Calcolo vettoriale, cinematica e dinamica del puntomateriale.

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Ripasso calcolo vettoriale

Con riferimento alla Figura 1 si considerino i seguenti casi:

1. Nota la velocita dell’aereo v pari a 500 km/h e sapendo che esso e soggetto ad un ventolaterale avente velocita w pari a 40 km/h, calcolare la velocitA effettiva del veicolo (moduloe direzione).

2. Scomporre la forza F pari a 70 N secondo le sue componenti lungo x, y sapendo che l’angoloα e pari a 20o.

3. Calcolare la risultante delle forze applicate all’oggetto in figura sapendo che F1=200 N,F2=150 N e α=70o.

4. Nota la velocita effettiva dell’imbarcazione v=5 nodi, inclinata di 10o rispetto al Nord, esapendo che la corrente ha una velocita c pari a 1 nodo in direzione Est, calcolare la rottaimpostata dall’imbarcazione

5. Calcolare il lavoro necessario per muovere di 2m lungo un piano inclinato (α = 30o) un caricodi 20 kg.

6. Calcolare il valore della massa m2 da posizionare sulla bilancia per mantenerla in equilibrio,sapendo che: m1=2 kg, a = 0.35m e b=0.2m.

v

w

F

F

1

2

m1

m2

a b

x

y

v

c

F

1 2 3

654

Figure 1: Esercizi di calcolo vettoriale

1

2 Sciatore

Uno sciatore procede su un tratto di pista con pendenza del 6%. Nel suo moto lungo la pista eglipuo essere modellizzato come un punto materiale dotato di massa ms = 100kg. Sono noti:

• il coefficiente di penetrazione (drag) nell’aria dello sciatore Cd = 0.5;

• la superficie maestra (indicativa) dello sciatore S = 0.8 m2

Si vuole:

1. determinare la velocita a regime che raggiungera lo sciatore ipotizzando che il tratto a pen-denza 6% sia sufficientemente lungo (in presenza o meno della forza di resistenza aerodinam-ica).

2. Dopo aver raggiunto la velocita di regime, lo sciatore si immette su una pista rossa con pen-denza 26%. Determinare il punto in cui lo sciatore prende nuovamente contatto con la pista(dopo il salto), in presenza o meno della forza di resistenza aerodinamica).

(NB: densita dell’aria ρ= 1,13 Kg/m3)

Risultati

Ripasso calcolo vettoriale

1. Veff = 501 km/h, α = 4.6

2. Fx = 65.8 N, Fy = 23.9 N

3. F = 288 N

4. β = 11.36

5. L = 196 J

6. m2 = 3.5 Kg

Sciatore

Prendendo un sistema di riferimento oxy incentrato sul cambio di pendenza, sono riportate nelseguito le coordinate che rappresentano il punto di contatto con la pista dopo il salto dovuto alcambio di pendenza stesso:Aero: x = 10.39, y = −2.7No Aero: x = 10.56, y = −2.746

2

Cinematica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1

Il sistema in Figura 1 e costituito da un disco scanalato in grado di ruotareintorno al proprio asse e da corpo rigido collegato ad una molla al centro deldisco. Il corpo e libero di muoversi lungo la guida. Conoscendo la velocitaangolare del disco pari a ω = 1rad/s e la sua accelerazione pari a ω = 0.5rad/s2

(equiversa) ed essendo la velocita del corpo lungo la guida pari a V = sin(2t),si chiede di calcolare l’equazione di moto di quest’ultimo. Si calcoli inoltre ilvettore accelerazione al tempo t = 3s

w

v

Risultati

1. ax = 3.43m/s2

2. ay = −3.93m/s2

1

2 Esercizio 2

Il sistema in Figura 2 e costituito da un corpo indeformabile di lunghezza l=0.7m, le cui estremita A, B sono vincolate a muoversi lungo due rette di direzionenota. Nell’istante considerato, il corpo e orientato di un angolo α=30o rispettoall’orizzontale. La velocita del punto A e nota ed e pari a vA=5 m/s direttaverso sinistra, mentre l’accelerazione e aA=0.3 m/s2.

g

a

B

A aAvA

Sapendo che il piano su cui scorre il punto B e inclinato di un angolo γ=45o

si chiede di calcolare:

1. i g.d.l. del sistema;

2. la velocita e l’accelerazione del punto B (vB , aB);

3. la velocita e l’accelerazione angolare del corpo (ω, ω);

Si determinino le soluzioni facendo riferimento al centro d’istantanea ro-tazione, alla rappresentazione vettoriale con numeri complessi e ai moti relativi.

Risultati

1. n=1 g.d.l.

2. vB=4.48 m/s

3. aB=20 m/s2

4. ω = 5.2 rad/s

5. ω = 7.5 rad/s2

2

Cinematica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1

Il rotismo rappresentato in Figura 1 e costituito da una guida circolare esternadi velocita angolare nota ω = 1rad/s. Un disco ad essa concentrico, di raggioR2 = 0.5m, e vincolato a terra e un ulteriore disco di raggio R1 = 0.25mrotola su di esso senza strisciare, grazie alla rotazione della guida esterna (senzastrisciamento). Si chiede di trovare la velocita angolare dell’asta congiungente icentri dei due dischi.

Figure 1: Rotismo

Risultati

1. ω = 0.67rad/s

1

2 Esercizio 2

Il meccanismo rappresentato in Figura 2 e costituito da un’asta di lunghezzavariabile congiungente le due cerniere A e B (AB = 1 m). La cerniera in A eanche centro di un disco di raggio noto R = 0.1 m di cui sono note velocita edaccelerazioni angolari: Ω = 10 rad/s e Ω = 10rad/s2. Si chiede di trovare lavelocita e accelerazione angolare dell’asta AB.

Figure 2: Meccanismo

Risultati

1. ω=0.5 rad/s

2. ω = 1.36rad/2

2

Cinematica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Cinematica dell’arto superiore

In Figura 1 e mostrato un giocatore di tennis nell’esecuzione di una battuta.Con le necessarie semplificazioni del caso, l’arto superiore potrebbe essere mod-ellizzato come un sistema composto da due corpi rigidi (braccio+avambraccio)collegati tra loro da giunti rotoidali, ossia cerniere, rappresentativi delle artico-lazioni di spalla e del gomito (Fig.2).

Figure 1: Battuta

a

A

B

O

w,w11

w,w22

Figure 2: Schema Cinematico

Del sistema sono note le lunghezze degli elementi (OA=AB=0.5m), il loroorientamento (α = 30o), le velocita e le accelerazioni angolari dei due corpi(ω1 = 2rad/s, ω1 = 5rad/s2, ω2 = 3rad/s,ω2 = 6rad/s2). Si calcoli:

1. la velocita assoluta della mano vB ;

2. l’accelerazione assoluta della mano aB ;

Risultati

1. vB = 3.12m/s

2. aB = 14.15m/s2

1

2 Esercizio 2 - Leg-press

In figura 3 e rappresentato un attrezzo sportivo utilizzato nella preparazioneatletica degli sciatori (leg-press).

Figure 3: L’attrezzo Leg-press

Del sistema sono noti:

• massa e momento di inerzia baricentrico della coscia (mc = 6.5kg, Jc =0.11kgm2).

• massa e momento di inerzia baricentrico della gamba (mg = 2.6kg, Jg =0.04kgm2).

• la massa del piede mp = 1kg

• la massa dei pesi mm = 50kg

La velocita angolare della coscia, con il verso riportato in figura 4, e pari aω1 = 0.5rad/s. Considerando l’istante di moto considerato in figura disegnarelo schema cinematico del meccanismo. Successivamente si chiede di calcolare:

1. la velocita del piede (vB)

2. l’accelerazione del piede (aB), se ω1 = 1.2rad/s2 equiverso con ω1

3. l’accelerazione del piede (aB), se ω1 e costante

4. l’accelerazione aG del punto Gg

5. le forze di inerzia che agiscono sul sitema

2

Figure 4: Schema dell’arto inferiore e dell’attrezzo

Risultati

Sotto le seguenti ipotesi geometriche:

• α0 = 90o,

• β0 = 0o,

• l1 = 0.45m, l2 = 0.43m

I risultati sono:

1. vB = 0.326m/s

2. aB = 0.595m/s2

3. aB = −0.187m/s2

4. aG = (0.499i− 0.0975j)m/s2

3

Cinematica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Stepper

Il meccanismo di figura 1 rappresenta, in modo semplificato, uno stepper dapalestra. Le principali misure del sistema sono: O1P = O1Q=0.65m, O1A=0.534m,O1B=0.476m, α = 8o, O1AO2 = 60o. Sono note, con i versi riportati in figura, lavelocita angolare ω1=0.7rad/s e l’accelerazione angolare ω1 = 4rad/s2 dell’asta1.

Figure 1: Schematizzazione di uno stepper

Considerando esclusivamente l’istante di moto rappresentato in figura, dis-egnare lo schema cinematico del meccanismo e calcolare:

1. la velocita angolare Ω e l’accelerazione angolare Ω del disco

2. la velocita angolare ω2 e l’accelerazione angolare ω2 dell’asta 2

Risultati

1. Ω = 9.34rad/s

2. Ω = 75.2rad/s2

1

2 Esercizio 2 - Protesi Ginocchio

In figura 2 e riportata la distribuzione delle forze scambiate dal piede con ilterreno nella fase di stanced della camminata, dall’appoggio del tallone finoall’ultima spinta con la punta del piede.

Figure 2: Azioni esercitate durante la camminata

In figura 3 e riportata una protesi per amputati di ginocchio sviluppatadall’Universita della California, rappresentata schematicamente dal modello cin-ematico di figura 4. La protesi e di tipo policentrico, cioe l’articolazione cheriproduce ha un centro di istantanea rotazione (C.I.R.) mobile in funzione dellaposizione assunta dalla protesi stessa. Tale accorgimento e utilizzato per facil-itare il cammino, rendendo il movimento piu naturale e piu stabile. La posizioneiniziale del sistema e quella raffigurata in figura 4 in cui si consideri il segmentosolidale alla coscia vincolato a terra (telaio A0B0). Il valore iniziale dell’angolodi flessione del ginocchio sia φ = 0o.

Per la posizione rappresentata in figura, determinare la velocita e l’accelerazioneangolare delle aste A0A e B0B e la velocita e accelerazione del punto G (essendonoti la velocita angolare della biella ωg = 5.1rad/s e la sua accelerazione ango-lare ωg = 42.5rad/s2, entrambe in senso orario).

2.1 Risultati

1. ΩAOA = −9.66rad/s, ΩBOB = −9.98rad/s;

2. ΩAOA = −45.6rad/s2, ΩBOB = −17.6rad/s2;

2

Figure 3: Protesi policentricaFigure 4: Schema Cinematicoprotesi (coordinate espresse inmm)

3

Statica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Stabilita al ribaltamento di unagru

La gru in Figura 1 e appoggiata a terra mediante due stabilizzatori nei punti Ae B, posti a una distanza l l’uno dall’altro. La base della gru e costituita da uncarro cingolato di massa mb e baricentro simmetricamente disposto rispetto aglistabilizzatori. Per la messa in esercizio di tale apparecchiatura e indispensabilela verifica della stabilita al ribaltamento. Si definisce coefficiente di stabilita alribaltamento rispetto ad un determinato ciglio, ovvero il lato piu pericoloso delpoligono d’appoggio, il rapporto fra il momento stabilizzante, dato dai carichipermanenti ed il momento ribaltante, dato dai carichi da sollevare.

Figure 1: Gru

1

La normativa vigente (UNI 6580-69) per la verifica della stabilita al ribalta-mento in condizioni statiche delle gru a torre per cantieri civili prevede che ilcoefficiente di stabilita al ribaltamento sia maggiore del valore cs = 1.6. Sapendoche m1 = 2180kg e il carico utile sollevabile quando il carrello della gru e inposizione x1 e che la massa del carrello e ma = 200kg, calcolare:

1. Il coefficiente di stabilita al ribaltamento nella condizione di carico de-scritta

2. Il valore delle reazioni vincolari agenti sugli stabilizzatori A e B

3. La posizione del baricentro della gru

4. Il carico di ribaltamento (il valore di m2 per cui cs = 1.6) con il carrelloin posizione x2

Nella soluzione si considerino i seguenti valori numerici:mb = 12000 kg massa del carro cingolatomc = 17500 kg massa del contrappesomt = 8500 kg massa della torremb1 = 1500 kg massa del tratto di braccio fissomb2 = 1000 kg massa del tratto di braccio mobilel = 5 m distanza tra gli stabilizzatoric = 0.5 m distanza tra il baricentro del contrappeso e il ciglio At = 1 m distanza tra baricentro della torre e ciglio Bb1 = 7.5 m posizione del baricentro del tratto di braccio fissob2 = 22.5 m posizione del baricentro del tratto di braccio mobilex1 = 18 m prima posizione di caricox2 = 30 m seconda posizione di carico

Risultati

1. Ms = 850037Nm, Mr = −331480Nm, Cs = 2.56

2. RB = 316157N , RA = 103711N

3. Xg = 3.77m

4. m2 = 1915kg

2

2 Esercizio 2 - Carroponte

Il carroponte riportato in Figura 2 e del tipo monotrave. Tale macchina vienegeneralmente installata con l’obiettivo di movimentare masse elevate all’internodi un capannone. Il sistema e costituito da una struttura in acciaio di lunghezzaL = 10m alle cui estremita sono posizionate dei carrelli che permettono alsistema di scorrere lungo due binari paralleli posizionati lungo il capannone.Lungo la trave principale e posizionato un paranco montato su di un carrellomotorizzato che garantisce il posizionamento del gancio in un punto qualsiasidello spazio di lavoro. Sia x la coordinata che identifica la posizione del carrellolungo la trave, avendo supposto x = 0 la posizione corrispondente al punto dicontatto tra un carrello ed il corrispondente binario.

Figure 2: Carroponte

Nel caso in cui il paranco stia sollevando una massa mt = 5000kg, perciascuna delle posizioni x1 = 1m, x2 = 5m e x3 = 7m calcolare:

1. La forza scambiata tra i carrelli laterali e le rotaie

2. Per il solo caso x = x2 calcolare le reazioni vincolari nel caso in cui la massavenga sollevata verso l’alto con un’accelerazione pari a a = 0.5m/s2

Per la soluzione si utilizzino i seguenti valori numerici:mc = 3500 kg massa della trave principalemq = 250 kg massa del carrellomg = 20 kg massa del ganciomt = 5000 kg massa trasportata

3

Risultati

1. con x = 1m (RA = 63941N , RB = 24545N)con x = 5m (RA = 44243N , RB = 44243N)con x = 7m (RA = 34394N , RB = 54092N)

2. RA = 35147N , RB = 55849N

4

3 Esercizio3 - Dinamica longitudinale di un ve-icolo ferroviario

Un convoglio ferroviario e costituito da 14 carrozze e da due locomotive rispet-tivamente posizionate in testa ed in coda al convoglio stesso. Ogni locomotivae provvista di 4 motori asincroni pilotati da inverter. Si ipotizzi, in primaapprossimazione, che la potenza complessiva di tutti i motori installati sulle lo-comotive sia rappresentata dalla seguente equazione:

Wtot = FnV − kmV3

dove Wtot e la potenza complessiva, Fn = 400kN , v e la velocita del treno e kme una costante di valore pari a 45.13kg/m.Sapendo che le resistenze al moto del convoglio sono dovute alla forza aerodi-namica e all’azione degli attriti, calcolare:

1. il valore della potenza motrice massima.

2. l’andamento della forza motrice in funzione della velocita

3. il valore della massima forza motrice.

4. la velocita di regime del treno.

5. l’accelerazione massima del treno.

Per la soluzione si utilizzino i seguenti valori numerici:M = 640 ton massa complessiva del veicolofv = 0.008 coefficiente di attrito complessivoS = 7.8m2 sezione maestra del trenoCx = 1.05 Coefficiente aereodinamico longitudinaleρ = 1.25 kg/m3 densita dell’aria

Formulario:

Fatr = MgfvFaer = 1/2ρSCxV

2

Risultati

1. V = 54.35m/s = 196km/h, Wmax = 14.5MW

2. Fmot = Fn − kmV2

3. V = 0, Fmax = 400kN

4. Vregime = 83.4m/s

5. amax = 0.547m/s2

5

Dinamica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Apertura cancello

In figura 1 e mostrato lo schema cinematico di un cancello ad apertura automat-ica. Nel dettaglio, il cancello viene azionato da un attuatore idraulico a doppioeffetto in grado di esercitare una forza lungo la direzione del pistone stesso.

Figure 1: Schema cinematico di un cancello automatico

Del sistema sono note tutte le grandezze geometriche (OP = 3m, O1G = 2m,O1A = 1.5m, α = 15o), la velocita e l’accelerazione angolare del cancello paririspettivamente a ω = 1rad/s e ω = 1rad/s2 dirette come in figura 1. Sono noteinoltre le proprieta inerziali del cancello (m = 10kg, JG = 1.2kgm2). Si calcoli:

1. la velocita di allungamento de pistone vr

2. la massima forza F che il pistone deve essere in grado di generare pergarantire il movimento

3. le reazioni vincolari in O1 e O2

1

Risultati

1. vr = 0.39m/s

2. F = 106N

3. H1 = 122.5N (parallela all’asta O1A, verso sinistra)V1 = 7.5N (perpendicolare all’asta O1A, verso l’alto)T2 = 106N (parallela all’asta O2A)N2 = 0 (normale all’asta O2A)

2

2 Esercizio 2 - Oil Pump

In Figura 2 e rappresentata una pompa per l’estrazione del petrolio sulla ter-raferma. Tale sis- tema e azionato mediante un motore che, tramite una trasmis-sione a cinghia, mette in rotazione una manovella con una velocita costanteω1 = 2rad/s (in verso orario). Il bilanciere e animato di moto rotatorio con ve-locita angolare pari a ω2 = 0.5rad/s (in verso antiorario) ed accelerazione ω2 =0.1rad/s2 (in verso orario). Del sistema si considerino note tutte le grandezzegeometriche (AO1 = 0.65m, AB = 1.85m, BO2 = 1.9m), la massa e il momentod’inerzia baricentrico della manovella (mM = 2800kg, JM,G1 = 320kgm2), quellidel bilanciere (mB = 5200kg, JB,G2 = 4200kgm2), sapendo che il baricentrodella prima coincide col punto medio del corpo e quello della seconda con lacerniera a terra.

Figure 2: Pompa per estrazione del petrolio a terra

Per la configurazione in figura 3 (α = 45o) si chiede di calcolare:

1. le forze di inerzia che agiscono sul sitema

2. le reazioni vincolari

3. la coppia motrice da applicare ala manovella

3

Figure 3: Schema cinematico

Risultati

1. JB,G2ω2, mMω21O1G1

2. V01 = 25115NHO1 = 2574NVO2 = 50791NHO2 = 0

3. Cm = 6414Nm

4

Dinamica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Sbarra automatica

L’impianto di sollevamento rappresentato in figura e movimentato da un motorecon curva caratteristica nota, collegato ad una trasmissione ad assi ortogonalicon rendimento ηd = ηr = η e rapporto di trasmissione τ . All’uscita dellatrasmissione e collegata una puleggia di momento di inerzia baricentrico J1 eraggio R1. Sulla puleggia si avvolge senza strisciare una fune inestensibile lacui estremita si avvolge, a sua volta senza strisciare, su una seconda puleggiacostituita da una coppia di dischi concentrici e rigidamente collegati tra loro dimassa complessiva Md e momento d’inerzia baricentrico Jd, raggio esterno R1

ed interno R2. Il disco di raggio maggiore R1 rotola senza strisciare su un pianoorizzontale, si consideri un coefficiente di attrito statico pari a fs e la resistenzaal rotolamento tramite un coefficiente fv. Sul disco di raggio minore R2 siavvolge senza strisciare un ulteriore fune inestensibile collegata ad una massaM che striscia con coefficiente di attrito dinamico fd su un piano inclinato di unangolo α. Si chiede di considerare la condizione di moto con massa M in salitae di discutere per ciascun punto la condizione di moto diretto o retrogrado.

Figure 1: Schema MTU

1. Si determini la velocita angolare della coppia di dischi di massa Md incondizione di regime.

2. Partendo dalla condizione 1 si richiede di studiare il caso in cui istanta-neamente la coppia motrice Cm si annulli e di calcolare il tempo di arrestodel sistema.

3. Si effettui la verifica di aderenza della coppia di dischi di massa Md nellecondizioni del punto 2.

1

Dinamica del corpo rigido

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizio 1 - Motoslitta

Una motoslitta usata per la manutenzione dei tracciati di piste da sci (Figura 1)e caratterizzata da un motore di cui e nota la curva caratteristica (Figura 2) ed ilmomento d’inerzia JM = 0.6kgm2, una trasmissione (τ = 1/40, η = 0.7 e ηR = 0.6)che collega l’albero motore a una ruota di raggio rp = 0.15m e momento d’inerziaJp = 0.8kgm2.La massa del mezzo e del conducente e nota (m = ms +mc = 350kg). Si consideri persemplicita che il baricentro della slitta G sia basso ed equidistante dalle due risultantidelle reazioni normali del terreno allo sci anteriore e alla ruota anteriore. Sono notiil coefficiente di attrito dinamico (fd = 0.08) quello di attrito statico (fs = 0.22) eil coefficiente di attrito volvente tra il rullo e la pista (fv = 0.04). Si trascuri invecel’attrito volvente della ruota posteriore della motoslitta.

La motoslitta e corredata di un rullo per battere la pista di massa mr = 50kg,raggio Rr = 0.45m e momento d’inerzia baricentrico Jr = 2kgm2.Si chiede di:

1. calcolare la velocita di funzionamento a regime della motoslitta mentre trascinail rullo in salita su una pista con pendenza α1 = 30o

2. calcolare l’accelerazione del mezzo quando esso si stia muovendo in piano allavelocita v1 = 4m/s

3. valutare la potenza persa nella trasmissione in tali condizioni

4. verificare l’aderenza del rullo.

Nel caso in cui la motoslitta stia procedendo in discesa sulla stessa pista (α1 =30o), supponendo che il motore sia in avaria (CM = 0) calcolare:

5. l’accelerazione del mezzo,

6. la potenza dissipata dalla trasmissione quando la velocita del mezzo sia v2 =2.5m/s

1

rp, Jp

mr, Jr

MT

G

Figure 1: Motoslitta e rullo battipista

Figure 2: Curva Caratteristica del mo-tore

Figure 3: Schema della slitta

2

Dinamica delle macchine.

I.Bayati, S.Cinquemani

1 Macchina sollevatrice

La macchina in figura e composta da un motore di inerzia Jm e coppia motrice Cm = C0

(1− ωm

ωs

).

Il motore e collegato ad una trasmissione di rapporto di trasmissione τ e rendimento diretto eretrogrado rispettivamente ηd ed ηr. Alla trasmissione e calettata una puleggia di raggio R1 su cuisi avvolge senza strisciare una fune inestensibile che sorregge da un lato la massa m1 e dall’altrosi avvolge senza strisciare su una seconda puleggia, di massa trascurabile, di raggio R2 per poivincolarsi a terra all’estremo opposto di tale puleggia. Al centro della puleggia 2 e vincolata,tramite una fune inestensibile, una massa m2.

Figure 1: Schema della macchina di sollevamento

• Supponendo che il sistema parta da fermo, calcolare l’accelerazione allo spunto nel caso sivoglia sollevare la massa m2;

• Calcolare la coppia necessaria per sollevare la massam2 a velocita costante e la corrispondentevelocita;

• Calcolare la coppia necessaria per far discendere la massa m2 a velocita costante;

1

Del sistema sono noti i seguenti dati:m1=10kg; m2=50kg; R1=0.6m; R2=0.2m; ηd=0.9; ηr=0.75; J1=1kgm2; Jm=0.1kgm2; τ = 1/10;C0=100 Nm; ωs=1500 giri/min;

Risultati

1. ωM = 95.6 rad/s

2. CM,reg,up= 42,5 Nm

3. CM,reg,down= -28.7 Nm

2

Vibrazioni meccaniche.

Stefano Cii, Simone Cinquemani

1 Esercizi

Per il sistema in figura 1 si scriva l’equazione differenziale che descrive il moto e sicalcoli la risposta del sistema sapendo che all’istante iniziale il sistema abbia unospostamento iniziale della massa traslante pari a x0 e velocita nulla.

1)

2)

k1

r1

m1,J1

m2

R1R2

k2

r2

C(t)=C0cosWt

k1

r1

m1,J1

m2

R1

R2

k2 r2

R1

m3

Per il sistema in figura 2 si scriva l’equazione differenziale che descrive il moto esi calcoli la risposta del sistema quando la coppia C(t) e applicata al disco .

1

Risultati

1. Esercizio 1

m∗ = m1 +m2 + J1/R21

r∗ = r2 + r1(R1 +R2)2/R21

k∗ = k2 + k1(R1 +R2)2/r21m∗x+ r∗x+ k∗x = 0x(t) = X0e

−hω0tcosωt

2. Esercizio 2

J∗ = 4m2R21 + 4m3R

22 + 4J1

r∗ = r1R21 + 4r2R

22

k∗ = k1R21 + 4k2R

22

ω0 =

√k∗

J∗

h =r∗

(2J∗ω0)

θ(t) = Θ·cos (Ωt+ φ) (Θ =|C0|√

(k∗ − J∗Ω2)2 + (r∗Ω)2, φ = tan−1(

−r∗Ω

−m∗Ω2 + k∗))

2

Vibrazioni meccaniche.

I.Bayati, S.Cinquemani

1 Esercizi

Per i sistemi in figura si scriva l’equazione differenziale che descrive il moto, la pulsazione propriadel sistema e lo smorzamento adimensionale.

k1

k2

r2

r1m1,J1,R1

m2

k

m,J,R

x(t)=XcosWt

r

k1

k2r2

r1

m1,J1

m2

C=C0cosWt

R1R2

1)

2)

3)

1

Risultati

1. Esercizio 1

m∗ = m2 + J/R2

r∗ = r2 + 4r1k∗ = k2 + 4k1m∗x+ r∗x+ k∗x = F0 cosΩtω0 =

√k∗/m∗

h = r∗/(2m∗ω0)

2. Esercizio 2

m∗ = mR2 + Jr∗ = rR2

k∗ = 4kR2

m∗θ + r∗θ + k∗θ = 2kR · x(t)ω0 =

√k∗/m∗

h = r∗/(2m∗ω0)

3. Esercizio 3

m∗ = J1 +m2R22

r∗ = r1R21 + r2R

22

k∗ = k1R21 + k2R

22

m∗θ + r∗θ + k∗θ = C0 cosΩt(t)ω0 =

√k∗/m∗

h = r∗/(2m∗ω0)

2