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9

11. En la figura 11, AB BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE , entonces el

ángulo mide

A) 10º

B) 20º

C) 40º

D) 70º

E) 80º

Fuente: (DEMRE 2007)

12. En la figura 12, el triángulo ABC es isósceles de base AB . La circunferencia de centro C

y radio r intersecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ABD ADC

II) ABE BAD

III) ADC BEC

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

Fuente: (DEMRE 2008)

13. En la circunferencia de centro O de la figura 13, se puede calcular la medida del BEC,

si:

(1) arco DA + arco BC = 190º

(2) arco CD + arco AB = 170º

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

fig. 11

20°

C E

D

B A

O

O

fig. 13

A B

C D

E

fig. 12 C

E

A B

D

10

14. En la figura 14, PQR es rectángulo en R. Se puede calcular la medida del x, si:

(1) S punto medio de PQ y PSR = 72º.

(2) 2 RPQ = 3 RQS

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola




15. En el cuadrilátero de la figura 15 se puede determinar que CAD ACD, si:

(1) AB // CD y AD // BC

(2) DAC BAC

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




fig. 14

x

R

Q S P

A B

C D

fig. 15

11

RESPUESTAS

Página 1

EJERCICIOS DE DESARROLLO

1. 40°

2. 130°

3. Solo II

4. 30°

5. 70°

6. 60°

7. 70°

8. 60°

9. 150°

10. 100°

11. 65°

12. 30°

13. 26°

14. 30° 15. 360 4α

Página 6

CLAVES EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

DMQMA-M04

1. D 6. A 11. C

2. C 7. D 12. D

3. D 8. B 13. D

4. E 9. B 14. D

5. C 10. B 15. C

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 20

UNIDAD: GEOMETRÍA

PERÍMETROS Y ÁREAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de

las áreas de los cuadrados construidos

sobre sus catetos, es igual al área del

cuadrado construido sobre su hipotenusa.

EJEMPLOS

1. En el triángulo rectángulo de la figura 1, la hipotenusa mide

A) 75

B) 90

C) 15 3

D) 30 5

E) 60 5

2. ¿Cuánto suman los tres lados del triángulo de la figura 2?

A) 8 + 4 3

B) 12 + 4 3

C) 16 + 2 3

D) 12 + 2 3

E) 16 + 4 3

a2

b2

c2

a2 + b2 = c2

a b c

3 4 5

5 12 13

8 15 17

Tríos pitagóricos

60º

2a a 3

a

Triángulos Notables

a a 2

a

60º

fig. 2

4

a

2a

a 5 a

3a

a 10

30

A

fig. 1

B

C

60

C u r s o: Matemática

Material N° 20

2

3. La longitud de AB , en la figura 3, es

A) 2 3 cm

B) 2 5 cm

C) 2 6 cm

D) 2 7 cm

E) 2 8 cm

4. En la figura 4, el triángulo ABC es rectángulo isósceles. Si la altura CD mide 5 cm,

entonces la hipotenusa AB mide

A) 2 cm

B) 5 2 cm

C) 10 2 cm

D) 10 cm

E) 20 cm

5. En la figura 5, se tiene que AC = 15, BC = 17 y BD = 5. Entonces, la medida de AD

es

A) 4

B) 17

C) 5

D) 39

E) 6

6. En la figura 6, ¿cuál es el valor de b?

A) 4

23

cm

B) 3 5 cm

C) 1

53

cm

D) 5 2 cm

E) 5

63

cm

B

A

E

C

2 cm

2 cm

2 cm

4 cm

fig. 3 D

A D B

C

fig. 4

A B

D

C

fig. 5

fig. 6

60°

a

a

10 cm

b

3

Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se denotará por p.

Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A.

EJEMPLOS

1. Si el área de un cuadrado es 289 cm2, entonces su perímetro mide

A) 60 cm

B) 64 cm

C) 68 cm

D) 72 cm

E) 76 cm

2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1 es 4x y BC = x – y, entonces DC

mide

A) x + 2y

B) x – 2y

C) x – y

D) x + y

E) 2x

Nombre Figura Perímetro Área

Cuadrado

4a

a2

2d

2

Rectángulo

2a + 2b a b

Rombo

4a

h · a

1 2d d

2

Romboide

2a + 2b a · h1 = b · h2

Trapecio

a + b + c + d a c

h2

a

a

b b

h

a

d b

c

a

b b

a

h1 h2

a

a

a

a

d

a

a a h d1

d2

a

A B

C D

fig. 1

4

3. Los vértices de una figura son A(3, 0); B(5, 3); C(3, 6) y D(1, 3). ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La figura resultante es un rombo.

II) Las diagonales están en la razón 2 : 3.

III) El área de la figura es 12.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

4. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 7 y 8 cm?

A) 27 cm2

B) 28 cm2

C) 42 cm2

D) 56 cm2

E) 60 cm2

5. En la figura 2, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 7 cm, AD = 6 cm y el ángulo

ABC mide 30°, entonces el perímetro y el área son, respectivamente

A) (42 + 18 3 ) cm y (32 + 6 3 ) cm2

B) (32 + 6 3 ) cm y (42 + 18 3 ) cm2

C) (42 + 18 3 ) cm y (42 + 6 3 ) cm2

D) (32 + 6 3 ) cm y (32 + 18 3 ) cm2

E) (32 + 2 3 ) cm y (42 + 18 3 ) cm2

6. En la figura 3, el cuadrado se ha dividido en 4 rectángulos congruentes entre sí, y cada

rectángulo tiene un perímetro de 50 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 45 cm

B) 50 cm

C) 60 cm

D) 80 cm

E) 100 cm

fig. 3

fig. 2

D C

A B

5

EJEMPLO

1. En el triángulo isósceles ABC de base AB de la figura 1, se sabe que AC = 17 cm;

AB = 16 cm y CD es altura. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ADC?

A) 10 cm

B) 20 cm

C) 30 cm

D) 40 cm

E) 50 cm

2. El área y perímetro de la figura 2, respectivamente es

Área Perímetro

A) 225 cm2 12(3 + 5 ) cm

B) 225 cm2 15(3 + 5 ) cm

C) 225 cm2 15(3 + 3 ) cm

D) 125 cm2 15(3 + 5 ) cm

E) 225 cm2 45(1 + 5 ) cm


Triángulo

a + b + c

s=semiperímetro

a + b + cs =

2

a b cb ha h c h

2 2 2

fórmula de Herón

A s(s a)(s b)(s c)

Triángulo Equilátero

3a 2a 3

4

Triángulo Rectángulo

a + b + c cab c · h =

2 2

A B

C

a b

c

ha hc

hb

a a

a

b c

a

hc

A B

C

D

fig. 1

A

fig. 2

B

C

30 15

6

3. En el rectángulo ABCD de la figura 3, AE = EB = BC = 5 cm. ¿Cuánto mide el

perímetro del triángulo CEA?

A) 5 (2 + 2 + 5 ) cm

B) 5 (1 + 3 + 5 ) cm

C) 5 (1 + 2 + 5 ) cm

D) 5 (3 + 2 + 5 ) cm

E) 5 (3 + 3 + 5 ) cm

4. En la figura 4 se muestra un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuál es el área de este

hexágono regular?

A) 9 3 cm2

B) 25 3 cm2

C) 36 3 cm2

D) 54 3 cm2

E) 150

34

cm2

5. Si la base de un triángulo disminuye en su cuarta parte y su altura respectiva aumenta

en su cuarta parte, entonces el área del nuevo triángulo con respecto al original

A) aumenta en 1/8.

B) disminuye en 1/8.

C) aumenta en 1/16.

D) disminuye en 1/16.

E) No se puede determinar.

6. ¿Cuál es el área de un terreno triangular cuyos lados miden 50, 80 y 100?

A) 115 10 60 40

B) 220 10 60 40

C) 220 100 70 50

D) 110 100 70 50

E) 115 15 35 65

fig. 3

D C

M

A E B

fig. 4

6 cm

7

EJEMPLOS

1. En la figura 1. ¿Cuál es el área y el perímetro de una circunferencia de radio 10 cm?

Área Perímetro

A) 25 cm2 cm

B) 50 cm2 5 cm

C) 100 cm2 10 cm

D) 100 cm2 20 cm

E) 100 cm2 25 cm

2. En la circunferencia de centro O de la figura 2, BC = 6 cm y el radio OB mide 5cm.

¿Cuál es el área de la región achurada?

A) (24 − 25) cm2

B) (48 − 25) cm2

C) (10 − 24) cm2

D) (25 − 24) cm2

E) (25 − 48) cm2

3. En la figura 3 se muestra un cuadrado de lado 8 cm y una circunferencia inscrita. ¿Cuál

es el perímetro de la región achurada?

A) 32 cm

B) 36 cm

C) (16 + 8) cm

D) (32 + 8) cm

E) (32 + 16) cm


Circunferencia y Círculo

D = 2r

D Diámetro r2

Sector circular

Arco AB + 2r

Arco AB = 2 r

360º

2r

360º

O r

O

A B

fig. 1

O 10 cm

fig. 3

O A B

C

fig. 2

8

4. En la figura 4 se muestran dos circunferencias congruentes cuyos centros O1 y O2 se

encuentran separados 12cm. AB y CD son tangentes a las circunferencias cuyos

diámetros miden 2 cm. ¿Cuál es el área achurada de esta figura?

A) (24 + ) cm2

B) (24 + 2) cm2

C) (12 + ) cm2

D) (12 + 2) cm2

E) (24 + 4) cm2

5. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del ejemplo anterior?

A) (24 + ) cm

B) (24 + 2) cm

C) (12 + ) cm

D) (12 + 2) cm

E) (24 + 4) cm

6. La figura 5, muestra un cuadrado de lado 8 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál es

el área y el perímetro de la región achurada?

Área Perímetro

A) ( 4 – ) cm2 ( 4 + 2) cm

B) (16 – 4) cm2 (16 – 4) cm

C) (16 – 4) cm2 (16 + 4) cm

D) (48 – 12) cm2 (16 – 4) cm

E) (48 – 12) cm2 (24 + 6) cm

7. En la figura 6 se tiene una semicircunferencia de centro O y radio 20 cm. Si los arcos

BO y OA son semicircunferencia. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada?

A) 10 cm

B) 20 cm

C) 40 cm

D) (40 + 20) cm

E) (40 + 40) cm

fig. 5

fig. 6

B

A

O 20 cm

fig. 4 O1 O2

C

A B

D

9

C

A B D E

fig. 1

FIGURAS EQUIVALENTES

Son aquellas que tienen igual área.

En todo triángulo:

Cada transversal de gravedad

lo divide en dos triángulos

equivalentes.

Las tres transversales lo dividen

en seis triángulos equivalentes.

Todos los triángulos que tienen

igual base y altura son

equivalentes

Las medianas generan cuatro

triángulos congruentes y por

consecuencia equivalentes.

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, AD = DE = EB. Si AB = 10 cm y

AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC?

A) 8 cm2

B) 16 cm2

C) 20 cm2

D) 24 cm2

E) 48 cm2

A1

A2

A B

C

D D es el punto medio de BC

A1 = A2

D, E, F puntos medios

A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

A D

C

E

B

F G

A1 A2

A3

A4 A5

A6

E F

C

D B A

I, II, III, IV

son

congruentes

I

II III

IV

b

A1 A2 A3

A1

A2 A3

b b b

L1

L2

L1 // L2

A1 = A2 = A3

10

CUADRILÁTEROS

En todo paralelogramo:

Al trazar las diagonales se

forman cuatro triángulos

equivalentes.

El área del paralelogramo es

el doble del área del

triangulo

(Triángulo formado por un lado

del paralelogramo y un punto

cualquiera del lado opuesto)

En todo Cuadrilátero de diagonales perpendiculares:

El área del cuadrilátero es el

semiproducto de sus diagonales.

(Cuadrados, Rombos y Deltoides)

EJEMPLOS

1. En la figura 1, DEFG es un rombo de perímetro 40 cm. ¿Cuál es el área del rombo?

A) 25 3 cm2

B) 40 3 cm2

C) 50 3 cm2

D) 100 3 cm2

E) 150 3 cm2

1 2D DA =

2

D1

D2

G F

D E

2x x

fig. 1

A(#ABCD) = 2 · A(ABC)

D C

A B

E

A1 = A2 = A3 = A4

D C

A B

A1

A2

A3

A4

11

2. En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, las diagonales miden 10 y 12 cm. ¿Cuál es el

área de este cuadrilátero?

A) 18 cm2 B) 27 cm2

C) 36 cm2

D) 45 cm2

E) 60 cm2

3. En la figura 3, E es punto medio de BC, L1 // L2, AD = 4 cm, DE = 5 cm y EA = 7 cm.

¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCD?

A) 4 6 cm2

B) 8 6 cm2

C) 10 6 cm2

D) 12 6 cm2

E) 15 6 cm2

4. El triángulo ABC de la figura 4 es equilátero de lado 2 cm, G es baricentro. ¿Cuál es el

área del cuadrilátero ABCG?

A) 6 cm2

B) 9 3 cm2

C) 4 3 cm2

D) 2 3 cm2

E) 2

33

cm2

5. En la figura 5, ABCD es un rectángulo de lados 4 cm y 7 cm. ¿Cuál es el área de la

región achurada?

A) 14 cm2 B) 28 cm2

C) 36 cm2

D) 45 cm2

E) 60 cm2

B

fig. 4

A D

C

G E F

D C

B A

G fig. 5

C

A B

D

E fig. 3

L1

L2

fig. 2

C A

B

D

12

RESPUESTAS

DMQMA20

Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 D B D D D E

3 y 4 C D E B B D

5 y 6 D B C D D E

7 y 8 D D D A B E C

9 B

10 y 11 C E B E A

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6 cm

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 20

PERÍMETROS Y ÁREAS

1. El perímetro de la figura 1, es

A) 15 cm

B) 19 cm

C) 32 cm

D) 37 cm

E) 64 cm

2. En la figura 2, triangulo ABC rectángulo en C. D es punto medio de AB. ¿Cuál es la suma

de todos los trazos de la figura?

A) 24 cm

B) 29 cm

C) 30 cm

D) 33 cm

E) 34 cm

3. El logo del metro (fig. 3) está formado por tres rombos congruentes de diagonales que

miden 0,6 y 0,8 m. Se desea pintar este logo sobre un mural rectangular de 2,6 m de

largo por 1 m de ancho. Si el logo debe ser pintado de rojo y el fondo del mural de color

blanco, entonces las medidas de las superficies que se deben pintar son

Rojo Blanco

A) 1,88 m2 0,72 m2

B) 0,72 m2 1,88 m2

C) 1,44 m2 1,16 m2

D) 0,24 m2 2,36 m2

E) 2,36 m2 0,24 m2

C u r s o : Matemática

Material N° 20-E

8 cm

6 cm

24 cm

fig. 1

8 cm

fig. 2

A

C

D B

fig. 3

2

4. En la figura 4, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 6 2 cm. Si F y G son

puntos medios, entonces ¿cuál es el perímetro del trapecio AFGC?

A) (6 + 2 ) cm

B) (6 + 9 2 ) cm

C) (12 + 2 2 ) cm

D) (12 + 6 2 ) cm

E) (12 + 9 2 ) cm

5. ¿Cual es el área de la región achurada del ejercicio anterior?

A) 12 cm2

B) 12,5 cm2

C) 13 cm2

D) 13,5 cm2

E) 18 cm2

6. En la figura 5, el perímetro del rectángulo ABCD es 60 cm y EBCF es un cuadrado de

área 16 cm2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo ABCD?

A) 60 cm2

B) 88 cm2

C) 104 cm2

D) 108 cm2

E) 120 cm2

7. La figura 6, está formada por cuatro cuadrados congruentes. Si cada uno de los

triángulos achurados tiene un área de 12 mm2, ¿cuál es el área total de la figura?

A) 24 mm2

B) 36 mm2

C) 48 mm2

D) 60 mm2

E) 96 mm2

D F C

B E A

fig. 5

fig. 6

A

F

B

G

D

C

fig. 4

3

8. En la figura 7, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 3 cm

y 12 cm. ¿Cuál es la medida de GB ?

A) 54 cm

B) 36 cm

C) 12 2 cm

D) 20 cm

E) 15 cm

9. En el cuadrado ABCD que muestra la figura 8 se ha dibujado un triángulo equilátero ABE

de altura 4 3 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es

A) 64 cm

B) 32 cm

C) 24 cm

D) 16 cm

E) 12 cm

10. ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm (fig. 9). Si AE = 13 cm, ¿cuál es

la medida del área del trapecio ABCE?

A) 30 cm2

B) 44 cm2

C) 84 cm2

D) 114 cm2

E) 144 cm2

11. La figura 10, muestra cuatro triángulos rectángulos escalenos congruentes entre sí. Si

se unen como piezas de un puzzle, ¿cuál(es) de las siguientes figuras es (son) siempre

posible(s) formar?

I) Un rectángulo.

II) Un rombo.

III) Un cuadrado.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

fig. 10

fig. 7

A B

D

G F

E

C

12 cm

3 cm

A B

D

E

C

fig. 8

D E C

A B

fig. 9

4

fig. 11

12 La figura 11 está formada por 36 cuadrados congruentes de perímetro 8 cm cada uno.

¿Cuál es el área de la región achurada?

A) 18 cm2

B) 32 cm2

C) 72 cm2

D) 80 cm2

E) 144 cm2

13. En la figura 12, el cuadrado PQRS está formado por el rectángulo A y por los triángulos

isósceles rectángulos congruentes B, C, D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones

corresponde(n) a un área equivalente a las tres cuartas partes del área del cuadrado?

I) A + B + C

II) 2(B + C + D + E)

III) A

2 + 2D + 2E

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

14. Si en el rombo ABCD de la figura 13, AB = 13 cm y DE = 12 cm, entonces ¿cuál es el

perímetro del trapecio EBCD?

A) 40 cm

B) 41 cm

C) 46 cm

D) 50 cm

E) 52 cm

15. En la figura 14, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 15 cm2. ¿Cuál es

el área del triangulo ABC?

A) 20 cm2

B) 25 cm2

C) 30 cm2

D) 45 cm2

E) 60 cm2

P Q

S

A

R

A

B

C

D E

fig. 12

fig. 13

B

C D

E A

B A

D

C

E

fig. 14

5

16. En la figura 15 ABCDEF es hexágono regular, la diagonal AD mide 4 3 cm, ¿cuánto

mide el área de la región achurada?

A) 9 3

2 cm2

B) 3 3

4 cm2

C) 3 3

2 cm2

D) 9 3 cm2

E) 6 3 cm2

17. ¿Qué significa que dos figuras sean equivalentes?

A) Que tienen igual área.

B) Que tienen igual perímetro.

C) Que sus lados son proporcionales.

D) Que sus tres lados respectivos miden lo mismo.

E) Que sus tres ángulos respectivos miden lo mismo.

18. El hexágono regular de la figura 16, está formado por la intersección de dos triángulos

equiláteros congruentes de lado 6 cm. ¿Cuál es el área de la figura total?

A) 6 3 cm2

B) 12 3 cm2

C) 12 cm2

D) 24 cm2

E) 48 cm2

19. ¿Cuál es el perímetro de la figura 16?

A) 20 cm

B) 22 cm

C) 24 cm

D) 26 cm

E) 36 cm

F

E D

C

A B

fig. 15

fig. 16

6

20. Se muestran tres cuadrados congruentes, cada uno ha sido dividido en cuatro

cuadrados congruentes con sus respectivos arcos de circunferencia. ¿Cuál es el orden

creciente de los perimetros de las regiones achuradas?

I) II) III)

A) II, I, III

B) III, I, II

C) II, III, I

D) I, II , III

E) I, III, II

21. ABCD es un rombo de lado 10 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes como

muestra la figura 17 y la diagonal AC mide 16 cm, entonces, el área de la región

achurada es

A) 27 cm2

B) 42 cm2

C) 54 cm2

D) 48 cm2

E) 96 cm2

22. En la figura 18, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces,

¿cuál es la mitad del área de la región achurada?

A) ab8

1

B) ab4

1

C) ab2

1

D) ab4

3

E) ab

fig. 17

D C

A B

A

B

M

D

C

fig. 18

a

b

7

23. En el rectángulo ABCD de la figura 19, AB = x cm y BC = y cm. Si en cada esquina hay

un cuadrado de lado z cm, ¿cuánto mide el área de la región achurada?

A) (x · y − z2) cm2

B) (x · y − 4z2) cm2

C) (x · y − 4z) cm2

D) (x · y − 2z2) cm2

E) (x · y + 4z2) cm2

24. Si en un cuadrado de lado L, cada lado aumenta en un 50%, entonces la nueva área es

A) 1,25 L2

B) 1,50 L2

C) 2,25 L2

D) 2,75 L2

E) 3,25 L2

25. En la circunferencia de la figura 20, el radio mide 12 cm. ¿Cuál es la longitud del arco

CD?

A) 4 cm

B) 8 cm

C) 12 cm

D) 24 cm

E) 48 cm

26. En el triángulo equilátero ABC de lado 16 cm de la figura 21, se trazan las medianas. Si

en el triángulo resultante se trazan nuevamente las medianas, entonces ¿cuánto mide el

área de la región achurada?

A) 48 3 cm2

B) 24 3 cm2

C) 16 3 cm2

D) 12 3 cm2

E) 4 3 cm2

C

D

A B

fig. 19

fig. 20

30º

C

D

fig. 21

A B D

C

E F

8

27. En la figura 22, CH es altura del triángulo equilátero ABC, BP es a PC como 1 es a 2 y

Q es la intersección de los trazos AP y CH . EL valor de área AHQ

área ABC

es

A) 3

12

B) 1

10

C) 1

8

D) 1

6

E) 1

12

Fuente: DEMRE, PSU 2012, pregunta N° 52

28. ABCD es un cuadrado de lado 4 2 cm y M, N, P, Q son puntos medios de sus lados

(fig. 23). ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo MNRS?

A) 16 cm

B) 18 cm

C) 20 cm

D) 22 cm

E) 24 cm

29. En la figura 24, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si

OA = AB = BC = 2 cm, entonces el área de la región achurada es

A) 6 cm2

B) 4 cm2

C) 3 cm2

D) 2 cm2

E) cm2

fig. 23

S

C

R

P

B N A

M

D Q

fig. 22

A B

C

H

P Q

fig. 24

B

C

O A

60º

9

30. Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado de lado a (a > 9). ¿En

cuál(es) de ellas se verifica que el área de la región achurada es a2 – 9?

I) II) III)

A) Solo en I

B) Solo en I y en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III

E) En I, en II y en III

31. En el triángulo ABC de la figura 25, AC CB y CD AB . El perímetro del ADC se

puede determinar, si:

(1) AC = 10 cm y AB = 12 cm (2) CD = 8 cm y AD = DB = 6 cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




32. Se puede determinar el área del rombo de la figura 26, si:

(1) AC = 8 cm y BC = 5 cm

(2) DB = 6 cm y el perímetro del rombo ABCD mide 20 cm.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




a

a – 1

9

a

a

a

a – 4

a – 3

1

a

a

3

3

fig. 25

A D B

C

C D

A B

fig. 26

10

33. G es un punto del interior del rectángulo ABCD de la figura 27. Se puede saber la

medida del perímetro de la región achurada, si:

(1) AB = 18 cm y BC = 6cm.

(2) G es la intersección de las diagonales.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




34. La figura 28, muestra una circunferencia de centro O y un trapecio isósceles OABC. Se

puede determinar el área de la región achurada, si:

(1) COD = 60º y CB = 6 cm

(2) D punto medio de OA y OC CB .

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




35. En la figura 29, ABC A'B'C', ambos son triángulos equiláteros y el polígono achurado

es un hexágono regular. Es posible obtener el área del hexágono achurado, si se conoce

la medida del segmento:

(1) AB

(2) AB'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




Fuente: DEMRE, PSU 2012, pregunta N° 69

D C

B A

G fig. 27

fig. 29

A B

C

A'

B' C'

fig. 28

O D

C B

A

11

CLAVES

1. E 6. C 11. D 16. D 21. C 26. D 31. D

2. B 7. E 12. C 17. A 22. B 27. B 32. D

3. B 8. E 13. C 18. B 23. B 28. C 33. C

4. B 9. B 14. C 19. C 24. C 29. A 34. C

5. D 10. D 15. E 20. A 25. A 30. E 35. D

DMQMA20-E




GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21

UNIDAD: ÁLGEBRA

ISOMETRÍAS

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas

rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se considera

como origen.

OBSERVACIONES

Los puntos destacados en la figura son; A (4, 4), B (0, 0) y C (-5, -3)

Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0).

Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y).

EJEMPLOS

1. El punto (3,-3) se encuentra ubicado en

A) el primer cuadrante.

B) el segundo cuadrante.

C) el cuarto cuadrante.

D) el tercer cuadrante.

E) el eje de las abscisas.

A

B

C

II Cuadrante

III Cuadrante

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -1

-2

-3

-4

-5

-6

I

Cuadrante

IV Cuadrante

y Eje de las Ordenadas

x Eje de las Abscisas


Material N° 21

2

2. Si a y b son números enteros, de modo que a > b, entonces el punto D, cuyas

coordenadas son (a – b, b – a), se ubica en

A) el primer cuadrante.

B) el segundo cuadrante.

C) el tercer cuadrante.

D) el cuarto cuadrante.

E) el origen del sistema.

3. Al unir los puntos del plano (3, 0), (0, 3), (3, 3) y (0, 0) el cuadrilátero que se forma es

un

A) cuadrado.

B) rombo.

C) rectángulo.

D) romboide.

E) trapecio.

4. Si los puntos (-3, 0), (0, 4) y (0, 0) son vértices de un rectángulo, entonces el vértice

que falta es el punto

A) (3, 4)

B) (-3, -4)

C) (-3, 4)

D) (3, -4)

E) (0, -4)

5. En el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (-5, 3), (4, 3), (2, 5) y (-3, 5) se traza

el segmento cuyos extremos son los puntos A(3, 4) y B(-4, 4). Entonces, AB corresponde

a una

A) transversal de gravedad.

B) altura.

C) mediana.

D) bisectriz.

E) simetral.

3

ISOMETRÍA

Se llaman transformaciones isométricas en el plano o isometrías en el plano, a aquellas

funciones que se aplican a todos los puntos del plano, y que una vez aplicadas a los puntos de

una figura F, la figura resultante F’ conserva todas las dimensiones, tanto lineales como

angulares, de la figura primitiva F. Las isometrías más importantes son: Las traslaciones,

las rotaciones y las simetrías.

TRASLACIONES

Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los

puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección,

sentido y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector

de traslación”. Al ABC de la figura 1 se le aplicó el vector traslación t obteniéndose el

A’B’C’.

OBSERVACIONES

Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares.

Una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía.

No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en

una única.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes casos representa(n) una traslación?

I) II) III)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

2. En la figura 2, para trasladar el punto A al punto B se aplicó el vector de traslación

A) T(-5, -1)

B) T(-4, -9)

C) T(-9, -4)

D) T(-4, 9)

E) T(9, 4)

1

2

3

1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

-1 B

A

fig. 2

y

x

C C’

A A’

B’ B

t

t

t

fig. 1

4

3. En la figura 3, ¿cuál es el vector de traslación que se aplicó al triángulo A

para obtener el triángulo B?

A) (8, -4)

B) (8, 4)

C) (4, -10)

D) (10, 4)

E) (10, -4)

4. Al aplicar el vector traslación T(3,-3) a los vértices del triángulo ABC de la figura 4,

resulta A1, B1, C1, de coordenadas

A) A1(-2, 6); B1(-2, 11); C1(1, 10)

B) A1(6, -2); B1(11, -2); C1(4, 7)

C) A1(9, -3); B1(24, -3); C1(21, -12)

D) A1(6, -2); B1(11, -2); C1(10, 1)

E) A1(0, -4); B1(-5, -4); C1(-4, -7)

5. En la figura 5, A ha sido trasladada para obtener la figura B. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) El vector de traslación es T(-7, 3).

II) Las figuras A y B tienen áreas distintas.

III) Al aplicar a la figura A el vector de traslación T1(-1, -6) y a continuación

aplicar el vector de traslación T2(-6, 9), se obtiene la figura B.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

1

A

B

0

2

4

6

8

1 3 5 8 10 11 12

3

5

7

2 4 6 7 9 13 14 15 16

fig. 3

fig. 5

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

x

y

fig. 4

1

2

3

1 2 3 4 5

4

-1 -1

x

y

6 7 8 9

A B

C

5

ROTACIONES Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. Cada

punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que

toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la

rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la

rotación es positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la rotación es negativa u

horaria.

Al punto P de la figura 1, se le aplicó una rotación de centro O y ángulo de giro ,

obteniéndose el punto P`.

OBSERVACIONES

Una rotación con centro O y ángulo de giro , se representa por R (O, ). Si la rotación es

negativa, se representa por R (O, - ).

El centro de rotación se mantiene invariante ante una rotación.

Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0) en un ángulo de giro de 90º,

180º, 270º ó 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente

tabla.

Punto Inicial R (0, 90º) R (0, 180º) R (0, 270º) R (0, 360º)

( x, y ) ( -y, x ) ( -x, -y ) ( y , -x ) ( x , y )

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura 2 en 45º con

centro P?

A) B) C) D) E)

P` P

O

fig. 1

P

fig. 2

P

P

P P

P

6

2. Al aplicar una rotación de centro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sentido

antihorario, al punto A(-2,7), se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son

A) (2, 7)

B) (-2, -7)

C) (7, -2)

D) (7, 2)

E) (-7, -2)

3. En el plano cartesiano de la figura 3, al rotar el triángulo de vértices A, B y C en 180º con

centro en (0, 0), se obtiene otro triángulo de vértices

A) A’(4, -5), B’(-6, -4), C’(2, 2)

B) A’(4, -5), B’(6, -4), C’(-2, 2)

C) A’(5, 4), B’(-4, -6), C’(2, 2)

D) A’(-4, 5), B’(6, 4), C’(-2, 2)

E) A’(4, 5), B’(-6, 4), C’(-2, -2)

4. Al rotar el ABC de la figura 4, con centro en el origen O y un ángulo de 90º, se obtendrá

un A’B’C’ cuyos vértices son

A’ B’ C’

A) (1, -4) (1, -1) (4, -2)

B) (-1, 4) (-1, 1) (-4, 2)

C) (-1, -4) (-1, -1) (-4, -2)

D) (4, 1) (1, 1) (2, 4)

E) (4, -1) (1, -1) (2, -4)

5. El punto A(4, 5) se rota en torno al punto B(1, 1) en 90º, obteniéndose el punto A’. Dicho

punto A’ se traslada según el vector T(1, 2), resultando el punto A”de coordenadas

A) (4, -3)

B) (-2, 6)

C) (5, 1)

D) (-5, 1)

E) (6,-2)

fig. 3

-4 -3 -2 -1

6 1 2 3 4 5

Y

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

X

A

B

C

4

3

2

1

-1

-2

-1 -2 -3 -4 1 2 3

B A

C y

x

fig. 4

7

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL PLANO

SIMETRÍAS

Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los

puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría

central) o respecto de una recta (simetría axial).

SIMETRÍA CENTRAL

Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella

isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P’ de modo que P’ está en la recta

OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP’. El punto O se llama centro de la simetría y

P, P’ puntos correspondientes u homólogos de la simetría.

La figura 1 muestra un triángulo simétrico con respecto a O

OBSERVACIONES

Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de

centro O.

Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura

transformada.

El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.

Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A’(-x, -y) con respecto al

origen O(0, 0).

EJEMPLOS

1. Mediante una reflexión con respecto a O, la figura sombreada se reflejó en la figura

punteada. Esto se verifica mejor en

A) B) C) D) E)

O

Q

P’ R’

Q’ P R

fig. 1

OP OP'

OQ OQ'

OR OR'

O O O

O O

8

2. En el plano cartesiano de la figura 2, al trazo AB se aplica una simetría central con

respecto a un punto, y se obtiene como imagen A'B' . ¿Cuál es el punto?

A) M

B) N

C) P

D) Q

E) R

3. Al segmento AB de la figura anterior, se aplica una simetría (reflexión) con respecto al

punto P, resultando un segmento A’’B’’, entonces las coordenadas de B’’ son

A) (2, 2)

B) (4, 2)

C) (5, 2)

D) (2, 3)

E) (2, -1)

4. Al triángulo de vértices A(2, 1), B(1, -2) y C(-3, -1) de la figura 4, se aplica una simetría

central con respecto al origen O(0, 0), obteniéndose el triángulo A’B’C’. ¿Cuál(es) de las


I) La abscisa de B’ es -1.

II) El origen refleja a A en A’(2, -1).

III) AB // A'B' , AC // A'C' y BC // B'C'

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

fig. 2 B’

-1 2 4 6

A’

2

4

6

7 y

x

B

A

N M

Q P

R

fig. 4

O

C

y

x

B

A

9

SIMETRÍA AXIAL Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axial con respecto a L o reflexión con

respecto a L, a aquella isometría tal que, si P y P’ son puntos homólogos con respecto a ella,

PP' L y, además, el punto medio de PP' está en L. La figura 1, muestra dos triángulos

simétricos respecto de L.

OBSERVACIONES En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del

reloj.

No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes

PQR y P´Q´R´.

Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión.

Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A’ (x, -y) con respecto al eje

de las abscisas y un simétrico A” (-x , y) con respecto al eje de las ordenadas.

EJEMPLOS

1. ¿En cuál de los siguientes casos se verifica mejor una simetría axial con respecto a L?

A) B) C) D) E)

2. ¿Cuáles son la coordenadas del punto simétrico al punto R(-a, -b), con respecto al eje de

las abscisas, si a y b son distintos de cero?

A) (a, b)

B) (a, -b)

C) (-a, b)

D) (-b, a)

L

Q

R P

P’

R’

Q’ fig. 1

L L L L L

10

E) (b, -a)

3. Al triángulo ABC de la figura 2, se aplica una simetría (reflexión) respecto a la recta

L (L // Eje y). Entonces, las coordenadas del vértice C se transforman en

A) (-7, -2)

B) (-7, 2)

C) (-3, -2)

D) (-3, 2)

E) (3, 2)

4. En la figura 4, hay un triángulo rectángulo isósceles con un rombo.

¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor una simetría axial de la figura con

respecto a AB?

A) B) C)

D) E)

5. En la figura 3, PQRS es un cuadrado simétrico al cuadrado P’ Q’ R’ S’ con respecto al

eje y. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del

cuadrado P’ Q’ R’ S’?

A) (2, -4)

B) (4, 2)

C) (-5, 2)

D) (-4, -2)

E) (-4, 2)

B

A

fig. 4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5

L

B

A

C

y

x

fig. 2

R’ R

S S’

P

Q

P’

Q’

y

4

1

2 5 x 6

fig. 3

11

EJE DE SIMETRÍA

Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a

la recta (figura 1).

OBSERVACIONES

Existen figuras que no tienen eje de simetría.

Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría.

Existen figuras que tienen más de un eje de simetría.

La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.

CENTRO DE SIMETRÍA

El centro de simetría P de una figura es tal que cada punto de la misma tiene un simétrico en

la figura respecto a P (Figura 2).

OBSERVACIONES

* No todas las figuras tienen centro de simetría.

* El centro de Simetría si existe, es único.

* La distancia desde un punto de la figura al centro de simetría, es la misma que la distancia

desde en centro de simetría hacia el punto homólogo.

EJEMPLOS

1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero?

A) Uno

B) Dos

C) Tres

D) Cuatro

E) Infinitos

2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isósceles?

A) Ninguno

B) Uno

C) Dos

D) Tres

E) Cuatro

Eje de Simetría

fig. 1

P A D

F E

B C

fig. 2

12

3. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos tiene(n) centro de simetría?

I) Triángulo Equilátero II) Cuadrado

III) Hexágono Regular

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

4. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un heptágono regular?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 7

E) 14

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) El cuadrado tiene centro de simetría.

B) Todo segmento tiene centro de simetría.

C) Todos los cuadriláteros tienen centro de simetría.

D) El triángulo equilatero no tiene centro de simetría.

E) El centro de una circunferencia es también su centro de simetría.

RESPUESTAS

DMQMA21

Ejemplos Págs.

1 2 3 4 5 6

1 y 2 C D A C C

3 y 4 E C E D B

5 y 6 E D A C B

7 y 8 B D B C

9 y 10 E C A D E

11 y 12 C B D D C




GUÍA DE EJERCICIOS Nº 21

UNIDAD: ALGEBRA Y FUNCIONES

ISOMETRÍAS

1. Al punto (2, -3) se le aplica una traslación obteniéndose el punto (8, -7). Si al punto

(-2, 5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto

A) (-4, 1)

B) (1, 4)

C) (4, 1)

D) (-1, -4)

E) (-1, 4)

2. Al aplicar una rotación de centro O y ángulo de giro de 90º en sentido antihorario a la

figura 1, se obtiene

A) B) C) D) E)

3. Mediante una simetría central con respecto a O, la figura sombreada se reflejó en la

figura no sombreada. Esto no es cierto en

A) B) C) D) E)

4. ¿En cuál de las siguientes figuras no se muestra una simetría (reflexión) con respecto a

la recta L?

A) B) C) D) E)

O

fig. 1

O O O O O

L L L L L


Material N° 21-E

2

x -1

-7

-5

T

2

y

P fig. 3

5. ¿Qué figura se obtiene al aplicar una rotación de centro O y un ángulo de giro de 90º,

en sentido antihorario, a la figura 2?

A) B) C)

D) E)

6. En la figura 3, la circunferencia de centro T se traslada según un vector a la

circunferencia punteada de centro P. ¿Cuáles son las coordenadas del vector traslación?

A) (2, 3)

B) (-2, 3)

C) (-12, 1)

D) (2,-3)

E) (-5, 2)

FUENTE: DEMRE, 2013.

7. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?

A) Uno

B) Dos

C) Cuatro

D) Ocho

E) Infinitos

fig. 2

O

3

8. El cuadrado ABCD de la figura 4 ha sido transformado, mediante un vector traslación,

en el cuadrado achurado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El vector traslación fue T(2, 0).

II) Los puntos B y C permanecen

invariantes.

III) El área del cuadrado permanece

constante.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El triángulo tiene tres ejes de simetría

B) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetría

C) La circunferencia tiene sólo dos ejes de simetría

D) El trapecio isósceles tiene un eje de simetría

E) El cuadrado tiene sólo dos ejes de simetría

FUENTE: DEMRE, 2010

10. En el plano cartesiano luego de aplicar la traslación T1(-8, 1) al triángulo ABC de

vértices A(14, 3), B(16, 3) y C(16, 0) se trasforma en el A’B’C’, y a éste se le aplica

una traslación T2(-5, 1) obteniéndose el A’’B’’C’’ cuyo vértices C’’ es

A) (8, 1)

B) (11, 1)

C) (24, 1)

D) (29, 2)

E) (3, 2)

11. A todos los puntos del plano cartesiano de la figura 5, se les aplica una simetría central

respecto al punto P(-1, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de

las diagonales del cuadrado imagen A’B’C’D’?

A) (2, 1)

B) (-2, -1)

C) (2, -1)

D) (1, -1)

E) (-1, -1)

P

y

4

2

x

-2 2

fig. 4

B

C

A

D

fig. 5 -4 -3 -2

-1 -5 1 2 3 4 5

y

5

4

3

2

1

-1

-2

x

A B

D C

4

12. El trazo de la figura 6, intersecta a los ejes en los puntos (3, 0) y (0, 6).

Si al trazo se le realiza primero una rotación en 180º con respecto al origen (0, 0), y

después un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, ¿cuál de los siguientes gráficos

representa mejor esta situación?

A) B) C)

D) E)

13. Al triángulo de la figura 7 se le aplica la traslación T(1, 1) y a continuación, al triángulo

transformado, se le aplica la rotación R(0, 180º), entonces la figura resultante es

A) B) C)

D) E)

y

x 3

6 fig. 6

y

x 6

-3

y

x

-6

-3

y

x

-8

-3

-2

y

x

-6

-3

y

x

3

6

fig. 7

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 -4 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 -4 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 -4 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 -4 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 -4 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-2

-3

-4

-1 -2 -3 5 1 2 3 4

y

x

5

14. Luego de aplicar la rotación R(0, -90º) al triángulo equilátero ABC de la figura 8, se

transforma en el A’B’C’, cuyo vértice C’ es

A) ( 3 , 0)

B) 3

, 02

C) (0, 3 )

D) (2, 0)

E) (- 3 , 0)

15. En una simetría axial, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las figuras cambian de sentido respecto al giro de las manecillas del reloj.

II) Es posible superponer mediante la traslación y/o rotación las figuras.

III) Las figuras obtenidas son congruentes.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

16. Mediante una rotación de centro O y ángulo de 90º (en cualquier sentido), el ABC

ocupa la posición A’ B’ C’. Esto NO se cumple en

A) B) C)

D) E)

-2 -1 1 2

A B

x

y

0

C fig. 8

A

B

C

A’

B’ C’

O

B = C’ C = A’

O

A B’

A

B

C

A’

B’

C’

O

A

B

C

A’

B’ C’

O

A

B

C A’

B’ C’

O

6

17. En el plano cartesiano de la figura 9, a partir del pentágono (A), ¿cuál(es) de las


I) Si se aplica una simetría axial respecto al eje de las ordenadas se obtienen

el pentágono (D).

II) El pentágono (B) se obtiene al aplicar una traslación y una rotación

adecuada.

III) El pentágono (C) se obtiene al aplicar una simetría central con respecto al

origen de coordenadas.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) I, II y III


18. En el plano cartesiano de la figura 10, se ha dibujado un rectángulo de vértices

A(3, -1), B(6, -1), C(6, 1) y D(3, 1) y una recta L que bisecta al 1er y 3er cuadrantes.

Si efectuamos una reflexión (simetría axial) de los puntos de este plano con respecto a

L, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto homólogo de A

son A’(-1, 3).

II) Las diagonales del rectángulo imagen

A’B’C’D’ se intersectan en el punto 9

0, 2

.

III) Esta transformación de ABCD en A’B’C’D’

pudo efectuarse mediante traslaciones y

rotaciones adecuadas.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) I, II y III


fig. 9

y

x

(A)

(B)

(D)

(C)

D C

B A

E

D C

A B

E

B A

E

C D

A B

D C

E

fig. 10

y

x

A B

D C

L

7

P

y

x

fig. 12

19. Al romboide ABCD de la figura 11 se le ha trazado las diagonales y numerado los cuatro

triángulos que se generan. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El 1 es una simetría (reflexión) centro en P del 3.

II) El 2 es una rotación de 180º y centro P del 4.

III) El ABC es una simetría (reflexión) del CDA cuyo eje de simetría pasa por

AC .

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

20. En el sistema de ejes coordenados de la figura 12, se ha ubicado el punto P(a, b).

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El simétrico de P respecto al eje x es P’(a –b).

II) El simétrico de P respecto al origen es P’’(-a, -b).

III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro

punto en el primer cuadrante.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

FUENTE: DEMRE, 2010

21. El trazo PQ se rota en torno a M obteniendo P'Q' (fig. 13). ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) PQ P'Q'

II) PMQ P’MQ’

III) QM P'M

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

A B

2

3 1

4

P

D C

fig. 11

X

P

Q

P’

Y

M

Q’

fig. 13

8

22. Si aplicamos una simetría axial con respecto al eje x al trazo AB de la figura 14, el

punto A se trasforma en el punto A’ de ordenada a, y si luego aplicamos una simetría

central con respecto al origen de coordenadas al trazo transformado A'B' , obtenemos el

trazo A"B" cuyo punto B” tiene abscisas b. Luego a + b =

A) -2

B) 0

C) -1

D) 1

E) 2

23. Al rotar el romboide de la figura 15 en 270º, con centro en el punto O y sentido

antihorario. Se transforma en el romboide de la alternativa

A) B) C)

D) E)

B

y

A

x

4

-1

1

-3

fig. 14

x

y

O

fig. 15

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

9

24. A todos los puntos del plano cartesiano (fig. 16) se les aplica una simetría (reflexión)

con respecto al punto E de coordenadas (2, 3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto

homólogo de B?

A) (1, -1)

B) (1, 0)

C) (1, 3)

D) (2, -1)

E) (0, 1)

25. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido rectángulos congruentes, como

se muestra en las figuras que aparecen en (I), en (II) y en (III). ¿Cuál(es) de estas

figuras tiene(n) sólo un eje de simetría?

I) II) III)

A) Solo III

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III


26. Dado el cuadrilátero de vértices A(0, -5); B(5, 0); C(3, 0) y D(0,-3). ¿Cuál(es) de las


I) El cuadrilátero es un trapecio isósceles.

II) Tiene un único eje de simetría el cual pasa por el origen.

III) Su centro de simetría está dado por la intersección de sus diagonales.

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III


A B

C

D

E

F

fig. 16

A E

B

C

y

x

5

1

1 3

7

2

3

4

6

2 4

10

27. Al punto A de coordenadas (3,-3) se aplica una rotación de 90° respecto al punto B de

coordenadas (1,1), obteniendo el punto A’ . Luego, a dicho punto se aplica una simetría

axial respecto a la recta que pasa por el punto A y el origen del sistema. Las

coordenadas de este nuevo punto son

A) (-3,-5)

B) (-5,-3)

C) (-1, 3)

D) (3, 1)

E) (3, 3)

28. Si al punto D(a, b) se aplica una simetría central respecto al punto E de coordenadas

(c, d) se obtiene el punto D’. Si a dicho punto D’, se aplica una traslación de

coordenadas (a, b), se obtiene el punto

A) (2c – a, 2d – b)

B) (2c, 2d)

C) (2a – c, 2b – d)

D) (c, d)

E) (-c, -d)

29. Respecto al rectángulo de la figura 17, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Al realizar una simetría axial del rectángulo respecto del lado BC y luego,

otra simetría axial respecto del lado BA se obtiene una traslación.

II) Al realizar una simetría axial respecto de un lado cualquiera, y luego una

simetría axial respecto de una de sus diagonales, sólo un vértice se

mantiene invariante.

III) Al realizar una cantidad par de simetrías axiales respecto a una misma

diagonal, la figura permanece invariante.

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III


fig.17

A B

C D

11

30. Dado el triángulo equilátero ABC de la figura 18, donde I es el Incentro, entonces

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El punto I es centro de simetría.

II) El triángulo BFI se obtiene al aplicar dos simetrías axiales respecto del

cateto menor y de la hipotenusa del triángulo AEI respectivamente.

III) Al rotar el triángulo AEI en sentido horario en 120° con respecto al punto I

y luego aplicarle una simetría axial respecto de su hipotenusa se obtiene el

triángulo CFI.

A) Solo I y II

B) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II y III


31. Sean los cuadrados ABCD y EFGH congruentes (fig. 19). Se puede determinar si el

cuadrado ABCD es simétrico (reflejo) al cuadrado EFGH respecto a L, si:

(1) AC // EG

(2) AF L

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




32. En el sistema cartesiano se aplicó una traslación al segmento AB obteniéndose el

segmento A’ B’. Se puede determinar el vector de traslación, si :

(1) Se conocen las coordenadas de A y B’.

(2) Se conocen las coordenadas de B y A’.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




D

C A

G

B

E

H

F L

fig. 19

fig.18

1

A B

C

E

D F I

12

33. En un cuadrilátero convexo ABCD, P es el punto de intersección de las diagonales AC y

BD . El triángulo ABP es una simetría (reflexión) del triángulo CDP con centro en P, si:

(1) ABCD es un paralelogramo.

(2) DP = PB y CP = PA

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




34. En el sistema cartesiano de origen O. Se puede determinar las coordenadas del punto

P(x, y), si:

(1) Al punto P se le aplica una rotación R(0, 180º) se obtiene el punto (-4, 5).

(2) Al punto P se le aplica la traslación T(-2, -3) y a continuación la rotación R(0, 90º)

se obtiene el punto (8, 2).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




35. En la figura 20, se cumple que ABC A’B’C’. El A’B’C’ es una imagen de simetría

axial, con respecto a la recta L del ABC, si :

(1) L AA' y L BB'

(2) BP B'P , AQ A'Q y CR C'R

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




RESPUESTAS

DMQMA21-E

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/

1. C 6. A 11. A 16. B 21. C 26. A 31. E

2. C 7. B 12. B 17. C 22. B 27. A 32. C

3. E 8. C 13. B 18. B 23. B 28. B 33. D

4. A 9. D 14. A 19. B 24. A 29. C 34. D

5. D 10. E 15. D 20. C 25. E 30. C 35. C

L

Q

R

P

A’

C’

B’

A

B

C

fig. 20


GUÍA ACUMULATIVA Nº 2

1. 3-1 – 3-2 : 3-3 =

A) 3

B) 8

3

C) 0

D) -8

3

E) -3

2. (35 · 1) + (35 · 2) – (35 · 4) + (35 · 5) =

A) -70

B) -35

C) 35

D) 70

E) 140

3. El valor de 1

3(2 + 1)2 es

A) 1

B) 3

C) 9

D) 5

3

E) 5

9

4. Si p = -2 y q = 2, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es menor que cero?

A) q-p

B) pq

C) (p + q)q

D) -(q – p)p

E) (pq)q

C u r s o : Matemática

Material Nº 22

2

5. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) FALSA(S) si N = 22

7?

I) N truncado a la centésima es 3,14.

II) N redondeado a la milésima es 3,143.

III) N redondeado a la décima es menor que truncado a la décima.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

6. Si a = 90,4 y b = 0,2 entonces ab1 1

a b

=

A) 10

1

B) -10

1

C) -10

3

D) 10

3

E) 5

4

7. Si A es una aproximación por exceso a la milésima de 5 y B es una aproximación por

defecto a la milésima de 5 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) A > B

II) A + B

= 52

III) A – 5 > 0

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

3

8. -36 + 3 -49 81 =

A) 18i

B) 9 (3i +1)

C) 9 (1 – 3i)

D) 9 (3i – 1)

E) -36

9. 1 + i

2 i =

A) 2

1

B) -2

1

C) 1 3i

5

D) 1 + 3i

5

E) 3 + 3i

5

10. Si p = 1

10, q =

2

1

10 y r =

3

1

10, entonces el valor de

r q

q p

es

A) 10-8

B) 10-2

C) 10-1

D) 10

E) 102

11. ¿Cuál es la novena parte de (312 + 310)?

A) 320

B) 8 · 310

C) 2 · 310

D) 310

E) 10 · 38

4

12. Si x3 = 25 + 9 , entonces x2 =

A) 34

B) 16

C) 8

D) 4

E) 2

13. El orden creciente de los números a = 2 2 , b = 3

3 y c = 10 es

A) a, b, c

B) a, c, b

C) b, c, a

D) b, a, c

E) c, a, b

14. Un tipo de bacteria se triplica cada 12 horas. Si en el laboratorio hay una muestra con

2 de estas bacterias, ¿cuál es la cantidad de bacterias al cabo de p días?

A) 2 · 3p

B) 2 · 3p

C) 2 · 3p + 2

D) 2 · 32p

E) 2 · 32p + 2

15. Si m es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) siempre verdadera(s)?

I) m-2 es irracional.

II) m2 es racional.

III) m2 es real.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

5

16. ¿Cuántas veces la cuarta parte de 11

3 es el cuadrado de 3?

A) 1

3

B) 1

C) 3

D) 9

E) 27

17. 3,2 horas equivalen a

A) 3 horas 2 minutos

B) 3 horas 12 minutos

C) 32 minutos

D) 320 minutos

E) 3.060 minutos

18. ¿Cuál es el valor de x en x

4 + 4 = 4?

A) 0

B) 4

C) 8

D) 12

E) 16

19. Si un pack de 6 ladrillos pesan 9,6 kg, ¿cuánto pesan dos tercios del pack?

A) 6.400 gr

B) 640 gr

C) 64 gr

D) 6,4 gr

E) 0,0064 gr

20. Si 3 – p

3 = 3, entonces el valor de p es

A) 0

B) 3

C) 6

D) 9

E) -6

6

21. En la ecuación 1

2x – 1 =

x + 1

3 – 2, el valor de la mitad de x es

A) -4

B) -2

C) -1

D) 2

E) 4

22. Dada la ecuación y = 1 – 2x, si x aumenta en 1, entonces y

A) aumenta en 3.

B) aumenta en 2.

C) aumenta en 1.

D) disminuye en 1.

E) disminuye en 2.

23. Si a

x – 2 =

b

x, entonces x =

A) ab

B) a – b

C) a + b

D) a b

2

E) a + b

2

24. (x2 + y2)2 – (x2 – y2)2 =

A) 4x2y2

B) 2x2y2

C) 0

D) 2y4

E) 2x4

7

25. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a (x + y)?

I) 3 3

2 2

x + y

x xy + y

II)

-1

2 2

x y

x y

III) 2 22x + 3xy + y

2x + y

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

26. 2

2 4

2 2 a

a a

=

A) 2

4

3a 2

a

B) 2

4

a 2

a

C) 2

1

a

D) -6

1

a

E) 1

27. a b 1 1 :

b a b a

=

A) a – b

B) a + b

C) 1

a b

D) 1

a + b

E) 2 2

a b

a b

8

28. Si a2 – b2 = a b

+ 2 2

, con a + b ≠ 0, entonces a – b =

A) 0,25

B) 0,5

C) 1

D) 2

E) 4

29. Si P = 25x, entonces la expresión x -x

x -x

5 5

5 + 5

es equivalente a

A) P 1

P + 1

B) P + 1

P 1

C) P + 1

P 1

D) P 1

P + 1

E) 0

30. El costo de una polera es $ p. Por cada polera adicional que se compre se hace un

descuento de $ q. ¿Cuánto es el costo, en pesos, de una decena de poleras?

A) $ (p + 11q)

B) $ (p – 9q)

C) $ (10p – q)

D) $ (p + 11(p – q))

E) $ (10p – 9q)

31. Ana tiene el cuádruplo de fichas que Rosa, y ésta la cuarta parte de lo que tiene Cecilia,

entonces se puede afirmar que

A) Cecilia tiene la misma cantidad de fichas que Ana.

B) Rosa tiene más fichas que Ana.

C) Ana tiene menos fichas que Cecilia.

D) Cecilia tiene menos fichas que Rosa.

E) ninguna de las anteriores.

9

32. La mitad de un número excede a un quinto del número en 12. ¿Cuál es la cuarta parte

del número?

A) 40

B) 20

C) 10

D) 4

E) 1

33. Un padre reparte entre sus tres hijos 1.140 acciones. El hijo mayor recibe la mitad de

lo que recibe el hijo del medio, y el menor, seis acciones menos que el triple del mayor.

¿Cuánto recibe el hijo menor?

A) 573 acciones

B) 567 acciones

C) 564 acciones

D) 382 acciones

E) 191 acciones

34. Un comerciante que tenía 80 juguetes, primero vendió los 9

20de ellos a $ 1.700 cada

uno, luego los 3

4 del resto a $ 1.500 cada uno y finalmente vendió los restantes a

$ 1.200 cada uno. Entonces, por el segundo y el tercer grupo de juguetes recibió

A) $ 114.000

B) $ 90.000

C) $ 62.700

D) $ 61.200

E) $ 49.500

35. En el triángulo ABC de la figura 1, la recta R es simetral de BC , BD es bisectriz del

ABC, ABD = 3x + 10º y DBC = 5x – 10º. Entonces, – es igual a

A) 5º

B) 10º

C) 15º

D) 20º

E) 30º

A

C B

R

D

30º

fig. 1 D

10

36. En el ABC de la figura 2, CD bisectriz del ACB, DE // AC y FE // AB . ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) CE AF

II) D punto medio de AB .

III) ADEF es paralelogramo.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

37. En el triángulo isósceles de la figura 3, con AC BC , ACDE y BCFG son cuadrados.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) DCJ FCI

II) BFI ADJ

III) AF BD

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

38. En el cuadrado ABCD de la figura 4, E, F, G, H son puntos medios. ¿Cuál(es) de las


I) EFC es isósceles.

II) EIHD es deltoide

III) DE < HG

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

A D B

F E

C

fig. 2

A

I E G

D

C

F

fig. 3

B

J

A

D

E G

I

J

K

L

M

N fig. 4

F B

H C

11

39. ¿A cuál(es) de los siguientes cuadriláteros se le(s) puede circunscribir siempre una

circunferencia?

I) II) III)

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en III

D) Solo en I y II

E) En todas

40. En el pentágono regular de la figura 5, + =

A) 144º

B) 128º

C) 108º

D) 90º

E) 36º

41. En el cuadrilátero ABCD de la figura 6, BC y AD son perpendiculares a AB , DE y CE

son bisectrices de los ADC y BCD respectivamente. Entonces, DEC mide

A) 45º

B) 60º

C) 90º

D) 135º

E) 150º

42. En la figura 7, DE es tangente a la circunferencia de centro O en el punto E y BC BD .

Si EAB = 10º, ¿cuál es el complemento de ?

A) 20º

B) 30º

C) 40º

D) 50º

E) 60º

4

4

4

4

9

9

4 4

12

9

6

9

100º

80º

A

B

C D

E

fig. 6

fig. 5

O

A

B

E

D

C

fig. 7

12

43. El ABC de la figura 8, es equilátero y la altura BD mide 6 cm. ¿Cuál es el diámetro de

la circunferencia circunscrita?

A) 10 cm

B) 8 cm

C) 6 cm

D) 4 cm

E) 3 cm

44. En la figura 9, ¿cuál es el valor de ?

A) 30º

B) 35º

C) 40º

D) 50º

E) 60º

45. En la figura 10, los ABC y ABD están inscritos en la circunferencia y son rectángulos

en C y D respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) ADB BCA

II) AED BEC

III) AEB es isósceles.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) I, II y III


46. En la figura 11, MP es tangente a la circunferencia, arco PQ mide 68º y QMP = 42º.

Entonces, arco QR mide

A) 208º

B) 182º

C) 140º

D) 104º

E) 71º

B A

C

D

fig. 8

120º

70º

fig. 9

A

D

C

B

E

fig. 10

P

M Q

R

fig. 11

13

47. Si un cuadrado de perímetro 72 cm se divide en 36 cuadritos congruentes, entonces el

área de los cuatro cuadritos centrales es

A) 6 cm2

B) 12 cm2

C) 24 cm2

D) 36 cm2

E) 324 cm2

48. Si cada lado de un cuadrado disminuye 3 cm, el área resultante es 81 cm2. Entonces,

¿cuál es el perímetro del cuadrado original?

A) 12 cm

B) 24 cm

C) 36 cm

D) 44 cm

E) 48 cm

49. Si la diagonal de un cuadrado mide d cm, entonces su perímetro es

A) 4d cm

B) 2d 2 cm

C) d 2 cm

D) d

22 cm

E) 3d cm

50. En un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho, la suma de sus diagonales es

4 5 cm. Luego, el perímetro del rectángulo es

A) 6 cm

B) 12 cm

C) 6 5 cm

D) 12 5 cm

E) no se puede determinar

14

51. Si en un rombo una diagonal aumenta un 1

4 y la otra disminuye un

1

5, entonces el

área

A) aumenta un 1

20.

B) disminuye un 1

20.

C) aumenta en la mitad.

D) disminuye en la mitad.

E) permanece invariante.

52. En un triángulo ABC se trazan las transversales de gravedad AA', BB' y CC' , siendo G

su punto de intersección. Si D es punto medio de CG , ¿qué parte del área del triángulo

ABC es el área del cuadrilátero B’GA’D?

A) 2

3

B) 1

3

C) 1

6

D) 1

4

E) 1

2

53. El área de un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 10 cm y 16 cm, es

A) 18 cm2

B) 36 cm2

C) 48 cm2

D) 60 cm2

E) 96 cm2

54. El perímetro de un rectángulo es 12x. Si su ancho es x, el área del rectángulo mide

A) x2

B) 5x2

C) 2x

2

D) 25x

2

E) 25x

4

15

55. El área del hexágono regular de la figura 12 es 240 cm2. Si M y N son puntos medios de

cada lado, entonces el área de la región achurada es

A) 40 cm2

B) 60 cm2

C) 80 cm2

D) 100 cm2

E) 120 cm2

56. En la figura 13, CD AB y BC AE . Si EB = 5 cm, CD = 8 cm y AB = 13 cm,

entonces el área de la región sombreada es

A) 52 cm2

B) 30 cm2

C) 26 cm2

D) 22 cm2

E) 20 cm2

57. En la figura 14, ABCD es trapecio. Si AB : DC = 5 : 3, EF es mediana y mide 12 cm,

entonces la base AB mide

A) 15 cm

B) 9 cm

C) 8 cm

D) 7,5 cm

E) 5 cm

58. En la figura 15, triángulo ABC es equilátero. Si DC = EB = AB

3, entonces ¿cuál(es) de

las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) DE AC

II) DA 2 3

= DE 3

III) Área DEC 2

= 9Área ABC

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

N

M

fig. 12

fig. 14

A B

D C

E F

A

C

D

E

fig. 15

B

A

C E

fig. 13

D B

16

59. Si el punto A(4,3) se gira en 90º, en sentido antihorario y con centro en el origen , se

obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son

A) (4, -3)

B) (-4, 3)

C) (3, 4)

D) (-3, 4)

E) (3, -4)

60. Si al punto (-6, -1) se le aplica una traslación T(4, 3) y luego una rotación en 180º

con respecto al origen, entonces el punto transformado tiene por coordenadas

A) (-2, 2)

B) (10, 2)

C) (-10, -2)

D) (10, 4)

E) (2, -2)

61. Al segmento PQ de la figura 16, se le aplica una simetría con respecto a la recta x = 3.

Entonces, las coordenadas de Q’ son

A) (3, 1)

B) (0, 1)

C) (-1, 1)

D) (-3, 1)

E) (-6, 1)

62. Al aplicar una rotación antihoraria de 90º al punto A(4, 1)con respecto al punto (2, 1)

de la figura 17, se obtiene el punto A’ cuyas coordenadas son

A) (2, 3)

B) (2, 4)

C) (1, 4)

D) (1, 3)

E) (0, 5)

63. En el gráfico de la figura 18, se muestra el número de hermanos que tienen los 40

alumnos de 4º medio. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tiene, a lo más, tres

hermanos?

A) 15%

B) 25%

C) 37,5%

D) 62,5%

E) 75%

2 6 x

y

1

fig. 16

Q P

1 2 3 4

1

2

3

x

y

fig.17

A

Nº de alumnos

0

5

10

15

1 2 3 4 5 Nº de hermanos

fig. 18

17

64. Para comprar un regalo, 10 amigos aportaron dinero como muestra la tabla de la figura

19. ¿Cuál es la media aritmética de los aportes?

A) $ 8.000

B) $ 8.700

C) $ 9.200

D) $ 10.000

E) $ 12.500

65. En la aplicación de un ensayo de lenguaje para los dos cuartos medios de un colegio,

el 4º A, con 30 alumnos, obtuvo un promedio de 630 puntos, y para el 4º B, con 20

alumnos, su promedio fue de 600 puntos. ¿Cuál fue el promedio del total de alumnos

de ambos cursos en dicho ensayo?

A) 615 puntos

B) 616 puntos

C) 617 puntos

D) 618 puntos

E) 619 puntos

66. En cada una de dos cajas, A y B, hay 3 bolitas numeradas con los números 4, 5 y 6.

Si se extrae al azar 1 bolita de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de

ambas sea mayor a 9?

A) 6

9

B) 5

9

C) 4

9

D) 1

3

E) 1

2

67. Al lanzar simultáneamente dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma

mayor o igual a 10?

A) 1

3

B) 1

6

C)

3

36

D)

4

36

E) 5

36

Aportes Nº de personas

$ 5.000 4

$ 10.000 3

$ 12.000 1

$ 15.000 2

fig. 19

18

68. En un curso de 30 alumnos, se sabe que 12 hombres usan lentes, que 3 mujeres no

usan lentes. Si los hombres en total son 17. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un

alumno al azar, que sea mujer y use lentes?

A) 3

1

B) 6

1

C) 15

11

D) 30

13

E) 30

17

69. Sean a, b y c tres números naturales. Se puede determinar el orden de ellos, si:

(1) b no es el menor.

(2) 0 < a – b < a – c

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




70. Sean a y b distinto de cero. Entonces, a

b es un número entero negativo, si:

(1) a y b son números enteros de distinto signo.

(2) a es múltiplo de b.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




71. Se puede determinar la longitud de una cuerda que se ha dividido en tres segmentos,

si:

(1) Uno de los segmentos mide 110 cm.

(2) El segmento menor es la tercera parte del mayor.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




19

72. Se puede determinar el valor numérico de la expresión 3 3

2a 2b

, si:

(1) a – b = 4

(2) a · b = 9

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




73. En la figura 20, se puede determinar el área del triángulo ABC, si:

(1) CD = DB = 5 cm

(2) ADC es equilátero.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




74. El cuadrilátero ABCD de la figura 21, está inscrito en la circunferencia de centro O. Se

puede determinar el valor del , si:

(1) E es punto medio del arco BC.

(2) ABCD es cuadrado.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




75. En la figura 22, arco AB es un cuarto de la circunferencia. Se puede determinar la

longitud del arco AB, si:

(1) OEDC es un cuadrado de lado 3 cm.

(2) BC = AE

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




C

fig. 20

A D B

B

fig. 22 C D

O E A x

y

A B

E

C D

O

fig. 21

20

RESPUESTAS

1. D 11. E 21. B 31. A 41. C 51. E 61. B 71.E

2. E 12. D 22. E 32. C 42. C 52. C 62. A 72.C

3. B 13. D 23. D 33. B 43. B 53. C 63. E 73.C

4. D 14. D 24. A 34. C 44. D 54. B 64. C 74.C

5. B 15. C 25. E 35. B 45. E 55. C 65. D 75.A

6. C 16. E 26. A 36. C 46. C 56. D 66. A

7. C 17. B 27. B 37. E 47. D 57. A 67. B

8. D 18. A 28. B 38. E 48. E 58. E 68. A

9. D 19. A 29. D 39. A 49. B 59. D 69. B

10. C 20. A 30. E 40. C 50. B 60. E 70. C

DMQMA22




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