CHƯƠNG 2 MA TRẬN-ĐỊNH THỨCHỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1. Ma trận

2.1.1. Khái niệm về ma trận, các ma trận đặc biệt

Định nghĩa 1. Một bảng số chữ nhật có m dòng và n cột, gọi là một ma trận cỡ hoặc là

cấp :

Trong đó: aij là phần tử nằm ở dòng i và cột j. Hai ma trận bằng nhau Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị

trí bằng nhau, tức là 1) A = [ ]mn , B = [bij] mn 2) = bij víi mäi i vµ jKhi A bằng B ta viết A=B

Ví dụ: Có nghĩa là a = 1, b = 2, c = 3, d = -4

Ma trân chuyển vịCho ma trận . Nếu ta đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là .

Vậy chúng ta có

Ta thấy rằng nếu A có m hàng n cột thì At có n hàng m cột.

Ví dụ: Nếu thì .

Các ma trận đặc biệt:

1. Ma trận vuông Khi m=n, bảng số thành vuông, ta có ma trận vuông cấp n.

Bài giảng toán cao cấp 2

Các phần tử a11, a22...,anm gọi là các phần tử đường chéo chính.

2. Ma trận tam giác Ma trận A cấp n

còn viết

Trong đó = 0 nếu i > j, gọi là ma trận tam giác trên.

Ma trận A cấp n

còn viết

Trong đó = 0 nếu i < j,gọi là ma trận tam giác dưới.

3 . Ma trận chéo Ma trận A cấp n

còn viết

Trong đó = 0 nếu i j, gọi là ma trận tam giác chéo. 4. Ma trận đơn vị Ma trận A cấp n

còn viết

Trong đó = 0 nếu i j và = 1 nếu i = j, gọi là ma trận đơn vị.5. Ma trận không Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không. Ký hiệu:0Ví dụ 2:

Là ma trận không cỡ 3 5.Năm 2012 2

Bài giảng toán cao cấp 26. Ma trận bậc thang Ma trận cỡ m n có 2 tính chất sau: 1) Các hàng khác không (tức là hàng có phần tử khác không) luôn nằm trên các hàng không (tức là hàng có tất cả các phần tử đều bằng không) 2) Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên.

Ví dụ 3: Bảng số

Là ma trận bậc thang

Ví dụ 4: Nếu thì .

2.1.2. Các phép toán về ma trận

2.1.2.1. Phép cộng hai ma trận

Định nghĩa 2. Cho hai ma trận cùng cỡ: và . Ma trận A cộng

với ma trận B là ma trận , với

Tính chất : +) Giao hoán .

+) Kết hợp .

+) , 0 là ma trận không.

+) Gọi . Khi đó .

Ví dụ 5:

.

2.1.2.2. Phép nhân ma trận với một số

Định nghĩa 3. Cho , . Khi đó tích ma trận A với số k là ma trận

được xác định bởi:

, với .

Ký hiệu C = kA.

Năm 2012 3

Bài giảng toán cao cấp 2Như vậy, muốn nhân một ma trận với một số , ta nhân tất cả các phần tử của ma

trận với số đó.

Tính chất : ) .

) .

) .

) .) .

Ví dụ 6: .

2.1.2.3. Phép nhân ma trận với ma trận

Định nghĩa 4. Xét hai ma trận , . Trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng (dòng) của ma trận B. Tích của ma trận A với ma trận B là ma trận

và được xác định bởi

Cách tính có thể hình dung bằng sơ đồ : Cột j Cột j

Dòng i = dòng i

và có thể nói tắt: bằng dòng i của A nhân với cột j của B.

Ví dụ 7:

a)

b) .

c) ..

Năm 2012 4

Bài giảng toán cao cấp 2Chú ý :

- Muốn nhân AB (A bên trái, B bên phải) phải có điều kiện: số cột của A bằng số hàng của B. Muốn nhân BA (B bên trái, A bên phải) phải có điều kiện: số cột của B bằng số hàng của A. Do đó, khi nhân AB được chưa chắc đã nhân BA được.

- Trường hợp đặc biệt khi A và B là hai ma trận vuông thì nhân AB và BA đều được, nhưng chưa chắc thỏa mãn AB = BAVí dụ 8: Cho

.

Khi đó

Ta có AB BA.- Có những ma trận A 0, B 0 mà tích AB = 0 ví dụ như

Nhưng

Một số tính chất :

)

Năm 2012 5

Bài giảng toán cao cấp 2

2.2. Định thức

2.2.1. Định thức của ma trận vuông

2.2.1.1. Ma trận con

Cho ma trận A vuông cấp n, phần tử nằm ở dòng i cột j. Nếu từ A ta bỏ đi dòng i cột j thì ta thu được ma trận vuông cấp , ma trận này được gọi là ma trận con của A, ứng với phần tử , ký hiệu

2.2.1.2. Định thức của ma trận vuông cấp n

Định nghĩa 5. Định thức của ma trận , ký hiệu là hoặc , được định nghĩa như sau:

Nếu A là ma trận cấp 1 với , thì det(A) = .

Nếu A là ma trận cấp 2 với , thì

.

Nếu A là ma trận cấp n thì

Để ký hiệu định thức, người ta dùng gạch đứng đặt ở hai bên:

2.2.2. Các tính chất của định thức

Tính chất 1:

Năm 2012 6

Dòng i

Cột j

Bài giảng toán cao cấp 2Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột.Tính chất 2:

Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.Tính chất 3:

Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không.Tính chất 4:

=

Chú ý : - Các phần tử đều nằm ở hàng thứ i của định thức, nên công thức trên có thể gọi là triển khai định thức theo hàng i.

- Ta còn có công thức tính định thức triển khai theo cột thứ j như sau:

=

Tính chất 5:Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn số không thì bằng không

Tính chất 6:Khi nhân các phần tử một hàng (hay một cột) với một số k thì được một định

thức mới bằng định thức cũ nhân với kHệ quả: Khi các phần tử của một hàng ( hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.Tính chất 7:

Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì bằng không.Tính chất 8:

Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân thành tổng của hai định thức .Tính chất 9:

Nếu một định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của những hàng khác (hay của các cột khác) thì định thức ấy bằng không.Tính chất 10:

Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một định thức mới bằng định thức cũ.Tính chất 11:Năm 2012 7

Bài giảng toán cao cấp 2Các định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo.

2.2.3. Một số phương pháp tính định thức a. Phương pháp1:

Dùng định nghĩa: có số hạng mỗi số hạng có n thừa số.b. Phương pháp 2:

Dùng các tính chất cùng với các phép biến đổi sơ cấp, biến đổi định thức cần tính về dạng tam giác , sau đó sử dụng Tính chất 11.

Chúng ta có 3 phép biến đổi sơ cấp:

Các phép biến đổi sơ cấp Tác dụng

1) Nhân các phần tử của dòng r với số k 0 Định thức nhân với k

2) Đổi chỗ hai dòng r và s. Định thức đổi dấu

3) Cộng k lần dòng r vào dòng s, (rs). Định thức không đổi

2.2.4. Ví dụ 9. Tính các định thức sau :

a) b)

Năm 2012 8

Bài giảng toán cao cấp 2

2.3. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận

2.3.1. Ma trận nghịch đảo

Gọi Mn là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n. Định nghĩa 6. Cho A Mn , tồn tại B Mn sao cho thì ta nói rằng A khả đảo và B là ma trận khả nghịch của A, ký hiệu , nghĩa là .

Ví dụ 10: Nếu thì ,

vì AA-1= .

Sự tồn tại và tính duy nhất của ma trận khả nghịch

a. Phần phụ đại số

Cho ma trận A Mn , .

Ở phần trước ta đã gọi ma trận suy ra từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j là ma trận con ứng với phần tử

Bây giờ ta gọi là định thức con ứng với phần tử

Và : ( )

là phần phụ đại số của phần tử

b. Định lý1 i) Nếu A Mn là khả đảo thì A-1 là duy nhất và det(A) 0.

ii) Nếu thì ma trận A có ma trận nghịch đảo A-1 tính bởi công thức:

Năm 2012 9

Bài giảng toán cao cấp 2

.

Trong đó được tính theo ( ) .

Ví dụ 11: Cho . Hãy tính A-1.

Giải: Ta có det(A) = -1 0, nên A là khả đảo. Tính C11 = 40 C12 = -13 C13 = -5

C21 = -16 C22 = 5 C23 = 2 C31 = -9 C32 = 3 C33 = 1.

Do đó

.

Vậy .

Nhận xét:

Nếu A, B Mn là hai ma trận khả đảo thì AB cũng khả đảo và

.

Nếu A Mn khả đảo và có nghịch đảo , thì cũng khả đảo và

.

Nếu AMn khả đảo và k 0, thì kA cũng khả đảo và

.

2.3.2. Hạng của ma trận Ma trận con cấp p:

Cho ma trận A cỡ m n

Năm 2012 10

Bài giảng toán cao cấp 2

.

Gọi p là một số nguyên dương :

a. Định nghĩa 7. Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m- p hàng và n- p cột gọi là ma trận con cấp p của A.

Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A.b. Ví dụ 12. Cho ma trận A cỡ 3 4

Ta có , do đó p = 1, p = 2, p = 3.

Các ma trận con cấp 3 và các định thức con cấp 3 tương ứng là

Các định thức cấp hai của A là

… …

Hạng của ma trận Aa. Định nghĩa 8. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. Ký hiệu: r(A) = Hạng của ma trận A.Ví dụ 13: Xét ma trận A trong Ví dụ 12 nêu trên. Các định thức cấp 3 đều bằng 0 và có định thức cấp hai khác không. Vậy r(A) =2.

Phương pháp tìm hạng ma trậna. Tác dụng của các phép biến đổi sơ cấp

+) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.+) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác 0 của nó.

b. Quy tắc tính hạng:+) Dùng biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang

Năm 2012 11

Bài giảng toán cao cấp 2+) Đếm số dòng khác 0 của nó ta được hạng ma trận.

Ví dụ 14: Cho ma trận . Hãy tìm hạng của A.

Giải: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa A về dạng ma trận bậc thang :

A Biến đổi sơ cấp trên dòng

D1

D2

D3

-2 D1 + D2 D2

D1 + D3 D3

D2 + D3 D3

Ma trận cuối cùng trong bảng là một ma trận bậc thang có hai dòng khác không. Vậy r(A) = 2.

Năm 2012 12

Bài giảng toán cao cấp 2

2.4. Hệ phương trình tuyến tính

2.4.1. Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 9:Hệ phương trình tuyến tính là một hệ gồm m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số:

(1)

Trong đó:+) là các ẩn số.

+) là các hệ số ở phương trình thứ i của ẩn xj.

+) bi là vế phải của phương trình thứ i.

+) gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình.

+) gọi là ma trận vế phải của hệ phương trình.

+) gọi là ma trận ẩn của hệ phương trình.

Năm 2012 13

Bài giảng toán cao cấp 2

+) gọi là ma trận bổ sung của hệ .

Với phép nhân ma trận với ma trận, hệ (1) viết dưới dạng Ax = b (2)

Đó là dạng ma trận của hệ (1).Chú ý : Hệ (1) gọi là thuần nhất nếu .

Hệ (1) gọi là không thuần nhất nếu . Hệ (1) gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm.

Nếu m=n, hệ trên gọi là hệ vuông.

2.4.2 Hệ Cramer Định nghĩa 10. Hệ gồm n phương trình của n ẩn:

(3)

Với gọi là hệ Cramer .

Cách giải hệ Cramer Định lý 2(Định lý Cramer) Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính bằng công thức , tức là

, .

Trong đó A là ma trận hệ số của hệ (3), là ma trận suy ra từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột các hạng tử tự do ở vế phải là ma trận b.

Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: .

Giải: Ta có .

Năm 2012 14

Bài giảng toán cao cấp 2

Vậy

Ta tính được:

Ta suy ra các nghiệm của hệ đã cho:

.

2.4.3. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Định lý 3 ( Định lý Crônecke- Capêli)

Hệ (1), tức là hệ Ax = b, có nghiệm khi và chỉ khi

Nhận xét. Từ định lý trên ta suy ra: r(B) r(A) thì hệ vô nghiệm. r(B) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất. r(B) = r(A) < n thì hệ có nghiệm vô số nghiệm.

2.4.4. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Phương pháp định thức:

Giả sử . ta giải hệ (1) như sau:

Vì nên tồn tại một định thức con cấp cao nhất khác 0 cấp r của A. Không làm mất tính tổng quát ta giả sử nó nằm ở góc trái phía bên trên. Khi đó:

Hệ (1) (1a)

+) Nếu r=n thì hệ (1a) là hệ Gramer.+) Nếu r<n thì ta viết hệ (1a) về dạng:

Với tùy ý, hệ này là hệ Gramer, từ đó suy ra: r<n hệ này vô định phụ thuộc vào tham số.

Ví dụ 16: Giải hệ phương trinh sau:

Năm 2012 15

Bài giảng toán cao cấp 2Giải: Ta có : r(A)=r(B)=2 . Hệ vô định phụ thuộc vào 3-2=1 tham số, đặt

Biến đổi hệ về dạng: . Tính:

Ta có nghiệm là:

Cách 2: Dùng Gauss : Biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận bổ sung B đưa nó về dạng bậc thang :

. Ta đã lấy :

Từ dòng cuối : đặt

Thay vào dòng đầu ta được : . Ta có nghiệm như cách giải 1 ở trên .

Ví dụ 17: Giải và biện luận hệ phương trình sau:

Giải: Ta có

TH1: nghiệm của hệ là: .

TH2:

+) Với , , nghiệm của hệ phụ thuộc vào 2 tham số.+) Với , ta được hệ cụ thể với r(A)=2 r(B)=3, hệ vô nghiệm.

Ví dụ 18: Giải và biện luận hệ phương trình sau:

Năm 2012 16

Bài giảng toán cao cấp 2

Giải:

Ta có :

TH1:

Ta có

nghiệm của hệ là: , , .

TH2: , ta có hai trường hợp cụ thể:

+) Với . Dễ thấy r(A)= r(B)=1, nghiệm của hệ phụ thuộc vào 2 tham số.

+) Với hệ trở thành: .

Tính được : r(A)=2 r(B)=3 suy ra hệ vô nghiệm.

Phương pháp khử dần ẩn số (Phương pháp Gauss)+) Dùng 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng, biến đổi trên ma trận bổ sung B đưa

nó về dạng bậc thang. +) Tính dần các ẩn từ dưới lên và trả lời theo yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 19: Giải hệ phương trình sau: .

Giải: Ta có ma trận bổ sung:

+) Từ dòng cuối suy ra: .

+) Thay vào dòng 2 ta được: .Năm 2012 17

Bài giảng toán cao cấp 2+) Thay vào dòng 1 ta được :

Ví dụ 20: Giải hệ phương trình sau: .

Giải: Ta đưa ma trận bổ sung về dạng: ,

lúc đó hệ trở thành: hệ vô nghiệm.

Ví dụ 21: Giải hệ phương trình sau: .

Giải: Ta đưa ma trận bổ sung về dạng: ,

lúc đó hệ trở thành: . Cho

Cho

Hệ có nghiệm là: .

2.4.5. Hệ thuần nhất

Định nghĩa 10. Hệ thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính có dạng:

(4)

Nhận xét +) Hệ thuần nhất luôn có: r(A)=r(B).+) Hệ thuần nhất luôn có một nghiệm (0,0,…,0) được gọi là nghiệm tầm thường.

Năm 2012 18

Bài giảng toán cao cấp 2

+) Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: .

+) Hệ vuông thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: Ví dụ 22: Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm không tầm thường và tính nghiệm trong trường hợp ấy

Giải: Ta có . Điều kiện để hệ có nghiệm

không tầm thường là: Với ,ta có ma trận bổ sung:

Hệ trở thành: .Ta có r(A)=2;n=3. Hệ vô định : Đặt z=t. Nghiệm là

Năm 2012 19

Bài giảng toán cao cấp 2

Bài tập chương 22.1. Tính các định thức sau

a) b)

2.2. Cho:

Tính AB - BA

2.3. Cho:

. Tính A3.

2.4. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có)

2.5. Tìm hạng của các ma trận sau:

a. b.

2.6. Tìm hạng của các ma trận sau phụ thuộc tham số:

a. b.

2.7. Giải các phương trình ma trận:Năm 2012 20

Bài giảng toán cao cấp 2

2.8. Áp dụng định lý Cramer giải hệ:

a) b)

2.9. Áp dụng phương pháp Gauss giải hệ :

a) b)

2.10. Tìm a để hệ sau có nghiệm không tầm thường:

a) b)

2.11. Giải và biện luận các hệ sau theo tham số :

Năm 2012 21