CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. TEMA 4.- El campo …iesalfonsox.es/wp-content/uploads/2015/09/electrotecnia... · 2015-10-20 · TEMA 4.- El campo magnético. 4. Campo magnético

CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.TEMA 4.- El campo magnético.

Desarrollo del tema .

1. El campo magnético.

2. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una cargamóvil.

3. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una línea decorriente rectilínea.

4. Campo magnético creado por una carga móvil y por unelemento de corriente.

5. Campo creado por una línea rectilínea indefinida de corriente.

6. El campo magnético creado por una espira circular.

7. El campo creado por un solenoide.

8. Acciones mutuas entre conductores paralelos.

9. La ley de Ampère para el campo magnético.

1


1. El campo magnético.

Los primeros antecedentes de la existencia de experiencias en donde aparecía el campomagnético, se remontan a la Grecia clásica donde conocían la existencia de un mineral natural(magnetita) que tenía la propiedad de atraer algunas sustancias metálicas. Estos imanes son losimanes naturales. En otras ocasiones se podían inducir imanes mediante el frotamiento dealeaciones férricas, son los imanes artificiales.

Un imán posee dos polos, norte y sur, que se denominan los polos de un imán. Se les asignóeste nombre por su equivalencia con la brújula (aguja imanada), que señala el norte y el sur delglobo terráqueo.

Los polos norte o sur de un imán se repelen entre si, en tanto que el polo norte se atraerá conel polo sur de otro imán.

En el año 1819, Oersted, logró mover una agujaimanada cuando la colocó paralela a una línea de corriente,esto probó la existencia de una interacción de los camposmagnéticos y eléctricos, por lo que se debe de hablar de lasinteracciones electromagnéticas.

Un imán o una carga eléctrica en movimiento, originaráuna perturbación en el espacio circundante creando uncampo de fuerzas, el campo magnético.

El campo magnético se representa mediante unas líneasde inducción. No existen manantiales ni sumiderosseparados y sus líneas son cerradas.

B (inducción magnética) . Su divergencia esigual a cero ▼ B = 0

Las líneas de fuerza rotan, salen del polonorte (N) y acaban el el polo sur(S),

▼x B = μ . J⃗ , siendo μ, la permitividadmagnética del medio y J⃗ la densidad de corriente. I =J⃗ . S⃗

2. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una carga móvil.

Lorentz realizó una serie de experiencias en relación al comportamiento de una cargaeléctrica en un campo magnético. Las observaciones se resumen en los siguientes postulados:

1. Si la carga se mueve en la dirección del campo, no se ejerce ninguna fuerza sobre ella.2. Si se mueve en cualquier otra dirección, se ejercería la fuerza de Lorentz, cuya dirección

2


es perpendicular al plano formado por las direcciones formadas por los vectores inducciónmagnética y la velocidad..

3. El módulo de esta fuerza depende del valorde la carga que se mueve, del valor de lainducción magnética, de la velocidad y del senodel angulo que forman los vectores inducción yvelocidad.

F = q . ( v x B ) ; el módulo de lavelocidad, F = q . v . B .sen φ

B, inducción magnética se mide en Teslas (T) ,definiendo la Tesla como la inducción magnética, talque la carga de 1 C, desplazándose a la velocidad de 1m/s , experimenta una fuerza de 1 N.

La unidad en el sistema CGS es el Gauss ; 1 T = 104 Gs

Se define como flujo magnético al número de líneas de inducción magnética que atraviesanuna superficie imaginaria, situada en el interior de un campo magnético:

Φ = ∫ B . d S = ∫ B . cos φ . dS ; el flujo se mide en Weber = T . m2

Cuando una unidad de carga se mueve en una trayectoria prependicular a un campomagnético, la fuerza magnética será:

F = q v B . sen φ ; como φ = 90º ; F = q . v. B

Para equilibrar la fuerza centrípeta, aparecerá unafuerza centrífuga

F = m v2

R; igualando las dos fuerzas:

q . v . B = m v2

R ; R =

m .vq . B

Según esto, las partículas de mayor momento lineal describentrayectorias de mayor radio.Los radios de las trayectorias son inversamente proporcional a lainducción magnética y a la carga.

3


3. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una línea decorriente rectilínea.

En un conductor eléctrico por donde circula un corriente eléctrica I, colocado en el interiorde un campo magnético de inducción B, si L(longitud del conductor) se encuentra dentro del campoy los electrones que circulan por el lo hacen a una velocidad media v , la carga será :

q = I . t = I . Lv

F = q . v . B . sen φ = I . L . B . sen φ ; F = I ( L x B )

La fuerza que ejerce un campo magnético sobre un conductor rectilíneo depende de laintensidad de corriente, de la longitud del conductor dentro del campo y de la inducciónmagnética.Es la primera ley de Laplace.

Si la línea conductora es cerrada y formamos una espira cuadrada, colocadaperpendicularmente dentro de un campo magnético uniforme, se conseguirá un movimiento derotación uniforme, producido por un par de fuerzas, alrededor de un eje perpendicular a las líneas decampo y que pase por el centro de los lados paralelos que forman las bases, y por el centro de laespira.

M = F . a = a . I . b . B . sen φ ; M = I ( S x B )

4

Fa = - F´a y por lo tanto se anulan


4. Campo magnético creado por una carga móvil y por unelemento de corriente.

Todo movimiento de carga eléctrica origina un campo magnético. El campo magnético creado por una carga puntual depende de:

Del valor de la carga (dq) que se mueve.De la velocidad (v)Del sen φ que forma con el campo magnético.De la distancia al punto al cuadrado

d B = K dq .v . sen

r2 (1)

Siendo K = o

4. y μo la permitividad magnética

del vacío.

El vector campo magnético será

d B = K dq .v x r

r 3

Cuando el campo lo crea una línea de corriente deintensidad I , intensidad media de las cargas:

I = d qd t

; v = d ld t

d q = I . dt = I . d lv

Sustituyendo en la ecuación (1) se obtendrá :

d B = K I .dl . sen

r 2 y como forma vectorial

en el vacío :

d B = o

4. .

I .dl x r

r3

5


5. Campo creado por una línea rectilínea indefinida de corriente.

Si consideramos la línea de corriente como la suma deinfinitos infinitesimales de corriente I en una misma direccióny sentido, la inducción magnética será :

B = ∫ dB , tomando la expresión

d B = K I .dl . sen

r 2 y considerando la representación

geométrica del margen se obtiene:

tg φ = al

; sen φ = ar

; r2 = a2

sen2

l = atg

. Con estas transformaciones matemáticas,

dl = - a

sen2 d φ

d B = - o

4..

I . sen .d

a. Para calcular el

valor de la inducción magnética, es necesario integrar laexpresión anterior:

B=−μ o4.π

.Ia

.[cosϕ]0π/2

. =

o

4..

Ia

Por lo tanto : B = o

2..

Ia

que representa la ley

de Biot y Savart. El enunciado es el siguiente:El valor del campo magnético creado por una corriente

rectilínea e indefinida en un determinado punto, es directamente proporcional a la intensidad decorriente e inversamente proporcional a la distancia existente entre el punto y el conductor. Dichocampo se ve influenciado de una forma directa por la permitividad magnética del medio.

6

B=−∫0

π

(μ0

4.πI.senϕ . d ϕ

a)=−2 .∫

0

π/2

(μ0

4π

I . senϕ .d ϕ

a)


La dirección del campo magnético será tangente a la circunferencia qe teniendo como centroel conductor, pase por el punto de referencia. Las lineas de inducción serán por lo tanto líneascirculares concéntricas y su sentido de recorrido vendrá determinado por el avance del sacacorchoscolocado en la dirección del conductor y avance con la intensidad de corriente.

6. El campo magnético creado por una espira circular.

Para determinar el campo creado por una espiracircular, se debe de considerar la corriente como la suma deinfinitas corrientes infinitesimales y por lo tanto, las líneas elcampo tendrá un sentido tal que salen por aquella cara cuyaintensidad es recorrida en sentido contrario de las agujas delreloj y entran cuando se ve circular a la corriente en el mismosentido que éstas, originando un polo norte o polo sur de unimán.

Para calcular la inducción magnética en un punto deleje de una espira, se recurre a la expresión:

d B = K I .dl . sen

r 2 ; donde sen φ = 1

d B = o

4..

I.dl

r2 Desde el punto de vista

vectorial, el vector inducción magnética se descompone endos componentes, una perpendicular al eje de la espira, quese anula por simetría y la otra componente en la dirección deleje de la espira:

d B´ = d B . sen β = o

4..

I.dl

r2 . sen β

como sen β = Rr

, d B´= o

4..

I.R.dl

r3

Integrando se obtiene B´= ∫02πR

o

4.

I.R.dl

r3 =

= o

4..I.R.r3 . ∫

0

2πR

dl=μ0

4π

I . Rr3 . 2 π R

B´ = o2

. I.R2

r3

7


Teniendo en cuenta, por el teorema de Pitágoras que :

r = R2d 2 y que R = r . sen β ; B´=

o2

. IR

sen 3 β

En el centro O de la espira (β = 90º) , el campo será :

B´ = o2

. IR

7. El campo creado por un solenoide.

Un solenoide está formado por un conjunto de espiras equidistantes y paralelas por dondecircula una corriente eléctrica. Cuando el eje del solenoide es circular, se denomina toroide.

Si un solenoide posee una longitud L y posee N espiras, con una intensidad circulante I, elcampo magnético será :

d B = o2

. IR

sen 3 β . dn ; dn = N . dxL

, por lo que :

d B = o2

. IR

sen 3 β . N . dxL

De la figura anterior se obtiene sen β = Rr

y tg β = Rx

; dx = - R

senβ2 dβ

y R = r. sen β . Sustituyendo se obtiene :

d B = - o2

. N.IL

. sen β d β

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Para calcular B será necesario integrar desde 0 hasta π :

B=−∫0

π

(μo2

).N IL

. senβd β=−2μ0

2.N IL

∫0

π/2

senβd β=−2μ0

2.N IL

. [cosβ]0(π/2)

=μ0 N I

L.

N.IL

.

sen β d β = o2

. N.IL

Como solamente se ha considerado la integral de la mitad del solenoide,

B = μ0 . N.IL

En el caso que fuese un toroide L = 2 π . R , siendo R el radio de la circunferencia media deltoroide.

8. Acciones mutuas entre conductores paralelos.

Cuando por dos conductores paralelos, situados a unadistancia d, circulan dos corrientes eléctricas (I1 e I2 )aparecerán entre ellos una serie de fuerzas, originadaspor los campos magnéticos creados, de tal forma que silas dos corrientes son del mismo sentido, la fuerza netaserá atractiva , mientras que si las dos corrientes sondesigno contrario, la fuerza neta será repulsiva.

Para calcular el valor de esta fuerza, hay queconsiderar que el campo lo puede crear tanto unconductor como el otro:

B1 = o

2..

I 1d

y B2 = o

2..

I 2d

La fuerza ejercida F12 = I2 . L . B1 ; F21 = I1 . L . B2

F12 = F21 = o

2..

I 1. I 2d

. L

La fuerza por unidad de longitud f = FL

=

9


= o

2..

I 1. I 2d

Esta fórmula nos permite definir la unidad de intensidad de corriente eléctrica, sabiendo que dichamagnitud se considera fundamental dentro del S.I.

Para ello suponemos que I1 = I2 = 1 A y que los dos conductores se encuentran a la distanciade 1 m. Según esto la fórmula será :

F = o

2..

I 1. I 2d

. L = 2 . 10-7 ( N/A2) 1 A. 1 A

1m1 m = 2 10-7 N

La definición de amperio sería como la intensidad de corriente que llevan dos conductores,paralelos indefinidos que circulan en el mismo sentido y que colocados a la distancia de 1 m , sonatraídos con una fuerza de 2 10-7 N.

9. La ley de Ampère para el campo magnético.

Si consideramos un conductor rectilíneo e indefinido, por donde circula una corriente I, elcampo magnético situado a una distancia r será :

B = o

2..

Ir

Vamos a calcular la circulación de B a lo largo de la línea de fuerza circular:

∫ B . dl = ∫ B . dl = B . ∫ dl = o

2..

Ir

. 2 . π . r = μ0 . I

La ley de Ampère establece que la circulación del campo magnético (B) a lo largo deuna línea cerrada es igual a la permitividad magnética del medio multiplicado por la suma deintensidades que pasen por su interior:

∫ B . dl = μ0 . Σ Ii

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Problemas propuestos del campo magnético.

1. Problema.- Una carga positiva de 5 μ C se mueve con una velocidad dev = 5 i – 5 k con unidades del SI , en el interior del campo magnéticouniforme de inducción B = i + 2j – k (SI) Deducir la fuerza que actúasobre dicha carga y cuál es su valor.

2. Problema.- Un protón con una energía cinética de 1 MeV se mueveperpendicularmente a un campo magnético de inducción 2 T. Calcular:a. La fuerza que actúa sobre el protónb. El radio de la trayectoria circular que describe.

3. Problema.-Calcular la inducción magnética en el interior de unsolenoide de 0.16 m de longitud formado por 640 espiras, que tieneuna resistencia de 6 Ω, cuando se aplica entre sus bornes unadiferencia de potencial de 120 V.

4. Problema .-Por dos conductores paralelos rectilíneos de 8 m. delongitud situados a 2 cm de distancia, circulan corrientes en el mismosentido de 2 A cada uno. Calcular la fuerza con la que se repelenmutuamente.

5. Problema.- Un electrón parte del reposo y es acelerado por unadiferencia ce potencial de 100 V . Si con la velocidad que adquierepenetra en un campo magnético de 4 10-4 T perpendicular a la direccióndel campo, ¿cuál será el radio de la órbita que describe?

6. Problema.- Un alambre metálico de 0.1 g de masa , puede deslizar sinrozamiento sobre dos raíles paralelos,separados entre si 10 cm y queforman un ángulo de 35º con la horizontal. Una corriente de intensidadI pasa de un raíl al alambre y regresa por el otro raíl. Si el conjunto asíformado se encuentra dentro de un campo magnético y ascendente de5 10-3 T de inducción, calcular el valor de la intensidad de corrientenecesaria para que el alambre se encuentre en equilibrio.

7. Problema.- A través de una bobina que consta de 500 espiras y tiene unradio de 5 cm. circula una corriente de 2 A. Calcular la inducciónmagnética en un punto del eje de la bobina que dista de su centro : a) 0cm. ;b) 5 cm.; c) 10 cm.

8. Problema.- Dos hilos conductores, paralelos, rectilíneos e infinitamentelargos, de 20 g/m de densidad lineal, circula la misma intensidad decorriente, en sentido contrario, están suspendidos de un eje comúnmediante dos cuerdas inextensibles de peso despreciable y de 5 cm delongitud, que forman con la vertical un ángulo de 30 º. Calcular lacorriente que llevan ambos conductores.

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Resolución de los problemas.-

Problema 1.- Datos .- q = 5 μ C // v=5. i−5 .k m / s // B=i2 . j−k (Wb/m2)

Calcular la fuerza F

Resolución .- F=q .v xB

El producto vectorial se resuelve de la siguiente manera:

F=5 10−6 .[i j k5 0 −51 2 −1

] = 5.10−610 i10 k = 5.10−5 . i5.10−5 k (N)

El valor del módulo de la fuerza será :

F = 5.10−5

25.10−5

2 = 2 .5.10−5 N

Problema 2.- Datos q( p) = 1.602 10-19 C // m (p) = 1,67 10-27 Kg.// EC = 1 MeV= 1.602 10-13 J

Se mueve en dirección perpendicular a un campo B = 2 T

Calcular la Fuerza que interacciona con la carga y el radio de la órbita .

Resolución.- EC=12

.m .v2 ;; v= 2 . EC

m= 2. 1.60210−13

1.67 10−27= 1,38 107 (m/s)

F = q . v. B . sen φ = q . v . B = 1,602 10-19 . 1,38 107 . 2 = 4,42 10-12 N

F e = FC = m. v2

R :: R =

m. v2

F C=

1,6710−19.1,38107

2

4,4210−12 = 7,19 cm.

Problema 3.-

Datos .- Solenoide , N = 640 espiras// L = 0,16 m // R = 6 Ω // V = 120 V

Resolución.-

∫B .d l = μ0 . N . I ;; I VR

=20 A

12


B = 0 .N.Il

= 4. .10−7 . 640.20

0,16=0,10T

Problema 4.- Datos .- Dos conductores paralelos y rectilíneos

L = 8 m // d (entre ellos) = 2 cm = 0,02 mI1 = I2 = 2 A ; circulan en el mismo sentido .

Calcular la F de repulsión.

Esquema .- F

Resolución .- ∫B .dl = μ . I1 = B . 2 .π . d

B = . I 1

2 . . d=

4 . .10−7. 2

2 . .0,02= 2 .10-5 T

F= I 2 l x B = 2 . 8. 2 10−5 = 3,2 10-4 N

Problema 5.-

Datos .- Electrón con carga q = - 1,602 10 -19 C // parte del reposo // acelerado porun campo eléctrico cuyo potencial es de V = 100 V // en un campo magnético de B = 410-4 T . Calcular el radio de la trayectoria. // me = 0,911 10-30 Kg.

Resolución .- W = V . q = 12

.m .v2;; m . v2 = V . q . 2 = 1,602 10-19 . 100 =

= 3,204 10-17 J

v = 3,20410−17

0,91110−30= 5,9 106 m/s

FC = m. v2

R= q . v . B ;; R =

m .v2

q .v. B=

3,204.10−7

1,602.10−19 . 5,9106. 4 . 10−4 = 0,084 m =

= 84 cm.

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I1

I2

B B


Problema 6.-

Datos .- m = 0,1 g // separación entre los raíles , d = 10 cm = 0,1 m. // α = 35º

B = 5 10-3 T

Calcular I para que el sistema se encuentre en equilibrio. .

Resolución.

F= I .l xB

Para que el sistema se encuentre en equilibrio,

Σ F = 0 ;; Σ Fx = 0 ;; Σ Fy = 0 ;;

Σ Fx = P. sen α – Fm . cos α = 0

Fm = P . sen

cos=m . g. tg=0.110−3 . 9,8. tg 35 =6,86 10-4 N

I = F m

l . B=

6,86 10−4

0.1.510−3 = 1,37 A.

Problema 7.-

Datos.- Bobina N = 500 espiras // R = 5 cm // , calcular B0 cm . ;; B5 cm. ;; B10 cm

Resolución.-

B = 0

2.IR

. sen3 .N

14

B

I

Fm

P

N

Fm

Eje y

Eje x

rR

d Ángulo Φ


B = 0

2. I .N.

R2

R2d 2

3

Consideramos los siguientes casos:

a. d = 0 B = 4 . .10−7

2.400. 2.

0.052

0.053 = 0.01 T

b. d = 5 cm. B = 4 . .10−7

2.400. 2.

0.052

0.0520.052

3 = 0.0035 T

c. d = 10 cm B = 4 . .10−7

2.400. 2.

0.052

0.0520.12

3 = 0,000898 T

Problema 8.-

Datos .- densidad del cable , ρ = 20 (g/m) // L = 5 cm = 0.05 m // φ = 30º

Calcular el valor de la intensidad para que el sistema se encuentre en equilibrio.

Resolución.-

tg φ = tg 30 = 0,5773 = F m

m.g=

Fm

. l . g=

F m

l . 2010−3. 9.8

Fm = 0

2 ..I 2

d. l = l . 20 10-3 . 9,8 . 0,5773

d = 2 . 0,05 sen φ = 0,05 m

I = 0,5773.2010−3. 9,8 .2 . . 0,05

0

= 168 A

15

Φ = 30º

Fg

Fm

d

L

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