Meccanica

• Cinematica del punto materiale

• Dinamica

• Energia e leggi di conservazione

• Statica dei corpi rigidi

Velocità, accelerazione, moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato, moto circolare uniforme

Forza, principi della dinamica, descrizione di diversi tipi di forza,attrito, quantità di moto, momento di una forza

Lavoro di una forza, energia cinetica e potenziale, conservazione dell’energia, rendimento

Condizioni di equilibrio di un corpo rigido, leve

Meccanica

La meccanica si occupa dello studio del• moto dei corpi (cinematica e dinamica)• equilibrio dei corpi (statica)

Moto di un corpo rigido esteso definito dal moto del suo baricentro

xz

ymi

xi

yi

tot

iiB M

mxx

xB

yB

Cinematica del punto materiale

x

y

z

s

sx

sy

sz

Posizione:definita da un vettore s

Traiettoria:definita dall’insieme dei vettori

posizione s1, s2, s3, ...agli istanti t1, t2, t3,...

Vettore spostamento:

x

y

s1

s2

s

Legge oraria: s = s (t)

Δs = s2 – s1

VelocitàVelocità media:

Δt

sΔ

tt

ssv

12

12

x

y

s1

s2

v

Velocità istantanea:

0

Δt

i Δt

sΔ v

x

y

vis

In ogni punto la velocitàè tangente alla traiettoria

s

m Unità di misura:

Accelerazione

Accelerazione media:

t

v

tt

vvam

12

12 s

m

2

Accelerazione istantanea:

at

ac a

x

y

at = accelerazione tangenziale

(variazione modulo di v )

ac = accelerazione centripeta

(variazione direzione di v )

a = at + ac

0

t

i t

va

Unità di misura:

Moto rettilineo uniforme

v = costante

In una dimensione:

a = 0v = costs = so + v·t

so = posizione iniziale a t=0

a

tv

t

s

t

so

Moto rettilineo uniforme

Esempio: m s s

m v o 35

Spazio percorso dopo Δt=10 s ?

a = 0v = costs = s0 + v·t ms

s

mm 53 10 5 3 s

Moto rettilineo uniformemente accelerato

a = costante

2

2

1attvss

tavv

a

oo

o

cost

In una dimensione:

so = posizione iniziale a t=0

vo = velocità iniziale a t=0

v

t

a

t

s

t

vo

so

Moto rettilineo uniformemente accelerato

caduta di un grave in assenza di attrito

h

20 2

1tghss

tgv

ga

28,9

s

mga

g

ht

2

Esempio: h = 10 m

Accelerazione di gravità

Vo = 0

m/s 9,8

m t 2

102

ss

m2

tgv 43,18,9 s

m14

s 1,432 s04,2

Moto circolare uniforme

costv

no accelerazione tangenziale at=0

costω Δt

Δθ

r

v ac

v

v

f

1T [s]

T

2π 2π ω f

v

r

r v ω

n.giri/s f

Velocità angolare

Velocità lineare

Frequenza

Periodo

s

rad

[s-1 = Hz]

v cambia in direzione acc. centripeta :r

rr

rac

2

2

22 vv

Moto circolare uniforme

s02.0s50

1

Hz50

11T

1 f

s

rad16,314

s02,0

2

T

2π 2π ω f

s

mmv 83,622,0

s

rad 314,16 R ω

Hz50s

giri50

s60

giri3000

min

giri3000

s

n.giri f

Esempio: Centrifuga di raggio R = 20 cm, che ruota a 3000 giri/minuto

a) frequenza:

b) periodo: Tempo per compiere 1 giro completo

c) velocità angolare:

d) velocità lineare o periferica:

Velocità di un punto sul bordo della centrifuga

Forza

È quella grandezza fisica che, applicata ad un corpo,

a) ne causa la variazione della condizione di moto, oppure

b) ne provoca la deformazione. È una grandezza vettoriale !

Esempio: composizione di due forze.

R è chiamata risultante delle forze applicate al corpo.

21 FFR

R

F

F1

F2

Principi della dinamica

1. Principio di inerzia: un corpo non soggetto a forze permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

2. Legge di Newton: am

F Unità di misura (S.I.):

2s

mkg 1 newton N1

3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

Forza peso

gmP

Accelerazione di gravità:

g = 9,8 m/s2

P

Forza gravitazionale:

221

d

mmG F

m1

m2

dF

F

2

211-

kg

Nm 106,67 G

mg R

mMG F 2

T

T

g = 9,8 m/s2

TerraF

Forza centripeta

Forza di reazione vincolare

ac

v

r

m

F

r

vmamF c

2

P = mg

N = -P Forza di reazione del vincolo sempre perpendicolare alla superficie.

P

N

Forza d’attritoN = -P

P

FFA

FA = μ N

R = F - FA

R

θ

PP

P

N = PFA

θ

P = P·cosθ

P = P·sinθ

FA= μ N

μ coefficiente d’attrito

FA opposta allo spostamento

Forza elastica

S

l Δl

F

F = - k x x = spostamento rispetto alla posizione di equilibrio

F = forza di richiamo

l

l Y

S

F legge diHooke

S

F

l

l

rigido

elastico

Y piccolo

Y grande

più elastico

più rigido

(caucciù Y~107 N/m2)

(ossa Y~1010 N/m2)

In generale:

Per una barra:

Forza elasticaN 2000

s

m 9,8 kg 210F 2

Per ogni gamba F ~ 1000 N

Esempio:

S=10 cm2

l = 40 cmY= 0,9·1010 N/m2 compressione

Y= 1,6·1010 N/m2 trazione

l

lY

S

F

m

N100,9

cm 40

cm 10

N 1000

YS

F

210

2

ll

cm 100,9m 104

11

24

m 100,9

104 9

4

m 0,9

4 9410 m 10 4,44 -5

=

m 10100,9

m 104

2-11

24

1 cm = 10-2 m

F F

Lavoro di una forza

m

F F

s sF L

(grandezza scalare)

cos//

//

FF

sFsFL

s

F

F//

θ FsF s

L=F·s L=0

mN 1 (joule)J 1 Unità di misura (S.I.)

Energia• Rappresenta la capacità che un corpo ha di compiere lavoro.

• Concetto comune a molti campi della fisica, può presentarsi in molteplici forme:

• energia associata a un corpo in movimento (energia cinetica)

• energia associata alla posizione di un corpo (energia potenziale)

• energia di legame molecolare (energia chimica)

• energia associata alla massa (energia nucleare, E=mc2)

• energia termica e calore

• .........

• Ogni processo naturale coinvolge trasformazioni di energia.

• In un sistema isolato l’energia totale si conserva sempre (principio di conservazione dell’energia).

Energia meccanica

Energia cinetica

Energia potenziale gravitazionale

v

m

2

2

1vmEc

h

mghEp

Principio di conservazione dell’energia meccanica

In assenza di forze di attrito, l’energia

meccanica totale ET di un sistema si conserva

Ec+Ep= ET = cost

ho

h´

oc

p

mghmvE

E

2

2

1

0

L = F·s L = P·h = mg·h

hss

gttvss

gtvv

0

200

0

2

12

2

1gth

gtv

2

2

1mvmgh

ghv 2

0 cop E mghE

2

2

1vmE hmgE cp

Conservazione dell’energia meccanica

In assenza di forze d’attrito:

h

m Ep = mgh ; Ec = 0

Ep = 0 ; Ec = 1/2mv2 = mgh

v=cost

In presenza di forze d’attrito:

h

m Ep = mgh ; Ec = 0

Ep = 0 ; Ec = 1/2m(v')2 < mgh

v diminuisce

v' < v

Ep+Ec+Q = costenergia dissipata (per attrito)

Potenza meccanica

La potenza rappresenta il lavoro compiuto da una forza nell’unità di tempo

t

L P

s

J 1 (watt) W1 Unità di misura (S.I.):

Esempio:

ENEL: Potenza installata: 3 kW=3·103 W

Si pagano: kWh

1 kWh = 103 W·3600 s = = 103 W·3,6·103 s =

= 3,6·106 W·s = 3,6·106 J

Rendimento η di una macchina Macchina: sistema che trasforma energia di vario

genere in lavoro meccanico.

Nel corpo umano: i muscoli energia chimica lavoro meccanico

Totale

utile

E

L < 1

Esempio: Lutile=25 J η = 20% = 0,20 = 20/100

Econsumata totale = Lutile/η = 25/0,2 = 125 J

Rendimento: rapporto tra il lavoro meccanico utile prodotto dalla macchina e l’energia ET impiegata dalla macchina:

Statica

tot

iiB M

mxx

Il baricentro è il punto di applicazione della forza peso P

xz

y mi

xi

yi

xB

y

B

La statica studia le condizioni di equilibrio dei corpi estesi

21 FF

F2

F1 ???

Corpo esteso

F1

F2

Punto materiale

Condizioni di equilibrio di un corpo rigido

rr 0F

F

F equilibrio traslazionale

0M

equilibrio rotazionale

Momento meccanico di una forza

F

b(braccio)

fulcro

r θF r M

θ senFrM

bF

θ senrb

[N·m] (S.I.)

90o

Applicazioni

Stabile (M=0)

Instabile (M0)

Equilibrio di un corpo su un piano: la verticale del baricentro deve cadere nella base di appoggio

Leve

0M

Le leve

Fr

br bm

Fm

Fr : forza resistente

Fm: forza motriceR= - (Fr +Fm)

0M

mmrr bFbF

mr MM

0F

0 mr FFR

Leve di I tipo

br bm

br > bm Fr·br = Fm·bm

m

rrm b

bFF

> 1

Fm > Fr (leva svantaggiosa)

In una leva di I tipo si può anche avere Fm < Fr (leva vantaggiosa)[dipende dalla posizione del fulcro]

Nel caso specifico:

Leve di II tipobm

br

Fr

Fm

Fr·br = Fm·bm

br < bm

m

rrm b

bFF

< 1

Fm < Fr

(leva vantaggiosa)

Leve di III tipo

bm

Frbr

Fm

Fr·br = Fm·bm

br > bm

Fm > Fr

(leva svantaggiosa)

Esempio

bm

Fr = m·g = 3·9,8 N ~ 30 Nbr

Fmm=3 kg

br = 30 cm = 0,3 m

bm = 3 cm = 0,03 m

0M

Fr·br = Fm·bm

gomito

m

rrm b

bFF

m 0,03

m 0,3 N 30

m 103

m 103N 30

2-

-1

N 30 2110 N 300 N1030 1

R

Reazione vincolare

0F

Fr + Fm + R = 0

R = Fm – Fr = 300 N – 30 N = 270 N