circulo de morh para deformaciones.pdf

1.13 Círculo de Mohr para deformaciones

1.13. Círculo de Mohr para deformaciones

Construcción del círculo de Mohr para deformaciones:

1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con como abscisa, positivo hacia la derecha,

y como ordenada, positivo hacia abajo.

2. Localice el centro del círculo en el punto con coordenadas y = 0.

= +

2

3. Localice el punto A que representa las condiciones de deformación sobre la cara 1del

elemento mostrado en la Fig. (1.50), marcando sus coordenadas = y . Note que el

punto corresponde a = 0.

4. Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento

mostrado en la Fig. (1.50) , trazando sus coordenadas = y −. Observe que el punto sobre el círculo corresponde a = 90.

5. Dibuje una línea del punto al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el

centro . Los puntos y , que representan las deformaciones sobre los planos a 90 uno

del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 180 uno del

otro sobre el círculo.

6. Con el punto como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos y . El círculo

dibujado de esta manera tiene radio .

=

sµ −

2

¶2+ 2

7. Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.50)

ε12 = ±

8. Cálculo del ángulo de la ec. (1.65)

2 = tan

µ2

−

¶9. Cálculo del la deformación cortante máxima, max, y del ángulo .

c°Gelacio Juárez, UAM 67


Figura 1.50: Trazo círculo de Mohr para deformaciones.

max =

Nota: En el círculo de Mohr para deformaciones, algunos autores, utilizan la deformación angu-

lar, 2, en lugar de la deformación por cortante , que están relacionadas como:

=

2(1.115)

1.13.1. Ejemplo

En un punto de la superficie plana de un sólido se colocan tres deformímetros extensométricos

como se muestra en la Fig. 1.51.Después de someter el sólido a la acción de cargas se registran

las siguientes deformaciones unitarias:

= 0006; = 0004; y = −0008; (1.116)

Figura 1.51: Arreglo de deformímetros.



Calcular la deformación angular definida por el ángulo recto de los deformímetros a y b, las

deformaciones y sus direcciones principales , así como la deformación cortante máxima.

Calculo de la deformación angular

Al expresar los ejes cartesianos (,), como los ejes definidos, respectivamente, por los defor-

mímetros a y b, las deformaciones se definen como:

= = 0006

= = 0004

= = −0008 =

12

(1.117)

Expresando la deformación como la proyección de las otras deformaciones.

= n · ε · n (1.118)

donde el vector normal es:

n =

"cos(90◦ + )

cos

#(1.119)

y el tensor de deformaciones:

ε =

"

#(1.120)

sustituyendo las ecs. (1.119) y (1.120) en la ec. (1.118)

=hcos(90◦ + ) cos

i "

#cos(90◦ + )

cos

= cos2(90◦ + ) + cos

2 + 2 cos(90◦ + ) cos (1.121)

sustituyendo los valores de la ec. (1.117) en la (1.121)

−0008 = 0006 cos2(135◦) + 0004 cos2(45◦) + 2 cos(135◦) cos(45◦)

obteniéndose el valor de la deformación por cortante;

= 0013

La deformación angular, , se calcula de la ec. (1.115):

= 2 = 0026 (1.122)



Calculo de deformaciones principales

El tensor de deformaciones es:

ε =

"0006 0013

0013 0004

#Cálculo del centro

=0006 + 0004

2= 0005

Cálculo del radio

=

sµ0006− 0004

2

¶2+ (0013)2 = 001304

Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.52)

1 = 0005 + 0013 = 0018

2 = 0005− 0013 = −0008

Figura 1.52: Trazo Mohr.

El ángulo se calcula

=1

2tan−1

µ2(0013)

0006− 0004¶= 4280◦

La deformación cortante máxima, max, corresponde al radio del círculo:

max = = 0013

el ángulo es:



= 22◦

Las deformaciones principales y por cortante máximo se muestran en la fig. 1.53.

Figura 1.53: Deformaciones principales y cortantes máximas.

1.13.2. Ejemplo

Una roseta con deformímetros espaciados un ángulo , mostrada en la Fig. 1.54a, se adhiere

a una superficie libre de un sólido. Bajo la deformación del sólido, las deformaciones lineales

medidas por los deformímetros a, b y c son, respectivamente, , y . 1) Derive la ecuaciones

para determinar las componentes de deformación en términos de , y en función de

las deformaciones medidas , y . 2) Determine los resultados del inciso 1 para rosetas

Rectangulares, = 45◦,Fig. 1.55a ,y Delta , = 60◦, Fig. 1.55b.

Figura 1.54: Deformaciones principales y cortantes máximas.

1) Los vectores normales con los cosenos directores, Fig. 1.54b, son:

n =

"1

0

#; n =

"cos

sin

#; n =

"cos 2

sin 2

#;

La proyección del tensor de deformaciones sobre una dirección dada por un vector normal se



Figura 1.55: Rosetas tipo: a) Rectangulares y b) Delta.

determina como:

= n · ε · n

Por lo que la proyección del tensor de deformaciones sobre las direcciones a, b y c son:

= n·ε · n= = n·ε · n= cos2 + sin

2 + 2 cos sin (1.123)

= n·ε · n= cos2 2 + sin2 2 + 2 cos 2 sin 2

La ecuación anterior puede escribirse como:⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣

1 0 0

cos2 sin2 cos sin

cos2 2 sin2 2 cos 2 sin 2

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦ (1.124)

Resolviendo el sistema anteior para , y , se tiene:

=

=( − 2) sin 4 + 2 sin 2

4 sin2 sin 2(1.125)

=2

¡sin2 cos2 2 − sin2 2 cos2 ¢+ 2 ¡ sin2 2 − sin

2 ¢

4 sin2 sin 2

1) Para el caso de Rosetas tipo Rectangular , = 45◦, se tienen las siguientes relaciones cos =

1√2, sin = 1

√2, cos 2 = 0 y sin 2 = 1, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:



=

= (1.126)

= − 12( + )

2) Para el caso de Rosetas tipo Delta , = 60◦, se tienen las siguientes relaciones cos = 12,

sin =√32, cos 2 = +12 y sin 2 =

√32, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:

=

=2 ( + )−

3(1.127)

= − √

3

1.13.3. Ejemplo

El desplazamiento en un sólido está dado por el siguiente vector:

u =

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣

+ 2

4√2+ 3

⎤⎥⎥⎦ 10−31) Determine el tensor de deformación y 2) las deformaciones y respectivas direcciones principales.

Las componentes del vector de deformación se calculan con las siguientes derivadas:

== 1 · 10−3 =

12

³+

´= 0

== 1 · 10−3 =

12

¡+

¢= 4√

2· 10−3

== 3 · 10−3 =

12

³+

´= 1 · 10−3

El tensor de deformación es:

ε =

⎡⎢⎢⎣1 0 4√

2

0 1 14√21 3

⎤⎥⎥⎦ 10−3Las deformaciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, tiene las siguientes magnitudes:

1 = 5 · 10−3, 2 = 1 · 10−3, 3 = −1 · 10−3

Las direcciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, correspondientes a cada deformación

principal son:



v1 =

⎡⎢⎢⎣0551

0195

0811

⎤⎥⎥⎦ ; v2 =⎡⎢⎢⎣−03330943

0

⎤⎥⎥⎦ ; v3 =⎡⎢⎢⎣−0765−02700585

⎤⎥⎥⎦ ;

Figura 1.56: Representación de valores principales: a) direcciones y b) deformaciones.

1.13.4. Tarea

1) De las ecs. (1.126) y (1.127) determine las expresiones de deformaciones y direcciones princi-

pales para rosetas Rectangulares y tipo delta en función de , y

12 = +

2±sµ

−

2

¶2+ 2

2 = tan

µ2

−

¶2) En una Roseta rectangular se obtuvieron las siguientes deformaciones:

= 552 · 10−4; = 1286 · 10−4; y = 1301 · 10−4; (1.128)

Determine:

a) las deformaciones , y .

b) las deformaciones 1, 2 y max.

c) direcciones principales.


Documents

circulo de morh para deformaciones.pdf