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CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
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Il pdf di questa lezione e scaricabile dal sito
http://www.ge.infn.it/∼prati/didattica/
March 7, 2018
CINEMATICA E PUNTO MATERIALE: CONCETTI
La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente
dalle cause che lo generano e indipendentemente dalle pro-
prieta del mezzo in cui il moto avviene.
Si definisce punto materiale un corpo la cui massa va consi-
derata, ma le cui dimensioni risultano trascurabili rispetto
alle altre lunghezze in gioco, come ad esempio la distanza
che lo stesso corpo percorre durante il suo moto. Di un
corpo trattato nello schema di punto materiale vanno inoltre
ignorati eventuali moti rotazionali.
2
POSIZIONE DI UN PUNTO MATERIALE
Si puo individuare la posizione del punto materiale P nello
spazio fissando un’origine O ed assegnando un vettore r,
detto raggio vettore, che parte da O ed arriva su P .
Con l’introduzione di una terna di assi carte-
siani di origine O, la posizione di P e indi-
viduata dalle 3 coordinate cartesiane (x, y, z)
di P , che si identificano con le componenti
del raggio vettore r in rappresentazione carte-
siana
r = (x, y, z) . (1)
3
LEGGE ORARIA DEL MOTO
Se P si muove, i valori delle sue coordinate cambiano con il
tempo.
Si puo descrivere in maniera semplice il moto di P se si as-
segna la dipendenza temporale della terna (x, y, z) mediante
le 3 funzioni del tempo t
x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) . (2)
L’insieme delle (2) e detto legge oraria del moto di P . In
notazione vettoriale la legge oraria si scrive r = r(t).
4
TRAIETTORIA
Si definisce traiettoria l’insieme dei punti dello spazio esplo-
rati da P durante il suo moto.
Nota la legge oraria r = r(t) del moto di P , la traiettoria e
rappresentata da tutte le terne (x, y, z) di valori di coordinate
che si ottengono dalle (2) al variare del tempo t.
In linguaggio geometrico la traiettoria e una curva nello
spazio 3D, curva che viene assegnata in forma parametrica
dalle (2). In questo caso il parametro e rappresentato dal
tempo.
5
SPOSTAMENTO
Si assegni una base di tempo individuata dagli istanti t1 e
t2, con t2 = t1 + ∆t e ∆t > 0. Nota la legge oraria per il
moto di P , si avra r1 = r(t1) e r2 = r(t2).
Si definisce spostamento di P sulla
base di tempo individuata da (t1, t2)
il vettore ∆r ottenuto dalla dif-
ferenza
∆r = r(t2)− r(t1) = r2 − r1 . (3)
Si avra ∆r = (∆x,∆y,∆z) dove, ad esempio, ∆x sara ri-
cavabile dalla legge oraria come ∆x = x(t2)− x(t1).
6
VELOCITA VETTORIALE MEDIA
Si consideri la base di tempo (t1, t2). Su questa base di
tempo si definisce v, velocita vettoriale media di P , il vettore
ottenuto dal rapporto
v =r(t2)− r(t1)
t2 − t1=
∆r
∆t. (4)
In termini di componenti cartesiane la velocita vettoriale
media si esprime come v = (vx, vy, vz), dove, ad esempio,
vx = ∆x∆t . Il vettore v e diretto lungo la secante alla traiet-
toria che passa per le posizioni di P individuate da r1 e r2
ed e orientato da 1 verso 2.
Nel S.I. la velocita (... di qualunque tipo) si misura in m/s.
7
VELOCITA ISTANTANEA
Per un’assegnata legge oraria il valore assunto dalla velocita
vettoriale media v dipende dai valori di t1 e t2 (= t1 + ∆t).
Si puo vedere che, per valori di ∆t tendenti a zero, v tende
ad un valore ben preciso che dipende solo da t1. Possiamo
considerare t1 come variabile indipendente e chiamarla t.
Si definisce velocita istantanea il vettore v(t) dato da
v(t) = lim∆t→0
∆r
∆t(5)
di componenti (vx, vy, vz) =(
dx(t)dt , dy(t)
dt ,dz(t)
dt
)dove con dx(t)
dt
si indica la derivata di x(t) rispetto al tempo t.
8
La velocita istantanea v(t) puo essere pensata come una
valutazione della velocita vettoriale media v su di una base
di tempo brevissima a cavallo dell’istante t.La velocita istantanea v(t) e un vet-
tore che e orientato come la tangente
alla traiettoria nel punto occupato da P
all’istante t.
Il modulo v(t) di v(t) viene chiamato
velocita scalare ed e dato da
v(t) =
√√√√√dx(t)
dt
2
+
dy(t)
dt
2
+
dz(t)
dt
2
. (6)
L’espressione (6) per la velocita scalare e utile per il calcolo
dello spazio percorso da P lungo la traiettoria.9
Nell’intervallo temporale infinitesimo dt il punto P compie
lungo la traiettoria il percorso infinitesimo dl dato da
dl = v(t) dt . (7)
Dalla precedente relazione si puo ricavare mediante inte-
grazione il percorso l1,2 compiuto da P lungo la traiettoria
tra gli istanti t1 e t2. Si imposta l’integrale
l1,2 =∫ 2
1dl =
∫ t2t1v(t) dt , (8)
la cui valutazione risulta spesso difficile. In seguito verra
applicato un metodo grafico. Va comunque sottolineato che
nel caso di traiettoria chiusa l’integrale (8) da un risultato
generalmente non nullo mentre il corrispondente valore di
|∆r| e nullo. In questo caso anche v e nulla.10
ACCELERAZIONE ISTANTANEA
Dalla legge oraria r = r(t) si e arrivati ad introdurre, per
mezzo di derivazione rispetto al tempo, un’altra grandezza
vettoriale, la velocita istantanea v(t). Il procedimento puo
essere a sua volta applicato a v(t) per ottenere un’altra
grandezza vettoriale che e ricavata dalle variazioni di v e
che interviene nelle leggi della dinamica.
Si definisce accelerazione istantanea il vettore a(t) dato da
a(t) = lim∆t→0
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t= lim
∆t→0
∆v
∆t(9)
di componenti (ax, ay, az) =(
dvx(t)dt ,
dvy(t)dt , dvz(t)
dt
)dove con
dvx(t)dt si indica la derivata di vx(t) rispetto al tempo t.
11
Poiche si ha vx(t) = dx(t)dt , si ha
ax(t) =dvx(t)
dt=
d
dt
dx(t)
dt
=d2x(t)
dt2, (10)
scrittura che viene letta: “la componente x dell’accelera-
zione istantanea e la derivata seconda di x(t) rispetto al
tempo”. Relazioni analoghe valgono per le componenti y e
z dell’accelerazione.
Nel S.I. l’accelerazione si misura in m/s2 = m s−2.
L’accelerazione ha in generale componenti sia lungo la tan-
gente alla traiettoria (at), sia lungo la normale alla traiet-
toria (an). Se t e n sono rispettivamenti i versori lungo la
tangente e lungo la normale alla traiettoria si scrive
a = at t + an n . (11)
12
La componente tangenziale dell’accelerazione e data dall’e-
spressione
at(t) =dv(t)
dt, (12)
in base alla quale at dipende dalla variazione temporale della
velocita scalare v(t) definita dalla (6).
Questa componente dell’accelerazione e nulla per tutti i
moti uniformi, cioe per i moti che avvengono con velocita
scalare v costante e questo indipendentemente dalla forma
della traiettoria.
13
La componente normale dell’accelerazione e data dalla for-
mula
an(t) =[v(t)]2
R, (13)
dove R e il raggio di curvatura della traiettoria.Questa componente dell’accelera-
zione dipende dal quadrato della ve-
locita scalare e dalla forma della
traiettoria attraverso il raggio di cur-
vatura e punta verso il suo centro di
curvatura (esempio in figura).
Nei moti rettilinei, per i quali R e
infinito, si ha an = 0.
14
TIPI DI MOTO
La legge oraria r = r(t) del moto di un punto materiale P e
in grado di descrivere la cinematica di P in tutto lo spazio.
Tuttavia esistono situazioni in cui il moto si sviluppa in due
sole dimensioni (moto 2D che ha luogo in un piano) oppure
addirittura in una sola dimensione (moto 1D che ha luogo
lungo una retta). In questi casi si parla rispettivamente di
moti piani o di moti rettilinei.
Un’opportuna orientazione degli assi cartesiani permette di
descrivere i moti piani con l’andamento temporale di due
sole coordinate (ad esempio x = x(t) e y = y(t)) mentre nel
caso dei moti rettilinei consente di assegnare la dipendenza
da t di una sola coordinata (x = x(t), ad esempio).15
MOTO RETTILINEO UNIFORME
Si consideri il moto 1D dato da
x(t) = x0 + vx0 t (14)
la cui velocita vx(t) e data da
vx(t) =dx(t)
dt= vx0 = costante . (15)
Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse
x) a velocita costante vx0 e che viene quindi denominato
moto rettilineo uniforme. La sua accelerazione e nulla poiche
ax(t) =dvx(t)
dt=
dvx0
dt= 0 . (16)
16
Il grafico di sinistra riporta l’andamento lineare di x(t) asse-
gnato dalla (14) quando vx0 > 0. La pendenza del grafico e
costante e questo implica una derivata costante, quindi una
velocita costante. Questo e evidente dal grafico di destra
che riporta l’andamento (costante) della velocita vx con t.
L’area A = vx0 t sottesa tra il grafico della velocita vx e
l’asse t tra t = 0 e t = t da lo spazio ∆x = x(t) − x(0)
percorso durante lo stesso intervallo di tempo [vedere (14)].17
MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
Si consideri il moto 1D dato da
x(t) = x0 + vx0 t+1
2ax0 t2 (17)
la cui velocita vx(t) e data da
vx(t) =dx(t)
dt= vx0 + ax0 t (18)
e la cui accelerazione ax(t) e data da
ax(t) =dvx(t)
dt= ax0 = costante . (19)
Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse x)
con accelerazione costante ax0 e che viene quindi denomi-
nato moto rettilineo uniformemente accelerato.18
Le quantita x0 e vx0 sono i valori assunti all’istante t = 0
rispettivamente dall’ascissa x e dalla velocita vx. Nel lin-
guaggio matematico in cui le leggi orarie sono le soluzioni
di equazioni differenziali le quantita x0 e vx0 sono dette
condizioni iniziali. Nel caso della legge (14) basta solo x0
perche la velocita e costante.
A sinistra e riportato il grafico
(t, vx(t)) per vx0 > 0 e ax0 > 0.
L’area A, calcolabile come area di
un trapezio di altezza t e basi vx0 e
vx0 + ax0 t, vale vx0 t+ 12 ax0 t2.
Questa espressione coincide con ∆x = x(t) − x(0) che e la
variazione di ascissa nell’intervallo (0, t) secondo la (17).
19
Viene trattata la situazione cinematica del moto verticale di
un corpo lanciato verso l’alto (vz0 > 0 con l’asse z orientato
verso l’alto; az0 = −g e z0 = 0). Le (17) e (18) diventano
z(t) = vz0 t−1
2g t2 ; vz(t) =
dz(t)
dt= vz0 − g t . (20)
A sinistra e riportato il grafico
(t, vz(t)) corrispondente alle (20). Il
tempo t∗ da l’istante in cui la ve-
locita vz si annulla. La soluzione
dell’equazione vz(t) = 0 da
t∗ =vz0
g. (21)
L’area A da la massima altezza raggiunta zmax =v2z0
2 g.
20
Il grafico della legge oraria z = z(t)
e riportato qui accanto. Il tempo
totale di “volo” di P (tempo di
salita + tempo di ricaduta) vale
2 t∗ = 2 vz0g .
I risultati ottenuti valgono anche per la caduta (con velocita
iniziale nulla) di un corpo da un’altezza h (→ zmax). Dalla
relazione zmax =v2z0
2 g, ponendo zmax = h, si ottiene
v∗z =√
2 g h velocita′ di impatto al suolo (22)
e, usando la (21), il tempo di caduta (= tempo di salita)
t∗ =
√√√√2 h
g. (23)
In tutti i moti rettilinei si ha an = 0 poiche R =∞.21
ESERCIZIO
Dall’alto di un ponte che attraversa una profonda e selvaggia
gola di montagna un escursionista lascia cadere un sasso
(istante t = 0) e cronometra il tempo di caduta. Egli misura
t∗ = 6.5 s. Si trascuri l’attrito dell’aria.
Determinare la velocita di impatto del sasso sul fondo della
gola.
Determinare l’altezza del ponte rispetto al fondo della gola.
Sapendo che il suono viaggia alla velocita vs = 333 m/s,
determinare dopo quanto tempo (rispetto all’istante t =
0) l’escursionista ode il fragore dello schianto del sasso sul
fondo della gola.22
MOTO DEI GRAVI
Le leggi della dinamica prevedono che un punto materiale
in moto nello spazio 3D sotto l’azione della gravita descriva
una traiettoria piana, il cui piano e individuato dalla velocita
iniziale e dalla direzione di g, l’accelerazione di gravita. Si
tratta di un moto in 2D ad accelerazione costante. Per
descriverlo bastano 2 soli assi cartesiani.
La legge oraria di questo moto, espressa mediante l’asse
orizzontale x e l’asse verticale (ascendente) z si puo scrivere
come segue
x(t) = vx0 t , z(t) = vz0 t−1
2g t2 , (24)
dove, per semplicita, si e posto x(0) = z(0) = 0.23
La legge oraria descritta dalle (24) e la composizione di un
moto orizzontale a velocita costante vx0 e di un moto ver-
ticale uniformemente accelerato. L’accelerazione g = −g k
e diretta lungo l’asse z e verso il basso.
Se θ0 e l’angolo che la velocita iniziale v0 forma con l’asse
x (orizzontale) si avra vx0 = v0 cos(θ0) e vz0 = v0 sin(θ0).
Pertanto si potranno riscrivere le (24) in funzione del modulo
v0 e dell’angolo θ0 come segue
x(t) = v0 cos(θ0) t , z(t) = v0 sin(θ0) t−1
2g t2 . (25)
L’equazione della traiettoria puo essere ottenuta ricavando
il tempo t dalla prima equazione come t = xv0 cos(θ0) e sosti-
tuendo questa espressione nella seconda equazione.
24
Si ottiene l’equazione di una parabola
z = x tan(θ0)−x2 g
2 v20 cos2(θ0)
, (26)
le cui intersezioni con l’asse x
si ottengono ponendo z = 0
nella (26).
Si hanno due soluzioni, x1 = 0 e x2 =v2
0 sin(2 θ0)g . La mas-
sima altezza zmax si ha per x = 12 x2. In accordo con il
risultato del caso 1D si ottiene
zmax =v2
0 sin2(θ0)
2 g=v2z0
2 g. (27)
25
ESERCIZIO
Un arciere ha un arco che lancia frecce con velocita iniziale
v0 = 60 m/s. Si trascurino gli effetti dell’attrito dell’aria sul
moto delle frecce.
Determinare l’inclinazione θ0 che egli deve dare alla frec-
cia affinche questa raggiunga la quota piu alta possibile e
determinare questo valore massimo.
Determinare nelle condizioni precedenti il tempo totale di
volo della freccia.
La gittata viene definita come x2 − x1. Determinare l’alzo
che l’arciere deve dare alla freccia per ottenere la massima
gittata. Determinare questo valore massimo ed il tempo di
volo della freccia in queste condizioni.26
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Il moto circolare uniforme e quello di punto materiale P
che percorre con velocita v costante in modulo una cir-
conferenza di raggio r. Le coordinate cartesiane di P sono
xP = r cos(α), yP = r sin(α) e in questo moto l’angolo
α varia linearmente con il tempo secondo la legge α = ω t,
dove ω e la velocita angolare (costante; [ω] = rad s−1).
La legge oraria del moto in coordinate cartesiane e
x(t) = r cos(ωt) , y(t) = r sin(ωt) .
(28)
In figura n e t sono rispettivamente
il versore normale e quello tangente.27
In rappresentazione cartesiana si ha
n = (cos(ωt) , sin(ωt)) ; t = (− sin(ωt) , cos(ωt)) . (29)
E facile verificare che n = t = 1 e t · n = 0.
Dalle leggi (28) si ricava per derivazione la velocita
v = (−ω r sin(ωt) , ω r cos(ωt)) , (30)
che, grazie alle (29), puo essere scritta come v = ω r t.
Se ne deduce che la velocita e ovviamente diretta lungo la
tangente t e che la velocita scalare vale
v = |ω| r . (31)
28
Mediante derivazione della velocita data dalle (30) si ottiene
l’accelerazione
a =(−ω2 r cos(ωt) , − ω2 r sin(ωt)
), (32)
che, grazie alle (29), puo essere scritta come a = −ω2 r n.
Se ne deduce che l’accelerazione e diretta lungo la normale
n, ma con verso opposto. Per questo tipo di moto, avente
velocita scalare costante, esiste solo la componente normale
dell’accelerazione, chiamata accelerazione centripeta. Essa
punta verso il centro ed il suo modulo, grazie anche alla
(31), puo essere scritto come
acentr = ω2 r =v2
r. (33)
29
PERIODO E FREQUENZA
Si definisce periodo T del moto circolare uniforme il tempo
impiegato da P a percorrere l’intera circonferenza. Usando
anche la (31) si ha
T =2 π r
v=
2 π
ω. (34)
Il periodo si misura in secondi ([T ] = s). La frequenza f
viene definita come l’inverso del periodo. Si ha
f =1
T=
ω
2 π. (35)
La frequenza indica il numero di giri eseguiti da P nell’unita
di tempo. La frequenza si misura in secondi−1 = Hertz ([f ] =
s−1 = Hz) e va distinta dalla velocita angolare ω ([ω] =
rad s−1).30
MOTO ARMONICO
La proiezione su di un diametro (ad esempio sull’asse x)
di un moto circolare uniforme descrive un moto armonico.
Pertanto il moto rettilineo (1D) assegnato dalla legge
x(t) = r cos(ωt) (36)
e un moto armonico. Per un moto armonico il periodo T e la
frequenza f sono le stesse del corrispondente moto circolare
uniforme, mentre la quantita ω viene chiamata pulsazione
anziche velocita angolare.
I valori di x previsti dalla (36) variano tra −r e +r: alla
quantita r si da il nome di ampiezza del moto armonico.
Nel contesto cinematico si ha [r] = m.31
La posizione x = 0 viene deno-
minata centro di oscillazione. La
velocita del punto P che descrive
il moto armonico e data da
vx(t) = −ω r sin(ωt) (37)
ed e in quadratura di fase rispetto ad x(t). L’accelerazione
di P e data da
ax(t) =d2x(t)
dt2= −ω2 r cos(ωt) = −ω2 x(t) (38)
e risulta in opposizione di fase rispetto ad x(t). IL fatto
che l’accelerazione sia proporzionale ed abbia segno opposto
rispetto allo spostamento di P dal centro di oscillazione rap-
presenta una proprieta caratteristica del moto armonico.32