemáticos en general)En la siguiente tabla se indica el número de muertes por accidente de tráfico en un pais en una serie deaños.

año 1960 1965 1970 1975 1980 1984

Número de accidentes 110 200 330 480 590 550

La tabla es utilizada por una marca de coches conocida para justificar la necesidad de un nuevo sistema deseguridad instalado en sus vehículos.

El slogan que acompaña a la tabla es el siguiente: “Cada 10 años se duplica o triplica el número deaccidentes. Con nuestros vehículos equipados con el sistema HB1 viajará más seguro!!!”

a) ¿Es correcta la frase de la primera parte del slogan?. Justifica la respuesta b) ¿Porqué esta casa comercial utiliza este recurso matemático?c) ¿Es posible utilizar erróneamente las matemáticas?

4.- RAZONAR MATEMÁTICAMENTE- seguir y valorar cadenas de argumentos- saber lo que es una demostración matemática y cómo se diferencia de otras clases de razonamiento y deotras clases de razonamiento matemático (por ejemplo el razonamiento heurístico)- descubrir las ideas básicas en una línea argumental, distinguiendo principales sublíneas a partir dedetalles, ideas y aspectos técnicos

Ejemplos:

4.a.- Completa:

4.b.- Cada cuadrado tiene de área 1. ¿Qué parte del total representa lo sombreado?

8

x 4

5 02 1 0

2 6 0


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4.c.- razonamiento combinado geométrico-algebraico sobre el teorema de Pitágoras

Segundo grupo de competencias. Tienen que ver con la habilidad para utilizar el lenguaje y las

herramientas matemáticas.

5.- REPRESENTAR OBJETOS Y SITUACIONES MATEMÁTICAS- comprender, utilizar, decodificar e interpretar diferentes clases de representaciones de objetos,fenómenos y situaciones matemáticas y distinguir entre ellos;- comprender y utilizar las relaciones entre diferentes representaciones de la misma entidad u objeto,incluido el conocimiento de sus restricciones y limitaciones;- elegir entre diferentes representaciones y pasar de unas a otras

Ejemplos:

5.a.-


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5.b.-

6.- UTILIZAR SIMBOLOS Y FORMALISMOS MATEMÁTICOS- decodificar e interpretar lenguaje matemático simbólico y formal y comprender sus relaciones con ellenguaje natural;- comprender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos formales (desde ambos puntos de

vista, sintáctico y semántico);- traducir entre el lenguaje natural y el lenguaje simbólico/formal;


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- utilizar y manipular sentencias y expresiones que contienen símbolos y formulas.

Ejemplos:

6.a.- “el cuadrado del binomio”. Proceso de investigación mediante cuadrados de puntos12

7.- COMUNICAR EN, CON Y SOBRE LAS MATEMÁTICAS- comprender los textos escritos, las expresiones visuales o las frases orales de otros, en una variedad deregistros lingüísticos, sobre cuestiones materias o temas de contenido matemático;- expresarse uno mismo sobre tales cuestiones materias o temas, con diferentes niveles de precisiónteórica y técnica, de forma oral, visual o escrita;

Ejemplos:

7.a.- 4 o más jugadores. El profesor forma una fracción sencilla con los multicubos. Por turno,cada jugador debe formar una nueva fracción equivalente a la primera, utilizando el mismo material, yconvencer al resto de jugadores y a los demás de que efectivamente es una fracción equivalente a la

primera. Sólo se apuntará el tanto si hay consenso en la bondad de la construcción. El profesor moderaráel debate.

12 Extraido de Gómez, B. (1992).- Las Matemáticas y el proceso educativo. Cap. 2 En: Área de Conocimiento Didáctica de laMatemática. Madrid: Síntesis


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7.b.- Un grupo de alumnos recaba información de las familias de los compañeros para averiguarlas preferencias en la ocupación del tiempo libre, elaborar con los datos unos informes y gráficos yexponer las conclusiones a toda la clase.

7.c.- Relaciones funcionales y su representación

8.- UTILIZAR RECURSOS AUXILIARES Y HERRAMIENTAS (tecnológicas, entre otras)- conocer la existencia y propiedades de varias herramientas y recursos para la actividad matemática, susalcances y limitaciones;- ser capaces de usar racionalmente tales recursos y herramientas.

Ejemplos:8.a.- Conocer la calculadora13

13 Extraido de Hernán, F. (1989).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis


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8.b.- Con regla y compás, construir distintos cuadriláteros a partir de sus diagonales, enunciar lasregularidades que se observan y generalizar los resultados.

Algunos comentarios del autor- todas las competencias tienen que ver con procesos, actividades y comportamientos mentales o físicos,

con lo que se centran en lo que el individuo puede hacer;- las competencias están relacionadas entre sí;- todas las competencias tienen un aspecto analítico y otro productivo

- el aspecto analítico se centra en torno a la comprensión, interpretación, análisis yvaloración de los fenómenos y procesos (reflexión);

- el aspecto productivo se centra en la construcción activa y el desarrollo de procesos(aplicación);- todos los términos son específicamente matemáticos (lenguaje, símbolos, representación, etc.);- son independientes de contenidos y niveles educativos; no están sujetos a tópicos matemáticos, curriculao clases;- al igual que ocurre con la lengua, se pueden producir diferencias entre niveles y zonas;

- la intuición matemática, la creatividad y la capacidad de abstracción se encuentran distribuidas a lo largode las ocho competencias;- las competencias y los contenidos son dos campos que se deben entrecruzar entre sí como en una tablade doble entrada. Cada casilla indicará como se manifiesta la competencia concreta en el caso de uncontenido concreto.

Aspectos complementarios que tienen que ver con la Matemática como disciplinaLas 8 competencias no cubren todo el campo de las matemáticas. Existen tres aspectos que no se derivande las competencias y que es necesario completarlos mediante el estudio interno de la disciplina. Son:

- las aplicaciones actuales de las matemáticas a otras ciencias o campos- el desarrollo histórico de las matemáticas- la naturaleza especial de las matemáticas como disciplina

Se podrían identificar con lo que se conoce como el conocimiento sociocultural de las matemáticas comodisciplina.

Análisis de tareas desde el punto de vista de su contribución al desarrollo de competencias matemáticas según Niss

Son múltiples las situaciones que requieren de las matemáticas y que se resolverían antes, mejor y másfácilmente si se utilizaran dichos conocimientos. Por ejemplo:

- Necesito controlar lo que gasto mensualmente en transporte

- Tengo que hacer una planificación del trabajo para la semana que viene con objeto de preparar losexámenes.- Voy a pintar mi habitación . . . ¿cuánta pintura necesito?¿de qué precio?¿cuánto me va a costar? . .- El partido empieza a las nueve y estoy lejos de la casa. ¿A qué hora límite tengo que salir para

llegar a tiempo y verlo desde el principio?¿qué tengo que averiguar?¿si no dispongo deinformación exacta, qué debo hacer?

- Me quiero comprar una bicicleta. ¿Cuánto tiempo aproximado debo estar ahorrando hasta tener lacantidad total si ingreso una media semanal de 100 euros y un gasto medio semanal de 70 euros?

- Estoy pensando en comprar una vivienda, pero como máximo puedo dedicar 600 euros al mes.¿qué posibilidades tengo?¿qué tipo de vivienda me puedo comprar?

- Quiero que la vivienda esté en el centro, que sea grande, soleada, con garaje y con calidades

excepcionales. ¿cómo puedo compatibilizar mis deseos con mi disponibilidad económica?- ¿A qué hora quedo con Blanca en el centro para que me de tiempo a llegar?


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- Si tengo que ir en taxi a la calle . . . ¿cuál será el mejor camino para llegar antes?¿tendré dinerosuficiente si el taxista decide ir por un camino más largo?

- Quiero invitar a todos mis amigos a mi fiesta de cumpleaños . . . ¿cómo lo hago?, ¿qué necesito?- Me gusta esa librería casera y quiero hacer una igual . .;- ¿cómo puedo construir un cuadrado cuya superficie sea el doble que la de otro cuadrado?;

- Mi hijo quiere empezar a estudiar una carrera. . ¿qué será lo mejor?;

Ejercicio: Analizar las tareas desde el punto de vista de las competencias requeridas, es decir, teniendo encuenta:

- información necesaria y accesible- información a averiguar (no accesible directamente)- actuaciones a llevar a cabo: organización de la información, análisis de relaciones,

estructuración de la situación, etc.- modelos matemáticos a utilizar en su caso- resolución de problemas- conceptos y procedimientos

- capacidades necesarias para afrontar la tarea- competencias involucradas (en orden de importancia)

Competencias matemáticas en PISA 2003

El Proyecto PISA utiliza las siguientes competencias matemáticas para propósitos evaluadores ycomparativos fundamentalmente:- Pensar y razonar (distinguir entre diferentes tipos de enunciados, plantear cuestiones propias de lasmatemáticas, etc.);- argumentar (conocer lo que son pruebas matemáticas, tener sentido para la heurística, crear y expresarargumentos matemáticos, etc.);- comunicar (expresión matemática, oral y escrita, entender expresiones, etc.);- modelizar (estructurar el campo, interpretar los modelos, trabajar con modelos, etc.);- plantear y resolver problemas;- representar (codificar, decodificar e interpretar representaciones, traducir entre diferentesrepresentaciones, etc.);- utilizar varios lenguajes.

Niveles de complejidad

1.- Niveles de complejidad por grupos de competencias (niveles teóricos)

Para el diseño de las pruebas, puesto que las competencias en sí no se pueden asignar sin más a tareasconcretas para cada una de ellas, se han establecido tres niveles de complejidad que hacen referencia aclases o grupos de competencias; son tres: de reproducción y procedimientos rutinarios, de conexiones eintegración y de reflexión, razonamiento y argumentación para resolver problemas originales.

Esta variable ha servido para construir las tareas de acuerdo con los siguientes indicadores14:

REPRODUCCIÓN CONEXION REFLEXIÓN- Contextos familiares- Conocimientos practicados- Aplicación de algoritmos

- Contextos menos familiares- Interpretar y explicar- Manejar y relacionar diferentes

- Tareas que requierencomprensión y reflexión- Creatividad

14 Tabla extraída de Rico, L. (2005) (documento inédito)


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estándar- Realización de operacionessencillas- Uso de fórmulas elementales

sistemas de representación- Seleccionar y usar estrategiasde resolución de problemas norutinarios

- Ejemplificación y uso deconceptos- Relacionar conocimientos pararesolver problemas complejos- Generalizar y justificar

resultados obtenidos

2.- Niveles de complejidad expresables mediante una escala (obtenidos empíricamente)

Existen 6 niveles de competencia matemática obtenidos empíricamente que expresan la maestría en larealización de las tareas matemáticas y la riqueza cognitiva asociada a tal realización. Son los siguientes15:- Primer Nivel (1): los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos conocidos, donde

está presente toda la información pertinente y las preguntas están definidas claramente. Son capacesde identificar la información y llevan a cabo procedimientos rutinarios al seguir instrucciones directasen situaciones explícitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen inmediatamente de losestímulos presentados.

- Segundo Nivel (2): los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que sólorequieren una inferencia directa. Saben extraer información pertinente de una sóla fuente y hacer usode un único sistema de representación. Pueden utilizar algoritmos, fórmulas, procedimientos oconvenciones elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literalesde los resultados.

- Tercer Nivel (3): los alumnos saben ejecutar procedimientos descritos con claridad incluyendo aquéllosque requieren decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias de solución de

problemas sencillos. Saben interpretar y utilizar representaciones basadas en diferentes fuentes deinformación y razonar directamente a partir de ellas. También son capaces de elaborar escritos breves

para exponer sus interpretaciones, resultados y razonamientos.- Cuarto Nivel (4): los alumnos pueden trabajar con eficacia con modelos explícitos en situaciones

complejas y concretas que pueden conllevar condicionantes o exigir la formulación de supuestos.Pueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, asociandolasdirectamente a situaciones del mundo real. Saben utilizar habilidades bien desarrolladas y razonar conflexibilidad y cierta perspicacia en estos contextos. Pueden elaborar y comunicar explicaciones yargumentos basados en sus interpretaciones, argumentos y acciones.

- Quinto Nivel (5): Los alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en situaciones complejas,identificando los condicionantes y especificando los supuestos. Pueden seleccionar, comparar yevaluar estrategias adecuadas de resolución de problemas para abordar problemas complejos relativosa estos modelos. Pueden trabajar estratégicamente utilizando habilidades de pensamiento yrazonamiento bien desarrolladas, así como representaciones relacionadas adecuadamente,

caracterizaciones simbólicas y formales e intuiciones relativas a estas situaciones. Pueden reflexionarsobre sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.- Sexto Nivel (6): Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar información basada en

investigaciones y modelos de situaciones complejas. Pueden relacionar diferentes fuentes deinformación y representaciones y traducirlas de una manera flexible. Los estudiantes de este nivel

poseen un pensamiento y razonamiento matemático avanzado. Pueden aplicar su entendimiento ycomprensión, así como su dominio de las operaciones y relaciones matemáticas simbólicas y formalesy desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas. Pueden formular ycomunicar con exactitud sus acciones y reflexiones relativas a sus descubrimientos, argumentos y suadecuación a las situaciones originales (OCDE, 2004, p. 47; OCDE, 2005, pp 47 y 48).

15 Maestro, C. y otros (2005)


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La siguiente tabla, extraida de Rico, L. (2005), recoge los resultados empíricos obtenidos en términos dedescriptores resumidos por niveles y competencias.

Niveles

Competencias

1 2 3 4 5 6

Pensar yrazonar

Responder acuestionesen contextosmuyconocidos

Responder acuestiones encontextos

pocofamiliares

Responder acuestionescomplejas enmultitud decontextos

Formar yrelacionarconceptos

Argumentary justificar

Elaborarargumentos

basados enlas propiasacciones

Formular losrazonamientosdesarrollados

Elaborarargumentosdesde la

propiareflexión

Comunicar Describirresultadosobtenidos

Realizarexplicacionessencillas

Comunicarconclusionescon precisión

Modelizar Usarmodelosexplícitos ensituacionesconcretas

Desarrollar yusar modelosen múliplessituaciones

Resolución deproblemas

Resolver problemas

con datossencillos

Seleccionar yaplicar

estrategiassencillas

Seleccionar,comparar y

evaluarestrategias

Generalizarresultados de

problemasRepresentar Leer datos

directamente de tablas ofiguras

Usar unúnico tipoderepresentación

Conocer yusardiferentessistemas derepresentación

Vinculardiferentessistemas derepresentación, incluido elsimbólico

Relacionarentre sí ytraducir confluidezdiferentessistemas derepresentación

Lenguajesimbólico

Realizaroperaciones

básicas

Usaralgoritmos

y fórmulaselementales

Aplicar procedimientos

descritos conclaridad

Representarsituaciones

realesmediantesímbolos

Dominar conrigor

ellenguajesimbólico

Ejemplos de tareas de la evaluación del proyecto PISA 2003


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Pregunta 19: ESTANTERÍASPara construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente:

4 tablas largas de madera,6 tablas cortas de madera,

12 ganchos pequeños,2 ganchos grandes,14 tornillos.

El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera,200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos.¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?

Respuesta: estanterías.


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Pregunta 3: CUBOSEn esta fotografía puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f). Hay una regla que es válida para todos los

dados: La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número de puntos que tiene la cara inferior del dado correspondiente queaparece en la foto.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)


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EL MEJOR COCHE

Una revista de coches utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio d

Mejor coche del año al coche con la puntuación total más alta. Se están evaluando cinco coches nuevos. Sus

puntuaciones se muestran en la tabla.

Las puntuaciones se interpretan de la siguiente manera: 3 puntos – Excelente; 2 puntos –

Bueno; 1 punto - Aceptable

Para calcular la puntuación total de un coche, la revista utiliza la siguiente regla, que da una

suma ponderada de las puntuaciones individuales:

Puntuación total - (3x S) + C + D + H

Calcula la puntuación total del coche Ca. Escribe tu contestación en elespacio siguiente. Puntuación total de Ca:

Pregunta 38: El fabricante del coche Ca pensó que la regla para obtener la puntuacióntotal no era justa. Escribe una regla para calcular la puntuación total de modo que el coche Casea el ganador.

Tu regla debe incluir las cuatro variables y debes escribir la regla rellenando con números positivos los cuatroespacios de la ecuación siguiente.

Puntuación total = .......…..S + ..... ……C + .... …..D + ......……H.

Algunos resultados PISA 2003

• La materia principal en el estudio PISA 2003 ha sido Matemáticas, a la que se le ha dedicado un 55%del tiempo de evaluación. Las otras materias en esta ocasión han sido Lectura, Ciencias y Solución de

problemas, con un 15% del tiempo de evaluación cada una.

• En PISA 2003 han participado 41 países, los 30 países miembros de la OCDE y 11 no miembros. Entreellos quedan incluidos los 15 países que eran miembros de la Unión Europea en 2003. Se ha evaluado untotal de 276.165 alumnos provenientes de 10.104 centros escolares.

La participación de España

• España ha participado en PISA 2003, como ya lo hizo en PISA 2000, y ha sido el Ministerio deEducación y Ciencia el que ha llevado a cabo las tareas de coordinación e implantación del estudio, através del Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE) y en estrecha

colaboración con las Administraciones educativas de las Comunidades Autónomas.


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• Las Comunidades Autónomas de Castilla y León, Cataluña y País Vasco han participado en el proyectoPISA 2003 con una muestra ampliada, lo que ha permitido una mayor precisión en la medida de susresultados, suficiente para una presentación desglosada de los mismos.

• El número de alumnos y de centros en la muestra española en PISA 2003 ha sido el siguiente:

Territorio Alumnos CentrosEspaña 10.761 383Castilla y León 1.490 51

Cataluña 1.516 50País Vasco 3.885 141

Rendimiento medio en matemáticas• Los alumnos españoles de 15 años muestran un rendimiento en matemáticas 15 puntos por debajo del

promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadísticamente significativa. Elrendimiento de los alumnos de Castilla y León y del País Vasco es significativamente superior al delconjunto de España.

• Los resultados de España no son significativamente diferentes de los de Eslovaquia, Noruega,Luxemburgo, Polonia, Hungría, Letonia y Estados Unidos.

• Aunque España figura en el puesto 26 de la lista, la falta de significatividad estadística de las diferenciascon los países mencionados en el punto anterior hace que España ocupe un puesto indeterminado entre las

posiciones 22 y 24 entre los países de la OCDE, o entre las posiciones 25 y 28 entre los 41 países participantes. España ocupa el puesto 22 entre estos países en cuanto a PIB per capita.

• La distribución de puntuaciones individuales en Matemáticas ha sido dividida en siete niveles derendimiento. Los niveles se numeran del 1 al 6, pero el nivel inferior se denomina “nivel menor que 1” yaque agrupa a aquellos alumnos con un rendimiento tan bajo que PISA no es capaz de describirloadecuadamente.

Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía

F ines y principiosLa evaluación de diagnóstico que se ha realizado en la Comunidad Autónoma Andaluza se enmarcadentro de un proceso orientado al establecimiento de una nueva Ley de Educación para Andalucía dirigidaa mejorar la calidad de su Sistema Educativo y conforme con las orientaciones de la Unión Europea alrespecto.

La evaluación se ha llevado a cabo asumiendo los principios de:- Compromiso ético- Participación democrática- responsabilidad compartida- confidencialidad- transparencia

FinesF in general Evaluación del rendimiento del alumnado como parte de un proceso de evaluación más amplio. Laevaluación ha sido censal por un lado, para información a los propios centros, y muestral con car´çacter deevaluación externa realizada por la Consejería de Educación.

Contenido


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Esta evaluación del rendimiento se ha centrado en la evaluación de competencias en el mismo sentidoque la evaluación del proyecto PISA 2003.

Objetivoso mejorar el rendimiento de los alumnos

o favorecer la cooperación e integración de esfuerzoso conocer el grado de consecución de los objetivos educativoso potenciar modelos de evaluación formativa

PrincipiosConcepto de competencia“Saber hacer complejo, resultado de la integración, movilización y adecuación de capacidades,conocimientos, actitudes y habilidades utilizados eficazmente en situaciones que tengan un caráctercomún”16

Otro enfoque: “Una combinación de habilidades prácticas y cognoscitivas interrelacionadas,

conocimientos, motivaciones, valores y ética, actitudes, emociones y otros componentes sociales ycomportamentales que pueden movilizarse conjuntamente para una acción eficaz en un contexto

particular”17

O tambien: “el desarrollo armónico del intelecto, de la inteligencia emocional y de la posesión de lashabilidades y destrezas necesarias para aplicar y desarrollar los conocimientos adquiridos en cualquiercontexto o situación, todo ello sustentado en valores éticos, morales y culturales comúnmente aceptadosen el contexto social en el que nos desenvolvemos”18

Nota del autor: Estas definiciones o descripciones contrastan, en el sentido de su complejidad,indeterminación y falta de claridad, con las consideraciones mucho más simples de los planteamientos dela OCDE, en los que se concibe la competencia como:“capacidad de respuesta a demandas complejas y de realización de tareas diversas de forma adecuada”

o dicho de otras manera, como “capacidad de respuesta adaptada” o “capacidad de poner en funcionamiento, de forma globalizada, conocimientos, destrezas y actitudes adquiridas en distintos

contextos”

Competencia

En el documento de la Junta de Andalucía se define la competencia como una combinación deconocimientos, capacidades y actitudes adecuadas al contexto.

Competencias básicas o clavesAquéllas que van a permitir a la persona en la sociedad del conocimiento, lograr una realización de su serindividual, social y su inclusión en el mundo laboral. Son las que todas las personas precisan para surelación y desarrollo personales así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo.

Se caracterizan por:• saber hacer• en diversidad de contextos

16 Lasnier, F. (2000); cita en: Consejería de Educación.de la Junta de Andalucía. Evaluación de Diagnóstico. Marco Teórico.Dirección General de Ordenación y Evaluación Educativa.17

Rychen y Tiana (2004); cita en: Consejería de Educación.de la Junta de Andalucía. Evaluación de Diagnóstico. MarcoTeórico. Dirección General de Ordenación y Evaluación Educativa.18 Benítez, A. (2006).- Las competencias básicas en la LOE. Revista Escuela Española, nº 3701. Madrid.


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• con un carácter integrador• constituidas por interrelación de saberes de los distintos ámbitos educativos

Tipos de competencias básicasComunicación en lengua materna

Comunicación en lenguas extranjerasCompetencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnologíaCompetencia digital (TIC)Aprender a aprenderCompetencias interpersonales, interculturales, sociales y cívicasEspíritu de empresaExpresión cultural

Competencia matemática: capacidad del individuo para resolver situaciones prácticas cotidianas,utilizando para este fin los conceptos y procedimientos matemáticos.

Habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones en el cálculo mental escritocon el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas.

Descartamos por tanto el mero aprendizaje de conocimientos y procedimientos matemáticos en sí mismos, poniendo el énfasis sobre la aplicación de éstos a situaciones de la vida real .

El énfasis se sitúa en el proceso y en la actividad, aunque también en los conocimientos.La competencia matemática entraña, en distintos grados, la capacidad y la voluntad de utilizar modosmatemáticos de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos,construcciones, gráficos y diagramas).

las competencias matemáticas que han sido tomadas como objeto de la evaluación son:

Competencia 1. Organizar, comprender e interpretar informaciónElementos:- Identifica el significado de la información numérica y simbólica.- Ordena información utilizando procedimientos matemáticos.- Comprende la información presentada en un formato gráfico.

Competencia 2. ExpresarElementos:

- Se expresa utilizando vocabulario y símbolos matemáticos básicos.- Utiliza formas adecuadas de representación según el propósito y naturaleza de la situación.- Expresa correctamente resultados obtenidos al resolver problemas- Justifica resultados expresando argumentos con una base matemática.

Competencia 3. Plantear y resolver problemas.Elementos:- Traduce las situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticos.- Valora la pertinencia de diferentes vías para resolver problemas con una base matemática.- Selecciona estrategias adecuadas.- Selecciona los datos apropiados para resolver un problema.

- Utiliza con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y algoritmos para la resolución de problemas.


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Entendiendo que el desarrollo de competencias es un proceso continuo a lo largo de la vida escolar delalumnado, las aquí contempladas constituirían una referencia válida tanto en cuarto de EducaciónPrimaria como en segundo de la Educación Secundaria Obligatoria. No obstante, la redacción de los ítems

para la medición de estas competencias, en cada uno de los niveles considerados, ha tenido en cuenta laamplitud con la que, los diferentes elementos de competencia, han de estar presentes y los niveles de

ejecución que se esperan del alumnado de cada una de esas etapas.

Ejemplos de tareas de la evaluación de diagnóstico de la Junta de Andalucía

Primaria


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Rutas de senderismo

Educación Secundaria obligatoria


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Las condiciones y los medios

(¿Qué hacer y cómo a partir de ahora?)

La evaluación después de un proceso educativo, o durante el desarrollo del mismo, permite apreciar si sehan alcanzado o no los fines propuestos y en qué aspectos es necesario modificar los planteamientos paradiseños y desarrollos didácticos posteriores. También permite ir modificando sobre la marcha los aspectosnecesarios, incluidos los propios fines examinados. En este caso, las evaluaciones de diagnóstico se hanllevado a cabo externamente, al margen de los diseños y desarrollos curriculares de los países

participantes, si bien basadas en unos fines y principios que se pretenden tomar como base del nuevoespacio educativo europeo.

En cualquier caso, para alcanzar los fines propuestos en un proceso educativo, una vez modificados comoconsecuencia de un proceso de evaluación, se ha de atender a las condiciones y a los medios necesarios para ello. En la figura 2 se aprecian los principales instrumentos y categorías de instrumentos (recuadrocentral) que hacen posible la consecución de los objetivos y la constatación de este hecho por medio de laevaluación.El paso siguiente es el diseño del proceso, la adopción de las medidas adecuadas y el desarrollo de laenseñanza en el aula. La evaluación, esta vez como elemento integrado en el proceso y no como elementoexterno, como se ilustra en el gráfico de la figura 2, permitirá, por último, averiguar si se han utilizado losmedios adecuados para alcanzar los objetivos.

No es el momento de entrar aquí en profundidad sobre los aspectos ordinarios del diseño curricular, lasorientaciones oficiales y los medios materiales y personales de todo proceso educativo. Antes de prestar

atención a dichos aspectos instrumentales y ver cómo puede afectar la introducción de las competenciasmatemáticas al diseño y desarrollo ordinarios, a lo que dedicaremos la última parte de este análisis, nos


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interesa especialmente clarificar en qué consiste la modificación que se ha de realizar y los cambios de perspectiva que necesariamente debemos introducir en la preparación y desarrollo de la labor docente.

figura 2.- La diversidad de los medios en el proceso educativo en matemáticas

Currículo: Diseño y orientaciones

Competencias matemáticas y currículo: Crítica desde el Danish KOM Project

Tradicionalmente, un currículo de matemáticas viene especificado por tres componentes- propósitos y logros a alcanzar

- contenido matemático dado en forma de temas y unidades o lista de tópicos, conceptos, teorías,métodos y resultados a cubrir

Fines generales, conocimientos,disciplina, sujetos, etc.

Medios (III)

Estructurales,organizativos y de control:

Diseño Curricular base,leyes, documentos

curriculares, normas

generales, proyectos, planificación de aula, publicaciones oficiales, etc.

Materiales:Aulas, Centros, recursos,libros de texto, saberesmatemáticos (libros dematemáticas), material

didáctico, presupuestos, etc.

Personales:Profesores, Alumnos,

Inspectores, Asesores, etc.

Diseño curricular: Objetivos, contenidos, metodología, recursos,evaluación, actividades, temporalización, organizadores, etc.

Desarrollo curricular

Evaluación

I.- Matemáticas

II.- Sujetos

III.- MediosAdministracióneducativa

SociedadFamiliaCultura

Sistema de la Educación Matemática

Principios generales, necesidadessociales, individuales, científicas.Inercia. Conveniencias. Etc.

Información deI, II y III


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- formas e instrumentos para evaluar hasta qué punto los alumnos han alcanzado los logros previstos

Hay serias objeciones a este modelo19 y es necesario modificar los planteamientos.

Orientaciones oficiales en España

LOE Primaria y ESO

La ley Orgánica de Educación, 2/2006, de 3 de mayo, en su artículo 6: . . . el currículo es “el conjunto deobjetivos, competencias básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada unade las enseñanzas . . .”

Competencias básicas en la LOEEn el currículo de la educación obligatoria en España se contemplan las siguientes competencias básicas,que hemos ordenado en función de la contribución de las matemáticas a la consecución de cada una deellas:

- Competencia matemática- Aprender a aprender- Autonomía e iniciativa personal- Conocimiento e interacción con el mundo físico- Tratamiento de la información y competencia digital- Competencia social y ciudadana- Comunicación lingüística- Competencia cultural y artística

Fines de la introducción de las competencias básicas en el curriculo

El planteamiento de las competen

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COMPETENCIAS BASICAS EN EDUCACION MATEMATICA.pdf