Circuitos I Cap. 2 2014

v

i R

Circuitos I Capítulo 2, Leyes Experimentales y Circuitos Simples U.T.P.C.R.V Ing. Hermes Polanco

1 LEY DE OHM

Propuesta por el físico alemán Georg Simon Ohm en un escrito de 1827, aunque existen referencias que la

descrita ley fue descubierta 46 años antes en Inglaterra por Henry Cavendish, sin embargo como su trabajo se

descubrió y publicó después de la muerte de ambos, la ley y la unidad de resistencia llevan el nombre de Ohm.

Esta ley establece la relación entre las corrientes y los voltajes de un circuito eléctrico:

v=R⋅i, también se expresa mediante un triángulo donde se obtiene una variable en función de

las otras:

donde R es una constante de proporcionalidad llamada resistencia, su unidad es el Ohmio, el cual es igual a 1 V/A y

su símbolo es la letra omega mayúscula Ω.

En la figura Nº 1 se aprecia el símbolo que representa las resistencias en los circuitos y la aplicación de la

convención pasiva de signos.

Figura Nº 1

Es claro que al utilizar la convención pasiva de signos, una resistencia absorbe o consume

potencia, siempre será positiva y se disipará en forma de calor, además no tiene la capacidad de de entregar

potencia o almacenar energía. La potencia absorbida en una resistencia se puede expresar de varias formas

utilizando la ley de Ohm: p=vi=i2 R= v2

R

Del triángulo se puede observar que el valor de la resistencia se c

alcula como:

R= vi

, pero también existe otra constante que es igual a la razón entre la corriente y el voltaje:

G= iv

, donde G recibe el nombre de conductancia, con unidad en el SI de Siemens (S), igual a 1 A/V. Existe una

unidad antigua denominada mho cuyo símbolo es Ω invertida. La potencia absorbida es siempre positiva y se

puede expresar como:

p=vi=v2G= i2

G.

Por medio de la resistencia se pueden definir dos condiciones extremas de un circuito, el cortocircuito y el

circuito abierto. Para la condición de cortocircuito la resistencia es prácticamente cero, el voltaje es cero y la

corriente es la máxima posible. En la figura Nº 2a se aprecia esta condición. En un circuito abierto se tiene una

resistencia máxima, o infinita, una corriente cero y el voltaje será el máximo que pueda entregar la fuente, tal como

Ri+ v -

1

v = 0 R ≈ 0

+

-

i = imax

+

-

i = 0

v = vmax R ≈ ∞

+V

+V


se observa en la figura Nº 2b.

Figura 2a, Cortocircuito. Figura 2b, circuito abierto

PRÁCTICA: Según v e i definidos en la figura Nº 1, encuentre: a) R si i = -1.6 mA y v = - 6.3 V; b) la potencia

absorbida si v = - 6.3 V y R = 21 Ω; c) i si v = - 8 V y R absorbe 0.24 W; d) G si v = - 8 V y R absorbe 3 mW.

2 DEFINICIONES BÁSICAS DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Para poder trabajar con un circuito eléctrico se debe utilizar un lenguaje común para poder entender los

otros principios y leyes que deben ser aplicados, los términos que debemos definir son los siguientes: nodo, rama,

trayectoria, lazo y malla.

NODO: Un nodo es un punto en el cual se unen dos o más elementos de un circuito y generalmente se

representan por un punto, aunque algunas veces se omite el punto. Se debe tener mucho cuidado al determinar el

número de nodos de un circuito, debido a que las líneas entre nodos representan conductores perfectos con una

resistencia cero, si dos nodos están unidos por una resistencia cero entonces no existe diferencia entre ellos y se

deben contar como uno. En la figura Nº 3 se aprecia esta observación, y para ambos circuitos se tienen 3 nodos.

Figura Nº 3, Circuitos iguales, pero que aparentan tener

diferente número de nodos

RAMA: Una rama se define como una trayectoria

simple en una red, compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos. En

otras palabras, una rama representa a cualquier elemento de dos terminales. El circuito de la figura Nº 3 tiene 5

ramas.

TRAYECTORIA: Consiste en determinar un camino de la siguiente forma: se sitúa en un nodo cualquiera,

se sigue a través de un elemento simple al otro nodo, luego de ese nodo continúa a través de un elemento diferente

al nodo siguiente, y se sigue de esta manera hasta recorrer tantos elementos como se desee. La condición básica

2


es que no pase a través de ningún nodo más de una vez, si esto se cumple, entonces el conjunto de nodos y ramas

a través de los cuales se pasó es una trayectoria.

LAZO: Un lazo lo constituye una trayectoria cerrada, es decir aquellas trayectorias en donde se comienza y

se termina en el mismo nodo. En el circuito de la figura Nº 3 existen 6 lazos distintos.

MALLA: Se define como un lazo que no contiene ningún otro lazo en su interior. En el circuito de la figura

Nº 3 se tienen 3 mallas.

PRÁCTICA: Determine el número de ramas, nodos, lazos y mallas del circuito de la figura Nº 4.

Figura Nº 4

3 LEYES DE KIRCHHOFF

Posterior a los estudios de Ohm (que si fueron publicados) otro científico alemán, Gustav Robert Kirchhoff,

desarrollo dos leyes básicas y fundamentales para el estudio de los circuitos eléctricos: la ley de corriente y la ley de

voltaje.

LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF (LCK): La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier

nodo es cero.

Esta ley puede entenderse fácilmente si se sabe que un nodo no puede almacenar, destruir o generar carga

eléctrica, por lo tanto la suma de las corrientes debe ser cero.

i=dqdt

, como dq es cero, i es cero. En el nodo de la

figura Nº 5, se ilustra el concepto.

Figura Nº 5, Nodo al que se aplica LCK

iA+iB−iC−iD=0,

iA+iB=iC+iD

,

−iA−iB+iC+iD=0

Según se observa también se puede plantear la LCK expresando que la suma de las corrientes que entran

debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nodo, pudiéndose escribir estas ecuaciones de la siguiente

forma:

∑n=1

Nin=0 ∑ ientran=∑ isalen

LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF (LCK): La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier

trayectoria cerrada en un circuito es cero.

iD

iA

iC iB

+

-vx

5

6RA+

-

18 ViX

13 A

iXiXiXiXiXiXiX

3

+vx- 4 vx+

-

307

8

+-

12 V


Esta ley puede entenderse fácilmente si se sabe que una integral cerrada aplicada a un campo conservativo

es cero, y precisamente este el caso de la integral que define la diferencia de potencial en función del campo

eléctrico (el cual es conservativo, o sea

∇⃗× E⃗=0), de tal forma que:

−∮ E⃗⋅d l⃗ =0. En el circuito de la figura N° 6 se explica el concepto.

Figura N° 6, Circuito serie al cual se aplicará LVK.

−vs1+v1+v2+v3+v4=0 , vs 1=v1+v2+v3+v4

Otra forma de analizarlo consiste en definir “caídas” y “subidas” de potencial, de tal forma que se iguala la

suma de las caídas con la suma de las subidas de tensión en la trayectoria que se está analizando, por lo tanto la

LVK se puede expresar de dos formas:

∑n=1

Nvn=0 ∑ vsubidas=∑ vcaídas

Para saber si se tiene una caída o subida de tensión, se aplica la convención pasiva de signos y se observa

los signos según una dirección arbitraria establecida, si se va de + a – es una caída y de – a + es una subida.

PRÁCTICA: Determine el número de ramas, nodos, lazos y mallas del circuito de la figura Nº 7, además determine

iX y vX

de los circuitos mostrados en las figuras N° 6 y 7.

PRÁCTICA: Utilice la LVK y calcule la potencia absorbida por cada elemento.

Utilice la LCK y encuentre

iA ,iB e iC

+ v1 -+ v2 -+v3-

- v4 +

+

-

Vs1

+vx-

ix210

48

+

-

60V5 A

4

Figura Nº 9

0.1 vx-vx+

iA iB iC

2 A9185.6 A

+v2- +vN-

+v1-

i

RN

R2R1

+

-vs

+

v-

i1 i2 iN

GNG2G1is


4 EL CIRCUITO RESISTIVO

La mayoría de los circuitos se compone de resistencias conectadas en serie o en paralelo, en esta parte se

analizará como reducir un grupo de resistencias a un solo valor conocido como resistencia equivalente, la cual

podemos definir como una resistencia que produce el mismo efecto que el grupo de resistencias al cual sustituye.

RESISTENCIAS CONECTADAS EN SERIE: Para encontrar la Req de un grupo de resistencias conectadas

en serie, debemos aplicar la LVK al circuito y la ley de Ohm al circuito de la figura Nº 8.

Por LVK v s=v1+v2+. ..+vN

Por ley de Ohm vs=R1 i+R2 i+.. .+RN i=(R1+R2+. ..+RN ) i=Req i

Req=R1+R2+. ..+RN ⇒ Req=∑ j=1

NR j

Figura Nº 8

RESISTENCIAS CONECTADAS EN PARALELO: Para encontrar la Req de un grupo de resistencias conectadas

en paralelo

, debemos aplicar la LCK al circuito y la ley de Ohm al circuito de la figura Nº 9, en este caso es preferible trabajar

con conductancias.

Por LCK is=i1+i2+. ..+iN

Por ley de Ohm i s=G1 v+G2 v+. ..+GN v=(G1+G2+.. .+GN )v=G eq v

Geq=G1+G2+ .. .+GN ⇒ Geq=∑ j=1

NG j

Si trabajamos con resistencias quedaría: 1R

eq

= 1R

1

+ 1R

2

+. . .+ 1R

N

Req=1

1R1

+1R2

+. ..+1RN

⇒ Req=1

∑j=1

N 1R j

PRÁCTICA: Un óhmetro es un instrumento que indica el valor de la resistencia vista entre sus terminales. ¿Cuál

será la lectura correcta si el instrumento se conecta a la red de la figura Nº 10 en los puntos ac, ab y cd?

5

a b

c d

16

7

1215

430

50

25


Figura Nº 10

5 DIVISIÓN DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE

El concepto de la división de voltaje y de corriente resulta útil en muchos casos en donde aplicarlos resulta

mucho más fácil que las técnicas de reducción de circuitos.

DIVISIÓN DE VOLTAJE: Sólo se aplica a resistencias conectadas en serie, y permite relacionar directamente el

voltaje total aplicado con el voltaje de una resistencia. Al circuito de la figura Nº 11 se le aplicará la división de

voltaje.

v2=R2⋅i=R2v

R1+R2

v2=R2

R1+R2

v

y

v1=R1

R1+R2

v

En general para N resistencias conectadas en serie: Figura Nº 11

v1=R1

R1+R2+.. .+RN

v ⇒ v X=RX

∑ j=1

NRj

v

DIVISIÓN DE CORRIENTE: Este es uno de los muchos casos de dualidad, en donde se encuentra que los

resultados de un circuito en paralelo son iguales a los de un circuito en serie si las fuentes de voltaje se sustituyen

por fuentes de corriente y las resistencias por conductancias. La división de corriente sólo se aplica a conductancias

(o resistencias) conectadas en paralelo, y permite relacionar directamente la corriente total aplicada con la corriente

de una resistencia (o conductancia). Al circuito de la figura Nº 12 se le aplicará la división de corriente.

i2=G2⋅v=G2i

G1+G2

i2=G2

G1+G2

i

e

i1=G1

G1+G2

i

+ v1 -+v2-

+

v

-

i

R2

R1

+

v

-

i

i1 i2

G2G1

6

+v3-

i1 i2

Req 20

40

2

24050125120 mA

iL

vL

iLsc=vs/Rsv

vLoc=vs

Fuenteideal

Fuentereal

+vL-

iL

RL

Rsv

+

-vs


En general para N conductancias conectadas en paralelo: Figura Nº 12

i1=G1

G1+G2+.. .+GN

i ⇒ iX=GX

∑ j=1

NGj

i

Si se desea trabajar con resistencias, las relaciones quedarían:

i1=R2

R1+R2

i

e

i1=R1

R1+R2

i

, y

para N resistencias conectadas en paralelo:

i1=

1R1

1R1

+1R2

+.. .+1RN

i ⇒ iX=

1RX

∑ j=1

N 1R j

i

PRÁCTICA: En el circuito de la figura Nº 13: a) use los métodos de reducción de resistencias para hallar Req; b)

use división de corriente para calcular i1 e i2 c) use división de voltaje para encontrar v3.

Figura Nº 13

6 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES

En los ejemplos anteriores se ha trabajado con fuentes ideales, ahora revisaremos algunos

aspectos de las fuentes reales. La transformación de fuentes consiste en encontrar una fuente equivalente, se

puede aplicar a fuentes dependientes e independientes, sin embargo en el caso de las dependientes no es de

mucha utilidad.

En la figura Nº 14a se aprecia el circuito de una fuente real de voltaje, y en la 14b las características de

salida de una fuente real y una ideal.

Figura Nº 14a Figura Nº 14b

Para encontrar la relación entre vL e iL se encuentra utilizando la LVK y la ley de Ohm al circuito de la figura

7

2

+

-

6 V23 A

iL

vL

iLsc=is

vLoc=Rsiis

Fuente ideal

Fuentereal

+vL-

iL

RLRsiis


14a.

vL=vS−RSV iL

; recordando que para un circuito abierto RL = ∞ e iL = 0 y

vLoc=vS

; y para un corto

circuito vL = 0, RL = 0 e

iLsc=vs

R sv

=imax

; este valor está limitado por la resistencia interna de la fuente.

En la figura Nº 15a se aprecia el circuito de una fuente real de corriente, y en la 15b las características de

salida de una fuente real y una ideal.

Figura Nº 15a Figura Nº 15b

Para encontrar la relación entre vL e iL se encuentra utilizando la LCK y la ley de Ohm al

circuito de la figura 14a.

iL=iS−v L

Rsi

; recordando que para un circuito abierto RL = ∞, iL = 0; entonces el

voltaje de circuito abierto es:

vLoc=R si is

y para un corto circuito vL = 0, RL = 0 e iLsc = is .

Al observar las gráficas, se observa que tienen el mismo comportamiento, por lo que podemos encontrar

fuentes equivalentes, de forma tal, que una fuente de voltaje pueda ser sustituida por una corriente y viceversa,

mantenimiento el mismo comportamiento para el resto del circuito.

Es importante resaltar que las fuentes prácticas son equivalentes sólo de las terminales de carga hacia

afuera; internamente no son equivalentes, si usted debe calcular la potencia entregada por una fuente y encontró

un equivalente, deberá regresarla a su configuración original para poder encontrar los datos pedidos.

Para transformar las fuentes prácticas, debemos comparar los voltajes de circuito abierto y las corrientes de

corto circuito en ambas fuentes; para el voltaje de circuito abierto,

vLoc=vs=R si is

, y para la corriente de corto

circuito,

iLsc=vs

Rsv

=is

; por lo tanto,

R si=R sv=Rs y v s=R s is

. En la figura Nº 16 se aprecian dos fuentes que son equivalentes.

Figura Nº 16, Fuentes equivalentes

8


7 ASOCIACIÓN DE FUENTES

Un circuito puede tener varias fuentes de excitación conectadas en serie, en paralelo o de forma mixta, para

determinar la fuente equivalente de una asociación de fuentes ideales y reales, se deben seguir los siguientes

pasos:

7.1 IDEALES DE VOLTAJE

Cuando dos o más fuentes ideales de tensión se conectan en serie, el voltaje resultante es igual a la suma

algebraica de los voltajes de cada una de las fuentes. Cuando la conexión se realiza en paralelo, los voltajes de las

fuentes deben de ser iguales.

7.2 IDEALES DE CORRIENTE

Cuando dos o más fuentes ideales de corriente se conectan en paralelo, la corriente resultante es igual a la

suma algebraica de las corrientes de cada una de las fuentes. Cuando la conexión se realiza en serie, las corrientes

de las fuentes han de ser iguales.

7.3 REALES DE VOLTAJE

En serie: el voltaje equivalente se obtiene del mismo modo que en las fuentes ideales y la

resistencia equivalente como suma de las resistencia de cada fuente puesto que están en serie.

En paralelo: se transforman en fuentes de intensidad y se opera como se indica más abajo.

7.4 REALES DE CORRIENTE

En serie: se transforman en fuentes de tensión y se opera como se ha indicado más arriba.

En paralelo: la intensidad equivalente se obtiene del mismo modo que en las fuentes ideales y la

resistencia equivalente como la inversa de la suma de las inversas de las resistencias de cada

fuente puesto que están en paralelo.

7 –TRANSFORMACIÓN DELTA ESTRELLA

En algunos casos no se puede reducir una red de resistencias utilizando directamente los equivalentes en

serie o en paralelo, en estos casos se debe utilizar la transformación delta (pi o triángulo) a estrella (o te ). Suponga

que tiene redes de resistencias como las mostradas en las figuras Nº 17

a,b,c y d, si son vistas desde las cuatro terminales marcadas 1, 2, 3 y 4, se

aprecia que no están ni en serie ni en paralelo, por lo que deben ser reducidas

con la transformación delta-estrella

9

R340

R2

20

R1

10


Figura N° 17, Red en estrella o T Red en Delta o en Pi

En la figura N° 18 se muestra un circuito con las dos redes simultáneamente, diferenciando una de la otra

mediante la utilización de números y letras tal como se hizo en la figura N° 17. A la figura N° 18, le podemos aplicar

la conversión -Y ó la Y -.

Figura N° 18, Superposición de redes Y y como una guía en la trasformación

de una a la otra.

Conversión delta a estrella ( - Y) Se utiliza cuando es más conveniente trabajar con una red en estrella

en un lugar donde el circuito contiene una configuración en delta. Tomando la figura Nº 18 como base, las

resistencias de la estrella, calculadas a partir de la delta existente, se calculan con las siguientes fórmulas:

R1=Rb Rc

Ra+Rb+Rc

; R2=Ra Rc

Ra+Rb+Rc

; R3=Ra Rb

Ra+Rb+Rc

De las ecuaciones se deduce la siguiente regla de conversión: Cada resistor en Y es el producto de los

resistores en las dos ramas Δ adyacentes, dividido por la suma de los tres resistores en Δ.

Conversión estrella a delta (Y - ) Se utiliza cuando es más conveniente trabajar con una red en delta en

un lugar donde el circuito contiene una configuración en estrella. Tomando la figura Nº 18 como base, las

resistencias de la delta, calculadas a partir de la estrella existente, se calculan con las siguientes fórmulas:

Ra=R1 R2+ R2 R3+R1 R3

R1

; Rb=R1 R2+R2 R3+R1 R3

R2

; Rc=R1R2+R2R3+R1 R3

R3

De las ecuaciones se deduce la siguiente regla de conversión: Cada resistor en Δ es la suma de todos los

productos posibles de los resistores en Y, tomados de dos en dos, dividido entre el resistor opuesto en Y.

PRÁCTICA: Transforme la red estrella de la figura Nº 19 en una red delta y nuevamente a una red estrella.

10


Determine Rab e i.

+

-

100 V

b

a 13

5030

10

20

24

iiiiiiiiiii

11

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