7. EL CONTROLADOR PID BSICOEL CONTROLADOR PID BSICOUn controlador PID se caracteriza por combinar tres acciones (P, I y D) mediante el siguiente algoritmo de control:Este algoritmo est considerado como el PID estndar por la ISA (Instrument Society of America). A continuacin se resumen los trminos bsicos: - Accin proporcional (P):es la accin que produce una seal proporcional a la desviacin de la salida del proceso respecto al punto de consigna. - Accin integral (I):es la accin que produce una seal de control proporcional al tiempo que la salida del proceso ha sido diferente del punto de consigna. - Accin derivativa (D):es la accin que produce una seal de control proporcional a la velocidad con que la salida del proceso est cambiando respecto del punto de consigna. - Constante de tiempo integral (Ti):es el tiempo, generalmente expresado en minutos, que debe transcurrir para que la accin integral alcance (iguale o repita) a la accin proporcional. - Constante de tiempo derivativa (Td):es el intervalo de tiempo, generalmente expresado en minutos, en el que la accin derivativa adelanta a la accin proporcional.Cada accin de control tiene una respuesta caracterstica: - La accin proporcional vara instantneamente con el error y alcanza un valor estacionario cuando lo alcanza ste. - La accin integral tiene en cuenta la historia pasada del error y se anula cuando se hace cero. - La accin derivativa predice los cambios en el error y se anula cuando alcanza un valor estacionario.Controlador PCONTROLADOR PUn ejemplo tpico de control proporcional se muestra en la figura 1, donde se observa la conducta de la variable controlada despus de un salto en escaln unitario en el punto de consigna. Se observan los siguientes hechos caractersticos cuando aumenta la ganancia Kpdel controlador:1. El error en estado estacionario disminuye.2. El proceso responde ms rpidamente.3. La sobreoscilacin y las oscilaciones aumentan.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica regulador P

%REGULADOR P;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema en cadena abierta;num=1;den=conv([10 1],[5 1]);sys=tf(num,den);%Regulador Proporcional;Kp=2;sysa=Kp*sys;%Sistema equivalente realimentado;[sysc]=feedback(sysa,1);hold on;%Respuesta del sistema;step(sysc);title('Regulador P');Accin Integral PILA ACCIN INTEGRAL PIEsta accin elimina el problema del error en estado estacionario frente a perturbaciones de carga constante. Por eso se utiliza para determinar de forma automtica el valor correcto de u0. Adems se usa para corregir el error en rgimen permanente.Otra de las razones intuitivas que ayuda a comprender los beneficios de la accin integral es que, cuando se introduce, la existencia de un pequeo error durante un intervalo prolongado de tiempo puede dar lugar a un gran valor de la seal de control. El algoritmo de la accin integral es el siguiente:Las propiedades de la accin integral se muestran en la figura 2 en la que se puede ver la simulacin de un controlador PI. La ganancia proporcional se mantiene constante y se vara el tiempo integral.El caso particular en el que Ties infinito se corresponde con el control P. Al introducir la accin integral se observa que:1. El error en estado estacionario se elimina cuando Titiene valores finitos.2. Cuando Tidisminuye (mayor accin integral) la respuesta se hace cada vez ms oscilatoria, pudiendo en ltimo trmino llegar a inestabilizar el sistema.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica controlador PI%controlador PI;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema;num=1; den=[10 1];sys=tf(num,den);Kp=10; Ki=30;%Funcion de transferencia del controlador PI;numc=[Kp Ki];denc=[1 0];sysc=tf(numc,denc);%Sistema equivalente realimentado;numa=conv(num,numc);dena=conv(den,denc);sysa=tf(numa,dena);[sysac]=feedback(sysa,1);step(sysac);title('controlador PI');Accin Derivativa PDLA ACCIN DERIVATIVA PDUno de los problemas del controlador PI y que limita su comportamiento es que solo considera los valores del error que han ocurrido en el pasado, es decir, no intenta predecir lo que pasar con la seal en un futuro inmediato.La accin derivativa realiza ese tipo de compensacin, que se basa en introducir una accin de prediccin sobre la seal de error. Una forma sencilla de predecir es extrapolar la curva de error a lo largo de su tangente. El algoritmo de la accin derivativa es el siguiente:El parmetro Tdes el tiempo derivativo y puede interpretarse como un horizonte de prediccin. Al basar la accin de control en la salida predicha, es posible mejorar el amortiguamiento de un sistema oscilatorio. En la figura 3 se pueden observar las propiedades de un controlador de este tipo.En la figura anterior se puede ver que las oscilaciones se amortiguan cuando se utiliza la accin derivativa. A medida que Tdaumenta la salida se va aproximando cada vez ms a una exponencial.Una desventaja importante de la accin derivativa es que hay que ser muy cuidadoso a la hora de escoger el valor del tiempo derivativo. En las instalaciones industriales es frecuente desconectar la accin derivativa (hacer Td= 0), aunque en otras ocasiones est muy recomendada. Un ejemplo es el caso de procesos multi-capacitivos, como puede ser el control de temperatura. Debido a la inercia del sistema es importante saber hacia donde se est evolucionando. La accin de calentamiento tiene que pararse a tiempo. Una conduccin lenta de calor puede significar que, incluso despues de desconectar el sistema de calentamiento, la temperatura continue aumentando durante mucho tiempo. Durante este perodo la temperatura puede sobrepasar considerablemente su punto de consigna si no se ejerce una accin de control cuidadosa. Otro ejemplo donde es importante predecir el error es cuando hay grandes retardos o tiempos muertos en el proceso. En esta situacin, desgraciadamente, la accin derivativa no suele dar una buena prediccin y hay que utilizar controladores especficos (basados en el predictor de Smith o en las estrategias de control predictivo) para solucionar el problema. Si no se tiene acceso a un controlador de este tipo, en estos casos es mejor utilizar un controlador PI.

Cdigo Matlab empleado para la obtencin de la grfica controlador PD%controlador PD;%Funcion de transferencia ejemplo del sistema;num=1;den=conv([10 1],[5 1]);Kp=10;Kd=10;numc=[Kd Kp];%Funcion de transferencia del controlador PD;numa=conv(num,numc);sysa=tf(numa,den);[sysac]=feedback(sysa,1);step(sysac);title('controlador PD');El Controlador PIDEL CONTROLADOR PIDEl controlador PID combina en un nico controlador la mejor caracterstica de estabilidad del controlador PD con la ausencia de error en estado estacionario del controlador PI.La adicin de la accin integral a un controlador PD es esencialmente lo mismo que aadir dicha accin a un controlador P.La tabla 1 muestra cmo varan la estabilidad, la velocidad y el error en estado estacionario cuando se modifican los parmetros del controlador. Es necesario sealar que esta tabla contiene un conjunto de reglas heursticas y, por tanto, hay excepciones.Kp aumentaTi disminuyeTd aumenta

Estabilidadse reducedisminuyeaumenta

Velocidadaumentaaumentaaumenta

Error est. estacionariono eliminadoeliminadono eliminado

Ejercicio ejemplo controladoresEJERCICIO EJEMPLO CONTROLADORESVamos a analizar los tipos de controladores en este ejercicio basndonos en el siguiente sistema de masa, resorte y amortiguador:Donde:M = 1 Kgb = 10 Ns/mK = 20 N/mF(s) = 1La ecuacin del sistema es:Mx + bx + Kx = FPor lo tanto su transformada de Laplace ser:Ms2X(s) + bsX(s) + KX(s) 0 F(s)De este modo la Funcin De Transferencia entre la salida (desplazamiento X(s) ) y la entrada F(s) ser:X(s) / F(s) = 1 / Ms2+ bs + KA)obtener la grfica de la salida del sistema en lazo abierto ante una entrada escaln unitario:X(s) / F(s) = 1 / s2+ 10s + 20A-1)Representar grficamente la respuesta del sistema ante un escaln unitarioA-2)Comentar la grfica obtenidaB)Si la f.d.t. en lazo cerrado con un controlador P del sistema anterior es:X(s) / F(s) = Kp/ s2+ 10s + (20 + Kp)Situaremos el valor de la ganancia proporcional en un valor de 300:B-1)Obteber la respuesta del sistema con controlador P a un escalnB-2)Comentar el resultado y compararlo con el caso anteriorC)La funcin de transferencia en lazo cerrado con un controlador PD del sistema que estamos estudiando es la siguiente:X(s) / F(s) = KDs + Kp/ s2+ (10 + KD)s + (20 + Kp)mantenemos el valor de la ganancia proporcional y haremos que KDsea igual a 10C-1)Representar la grfica de la respuesta del sistema con regulador PD ante un escaln unitarioC-2)Comentar la grfica obtenida y los cambios con respecto a los casos anterioresD)En el caso de asociar un controlador PI a nuestro sistema, la f.d.t. del sistema resultante ser:X(s) / F(s) = Kps + KI/ s3+ 10s2+ (20 + Kp)s + KIel valor deseado de KIes 70 y tendremos que reducir el valor de la ganancia proporcional, ya que el regulador integral tambien reducira el tiempo de subida, y aumentar la sobreoscilacin como lo hace el proporcional, tomaremos entonces un valor de 30D-1)Representar grficamente la salida del sistema estudiado con controlador PI, si la entrada es un escaln unitarioD-2)Analizar la grfica obtenia respecto a las anterioresE)Nuestro sistema con un controlador PID tendra una funcin de transferencia asi:X(s) / F(s) = KDs2+ Kps + KI/ s3+ (10 + KD)s2+ (20 + Kp)s + KIE-1)Si la entrada es un escaln unitario, obtener la grfica de la salida de nuestro sistema bajo la accion de un controlador PIDE-2)Comentar los resultados, analizando las mejoras obtenidas en la respuesta de nuestro sistema.