CHỦ ĐỀ 6 (COPY)

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)

http://slidepdf.com/reader/full/chu-de-6-copy 1/12

LAC HONG UNIYERSITY

CHUYÊN ĐỀ TOÁN CAO CẤP C2

CHỦ ĐỀ HỘI THỎA NHÓM:GROUP MEMBERS:

1.

GRADE STUDENTS 10KT115 LAC HONG UNIVERSITYGROUP ADDRESS: [email protected]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bộ sách toán cao cấp c2 của trường ĐH Lạc Hồng.Một số ví dụ của tiến sĩ giảng dạy Đinh Quang Minh.

Giáo viên hưỡng dẫn: TS.ĐINH QUANG MINH

1

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

CHỦ ĐỀ 6: CƠ SỞ KHÔNG GIAN VECTO (CÁCH CHƯNG MINHMỘT CƠ SỞ, TỌA ĐỘ VECTO ĐỐI VỜI MỘT CƠ SỞ, MA TRẬN CHUYỂN VỊCƠ SỞ, CÔNG THỨC ĐỔI TỌA ĐỘ)

I. CƠ SỞ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VECTOTrong hình học giải tích phẳng, người ta chọn một hề gồm 2 vecto không cùng

phương để biểu diễn tất cả những vecto trên mặt phẳng qua hệ vecto đó và gọi hệ 2 vectođược chọn là cơ sở của tập hợp các vecto trong hình học giải tích phẳng ( có thể coi nhưkhông gian vecto 2-chiều). Tương tự, trong hình học giải tích không gian người ta chonmột hệ gồm 3 vecto không đồng phẳng để biểu diễn tất cả những vecto trong không gianqua hệ vecto đó và gọi hệ ba vecto được chọn là cơ sở của tập hợp các vecto trong hình họcgiải tích không gian (có thể coi như không gian vecto 3-chiều).Các hệ số trong phép biểudiễn một vecto qua cơ sở được gọi là tọa độ của vecto trong cơ sở được chọn. ĐỊNH NGHĨAMột hệ gồm n vecto n-chiều độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của không gian vecto

n-chiều. Như vậy, bất kì một hệ gồm n vecto n-chiều và độc lập tuyến tính nào cũng đều là một cơ sở của không gian vecto n-chiều. Có vô số cơ sở trong không gian vecto n-chiều, trong đó

hệ E={ }1 2, ,..., ne e e gồm tất cả các vecto đơn vị n-chiều cũng là một cơ sở và ta gọi là cơ sở

chính tắc hay cơ sở đơn vị của không gian vecto n-chiều. ĐỊNH LÝ

Trong không gian vecto n-chiều ta có:1. Mọi hệ có nhiều hơn n vecto n-chiều đều phụ thuộc tuyến tính, do đó hệđó không thể là cơ sở của không gian vecto n-chiều.2. Mọi hệ độc lập tuyến tính có ít hơn n vecto n-chiều đều có thể bổ sung

thành một cơ sở của một không gian vecto n-chiều.Ví dụ: với 3 vecto 3-chiều ( )11,0,1u = ( )2

1,2,4u − ( )33,0,1u

Là một cơ sở của một không gian 3-chiều.

Giải

Do U là một hệ gồm 3 vecto 3-chiều, nên điều kiện để U là cơ sở của 3 R là U độc lập tuyến

tính:Cách 1: Áp dụng theo phương pháp định thức.

1 0 1

1 2 3

2 2 5

= (10+2+0) - (4+0+6)= 2 ≠ 0

Vậy U là độc lập tuyến tính, do đó U là một cơ sở của 3 R .

Cách 2: Áp dụng tính hạng ma trận.


2

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

A =

1 0 1

1 2 3

2 2 5

1 2 2

1 3 32

r r r

r r r

− →

− + →

1 0 1

0 2 2

0 2 3

− − −

2 3 3 r r r − + → 1 0 1

0 2 2

0 0 5

− −

R(A) = R(U) =3 ⇒ U độc lập tuyến tính, do đó U là một cơ sở của 3 R .

II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO THEO MỘT CƠ SỞ.

ĐỊNH LÝ.

Cho B = { }1 2,, ...,

nb b b là một cơ sở của không gian vecto n-chiều và x là một vecto n-chiều

nào đó. Khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực ( )1 2, ,..., n x x x sao cho:

1 1 2 2... n n x x b x b x b= + + +

• CHỨNG MINH:

Hệ ( )1 2,, , ..., n x b b b gồm n +1 vecto n-chiều nên phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại các số thực

không đồng thời bằng không 1 2, , ,...,

nα α α α sao cho:

1 1 2 2... 0n n n x b b bα α α α + + + + = (1)

Do B là một cơ sở của không gian vecto n-chiều nên B là hệ độc lập tuyến tính,do đó 0α ≠

Thật vậy, nếu 0α = thì (1) trở thành 1 1 2 2... n n nb b b oα α α + + + =

Do 1 2, ,..., nα α α không đồng thời bằng không nên B là hệ phụ thuộc tuyến tính, vô lý.

Do 0α ≠ nên ta có:

1 21 2 ... n n x b b bα α α

α α α = − − − − (2)

Đặt ( )1,2,..., j

j x j n

α

α

= − = thì (2) trở thành:

1 1 2 2...

n n x x b x b x b= + + +

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của bộ số thực ( )1 2, ,... .

n x x x

Giả sử tồn tại bộ số thực ( )1 2, ,..,

n y y y sao cho:

1 1 2 2...

n n x y b y b y b= + + +

Khi đó ta có ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2... 0

n n n n x y b x y b x y b− + − + + − = .

Do B là hệ độc lập tuyến tính nên: 1 1 2 2 1 1 2 2

... 0 , ,...,n n n n

x y x y x y x y x y x y− = − = = − = ⇒ = = =

Điều này chưng tỏ bộ số thực ( )1 2, ,..,

n x x x là duy nhất.

ĐỊNH NGHĨA.


3

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

Bộ số thực ( )1 2, ,..., n x x x trong định lý trên được gọi là tọa độ của vecto n-chiều x theo cơ sở B và

kí hiệu là: ( )1 2, ,..., n

x x x x B

=

Như vậy:

( )1 2 1 1 2 2, ,..., ...

n n n x x x x x x b x b x b

B= ⇔ = + + +

Do đó, để tìm tọa độ của một vecto n-chiều x trong một cơ sở B cho trước, ta tìm cách biểu thịtuyến tính x qua các vecto cua cơ sở B trong phép biểu thị này lần lượt các tọa độ của x trong cơ sở

B. Ngược lại, nếu một vecto n-chiều x có tọa độ trong cơ sở B là ( )1 2, ,..., n x x x thì x có thể biểu thị

tuyến tính qua các vecto của cơ sở B vói các hệ số lần lượt là 1 2, ,.., n x x x .

Mỗi vecto n-chiều có tọa độ trong một cơ sở cho trước là một bộ gồm n số thực.Ngược lại với bộ

số thực ( )1 2, ,..., n x x x ta có:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, ,.., ,0,...,0 0, ,...,0 ... 0,0,...,

n n x x x x x x= + + +

( ) ( ) ( )1 2

1,0,...,0 0,1,...,0 ... 0,0,...,1n

x x x

= + + + 1 1 2 2 ... n n x e x e x e= + + +

Như vậy mỗi bộ phận gồm n số thực cho trước, ta gọi là vecto n chiều, đều được coi là tọa độ củamột vecto n-chiều trong cơ sở chính tắc. Từ đay ta đồng nhất khái niệm vecto n-chiều trong cơ sở

chính tắc. Điều đó có nghĩa là, nếu ta cho vecto n-chiều ( )1 2, , ...,

n x x x x= thì ta hiểu vecto n-chiều

x có tọa độ trong cơ sở chính tắc là ( )1 2, ,...,

n x x x .

Ví dụ: Cho các vecto ( )11,2,1u = ( )2

0,1,2u = ( )12,0,3u −

a) Chứng tỏ rằng hệ { }1 2 3, ,U u u u= là một cơ sở của không gian 3 R .

b) Tìm tọa độ của vecto ( )3,7,10 x = theo cơ sở U.

c) Cho ( )1,0, 2bU

= − . Tìm tọa độ của vecto b theo cơ sở chinh tắc.

Giảia) Do U là hệ gồm 3 vecto 3-chiều nên điều kiện để U là một cơ sở của không gian 3

R là U độc lập tuyến tính. Lập định thức ∆ , trong đó mỗi dòng là tọa độ của một vecto của hệ vectoU được tình như sau:

1 2 1

0 1 2

1 4 6

∆= = ( )6 0 4+ + - ( )1 0 8+ + =1 0≠

Do 0∆ ≠ nên U là hệ độc lập tuyến tính, do đó U la một cơ sở của 3 R .

b) Giả sử tồn tại các số thực 1 2 3, , x x x sao cho:

1 1 2 2 3 3 x x u x u x u= + +


4

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

x⇔1

1

2

1

x

=

+ 2

0

1

2

x

+ 3

1

4

6

x

Khi đó ta có hệ phương trình:

1 3

1 2 3

1 2 3

3

2 4 7

2 6 10

x x

x x x

x x x

+ = + + = + + =

3 R

Ta có ma trận hệ số bổ sung và biến đổi về dạng bậc thang:

U =

1 0 1 3

2 1 4 7

1 2 6 10

1 2 2

1 3 3

2

1 0 1 3

0 1 2 1

0 2 5 7

R R R

R R R

− + →

− + →

→

2 3 32

1 0 1 3

0 1 21

0 0 15

R R R− + →

→

( ) ( ) R U R U = =3 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

Ta có:1 3 1

2 3 2

33

3 22 1 9

55

x x x x x x

x x

+ = = − + = ⇔ = − ==

Vậy ( ) ( ) ( )1 2 32 9 5 x u u u= − + − +

Do đó tọa độ của vecto x trong cơ sở U là: ( )2, 9,5 xU

= − −

c) Do ( )1, 0, 2 yU

= − nên ta có:

1 2 3

1 1 1

1 2 1 2 2 4 6

1 6 11

y u ou u y

− = + − ⇔ = − = −

− Tọa độ của vecto y trong cơ sở chính tắc là: ( )1, 6, 11 y = − − −

III. MA TRẬN ĐỔI CƠ SỞ VÀ CÔNG THỨC ĐỔI TỌA ĐỘ.

a. MA TRẬN ĐỔI CƠ SỞ


5

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

ĐỊNH NGHĨA .

Cho { } { }1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n n

U u u u V v v v= = là 2 cơ sở của n R .

( )11 11 1 12 2 1 11 12 1... , , ...,n n nvv a u a u a u a a au= + + + ⇒ =

( )221 1 22 2 2 21 22 2

... , ,...,n n n

vv a u a u a u a a a

u= + + + ⇒ =

( )33 31 1 32 2 3 31 32 3

... , , ...,n n n

vv a u a u a u a a a

u= + + + ⇒ =

A=

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

a a a

a a a

a a a

L

L

M M M

L

A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở U→ cơ sở V

Như vậy, để tìm ma trận đổi cơ sở U sang cơ sở V, trước tiên ta lần lượt tìm tọa độ của mỗi vectocủa cơ sở V sang U, sau đó ta lập ma trận với mỗi cột lần lượt là các tọa độ vừa tìm được. Ma trậnlập được là ma trận đổi cơ sở U sang V . Để tìm ma trận đổi cơ sở từ V sang cơ sở U ta cũng làmtương tự, nghĩa là ta lần lượt tìm tọa độ của mỗi vecto của cở sở U theo cơ sở V rồi lập ma trận nhưtrên. Trong trường hợp ta đã biết ma trận đổi cơ sở U sang cơ sở V là ma trận A thì ma trận đổi cơ sở từ V sang cơ sở U là ma trận đảo 1

A− .

Ví dụ:Cho ( ) ( ) ( ){ }1 2 31,1,1 , 1,2,1 , 0,1,4U u u u= = = − =

( ) ( ) ( ){ }1 2 30,1,3 , 1,1,2 , 5,0,4V v v v= = = − =

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U V → và V U →

Giải

Gọi ( )11 2 3 1 2 3

1 1 0 0

, , 1 2 1 1

1 1 4 3

v x x x x x x

U

− = ⇒ + + =

1 2 1

1 2 3 2

31 2 3

0 0.1

2 1 0.10.74 3

x x x

x x x x

x x x x

− = =

⇒ + + = ⇔ = =+ + =

( )1 0.1, 0.1, 0.7vU

⇒ =

Tương tự: ( )2 0.4, 0.6, 0.2vU

= − ( )3.1, 1.9, 0.7vU

= −


6

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

Gọi A là ma trận chuyển vị cơ sở từ U V → , nên:

0.1 0.4 3.1

0.1 0.6 1.90.7 0.2 0.7 A

−

= −

Khi đó ma trận đổi cơ sở từ V U → là ma trận đảo của A la

1

A−

0.08 0.56 1.421

0.09 0.21 0.030.656

1.1 0.5 0.1

− = − − − −

b. CÔNG THỨC ĐỔI TỌA ĐỘ.

ĐỊNH NGHĨA.

Trong n R cho hai cơ sở U= ( )1 2, ,..., nu u u và V= ( )1 2, ,..., n

v v v và ma trận đổi cơ sở từ Uáng cơ sở

V là:

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a a

a a a

a a a

A

=

L

L

L L L

L

Công thức [ ] x x AU V

= được gọi là công thức đổi tọa độ từ cơ sở U sang cơ sở V trong

không gian vecto n-chiều.

Để tìm công thức đổi cơ sở từ cơ sở U → V trước hết ta tìm ma trận đổi cơ sở cừ U → V. Khi

đó công thức đổi tọa độ là hệ thức: Ma trận cột tọa độ của vecto x trong cơ sở U bằng tích của matrận đổi cơ sở từ U → V với ma trận cột tọa độcủa x trong cơ sở V.

Với công thức đổi tọa độ từ cơ sở từ U → V, khi biết tọa độ của x trong cơ sở V, ta thay tọa độ

đó vào vế trái rồi tính, ta sẽ tìm được tọa độ của x trong cơ sở U. Ngược lại, khi biết tọa độ của xtrong cơ sở B, ta thay tọa độ đóvào vế trái rồi giải hệ phương trình, nghiệm là tọa độ của x trongcơ sở V.

Ví dụ: Trong 3 R cho cơ sở U = ( )1 2 3, ,u u u với

( ) ( ) ( )1 2 31,1, 1 , 2,1,1 , 1, 2, 2u u u= − = = − −

1) Tìm công thức đổi tọa độ từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U


7

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

2) Cho vecto ( )1,2,8 x = Tìm cơ sở của x trong cơ sở U.

Giải

1. Ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U là:

1 2 1

1 1 2

1 1 2

A

= − −

Giả sử x là một vecto 3-chiều có tọa độ trong cơ sở chính tắc và cơ sở U la:

( )1 2 3, , x x x x=

( )1 2 3, , x y y y

U =

Khi đó công thức đổi tọa độ từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U là:

1

2

3

1 2 1

1 1 2

1 1 2

x

x

x

= − −

1

2

3

y

y

y

×

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2

2

2

x y y y

x y y y

x y y y

= + +⇔ = + − = − + +

2. Do ( )1,2,8 x = nên tọa độ của x trong cơ sở U là nghiệm của hệ phương trình

sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 2

2 8

y y y

y y y

y y y

+ + = + − =

− + + =

1

2

3

1

1

2

y

y

y

=

⇔ =

= −

Vậy ( )1,1, 2 xU

= − .

IV BÀI TẬP

BÀI 1: Trong 4 R cho các vecto sau:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41,2,3,0 , 0, 1,2, 3 , 2,6,2,4 , 1,3,2,6u u u u= = − − = =a) Chứng tỏ rằng { }1 2 3 4

, , ,U u u u u= là một cơ sở của 4 R

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U và tù cơ sở U sang cơ sở chínhtắc.

c) Cho vecto ( )2, 3,1, 4a = − − . Tìm tọa độ của a theo cơ sở U.


8

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

Giải

Lập ma trận A trong đó mỗi dòng là tọa độ của vecto U và đem về ma trận bâc thang vàđược tinh như sau:

1 2 3 0

0 1 2 3

2 6 2 4

1 3 2 6

A

− − =

1 3 3 2 3 3

1 4 4 2 4 4

2 2

1 2 3 0 1 2 3 0

0 1 2 3 0 1 2 3

0 2 4 4 0 0 0 2

0 1 1 6 0 0

R R R R R R

R R R R R R

− + → + →

− + → + →

− − − − → → − − − 1 3

3 4

1 2 3 0

0 1 2 3

0 0 1 3

0 0 0 2

R R↔

− − → −

( ) 4 R U ⇒ = bằng số vecto bằng số chiều U ⇒ là một cơ sở của

4R . b)

♦ Gọi ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 41,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1 E e e e e= để tìm ma trận đổi cơ

sở chính tắc sang U, ta lần lượt tìm từng tọa độ của vecto U trong cơ sở E.

Ta đặt tọa độ của vecto 1u trong cơ sở E là ( )1 2 3 4

, , , x x x x . Ta có:

( )

1

1 2 3 4

, , ,u x x x x

E == 1 2 3 4

1 0 0 0 1

0 1 0 0 2

0 0 1 0 30 0 0 1 0

x x x x

+ + + =

⇒

1

2

3

4

1

2

30

x

x

x

x

= =

= =


9

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

Vậy, tọa độ của 1u trong cơ sở chính tắc là: ( )1 1,2,3,0u

E = , tương tự,

( )2 0, 1,2, 3u E

= − − , ( )3 2,6,2,4u E

= , ( )4 1,3,2,6u E

=

Ta gọi A là ma trận chuyển cơ sở E U → , Vậy ma trận A là:

1 0 2 1

2 1 6 3

3 2 2 2

0 3 4 6

A

− = −

♦ Để tìm tọa độ của U trong cơ sở chính tắc ta tìm ma trận đảo của A là 1 A− .Để tìm

ma trận đảo ta có hai cách:

Cách 1: Tính theo định thức

11 12 13 14

21 22 23 341

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a1a a a a

a a a a

A A

−

=

(tự giải)

Cách 2: Tính 1 A− theo A

I

Ta có:


10

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

A

I

=

1 0 2 1 1 0 0 0

0 1 2 1 0 1 0 0

0 2 4 1 0 0 1 00 3 4 6 0 0 0 1

−

− − −

1 2 2

1 3 3

2

3

1 0 2 1 1 0 0 0

0 1 2 1 2 1 0 0

0 2 4 1 3 0 1 0

0 3 4 6 0 0 0 1

R R R

R R R

− + →

− + →

− − → − − − −

2 3 3

2 4 4

2

3

1 0 2 1 1 0 0 0

0 1 2 1 2 1 0 0

0 0 0 1 7 2 1 0

0 0 2 3 6 3 0 1

R R R

R R R

+ →

− + →

− −

→ − − −

3 4

1 0 2 1 1 0 0 0

0 1 2 1 2 1 0 0

0 0 2 3 6 3 0 1

0 0 0 1 7 2 1 0

R R↔

− −

→ − − −

4 3 3

4 2 2

4 1 1

3

1 0 2 0 8 2 1 0

0 1 2 0 5 1 1 0

0 0 2 0 27 9 3 1

0 0 0 1 7 2 1 0

R R R

R R R R R R

− + →

− + →− + →

− − − − − → − − − −

3 2 2

3 1 1

1 0 0 0 35 11 4 1

0 1 0 0 32 10 4 10 0 2 0 27 9 3 1

0 0 0 1 7 2 1 0

R R R

R R R+ →+ →

− −

− − − → − − − −

2 2

3 3

1

2

35 11 4 11 0 0 0

32 10 4 10 1 0 0

27 9 3 10 0 1 0

2 2 2 20 0 0 1

7 2 1 0

R R

R R

− →

− →

− − − − → − − −

1 A−⇒ =

35 11 4 1

32 10 4 1

27 9 3 1

2 2 2 2

7 2 1 0

− − − − − −

−


11

8/7/2019 CHỦ ĐỀ 6 (COPY)


LAC HONG UNIYERSITY

c) Do ( )2, 3,1,4a = − − ta gọi tọa độ của vecto a trong cơ sở U là

( )1 2 3, ,a y y y

U = khi đó ta có: 1 2 3 4

1 0 2 1 22 1 6 3 3

3 2 2 2 1

0 3 4 6 4

y y y y− − − + + + =

−

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 2

2 6 3 3

3 2 2 2 1

3 4 6 4

y y y

y y y y

y y y y

y y y

+ + = − − + + = −⇒ + + + =

− + + =

(giải ngoài)

Tọa độ của a trong cơ sở U là nghiệm của hệ trên. Giải hệ trên ta được:

1

2

3

4

37

34

13

9

y

y

y

y

= − = = =

Vậy, tọa độ của a trong cơ sở U là: ( )37,34,13,9aU

= − .


12

Documents

CHỦ ĐỀ 6 (COPY)