Chuyên đề các kĩ thuật cơ bản hình học OXY

Chuyên đề “Hình học phẳng Oxy” - Minh Triết -Chuyên Quang Trung

Page 1 of 11 https://www.facebook.com/langminhtrietvip

Phần 1: “Kĩ thuật đối xứng” trong hình giải tích Oxy

Kĩ thuật sử dụng đối xứng thường được sử dụng trong các bài có các tính chất như là : “ tia phân giác

,đường phân giác …hoặc các hình yếu tố có tính chất đối xứng (có thề là đối xứng qua đường thẳng ,đối xứng

qua điểm,tâm đối xứng …..).

Một bài toán cốt lỏi của tính chất đối xứng của đường phân giác:

Xét bài toán sau : “Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong của góc BAC .Lấy một

điểm E thuộc đoạn thẳng AB .Ta có điểm đối xứng với E qua AD thuộc AC”-Chứng minh tự làm

1.1 Cho ∆ABC có B(-2;3).Phân giác trong phương trình (AD): .Đường trung tuyến CN có

phương trình =0 .Viết phương trình AC.

* Như đã nhắc đến ở trên thì bài toán có cho yếu tố phân giác

trong của

∆ABC thì ta sẽ sử dụng “kĩ thuật đối xứng và cho trung tuyến CN

thì việc ta nghĩ đến chính là tham số hóa điểm )

*Tóm tắt các bước suy nghĩ để giải bài toán trên:

-Lấy B’ đối xứng B qua AD .Ta có B’∈AC

-Viết phương trình BB’đi quy B và vuông góc với AD

-Tìm B (Từ I=AD∩BB’)

-Đến đây gọi A một ẩn do =>N một ẩn mà N thuộc CN

=>N Cuối cùng kết luận :phương trình AC đi qua A

Giải:

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AD (B’∈AC).Phương trình BB’ đi qua B và vuông góc với AD

Vậy vậy phương trình BB’ :

I là giao điểm của AD và BB’Vậy ==>Do I là trung điểm BB’ vậy ta có

Do A∈AD ; A(a;3a+1) Do N là trung điểm của AB ;N(

Mặt khác N CN .Ta có :

a=1 A(1;4) Phương trình AC đi qua A(1;4) và B’=( ) nhận làm véc tơ chỉ phương

Kết luận vậy phương trình AC:

1.2 Cho ABC có là chân đường cao hạ từ , là chân đường phân của góc CAB

là trung diểm AB .Tìm A,B và C?

Hướng giải bài này tương đối dễ nhận dạng nhờ tính chất ta đang khảo sát trong phần này .

*Tóm tắt

Viết phương trình BC đi qua H và D

*Phương trình AH đi qua H vuông góc HD ==>A

Phương trình AD đi qua A và D

Lấy M’ đối xứng với M qua AD

(với ý tưởng tương tự như trên ta tìm được M’ =>Q)

Phương trình AC đi qua A và M’

Giải :



Phương trình BC đi qua H và D => Phương trình BC :−4(𝑥 − 5) +

2(𝑦 − 3) = 0 Phương trình BC :-4𝑥 + 2𝑦 + 14 = 0

Phương trình AH đi qua H vuông góc với HD => 𝐴𝐻 : 2𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

Ta có B thuộc BC B(a;2a-7) Do M là trung điểm AB=>𝐴(−𝑎; 9 − 2𝑎) mà A lại thuộc 𝐴𝐻 ∶ 𝑥 + 2𝑦 −3 = 0

==> A(-3;3) và B(3;-1)

Phương trình AD đi qua A và D ; Vậy VTPT của AD

Lấy M đối xứng với M qua AD ta có Vậy Phương trình x=0

Ta có ngay Q(0;3) ==>M’=(0;5)

Phương trình AC đi qua A và M’ 𝐴(−3; 3) 𝑣à 𝑀’(0; 5) 𝐴𝐶: 2𝑥 − 3𝑦 + 15 = 0

AC =>𝐶(9; 11)

Vậy A(-3;3) , B(3;-1) và C(9;11)

1.3 (Toán học tuổi trẻ) Cho tam giác ABC có .Đường phân giác trong và đường trung tuyến

của A lần lượt có phương trình là . Tìm tọa độ điểm B

Kiểu bài tương đối đơn gian khi đã hiểu được hai 1.1 và 1.2 trên

Tóm tắt hướng giải

Tìm ngay được điểm A (A=AN AD)

giao điểm của đường truyên và trung trực hạ từ A

Lấy C’ đối xứng với C qua đường phân giác A (C’thuộc AB)

Viết phương trình CC’ giao với AD

I là giao điểm của hai đường từ điểm I ta tìm được C

Viết được phường trình AB( đi qua A và B’) .

Gọi N một ẩn N thuộc AN (đường trung tuyến)

Vậy tìm được B một ẩn B thuộc BN Vậy ta có kết qua bài toán

Giải:

Ta có A là giao điểm của hai đường thẳng AN và AD.Tọa độ A là nghiệm hệ <=>

Lấy C’ đối xứng với C qua AD (C’ thuộc AB) Phương trình CC đi qua CC’ và có VTCP

CC’: =0 Vậy với I là giao điểm của CC’ với AD

Phương trình AB đi qua và B’ VTCP của AB AB:

Gọi N (Vì N thuộc CN) ==> ),(Do AN là trung tuyến hay nói khác N là

trung điểm BC) Mặt khác B thuộc AB thay vào phương trình AB: Vậy

.Vậy B(-12;1)

*Nhận xét cuối cùng của kĩ thuật “đối xứng”, kĩ thuật đối xứng rất hiệu quả trong bài toán có các yếu tố

về phân giác trong của một tam giác hoặc là đối xứng tâm (điển hình như kiểu bài hình thoi có tâm đối

xứng).

Qua những ví dụ trên ta để lại một kinh nghiệm cho bản thân rằng .Khi cho đường trung tuyến(hay

trung điểm đi qua một điểm và đươngnhiên là bài toàn chỉ cho đi đường thẳng đi qua điểm ) hay nghĩ đến

ngay đó chính là tham số điểm và vấn đề quan trọng ở đây và biết tham số hóa điểm nào phải dựa vào bài.



Bài tập đề nghị:

1.4 (Toán học và tuổi trẻ)Cho tam giác ABC có AB : ; BC : . Phương

trình đường phân giác trong góc là . Tìm ta tọa độ điểm

Đáp số C

1.5 (Toán học và tuổi trẻ 2013 ) Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua A

và song song với BC, đường phân giác trong AD có phương trình . Viết phương trình các

cạnh còn lại của tam giác ABC.

Đáp số :

1.6 Cho tam giác ABC có A(1;2) , đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD lần lượt có phương

trình 2x+y-1=0 và x+y-1=0 .Viết phương trình BC

Đáp số 𝐵𝐶: 4𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0

1.7(Khối D 11) Cho tam giác ABC có đỉnhh B(−4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong

của góc A có phương trình x − y −1 = 0 . Tìm ta tọa các đỉnh A và C.

Đáp số : A(4;3),C(3;−1) Gợi ý nhỏ đối với loại bài mà có trọng tâm hãy nghĩ đến trung điểm của cạnh dối diện

nó sẽ mang lại điều cần tìm .Từ đó sử dụng “kĩ thuật đối xứng” nó sẽ rất hiệu quả .

1.8(Khối B 2008) Hãy xác định toạ độ đỉnh C củaa tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc củaa C trên

đường thẳng AB là điểm H(–1; –1), Đường phân giác trong góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao

kẻ từ B có phương trình 4x + 3y −1 = 0.

Đáp số 𝐶 −10

3;−

3

4



Phần 2: “Kĩ thuật khoảng cách” trong hình học phẳng Oxy

Dấu hiệu để nhận biết các bài sự dụng kĩ thuật khoảng cách ( có cho các yêu tố về tỉ lệ độ dài các cạnh

và diện tích của một hình )Tuy nhiên đối với các bài cho có thể là kĩ thuật “góc” sẽ được trình bày ở sau làm

sao để phân biệt được hai hướng đôi để dẫn tới đáp số .

Nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa một điểm so với đường thẳng (hay nói chính là khoảng cách

đường cao hạ từ điểm đó đến đường thẳng)

Công thức I Cho điểm M có tọa độ (xM;yM) và đường thẳng ax+by+c=0 .Công thức xác định khoảng

cách của điểm đó đến đường thẳng là :

2.1 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A(5:-7).Điểm C thuộc đường thẳng đi qua

B và trung điểm AB có phương trình 3x-4y-23=0.Tìm tọa độ B,C,D (Biết hoành độ D>1)

Tóm tắt cách giải

-Chứng minh được rằng ATH (g.g)

-Gọi C thuộc x-y+4=0.Sử dụng điều vừa chứng minh tìm

C

-Gọi D thuộc DE =>sử dụng tính chất vuông góc tìm

được D tìm được ==>B

Ta xét 2AT=HC (Tính chất của hai tam giác đồng

dạng)

Gọi C thuộc CN (a:a+4) .Áp dụng công thức khoảng cách trên ta có =

79

1[a

a

==>C(1;5) hoặc C (-79;-75) loại C(-79;-75) vì C và A phải khác phía với DE

Gọi D thuộc DE ( Sử dụng Vậy do hoành độ của D>1 Vậy a=9 D

Gọi Q là tâm hình chữ nhật Q(3;-1) vậy B(-3;-3)

Kết luận C(1;5) ,D(9;1) và B(-3:-3)

Nhận xét bài này tương đối khó nếu không nhận ra tỉ lệ đó thí nó có thể “làm khó chúng ta” đôi khi

chúng ta cần nhanh ý và có một ít kiến thức về hình học phẳng.Bài này yêu cầu chúng ta tìm tất cả các điểm

của hình nhữ nhật nên sẽ dễ hình dung hơn là chúng ta sẽ làm gì.

2.2 Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biệt cạnh AB,BC,CD,AD lần lượt đi qua

các điểm M(4;5), N(6;5) , P(5;2) ,Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật ABCD là 16 (dvdt)

Tóm tắt

-Gọi là véc tơ pháp tuyến của AB.Viết phương trình AB==> Véc tơ pháp tuyến BC là (-b;a)

-Sử dụng công thức khoảng cách và diện tích tìm ra mối quan hệ giữa a và b.Viết phương trình AB

Giải:

Gọi là véc tơ pháp tuyến của AB

Phương trình cạnh AB có VTPT là và đi qua M

Khi đó phương trình BC: và đi quaN



Thay số vào và ta có

1 1

11

3

[b a

b a

Vậy phương trình

Bài này tư tưởng đơn giản là hai cạnh vuông góc với nhau .Nhưng để giải được cũng là một khó khăn .

2.3 Cho hình chữ nhật ABCD có diên tích bằng 16, phương trình đườngthẳng AB : x − y + 3 = 0 , điểm

I(1 ; 2) là giao điểm của hai đường chéo. Tìm ta dộ các đỉnh của hình hình chữ nhật.

-Khi nhắc đến yếu tố diện tích ta liên tưởng ngay đến khỉ thuật “khoảng cách”

đang được trình bày ở đây.

Tóm tắt bước giải bài:

-Dựa vào công thức khoảng cách tính được HI(mà 2HI=BC) Vậy tìm được BC

-Tìm được AB (do đã có diện tích) Khi tìm AB==>Tìm được AC ==>AI

-Khi tìm được AI thì ta có thể tìm được A và B hai điểm này hoán đổi cho

nhau .(Khi tính theo AI ) sẽ thu được hai giá trị khi có A và B rồi thì tìm C và

D sẽ rất dễ.

Giải:

Tính IH dựa vào công thức tính khoảng cánh 𝑂𝐻 = 1−2+3

2= 2 ==> BC=2 2

Dựa vào diện tích ta tìm được AB.CD=16 ==>AB= 4 2

Áp dụng pytargore đối với tam giác vuông ACB tìm được AC=2 10 ==>AI= 10

Gọi A ∈AB có (a;a+3) I(1;2) Vậy 𝐴𝐼 = (1 − 𝑎;−1 − 𝑎) | 𝐴𝐼 |= 10

=> 1 − 𝑎 2 + −1 − 𝑎 2 = 10 2

2[a

a

Vậy 𝐴(2; 5) và B (−2; 1) hoặc 𝐴(−2; 1) và 𝐵(2; 5)

Trường hợp 1 Với 𝐴(2; 5) và 𝐵 (−2; 1)

Áp dụng công thức trung điểm ta có ngay tọa độ của C và D

𝐶(0;−1),𝐷(4; 3) Trường hợp 2 𝐴(−2; 1) 𝑣à 𝐵(2; 5)

Tương tự ta có 𝐶(4 ; 3),𝐷(0;−1) Kết luận : 𝐴(2; 5),𝐵(−2; 1),𝐶(0;−1),𝐷(4; 3) ℎ𝑜ặ𝑐 𝐴(−2; 1),𝐵(2; 5),𝐶(4; 3),𝐷(0;−1)

2.4 Cho hình chữ vuông ABCD với M,N lần lượt là trung điểm AB và BC .Phương trình AN:3x-4y+7=0.

Phương trình đường thẳng CM:y-6=0.Biết B thuộc đường thẳng 2x-y-2=0 xB ≥ 𝟒.Tìm A,B

Bài toán chỉ thực khó ở bước đầu tiên của bài .Đây là bước quan

trọng quyết định.

Tóm tắt

-Chứng minh được BT=BH (Dựa vào hai tam giác bằng nhau)

-Sử dụng điều vừa chứng minh được để tìm B

-Gọi M thuộc CM ==>A mà A thuộc CN tìm ngay được A

Giải:

Tam giác ∆𝐴𝐵𝑁 = ∆𝐶𝐵𝑀 vì 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁

𝐴𝐵𝑁 = 𝑀𝐶𝐵𝐴𝐵 = 𝐵𝐶

(c.g.c)

Vậy BH=BT(hai đường cao tương ứng)



Ta gọi B thuộc đường thẳng 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 ==>𝐵(𝑎; 2𝑎 − 2)

Áp dụng hai công thức khoảng cách (Khi hai khoảng cách bằng nhau ta có).Thay lần lượt tọa độ của B vào hai

đường thẳng: |3𝑎 − 4 2𝑎 − 2 + 7|

32 + 42=

|2𝑎 − 2 − 6|

0 + 12

Giải ra ta tìm được 𝑎 = 5 .𝐵(5; 8)

Gọi M thuộc CM.Ta có 𝑀(𝑚 ; 6) ==>𝐴(2𝑚− 5 ; 4)

Và A thuộc AN 3(2𝑚− 5) − 4.4 + 7 = 0 ==>𝑚 = 4 𝐴(3; 4) Vậy 𝑨(𝟑;𝟒) và 𝑩(𝟓;𝟖)

2.5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm trên đường thẳng 𝒙 − 𝟐𝒚−

𝟏 = 𝟎 , đường thẳng BD có phương trình 7x-y-9=0.Điểm E(-1;2) thuộc cạnh AB sao cho𝑩𝑨 = 𝟑𝑬𝑨 . Biết yB > 𝟎. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Hướng bài này lại rất rõ ràng khi cho đường thẳng đi qua C để ta tham

số hóa điểm đó lên .Sau đó ta phải dựa vào tỉ lệ kia để giải bài.Tương

tự như đã trính bày ở 2.1 ta phải tìm được tỉ số khoảng cách giữa hai

đường thẳng.

Tóm tắt

-Gọi C thuộc đường thẳng đi qua C Áp dụng công thức khoảng cách để

tìm được C

-Sử dụng tích vô hướng EBC=90 Từ đó tìm được .Dựa vào đẳng thức

Véc tơ tìm A

-Dựa vào tính chất (hai cạnh đối song song và bằng nhau tìm được D)

Giải:

Gọi C thuộc đường thẳng qua C (2c+1;c)

𝑑 𝐶;𝐵𝐷 =4

3𝑑(𝐸;𝐵𝐷)

Chứng minh được đẳng thức trên dựa cào hai tam giác đồng dạng (Tự chứng minh tương tự như 2.1)

Thay số vào ta có |13𝑐−2|

50=

4

3

|−18|

50 𝑐 = 2 hoặc 𝑐 =

−22

13

Với c=2 ==>C(5;2) thỏa mãn vì C,E phải nằm khác phía so với BD)

Với 𝑐 = −22

13==>𝐶(−

31

13;−

22

13) loại

Gọi B∈ 𝐵𝐷 B(b;7b-9) vì 90oEBC ==>𝐸𝐵. 𝐵𝐶 =0 <==> (-1-b)(5-b)+(11-7b)=0

vậy 𝑏 = 2 hay 𝑏 =29

25

Vậy B(2;5)

Gọi A(x;y) thay vào đẳng thức Vecto

BA = 3EA ta có hệ phương trình sau 𝑥 − 2 =

4

3(1 − 2)

𝑦 − 5 =4

3(2 − 5)

𝑥 = −2𝑦 = 1

Sử dụng 𝑩𝑨 = 𝑪𝑫

Gọi D(x;y) ta có hệ phương trình sau 𝑥 − 5 = −4𝑦 − 2 = 4

<=> 𝑥 = 1𝑦 = 6

Vậy kết luận A(-2;1) , B(2;5) ,C(5;2)và D(1;6)

2.6 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2012) Cho hình chữ nhật ABCD có diện

tích 12 ,tâm I(𝟗

𝟐;𝟑

𝟐) và trung điểm của cạnh AD có tọa độ (3;0).Tìm tọa

độ A,B,C,D? Với hoành độ điểm A nhỏ hơn 4.



-Tìm ngay được điểm N là trung điểm của BC

-Sử dụng công thức tính khoảng cách tìm MN==>AD Gọi A môt ẩn Tìm A

-Chỉ cần tìm một trong các điểm chắc chắn là bài toán sẽ rất dễ dàng .

-Nhận xét bài toán nay tương đối dễ dàng giải quyết chỉ cần biết cách sử dụng khoảng cách mục tiêu của

phần 2 này thì tương đối dễ xử lí.

Giải:

TN(6;3) Vì Do I là trung điểm của 𝑀𝑁,𝑀𝑁 = 3 2 𝑣ậ𝑦 𝐴𝐷 = 2 2 ==> 𝐴𝑀 = 2

Viết nay phương trình AD đi qua M và vuông góc MN 1(𝑥 − 3) + 𝑦 = 0 Gọi A thuộc AD

𝐴(𝑎; 3 − 𝑎)

𝐴𝑀 = (3 − 𝑎;−3 + 𝑎) mà AM= 2 vậy 3 − 𝑎 2 + 𝑎 − 3 2 = 2

a=4 (loại) hoặc bằng a=2 Vậy A(2;1)

Dựa cào công thức trung điểm ta có thể tìm được các đỉnh khác

Để tìm C dựa vào I là trung điểm AC vậy 𝐶(7; 2) Tìm B dựa vào N là trung điểm của BC vậy 𝐵(5; 4)

Tìm D dựa vào I là trung điểm của BD vậy 𝐷(4;−1)

Kết luận các đỉnh của tứ giác 𝐴(2; 1),𝐵(5; 4),𝐶(7; 2),𝐷(4;−1)

Bài tập đề nghị:

2.7 Cho tam giác ABC có 𝐵(1;−2),điểm C thuộc đường thẳng 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 đường cao AH có phương

trình 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0.Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC là 1

Đáp số A(-1;2) hoặc A(-3;0)

2.8 Cho 𝑑1: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 và 𝑑2; 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 .Lập phương trình đường tròn C cắt 𝑑1 tại A và cắt 𝑑2 tại B và

C sao cho ABC là tam giác đều và diện tích tam giác là 24 3 với hoành độ tâm đường tròn lớn hơn 0.

Hướng dẫn nhận xét 1 2d d Sử dụng 𝑆 =1

2𝐴𝐻.

2

3𝐴𝐻

Đáp số : 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 32

2.9 (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình bình hành có diện tích bằng 4 .Biết A(2;0) ,B(3;0) và giao điểm I của hai

đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng 𝑦 = 𝑥 .Tìm tọa độ C và D

Đáp số : C(3;4) và D(2;4) hoặc C(-5;4) và D (-6;-4)



Phần 3:Kĩ thuật “góc” trong các bài toán hình học phẳng Oxy

Các bài toán liên quan đến kĩ thuật góc tương đối đa dạng và hay để giải nó .Kĩ thuật góc thường xuất hiện

khi cho các yếu tố tỉ số các cạnh ,tính chất hình học phẳng liên quan đến góc ,góc vuông hay được xuất hiện

nhất và điển hình nhất .

Nhắc lại công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng :

𝐜𝐨𝐬 ∆;𝒅 =|𝒂.𝒂′ + 𝒃.𝒃′ |

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐. 𝒂′𝟐 + 𝒃′𝟐

hay có thể nhớ nhà tích trị tuyệt đối tích vô hướng chia cho tích độ dài.

Mở đầu với một bài toán nhẹ nhàng như sau

3.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân tại A biết phương trình AB ,BC lần lượt là x+2y-

5=0 ;3x-y+7=0 .Viết phương trình AC đi qua F(-1;3)

Tư tưởng :Do tam giác ABC cân tại A nên góc ABC=góc ACB Vậy ta chỉ việc tìm cos(AB;BC)

Giải :Tính cos(AB;BC)

cos 𝐴𝐵;𝐵𝐶 =|3 − 2|

12 + 22 32 + 12=

1

5 2

Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của AC với (𝑎2 + 𝑏2 > 0)

|3𝑎 − 𝑏|

𝑎2 + 𝑏2 10= 2

10

[2𝑎=2

𝑎=2

11𝑏 Nhận 𝑎 =

2

11𝑏 chọn 𝑎 = 2 ==> 𝑏 = 11 Vậy phương trình 𝐵𝐶: 2𝑥 + 11𝑦 + 31 = 0

3.2 Cho hình vuông ABCD M là trung điểm CD 𝑴 𝟏𝟏

𝟐;𝟏

𝟐 N∈BC sao cho CN=2AB (AN);2x-y-2=0 .Tìm A.

Đề bài nhìn ngắn gọn nhưng phải phát hiện được khi cho tỉ số như vậy ta có thể tính góc được.Cái mấu chốt

chính là tính được góc NAM.

Tóm tắt:

-Đặt AB=a Tìm ra các cạnh AM ;AN;MN

==>Tính cos NAM dựa vào định lý hàm số cosin

-Viết phương trình AM tạo với AN một góc 𝛼 .

Giải :

Đặt AB=a Theo Pythagore đối cới tam giác vuông ADM thì ta có

AM= 5

2𝑎 ;Áp dụng Pythagore đối với tam giác vuông ABN AN=

10

3𝑎

Áp dụng Pythagore đối với tam giác vuông NCN 𝑀𝑁 =5

6𝑎

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác NAM

cos 𝑁𝐴𝑀 =𝐴𝑀2 + 𝐴𝑁2 −𝑀𝑁2

2𝐴𝑀.𝐴𝑁= 2

2

Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của AMvới (𝑎2 + 𝑏2 > 0)

cos 𝐴𝑀;𝐴𝑁 =|2𝑎 − 𝑏|

𝑎2 + 𝑏2 5= 2

2

=>3𝑎2 − 8𝑎𝑏 − 3𝑏2 = 0 Vậy 𝑎 = 3𝑏 hoặc 𝑎 = −1

3𝑏

Trường hợp 1 a=3 và b=1 Ta có phương trình AM :3𝑥 + 𝑦 − 17 = 0==>A(4;5)

Trường hợp 2 b=3và a=-1Ta có phương trình AM :−1(𝑥 −11

2) + 3(𝑦 −

1

2) = 0

==>A(1;-1)

𝑽ậ𝒚 𝒌ế𝒕 𝒍𝒖ậ𝒏 𝑨(𝟒;𝟓) 𝒉𝒐ặ𝒄 𝑨(𝟏;−𝟏)



3.3 Cho hình thoi ABCD có BD=2AC ,H(2:-1) BD:x-y=0.Gọi M là trung điểm CD .Hình chiếu vuông góc

của A lên BM là H.Viết AH.

Tư tưởng:Như đã nói khi nhìn thấy tỉ số độ dài hai cạnh thì biện pháp ta nghĩ tới chính là sử dụng kĩ thuật

góc .Ta có điểm H có tọa độ rồi mà còn có phương trình vậy mục tiêu xác định là phải tìm được cos AFI .

Giải:

Gọi F là giao điểm của AH với BD

Gọi E là giao điểm của AC với BM.Ta có F là trực tâm

của ∆ ABE và E là trọng tâm của ∆BCD .Ta có

𝐼𝐸 =1

3𝐼𝐶 𝑇í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑑𝑜 𝐸 𝑙à 𝑡𝑟ọ𝑛𝑔 𝑡â𝑚

=1

6𝐼𝐵 (𝑆𝑢𝑦 𝑟𝑎 đượ𝑐 𝑡ừ đề 𝑏à𝑖)

Áp dụng Pythagore cho tam giác EIB có 𝐵𝐸2 = 𝐼𝐵2 + 𝐼𝐸2 = 𝐼𝐵2 +1

36𝐼𝐵2 ,𝐵𝐸 =

37

6𝐼𝐵

Ta có 𝑠𝑖𝑛𝐼𝐵𝐸 = 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐹𝐼 =𝐼𝐸

𝐵𝐸=

1

37 (hai góc phụ nhau)

Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của AHvới (𝑎2 + 𝑏2 > 0) |𝑎−𝑏|

𝑎2+𝑏2 2=

1

37 ==>37 𝑎 − 𝑏 2 = 2(𝑎2 + 𝑏2)

vậy 5a=7b hoặc 7a=5b

Trường hợp 1 𝑉ớ𝑖 𝑎 = 5 𝑣à 𝑏 = 7 𝐴𝐻: 5𝑥 + 7𝑦 − 3 = 0

Trường hợp 2 𝑣ớ𝑖 𝑎 = 7 𝑣à 𝑏 = 5 𝐴𝐻 : 7𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0

Kết luận AH:5𝑥 + 7𝑦 − 3 = 0 ; 𝐴𝐻 : 7𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0

3.4 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6,

đường chéo AC : x + 2y − 9 = 0 . Điểm M(0;4) nằm trên cạnh BC, đường thẳng CD đi qua điểm N(2;8).

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh C có tung độ là một số nguyên.

Hướng đi tự nhiên ban đầu ta sẽ tìm ra được điểm C nhờ gợi ý

đầu bài .Đó là cho tọa độ C là một số nguyên.Ta sẽ tìm C dựa vào

tích vô hướng .Tới đây ta tưởng chừng như lại “bế tắc” thì ta công

cụ kĩ thuật “góc” lại giúp ta nhiều gải quyết vấn đề khi biết độ dài

các cạnh.Tới đây bài toán đứng trước tình huống nhiều điểm sẽ xuất

hiện ,nhưng có phải tất cả đều phù hợp.Thì phần này sẽ chỉ rõ phần

loại điểm không phù hợp.

Giải :

Gọi 𝐶(𝑎;9−𝑎

2) do C thuộc đường thẳng AC có phương trình x+2y-9=0

𝑁𝐶 = (𝑎 − 2;9−𝑎

2− 8) và 𝐶𝑀 = (−𝑎; 4 −

9−𝑎

2) Do góc NCM là góc vuông nên 𝑁𝐶 .𝐶𝑀 = 0

𝑣ậ𝑦 𝑎 = −1 (do chỉ lấy a nguyên) mà không lấy a=1,4 Vậy C(-1;5)

Viết phương trình CM do đi qua C(-1;5) và M(0;4) Vậy phương trình CM:x+y-4=0

Tính 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝐶 ;𝐶𝐴 = 1.1+2.1

10=

3

10 Vậy áp dụng công thức 1 + tan2 𝛼 =

1

cos 2 𝛼 Vậy 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

1

3



Vậy ta có hệ sau : 𝐴𝐵

𝐶𝐵=

1

3

𝐴𝐵.𝐵𝐶 = 6

Vậy 𝐴𝐵 = 2và BC = 3 2 Tới đây ta sẽ gặp nhiều tình huống và ở đây ta nên

tìm D trước vì ta có thể khống chế điểm D.Ngoài ra ta cũng có thể tìm B trước vì B phải cùng phía với M so cới

AC (Vì ta biết M nằm trên cạnh BC) Còn đối với N thì nó thuộc đường thẳng AC ta vẫn chưa khống chế

được vị trí.

Viết phương trình CD đi qua C và N 𝐶𝑁 :𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

Gọi 𝐷 (𝑑 ;𝑑 + 6) Ta có :𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 = 2 𝐶𝐷 = (𝑑 + 1;𝑑 + 1)==>2 𝑑 + 1 2 = 2 có d=0 hoặc d=-2 Với D=(0 ;6) hoặc D=(-2 ;4)

Tới tình huống này ta không biết « phải làm sao » nhận cả hai điểm D hay chỉ một điểm D thì công cụ để chứng

minh khác phía sẽ giúp ta ta thấy rõ rãng D phải khác phía mới M so với AC

Vậy chỉ có D(0 ;6) thỏa mãn yêu cầu

Sau khi tìm D ta sẽ tìm B gọi 𝐵(𝑎 ; 4 − 𝑎) do B thuộc CM

BC = 3 2 𝐵𝐶 = (−1 − 𝑎; 5 − 4 + 𝑎) Vậy 𝑎 + 1 2 + 𝑎 − 1 2 = 18 Vậy 𝒂 = 𝟐 𝒉𝒐ặ𝒄 𝒂 = −𝟒 Tiếp tục loại điểm không phù hợp lập luận tương tự thì B và D phải khác phía so với

AC Vậy B(2;2)

Tới đây tương đối dễ dàng thiên đường dường dường như ở phía trước ta sẽ dụng dụng đẳng thức Vecto có lẻ sẽ là cách ngắn họn nhất.

𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 tìm ra được điểm A(𝟑;𝟑)

𝐾ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 :A(𝟑;𝟑), B(2;2), C(-1;5) và D(0 ;6)

Nhận xét bài toán :bài toán nhìn chung tương đối đơn giản về các ý làm bài khá rõ ràng ,chỉ khó là ở chỗ nhận

biết để tính các cạnh tìm điểm nào phù hợp để tìm trước để bài toán trở nên dễ dàng .Bước loại điểm không phù

hợp nhiều dễ gây nhầm lẫn.Điểm M là một cố định duy nhất trong bài .

3.5( Sở GD&ĐT Bắc Ninh – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có AD: 2x + y −1 = 0 , điểm I(-3;2) thuộc BD

saocho 𝑰𝑩 = −𝟐𝑰𝑫 Tìm tất cả các đỉnh của hình chữ nhật biết xD > 0 và AD = 2AB .

Tương tự như hướng trên ta sẽ tìm được điểm D đầu tiên và dựa vào kĩ

thuật góc.Tư tưởng khá đơn giản không nhiều lắt léo trong tính toán.

Giải:

Vậy áp dụng công thức 1 + tan2 𝛼 =1

cos 2 𝛼

tan𝐴𝐷𝐵 =𝐴𝐵

𝐴𝐷=

1

2 vậy 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐷𝐵 =

2

5

Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của BD với (𝑎2 + 𝑏2 > 0) |2𝑎 + 𝑏|

𝑎2 + 𝑏2 5=

2

5

Ta có giải phương đồng bậc 2 ta thu được 𝑏 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 4𝑎 = 3𝑏

Với b=0 chọn a=1 ta có phương trình BD 𝑥 + 3 = 0

Với 4a=3b Chọn a=3 và b=4 ta có 3(𝑥 + 3) + 4(𝑦 − 2) = 0 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

Tìm được D chỉ có D thuộc phương trình 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 phù hợp với D(1 ;-1)

Sử dụng đẳng thức Véc tơ đề bài gọi 𝐵(𝑥 ;𝑦) 𝑰𝑩 = −𝟐𝑰𝑫 Tìm được B(-11 ;8)

Gọi A thuộc 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝐴(𝑎; 1 − 2𝑎) Ta sử dụng 𝐷𝐴 .𝐴𝐵 = 0

Ta thu được A(-5 ;11) nhận hoặc 𝐴(1 ;−1) loại vì trùng D

Tới đây sử dụng đẳng thức Véc tơ 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 tìm ra được điểm C(-5;-4)

Kết luận A(-5 ;11), B(-11 ;8), C(-5;-4), D(1 ;-1)



3.6 (Chuyên Quốc Học Huế) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD.

Biết đường thẳng AC có phương trình 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎; đỉnh 𝑨(𝟑;𝟓) và điểm B thuộc đường thẳng

𝒅 ∶ 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 0 . Tìm tất các đỉnh B, C, D của hình thoi ABCD.Biết hoành độ điểm B nhỏ hơn 3

Đây là một bài toán mà làm cho “kĩ thuật góc “ trở nên hiệu qủa nhất. Ta sẽ đi vào và làm rõ cách giải tư duy

khi cho tỉ số cạnh như thế

Khi cho tỉ số như vậy chắc chắn ta sẽ tìm được cos ABI và đã có phương trình Vậy ta có VTCP của

đường thẳng AC .Ta viết được phương trình AB đi qua A tạo với IB một góc cos ABI.Khi tìm được B .Ta viết

phương trình BI sau đó tìm I thì các điểm còn lại rất dễ.

Giải:

Ta có 𝑛 𝐵𝐼 = (1; 2) Do BI vuông góc với AC

Ta gọi 𝐴𝐶 = 2𝑥;𝐴𝐼 = 𝑎;𝐵𝐼 =𝑥

2 Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AIB ta có 𝐴𝐵 =

5

2𝑥 vậy 𝑐𝑜𝑠𝐴𝐵𝐼 =

1

5

Gọi 𝑛 = 𝑎; 𝑏 là véc tơ pháp tuyến của AB với (𝑎2 + 𝑏2 > 0)

Áp dụng công thức góc ta có : |𝟏𝒂+𝟐𝒃|

𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟓=

𝟏

𝟓

Vậy b=0 hoặc 4a=-3b

Với b=o và a=1 ta có phương trình :x=3 Vậy B(3;-2) loại Với 4a=3b chọn a=-3 và b=4 ta có phương trình :-3x+4y-11=0 vậy B(-1 ;2) Viết phương trình BI đi qua B và vuông góc với AC 1(x+1)+2(y-2)=0 <= >x+2y-3=0 vậy I(1 ;1)

Dựa vào I do I là trung điểm AC vậy C(-1;-3) Dựa vào I do I là trung điểm BD vậy D(3;0) Vậy : B(-1 ;2) , C(-1;-3),D(3;0)

Bài tập đề nghị: 3.7(GSTT.VN – 2013) Cho hình thoi ABCD biết AB : x + 3y +1 = 0;BD : x - y + 5 = 0. đường thẳng AD đi

qua điểm M(1;2). Tìm tọa các đỉnh của hình thoi .

Đáp số : B(4;1) ,D(0;5)

3.8(Lương Tài 2 – Bắc Ninh) Cho ABCD là hình thoi với AC = 2BD, tâm I(2 ; 1). Điểm 𝑀(0;1

3)thuộc

đường thẳng AB, điểm N(0 ; 7) thuộc đườngng thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.

Đáp số : B(1;-1)

3.9(Sở GD&ĐT Bắc Ninh – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượtt là trung điểm

củaa AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của MK. Tìm taọa độ các đỉnh của

hình chữ nhật biết K(5;-1), AC : 2x + y − 3 = 0 và yA>0

Đáp số : A(1;1),B(3;1),C(3;3),D(1;3)

Vẫn còn tiếp (Bài toán kết hợp các tính chất hình học ,đường tròn ,elip)!

Documents

Chuyên đề các kĩ thuật cơ bản hình học OXY