Chuyên đề ôn thi Đại Học môn toán bộ 2

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2)(Phần 1: Đại số)

- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12).

- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT.

- Tài liệu được chia ra làm 2 phần: + Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề.

Trong phần này có 10 chuyên đề: Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát

hàm số. Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số. Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số. Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit. Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác. Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân. Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất. Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn. Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức. Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.

+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) Trong phần này có 5 chuyên đề:

Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ... Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng. Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian. Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*). Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.

Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

1Ch biên: Cao Văn Túủ Email: [email protected]

mailto:[email protected]


- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái

Nguyên (Chủ biên)2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được

coi là vi phạm nội quy của nhóm.- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.

Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định.

Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: [email protected] !Xin chân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú




CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN

I. NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm.

Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , với mọi .

Định lý. Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Khi đó

a. Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của .

b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C.

c. Họ tất cả các nguyên hàm của là , trong đó là một nguyên

hàm của , C là hằng số bất kỳ.

d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp

( ) ( )

; . ;

Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.



2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lý. Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì

a.

b. ;

c. .

3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

a. Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K. Khi đó nếu F là một

nguyên hàm của f, tức là thì .

b. Phương pháp tích phân từng phần

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1.

Cách giải: Đặt

Dạng 2.

Cách giải: Đặt

I. TÍCH PHÂN.

1. Định nghĩa. Cho hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân của từ

a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp thì là tích phân của f trên

.



2. Tính chất của tích phân .

Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K.

3. Một số phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong đó

là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp xác định trên J; .

Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách

Cách 1. Đặt ẩn phụ ( là một hàm của x)

Cách 2. Đặt ẩn phụ ( là một hàm số của t).

Phương pháp tích phân từng phần.

Định lý. Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và là hai số thuộc

K thì

4. Ứng dụng của tích phân

Tính diện tích hình phẳng

Nếu hàm số liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là

Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại các điểm là . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một



hàm liên tục.

Tính thể tích khối tròn xoay.

Hàm số liên tục và không âm trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một

khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức

.

Bảng công thức tích phân bất định

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số liên tục trên đoạn có nguyên hàm là .

Giả sử là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn và có miền giá trị là thì ta có :

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :

a) b) c)

Bài làm :



a) Đặt

Đổi cận :

Vậy :

b) Đặt

Đổi cận :

Vậy :

c) Đặt

Đổi cận :

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 :

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .

Dạng 2 :

Cách làm :Nếu chẵn . Đặt Nếu chẵn lẻ . Đặt (trường hợp còn lại thì ngược lại)

Dạng 3 :

Cách làm :

Đặt :

Dạng 4 :

Cách làm :

Đặt :

Sau đó dùng đồng nhất thức .

Dạng 5:


)122(3

2

3

2ln12

1

2

1

2

3

1

3

tdttx

dxxI

e


Cách làm :

Đặt :

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP

Tính tích phân :

a) b) c)

Bài làm :

a) Đặt : Đổi cận :

Vậy :

b) Đặt : Đổi cận :

Vậy :

c) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :


a) b)



Bài làm :

a) Đặt :

Đổi cận :

Nếu

Vậy :

Nếu

Vậy :


Vậy :

Đặt :

Đổi cận :

Vậy :


a) b)

Bài làm :



a) Đặt :

Đổi cận :

Vậy :

b)Đặt :

Dùng đồng nhất thức ta được:

Vậy :

Bạn đọc tự làm :

a) b) c)

c) d) d)

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 : với ta có :

Nếu ta có :

Dạng 2 : trong đó :

* Giai đoạn 1 : ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức , sai khác một số :

* Giai đoạn 2 :



Tính

* Giai đoạn 3 :

Tính có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt

Dạng 3 :

Ta có :

Nếu : thì ta thực hiện phép chia trong đó phân số

có

Nếu : ta có các qui tắc sau :

*Qt 1:

Vdụ 1a :

Vdụ 1b :

*Qt 2': với

*Qt 3:

Vdụ 1 :

Vdụ 2 :

BÀI TẬP


a) b)


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài làm :

a)

b)


a) b)

Bài làm :

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được với

b) Đặt :

Do đó ta có hệ :

Vậy :


a) b)

c) d)

HD:


3

4ln2ln1ln

1

0 xx


a) b)

c) d)

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau .

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.

BÀI TẬP

Chứng minh rằng :

Bài làm :

Xét

Đặt : Đổi cận :

Vậy : (đpcm)

Chứng minh rằng nếu là hàm lẻ và liên tục trên đoạn thì :

Bài làm :

Xét . Đặt

Đổi cận :

V ậy :

Thế vào (1) ta được : (đpcm)



Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu là hàm chẳn và liên tục trên đoạn thì

Cho và là hàm chẵn , liên tục và xác định trên .


Bài làm :

Xét . Đặt

Đổi cận :

Vậy :

Thế vào (1) ta được : (đpcm)

Cho hàm số liên tục trên . Chứng minh rằng :

Bài làm :

Xét . Đặt

Đổi cận :

Vậy :

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .


0

0

1111

dxa

xfdx

a

xfdx

a

xfxxx


Nếu hàm số liên tục trên và . Thì ta luôn có :

Cho hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì .


Bài làm :

Vậy ta cần chứng minh

Xét . Đặt

Đổi cận :

Vậy :

Hay : (đpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :Nếu hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì , thì ta luôn có :


a) b)

c) d)

e) f)

g) h)



Tích phân từng phần :Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên đoạn , thì ta có :

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt hay .

*ưu tiên 2 : Đặt mà có thể hạ bậc.

BÀI TẬP


a) b) c)

Bài làm :a) Đặt :

Vậy :

b) Đặt :

Vậy : 1sin.24

sin.2cos..2

0

2

0

2

20

1

0

1

xdxxxdxxxxdxexI x

Ta đi tính tích phân

Đặt :

Vậy :

Thế vào (1) ta được :

c) Đặt :

Vậy :




a) b) c)

Bài làm :

a) Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :


b) Đặt :

Vậy :

c) Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :



a) b)

c) d)

e) f)



g) h)

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn , khử trị tuyệt đối

Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn

Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn


a) b)

Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 +

Vậy :

b) Lập bảng xét dấu tương tự ta được

.

Tính với là tham số :


43

33

32

1

32

1

0

32

1

xxx

xxxI

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài làm : x a x-a - 0 +

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).Nếu .

Nếu .

Nếu .

Tính : a)

Bài làm :

a) Xét hiệu số : 2,01 2 xx

Vậy :

b) Xét hiệu số : tương tự như trên ta có .


a) b) c)

d) d)

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1: ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.



Tới đây , đặt .

Dạng 2:

Tới đây , đặt .

Dạng 3:

Tới đây, đặt .

Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

Một số cách đặt thường gặp :

đặt

đặt

dxaxxS 22, đặt

đặt

đặt

Tính :

Bài làm :

Đặt :

Ta có



Tính : a) b)

Bài làm :

a)

b)Đặt :

Tìm các nguyên hàm sau

a) b)

Bài làm :

a)Đặt :

Vậy :

b)

Xét Đặt :



Vậy :

Tìm các nguyên hàm sau :

a) b)

Bài làm :

a)Đặt :

Vậy :

b)Đặt :


a) b)

Bài làm :



Đặt :

Đổi cận :

Vậy :


Vậy :


a) b) c)

d) d) d)

Bất đẳng thức tích phân :

Nếu

Nếu

Nếu

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GMVà các bước chặn sinx,cosx

BÀI TẬP

Chứng minh các bất đẳng thức sau :


16

00028

1

2ln1ln2

1ln

1

1ln

3

2

t

t


a) b) c)

Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :

Vậy : (đpcm)

b) Xét hàm số :

Đạo hàm :

Ta có :

Vậy :

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

Vậy :

(đpcm)


Bài làm :



Xét

Đặt :

Đổi cận :

Do đó :

Từ đó ta được đpcm.

Bạn đọc tự làm :Chứng minh rằng :

a) b) c)

d*) Cho 2 hàm số liên tục :


Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :

1)Tính diện tích :Cho hai hàm số liên tục trên đoạn . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là :

Được tính như sau :

2)Tính thể tích :Nếu diện tích của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên tục trên đoạn thì thể tích vật thể được tính :

Nếu hàm số liên tục trên và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :


1

1

1

sin.22

xex

xe x


Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy

3)Tính giới hạn :

trong đó

Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :

Viết dãy số thành dạng : sau đó lập phân hoạch đều trên , chọn ta có

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

với là hoành độ các điểm đầu cung .

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân .

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬP



Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.

Bài làm : (hình 1a)Phương trình đường tròn có dạng :

Do tính đối xứng của đồ thị nên :

Đặt : Đổi cận :

Vậy :

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .

Bài làm (hình 1b)Phương trình đường thẳng có dạng.

Phương trình hoành độ giao điểm .

Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử

Vậy diện tích là :

Với :

Thế vào ta được :

Vậy : khi


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

Bài làm : (hình 1c)Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét

Xét :

Với ta được :

Với ta được :

Ta lại có :

Vậy diện tích cần tính là :

Bạn đọc tự làm :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a) b) c) d)

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b



hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Tính

Bài làm :

Xét hàm số .

Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :

và chiều dài phân hoạch

Chọn ta có

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Tính

Bài làm :



Xét hàm số .

Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :

và chiều dài phân hoạch

Chọn ta có

1

1.

1lim

111

n

infxx

n

i

n

iiii

n

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2004 – 2013 .

Bài 1. KA2012. Bài 2. KB2012. .

Bài 3. KD2012. Bài 4. KA2011. .

Bài 5. KB2011. Bài 6. KD2011. .

Bài 7. KA2010. Bài 8. KB2010. .

Bài 9. KD2010. Bài 10. KA2009. .

Bài 11. KB2009. Bài 12. KD2009. .



Bài 13 KA2008. Bài14.KB2008. .

Bài 15. KD2008. Bài 16. KA2007. Tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi

các đường: .

Bài 17. KB2007. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: , . Tính thể tích của khối

tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục ox

Bài 18. KD2007. . Bài 19. KA2006. .

Bài 20. KB2006. Bài 21. KD2006. .

Bài 22. KA2005. Bài 23. KB2005.

Bài 24. KD2005. Bài 25. KA2004. .

Bài 26. KB2004. Bài 26. KD2004. .

Bài 27: (Khối A – 2013)

CÁC ĐỀ LUYỆN TẬP.

Bài 1. Bài 2.

Bài 3. Bài4 . .



Bài 5. Bài 6. .

Bài 7. Bài 8.

Bài 9. Bài 10.

Bài 11. Bài 12. .

Bài 13. Bài 14.

Bài 15. Bài 16. .

Bài 17. Bài 18. .

Bài 19. Bài 20. .

Bài 21. Bài 22. .

Bài 23. Bài 24. .

Bài 25. Bài 26. .



Bài 27. . Bài 28. .

Bài 29. Bài 30. .

Bài 31. . Bài 32. .

Bài 33. . Bài 34. .

Bài 35. Bài 36. .

Bài 37. Bài 38. .

Bài 39. Bài 40. .

Bài 41. Bài 42. .

Bài 43. Bài 44.

Bài 45. Bài 46. .

Bài 47. . Bài 48.

Bài 49. Bài 50. .



Bài 51. Bài 52. .

Bài 53. Bài 54. .

Bài 55. Bài 56. .

Bài 57. Bài 58. .

Bài 59. Bài 60. 2 2 3

23

ln xx

1

xI d

x

CHUYÊN ĐỀ 7: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Hoán vịĐịnh nghĩa

Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó

được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.

. Quy ước: 0! = 1.

Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.



GiảiMỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.Giải

Gọi với và phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1.

+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách.Vậy có 4.24 = 96 số.

2. Chỉnh hợpĐịnh nghĩa

Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X và sắp

xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n

phần tử được ký hiệu là .

.

Nhận xét:

.

Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.Giải

Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.

Vậy có cách sắp.

Ví dụ 4. Từ tập hợp có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Giải

Gọi với và phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số nên có 5 cách chọn a1.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí cách.

Vậy có số.

3. Tổ hợpĐịnh nghĩa


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X được

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .

.

Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.Giải

Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có cách chọn.

Ví dụ 6. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam.- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.

- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có .

Suy ra có cách chọn.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.

- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có cách.

- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.

Suy ra có cách chọn.

+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách.


Ví dụ 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.

Giải

Gọi với là số cần lập.

.

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có số.

Nhận xét: i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt.ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.4. Phương pháp giải toán

4.1. Phương pháp 1Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn.Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.

Ví dụ 8. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Giải+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.

- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách.

Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1.


- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách.


- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.



- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách.



Vậy có cách.

Cách khác:

+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.

+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách.

- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách.

- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách.

Vậy có cách.



4.2. Phương pháp 2.Đối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do đó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép

toán .

Bước 1. Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A.

Xét là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2.

Bước 2. Tính số cách chọn loại 1 và loại 2.Bước 3. Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.

Chú ý:Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải.

Ví dụ 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.Giải

+ Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số.+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số.Vậy có 120 – 24 = 96 số.

Ví dụ 10. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải

+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có cách.

+ Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có cách.


Ví dụ 11. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.

Giải

+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách.

+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.

- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.

- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.

- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.

Vậy có đề kiểm tra.

Chú ý:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại.

Ví dụ 12. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.Cách giải sai:


+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có cách.

- Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách.

- Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.



Vậy có đề kiểm tra!

Sai sót trong cách tính số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2.Cách giải sai khác:



- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.

- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có cách.

- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có cách.


Sai sót do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ có 7 câu dễ và đề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1 và trường hợp 2.Cách giải đúng:



- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách.





Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Ví dụ 13. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.

Giải+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ).

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.

Suy ra có cách bầu loại 1.

+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.

Suy ra có cách bầu loại 2.

Vậy có cách.

5. Hoán vị lặp (tham khảo)Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác

nữa lại giống nhau . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp,

số hoán vị lặp là .

Ví dụ 14. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3.Giải

Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau.

Vậy có số.

Cách giải thường dùng:

+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 có cách.

+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có cách.

+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách.

Vậy có số.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.

Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.



Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.

Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2.

Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên.

Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số được thành lập.

Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O.

Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.

Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X.

Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.

Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Bài 15. Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn.

Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0.

Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.

Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được.

Bài 20. Tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số

tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A

là lớn nhất.

C. HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Xét 3 loại ghế gồm 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi.+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên chọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ ngồi có

cách.

+ Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3 chỗ có 3! = 6 cách.+ Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ có 2! = 2 cách.Vậy có 12.6.2 = 144 cách sắp.Bài 2. Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.

Số cạnh và đường chéo là . Suy ra số đường chéo là .

Ta có:

.

Vậy có 7 cạnh.Bài 3. Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4).+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0.- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách.- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.Suy ra có 120.2 = 240 số.+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0.- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách.- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Suy ra có 24.2 = 48 số.Vậy có 240 – 48 = 192 số.Bài 4. + Loại 1: chữ số a1 có thể là 0.

Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Suy

ra có 360 – 24 = 336 số.+ Loại 2: chữ số a1 là 0 (vị trí a1 đã có chữ số 0).

Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6 cách. Suy ra

có 60 – 6 = 54 số.Vậy có 336 – 54 = 282 số.Cách khác:+ Loại 1: Số tự nhiên có 4 chữ số tùy ý.- Bước 1: Chọn 1 trong 5 chữ số khác 0 sắp vào a1 có 5 cách.

- Bước 2: Chọn 3 trong 5 chữ số khác a1 sắp vào 3 vị trí còn lại có cách.

Suy ra có 5.60 = 300 số.+ Loại 2: Số tự nhiên có 4 chữ số gồm 0, 3, 4, 5 (không có 1 và 2).- Bước 1: Chọn 1 trong 3 chữ số khác 0 sắp vào a1 có 3 cách.- Bước 2: Sắp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí 3! = 6 cách.Suy ra có 3.6 = 18 số.Vậy có 300 – 18 = 282 số.Bài 5. Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.+ Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền.+ Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền.Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người.Bài 6. + Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.

Từ số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví dụ 012 + 321 = 333.

Suy ra tổng các số A là 12.333 = 3996.+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.

Từ số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. Ví dụ 032 + 012 = 44.

Suy ra tổng các số B là 3.44 = 132.Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.Cách khác:+ Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0.

- Số các số A là số. Số lần các chữ số có mặt ở hàng trăm, hàng chục và đơn vị là như nhau và

bằng 24 : 4 = 6 lần.- Tổng các chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) của 24 số là:

6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Suy ra tổng các số A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996.+ Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0.

- Số các số B là số. Số lần các chữ số 1, 2, 3 có mặt ở hàng chục và đơn vị là như nhau và bằng 6 :

3 = 2 lần.- Tổng các chữ số hàng chục (đơn vị) của 6 số là 2.(1 + 2 + 3) = 12.Suy ra tổng các số B là 12.(10 + 1) = 132.Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864.Bài 7. Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật.

Vậy có hình chữ nhật.

Bài 8. + Lý luận tương tự câu 65 ta có hình chữ nhật.

+ Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là .

+ Từ giả thiết ta có:

.

Vậy có hình chữ nhật.

Bài 9. Cách giải sai:

+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có cách.



Vậy có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách chọn!Sai ở chỗ lớp 12 và lớp 11 ta đã tính lặp lại.Cách giải đúng:

+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có cách.


+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có cách.

Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn.Bài 10.

+ Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là .


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.+ Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là .



+ Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1.Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp.Bài 11.

+ Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có cách.

+ Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có cách.

+ Trường hợp 3: chọn 4 bi trắng và vàng có cách.

Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách.Cách khác:

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có cách.

+ Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau:- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách.- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách.- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách.Vậy có 1365 – 720 = 645 cách.Bài 12. + Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là

.

+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46.+ Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68 = 204.

Vậy số điểm trung bình của 1 trận là điểm.

Bài 13. Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng.

+ Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có cách.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có cách.

+ Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có cách.

Vậy có 21.10.6 = 1260 số.Bài 14. + Loại 1: chữ số a1 có thể là 0.- Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách.

- Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có cách. Suy ra có

3.840 = 2520 số.+ Loại 2: chữ số a1 là 0.- Bước 1: chọn 1 trong 2 vị trí thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 có 2 cách.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.- Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số (trừ 0 và 1) để sắp vào các vị trí còn lại có cách. Suy ra có 2.120

= 240 số.Vậy có 2520 – 240 = 2280 số.Bài 15.

+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có cách.

+ Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có cách.

Vậy có cách.

Bài 16. + Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn lại mỗi khối có 1 học sinh.- Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách.

- Bước 2: trong khối đã chọn ta chọn 3 học sinh có cách.

- Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn.Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.+ Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại có 1 học sinh.

- Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có cách.

- Bước 2: trong 2 khối đã chọn ta chọn 2 học sinh có cách.

- Bước 3: khối còn lại có 4 cách chọn.Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.Vậy có 192 + 432 = 624 cách.Cách khác:

+ Chọn 5 học sinh tùy ý có cách.

+ Chọn 5 học sinh khối A và B (tương tự khối A và C, B và C) có cách.

Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách.Bài 17.

+ Số tập hợp con không chứa phần tử nào của là .

+ Số tập hợp con chứa 1 phần tử của là .





Suy ra số tập hợp con của là . Ta hợp các tập hợp con

này với {1} thì được 32 tập hợp thỏa bài toán.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 18. Cách giải sai:

+ Trường hợp 1: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B có cách.

+ Trường hợp 2: chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp C có cách.

+ Trường hợp 3: chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C có cách.

Vậy có cách!

Sai do ta đã tính lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp B.Cách giải sai khác:

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có cách.

+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp.- Bước 1: chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có:5.4.3 = 60 cách.- Bước 2: chọn 1 học sinh trong 9 học sinh còn lại của 3 lớp có 9 cách.Suy ra có 9.60 = 540 cách chọn loại 2 (lớn hơn số cách chọn loại 1!).Sai là do khi thực hiện bước 1 và bước 2, vô tình ta đã tạo ra thứ tự trong cách chọn. Có nghĩa là từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp!Cách giải đúng:

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có cách.

+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau:

- Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có cách.



Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách.

Bài 19. Gọi số cần lập là với .

+ Trường hợp 1: a1 = 1.

Có 4 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.

+ Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ.

Có 2 cách chọn a2, 3 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.

+ Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn.

Có 2 cách chọn a2, 2 cách chọn a5 và cách chọn các chữ số còn lại nên có số.

Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số.

Bài 20. Số tập hợp con chứa k phần tử của A là . Ta có:



( ) ( )

( ) ( )

k k 118 18k k 118 18

18! 18!C C k! 18 k ! (k 1)! 19 k !

18! 18!C Ck! 18 k ! (k 1)! 17 k !

-

+

ìïï ³ïìï ï³ - - -ï ïïÞ Ûí íï ï³ï ïï ³î ïï - + -ïî

.

Vậy k = 9.

CHUYÊN ĐỀ 8: NHỊ THỨC NEWTƠN

A.LÍ THUYẾT:1.Các hằng đẳng thức



0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

...

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

2.Nhị thức Newton( Niu-tơn)a.Định lí:

0 1 1 1 1

0

...n

n n n n n n n k n k kn n n n n

k

a b C a C a b C ab C b C a b

Kết quả:

* 0 0

1kn n

nn kk n k k n k kn n

k k

a b a b C a b C a b

* 0 1

0

1 . . ... .n

n k k n nn n n n

k

x C x C C x C x

b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn na b :

-Số các số hạng của công thức là n+1-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n

-Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1k n k k

k nT C a b

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển na b )

-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.

-1 02 ...n n n

n n nC C C

- 0 10 ... 1n n

n n nC C C

-Tam giác pascal: 1Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng

n k

0 1 2 3 4 5 ....

0 1

1 1 1

2 1 2 1



3 1 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi

11 1

k k kn n nC C C

(Với 1 < k < n)

3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:

1 0

0

2 1 1 ...n

nn k n nn n n n

k

C C C C

0 1

0

0 1 1 1 ... 1n

n k nk nn n n n

k

C C C C

0 1 1 0

0

1 ...n

n k n k n n nn n n n

k

x C x C x C x C x

0 0 1 1

0

1 1 ... 1n

n n nk k n nn n n n

k

x C x C x C x C x

0 1 1 0

0

1 1 ... 1n

n k nk n k n n nn n n n

k

x C x C x C x C x

4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.

a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có 1

nin

i

C với i là số tự nhiên liên

tiếp.

b. Trong biểu thức có 1

1n

in

i

i i C

thì ta dùng đạo hàm i

Trong biểu thức có 1

nin

i

i k C

thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm


nk i

ni

a C thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.


1

1

nin

i

Ci thì ta lấy tích phân xác định trên ;a b thích hợp.

Nếu bài toán cho khai triển

1 1

in nn n i a n i iba b i a b in n

i i

x x C x x C x

thì hệ

số của xm là Cin sap cho phương trình a n i bi m có nghiệm i



inC đạt MAX khi

1

2

ni

hay

1

2

ni

với n lẽ,

2

ni với n chẵn.

B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON.I.Các bài toán về hệ số nhị thức.1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.

Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:

9 10 141 1 ... 1Q x x x x

Ta được đa thức: 140 1 14...Q x a a x a x

Xác định hệ số a9.Giải:

Hệ số x9 trong các đa thức 9 10 141 , 1 ,..., 1x x x lần lượt là: 9 5 9

9 10 14, ,...,C C C

Do đó:

9 5 99 9 10 14

1 1 1 1... 1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.12.13.14

2 6 24 20a C C C =11+55+220+71

5+2002=3003

Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: 2 2 32

1 610

2 x x xA A Cx

Giải:Điều kiện: x là số nguyên dương và 3x Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:

2 1 2 6 2 11 10

2 3!2 2 1 2 2 1 10

3 12 4

x x x xx x

xx x x x x x

x x

Vì x là nghiệm nguyên dương và 3x nên 3;4x

Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 821 1x x Giải:

Cách 1: Ta có: 8 8

2 28 8

0 0 0

1 1 .kk k

ik k k i ik

k k i

f x C x x C x C x

Vậy ta có hệ số của x8 là: 81i k i

kC C thoã

00 8

42 8

2,

3

ii k

kk i

ii k

k

Hệ số trong khai triển của x8 là: 0 24 0 3 28 4 8 31 1C C C C =238

Cách 2: Ta có:



3 4 80 3 2 4 2 8 28 8 8 8... 1 1 ... 1f x C C x x C x x C x x

Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:

Số hạng thứ 4: 33 28 1C x x

Số hạng thứ 5: 44 28 1C x x

Với hệ số tương đương với: A8=3 2 4 08 3 8 4C C C C =238

Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000)

a) Tìm hệ số x8 trong khai triển 12

11

x

b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức 2 1n

x bằng 1024. Hãy

tìm hệ số a *a của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối

D,2000)Giải:

a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:

12 12 212 12

1k

k x k kka C x C x

x

0 12k

Ta chọn 12 2 8 2k k

Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: 212 66C

b) Ta có: 2 2 1 2 12 2

0

1 ...n

k n k k kn n n n

k

x C x C C x C x

Với x=1 thì: 0 12 ... 1024n n

n n nC C C 102 2 10n n

Do đó hệ số a (của x12) là: 610 210C

Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức:

12 120 1 12(1 2 ) ...P x x a a x a x

Tìm max 0 1 2 12, , ,...,a a a a

Giải:

Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: 1k ka a

Từ đây ta có hệ phương trình:

1 112 12

1 112 12

2 12 2 12 1

1 22 212 1

k k k k

k k k k

C C k k

C Ck k

8 180 1 2 12 8 12ax , , ,..., 2 126720m a a a a a C

2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton.

Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 252 3x



Giải:

Số hạng thứ 21 trong khai triển là: 2020 5 20 5 20 2025 252 3 2 3C x C x

Ví dụ 7:

a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 213x xy

b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau

20

4

23

1x x

xy

Giải:

a. Khai triển 203x xy có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12.

Số hạng thứ 11 là: 11 1010 3 10 43 1021 21C x xy C x y

Số hạng thứ 12 là: 10 1111 3 10 41 1121 21C x xy C x y

b. Khai triển

20

4

23

1x x

xy

có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng thứ

10 10 65 207 2

10 10 6 34 320 20

211 16 :

2C x xy C x y

( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x).Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

7

3

4

1f x x

x

với 0x

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển: 7 77

3 3 121 7 74

1, 7

kk kk k

kT C x C x k kx

Ứng với số hạng không chứa x ta có: 7 7

0 43 12

k k

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f x là: 47 35C

Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:10

9 100 1 9 10

1 2... .

3 3x a a x a x a x

Hãy tìm số hạng ka lớn nhất.

Giải:

Ta có: 10

10

10 1010 10 100

1 2 1 1 11 2 2 2

3 3 3 3 3

nkk k k

kk

x x C x a C



Ta có ak đạt được max

1 11 10 10

1 11 10 10

2 2

2 2

2 10! 2 10! 1 2! 10 ! 1 ! 9 ! 19 2210 1

2 2 3 32 10! 2 10!11! 10 ! 1 ! 11 !

7 , 0,10

k k k kk k

k k k kk k

k k

k k

a a C C

a a C C

k k k k k k k

k kk k k k

k k k

Vậy max 7

77 1010

2

3ka a C

Bài tập áp dụngBài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau:

11 101 111 2 ...x x x a x a

Hãy tìm hệ số a5

Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển 5 1021 2 1 3x x x x ( Khối D-2007)

Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức 20x y z t ( Đề 4 “TH&TT” -

2003)Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển

đa thức: 2 32 3 1n n

x x biết:

2 2 1 2 2 02 2 2 23 ... 1 3 ... 3 1024

kn n k n k nn n n nC C C C

Bài 5: (LAISAC) Khai triển 32

1

2

n

P x xx

ta được

3 3 5 3 100 1 2 ...n n nP x a x a x a x Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số

cộng. Tính số hạng thứ x4

II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.

1. Thuần nhị thức NewtonDấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng k n k k

nC a b thì ta sẽ

dùng trực tiếp nhị thức Newton: 0

nn k n k k

nk

a b C a b

. Việc còn lại chỉ là

khéo léo chọn a,b.

Ví dụ 10: Tính tổng 16 0 15 1 14 2 1616 16 16 163 3 3 ...C C C C

Giải:Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng:



0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n

n n n nC C C C

Giải:

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2

1 ... 1

1 ... 2

n n n n nn n n n n

n n n n nn n n n n

x C C x C x C x C x

x C C x C x C x C x

Lấy (1) + (2) ta được:

2 2 0 2 2 2 22 2 21 1 2 ...

n n n nn n nx x C C x C x

Chọn x=3 suy ra:

2 2 0 2 2 2 22 2 2

4 20 2 2 2 22 2 2

2 2

0 2 2 2 22 2 2

2 1 2 0 2 2 2 22 2 2

4 2 2 3 ... 3

2 23 ... 3

2

2 2 13 ... 3

2

2 (2 1) 3 ... 3

PCM

n n n nn n n

n nn n

n n n

n n

n nn n n

n n n nn n n

C C C

C C C

C C C

C C C

Đ

2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2.a.Đạo hàm cấp 1.

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,

…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng knkC hoặc

1k n k knkC a b

thì ta có thể dùng đạo hàm cấp

1 để tính. Cụ thể:

0 1 12 ...n n n n n

n n na x C a C a x nC ax

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:

1 1 1 2 2 12 ... 1n n n n n

n n nn a x C a C a nC ax

Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng 11 2 3 42 3 4 ... 1n n

n n n n nC C C C nC

Giải:Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0.

Cách khác: Sử dụng đẳng thức 11

k kn nkC nC

ta tính được tổng bằng:

1 10 1 2 11 1 1 1... 1 1 1 0

n nnn n n nnC nC nC nC n

Ví dụ 13:Tính tổng: 0 1 20072007 2007 20072008 2007 ...C C C

Giải:Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu:

2007 0 2007 1 2006 20072007 2007 20071 ...x C x C x C


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 0 2006

20072007C x trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm

với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm:

2007 0 2008 1 2007 20072007 2007 2007

2006 0 2007 1 2006 20072007 2007 2007

1 ...

1 2008 1 2008 2007 ...

x x C x C x C x

x x C x C x C

Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006

b.Đạo hàm cấp 2.

Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,

…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng ( 1) k n knk k C a hay tổng quát hơn

1 k n k knk k C a b thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức

0 1 1 ...n n n n n

n n na bx C C a bx C b x

Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:

1 1 1 2 2 2 12 ...n n n n n n

n n nbn a bx C a b C a b x nC b x

Đạo hàm lần nữa:

2 2 2 2 2 11 2.1 ... 1 2n n n n nn nb n n a bx C a b n n C b x

Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi.

Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho 1 , 2n

f x x n

a.Tính 1f

b.Chứng minh răng:

2 3 22.1 3.2 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n

Giải:

a. 1 2 21 1 1 (1) (1 )n n nf x n x f x n n x f n x

b. Ta có



0 1

1 2

1 1

2

2

2

2

1

1 2 2 1

1

1

1 1 2

2.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2 PCM

n nn k k k k

n n n nk k

nk k

n nk

nk kn

k

nk nn

k

p n nn n n n

f x x C x C C x C x

f x C kC x

f x k k C x

f k k C

C C p C n nC n n Đ

Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác:

b’. Chứng minh rằng: 1 2 22.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2p n nn n n nC C n pC n nC n n

Với bài toán này ta giải như sau:

Xét nhị thức: 0 11 ...n n n

n n nx C C x C x

Nhân 2 vế của đẳng thức với 0x đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được:

1 2 1 2 12 1 1 1 2 3.2 ... 1n n n n

n n nn x n n x x C x C x n nC x

Cho x=2 ta được ĐPCMBài tập áp dụng

Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 1 1 19 1920 20 20... 2C C C

Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 2004

0 2 1 2004 20042004 2004 2004

3 12 ... 2

2C C C

Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh:

1 1 2 2 2 2 12 1.2 . 2.2 . 3.2 . ... .3 1n n n n n n

n n n nx C C C nC n n

Bài 4: Rút gọn tổng: 2 1 2008 2 2 2007 2 20092009 2009 20091 2 2 2 ... 2009C C C

III.Một số phương pháp khác:

Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho 0

, ,

m k n

k m n Z

Chứng minh: 0 1 1. ...k k k m m kn m n m n m n mC C C C C C C

Giải:

0 1

0 1 1

0 1

1 ...

Ta c : 1 ...

1 ...

m m mm m m

n n n nn n n

m n m n m nm n m n m n

x C C x C x

ó x C x C x C

x C C x C x

Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là 0 1 1 ...k k m k mm n m n m nC C C C C C

Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là km nC

Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Ta được: 0 1 1. ...k k k m m k

n m n m n m n mC C C C C C C ĐPCM

Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= 2 2 21 22 ... nn n nC C n C với n là số tự nhiên lẽ

Giải:Ta có:

2 2

1 12 2 21 1 2 2

1 11 ...

2 2

n nn n

n n n n n

n nS C n C C C n C

2 2 21 2 1

2 2 21 2 1

2 2 21 2

...

...

2 ...

nn n n

n nn n n

nn n n n

n C C C n

n C C C n

S n C C C n

Mặt khác ta có: 2 0 1 2 22 2 21 ...

n n nn n nx C C x C x hệ số của xn

là: 2 (*)nnC

Trong khi đó: 0 11 ...n n n

n n nx C C x C x

Nên hệ số của xn là 2 2 21 2 ... nn n nC C C (**)

Từ (*) và (**) 2 2 21 22 1 ...n n

n n n nC n C C C

2 PCM2

nn n

nS C Đ

Bài tập áp dụngBài 1: Chứng minh rằng:

a) 1 1 2 1 13 2 3 ... .4n n n nn n nC C nC n (ĐH Luật-2001)

b) 2 1 2 2 2 21 2 ... 1 2n nn n nC C n C n n ( Đề 1-TH&TT-2008)

Bài 2: Tính các tổng sau:

a) 1 2 3 4 5 28 2930 30 30 303.2 5.2 ... 29.2C C C C

b) 1 2

0 ... 12 3 1

nnn n n

n

C C CC

n

Bài 3: Đặt 1 2 161 3

k k kk nT C

. Chứng minh3

1

0n

kk

T



NHỊ THỨC NEWTƠN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH1. (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18

5

12

xx , (x>0).

ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2008)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 204812

232

12 n

nnn CCC . ( knC là số tổ hợp chập k của n

phần tử).ĐS: n=6

3. (ĐH_Khối D 2007)Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10.

ĐS: 3320 4. (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức !1

3 341

n

AAM nn , biết rằng 14922 2

42

32

22

1 nnnn CCCC (n là số nguyên dương,

knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS: 4

3M

5. (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7

4

3 1

xx với x>0.

ĐS: 356. (ĐH_Khối D 2003)Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n.

ĐS: n=5 7. (ĐH_Khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho 2048242 210 n

nn

nnn CCCC .

ĐS: n=58. (ĐH_Khối B 2008)

Chứng minh rằng kn

kn

kn CCCn

n 111

2

1111

(n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k của

n phần tử).

9. (ĐH_Khối B 2007)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:

3nCn03n1Cn

1+3n2Cn23n3Cn

3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, k

nC là số tổ hợp chập k của n phần

tử).

ĐS: 22


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.10. (ĐH_Khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.

ĐS: k=911. (ĐH_Khối B 2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn

n

nnn Cn

CCC1

12

3

12

2

12 12

31

20

, ( knC là số tổ hợp chập k

của n phần tử).

ĐS: 1

23 11

n

nn

12. (ĐH_Khối B 2002)Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n.

ĐS: n=813. (ĐH_Khối A 2008)Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức

409622

10

nnaa

a . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.

ĐS: a8=126720 14. (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng 12

212

252

32

12 12

12

2

1

6

1

4

1

2

1n

nnnnnn C

nC

nCCC

, ( knC là số tổ hợp chập k của n phần

tử).

15. (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n

xx

7

4

1, biết rằng

122012

212

112

nnnn CCC , (n nguyên dương và k

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: 21016. (ĐH_Khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho 20052.122.42.32.2 12

1224

1233

1222

121

12

nn

nnnnn CnCCCC , (

knC là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: n=100217. (ĐH_Khối A 2004)Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8.

ĐS: 23818. (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n

xx

5

3

1, biết rằng 373

14 nCC n

nnn , (n

nguyên dương, x>0, ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: 495


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.19. (ĐH_Khối A 2002)Cho khai triển nhị thức

nxnn

nxxnn

xnx

n

nx

n

nxx

CCCC

3

1

32

113

1

2

112

1032

1

22222222

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.

ĐS: n=7, x=4

CHUYÊN ĐỀ 9: SỐ PHỨC

A. A. ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨCĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.I. LÝ THUYẾT:I. LÝ THUYẾT:1. Khái niệm số phức : Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1.

Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + b i / a, b R và 2i = –1}. Ta có R Ì C . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a Ì Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i

Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.2. Số phức bằng nhau :

Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z '

'

a a

b b

VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)

(1) 2 3 2 1 2 2

3 1 3 7 2 0

x y x y x

y x x y y

3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0,

trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i

4. Môđun của số phức: Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên

mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM��

được gọi là môđun

của số phức z. Kí hiệu 2 2z = a + bi = a + b

VD: z = 3 – 4 i có 2 23 4 3 ( 4)z i = 5

Chú ý : 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4z a b abi a b a b a b z

5. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi .

z = a + bi z = a - bi ; z z , z = z

* Chú ý n n(z ) (z) ;i i; i i z là số thực z z z là số ảo z z

* Môđun số phức z = a + b.i (a; b R) 2 2z OM a b z.z Chú ý: z z z C

Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.6. Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z a bi và ' ' 'z a b i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i



Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.7. Phép nhân số phức: Cho hai số phức z a bi và ' ' 'z a b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i =

–1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z

z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 22 2z.z = a + b = z

VD: Phân tích 2z + 4 thành nhân tử. 2z + 4 = 2z – 2(2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ). Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.

8. Phép chia số phức:

Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là -1

2

1 zz = =

z z hay 2 2

1 a - bi=

a + bi a + b

Cho hai số phức z a bi 0 và ' ' 'z a b i thì 2

' '.z z z

z z hay 2 2

a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)=

a + bi a + b

VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .

Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i z = 2 2

i

i (2 2 ) 2 2 1 1

4 4 8 4 4

i i iz z z i

9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N

4k 4k+1 4k+2 4k+3i = 1; i = i; i = -1; i = -i

VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13(2 2 )i62 6 6 6 19 19(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i

Phần thực a = 192 , phần ảo b = 192

II. BÀI TẬP ÁP DỤNGII. BÀI TẬP ÁP DỤNG1) Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

ĐS : a) x = 3

2 , y = 4

3 b) x = 0, y = 1 c) x = 1 5

2

, y =

1 3

3

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:a) Phần thực của z bằng –2;b) Phần ảo của z bằng 3;c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. Hướng dẫn : a) Là đường thẳng x = –2;b) Là đường thẳng y = 3;c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2

tính cả biên.



3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 21 2a b , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không

tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

4) Thực hiện các phép tính sau:

a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b) 2 3(1 ) (2 )

2

i i

i

5) Giải phương trình sau:

b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 24 3

zi i

i

Hướng dẫn : a) z = 1 b) z = 8 9

5 5i c) z = 15 – 5i.

6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Hướng dẫn :Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin6 6

F

nên F

biểu diễn số 3 1

2 2i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số

3 1

2 2i . E đối xứng F qua

Ox nên E biểu diễn số 3 1

2 2i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số

3 1

2 2i

7) Cho 1 3

2 2z i . Hãy tính: 2 3 21

; ; ; ( ) ;1z z z z zz

.

Hướng dẫn : Ta có 1z nên

1 1 3

2 2i z

z ; 2 1 3

2 2z i ; 3 2. 1z z z ; 21 0z z

8) Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng 1

2z z , phần ảo của số phức z bằng 1

2z z

i

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z .c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .

d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ' , ' . 'z z z z zz z z và nếu z 0 thì ' 'z z

z z

Hướng dẫn : ,z a bi z a bi (1)



a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng 1

2z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số

phức z bằng 1

2z z

i .

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z .c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 0z z z z .d) 2 2; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b là số thực

' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z

' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z

' '. '. '. '

. . .

z z z z z z z z

z z z z z z z z

9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 31; ; 1;m m m mi i i i i i

Hướng dẫn : Ta có 4 2 2. 1i i i

4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 31 1 . 1. . . 1 . 1.m m m m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i i i i

10) Chứng minh rằng:

e) Nếu u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z

và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A

theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z ��

.

f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì '' zz

z z

g) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z

Hướng dẫn :

a) z a bi thì 2 2z a b , u

biểu diễn số phức z thì u

= (a; b) 2 2u a b

do đó | | | |u z

1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z ��

b) z a bi , ' ' 'z a b i , . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i , 2 2 2 2, ' ' 'z a b z a b

Ta có 2 2 2 2 2 2. ' ' 'z z a b a b

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b

Vậy |z.z| = |z|.|z|

Khi z 0 ta có 2 2

' . ' . '' '.

.

z z z z zz z z

z z z zz z

c) u

biểu diễn z, 'u��

biểu diễn z thì 'u u��

biểu diễn z + z và ' 'z z u u ��

Khi , ' 0u u ��

, ta có 22 2 22 2' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u

��

' 'u u u u ��

do đó ' 'z z z z


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

h) 1z i b) 1z i

z i

c) 3 4z z i

Hướng dẫn : Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.

a) Với z x yi 22 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.

b) Với z x yi 2 22 21 ( 1) ( 1) 1 1 0z i

x y i x y i x y x y yz i

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.

c) Với z x yi 2 2 2 23 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y

6 8 25 0x y . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y

12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.

13) Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 10

2 9 11 ...

1

zz z z

z

Hướng dẫn :

Với z 1, 2 9 2 9 10 2 9 101 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

a) 2 2( )z z b) 3 3( )

z z

z z

c)

2 2( )

1

z z

zz

Hướng dẫn : Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi

Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i

Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2( ) 3

z z bi

z z a ab

là số ảo; 2 2

2 2

( ) 4

1 . 1

z z abi

z z a b

là số

ảo.15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1

z i là số ảo.

Hướng dẫn : M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi

a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy

trừ O

b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa

độ.

c) 2 2( )z z khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.

d) 1

z i = 2 2

1 ( 1)

( 1) ( 1)

x y i

x y i x y

là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;

16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:



j) 2 0iz i c) 2 4 0i z e) 2 4 0z

k) 2 3 1i z z d) 1 3 2 3 0iz z i z i

Hướng dẫn :

a) 1 2z i b) 1 3

10 10z i c)

8 4

5 5z i d) ; 3 ; 2 3i i i e) 2z i±

2) Tìm :17) a) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i

z i

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i

z i

là số thực dương. Hướng dẫn :

a) Phần thực là 2 2

2 2

1

( 1)

x y

x y

, phần ảo 2 2

2

( 1)

x

x y

b) Là số thực dương khi 0x và 2 2 1 0x y Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,i i .

18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số

phức 1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa

1 2 3z z z . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi

1 2 3 0z z z

Hướng dẫn :

a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có 1 2 3

1 1

3 3OG OA OB OC z z z ��

vậy G biểu diễn số

phức 1 2 3

1

3z z z z

b) Vì OA OB OC ��

nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm

G trùng O hay 1 2 3 0z z z .

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAIB. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAII. LÝ THUYẾTI. LÝ THUYẾT1. Căn bậc hai của số phức:

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2z = w được gọi là căn bậc hai của w. w là số thực: w = a



a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i

w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi

2z w

2 22 x - y = a

(x + yi) = a + bi2xy = b

Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .

ĐS: có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i , 2z = –1 – 2 i .2. Phương trình bậc hai:

a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: 2 20 ( 0), 4ax bx c a b ac D .

D 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2

bx

a

± D

D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2

| |.

2

b ix

a

± D

VD: Giải phương trình 3 8 0x

ĐS: Phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x

b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 20 ( 0), 4Ax Bx C A B AC D , a biD

D = 0: Phương trình có nghiệm kép 2

Bx

A

D 0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2

Bx

A

± với là 1 căn bậc hai của D.

VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i

a) 2 1 02z iz có D = –1 – 8 = – 9 = 2(3 )i .

Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3

4

i iz i

, 2

3 1

4 2

i iz i

b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i có D = 2 2(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i = 2(1 4 )i

Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3 2 1 41 3

2

i iz i

; 2

3 2 1 42

2

i iz i

B. BÀI TẬP ÁP DỤNGB. BÀI TẬP ÁP DỤNG1) Giải các phương trình sau trên tập phức:

a) 23 2 1 0z z b) 27 3 2 0z z ; c) 25 7 11 0z z Hướng dẫn :

a) 1 2

3

i±b)

3 47

14

i ±c)

7 171

10

i±

2) Giải các phương trình sau trên tập phức:a) 4 2 6 0z z b) 4 27 10 0z z Hướng dẫn :a) 2; 3i± ± b) 2; 5i i± ±



3) Cho a, b, c R, a 0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c . Hãy tính 1 2z z và

1 2z z theo các hệ số a, b, c.

Hướng dẫn : 1 2z z = b

a , 1 2z z =

c

a

4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm. Hướng dẫn :

Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 2 ( ) 0x z z x zz . Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b

5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w

Hướng dẫn : z a bi là một căn bậc hai của w 22 2z w z w z w z w

VD: 23 4 2i i tức 2z i là một căn bậc hai của 3 4w i thì z w

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:a) 2 1z z b) 2 2 5 0z z c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i Hướng dẫn :

a) 2

2 1 1 5 1 5 1 52. .

2 4 4 2 4 2 2z z z z ±

b) 2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i ± ±

c) 2 21 3 8 1 2 1i i i iD Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i .

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn :

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là 2 21,2 4

2

Bz B AC

A

± D nên

1 2 1 2;B C

z z z zA A

.

b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình 2 4 5 1 0z i z i

Có 25 12 2 3i iD nên hai số cần tìm là 1 23 ; 1 2z i z i .

c) Phương trình 2 0z Bz C có hai nghiệm là ;z a bi z a bi thì 2B z z a là số

thực và 2 2.C z z a b là số thực. Điều ngược lại không đúng.

8) a) Giải phương trình sau: 2 2 2 1 0z i z iz

b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn :



a) 22 0z i z i có 3 nghiệm là 2 2 2 2

; ;2 2 2 2

i i i .

b) Ta có 1 2 1 2; . 3z z B z z i nên

2 22 2 2 21 2 1 2 1 28 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i ±

9) Tìm nghiệm của phương trình 1

z kz

trong các trường hợp sau:

a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.

Hướng dẫn : 211 0z k z kz

z có 2 nghiệm 2 2

1,2 42

kz k

± D

a) k = 1 thì 1,2

1 3

2 2z i ± b) k = 2 thì 1,2

2 2

2 2z i ± c) 1,22 1 2k i z i ±

10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:a) 3 1 0z ; b) 4 1 0z ; c) 4 4 0z ; d) 4 38 8 1z z z Hướng dẫn :

a) 3 2 1 3 1 31 0 1 1 0 1, ,

2 2 2 2z z z z z z i z i .

b) 4 4 21 0 1 1 1,z z z z z i ± ± ±

c) 4 4 24 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i ± ± ±

d) 3 2 1 1 31 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,

2 4 4z z z z z z z z z i ±

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c nhận 1z i làm nghiệm.b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2 0z az bz c nhận 1z i và z = 2 làm nghiệm. Hướng dẫn :

a) 21 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c

b) Lần lượt thay 1z i và z = 2 vào phương trình, ta được

2 (2 2 ) 0

8 4 2 0

b c a b i

a b c

2 4

2 2 6

4 2 8 4

b c a

a b b

a b c c

C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)I. LÝ THUYẾTI. LÝ THUYẾT1. Số phức dưới dạng lượng giác :a) Acgumen của số phức z 0 : Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo

(rađian) của góc ( , )Ox OM ��

được gọi là một acgumen của z. Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k )

(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0). VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ;

1

z .



z biểu diễn bởi OM��

thì –z biểu diễn bởi –OM��

nên có acgumen là + (2k + 1) z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2 – z biểu diễn bởi – 'OM

�� nên có acgumen là – + (2k + 1)

1

z = 1

2| |

zz

z , vì 2

1

| |z là một số thực nên 1z có cùng acgumen với z là – + k2.

b) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i : Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z.

Vôùi 2 2 a bz = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =

r r

VD : Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin

Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = 1

2 và sin = 3

2. Lấy

= 3

thì 1 + 3 i = 2(cos 3

+ i sin 3

)

Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin ) Chú ý : Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + ) Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– ) Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – )

2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0

z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] và z r

= [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]z' r'

( r 0)

Ta có 1

'z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên 1 1

[cos( ') sin( ')]' '

iz r

.

Do đó [cos( - ') sin( - ')]' '

z ri

z r ( r ’ 0)

VD: 1

3 32 cos sin

4 4z i

và 2

5 52 sin cos

12 12z i

. Tính 1 2.z z và 1

2

z

z

Với 2 2 cos sin12 12

z i

; 1 2.z z =

5 5 3 12 2 cos sin 2 2 6 2.

6 6 2 2i i i

và 1

2

z

z = 2 2 2 1 3 2 6

cos sin 23 3 2 2 2 22

i i i

3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: a) Công thức Moa–vrơ : Cho số phức z = r (cos + i sin ) n nr(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ) (n * )

b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :`



Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là

φ φr cos + isin

2 2 và 2 2cos sin

2 2r i

φ φr cos + π + isin + π

2 2

VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1001 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

Ta có 1 + i = 1 1

2 2 cos sin4 42 2

i i

.

Do đó 1001 i =

100

502 cos sin 2 cos 25 sin 254 4

i i

w = 1 + 3.i = 2 cos sin3 3

i

có 2 căn bậc hai là 2 cos sin

6 6i

và

7 72 cos sin

6 6i

.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 191 i và công thức Moavrơ để tính

0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð .

Hướng dẫn : 1 2 cos sin4 4

i i

Ta có 19

19 0 0 1 1 2 2 18 18 19 1919 19 19 19 19

0

1 ...n

k kn

k

i i i i i i i

ð ð ð ð ð ð với phần thực là

0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð

19 1919 9 919 19 2 2

1 2 cos sin 2 2 24 4 2 2

i i i i

có phần thực 92 512

Vậy 0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð = –512.

2) Tính:

2120045 3 3

;1 1 2 3

i i

i i

Hướng dẫn :

20042004 2004

1002 1002

1 2 1 1cos sin cos sin

1 2 2 4 4 2 2

i ii i

i

21 21

2121 215 3 3 2 2

1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 23 31 2 3

ii i i

i

3) Cho số phức 11 3

2w i . Tìm các số nguyên dương n để nw là số thực. Hỏi có số nguyên

dương m để mw là số ảo?



Hướng dẫn : 1 4 4 4 41 3 cos sin cos sin

2 3 3 3 3n n n

w i i w i

W là số thực khi 4

sin 03

n , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.

Không có m nào để mw là số ảo.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

i

iiii

i 132321

1

1 102

2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

a. ;2

31

1

2

i

iz

i

i

b. ;02

1.32

iizizi

c. ;0||2 zz d. 022 zz ;

3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + ... + (1+i)20 b. 1 + i + i2 + i3 + ……+ i2011

4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau:

a. ;4|3| zz b. ;2|1| izz

c. ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz

5. Các vectơ

',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

a. Chứng minh rằng tích vô hướng '.'.2

1'. zzzzuu

;

b. Chứng minh rằng

',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz

6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

,kiz

z

(k là số thực dương cho trước).

7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 11

iz

z và .1

3

iz

iz

8. Tìm số phức z thỏa mãn 14

iz

iz

9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: 1 tan

1 tan

i

i

10. Giải các phương trình sau trên C :

a. 012

234 z

zzz bằng cách đặt ẩn số phụ

zzw

1 ;


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. b. 0363263 2222 zzzzzz

c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. 01 32 izziz d. .0124 222 zzzz

11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21, zz sau :

a.

izz

izz

25

422

21

21 b.

izz

izz

25

5522

21

21

12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :

a. -1-i 3 ; b.4

sin4

cos

i c. ;8

cos8

sin

i d. cossin1 i ;2

0

13. Cho PT : z2 + kz + 1=0 (-2<k<2). Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị.14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện sau : 2 1 3z z i z

15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a. ;313

sin3

cos75 iii

b.

9

10

3

1

i

i

; c. 2000

2000 1

zz biết rằng .1

1

zz

16. CMR: 3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007

17. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức

n

i

i

33

33 là số thực, là số ảo?

18. Viết dạng lượng giác số z = 1 3

2 2i . Suy ra căn bậc hai số phức z ?

19. Với giá trị nguyên dương n nào thì số phức sau là số thực, số ảo ? 1) 3 3

( )3 3

i n

i2)

7( )4 3

i n

i

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBÀI TẬP TỰ LUYỆN1) Tìm các số thực x, y sao cho:

a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i. Hướng dẫn :a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3

2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó. Hướng dẫn : z = a + bi |z| = 2 2a b . Ta có |z| 2a = a và |z| 2b = b



3) Giải phương trình sau trên tập phức:a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz. Hướng dẫn :

a) 7 4

5 5i b)

18 13

7 7i

4) Giải phương trình sau trên tập phức:a) 23 7 8 0z z b) 4 8 0z c) 4 1 0z Hướng dẫn :

a) 7 47

6

i ±b) 4 8± , 4 8i± c) 1, i± ±

5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4. Hướng dẫn : 1 2 1 23, 4z z z z 1 2,z z là nghiệm phương trình 2 3 4 0z z với D = 2( 7 )i

1,2

3 7

2

iz

±

6) Cho hai số phức 1 2,z z . Biết rằng 1 2 1 2,z z z z là hai số thực. Chứng tỏ 1 2,z z là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực. Hướng dẫn :Đặt 1 2 1 2,z z a z z b với a, b R. Khi 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 1 2( )( ) 0z z z z hay

21 2 1 2( ) 0z z z z z z 2 0z az b

7) Chứng minh rằng nếu 1z w thì số 1 01

z wzw

zw

là số thực.

Hướng dẫn : Ta có 2

. 1z z z

1 1

11 11 1 1

z w z w z w z wz wzw zwzw zw

zw

nên 1 0

1

z wzw

zw

là số thực.

8) Giải phương trình:

a) 23 6 3 13 0z i z i b)

23 3

3 4 02 2

iz iz

z i z i

c) 2 22 1 3 0z z

Hướng dẫn :

a) 2 3 3 23 6 3 13 0

3 3 2 3

z i i z iz i z i

z i i z i

b) 2

3 1 51

(1 ) 3 23 3 2 2 23 4 04 353 (4 ) 3 82 2

417 172

izz i

i z iiz iz z iiz i z iz i z i

z iz i

c) 2 22 2 21 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i

Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 1 21 2 ; 1z i z i

Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 3 41 2 ; 1z i z i



9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2( ) 2( ) 5x yi x yi . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. Hướng dẫn : Phần thực là 2 2 2 5x y x , phần ảo là 2( )xy y . Số phức trên là số thực khi y =

0 hoặc x = 1. 10) Thực hiện các phép tính:

a) d) 3 3(1 2 ) (1 2 )i i ; g) 2010 2009(1 ) (1 )i i e) 2 2 1 2

1 2 2 2

i i

i i

11) Tìm z, biết:

a) (1 5 ) 10 2 1 5i z i i ; b) (3 2 ) 1 4i z i z c) 1 31

z ii i

i

d) 2 3

1 3 2 11

iz i z

i

; e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i ; f)

2 1 3

1 2

i iz

i i

g) 21 1 2 2

1

z iz i i

i

h)

1 22 3

1 1

i z iz i

i i

i) 2 2

1 5 51

iz ii z i

i

Hướng dẫn :

a) 1 2z i ; b) 1 3

5 5z i ; c) 2 3z i ; d)

1

5z i ;

e) i ; f) 2 4

5 5i g) 3z i h) 3z i i) 2 3z i

12) Biết 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình 2 3 3 0z z . Hãy tính:

a) 2 21 2z z ; b) 3 3

1 2z z ; c) 1 2

2 1

z z

z z ; d)

2 2

1 2z z

Hướng dẫn :

a) 2 21 2z z = –3; b) 3 3

1 2z z = 6 3 ; c) 1 2

2 1

z z

z z = –1; d)

2 2

1 2z z = 6.

13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Hướng dẫn : Hai số phức cần tìm là 1

3 7

2 2z i và 2

3 7

2 2z i

14) Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2 8(1 ) 12 16 0z i z i ; b) 2 2 2 0z i z i ;

c) 2 2 1 4 0iz i z ; d) 2 5 8 0z i z i

Hướng dẫn :a) 2 , 8 6z i z i ; b) 1 22;z z i ; c) 1 22; 2z z i ; d) 1 22 ; 3 2z i z i

15) Giải các phương trình sau trên tập số phức:b) 4 26 25 0x x ; b) 4 216 100 0x x ; c) 4 23 3 3 0x x i d) 4 23(1 2 ) 8 6 0x i x i ; e) 4 7 24 0x i ; f) 4 28 96 0x i

Hướng dẫn :a) 1 2 , 1 2x i x i± ± ; b) 3 , 3x i x i± ± ; c) 2 , 1x i x i± ±

d) 2 , 1x i x i± ± ; e) 2 , 1 2x i x i± ± ; f) 3 , 1 3x i x i± ±



16) Tìm z biết: a) 2z z ; b) 2 2 4z z i c) 2 1 2z i z i và 1 10

10z

Hướng dẫn : Gọi z = x + y i z = x – y i và 2 2 2 2z x y xyi .

a) 2z z 2 2 (1)

2 (2)

x y x

xy y

(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) x = 0 hoặc x = 1

Nếu y 0 (2) có nhiệm x = –1

2 thay vào (1) y = 3

2±

Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 1 3 1 3

(0;0), (1;0), ; , ;2 2 2 2

Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = 1 3

2 2i ; z =

1 3

2 2i

b) 2

43

z i c) 1 3 ; 1 3z i z i

17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

c) 2z i ; b) 3

13

z i

z i

; c) 1z z i ; d) (2 3 ) 2 0i z i m (m là tham số)

Hướng dẫn :

a) 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.

b) 2 2

2 2

( 3)3 ( 3)1 1 1 0

3 ( 3) ( 3)

x yz i x y iy

z i x y i x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.

c) 2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

d)

2 62 2 6 3 4 13(2 3 ) 2 0 3 2 2 0

3 42 3 13 13

13

mx

m i m mi z i m z z i x y

miy

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.

18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính 5(1 )i , 6

3 i .

Hướng dẫn : 4 1 i .

19) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 8

3 i .

Hướng dẫn: 3 1

3 2 2 cos sin2 2 6 6

i i i

.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.20) Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z . Tính giá trị của biểu thức

2 2

1 2

2

1 2

z zA

z z

. ĐS: A=11/4

21) Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

ĐS: 2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i .

22) Tìm số phức z thỏa mãn:

11 1

31 2

z

z i

z i

z i

. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.

23) Giải phương trình: 4

1z i

z i

. ĐS: z{0;1;1}

24) Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z{0;i;i}25) Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z=0, z=1, 1 3

2 2z i ±

26) Giải phương trình: 2

4 3 1 02

zz z z .

HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, 1 1

2 2z i ± .

27) Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.

HD: Đặt thừa số chung ĐS:1 3 1 3

1, ,2 2 2 2

z z i z i ± ± .

28) Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.29) Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:

a. = 25i b. = 2i 3 c. = 3 - 2i

30) Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.

31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i . ĐS: 2

4

xy .

32) Trong các số phức thỏa mãn 3

2 32

z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

HD: *Gọi z=x+yi. 3

2 32

z i … 2 2 92 3

4x y .



Vẽ hình |z|min z.

ĐS:

26 3 13 78 9 13

13 26z i

.

33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.

34) Trong các số phức thỏa mãn 1z z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNGMỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Bài 1. Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z . Tìm

phần thực và phần ảo của z.

b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4 3 7

2z i

z iz i

trên tập .

Hướng dẫn :

a) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z 2(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i 2 (2 ) 1 2 8i i i z i 8

1 2

iz

i

(8 )(1 2 )

1 4

i iz

10 152 3

5

iz i

. Phần thực là 2, phần ảo –3

b) 4 3 7

2z i

z iz i

2 (4 3 ) 1 7 0z i z i

Ta có D = 2 2(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i . Phương trình có 2 nghiệm:

1

4 3 23

2

i iz i

và 2

4 3 21 2

2

i iz i

Bài 2. Bài 2. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | (3 4 ) | 2z i . Hướng dẫn :Đặt z = x + y i (x, y ) (3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i

Ta có | (3 4 ) | 2z i 2 2( 3) ( 4)x y = 2 2 2( 3) ( 4)x y = 4

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2Bài 3. Bài 3. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

Tìm số phức z thoả: | (2 ) | 10z i và .z z = 25.



ĐS: z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i .Bài 4. Bài 4. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm

phức của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2

1 2A z z .

Hướng dẫn :2 2 10 0z z có D = 1 – 10 = –9 = 2(3 )i . Nghiệm là 1 1 3z i , 2 1 3z i

Ta có: 1 1 9 10z và 2 1 9 10z nên 2 2

1 2 20A z z

Bài 5. Bài 5. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:

22 3 4 1 3i z i z i

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình 2 1 6 3 0z i z i

Hướng dẫn :

a) Gọi z = a + bi, ta có: 22 3 4 1 3i z i z i

2 6 4 8 22 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6

2 2 6 5

a b ai a bi i a bi i a b a b i i

a b b

Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5.

b) 2 1 6 3 0z i z i có D = 2 2(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i

Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1

1 1 51 2

2

i iz i

; 2

1 1 53

2

i iz i

Bài 6. Bài 6. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: 2z và 2z là số thuần ảo ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i.

Bài 7. Bài 7. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 1 (1 )z i z

Hướng dẫn :

Gọi z = x + yi, ta có 2 2 2 2( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y 2 2 2 22 1 0 ( 1) 2x y y x y . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 .

Bài 8. Bài 8. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 2( 2 ) (1 2 )z i i

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: 3(1 3 )

1

iz

i

. Tìm môđun của số phức

z iz Hướng dẫn :

a) Gọi z = a + bi, ta có: 2( 2 ) (1 2 )z i i 1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i .

5, 2a b . Vậy phần phần ảo b = – 2 .



b) Gọi z = a + bi, ta có: 3(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )

4 41 1 1 1 1

i i i iz i

i i i

z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i z iz = –8 – 8i. Do đó : 2 28 8 8 2z iz .

BÀI TẬP TỰ LUYỆNDạng 1: Tính toán và Chứng minh

Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

1, (3 5 ) (7 3 )z i i 2, (4 3 )(4 5 )z i i 3, 5 2 7(2 ) 3z i i i

4, 14(1 )z i 5, 5(3 2 )(3 2 ) 5(1 2 ) 2z i i i i 6, 16 16(3 ) (1 2 )z i i

7, 8(1 )z i 8, 3(3 )z i 9, 3 2(1 ) (1 )z i i

10, 2

1

iz

i

11,

2(1 2 )(2 )

1 3

i iz

i

12,

2(2 3 )(3 )

6 17

i iz

i

Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:

1, 2( 3) 3(2 3)( 1)z i i i 2, 3 3(2 ) (3 )z i i

3, 7

7

1 1

2z i

i i

4, 3 2

1

i iz

i i

5, 32 14 3 2

2

iz i i

i

6, 3(3 1)(2 )

(1 4 )1

i iz i i

i

7, 18 18

20

( 1 9 ) (4 5 )

(1 )

i iz

i

8,

3 2 3 3 2 3

2 3 2 3

i iz

i i

9, 15

9912

(1 3 ) 13

( 3 )

iz i

ii

10,

33101 1

(1 ) (2 3 )(2 3 )1

iz i i i

i i

11, 16 8

1 1

1 1

i iz

i i

12, 2 991 (1 ) (1 ) ... (1 )z i i i

Bài 3: Tìm z và tính z biết rằng:

1, 2 3z i 2, 2 2z i 3, 2013z

4, 2014z i 5, 2 3 (2 3)z i 6, 1

(1 )(3 2 )3

z i ii

Bài 4: Cho số phức 1 3

2 2z i . Tính: z ; z ;

1

z; 3z ; 2

z ; 2 1z z ; 201361 z

Bài 5: Cho số phức 2(1 2 )(2 )z i i . Tính: z ; z ; z z ; .z z


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

1, 3 5 2 1 ( )x y xi y x y i 2, 3(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i

3, 3 2 1 (2 )x yi y x i 4, 2 1 ( 2 5)x y x y i

5, 3

( 2 )(2 ) 22

x yi x yi i 6, 2 2(1 ) (4 3 ) 1 4x i y i xy i

Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

1, 2 3(2 3 ) (2 1)(1 ) 5(7 10 )x i y i i

2, 2 3(2 )(3 ) ( 2 )( 2) 18 76x i i x y i i

3, 3(2 1)(2 ) ( 3 2 )(2 3 ) 6 85x i y i i i

4, 7

21(3 ) ( 2)( ) 19 23

1

ix y y x i i

i

Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:

1, 3 2

2 3

(1 3 ) (4 3 )

(2 ) (3 80 )

i iz

i i i

2,

2

2

(3 2 ) ( 2 ) 19

3(1 2 )

i iz

ii

3, 7 7(2 5) (2 5)z i i 4, 2013 2013

19 7 20 5

9 7 6

i iz

i i

Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:

1, 9 5(1 3 ) (512 3)z i i i 2, 2 2(5 1) (1 3 ) (8 10)z i i i

3, 5 2 5 2

2 3 10 2 3 10

i iz

i i

4,

52 2013 52 2013

(3 1)(79 7 ) 10(23 10 )

i iz

i i

Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

1, 3 2

(1 )(2 3 )

iz

i i

2,

(1 )(2 ) (1 )(2 )

2 2

i i i iz

i i

3, 31 5(2 )

1

iz i

i

4, 2 4 7

(2 ) (1 )2

iz i i

i

Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:

1, 2013 2

2

1

i iz z

z

2,

3 2

1

z zz z

z

Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

1,

3

1 3 1 3

2 2 2 2

i iA

2, 2 2

2 2

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

i iB

i i



3, 3 3

3 3

(2 ) (2 )

(2 ) (2 )

i iC

i i

4,

2013101 1

(1 ) (2 3 )(2 3 )1

iD i i i

i i

Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:

1, 0iz z i 2, (3 2 ) 1 4i z i z 3, (1 5 ) 10 2 1 5i z i i

4, 1 31

z ii i

i

5,

2 31 3 2 1

1

ii z

i

6,

2 1 3

1 2

i iz

i i

7, ( 2 3) 3 2i z i 8, 2

( 1)(1 ) 2 21

z iz i i

i


1, (4 3 ) (2 )(3 5 )i z i i 2, 2 3 4 11z iz i 3, ( 2) (3 )( 1 3 )z i i z i

4, 2

2 2 1

(3 ) 10 5

i z z

i i

5, 3

7 3

(2 1) 2 1

i i

i z

6,

1 22 3

1 1

i z iz i

i i

7, 2z z 8, 2 2 4z z i 9, . 3 13 18z z z z i

10, 4 (2 ) 7 3 7z z i z i 11, 2 2

(1 ) 5 51

iz ii z i

i


1, 5z và z z 2, 2 3z z và z z 3, 2

2 . 5z z z và z z

4, 22 0z z và

11

3

z

z

5, 2 1 2z i z i và

1 10

10z

6, 5z và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.


1, 22z z z 2,

5 31 0

iz

z

3, 2

1 (2 3 )2

i i zi

z z

4, 3( 2 )

1 2

iz

i

5,

21( 1)(1 )

1

zz i z

i

6, 2. 2 10 3z z z z z i

7, 1 5z và 17 5 . 0z z z z 8, 1 2 5z i và . 34z z

9, (2 ) 10z i và . 25z z 10, 3 1z i iz và 9

zz

là số thuần ảo


1, 2 4 2z i z i và 1 2z i nhỏ nhất.



2, 1 2z i iz và (2 3 2 )( )z i z i là số thuần ảo.

3, z nhỏ nhất và ( 1) 2z z i là số thực.

4, z nhỏ nhất và 3 2iz z i

5, z lớn nhất và 2 (1 )z z là số thuần ảo.


1, 2 52z i và 4 2z i nhỏ nhất.

2, 1 2 3 4z i z i và 2z i

z i

là số thuần ảo.

3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:

1z và 22 3z z


1, 1 2 3 4z i z i và 1 10z z i 2, 1

1z

z i

và

31

z i

z i

3, 2 5

3 3 2

z

z i

và

51

1

z

z

4,

11

3

z

z

và

22

z i

z i

5, 11

z i

z

và ( 3)( 3 ) 9z z i 6,

31

z i

z i

và ( 2)( 5 2 ) 6z iz i

7, 22 0z z và

11

3

z

z

8,

21

2

z

z i

và ( 1) 5z z i

Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho w (2 3 )(2 )(3 2 )z i i i là 1 số thực.

2, Cho số phức z thoả mãn: 2 3z z i . Tính 12z .

3, Cho số phức z thoả mãn: 7

12

zz

z

. Tính

2z i

z i

.


12

zz

z

. Tính

4

2

z i

z i

.

5, Cho số phức z thoả mãn: 2 3( 1 2 )z z i . Tính 2 3

w z z z .


1z i

z

. Tính 1 (1 )A i z .




2

z i

z

là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1T z z i .

Bài 21: 1, Cho hàm số: 3 2( ) 2 7 3f z z z z . Chứng minh rằng:

w (1 ) (1 )f i f i là một số thực.

2, Cho số phức z x yi ( ,x y ) thoả mãn: 3 18 26z i .

Tính giá trị của biểu thức: 2013 2013( 2) (4 )A z z .

3, Cho số phức 1

w1

z

z

. a, Xác định phần thực của w biết rằng 1z và 1z .

b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì 1z .

Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:

1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: (2 ) 10z i và . 25z z

2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: 2z và 2z là số thuần ảo.

3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: 2( 2 ) (1 2 )z i i

Cho số phức z thoả mãn: 3(1 3 )

1

iz

i

. Tính z iz .

4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn: 3

53

z

z i

và 4 10z i z i .

5,(A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết: 22z z z

Tính z , biết rằng: (2 1)(1 ) 1 (1 ) 2 2z i z i i

6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: 5 3

1 0i

zz

.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức:

3

1 3

1

iz

i

7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn: 5

21

z ii

z

. Tính w biết 2w 1 z z .

8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: 2(1 2 )

(2 ) 7 81

ii z i

i

.

Tính mô đun của số phức w 1z i .

9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: (1 )( ) 2 2i z i z i .



Tính môđun của số phức w, biết 2

2 1w

z z

z

.

Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: 1 5z z i và (2 )z i z là số ảo.

2, Tìm số phức z thoả mãn: 222( ) 2 2 3z i z z i

3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: w 4z i và 3 3w 7 28z i

4, Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z z i z i và (2 )z i z là số thực.

5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:

1

3

1 3

n

iz

i

là số thực và 2

2

5

2 3

ni

zi

là số thuần ảo.

6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn 1 32

z zz

, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

7, Cho số phức z thoả mãn 2 6 13 0z z . Tính 6

zz i

.

8, Cho số phức z thoả mãn 2 2 4 0z z . Tìm số phức

7

1 3w

2

z

z

.

9, Cho z là số phức thoả mãn (1 )( )z i z là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức T z i .

10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn (1 )

2 31

i z

i

, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số phức

có môđun lớn nhất.

Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn 2 3 4z iz z . Tính 2013

2014

1w z

z .

2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: 3 4z z .

3, Tính môđun của số phức z, biết 3 12z i z và z có phần thực dương.

4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: 2

12 2 (3 )z i z

5, Tìm số phức z biết: 22 1 1 (1 )z z i z .

6, Tìm số phức z biết: 22

2 . 8z z z z và 2z z .



7, Tìm môđun của số phức z biết: 2

1 2 11 2z i iz z i .

8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 )i z là số thực và 2 5 1z i .

9, *Tìm số phức z sao cho 5z và 2

1

z là hai số phức liên hợp của nhau.

10, Cho số phức 1 3

2

iz

. Tính giá trị của biểu thức:

2 3 4 52 3 4

2 3 4

1 1 1 1P z z z z

z z z z

Bài 25: 1, Cho số phức 11

1

1

iz

i

. Tính môđun của số phức:

2013 2014 2016 2021w z z z z

2, Tính môđun của số phức z biết:

3

21 3.(1 2 )

1

iz i

i

3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn 2w

z là số thực và w 2 3z .

Tính môđun của số phức z.

4, Tìm số phức z thoả mãn: 2(1 3 )

1

iz i zz

i

.

5, Tìm môđun của số phức z, biết: 2 2 3

1

z zz

z

.

6, Cho số phức z thoả mãn: 6 7

1 3 5

z iz

i

. Tìm phần thực của số phức 2013z .

7, Cho số phức z thoả mãn:

3

1 32 .

1

iz i z

i

. Tính 2 .A z i z .

8, Tìm số phức z, biết: ( 1)(2 3 ) 1 (2 3 ) 14z i z i và 2z .

9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức 2w 2 1z z có môđun lớn nhất.

10, *Cho số phức 0z thoả mãn 2z .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: z i

Pz

.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 26: Cho hai số phức 1z và 2z . Chứng minh rằng:

1, 1 2 1 2z z z z 2, 1 2 1 2. .z z z z 3, 1 2 1 2. .z z z z

4, 1 2 1 2z z z z 5, 1 1

2 2

z z

z z

( 2 0z ) 6,

11

2 2

zz

z z ( 2 0z )

Bài 27: Cho hai số phức 1z và 2z . Chứng minh rằng:

1, 2 2 2 2

1 2 1 2 1 22z z z z z z

2, 2 2 22

1 2 1 2 1 2 1 21 1z z z z z z z z

3, 2 2 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z

4, 22 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z

Bài 28: Cho hai số phức 1z và 2z . Chứng minh rằng:

1, 1 2 1 2z z z z 2, 2 2 2

1 2 1 2. .z z z z 3, 2 2 21 2 1 1 2 22z z z z z z± ±

4, 2 21 2 1 2 1 2z z z z z z 5, 3 3 2 2 3

1 2 1 1 2 1 2 23 3z z z z z z z z± ± ±

Bài 29: Cho số phức z thoả mãn 1z . Chứng minh rằng:

1, 3 2

1 5z i

z

2,

3 21 1 1 5z z z

Bài 30: Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:

x y z x y z x y z x y z

Bài 31: Cho hai số phức 1z và 2z đều có môđun bằng 1.

Chứng minh rằng số phức 1 2

1 21

z z

z z

là số thực, với 1 2 1z z .

Bài 32: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 2 1 2 0z z z z .

Tính giá trị của biểu thức:

4 4

1 2

2 1

z zA

z z

.

2, Cho 1z , 2z là 2 số phức thoả mãn phương trình 6 2 3z i iz và 1 2

1

3z z .



Tính 1 2A z z .

3, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 2 1z z và 1 2 3z z . Tính 1 2z z .

4, Cho 1z , 2z , 3z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z và 1 2 3 1z z z .

Chứng minh rằng: 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z .

5, Cho hai số phức: 2 2

1 ( 1) (2 3 4)z a a a a i ( a ) và 2 3 2z i .

Tìm giá trị của tham số a để 1 2z z .

6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt 1z , 2z thoả mãn điều kiện 1 2z z khi và chỉ khi 1 2

1 2

z z

z z

là

số thuần ảo.


1, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 3z , 2 4z và 1 2 37z z .

Tìm số phức 1

2

zz

z .

2, Cho hai số phức 1z , 2z . Chứng minh rằng: 1 2 1 2w z z z z là 1 số thực.

3, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 2 21 2 1 2z z z z . Tính

1 2

1 2

z z

z z

.

4, Cho 1z , 2z , 3z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z .

Chứng minh rằng: 1 2 2 3 3 1 1 2 3z z z z z z z z z

5, Cho số phức 0z thoả mãn điều kiện: 3

3

12z

z . Chứng minh:

12z

z .

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm

● Véc tơ ( ; )u x y

biểu diễn số phức z x yi .

● Điểm ( ; )M x y biểu diễn số phức z x yi , tức là OM��

biểu diễn số phức đó.

● Tập hợp điểm ( ; )M x y thoả mãn:

+ 0Ax By C , 2 2 0A B : là một đường thẳng

+ MA MB : là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ 2y ax bx c , 0a : là một Parabol

+ 2 2 2( ) ( )x a y b R : là đường tròn tâm ( ; )I a b , bán kính R.



+ 2 2 2( ) ( )x a y b R : là hình tròn tâm ( ; )I a b , bán kính R.

+ 1 2 2MF MF a , 1 2 2 2F F c a : là một Elip

+ 1 2 2MF MF a , 1 2 2 2F F c a : là một Hypebol …

Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:

1, 3z 2, 2z i 3, 3 2z i 4, 2z i Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

1, 1z 2, 2z 3, 1 2 4z i

4, 2 3z i 5, 2 1z i 6, 2 2z z

7, 4 4 10z i z i 8, 1 2z 9, 1 1 2z i

Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

1, 2 2 5z z 2, 2z là số thuần ảo 3, 3 4z z i

4, (3 4 ) 2z i (B-2010) 5, (1 )z i i z (D-2009)

6, 3 2 2 1 2z i z i 7, 1 2z z i 8, 2 2z i z z i


1, 4z z 2, 3z i 3, 22 4z z

4, 2 1 2 3z i 5, (2 3 ) 2 0i z i m 6, (1 ) (1 ) 2 1i z i z z

7, 1z i

z i

8,

21

3

z i

z

9,

32

z i

z


1, (2 )( )z z i là số thuần ảo 2, 2 2 4z z i là số thực

3, 2 3

1

z i

z

là số thuần ảo 7, 1

1

iz i

z i

là số thực

8, 2

1

z i

iz

là số thuần ảo 9, 1

z i

iz

là số thực


1, 2z là số thực âm 2, 2( )z i là số thuần ảo

3, 2( )z i là số thực âm 4, 22( )z i z



5, 1

z i là số thuần ảo 6,

z i

z i

là số thực dương


1, 1 2 0z i 2, (1 ) (1 )i z i z 3, log 1z i

4, 2 2

2 2 26z z 5, 1

1z zz

6, 1

3

2 2log 1

4 2 1

z

z

7, 1 1 4z z 8, 2 2 6z i z i 9, 5 5 8z z

Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:

1, M biểu diễn các số phức 1z i , trong đó 1 2 3z i .

2, M biểu diễn các số phức 2z i , với 2 1 3z i .


1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 3 2i z , biết 1 2z .

2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 3z i , biết:

a,2

3 . 9z i z z b, 2

2 3 . 1z i z z c, 2 3 5z i

3, Cho số phức 3

5

1 3

16(1 )

iz

i

. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:

w 2iz z .

4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3iz , biết: 2 1 2 6z zz z iz .

Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 3i ,

2 2i , 4 2i , 1 7i , 3 4i , 1 3i , 3 2i .

1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Điểm Q biểu diễn số phức nào?

3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tìm tâm và tính bán kính đường tròn đó.

Bài 11: Các véc tơ ,u v

trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

, 'z z . Chứng minh: 1, 1. ' '

2u v zz zz

2, ' 'u v z z z z

3, Nếu 0u

thì ,u v

vuông góc khi và chỉ khi 'z

z là số thuần ảo.

Dạng 3 : Căn bậc hai và phương trình bậc hai


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, 2z i 2, 2z i 3, 3 4z i

4, 2 2 3z i 5, 1 4 3z i 6, 4 6 5z i

7, 1 2 6z i 8, 7 5z i 9, 46 14 3z i Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1, 2 6 11 0z z 2, 2 3 10 0z z 3, 23 4 6 0z z

4, 2 2 3 7 0z z 5, 2 ( 5) 8 0z i z i 6, 2 (4 5 ) 11 13 0z i z i

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1, 2 3(1 ) 5 0z i z i (D-2012) 2, 2 2(2 ) 7 4 0z i z i

3, 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i 4, 2 (3 4 ) 1 5 0z i z i

5, 22 2(5 2 ) 28 4 0z i z i 6, 2 (5 14 ) 2(5 12) 0z i z i


1, 2 2(1 ) 4 0iz i z 2, 2 2(2 ) 6 8 0z i z i

3, 2 (1 ) 6 3 0z i z i 4, 2 (1 ) 10 11 0z i z i

5, 2 7 3 16 3 0z i z i 6, 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i

Bài 5: Gọi 1 2,z z là các nghiệm của phương trình: 23 5 3 0z z . Tính giá trị của các biểu thức:

1, 2 21 2A z z 2, 3 3

1 2B z z 3, 5 51 2C z z

4, 3 31 2

2 1

z zD

z z 5,

1 2

2 12 1 2 1

z zE

z z

6, 2 21 2 2 1

1 22 2

z z z zF

z z

Bài 6: Chứng minh rằng:

1, Hai số phức liên hợp z và z là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì z cũng là nghiệm của nó.

Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:

1, 1 5 2z i và 2 5 2z i 2, 1 2 5z i và 2 2 5z i

3, 2z i 4, 4z i 5, 2 3z i Bài 8: Tìm hai số phức biết:

1, Tổng của chúng bằng 4 i và tích của chúng bằng 5(1 )i .

2, Hiệu của chúng bằng 6i và tích của chúng bằng 2(7 6 )i .


1, Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 10 0z z . Tính giá trị của các biểu thức:



2 2

1 2A z z


2 21 2B z z


2013 2013

1 21 1P z z

4, Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 2 8 0z z . Tính giá trị của các biểu thức: 2013 20131 2P z z

5, Gọi 1 2,z z là 2 nghiệm phức của phương trình: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i .

Tính giá trị của các biểu thức: 2 2

1 2A z z

6, Gọi 1z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: 2 2 5 0z z . Tìm tập hợp các điểm M biểu

diễn số phức z thoả mãn: 12

2 11

2z

z z

z z

7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm 1z của phương trình: 2 2 5 0z z và điểm

B biểu diễn số phức 2 1

1

2

iz z

. Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.

8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức

12

66

1 3 (2 )

1 3 (1 )

i i

i i

là nghiệm của phương trình:

2 8 64 0z bz c .


2 2

1 22

1 2

z zP

z z

10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn 0a b c và z là nghiệm của phương trình:

2 0az bz c . Chứng minh rằng: 1 5 1 5

2 2z

11, Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 4 0z z . Tính giá trị của các biểu thức: 2

1 2 1 22 2

1 2

2z z z zA

z z

Dạng 4 : Phương trình quy về bậc hai


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1, 3 1 0z 2, 3z i 3, 6 0z i

4, 4 1 0z 5, 4 4 0z 6, 4 38 8 1z z z Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1, 3 23 8 10 4 0z z z 2, 3 2 2 2 2 0z z z

3, 3 22(1 ) 3 1 0z i z iz i 4, 3 22 5 (3 2 ) 3 0z z i z i

5, 3 2(2 1) (3 2 ) 3 0z i z i z 6, 3 22(1 ) (4 9 ) 1 7 0z i z i z i

7, 3 25 (4 5 ) 4(2 ) 8 0z i z i z i 8, 3 2 (1 4 ) 2 0iz z i z


1, 4 23 4 0z z 2, 4 26 25 0z z 3, 4 2(2 ) 2 0z i z i

4, 4 3 27 27 0z z iz i 5, 4 26(1 ) 5 6 0z i z i 6, 22 21 ( 3) 0z z

7, 4 2(1 3 ) 2 2 0z i z i 8, 22 24 12 0z z z z


1, 2 3( ) 4 0z i z z i 2, 2 ( 3)( 2) 10z z z z

3, 2 2 2 1 0z i z iz 4, 21 8( 1) 15 0zi zi

5, 2( 2 3 ) 6( 2 3 ) 13 0z i z i 6, 22 2 23 6 2 3 6 3 0z z z z z z

7, 2

1 13 2 0

z z

z i z i

8,

23 3

2 2 02 2

iz iz

z i z i

Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)

1, 4 3 22 7 9 7 2 0z z z z

2, 4 3 2(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z

3, 4 3 22 (3 4) 2(2 3 ) (3 4) 2 0z i z i z i z

4, 4 3 2(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z

5, 4 3 22 (7 ) 2(5 ) (7 ) 2 0z i z i z i z

6, 4 3 2(3 ) (4 3 ) 2(3 ) 4 0z i z i z i z

7, 4 3 24 (6 10 ) (15 8) (6 10 ) 4 0z i z i z i z


1, 2

4 3 1 02

zz z z 2, 4 2( 2) ( 2) 5 14 13 1 0z z z z


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.3, 4 3 22 4 4 0z z z z 4, 5 4 3 22 4 8 16 32 0z z z z z

5, 22 23 5 3 36 0z z z z 6, 2 23 2 11 30 60z z z z

7, 4 4( ) ( 3 ) 256z i z i 8, 2 21 8 15 105z z iz

9, 5 4 3 2 1 0z z z z z 10, ( 1)( 2)( 4)( 7) 34z z z z

11, 4 3 22 4 4 0z z z z 12, 4 3 24 7 16 12 0z z z z

Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:4 3 2 2 22 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b

2, Giải phương trình: 4 3 22 3 2 2 0z z z z Bài 8: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

3 2 23 3 63 ( 3)( )z z z z z az b

2, Giải phương trình: 3 23 3 63 0z z z

Bài 9: Cho phương trình: 3 2(2 2 ) (5 4 ) 10 0z i z i z i (1)

Chứng minh rằng (1) có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình (1) .

Bài 10: Cho phương trình: 3 22(1 ) 3 1 0z i z iz i (1)

1, Chứng minh rằng 1z là 1 nghiệm của phương trình (1) .

2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:3 2 22(1 ) 3 1 ( 1)( )z i z iz i z z az b

3, Giải phương trình đã cho.

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z i :3 2(3 ) (3 4 ) 1 0z i z i z mi

Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.

Bài 12: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:3 2 22 9 14 5 (2 1)( )z z z z z az b

2, Giải phương trình: 3 22 9 14 5 0z z z Bài 13: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

4 3 2 2 22 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b

2, Giải phương trình: 4 3 22 3 2 2 0z z z z

Bài 14: Gọi 1 2 3, ,z z z là các nghiệm phức của phương trình: 327 8 0z .



Tính giá trị của biểu thức:

21 2 3

2 2 21 2 3

( 1)z z zT

z z z

.

Bài 15: Gọi 1 2 3 4, , ,z z z z là các nghiệm phức của phương trình:

4 3 22 6 4 0z z z z

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1T

z z z z .

Bài 16: Cho phương trình: 4 3 23 5 3 4 2 0z z z z (1)

1, Chứng tỏ rằng 1z i là 1 nghiệm của phương trình (1) .

2, Tìm các còn lại của phương trình (1) .

Dạng 5 : Hệ phương trình phức

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

1, 1 22 21 2

5 5

5 2

z z i

z z i

2, 1 2 1 22 21 2 1 2

3

1

z z z z

z z z z

3, 3 3

3(1 )

9( 1 )

z w i

z w i

4, 3 2 3

2 5 2

z w i

z w i

5, 3 3

3 7

iz w

z w i

6,

3 (1 ) 2 14

(2 1) 4 9

z i w i

iz i w i


1, (2 ) (3 2 ) 10 8

(3 2 ) ( 1 ) 3 6

i z i w i

i z i w i

2, 2 2

2 3

3 3 4 0

z w

z w zw z

3, 2 2 2

2

2 1 0

z w

z w w z w

4, 2 2

(4 ) 7

3 (1 3 ) 291 53

z i w

z i w i

5, 2 2

(2 ) 2

3 5 15

z i w

z iw i

6, (3 ) 2(2 ) 2(1 3 )

2(2 ) (2 3 ) 5 4

i z i w i

i z i w i


1, 2 2

5

8(1 )

z w i

z w i

2, 2 2

3

4(1 )

z w zw

z w i

3, 3 3 2 2

1 2

45 60

z w i

z w z w zw i

4, 2

2

5(2 )

5(2 )

z w z

w z w

5,

2

2

2 5 3

2 5 3

z w z

w z w

6,

2

2

10 42 6 11

10 42 6 11

z iz i w

w iw i z




1,

4 2

2 2 5

2 3 9 2

x y z i

x y z i

x y z i

2,

2 10 0

2 20 0

( 3 ) (1 ) 30

x iy z

x y iz

i x y i z

3,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

z z z

z z z

z z z

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:

2

(1 2 ) (1 2 ) 6

2 3 0

i z i z

z i z z

Dạng 6 : Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

● Chuyển số phức từ dạng đại số ( ) sang dạng lượng giác

như sau:

+ Tính

+ Tìm thoả mãn đồng thời và

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là .

● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu là 1 argument thì mọi argument đều có dạng

( ) và có một argument là .

● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu lần lượt có một argument là

thì và có argument lần lượt là , .

Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

Bài 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

Bài 4: 1, Tính và .

2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: .

Bài 5: Tuỳ theo góc , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

10, 11,

Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

Bài 7: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

Bài 8: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:

1, 2,



3, 4,

5, 6,

Bài 9: 1, Tính và .

2, Xác định môđun và argument của số phức: .

Bài 10: Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một argument của z là , tìm một argument của số phức:

1, 2, 3, 4,

Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:

1, và một argument của là .



Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:



3, và một argument của bằng một argument của cộng với .








Bài 13: Cho hai số phức và .

1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.

2, Tính môđun và argument của các số phức , và .

3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của và .

Bài 14: Cho hai số phức và .

Viết dưới dạng lượng giác các số phức:

1, 2, 3, 4,

Bài 15: Cho các số phức , và .

1, Viết dưới dạng lượng giác.

2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của và .

3, Tính .

Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác số phức:

Dạng 7 : Vận dụng dạng lượng giác giải toán

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

1, 2, 3,

4, 5, 6,

Bài 2: Tìm số phức z sao cho:



1, và là hai số phức liên hợp 2, và là hai số phức liên hợp

3, và là hai số phức liên hợp 4,

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1, 2, 3, 4,

Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?

1, 2, 3,

4, 5, 6,

Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:

là số thực và là số thuần ảo.


1, Tính giá trị của biểu thức:

2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức , biết .

3, Cho số phức . Tính .

4, Cho số phức . Tính .

5,(A-2013) Cho số phức . Viết dưới dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực, phần ảo của

số phức .



CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT ĐẲNG THỨC

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI)CÔSI)

I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

1.1. Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giiải nhanh hơn.

1.2. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT.

1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chu ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến.

1.4. Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

1.5. Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể..

Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh : đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngược lại.

II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) :

2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )

n = 2: x, y 0 khi đó : n = 3: x, y, z 0 khi đó :

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.1.5

2.1.6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Chứng minh công thức 2.2.1

x, y 0 ,ta có :

Do đó .

Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi : , tức là x = y .

Hệ quả 1:

Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.



Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó, nên

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ

khi x = y.

Hệ quả 2:

Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tích x.y = P không đổi. Khi đó, nên

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi x = y.

ỨNG DỤNG:

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất .

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhỏ nhất.

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : với x > 0.

Giải. Do x > 0 nên ta có : và .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0 là .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số dương thì

Khi nào xảy ra đẳng thức ?

Giải. Vì x, y, z là ba số dương nên

( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z )

( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

2.2. Dạng tổng quát (n số) x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:



Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:

Bình luận:

Để học sinh dễ nhớ, ta nói Trung bình cộng (TBC) Trung bình nhân (TBN).

Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẽ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Côsi : (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức.

Hệ quả 3:

Nếu: thì: Khi

Hệ quả 4:

Nếu: thì: Khi

III. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Cauchy (Côsi )

3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích.

Bài 1. Chứng minh rằng:

Giải

Sai lầm thường gặp

Sử dụng: x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 0 x2 + y2 2xy. Do đó:



(Sai)

Ví dụ: 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )

Lời giải đúng:

Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 = 2|xy| ta có:

(đúng)

Bình luận

Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm.

Cần chú ý rằng: x2 + y2 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.

Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi.

Trong bài toán trên dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.

Bài 2. Chứng minh rằng: a,b 0

Giải

Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab a, b 0.

Giải

Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) .


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bình luận:

9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.

Bài 4. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2 a, b 0

Giải

Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 = 9ab2

Bình luận:

9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.

Bài 5. Cho:

Giải

Từ giả thuyết suy ra:

Vậy:

Bài toán tổng quát 1:

Cho:

Bình luận

Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn.



Bài 6. Cho (1)

Giải

(đpcm)

Bài toán tổng quát 2:

Cho:

Bài.7. CMR:

Giải

Ta có: (1)

Ta có:

(2)

Ta có: (3)

Dấu “ = ” (1) xảy ra 1+a = 1+b = 1+c a = b = c

Dấu “ = ” (2) xảy ra ab = bc = ca và a = b = c a = b= c

Dấu “ = ” (3) xảy ra =1 abc = 1

Bài toán tổng quát 3

Cho x1, x2, x3,..., xn 0. CMR:

Bình luận:

Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này.

Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tính đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo.

3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo:

Bài 1. CMR:

Giải

Ta có :

Bài 2. CMR:

Giải

Ta có :

Dấu “ = ” xảy ra

Bài 3. CMR:

Giải

Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau :

Dấu “ = ” xảy ra a = 2 và b = 1.

Bài 4. CMR: (1)

Giải

Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn

cho các thừa số dưới mẫu . Tuy nhiên dưới mẫu có dạng (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc

nhất b, thừa số thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu.

Vậy ta có : = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a thành hai cách sau:



2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoÆc a +1 =

Từ đó ta có (1) tương đương :

VT + 1 =

đpcm.

Bài 5. CMR :

Giải

Nhận xét : dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó :

Ta có đánh giá về mẫu số như sau:

Vậy:


Bình luận:

Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kĩ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b.

Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT.

3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.

Bài 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Giải

Sai lầm thường gặp của học sinh: 2 =2

Dấu “ = ” xảy ra a = 1 vô lí vì giả thiết là a 2.

Cách làm đúng

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra

khi a = 2. Có các hình thức tách sau:

Vậy ta có : .

Dấu “ = ” xảy ra a = 2.

Bình luận:

Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra = 4.

ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số và

đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có điểm rơi a = 2.

Bài 2. Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải

Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 = 8.


MinS =

Nguyên nhân sai lầm:


Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)

= 4.


Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc

đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.

Lời giải đúng:

Với a = 2 thì Min S =

Bài 3. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải

Sai lầm thường gặp:

Min S = 6

Nguyên nhân sai lầm :

Min S = 6 trái với gải thiết.

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

Sơ đồ điểm rơi:

Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau :

Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau:



. Với thì MinS =

Bài 4. Cho . Tìm GTNN của

Giải


MinS = .


MinS = (trái với giả thiết).

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

L ờ i giải



. Dấu “ = ” xảy ra khi Min S =

Bình luận:

Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn.

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng mọt kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC , chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số.

Bài 5. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải


S 2 + 2 + 2 + 2 = 8


Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số:


Min S = 8 a + b + c + d = 3(a + b + c + d) 1 = 3 vô lí.

Phân tích và tìm tòi lời giải

Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b = c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể). Vậy



ta cho trước a = b = c = d dự đoán . Từ đó suy ra các đánh giá của BĐT bộ phận

phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0 .

Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:

Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có :

Với a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.

3.4. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)

Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu

nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b . Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.

Bài 1. CMR (1)

Giải

(1) Theo BĐT Côsi ta có:

(đpcm)

Bình luận:

Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.

Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC .



Bài 2. CMR (1)

Giải

Ta có (1) tương đương với:

Theo BĐT Côsi ta có:

(đpcm)

Bài 3. CMR (1)

Giải

Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:

Theo BĐT Côsi ta có:

Dấu “ = ” xảy ra a = b = c > 0.

Ta có bài toán tổng quát 1:

CMR:

Bài 4. Chứng minh rằng :

Giải

Ta có :

Bài 5. Cho Chứng minh rằng :

Giải

Sơ đồ điểm rơi :

Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT xảy ra khi . Nhưng

thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng BĐT Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “ = ” là a = b = c .Do đó ta có lời giải sau :



Trong kĩ thuật đánh giá TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm các hằng số để sao cho sau biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến. Đặt biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiện ràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các em học sinh dễ mắc sai lầm. Sau đây ta lại nghiên cứu thêm 2 phương pháp nữa đó là phương pháp nhân thêm hằng số, và chọn điểm rơi trong việc đánh giá từ TBN sang TBC.Do đã trình bày phương pháp điểm rơi ở trên nên trong mục này ta trình bày gộp cả 2 phần .

3.5. Kỹ thuật nhân thêm hằng só trong đánh giá TBN sang TBC :

Bµi 1. Chứng minh rằng:

Giải

Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số.

Ta có :


Bình luận:

Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2.

Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc sai như trong VD sau.

Bài 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất:

Giải




Nguyên nhân sai lầm

Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2 trái với giả thiết.


Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm của BĐT sẽ là từ đó ta dự

đoán Max S = . a + b = b + c = c + a = hằng số cần nhân thêm là . Vậy lời giải đúng là :

Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh có định hướng tốt hơn: Cho

Chứng minh rằng: .

Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được.

Bài 3. Cho Tìm Max

Giải




Max S =

Nguyên nhân sai lầm

Max S =


Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy ra điều kiện :

Vậy hằng số cần nhân thêm là: .

Ta có lời giải:



Vậy Max S = . Dấu “ = ” xảy ra .

3.6. Kỹ thuật ghép đối xứng:

Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm được một số thao tác sau :

Phép cộng :

Phép nhân :


Giải

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

.

Dấu “ = ” xảy ra a = b = c.

Bài 2. Chứng minh rằng:

Giải




Bài 3. Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR

a) .

b)

Giải

a) Áp dụng BĐT Côsi ta có:

b) Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi đều : a = b = c

( p là nữa chu vi của ABC: )

Bài 4. Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :.



Giải


Dấu “ = ” xảy ra ABC đều : a = b = c.

3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số :

Nội dung cần nắm được các thao tác sau :

1.

2.

Bài 1. Chứng minh rằng : (1)

Giải

Ta biến đổi (1) tương đương:

(đpcm )


Giải

Ta biến đổi tương đương BĐT như sau:



(đpcm )

Bài 3. Chứng minh rằng : , (BĐT Nesbit)

Giải

Ta biến đổi tương đương BĐT như sau:

(đpcm)


Giải

Ta biến đổi BĐT như sau:

3.8. Kỹ thuật đổi biến số :



Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn. Phương pháp tren gọi là phương pháp đổi biến số.

Bài 1. Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit)

Giải

Đặt : .

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thậ vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

VT

Dấu “ = ” xảy ra x = y = z a = b = c

Bài 2. Cho ABC. Chứng minh rằng :

Giải

Đặt : .

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

(2)

Ta có : VT (2)

Bài 3. Cho ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) abc (1)

Giải



Đặt : .

Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau :

Áp dụng BĐT Côsi, ta có : (đpcm)

Bài 4. Cho ABC. CMR: (1)

Giải

Đặt : th× (1) (2)

Ta có:

VT (2) =

Dấu “ = ” xảy ra x = y = z a = b = c ABC đều.

3.9. Một số bài tập áp dụng

3.9.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN

9.1. Cho a 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9.2. Cho 0 < a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9.3. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


9.5. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





9.8. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9.9.

9.10. Cho Chứng minh rằng :


3.9.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi ¸đánh giá từ TBN sang TBC

9.12.



3.9.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi và nhân thêm hằng số trong đó đánh giá từ TBN sang TBC

9.15. Cho

9.16. Cho x, y, z >0. Tìm Min f(x, y, z) =

9.17. Chứng minh rằng:

9.18. Chứng minh rằng:

9.19. ( Gợi ý: CMR )



9.20. Cho Tìm Max

9.21. Cho Tìm Max

3.9.4. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số :

9.22. Cho CMR :

9.23. Cho CMR:

9.24. Cho tam giác ABC, M thuộc miền trong tam giác. Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB tại D, E, F. Chứng minh:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e ) ; f) .

IV. Một số ứng dụng của bất đẳng thức:

4.1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

Bài 1. Giải phương trình

Giải

Điều kiện: x 0, y 1, z 2. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có :

Suy ra :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3)


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 2. Giải phương trình : (1)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có :

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 4. Giải hệ phương trình:

Giải

Điều kiện: x 1, y 1. ¸ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

(1)

Tương tự : (2)

Cộng (1), (2) ta được : .

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi .

Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thức nhất của hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 )

Bài 5. Cho số nguyên n > 1. Giải hệ phương trình:

Giải

Từ hệ đã cho suy ra x1, x2, ... , xn là cùng dấu . Giả sử xi 1 với mọi i.




. Tương tự : xi 1 với mọi i.

Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được:

Vì xi 1 nên với mọi i, suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn = 1

Bài 6. Giải hệ phương trình:

Giải

Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0. Với x,y,z 0, từ hệ đã cho ta suy ra x>0, y>0, z>0.


Tương tự :

Vậy : y x z y, suy ra x = y = z.

Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được :

Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}

Bài 7. Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = ... = an thoả các điều kiện :

Giải

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế , ta được :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : víi i = 1, 2, ... , n


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Suy ra 4 2n hay n 2:

Với n = 1: hệ vô nghiệm; Với n = 2: hệ có nghiệm a1 = a2 = 1

Vậy: n = 2 và a1 = a2 = 1

4.2. . Một số bài tập tượng tư vận dụng

1. Giải phương trình sau

2. Giải phương trình

3. Giải hệ phương trình

4. Xác định số nguyên dương n và các số dương x1, x2 , … , xn thoả





BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài tập 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. (a > b, ab > 0)

2. (a 0)

3.

4.

5.

6. (|a|, |b| < 1)

7. (a, b 0)

8. (a, b, c > 0)

9.

10. (0 < a < b)

11.

12.

13. (a + b + c = 1)

14. (a, b, c > 0)

15. (a + b + c 8)

16.

17.

18.

19.

20. (a, b 0)



21.

22. (a, b ≠ 0)

23. (a, b ≠ 0)

24.

25.

26.

27.

28. (a, b 0)

29. (a, b > 0)

30. (a, b, c > 0)

31. (a, b, c > 0)

32. (a, b, c > 0)

33. (a, b, c > 0)

34. (a, b, c, d > 0)

35. (a, b, c > 0)

36. (a, b > 0)

37. (0 < a, b, c < 1)

38. (a, b > 2)39. (a + b = 2)40. (a + b + c = 3)41. (a, b 0, a + b = 1)

42. (a, b 0, a + b = 1)

43. (ab 1)

44. (a, b, c > 0, a + b + c = 1)45. (a, b, c > 0, + + a + b + c)



46. (a, b > 0, a + b = a + b)

47. (a, b, c > 0)

48. (a, b, c 0, abc = 1)

49. (a, b, c > 0, a + b + c = 1)

50. (n N, n 2)

51. (n N*)

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58. (m, n N*)

59. (n N, n 2)

60. (n N*)

Bài tập 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ; p là nửa chu vi và S là diện tích tam giác đó. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.

2.



3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

(A, B, C là ba góc tương ứng với ba cạnh a, b, c của tam giác)

10.

CÁC CÂU TRONG ĐỀTỐT NGHIỆP, THI ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY

CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ.

Câu 1 (Tốt nghiệp bổ túc 2004)Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có đồ thị (Cm), m là tham số.a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1.b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1.c, Xác định m để các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.Câu 2 (Tốt nghiệp phổ thông 2005)a) Xác định tham số m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – 1)x +2 đạt cực đại tại điểm x = 2.

b) (Tốt nghiệp 2011) Xác định giá trị của tham số m để hàm số: đạt cực tiểu tại .

Câu 3 (Tốt nghiệp phổ thông không phân ban 2006)a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 6x2 + 9x.b, Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).c, Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).

Câu 4: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

bằng -2.Câu 5 (Tốt nghiệp phổ thông phân ban 2006)



Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết các tiếp tuyến đó song song với

đường thẳng y = 3x + 2006.Câu 6 (Tốt nghiệp phổ thông 2004)a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [0 ; π].

b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;2].

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;1].

d, Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;2].

Câu 7 (Tốt nghiệp phổ thông 2009).

Cho hàm số .

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.Câu 8 (Tốt nghiệp phổ thông 2010)

Cho hàm số

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.b, Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.Câu 9 : (Đề tốt nghiệp 2012)

Cho hàm số :

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ , biết .

Câu 10 ( Đại học khối A - 2002).Cho hàm số: y = - x3 + 3mx2 + 3(1-m2)x + m3 – m2 (1) (m là tham số).a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.b, Tìm k để phương trình: -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.c, Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).Câu 11 ( Đại học khối B – 2002).Cho hàm số : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m là tham số).a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.b, Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.Câu 12 ( Đại học khối D – 2002).

Cho hàm số: (1) (m là tham số).


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.Câu 13: (Đại học khối A – 2003)

Cho hàm số (1) (m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.b, Tìm m để hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.Câu 14: (Đại học khối B - 2003)- Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) (m là tham số)a, Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.b, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số .

Câu 16: (Đại học khối D – 2003)

- Cho hàm số (1)

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).b, Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số trên đoạn [-1;2].

Câu 17: (Đại học khối A – 2004)

Cho hàm số (1).

a, Khảo sát hàm số (1).b, Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.Câu 18: (Đại học khối B – 2004)

Cho hàm số (1) có đồ thị (C).

a, Khảo sát hàm số (1).b, Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.Câu 19: (Đại học khối D – 2004)Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số.a, Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.b, Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.Câu 20: (Đại học khối A – 2005)

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = .


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.b, Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm)

bằng .

Câu 21: (Đại học khối B – 2005)

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (*) (m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1.b, Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa

hai điểm đó bằng .

Câu 22: (Đại học khối D – 2005)

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 2.b, Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1.Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.Câu 23: (Đại học khối A – 2006)a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4.b, Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2׀x 9 – 3׀ x2 + 12׀x׀ = m.Câu 24: (Đại học khối B – 2006)

Cho hàm số

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).Câu 25: (Đại học khối D – 2006)Cho hàm số y = x3 – 3x + 2.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.


Cho hàm số (1), (m là tham số).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.b, Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.Câu 27: (Đại học khối B – 2007)Cho hàm số: y = - x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x – 3m2 – 1 (1), m là tham số.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.b, Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Câu 28: (Đại học khối D – 2007)

Cho hàm số .

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB

có diện tích bằng .


Cho hàm số (1), với m là tham số thực.

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.b, Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45o.Câu 30: (Đại học khối B – 2008)Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1).a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9).Câu 31: (Đại học khối D – 2008)Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1).a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).b, Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.Câu 32: (Cao đẳng – 2008)

Cho hàm số .

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Tìm m đẻ đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.Câu 33: (Đại học khối A – 2009)

Cho hàm số (1).

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.Câu 34: (Đại học khối B – 2009)- Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).b, Với các giá trị nào của m, phương trình x2׀x2 - 2׀ = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

- Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho AB = 4.Câu 35: (Đại học khối D – 2009)


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.- Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.b, Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

- Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.Câu 36: (Cao đẳng 2009)Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 - m)x + 2 (1), với m là tham số thực.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.b, Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương.Câu 37: (Đại học khối A – 2010)Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1-m)x + m (1), m là tham số thực.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x1

2 + x22 + x3

2 < 4.Câu 38: ( Đại học khối B – 2010)

Cho hàm số .

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b, Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có

diện tích bằng (O là gốc tọa độ).

Câu 39: (Đại học khối D- 2010)Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6.a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .

Câu 40 (Cao đẳng 2010) a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 – 1.b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng – 1.Câu 41: Cao đẳng 2011

Cho hàm số:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.Câu 42: ĐH Khối A-2011

Cho hàm số:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.



b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

Câu 43: Khối B – 2011Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m (1), m là tham số.

a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A

là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại.Câu 44: D- 2011

Cho hàm số:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách

từ A và B đến trục hoành bằng nhau.Câu 45 : ĐH Khối A-2012

Cho hàm số ,với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Câu 46. ĐH Khối B-2012

Cho hàm số là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.Câu 47 : D- 2012

Cho hàm số , m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho .

Câu 48. CĐ- 2012

Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ). b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc với đường thẳng y = x + 2.Câu 49. ĐH – 2013.

Cho hàm số , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + )

CHUYÊN ĐỀ 2 VÀ 3: PT – HPT – BPT – HBPT



Bài 1 (ĐH B2002) Gải hệ phương trình :

ĐS :

Bài 2 (ĐH D2002) Gải hệ phương trình :

ĐS :

Bài 3 (ĐH A2003) Gải hệ phương trình :

ĐS :

Bài 4 (ĐH B2003) Gải hệ phương trình :

ĐS :

Bài 5 (ĐH A2004) Giải hệ phương trình:

ĐS :

Bài 6 (ĐH D2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

ĐS :

Bài 7 (ĐH B2005) Giải hệ phương trình:

ĐS :


ĐS :

Bài 9 (ĐH D2006) CMR với mọi a > 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhât.



ĐS : hệ có nghiệm duy nhất

Bài 10 (ĐH D2007) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :

ĐS :

Bài 11 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình :

( ) ĐS :

Bài 12 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình :

( ) ĐS :

Bài 13 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình :

( ) ĐS :

Bài 14 (ĐH A2009−NC) Giải hệ phương trình :

(x, y R) ĐS :


ĐS :


(x, y R) ĐS :


ĐS :

Bài 18 (ĐH B2010−NC) Giải hệ phương trình :



ĐS :

Bài 19 (ĐH D2010−NC) Giải hệ phương trình :

ĐS :

Bài 20 (ĐH A2011 Giải hệ phương trình :

ĐS :


(x, y R). ĐS :


(x, y R) ĐS :


(x, y R). ĐS :


(x, y R). ĐS :

Bài 25 (ĐH B2013−NC) Giải hệ phương trình :

(x, y R). ĐS :

CHUYÊN ĐỀ 4: PT – HPT MŨ VÀ LOGARIT

1/ A_2002 Cho phương trình: ( 1 )

1) Giải pt ( 1 ) khi ĐS:

2) Tìm m để ( 1 ) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn Đs:



2/ B_2002 Giải bất phương trình : ĐS:

3/ D_2002 Giải hệ phương trình: ĐS:

4/ DB_A_2002 Giải bất phương trình: ĐS:

5/ DB_A_2002 Giải phương trình : ĐS:

6/ DB_B2002 giải hệ phương trình : ĐS:

7/ DB_B_2002 Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

ĐS:

8/ DB_D_2002 Giải phương trình : ĐS:

9/ DB_D2002 Giải hệ phương trình : ĐS:

10/ D_2003 Giải phương trình : ĐS :

11/ DB_A_2003 Giải hệ phương trình ĐS:

12/ DB_A_2003 Giải bất phương trình : ĐS:

13/ DB_B_2003 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng

ĐS:

14/ DB_B_2003 Giải bất phương trình: ĐS:

15/ DB_D_2003 Cho hàm số : . Tính và giải bpt ĐS:

16/ DB_D_2003 Giải phương trình: ĐS:

17/ A_2004 Giải hệ phương trình ĐS :





20/ DB_B_2004 Giải bất phương trình: ĐS:

21/ DB_D_2004 Giải hệ phương trình : ĐS:

22/ B_2005 Giải hệ phương trình ĐS:

23/ DB_D_2005 Giải bất phương trình ĐS:

24/ A_2006 Giải phương trình : ĐS:

25/ B_2006 Giải bất phương trình: . ĐS:

26/ D_2006 Giải phương trình ĐS:

27/ D_2006 Chứng minh với mọi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

28/ DB_A_2006 Giải bất phương trình: . ĐS:

29/ DB_A_2006 Giải phương trình . ĐS:

30/ DB_B_2006 Giải phương trình ĐS:

31/ DB_B_2006 Giải phương trình: ĐS:

32/ DB_D_2006 Giải hệ phương trình: ĐS:

33/ DB_D_2006 Giải phương trình: . ĐS:

34/ DB_D_2006 Giải phương trình: . ĐS:

35/ A_2007 Giải bất phương trình: . Đs:

36/ B_2007 Giải phương trình: ĐS:

37/ D_2007 Giải phương trình: Đs:

38/ BD_A_2007 Giải phương trình: . Đs:

39/ BD_A_2007 Giải bất phương trình: . Đs:



40/ BD_A_2007 Giải hệ phương trình: ĐS:

41/ BD_B_2007 Giải phương trình: ĐS:

42/ BD_B_2007 Giải phương trình: Đs:

43/ BD_D_2007 Giải phương trình: Đs:

44/ BD_D_2007 Giải phương trình: ĐS: 45/ CĐKTĐN_2007 Giải bất phương trình: Đs:

46/ A_2008 Giải phương trình: Đs:

47/ B_2008 Giải bất phương trình: Đs:

48/ D_2009 Giải bất phương trình: Đs:

49/ BD_A_2008 Giải bất phương trình: . Đs:

50/ BD_A_2008 Giải bất phương trình: Đs:

51/ BD_B_2008 Giải phương trình: . Đs:

52/ BD_B_2008 Giải bất phương trình: Đs:

53/ BD_D_2008 Giải bất phương trình: Đs:

54/ CĐ_ABD_2008 Giải phương trình: Đs:

55/ TT_A_2009 Giải phương trình: Đs:

56/ A_2009 Giải hệ phương trình: ĐS:

57/ B_2010 Giải hệ phương trình: ĐS:


59/ D_2010 Giải phương trình: ĐS:

60/ D_2011 Giải phương trình: ĐS:



61/ B_2013 Giải hệ phương trình: ĐS:


CHUYÊN ĐỀ 5: LƯỢNG GIÁC

Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình :

. ĐS :

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :

ĐS : ( )

Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn nghiệm đũng của phương trình :

ĐS :

Bài 4 (ĐH A2003) Giải bất phương trình :

ĐS : ( )

Bài 5 (ĐH B2003) Giải bất phương trình :

ĐS : ( )

Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình:

ĐS : ( )

Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện .

Tính ba góc của tam giác ABC. ĐS :

Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình:

ĐS : ( )


ĐS : ( )

Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình:

. ĐS : ( )




ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )


. ĐS : ( )

Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình

. ĐS : ( )


. ĐS : ( )


. ĐS : ( )

Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình:

. ĐS : ( )

Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình:

. ĐS : ( )


ĐS : ( )

Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình:

ĐS : ( )


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình :

ĐS : ( )

Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :

ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )

Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình :

ĐS : ( )

Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình :

ĐS : ( )


ĐS : ( )


sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x ĐS : ( )


ĐS : ( )


ĐS : ( )

Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình

ĐS : ( )



CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

. ĐS :

Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

và ĐS :

Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân :

ĐS :

Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân :

ĐS :

Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân :

ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :




ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :

Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

, . ĐS :

Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . , , . Tính thể

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS :


. ĐS :


. ĐS :


. ĐS :


ĐS :


ĐS :




ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :


ĐS :




ĐS :


ĐS :

CHUYÊN ĐỀ 7: CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Bài 1 : (ĐH A2002)

Cho khai triển nhị thức:

( n là số nguyên dương ) biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n , tìm n và x .

ĐS :

Bài 2 : (ĐH B2002)

Cho đa giác đều (n > 2 , n nguyên dương) nội tiếp đường tròn (O) .Biết rằng số tam giác có các

đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm

. Tìm n .

ĐS : Bài 3 : (ĐH D2002)

Tìm n nguyên dương sao cho

ĐS : Bài 4 : (ĐH A2003)

Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức niutơn của biết rằng

(n là số nguyên dương , x > 0 , là số tổ hợp chập k của n phần tử

ĐS : Bài 5 : (ĐH B2003)

Cho n là số nguyên dương . Tính tổng .

( là số tổ hợp chập k của n phần tử )

ĐS :

Bài 6 : (ĐH D2003)

Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của

. Tìm n để

ĐS : Bài 7 : (ĐH A2004)



Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của

ĐS : 238Bài 8 : (ĐH B2004)Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đc bao nhiêu đề để kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho mỗi đề thi nhất thiết phải có đủ 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?ĐS : 56875Bài 9 : (ĐH D2004)

Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của với x>0

ĐS : 35Bài 10 : (ĐH A2005)Tìm số nguyên dương n sao cho :

là số tổ hợp chập k của n

phần tử).ĐS : 35Bài 11 : (ĐH B2005)Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?ĐS : 207900Bài 12 : (ĐH D2005)

Tính giá trị của biểu thức: biết rằng

(n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS :

Bài 13 : (ĐH A2006−CB)

Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết rằng

. (n nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS : n = 210Bài 14 : (ĐH B2006−CB)Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con

gồm 2 phần tử của A. Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

ĐS : k = 9

Bài 15 : (ĐH D2006−CB)


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?ĐS : 225Bài 16 : (ĐH A2007−CB)

Chứng minh rằng : ( n là số nguyên dương , là số tổ hợp

chập k của n phần tử )ĐS : Bài 17 : (ĐH B2007−CB)

Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức niutơn của , biết :

( n là số nguyên dương , là số tổ hợp chập k của n

phần tử )ĐS : 22

Bài 18 : (ĐH D2007−CB)

Tìm hệ số của số trong khai triển thành đa thức của :

ĐS : 3320Bài 19 : (ĐH A2008−CB)

Cho khai triển , trong đó và các hệ số a0, a1,….an thỏa mãn hệ thức

. Tìm số lớn nhất trong các hệ số a0, a1, …,an.

ĐS : 126720Bài 20 : (ĐH B2008−CB)

Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤ n, Ckn là số tổ hợp chập k của

n phần tử). ĐS : Bài 21 : (ĐH D2008−CB)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức ( Ckn là số tổ hợp chập k của n phần

tử). ĐS : n = 6Bài 22 : (ĐH A2012−CB)

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn

, x ≠ 0.

ĐS :

Bài 23 : (ĐH B2012−CB)


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

ĐS :

Bài 24 : (ĐH A2013−CB)Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn là số chẵn.

ĐS :

Bài 25 : (ĐH B2013−CB)Có hai chiếc hộp chứa bi . Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng ,hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi . Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu .

ĐS :

CHUYÊN ĐỀ 8: NHỊ THỨC NEWTƠN

- Phần trên.

CHUYÊN ĐỀ 9: SỐ PHỨCI. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP1 . TN_2009

a) Giải phương trình 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức ĐS: a) và

b) Giải phương trình 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức b) z1 = i và z2 = -i/22 . TN_ 2010a) Cho hai số phức z1

= 1 + 2i và z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực phần ảo của số phức z1 – 2z2 b) Cho hai số phức z1 = 2 + 5i và z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực phần ảo của số phức z1.z2

ĐS: a) phần thực -3 , phần ảo là 8. b) phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7 3 . TN_2011 a) Giải phương trình ( 1 - i )z + ( 2 – i ) = 4 – 5i trên tập số phức ĐS: a) z = 3 – i b) Giải phương trình ( z – i )2 + 4 = 0 trêm tập số phức b) z1 = 3i và z2 = -i4 . TN_2012

1. Tìm các số phức và , biết

2. Tìm các căn bậc hai của số phức

ĐS: 1: 9-4i và -4+3i ; 2: 2i và -2i5 . TN_2013 1. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm số phức liên hợp của z.


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.2. Giải phương trình trên tập số phức.

ĐS: 1: ; 2: và

II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC1 . KA_2009Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 .Tính giá trị của biểu thức

2 . KB_2009Tìm số phức z thỏa mãn : và ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 53 . KD_2009Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm ( 3 ; -4 ) , bán kính R = 24 . KA_ 2010

a) Tìm phần ảo của số phức z biết : ĐS: a) Phần ảo của số phức z là

b) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức ĐS b)

5 . KB_2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

ĐS: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 0 ; -1 ) và bán kính 6 . KD_2010Tìm số phức z thỏa mãn : và z2 là số thuần ảoĐS: z = -1 – i ; z = -1 + i ; z = 1 + i ; z = 1 – i7 . KA_2011

a) Tìm tất cả các số phức z, biết

b) Tính modun của số phức z, biết :

ĐS: a) b)

8 . KB_2011

a) Tìm số phức z , biết : ĐS: a)

b) Tìm phần thực , phần ảo của số phức b) Phần thực là 2 và phần ảo là 2

9 . KD_2011Tìm số phức z , biết : ĐS: z = 2 – i 10. KA_2012

Cho số phức z thỏa mãn . Tính môđun của số phức .

ĐS: 11. KB_2012


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ.Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình . Viết dạng lượng giác của z1, z2 .

ĐS:

12. KD_2012

1.Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức

2. Giải phương trình trên tập số phức.

ĐS: 1. 5 ; 2. z=-1-2i hoặc z=-2-i

13. KA_2013Cho số phức . Viết dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

.

ĐS: phần thực là và phần ảo là .

14. KD_2013

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tính môđun của số phức .

ĐS:

CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT ĐẲNG THỨCBài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và . Chứng minh rằng

ĐS :

Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

ĐS : ;

Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].

ĐS : ;

Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

ĐS : ;

Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng



ĐS :

Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi , ta có .

. Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS : Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

.Khi nào đẳng thức xảy ra?

ĐS :

Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

ĐS :

Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐS :

Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

ĐS :

Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

ĐS :

Bài 12 (ĐH D2007) Cho . Chứng minh rằng :

Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .



ĐS : ;

Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : .

ĐS :

Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3

ĐS : Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1

ĐS :

Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

ĐS : hoặc

Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức M =

ĐS : là một trong các bộ số :

Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y =

ĐS :

Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y, x z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

biểu thức

ĐS :

Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .



ĐS : hoặc

Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

ĐS : ;

Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức .

ĐS :

Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

ĐS :

Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

ĐS :

Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

ĐS :

Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

ĐS :

Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

ĐS :

Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .



ĐS : ;

Hết Quyển 2, gồm 5 chuyên đề như trên.

Mời các bạn tiếp tục xem 5 chuyên đề tại Phần 2 của Bộ các chuyên đề ôn thi đại học năm 2015.

- Bộ tài liệu (Quyển 2) Phần 1, gồm 5 chuyên đề Đại số có 166 trang. Do tập thể tác giả Biên soạn.

- Tài liệu lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.- Các bạn có thể gửi ý kiến phải hồi về địa chỉ email: [email protected]

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

TM. Nhóm Biên soạnChủ biên

Cao Văn Tú



Documents

Chuyên đề ôn thi Đại Học môn toán bộ 2