1

Coordenadas rectangulares en el plano

Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y

El punto de intersección 0 se llama origen de coordenadas.

II I

III IV0El plano queda

dividido en cuatro

regiones llamadas

cuadrantes

2

Representación de los números

sobre cada eje

3

Coordenadas de un punto A un punto P del plano le asociamos dos números de la

siguiente manera

Decimos que P tiene coordenadas (Q,R)

La primera se llama abscisa y la segunda ordenada de P.

Recíprocamente, dado un par de números (Q,R) hay un número P del plano del cual son las coordenadas.

4

Ejemplo

Representación de los puntos P=(1/2,1) y

P´=(-3,2)

5

Ejemplo 2

Conjunto de puntos P=(x,y) cuyas coordenadas

verifican x>2 e y ≤ -1

A={(x,y) : x>2 ; y ≤ -1}

Representación

6

Ejercicio 1

Representar en el plano los siguientes

pares ordenados y decir a qué cuadrante

pertenecen

(2, -1) ; (-1/2 ,3) ; (5/3, -2) ; (-1, -2)

7

Ejercicio 2

A. ¿Qué signo tienen las coordenadas de un

punto del segundo (respectivamente cuarto)

cuadrante?

B. Sombrear la parte del plano que corresponde

a los puntos de abscisa negativa.

C. Sombrear la parte del plano cuya abscisa es

positiva y cuya ordenada es negativa.

8

Ejercicio 3

A. Representar el triángulo de vértices

A=(0,0), B=(3,0) y C=(2,3) y evaluar su

área.

B. Hacer lo mismo para A=(1,0), B=1,3) y

C=(0,1)

9

Ejercicio 4: Representar gráficamente

A = { (x,y) : x > 1 }

B = { (x,y) : y ≤ 0 }

C = { (x,y) : x . y = 0 }

D = { (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2 , y > 0 }

E = { (x,y) : x = y }

F = { (x,y) : x . y < 0 }

10

Ejercicio 5

Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

11

Ejercicio 5 (cont)

Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

12

Rectas en el plano

Ejemplo : El conjunto de ptos.de plano de

abscisa 3.

L = { (x,y) : x = 3 }

13

Rectas en el plano

Ejemplo : El conjunto de puntos cuya

abscisa coincide con la ordenada.

L = { (x,y) : x = y }

14

Rectas en el plano

Ejemplo : La recta horizontal (paralela al

eje x) que pasa por P0=(1,2)

L = { (x,y) : y = 2 }

15

Rectas en el plano

Sea L la recta que pasa por P1=(1,2) y P2=(3,5)

13

1

25

2 xy

Operando

2y – 3x = 1

16

Ecuación de la recta

Si L es vertical, tiene ecuación x=c

L = { (x,y) : x = c }

Si L es horizontal, tiene ecuación y=c

L = { (x,y) : y = c }

17

Ecuación de la recta

Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los

puntos P1=(a1,b1), P2=(a2,b2) tiene ecuación

que operando se escribe de la forma

Ax + By = C

12

1

12

1

bb

by

aa

ax

18

Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa

por los puntos dados:

A. (2,3) ; (4,5)

B. (5,-1) ; (-5,-1)

C.(½, ½) ; (0,0)

D.(1,-1) ; (-1,1)

19

Ejercicio 8

Sea L la recta que pasa por P1=(-1, 0), P2=(5, 1)

a) Hallar la ecuación de L y comprobarla.

b) Mostrar otros dos puntos de L.

c) ¿Cuáles de los siguientes puntos

pertenecen a L?

Q1 = (3, ½) ; Q2 = (10,2) ; Q3 = (-7, -1)

20

Ejercicio 9

Hallar el valor de k para el cual los puntos

(-1,2) ; (3,1) ; (2, -k+1)

están alineados

21

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C {A 0 o B 0}

veremos que los puntos P=(x,y) que la

verifican forman una recta.

22

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 1 : A = 0, la ecuación se escribe

es una recta horizontal

B

Cy

23

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 2 : B = 0, la ecuación se escribe

es una recta vertical

A

Cx

24

Ecuación de la recta

CASO 3 : A 0 y B 0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos

P1 = (0, a) y P2 = ( 1, a+b) es

B

Cb

B

Aadondebxay ;

baxya

byx

bba

byx

01

0

Los puntos que verifican esta ecuación forman la

recta que pasa por P1 y P2.

25

Ejemplo

Si queremos representar en el plano el

conjunto de puntos

{(x,y) : 2x – y = -1}

Sabemos que se trata de una

recta determinada por dos puntos.

Ej : P1 = (0,1) ; P2 = (1,3)

26

Ejercicio 10

Representar gráficamente

A) 5x + y = 3

B) x – 2 = 0

C) 4x – 3y = 6

D) y = 0

27

Posición Relativa de dos rectas

Transversales Paralelas Coincidentes

28

Sistema de Ecuaciones

Dadas dos rectas, cada una de ellas está

representada por una ecuación lineal.

Los puntos de intersección deben verificar

ambas ecuaciones

A1x + B1y = C1

A2x + B2y = C2

29

Sistema de Ecuaciones

Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución.

Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución.

Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

30

Ejemplo 1

Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = -1

L2 : x – y = 2

El sistema admite una única solución

Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

3

5;

3

1yx

3

5,

3

1P

31

Ejemplo 1

32

Ejemplo 2

Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = – 3

L2 : – 6x + 3y = – 6

Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos

un sistema equivalente

6x – 3y = – 9

6x – 3y = – 6

Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo

cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

33

Ejemplo 2

34

Ejemplo 3

Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 4x – 8y = -12

L2 : – x + 2y = 3

Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos

la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad

son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

35

Distancia entre dos puntos del plano

Dados dos puntos del plano

P1 y P2

Podemos calcular la distancia entre ellos por el teorema de Pitágoras

2

12

2

12)()( yyxxd

36

Ejemplo Calcular la distancia entre

P1=(3,2) y P2=(1,-4)

40364

)24()31(22

d

d