Chapter1 MODÈLEDISINGÀUNE ETDEUXDIMENSIONS. · 1 = apriori i h HJh i i i>j ij i j i ii 1.1 INTRODUCTION. Chapter1 MODÈLEDISINGÀUNE ETDEUXDIMENSIONS. Nouscommençons,danscechapitre,létudedunproblèmedemécanique

?

?

1

=∑ ∑�

� � �

a priori

i �

h

H J � � h �

i

i

i>j

ij i j

i

i i

1.1 INTRODUCTION.

Chapter 1

MODÈLE D�ISING À UNEET DEUX DIMENSIONS.

Nous commençons, dans ce chapitre, l�étude d�un problème de mécaniquestatistique de la matière condensée où l�effet des interactions est important.Le modèle que nous avons d�abord choisi de discuter ici est connu sous lenom de Modèle d�Ising[ ]. Ce modèle très simple est dé�ni de la façonsuivante : on considère un réseau régulier dont les sites sont numérotésd�une certaine façon, et sur chaque site , on dé�nit une variable scalairequi peut prendre deux valeurs . Ces variables sont couplées à un �champextérieur� , et entre elles par une interaction de paires ; l�hamiltoniens�écrit :

(1.1)

Ce choix, qui peut, , paraître arbitraire, présente les avantagessuivants :Il s�agit d�un modèle extrêmement simple, mais non trivial. Contraire-

ment au cas du gaz parfait, il peut donner lieu à des effets coopératifs quenous allons discuter. Or ces effets peuvent être étudiés dans le cadre d�unesolution exacte. En effet, alors qu�il existe très peu d�exemples de prob-lèmes exactement solubles en mécanique statistique, le modèle d�Ising estl�un de ceux-là, à une dimension (calcul élémentaire) et à deux dimensions(solution de Lars Onsager, 1944[ ]). A trois dimensions, il n�existe que dessolutions approchées.Le fait qu�il existe une solution exacte nous permettra d�introduire, sou-

vent de façon élémentaire, des concepts de mécanique statistique importants

4

=

?

∑ ∑

S

J S S

h

H J S S g� h S

S

i

ij i j

i>j

ij i j B

i

i

i

�→

� �→ � �→

�→

� �→ � �→ � �→ � �→

�→

1.1.1 Systèmes magnétiques anisotropes

CHAPTER 1. MODÈLE D�ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS. 5

et très généraux, tels que les fonctions de corrélation, la notion d�ordre àcourte et grande distance, de longueur de corrélation, de point critique, desymétrie spontanément brisée, etc. Nous en pro�terons également pour in-troduire de façon très simple des méthodes utiles de mécanique statistique,telles que les développements de haute et basse température, la matrice detransfert, la dualité, etc.L�existence d�une solution exacte nous permettra, évidemment, de com-

parer les propriétés de cette solution exacte avec celles de solutions ap-prochées, qui seront exposées plus loin, notamment celle obtenue dans l�ap-proximation de champ moyen (chapitre III), mais aussi une autre, obtenueen utilisant la méthode du groupe de renormalisation et discutée plus loindans cet ouvrage (chapitre V)Il est toutefois bon de préciser que l�intérêt de ce problème ne réside

pas seulement dans le fait qu�il existe une solution exacte à une et deuxdimensions. Le modèle d�Ising permet de décrire, de façon plus ou moinsapprochée, toute un large classe de systèmes physiques. Il présente donc,en lui-même, un intérêt considérable. Nous nous contenterons, ici, de don-ner quelques exemples, évidemment non limitatifs, de systèmes physiquessusceptibles d�être valablement décrits par un modèle d�Ising.

La motivation initiale qui a conduit à étudier le modèle d�Ising, était, audépart, de décrire des problèmes de magnétisme. Le magnétisme de cer-tains solides isolants peut être décrit par des opérateurs de spins à troiscomposantes couplés par une interaction d�échange, dans le cadre du mod-èle d�Heisenberg[ ], comme nous le discuterons plus loin dans l�étude dumagnétisme localisé (chapitre VII) :

(1.2)

En présence d�un champ magnétique extérieur , l�hamiltonien de spinsera de la forme :

(1.3)

L�une des difficultés de ce modèle d�Heisenberg tient à la nature quan-tique du problème, c�est-à-dire à la non-commutation des composantes desopérateurs de spin . Une approximation simpli�e considérablement leproblème : on ne retient dans l�interaction d�échange que les composantes

i{ }

12

2 2

∑ ∑

∑� �

∑∑

� � �

�

| |

�

�

=

= ( ) + ( )

=0 1

= exp

=

1.1.2 �Gaz sur réseau�.

i>j

ijzi

zj B

z

i

zi

zi

a a

i

xi

xi

a ij

i

i

i

G

n

i

i

H J S S g� h S

HS

z,

H E S S

E >> Jz

n, i

n iU n

Z �H

H U � n


des spins le long du champ extérieur appliqué au système :

(1.4)

Tous les opérateurs, dans cet hamiltonien, commutent entre eux, desorte que les valeurs propres de sont obtenues en donnant aux différentsleurs valeurs propres respectives égales à . Ce modèle, bien que très

simpli�é, permet de décrire un certain nombre de systèmes magnétiques.Il se peut, en effet, que l�anisotropie soit telle que les composantes du spindans les deux directions perpendiculaires soient gelées et ne participent pasà la transition magnétique. Par exemple, il peut exister une anisotropiemagnétique axiale, qui impose un axe de facile aimantation dans la directionqui peut être décrite par le terme :

(1.5)

Dans la limite d�une très forte anisotropie, c�est-à-dire , seuls lesétats propres où les spins sont orientés parallèlement à ont une énergie ac-cessible, de sorte que l�hamiltonien se réduit effectivement à un hamiltoniend�Ising

Dans ce modèle, on imagine que l�espace a été divisé en cellules de volumeunité, centrées sur les sites d�un réseau régulier. On dé�nit la quantitéou selon que la ème cellule est vide ou occupée par une particule degaz; chaque cellule peut être occupée au plus par une particule de gaz. Lesoccupations multiples de cellule ne sont pas autorisées . Les con�gurationssont spéci�ées par la donnée des pour chaque cellule .L�énergie potentielle ne dépend que des . Le système est susceptible

d�échanger des particules avec un réservoir. On se place donc dans l�ensem-ble grand-canonique. La grande fonction de partition classique (ensemblegrand-canonique) est donnée par :

(1.6)

où(1.7)

∑

∑

��

}

1.1.3 Modèle d�alliages binaires

CHAPTER 1. MODÈLE D�ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS.

i>j

ij i j

ij

i i

i i

ij

ij ij ij

i

i

i i

i>j

ij i j

ij ij i j ij i j ij i j

ij i j

=

= 1 2

= +1 = 1

( )( ) = ( ) ( )

( ) = 1 0( ) = 1

0

( ) + ( ) = 1

=

= ( ) ( ) ( ) + [ ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )] +

+ ( ) ( ) ( )

� i

U ϕ n n

ϕ

� n

� �

AB

AA AB BB i j ε AA ,ε AB ε BA , ε BB

p A i Ai A p B i

B i B

p A p B

H ϕ n n

ϕ ε AA p A p A ε AB p A p B ε BA p B p A

ε BB p B p B

7

étant le potentiel chimique dans la cellule . En supposant que lescellules n�interagissent que par des interactions de paires, on écrit :

(1.8)

où est le potentiel de paire. Le gaz sur réseau et le système de spinssont reliés de façon évidente par l�identi�cation :

(1.9)

ce qui signi�e que correspond à une cellule vide et à unecellule remplie par une particule. Les deux systèmes sont donc équivalents.Le modèle de �gaz sur réseau� permet de décrire des problèmes d�adsorptionsur une surface pouvant échanger des atomes ou des molécules avec un gaz,d�épitaxie etc.

Considérons un modèle sur réseau pour des solutions ou des alliages bi-naires, où les sites du réseau peuvent être occupés soit par des atomes ,soit par des atomes . On constate une différence d�énergie selon qu�unepaire d�atomes , , ou occupent les sites et . Soient

ces énergies d�interaction de paires.Posons , si le site est occupé par un atome et si le siten�est pas occupé par un atome et si le site est occupé parun atome et si le site n�est pas occupé par un atome . Puisquenous imposons que chaque site du réseau soit occupé par un atome et unseul (ce qui exclut la présence de lacunes et d�intersticiels, dont l�énergie estsupposée très grande et donc très peu probable), ceci impose la condition :

(1.10)

L�énergie d�interaction s�écrit :

(1.11)

avec

(1.12)

∑

∑

� � �

�

�

�

1.2.1 Fonction de partition

i>j

ij ij ij i j

ij ij ij ij

i

j

ij ij

.

H ε AB ε AA ε BB p A p B

J ε AA ε AB ε BB

h ε AA ε BB

A B

(1 10)

= [2 ( ) ( ) ( )] ( ) ( )

= ( ) 2 ( ) + ( )

= [ ( ) ( )]

+


1.2 LEMODÈLE D�ISING ÀUNE DIMEN-SION. CAS DES FORCES À COURTEPORTÉE.

8

ce qui peut se réécrire, en utilisant la condition sous la forme

(1.13)

Dans cette expression, on n�a pas écrit explicitement des termes addi-tionnels indépendants des con�gurations d�atomes A et B sur le réseau.Ce modèle est donc équivalent à un modèle de spins d�Ising avec :

(1.14)

et(1.15)

Nous nous sommes contentés de ne donner ici que quelques exemples. Ilexiste, en fait, un grand nombre de systèmes physiques très variés décritspar des variables locales résultant d�un choix entre deux solutions (spin ouspin , site vide ou site occupé, atome ou atome , etc ...) susceptiblesd�être décrits par un modèle d�Ising. Ceci confère à ce modèle un intérêttrès général en Physique de la matière condensée.

Nous commençons par l�étude du modèle unidimensionnel. Un calcul élé-mentaire permet dans ce cas, où le réseau est une chaîne linéaire, de déter-miner la fonction de partition sans approximation.

Les forces sont à courte portée. Ce point a une importance particulière, no-tamment pour déterminer s�il existe une phase ordonnée et une transitionde phase à température �nie. De plus, par souci de simplicité, nous spéci-�ons que les interactions sont non nulles entre premiers voisins seulement.Cette limitation aux premiers voisins simpli�e les calculs, mais ne modi-�e pas qualitativement les propriétés physiques essentielles du modèle parrapport à un cas moins simpli�é, mais où la portée des interactions reste�nie. Par exemple, un modèle où l�on étendrait les interactions au delà des

1

1

1

N

N

N

i

� �

� �

�

� �

�

�

∑

∑ ∑ ∏

∑ ∑ ∏

∑ ∑ ∏

∑

= 1 = 1

= 1 = 1

+1

1

= 1 = 1

= 1

1

�

� � �

� � �

�

� � �

�

� � � � � �


<i,j>

i j

c

� � <i,j>

i j

c

� � <i,j>

i j

N

cN

� � <i,j>

i j

i

i i

i

�

k i j

cN N

=

0

= exp

=

= (cosh + sinh )

1 2= 0

1

= ( ) (1 + )

1tanh

) 0

= 0

= 1 1

= 2 (cosh )

H J� �

< i, j >J >

Z K� �

K �J

Z K � � K

, ...N�

N N

Z chK � � thK

< i, j >,N

K.�

� , ��

� � �

< i, j >i , ..., N

Z K

9

premiers voisins, en incluant les interactions entre deuxième voisins ou en-tre troisièmes voisins, garderait essentiellement les mêmes propriétés, à desmodi�cations quantitatives près, qui ne changerait pas de façon essentiellela physique. L�hamiltonien du système en champ nul se réduit à :

(1.16)

où la paire est prise entre sites premiers voisins. Dans cequi suit, nous supposerons , de sorte que les spins tendent à êtreparallèles entre eux, (plus précisément à avoir le même signe). La fonctionde partition dans l�ensemble canonique s�écrit :

(1.17)

où , ce qui se réécrit, en mettant en évidence la partie paire etla partie impaire de l�exponentielle :

(1.18)

Numérotons les spins , de gauche à droite. Nous considéronsque les deux extrémités sont ouvertes : nous posons . La chaînecomporte donc spins et liaisons de spins premiers voisins.

En effectuant le produit sur toutes les paires on obtient unesomme de termes comprenant chacun un produit de facteurs, chacunde ces facteurs pouvant être soit 1, soit Puis on doit effectuer latrace sur les spins de ces produits de termes. Dans le calcul de cette tracesur tous les termes qui sont proportionnels à (ou plus généralementà toutes puissance impaire de donneront :

Le seul terme de trace non non nulle, obtenu quand le produit sur lespaires est effectué, est celui où l�on prend, dans chacun des Nfacteurs , le terme . Alors,

(1.19)

∑i �

′

N

i j

NN

i

N

i

�

i

cN N

+1 1

1 2 2 3 3 4 1

= 1

2

� �N

, � � K

� � . � � . � � ... � � K

�

K

�

�

Z K K

KK N, N


=

1 tanh

( ) ( ) ( ) ( )(tanh )

0

(2 sinh )

( ) = 2

= (2 cosh ) + (2 sinh )

(2 cosh )(2 sinh )

10

Si, au lieu de prendre des extrémités ouvertes, on impose des conditionsaux limites périodiques , nous obtiendrons un autre terme detrace non nulle. En effet, si au lieu de prendre dans les facteurs le termeon prend, à chaque fois, au contraire, le terme ceci rajoute le

terme supplémentaire :

qui, sommé sur les , ne donne pas mais la contribution non nulle

(1.20)

car chaque spin se trouve alors élevé au carré. Or,

(1.21)

ce qui conduit à :

(1.22)

Notons que , dans le cas de la chaîne fermée, les termes en eten se trouve à la puissance car il y a maintenant liaisons

N N

N

i j

′

�

� ��

�

� � �

T T T

T

T

TT T

T T

1 2 1 2 3 2 1

1 2 2 3 1

�

� � �

�

� � � �

� � �

�

∑ ∑� ��

transition de phase

+

=1

+1

=1

+ + +

++ +

+

+ + +

+

1.2.2 Matrice de transfert

1

cosh sinh

=

=

exp

exp =

=

2 2

= =

N ,

K > K Z ZN

K

� �

H J� � h�

�H

�H e e e

�

e e

e e


c c

i N i

N

i

i i

N

i

i

K� � �h� K� � �h� K� � �h�

� � � � � �

� � i

K �h K �h

K �h K �h

11

de spins premiers voisins et non plus comme dans le cas de la chaîneouverte.Puisque , les deux fonctions de partition et

tendent vers la même limite quand tend vers l�in�ni. Quand la taille dusystème tend vers l�in�ni, l�in�uence des effets de bord tend vers zéro.La fonction de partition est une fonction analytique de ou de la tem-

pérature. On s�attend donc à ce que toutes les fonctions thermodynamiquesqui en découlent le soient aussi. Il n�y a pas de � �.Ceci est un résultat général des systèmes à une dimension quand les

interactions sont à courte portée, liée à la topologie particulière des systèmesà une dimension et des défauts détruisant l�ordre à longue portée dans cessystèmes.

Le calcul élémentaire du paragraphe précédent reste possible en raison dela simplicité du modèle, mais difficilement généralisable à des systèmesplus complexes. C�est pourquoi nous étudierons dans ce paragraphe uneméthode de calcul en général puissante à une ou deux dimensions, même sielle est difficile à utiliser pour des dimensionalités plus élevées.On considère une chaîne linéaire de spins d�Ising, refermée sur un cercle

et on impose des conditions aux limites périodiques:

L�hamiltonien du système, en présence d�un champ magnétique ex-térieur s�écrit :

(1.23)

Décomposons par la méthode suivante :

(1.24)

(1.25)

Les coefficients à deux indices , où chaque indice peut prendre2 valeurs, peuvent être considérés comme les éléments d�une matrice .Cette matrice est dé�nie de la façon suivante:

(1.26)

N

N� � �

�

�

�

�

�

T T T

T T

T T T T

T

T

��

��

�

→∞

�

�

→∞�

2

2

2

2

2 2 2

+

+

+

+

2 2 2

∑ � �

∑ ∑� �

� �

[ � � ]

[ � � ]

2

1 2 2 3 1 3

1 2

1 2 2 3 1

1

1 1

12

12

�

� � � � � �

N

N

� ,� , �

� � � � � �

�

N� �

NN

K

K K K

NN N

NN

��

N

N

N

K K K


� ....�N

Z

Z Tr

� �e �h K

� e �h e �h e

Z � �

F

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<

NLnZ Ln�

NLn

�

�

N ��

T , h ,

F

N �Ln e �h e �h e

=

= =

= ( )

2 cosh + 2 sinh 2 = 0

= cosh [ sinh + ]

= ( ) + ( )

= lim1

1

1= +

11 +

+

( = 0 = 0)

lim =1

cosh + sinh +

12

Notons que :(1.27)

où est la matrice carrée de , par dé�nition même du produit dedeux matrices. On peut ainsi sommer de proche en proche sur .On obtient, par cette méthode, la fonction de partition canonique pourspins :

(1.28)

C�est-à-dire :

(1.29)

Les valeurs propres de la matrice sont les racines de l�équation :

(1.30)

dont les racines sont :

(1.31)

et par conséquent,

(1.32)

On s�intéresse à la limite thermodynamique, c�est-à-dire qu�on veut cal-culer l�énergie libre par spin, dans la limite où le nombre de spins tend versl�in�ni. Dans cette limite, l�énergie libre par site s�obtient par :

Puisque on considère la limite où N est grand, il est commode de faireapparaître le rapport :

(1.33)

Le deuxième terme décroît exponentiellement avec car reste stricte-ment inférieur à , quels que soient la température et le champ appliqué,à l�exception du point singulier de sorte que :

(1.34)

→∞

12

→∞kl

�

��

→

�

� � � �

� �

=0

2

2=0

2

+

h h

i

k l

k l

kl k l k l

r Nk l

kl

1.2.3 Fonctions de corrélations

fonction de corrélation à deux spins,

= = = exp 2

=1

=sinh

sinh + exp 4

0

� =

lim lim = 0

0


�∂M

∂h

∂ F

∂hN� K

F/N

MN

∂F

∂h

�h

�h K

hJ

< � >

� �< � � >

< � � > < � >< � >

< � � >

r k l

13

On en déduit aisément la susceptibilité magnétique en champ nul :

(1.35)

qui reste �nie à toute température non nulle. Comme nous l�avionsvu au paragraphe précédent, toutes les fonctions thermodynamiques sontrégulières. Il ne peut apparaître de singularité à température �nie.

A partir de l�énergie libre par site , obtenue au paragraphe précédent,on peut calculer l�aimantation moyenne par site :

(1.36)

L�aimantation spontanée, c�est-à-dire dans la limite du champ tendantvers zéro ( ), est nulle à toute température non strictement nulle.L�interaction entre spins tend à rendre ces spins parallèles entre eux, maisles �uctuations thermiques sont suffisantes pour détruire toute aimantationmoyenne, tout �ordre à grande distance�. La moyenne est nulle,mais il est intéressant de calculer comment les spins sur des sites différentset sont corrélés; c�est-à-dire de calculer les valeurs moyennes du type

. La quantité :

(1.37)

appelée nous renseigne sur ces corréla-tions. Cette fonction de corrélation de paire mesure essentiellement le degréd�ordre dans le réseau, en champ nul. Mais il est nécessaire de considérerla limite des grandes distances. Ainsi, si

(1.38)

où dénote la distance entre spin et spin , il est évident que les spinsà grande distance ne sont pas corrélés, ou, plus précisément, la corrélationentre spins tend vers quand la distance entre ces spins tend vers l�in�niet nous disons qu�il n�y a pas d�ordre à longue distance. Même dans ce cas,la fonction de corrélation à distance �nie est en général non nulle. Ceci estune mesure de l�ordre à courte distance qui subsiste dans le réseau. Dansnotre modèle très simple, ces fonctions de corrélation peuvent se calculeraisément.

�

�

N

i

i

N

N

1

1 2 1

1 2 1

∑ �∑ )

∏

∑ [ ∑ ]

∑[ ∑ ]

� �

� � �

�

� � � � � �

� � �

�

� � �

�

� � � � � �

��

�

� � �

�

�

{ }

�

{ }� � �

�

��

��

��


=

( ) = exp

= 1

( ) = (2 cosh ) ( )

( ) = 2 (2 cosh )

� = =

0 + :

=1

exp

= 1

=1

( ) ( ) ( ) ( )

exp

=1

( )

+1

1 2 1

= 1 = 1

1

=1

+1

1 2 1 1 1 2 2

1 2 1

1

=1

1

=1

+1

2

+ +1 +1 +2 + 2 + 1 + 1 +

1

=1

+1

= = =

+

( )

+ 1 +11 2 1

= = =

i,i i

N

� , �

N

i

i i i

N

N N N

N

N

i

i

kl k l k l k l

k lN

�

k l

N

i

i i

i

k k rN

�

k k k k k r k r k r k r

N

i

i i

K K K K

k k rN

r

k r k kN

K K K K

�J K i

Z K ,K , K K � �

�

Z K ,K , K K Z K ,K , K

Z K ,K , K K

< � � > < � >< � > < � � >

r > k r < N

< � � >Z

� � K � �

�

< � � >Z

� � � � � � � �

K � �

< � � >Z

∂

∂K ∂K ∂KZ K ,K , K

14

Pour calculer ces corrélations à distance �nie, commençons par consid-érer un cas un peu plus compliqué où dépend du site . Dansce calcul précis, nous considérons à nouveau le cas d�une chaîne ouverte,ce qui, à la limite thermodynamique, ne joue aucun rôle. La fonction, departition s�écrit alors :

(1.39)

La somme sur peut être effectuée de façon exacte :

(1.40)

et par itération :

(1.41)

Calculons maintenant la fonction de corrélation :

(1.42)

puisque les valeurs moyennes des spins sont nulles. Pour et

(1.43)

c�est-à-dire, en utilisant :

(1.44)

d�où

(1.45)

�

� �

′

′

T

T T T T T T

T T

T T

T

1 2 1

1 2 1 +1 1 +1 1

N

k k k k l l l l N

k l l k

�

�

��

{ }

{ }

{ }

� �

′

′

[ ∏ ]

∑ [ ∑ ∑ ]

∑

∑ � � � �

∑

� � �

�

� � � � � � � � �

�

� � �

+ 1 2 1

+ 1

= = = =

+

1tanh

=1

+1

=1

+

2

=1


=1

( ) tanh

= (tanh )

=

= �( ) = exp

=

=1

exp +

=1

= 1 = =

=1

( )

( ) = ( ) ( ) ( )

Z

< � � >Z

Z K ,K , K K

K

ax ra x

< � � > xx

a

Ln

k < l

< � � >Z

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< � � >Z

� �

� j k j l

< � � >Z

� �

�� s

� � �

N

k k rN

N

k r

i k

i

K K K Kr

k k r

K

k lN

�

k l

N

i

i i

N

i

i

k lN

�

� � � � k � � � � l � � � �

j

k lN

�

kl k

� � lN l k

� �

s��

s��

j

js

j j

15

Avec l�expression précédente de , on obtient :

Si est la distance entre spins premiers voisins, la fonction de corrélationentre spins distants de décroît exponentiellement avec :

(1.46)

avec(1.47)

est la longueur de corrélation, qui décrit comment décroît exponen-tiellement l�ordre à courte distance, en l�absence d�ordre à longue distance.L�apparition de l�ordre à longue distance se traduirait par la divergence dela longueur de corrélation, ce qui, dans ce modèle, ne se produit jamais àtempérature non strictement nulle.Voyons ceci dans le langage de la matrice de transfert, pour une chaîne

fermée, en présence d�un champ extérieur. On peut écrire, pour :

(1.48)

En introduisant la matrice de transfert :

(1.49)Après sommation sur tous les excepté et , on obtient

:(1.50)

où dénote l�élément de la matrice portée à la puissanceOn peut écrire

(1.51)

T

k l

2

1

√ √ �

�

�

�

� �

�

�

� � �

�

→∞

�

→∞

→∞

�

� � � �

[ ] ∑ ∑[ � � ] ∑ � � � � � �

� � ∑

� � � �

∑� �

� �

1 2

1 2

1 2

1 2

1

= 1 = 1

2

=1

+

2

1

1 2

=11

+

1

2

= 1

1

+

2

1

2

=1 1

2

1


j j

NN N

k lN N

� ,� i,j

N l ki k i k i l

l kj l j l j k

N

i,j

iN l k

jl k

i j

i j

�

i j

��

N

iN l k

N

N

klN

k l

j

jl k

i

j

= 2cosh = 2 sinh

=1

2

11

=1

2

11

= ( ) + ( )

= ( ) + ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= 1 +

= ( ) ( )

1

lim =1 = 1

0 = 2

lim = 0

= lim = ( )

=0 = 1

1 = 2

� .

� K � K

Z � �

< � � > � � � � � �

� � � �

�

�

�

�

�

� , �

, � � � �

k l < K

�

�

si i

si i

�

�

c < � � >�

� , �i

, �si j

si j

16

où et sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice

Par exemple, en champ nul,

(1.52)

et

(1.53)

En général, en utilisant

nous avons :

(1.54)

(1.55)

où(1.56)

Pour et �xés, puisque pour tout �ni :

(1.57)

De même, puisque :

(1.58)

En champ nul :

?

�

�

1

2

� �

[ ]

��

� →∞ →∞

2

1

1

1 22

1

0

kl

l kl k

��

l k Nkl

c�

�K

a

xx

ou

a

Ln

�

c , �

�

E

= = (tanh )

� ( ) = exp � =

lim lim = ( ) = 0

)


1.2.4 Absence de transition de phase à une dimension

17

Donc,

(1.59)

Sous cette forme, nous voyons que, si est la distance entre deux spinspremiers voisins :

(1.60)

c�est-à-dire que la longueur de corrélation diverge si et seulement si la plusgrande valeur propre devient asymptotiquement dégénérée. Ceci signalel�apparition d�un point critique. Dans ce cas, il y a apparition d�ordre àgrande distance :

(1.61)

En général, à chaque fois qu�on peut écrire une expression telle quel�équation (1.58) pour la fonction de corrélation, nous pouvons déduirequ�un ordre à longue distance existe si et seulement si la plus grande valeurpropre ( est asymptotiquement dégénérée (pourvu, évidemment, quel�élément de matrice (1.56) soit non nul). Ce mécanisme pour l�apparitiond�une transition de phase a été étudié en détail par Kac[ ].

La symétrie de l�hamiltonien d�Ising, qui reste invariant dans un change-ment de signe global de tous les spins, montre bien que deux états possè-dent une énergie minimale : ils correspondent aux deux con�gurationsoù tous les spins sont de même signe, tous positifs (ce qu�on décrit parfoisen disant abusivement que tous les spins sont �alignés vers le haut�) outous négatifs (�tous alignés vers le bas�). Ce sont les deux phases purespossibles du système. À cause de cette dégénérescence, liée à la symétrie del�hamiltonien, la valeur moyenne de l�aimantation est nécessairement nulle.Pour qu�il existe une aimantation spontanée non nulle, il est nécessaire quecette symétrie soit brisée d�une façon ou d�une autre. Supposons que lesconditions aux limites soient telles que l�un de ces deux états seulementsoit possible, en imposant que sur les bords du système (deux points à unedimension) les spins soient orientés vers le haut. Cette condition va évidem-ment briser cette symétrie, puisque un des états purs devient impossible caril ne remplit pas les conditions aux limites. À température �nie, toutes les

′

′

′

0

02

∑

∑∑

∑

{ }

{ }

{ }

c

c

B

c

B N B

énergiedistincte


Z �E c

Z W c �E c

E c

S c k LnW c

E c .

Z � E c TS c

E c TS c

E

E E JS k LnC k LnN

État Fondamental :

1ers états excités

2èmes états excités

= exp ( )

= ( ) exp ( )

( )

( ) = ( )

( )

= exp [ ( ) ( )]

( ( ) ( ))

+ + + +++

++ ++ ++ ++

= + 2(2 )=

+ + ++ ++ ++ ++ ++

�

�

� �

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

18

con�gurations contribuent à la fonction de partition :

(1.62)

qu�il est commode de réécrire sous la forme :

(1.63)

où la nouvelle somme ne porte que sur les con�gurations d�. Si on introduit l�entropie des con�gurations d�énergie

(1.64)

L�entropie calculée ici est l�entropie dans l�ensemblemicrocanonique, puisqu�onconsidère l�ensemble des con�gurations dont l�énergie est �xée égale àD�où :

(1.65)

À température �xée, cette somme est dominée par les con�gurations quiminimisent l�énergie libre . Il y a donc compétition entreénergie et entropie. Si, à température nulle, la minimisation de l�énergielibre se réduit à celle de l�énergie, à température �nie, des con�gurationsd�énergie supérieure peuvent être favorisées si leur entropie est suffisammentgrande pour compenser la différence d�énergie.Dans notre système de spins unidimensionnels, les con�gurations peu-

vent être classées selon leur énergie.

Energie

ÉnergieEntropie

∑

��

0

0

011

1 2 3

p

p BpN

B

p

i

i p

��

�

� �

� � { � � � � }

� � � � �

�

→ ∞


= + 4(2 )4

+ 4(2 ) 4

+= 1 3 5

= + 2 ( 1)

1 1

+ 4 ( ) ( )

=1

1 + exp 4

1 2

= 1 + exp 4

=1

=1[ + + ]

=1

=1 + exp 4

1 0

E E JS kLnN

F E J kTLnN

NF p

pp ,

F E p J k TLnC

p >> N >>

Fp Eo pJ k T NLnN pLnp N p Ln N p

F p

p

N �J

/ l

N

p�J

< � >N

< � >N

< l > < l > < l > < l >

N

N

p

�J

N

/NN

19

ÉnergieEntropieÉnergie libre :On voit donc qu�à toute température non nulle, aussi petite soit elle,

les con�gurations où les spins sont retournés sont plus probables que l�étatfondamental ordonné pour très grand. On peut poursuivre un peu plusloin le raisonnement et calculer l�énergie libre d�une séquence de blocsde spins parallèles à l�intérieur d�un même bloc, chaque bloc étant alterna-tivement et ( est nécessairement impair à cause des conditions auxlimites ; dans les états schématisés ci-dessus, ou ) .

(1.66)

Pour et :

(1.67)

Le terme le plus probable de la fonction de partition est obtenu enminimisant par rapport à . On obtient :

(1.68)

c�est à dire une fraction très petite à basse température et croissantejusqu�à la valeur à température in�nie. Chaque bloc a une longueurdont la moyenne est :

(1.69)

et par conséquent, l�aimantation moyenne par site vaut :

(1.70)

À toute température non nulle, l�aimantation moyenne par site, nonnulle à cause des conditions aux limites que nous avons imposées, se réduità ces effets de bord. Elle est proportionnelle à et tend vers quand

. Il ne subsiste aucune phase ordonnée.Le rôle de la dimension 1 apparaît nettement dans ces considérations

qualitatives. En effet, à une dimension, il suffit de créer deux défauts local-isés à une paire de spins premier voisins, chacun, pour retourner un nombre

�

�

�

� � �

�

un seul spin

1

( 1)

( 1)

( 1)

/d

d /d

d /d

B

d /dB

( )

2( )

� = 2 ( )

1[ (1 ) ] = 1 2

� = 2 ( )

1

0

0

1.2.5 Interactions à longue portée

k

x N

Nx d

J,Nx

E J Nx

k LnN

N

NN x Nx x

F J Nx k TLnN

xN

d >

.


quelconque de spins : l�augmentation d�énergie est la même qu�on retourneun seul spin ou spins consécutifs. À plus d�une dimension, partant d�unétat ordonné à température nulle, les premiers états excités sont obtenus enrenversant et ils ne changent qu�in�nitésimalement l�aimanta-tion par site. Si on veut retourner une fraction des spins, la façon dedépenser une énergie minimale consiste à prendre ces spins dans un cubed�arête où est la dimension d�espace. En comptant le nombrede spins à la surface du cube, on obtient l�augmentation d�énergie par rap-port à l�état ordonné, égale à l�énergie d�un défaut localisé à une pairemultipliée par le nombre de paires de spins à la surface

L�entropie de ces con�gurations excitées est d�ordre (en effet, laposition du centre du cube peut être choisie arbitrairement sur le réseauparmi sites). De sorte que, pour créer une con�guration d�aimantationmoyenne par site :

l�énergie libre nécessaire est :

(1.71)

Cette énergie libre est donc très grande pour tout non nul à bassetempérature, puisqu�elle augmente comme une puissance positive de avecla taille du système. Contrairement au cas très spéci�que des systèmesunidimensionnels, l�état ordonné reste donc favorisé à température non nullepour . La spéci�cité est de nature topologique. À une dimension, ilsuffit pour casser les corrélations dans une chaîne parfaitement ordonnée,de casser deux liaisons de spins premiers voisins. Ces défauts localisés sonten fait de dimension et ne concerne qu�un nombre �ni de spins (2 dans lemodèle précis discuté ici), même quand la taille du système devient in�ni.Il est clair que cet aspect est qualitativement différent dès le cas de ladimension 2, car la topologie de l�espace est différente, et la dimension desdéfauts n�est plus

Les calculs de ce chapitre et particulièrement l�argument du paragrapheprécédent supposent que les interactions s�exercent seulement entre pre-miers voisins. Toutefois, cet argument ne serait à modi�er que très légère-ment si les forces entre spins s�étendaient quelque peu au-delà des premiers

?

?

∞

∞

∑

∑

∑

� � �

�

i,i i i

i,j

i j

r

i

i

r

+2 +2

2

2

0

=1

0

0

1

=1

( ) ( )

= 2 = ( 1) =

( )

= ( )

+11

= ( )

J � �

na J n a J nn

E J � � JN N JN

N

J J/N

n J n n>

M J r

M�

�

M

M rJ r


voisins, en incluant des interactions par exemple . L�essentiel del�argument reposait sur le fait qu�avec une dépense �nie d�énergie on peutretourner une fraction macroscopique des spins, mais ce résultat resteraitinchangé pourvu que les forces soient à courte portée.Ceci n�est plus le cas pour des forces de portée in�nie. Dans ce dernier

cas, l�interaction peut donner lieu à une transition de phase. Pour voirceci, considérons un système où l�interaction entre deux spins distants deest , où est l�unité de distance interatomique. Quand est

indépendant de dans un réseau, l�énergie totale s�écrit :

(1.72)

Ceci montre que l�énergie totale est proportionnelle à et ne satis-fait pas la condition d�extensivité de l�énergie. Si l�on veut que l�énergietotale demeure une quantité extensive, donc proportionnelle à la taille dusystème, on peut remédier à cette difficulté à condition de considérer quel�interaction entre deux spins n�est pas , mais . (Ce modèle est en faitéquivalent à une approximation qui sera discutée au chapitre III et connuesous le nom d�approximation de Bragg-Williams [ ] ). L�hypothèse d�unedistribution uniforme de particules sur le volume permet d�obtenir une tran-sition de phase quelle que soit la dimension d�espace. Ce modèle supposeque l�interaction ait une portée in�nie et une amplitude in�nitésimale.Considérons maintenant la condition pour l�existence d�une transition

de phase, selon la dépendance en fonction de de pour grand.Supposons J 0 et posons :

(1.73)

Si devient in�ni, la différence entre l�énergie de l�état fondamental(c�est-à dire l�état où tous les sont égaux à ) et celle des premiers étatsexcités (les états où seulement un est égal à ) est in�niment grande.Le système est alors toujours dans son état fondamental et ne peut passubir de transition de phase, (cette fois ci parce que la phase désordonnéen�est jamais stable). doit rester �ni pour qu�une transition de phasepuisse exister. De plus R. Ruelle[ ] a montré que si :

(1.74)

∑

∑

∞

�

r

Nr

?

?

?

1

1

0

=13

11

=1

0 1 0

0 1

1.3 LE MODÈLE D�ISING À DEUX DI-MENSIONS.

+ + + + + + +

+ + + +

( )0

=[ ( + 4)]

( )

[ ( )] ( ) 0

( ) = exp( )

==

� � � � � ��

� � � � � ��

�

→ → ∞

�

M

M .

J nn M K

KLn Ln r

r J r

MLn LnN nJ n N

J n � �n

M M � � � �� M � M


était �ni, le système était toujours dans un état désordonné et ne pou-vait, par conséquent, subir une transition de phase. On peut compren-dre intuitivement cette propriété de la façon suivante : la frontière en-tre deux domaines ordonnés de longueur in�nie et

a une énergie de création �nie . Par conséquent,les frontières de deux états ordonnés de longueur �nie et

ont une énergie inférieure à Alors, selon l�argumentdéveloppé pour le cas des forces à courte portée, le système ne peut resterdans la phase ordonnée à toute température �nie, puisque l�entropie sta-bilisera toujours la création de défauts. Dyson[ ] a montré que, si( ) était monotone décroissant en fonction de , et que et dé�nipar

(1.75)

restaient �nis, alors une transition de phase se produisait à température�nie.De plus, même dans le cas où est in�ni, aucune transition ne se

produit si quandPar exemple, Baker[ ] a considéré un modèle où l�interaction est dé�nie

par :

(1.76)

où et sont �nis pour positif. Si on pose et qu�on faittendre vers zéro, alors , mais devient in�ni. Par conséquent,une transition de phase peut se produire.

Les arguments qui précèdent montrent bien le caractère particulier du casunidimensionnel. On s�attend à des résultats qualitativement différents àdes dimensionalités plus élevées et à la possibilité d�existence d�une phaseordonnée et d�une transition à température �nie. Nous allons donc étudierle cas bidimensionnel où existe une solution exacte[ ], en l�absence de champmagnétique. Nous considèrerons, dans ce paragraphe, un modèle d�Isingbidimensionnel avec interactions à courte portée

?

′ ′

U

U

U

U

� � � �

��

{ }

�

� � �

�

→ → ∞

1 2 2 3 1

1 2

1 2

12

1

1

1 2

+

m

i

i j

i j i j

n n

m

mm

m m

i i r

1.3.1 Matrice de transfert

( + 1)

( ) + ( ) + + ( )

( )

( ) = exp ( )

2 2

=

= ( ) 1 + +

=

2 2

0


n m

� , � � , � .. � , �

� , n i � �

� � � , �i j

�, � � �, �

, �n

Z Tr

� �

� � > ....

m

Z ��

�

LnZ mLn�

� �� r

23

Cette méthode s�applique encore à deux dimensions. On considère unréseau bidimensionnel sur un tore construit en empilant des anneaux despins et ceci de façon périodique, de sorte que le ème anneau soitidentique au premier.L�énergie totale est de la forme :

(1.77)

où (qui est un vecteur à composantes) dénote l�état de spin du èmeanneau et ( , ) est l�énergie d�interaction entre le ième et le jème anneaudans l�état de spin et respectivement. Nous supposerons quen�est non nul que si les anneaux et sont premiers voisins. Dé�nissons lamatrice de transfert :

(1.78)

La matrice est donc une matrice puisque chaque est un vecteurà composantes, chacune de ces composantes pouvant prendre 2 valeurs.La fonction de partition s�exprime en fonction de la matrice de transfert :

Soient et les deux plus grandes valeurs propres (éventuellementdégénérées) de la matrice de transfert :

On peut alors écrire un développement de la fonction de partition pourgrand.

(1.79)

A la limite thermodynamique,

(1.80)

Il s�agit encore de calculer la plus grande valeur propre d�une matrice,mais la dimension de celle-ci est et tend vers l�in�ni à la limite ther-modynamique. Ce problème a cependant été résolu exactement[ ]. Cettesolution n�est, toutefois, pas assez simple pour être reproduite ici.On peut également montrer, comme à une dimension, que si et

sont non dégénérées la corrélation entre et quand et

→

? ?

2 1

0+

→→ ∞

�

c

s h

s

B

= lim ( )

00

0

2

0

2

� � m

T

M M h

,.

,

M

zJ, z

k TLn .

C

C


1.3.2 Existence d�une transition de phase - méthodede Peierls

24

que l�apparition de l�ordre à grande distance suppose que quand. Onsager a effectivement montré que c�était le cas en dessous d�une

certaine température .

Nous allons montrer qu�à température suffisamment basse, l�aimantationspontanée est non nulle. À cause de la symétrie parretournement global des spins, il est bien sûr nécessaire de briser cettesymétrie pour qu�une aimantation non nulle puisse exister. Cette symétriepeut être brisée en introduisant un champ extérieur, ce qui va privilégierun des deux états fondamentaux dégénérés, puis on fait tendre l�amplitudede ce champ extérieur vers de façon que l�énergie apportée par ce champtende elle aussi vers En fait, il est plus simple, sur le plan théorique,au lieu d�imposer un champ extérieur in�nitésimal, de supposer que sur lafrontière du réseau tous les spins sont orientés vers le haut (par exemple):c�est également une façon de briser la symétrie en introduisant un termed�énergie dont la valeur relative tende vers quand le nombre de spins tendvers l�in�ni. En fait, ces deux façons de briser la symétrie de l�hamiltoniensont équivalentes, à la limite thermodynamique. Nous admettrons cetteéquivalence, sans toutefois la démontrer.L�argument qui suit est dû à Rudolph Peierls[ ], amélioré par Griffiths[ ].

Son but est de prouver que dans le modèle d�Ising en dimension et pourdes interactions à courte portée, à suffisamment basse température, l�aiman-tation spontanée est strictement supérieure à et que, donc, un étatordonné existe. Ceci suffit à prouver l�existence d�une transition de phasedans le cas d�interactions à courte portée. En effet, dans une phase totale-ment désordonnée, on perdra, par rapport à la phase ordonnée, une énergiepar spin de l�ordre de où est le nombre de premiers voisins d�unsite donné, alors qu�on gagnera un terme d�entropie par spin de l�ordre de

À suffisamment haute température, l�entropie stabilisera toujoursla phase désordonnée. Si on peut pouver l�existence d�une phase ordonnée àsuffisamment basse température, on aura établi l�existence d�une transitionde phase. C�est l�objet de ce paragraphe.Considérons une con�guration donnée de spins d�Ising, localisés sur les

sites d�un réseau carré. Nous adoptons la condition aux bords qui contraintles spins à être positifs sur les frontières extérieures de l�échantillon, de façonà briser la symétrie de renversement global des spins par un terme d�énergiein�nitésimale. La con�guration contient des îlots de spins immergés

1

1

k

k

�

�

�

∑∑ [ ]

�

�

�

� � �

�

� �

b

b

jb

b

jb

jb

jb

jb

jb

jb

b

� b

j

jb

jb

42

4( )

1

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

=1

( ) ( )

+

+

( )

1 ( )( )

( ) 3

( )

1

( )

( ) =1

0

( )

( ) ( ) � �


.C

bb

F b j b b

bb,

b N

b

N N

b b

b

b

C F F .

X

X CC F

C F

C N C

N C X C nb de points interieurs a F

25

dans la mer des spins et on trace les frontières séparant ces îlots . Cesfrontières ne sont d�ailleurs pas nécessairement connexes, car un îlot de spinpeut contenir un �lac� de spins La donnée de l�ensemble des frontières

que contient la con�guration de spins suffit à déterminer complètementcette con�guration.Une frontière de longueur contient au plus points, puisque le

polygone de longueur donnée qui possède la plus grande aire est le carréde côté .

On note les frontières de longueur : l�indice varie de à , oùest le nombre de �gures qu�il est possible de tracer sur le réseau, dont le

périmètre total est et qui sont exclusivement formées de polygones fermés.Rappelons que ces �gures, de périmètre total ne sont pas nécessairementconnexes. Un dénombrement élémentaire montre que :

(1.81)

Pour démontrer cette limite supérieure pour , il est possible deprocéder de la façon suivante : on choisit le point inférieur gauche de poly-gone, ce qui correspond à choix possibles, où est le nombre total desites du réseau carré, et, à partir de ce sommet, on décrit le polygone eneffectuant pas sur le réseau carré. À chacun des premiers pas, 3 choixsont possibles, le quatrième étant impossible, car on s�interdit de reveniren arrière pour éviter des doubles comptages. Le ième et dernier pasn�introduit pas de chemins supplémentaires, car il n�y a qu�une façon derevenir au point de départ. Bien entendu, ce dénombrement ne fait quedonner une limite supérieure pour , car un grand nombre de cheminsainsi engendrés ne seront pas formés exclusivement de polygones fermés..Une con�guration de spin contient des frontières ,

On dé�nit la variable de la façon suivante :

si contient la frontière

si ne contient pas(1.82)

Une con�guration contient spins et on a :

(1.83)

Il s�agit d�une inégalité (et non pas d�une inégalité), car si un �lac�contient des �ilôts�, tous les spins intérieurs ne sont pas négatifs. Par con-

26

Figure 1.1:


Con�guration de spins dans le modele d�Ising sur un reseau bidi-mensionnel carre.Les spins positifs sont representes par des disques blancset les spins negatifs par des disques noirs. La symetrie de renversementglobal des spins est brisee par les conditions aux bords, qui impose que surla surface exterieure de l�echantillon, tous les spins soient positifs. La con-�guration de spin est speci�ee en indiquant quels spins sont negatifs, ou,ce qui revient au meme, quelles sont les frontieres qui separent les �ilots�de spins negatifs dans la �mer� de spins positifs. Ces frontieres peuvent nepas etre connexes : des �lacs� positifs peuvent etre inclus dans les �ilots�negatifs.

�

{ }

( )

( )

jb

jb

∑� � ∑

∑∑

∑∑

∑ � �

�

��

{ }

��

�

�

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

{ }

� �

�

��

� �

�

�

2 ( )

=1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=4 6

21 2


( )4

( )

=exp

exp

)

exp

exp

( )( ):

( ) = ( ) 2

exp 2

43

3 exp 2 1

1

2

b

� b

j

jb

jb

jb

c F

C

jb

ijb i

jb

jb

c F

C

ijb i

i i

i

i ijb

i

jb

b , ,

b �bJ

N Cb

X C

X

< X >�H

�H

F

CF C

FC

< X >

�H

�H

E C F CE C CC

E C E C F �Jb

C

< X > �bJ

< N >b

N e

b �J << N > /N

< N >

N<

27

séquent :

(1.84)

La valeur moyenne de s�écrit :

(1.85)

où la somme qui apparaît au numérateur ne comporte que les con�gura-tions qui contiennent la frontière , alors que la somme qui apparaît audénominateur comprend toutes les con�gurations de spin.À chaque con�guration apparaissant dans la somme du numérateur

(et donc comprenant la frontière , on peut associer la con�gurationdéduite de celle-ci en renversant tous les spins intérieurs à . L�ensem-ble des con�gurations n�est qu�un sous-ensemble de toutes celles quiapparaissent dans la somme au dénominateur. Donc, nous pouvons écrire :

(1.86)

Soit l�énergie d�une con�guration incluse dans la sommedu numérateur et l�énergie de la con�guration du dénominateurobtenue à partir de

(1.87)

Cette égalité étant exacte pour toutes les con�gurations de la sommedu numérateur, on en déduit :

(1.88)

Par conséquent, le nombre moyen de spins peut être majoré par l�ex-pression:

(1.89)

La somme sur converge pourvu que . En prenant unetempérature suffisamment basse, on peut rendre le rapportarbitrairement petit. On peut obtenir en particulier:

(1.90)

∑� �

��

∞�

� �

�

�

s

s

s

p

p

B

B

+

0

=2

22 1

0

1.3.3 Dualité

=1( ) = 1 2

23 exp

4=1

2

M

MN

< N > < N >< N >

N

M T T

p pJ

k T

k T J

strictement positif

transformation de dualité


ce qui entraîne pour l�aimantation spontanée par spin , dé�nie par :

(1.91)

que est à toute température inférieure àdé�nie par la relation :

(1.92)

Cette équation n�est en aucune façon une expression approchée d�unetempérature de transition (car les majorations successives utilisées pourl�établir sont trop grossières), mais elle établit l�existence, à suffisammentbasse température d�une phase où l�aimantation spontanée est non nulle.Comme expliqué plus haut, il est physiquement évident qu�à haute tem-

pérature et, notamment dans la limite , l�entropie l�emporteratoujours sur l�énergie pour favoriser un état désordonné. La conclusion dece paragraphe sera donc qu�une phase ordonnée existe toujours à suffisam-ment basse température, alors qu�à suffisamment haute température, laphase désordonnée est toujours la plus stable. Ceci implique donc l�exis-tence d�une transition de phase à température non nulle, contrairement aucas unidimensionnel.

Les hamiltoniens d�un grand nombre de modèles sur réseau peuvent êtreexprimés comme la somme, sur toutes les paires de sites, d�énergies de li-aison, ne dépendant que des différences entre les valeurs que prennent desvariables dynamiques sur les paires de sites dé�nissant les liaisons. Dansces cas là, il est possible d�effectuer une transformation de Fourier du po-tentiel de liaison. Les fonctions de partition peuvent alors être exprimées,soit comme des sommes sur les variables dynamiques originelles dé�nies surles sites du réseau, soit comme des sommes sur les variables transforméesde Fourier dé�nies sur les liaisons, mais sujettes à certaines contraintes. Latransformation dé�nissant les variables transformées de Fourier est appeléeune � �. La dualité, ainsi que les transformationsassociées jouent un rôle important dans l�étude des transitions de phase àdeux dimensions. C�est notamment le cas du modèle d�Ising à deux dimen-sions, comme nous allons le montrer. Le modèle d�Ising à deux dimensionsest un exemple où la transformation de dualité est une méthode importante,qui apporte de façon très simple des informations physiques précieuses.

1 N

1

1

Réseau Dual

s

� � <i,j>

i j

′ ′

′ ′

′ ′

′

��= (cosh ) (1 + tanh )

2

� � � ��

� � � ��

∑ ∏

réseau dual,

vice versa.

réseau dual

�→�→ �→ �→ �→

�→ �→ �→ �→

�→ �→ �→ �→

�→ �→

��

x ,

x , x . x , x ,

R , R R , R

x , x x , x ,

R , R

Z K � � K

s < i, j >zN/ z

N


Notons que l�arrangement périodique en �nid d�abeille� (encore dénommé hexago-nal)ne constitue pas un réseau de Bravais, car il contient deux atomes non équivalents parmaille. L�arrangement périodique triangulaire n�est pas non plus un réseau de bravais.

29

Soit un réseau bidimensionnel, dé�ni par des sites dont la position est dé�niepar les vecteurs ce qui dé�nit également des liaisons de sites premiersvoisins À chaque liaison du réseau initial on dé�nit

une liaison du de façon que le vecteur soit

médiateur du vecteur et À chaque liaisonc�est à dire à chaque paire de sites du réseau initial, on associe une paire desites premiers voisins d�un nouveau réseau appelé duréseau initial. Par construction, le réseau dual du dual est le réseau initial.Il est ainsi possible, pour tout réseau bidimensionnel, de construire le réseaudual associé, en utilisant la construction que nous venons de dé�nir.Donnons quelques exemples de réseaux bidimensionnels et de leurs résaux

�duaux�.Dans un réseau bi-dimensionnel carré, on dé�nit de nouveaux sites,

repérés par les signes , placés au centre de chaque maille du réseau. Cesnouveaux sites constituent un nouveau réseau qui est le réseau dual duréseau carré initial.On voit facilement que le réseau dual d�un réseau carré est lui-même

un réseau carré de la même forme et de même paramètre de maille, etque le réseau dual d�un réseau hexagonal ( en �nid d�abeille� ) est unréseau triangulaire et vice-versa. Le réseau original et le réseau dual sontréciproques l�un de l�autre.Nous allons maintenant appliquer des arguments de dualité au modèle

d�Ising bidimensionnel.Considérons le cas d�un réseau carré.La fonction de partition s�écrit :

(1.93)

où est le nombre total de paires de premiers voisins et est égal àsi on ignore les effets de bords ( étant le nombre de sites premiers

voisins d�un site donné et le nombre total de sites).

30

Figure 1.2:


Le reseau carre (en traits pleins) et son dual (en tiretes), obtenuen placant un nouveau site au centre de chaque maille du reseau originel,sont identiques. Les liaisons entre sites premiers voisins du reseau dual sontles mediatrices des liaisons entre sites premiers voisins du reseau initial, etvice versa.

31

Figure 1.3:


Le reseau dual du reseau �nid d�abeille� est le reseau triangulaireet reciproquement. Comme dans la �gure precedente, chaque liaison entresites premiers voisins du resau dual est mediatrice d�une liaison entre sitespremiers voisins du reseau initial, et vice versa.

{ }

[ ∑ ]

17

2

0

i j

i i

i

N s

n>

nn

n

n

K ,

� �� , �

i, j...i �

< i, j >

Z K K

n

n > n N

(tanh )

= 1

= 2 (cosh ) 1 + � (tanh )

�

� = 0 0 =

Développement de haute température


Exemple de chemin de trace nulle, qui ne contribue pas a l�-expression de la fonction de partition. Ce chemin correspond a un facteurfaisant intervenir 17 paires de spins premiers voisins. Il est proportionnela mais la trace sur le spin 9 est nulle.

32

Figure 1.4:

Dans cette expression (1.93), les produits de facteurs donnent unecontribution nulle quand on prend la trace sur si tous les spinsn�interviennent pas au carré. Pour que la contribution soit non nulle, ilfaut donc que la suite des sites qui se retrouvent quand on effectue cesproduits de facteurs soit telle que chaque site s�y retrouve deux fois, car. Ceci peut s�interprèter en disant que la chaîne formée par les maillonsde sites premiers voisins participant à ces produits de facteurs doit

dessiner une �gure exclusivement formée de polygones fermés sur le réseaupour donner une contribution non nulle. Ces polygones peuvent être nonconnexes.

(1.94)

où est le nombre de �gures de liaisons constituées exclusivement depolygones.A une dimension pour tout , à l�exception de , pour

33

Figure 1.5:


Exemple de chemin permis qui contribue a l�expression de lafonction de partition. En effet, dans ce terme tous les spins interviennenta une puissance 2, sauf les spins 4 et 6, qui interviennent a la puissance 4.La trace est donc non nulle.

N1

=1

∑∑ ∏

[ ∑ ]��

∞

�

�

�

� ��

� � �

�

�

N

n

<i,j>

i j

� � <i,j>

i j

r

r

r

n n

n n

N

n

K .

Z

r , s r, ,

� � s r r s r

Z K� �

Z sK ω Kr

ω r

nn

n

ω

ω


� = 1

�

tanh 1

+[+ +] [ ])

= ( ) = 2

= exp

= 2 exp ( ) 1 + exp 2

+

� =

= �

Développement de basse température

Correspondance auto-duale

34

lequel pour une chaîne fermée de maillons .Cette expression est jusqu�à présent exacte formellement. Toutefois,

pour être utilisée en pratique, elle exige des calculs de dénombrement desquantités , de complexité rapidement croissante avec . C�est pourquoi,bien souvent, l�expression précédente doit être considérée comme un développe-ment limité aux premiers termes. Dans ce cas, il constitue un développe-ment de haute température, c�est à dire valable pour

Pour obtenir un développement de basse température, on réécrit dif-féremment :Soit le nombre de paires de spins antiparallèles [ ] et le nombre

de paires de spins parallèles ( ou :

(1.95)

(1.96)

D�où

(1.97)

où est le nombre de con�gurations avec paires de spins antiparal-lèles. Ceci est un développement de basse température.

A chaque polygone de côtés tracé sur le réseau réel, on peut faire corre-spondre une con�guration de spins sur le réseau dual comprenant pairesde spins antiparallèles : nous plaçons des spins aux sites du réseau dualintérieurs aux polygones correspondant aux �gures de liaisons considéréesen (1.92) et des spins sur les sites du réseau dual extérieurs aux polygones(Figure 1.6 )

(1.98)

où l�astérisque repère les grandeurs du réseau dual.De même :

(1.99)

35

Figure 1.6:


A chaque chemin de n pas sur le reseau, exclusivement forme depolygones, est associee une con�guration de spin du reseau dual comportantn paires de spins antiparalleles et vice-versa. Pour cela, on place des spinspositifs sur les sites du reseau dual exterieur au chemin et des spins negatifssur les sites interieurs.

36

Figure 1.7:


La de�nition des sites interieurs demande quelques precau-tions pour des chemins qui se recoupent. L�exemple montre ici, ou n=20,correspond au chemin de la �gure (1.5).

1

� �N s N s

�

�

�

��

�

12 2

+12 2

N s

n

nn

n

n

B

N s

c

[ ∑ ]

[ ∑ ]

�

�

� �

�

��

�

�

� �

�

� � � �

� �

�

�

� �


s s

Z T K K

Z T sK nK

J > K >K T

K K

k TJ

K

K >

K K

K K

K K K K

T

Z T K sK Z T

N

Z T

K

Z T

K

N N s

T TZ T T T Z T

=

( ) = 2 (cosh ) 1 + � (tanh )

( ) = 2 exp ( ) 1 + � exp ( 2 )

0 0

exp 2 = tanh

=

0

exp 2 = tanh

sinh 2 sinh 2 = 1

tanh 2 cosh 2 = tanh2 cosh 2

( ) = 2 (cosh ) exp( ) ( )

1

( )

2 (cosh 2 )=

( )

2 (cosh 2 )

+ =

( ) = ( )

37

à cause de la réciprocité des deux réseaux.On a évidemment .La fonction de partition du réseau original est donnée par :

(1.100)

et la fonction de partition du réseau dual par :

(1.101)

On se restreint au cas ( ) et on dé�nit la nouvelle variableet la température correspondante par :

(1.102)

(1.103)

qui est déterminée de façon unique pour .On a alors les relations suivantes :

(1.104)

En fonction de , on obtient :

(1.105)

ce qui se réécrit de façon symétrique pour :

(1.106)

où on a utilisé le théorème d�Euler

(1.107)

Abaisser correspond à augmenter . Si en élevant la température, onobtient une singularité de à , alors présentera une

2

� �

� � �

�

�

�

�

�

√

�

∈ ∞∈

c c c

c c

c c

c

c

B c

B B

c

c

c

T T T T

ZZ

T T

K K

K

T

k TJ

Ln, J

T T

J

k T

J

k T

T T , ,T , T . Or,

K


=

=

exp 2 = tanh

sinh 2 = 1

=2

1 + 2= 2 269

tanh = exp2

[ [[0 [

cosh 2 = 2

38

singularité à , étant la température correspondant à selonla relation (1.102).Puisque le réseau dual du réseau carré est le même réseau carré, est

égal à et si on admet qu�il n�existe qu�un seul point singulier (on saitqu�il en existe au moins 1), alors l�équation donne la températurecritique, dite Température de Curie:

(1.108)

d�où(1.109)

La température critique est donnée par :

L�auto-dualité nous a permis de calculer de façon exacte la températurecritique. Mais, de façon plus générale, cette méthode se revèle extrêmementprécieuse, car elle nous permet d�établir une correspondance biunivoqueentre les propriétés du système aux températures et reliées par :

(1.110)

Il suffit donc d�étudier, par exemple, la phase haute température, c�est-à-dire pour déterminer les propriétés de la phase basse tem-pérature, la phase haute température est toujours beau-coup plus simple à étudier. C�est, en effet, la phase la plus symétrique, celleou la valeur moyenne de l�aimantation est nulle par raison de symétrie.La phase basse température ne peut être décrite qu�en introduisant unevariable thermodynamique supplémentaire, qui complique en général la de-scription physique de cette phase. Grâce à la méthode de la dualité, cettedifficulté est contournée.Le cas d�un réseau carré est particulièrement simple, car il s�agit d�un

réseau auto-dual. Cependant, il est possible d�étendre la méthode au casde réseaux qui ne possèdent pas cette propriété d�autodualité, comme parexemple, les réseaux �nid d�abeille� et triangulaire. L�un est le dual del�autre.Pour le réseau �nid d�abeille�, il est possible de montrer que la tempéra-

ture critique exacte est donnée par

(1.111)

>

39

Figure 1.8:


Relation de dualite entre les temperatures T, de�nie sur lereseau directe, et Tetoile, de�nie sur le reseau direct, fonction monotonedecroissante de T pour J 0. La temperature critique est de�nie par la re-lation T=Tetoile. La propriete de dualite de�nit une correspondance entrela phase haute temperature et la phase ordonnee.

B c

B c

i i

j j

√

→ ∈

→ � ∈

→ �

= 1 5186

=4

3= 3 6403

( 0)

( 0)0

24

alternéalterné bi-partite

Ordre Antiferromagnétique sur un réseau alterné


k T , J

k TJ

Ln, J

J >

J <J <

A B,A B,

BA.

a A Ba

�/

� � si i A

� � si j B

J J

40

soit,(1.112)

Pour le réseau �triangulaire :

(1.113)

On remarquera que la température d�ordre croît avec le nombre de spinspremiers voisins d�un spin donné : 3 pour le réseau nid d�abeille, 4 pour leréseau carré et 6 pour le réseau triangulaire.

Nous avons supposé, dans ce qui précède que l�ordre était �ferromagné-tique� , c�est-à-dire que l�interaction entre spins favorisait un �aligne-ment� entre spins ou, plus précisément, que les signes des spins en inter-action soient les mêmes. Dans ce cas, les deux fondamentaux possibles,qui sont dégénérés, correspondent aux con�gurations où tous les spins sontpositifs ou tous négatifs. Le cas �antiferromagnétique� favorise desvaleurs opposées des spins en interaction. Le cas où et où les inter-actions ne sont non nulles qu�entre spins premiers voisins se ramène trèssimplement au cas ferromagnétique si le réseau sur lequel les spins sontlocalisés est � �.On dit qu�un réseau est � �, ou encore � �, s�il peut être

décomposé en deux sous-réseaux et de façon que tous les sites premiersvoisins de tout site du sous-réseau appartiennent au sous-réseau etque, de même, tous les sites premiers voisins de tout site du sous-réseauappartiennent au sous-réseau Ainsi, à deux dimensions, le réseau carréde paramètre de maille est alterné : les deux sous-réseaux et sontégalement des réseaux carrés de paramètre de maille , et dont les axesse déduisent de ceux du réseau initial par une rotation de . Mais lesréseaux triangulaire et nid d�abeille ne le sont manifestement pas. A troisdimensions, les réseaux cubiques simples et cubiques centrés sont alternés,mais le réseau cubique faces centrées ne l�est pas.C�est un argument de symétrie du modèle d�Ising sur un réseau alterné

qui permet de déduire la solution du cas antiferromagnétique de celle ducas feromagnétique. En effet, si on effectue la transformation suivante :

(1.114)

0

2 2

� �

∫ √

�

� �

� √ �

�

�

A

B

AF A B

B c

�

1.3.4 Quelques résultats sur Ising 2D


m,A m mB m m.

m m m

J <

k TJ

Ln, J

NLnZ Ln K

�Ln

x ϕdϕ

xK

K

E∂LnZ

∂�

aimantation alternée non nulle,

frustration

enmême temps

= +=

= = 0

0

=2

1 + 2= 2 269

1= 2 cosh 2 +

1

2

1 + 1 (4 ) sin

2

=1

2

tanh 2

cosh 2

=

41

on obtient un système rigoureusement identique au système initial, maisqui représente une phase �antiferromagnétique�. Si le système initial estdans une phase �ferromagnétique�, avec une aimantation moyenne par spinle système transformé sera dans une phase où l�aimantation moyenne

par site sur le sous-réseau est et où l�aimantation moyennepar spin sur le sous-réseau est L�aimantation totale est nulle,contrairement au cas ferromagnétique, mais le système est bien dans unephase ordonnée, caractérisée par une

La température critique exacte du modèle d�Ising �antiferromagnétique�( ), avec interaction entre spins premiers voisins seulement, sur unréseau carré, est évidemment donnée par

(1.115)

Contrairement au cas ferromagnétique, il n�est pas possible d�étendresimplement le résultat du réseau carré à celui du réseau triangulaire. En ef-fet, le modèle d�Ising antiferromagnétique sur ce réseau triangulaire présentele phénomène de � �:Considérons une maille triangulaire de ce réseau. Il n�est pas possi-

ble de placer 3 spins aux sommets de ce triangle de façon à satisfaireles trois interactions antiferromagnétiques entre spins premiers

voisins. Ceci complique sérieusement la détermination de l�état fondamen-tal et des excitations de ce système magnétique �frustré�.

On peut calculer la fonction de partition en champ nul et l�aimantationspontanée, obtenue en introduisant un champ magnétique in�nitésimal.Contentons nous ici de rapporter quelques résultats :

(1.116)

où on a posé :

(1.117)

On en déduit l�énergie :

(1.118)

18

� �

22

2

4

1 8

B

c

c

c

c

c/

| � |

�

�

=

= 1 4

= 0

= 11

sinh 2

( )

= 1 8

C k K∂ LnZ

∂K

x /

C ALn T T

A T

M T > T

M NK

T < T

M T T

� /


et la chaleur spéci�que :

La chaleur spéci�que devient singulière pour , mais l�énergieinterne reste �nie.La chaleur spéci�que diverge de façon logarithmique des deux côtés de

la transition

(1.119)

et le coefficient est le même au-dessus et en dessous de .L�aimantation spontanée est donnée par le premier terme du développe-

ment de l�énergie libre par rapport au champ magnétique .

pour

pour (1.120)

Près de la température de Curie

On dé�nit un exposant critique pour l�aimantation .

N

∑ ∑1 2 ��

= exp

= 0

ZJ

k T� �

T T

N

� ,� , � B<i,j>

i j

Importance de la limite thermodynamique

1.3.5 Quelques caractéristiques de la transition


Il a été nécessaire de considérer la limite thermodynamique pour deuxraisons. La première est de garantir l�homogénéité du système, c�est-à-dire rendre négligeables les effets de bords. La seconde est de fournir dessingularités de la fonction de partition ou des quantités thermodynamiquesqui donnent lieu à une vraie transition de phase. En effet la fonction departition

est une fonction de qui est toujours analytique, excepté en , parcequ�une somme comportant un nombre �ni de termes, chacun de ces termesétant une fonction exponentielle ( donc analytique ), est analytique. Tantque reste �ni, aucune singularité, donc aucune transition de phase nepeut exister. Dans les systèmes réels, qui sont toujours de taille �nie, il n�ya jamais de vrai point singulier au sens mathématique. Par singularité, ilfaut comprendre singularité du système à la limite thermodynamique.

� c

c

cT TT

�

T T

rr

r

( )

�( )

+ + +

→

| | → ∞

| | → ∞

� � � � � � � � �


Singularités thermodynamiques

Ordre à grande distance - Ordre à courte distance

Phase ordonnée - Symétrie brisée

44

La signature de la transition de phase est précisément l�existence de sin-gularités de certaines dérivées de l�énergie libre. Ces grandeurs thermody-namiques qui deviennent singulières quand ont un comportementen loi de puissance (ou logarithmique), ce qui dé�nit des exposantscritiques.

Dans la phase haute température la fonction de corrélation tend vers 0exponentiellement quand . Il n�y a qu�un ordre à courte distance,caractérisé par une longueur de corrélation. Cette longueur diverge quandon tend vers le point critique. Dans la phase basse température, la fonctionde corrélation tend vers une constante quand : il y a ordre àgrande distance.

L�apparition de l�ordre à grande distance est caractérisée par l�aimantationspontanée, quantité physique qui mesure le degré d�ordre des spins, quijoue donc le rôle de ce qu�on appellera, au chapitre suivant, le paramètred�ordre. Dans la phase haute température, le système est invariant dansun renversement global des spins. Cette propriété de symétrie n�est pasconservée dans la phase basse température. En effet quand le systèmeacquiert une aimantation spontanée, il choisit arbitrairement une des deuxorientations possibles ou . Il y a brisure spontanée desymétrie. Dans ce cas, il s�agit d�une symétrie discrète.

Bibliography

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Documents

Chapter1 MODÈLEDISINGÀUNE ETDEUXDIMENSIONS. · 1 = apriori i h HJh i i i>j ij i j i ii 1.1 INTRODUCTION. Chapter1 MODÈLEDISINGÀUNE ETDEUXDIMENSIONS. Nouscommençons,danscechapitre,létudedunproblèmedemécanique