Chapter 02 - 向量

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By: Anthony Bedford and Wallace Fowler

Engineering

Mechanics:

STATICS

Fifth Edition

in SI Units

Chapter 2:Chapter 2: VectorsVectors

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Chapter 2 Engineering Mechanics: STATICS

Fifth EditionCopyright 2008 Pearson Education South Asia Pte Ltd

學習目標

如果一個物體受到不同大小與不同方向的外力作用時，如何能決定作用於個物體

!"力的大小#方向$%

&'()*+向,的-.，如何/0,123向,，與43向,&567用8的9:;

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'<大=

• >,與向,

• ?@0,

• A@0,

• >,B

• 向,B

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• –>, CDEFGHI的物J,

– 9如K時L，M,

• –向, NO大小PQRFGST方向

– 9如KULV一個WXY於Z一W的[\，作用力

– E]體^_23K U, V, W, …

– 向, U 的大小 = |U|

>,#向,

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– 向,的`a23Kbc

• bc方向 = 向,方向

• bcde 向,大小

• 9如K

– r AB = W B XY於W A 的[\向,

– r AB 的方向 = fW A 到W B 的方向

>,#向,

∝

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Page



>,#向,

– |r AB| = gW!L的hi

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>,#向,

j向,kl "

mn一個物體受到[o # fUL一[\op到qr[\$

– [o向,K U

– U 的方向 = [o的方向

– |U| = sop的hi

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– t?個[o V

– suvw[\x一y，z{| U } V ，~X•€;

– U T V ‚ƒ於„一[o

W: U + V = W

>,#向,

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>,#向,

j向,kl的定… "

– 向,f†‡ U 到ˆ V

jA‰a定Š

mk‹與向,LŒ†X的€zŽ;

j‘’a定Š

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>,#向,

m向,kl“NO”–的K

U + V = V + U #2'&$

m向,“klNO—"–的 "

(U + V) + W = U + (V + W) #2'2$

m如果g個~/8的向,的#‚於˜，™š›一個œ的ž’a;

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>,#向,

– 9如 "

jf A 到 C 的向, r AC ‚於

r AB 與 r BC 的向,#;

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• >,與向,的ŸBK

– >, # FG $ a 與向, U 的ŸB = 向, aU

– 大小 = |a||U| ，qV |a| >, a 的¡Y¢

– aU 的方向同於 U ，n a £

– aU 的方向•於 U ，n a R

>,#向,

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>,#向,

m向, U ¤/>, a ¥定…如¦K

UU

=

aa

1

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>,#向,

mŸBY>,的ŸlN—"–K

a(bU) = (ab)U #2'3$

mŸBY>,klN0§–K

(a + b)U = aU + bU #2'4$

mŸBY向,klN0§–Ka(U + V) = aU + aV #2'5$

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>,#向,

j向,¨lK

U – V = U + (−1)V #2'$

j„[向,K

mde‚於 1

m©定一個方向

m如果„[向, e /T向, U 的方向X同K U = |U|e

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ª9 2.1

向,的-.

«3!向,的de“ |U| = 8 與 |V| = 3 ; 向, V “¬的;®用`¯的方°決定向, U + 2V 的de;

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方±

²³9´µg個向,}-用向,kl的A‰a定Š，()能,µ向, U + 2V 的de;

ª9 2.1( ¶ )

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¯·

²³9´µ U # 2V ，¸¹)Œ†X;

ª9 2.1( ¶ )

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Page &%



¯·

|U + 2V| º,的¢“ 13.0 ;

ª9 2.1( ¶ )

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»習¼

«3的向,的de“ |U| = 8 與 |V| = 3 ;向, V “¬ 的; ®/`¯的方°,µ向, U − 2V 的de;

·½K |U − 2V| = 5.7

ª9 2.1( ¶ )

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Page 2&



ª9 2.2

向,Xk

( ¾¿Àu )

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?@0,

jn向,/XÁ¬的0,123時，向,ÂÃÄÅÆJ

ÃžK

– ÇÈ向, U K

mÉ\‰Ê標，Ë向, U 與 x-y Ì

– U = 0Í於 x Î# Ï Î的X¬0, U x # U y

的#K U = U x + U y

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mÐÑ£ x Î方向的„[向, i #£ y Î方向的„[向

, j"

U = U xi + U y j #2'!$

qV U x 與 U y “ U 的的>,0,;

– U 的de用ÒÓÔ定JE¹的0,.µ "

#2'8$

?@0,

22

y xU U +=U

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?@0,

j/0,作向,-.K

– g個向, U 與 V 的# "

U + V = (U xi + U y j) + (V xi + V y j)

= (U x + V x)i + (U y + V y) j #2'%$

– 如` "

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?@0,

j/0,作向,-. "

– G^ a 與向, U 的ŸB“ "

aU = a(U xi + U y j) = aU xi + aU y j

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?@0,

j/向,0,23[\向, "

mÇÈÊ標 # x A, y A$ !W A /TÊ標 # x B, y B$ !W

B ;

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Page 2!



?@0,

j/向,0,23[\向, "

– Õ r AB Ö2 B XY於 A 的[\向,K

r AB = ( x B − x A)i + ( y B − y A) j #2'&0$

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ª9 2.3

×.0,

ØÙfW A 到W B ÚkÛ 900-N 的力於ÜÝÞßà的áâã/向, ( Ö2;

®ä ( /«3!Ê

標åæ¦的0,123;

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Page 2%



ª9 2.3( ¶ )

方±

()ä用gç方°×.向, F 的0,;t一個方l，() äË用A‰學×. F 與 Y Î!L的è‰1.µ0,;t?

個方l，()äË用éê的ØÙ AB 的ëìãË用XíA

‰a1×. F 的0,;

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¯·

t一個方l

×. F 與 y Ê標Î的è‰K

°=

= 62680

40arcta .α

ª9 2.3( ¶ )

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Page 3&



¯·

î用A‰ï何學×.µ F ãð¹的0,23°K

( )

( ) N805402

N6.26c!"9006.26"#900c!""#

!!

ji

ji

jFiFF

−=−=

−= α α

ª9 2.3( ¶ )

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¯·

t?個方l

®Ë用«ñ定的òó，×.f A

到 B 的hiK

( ) ( ) $489$80$4022

.=+

ª9 2.3( ¶ )

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¯·

î用XíA‰a×. F 的0,K

$89.4

$80 a%

$89.4

$40

== FF y x

F F

( ) ( )

( ) N805402

N9004.89

40 N900

4.89

40

ji

jiF

−=

−=

ª9 2.3( ¶ )

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»習¼

ØÙfW A 到W B ÚkÛ 900-N 的力於ÜÝÞßà的àáã/向, F 1Ö2;ô定õöpW B 的[\ËÃ F 的 y

0,的大小“ x 0,÷的 3 ø;®ä F /¹的0,123

;W B ùú& x Î8iûWžü的ý方%

·½K F = 285i - 854 j (N) ;W B ùú& x Î8iûW 26.7

$ !Æ;

ª9 2.3( ¶ )

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ª9 2.4

f‰e×.0,

( ¾¿Àu )

ª9 2.5×.þê向,的de

( ¾¿Àu )

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A@0,

& *+´µA@V的物體K

(a) ÝÙ¬於ÿ方體一Ì時«見到的ÿ方體;

(') ÿ方體的ë側Ý;

(c) 一個‰Ê標åæ與ÿ方體的’疊";

(%) Ê標åæ的A@23;

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j一個右手Ê標åæK

m/0,

U x) U y * U z #

0Í於 x) y 與 z Î $ 23 向, U K

U = U x + U y + U z #2'&&$

A@0,

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A@0,

mË用©向 x ， y # 方向的„[向, i 、 j # k ，

()可/ä U î用>,0,23如¦

– U = U xi + U y j + U z k #2'&2$

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Page 3%



A@0,

j/向,0,23向,的deK

jÇÈ一個向, U /T¹的0,K

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Page 40



A@0,


mE U y ， U z /Tg÷的‹# U y + U z «構›的‰A

‰aK

|U y + U z |2 = |U y|2 + |U z |2 #2'&3$

m向, U ‚於向, U x 與 U y + U z !#; 3 個向,

a›一個‰A‰a K

|U|2 = |U x|2 + |U y + U z |2

@0,

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Page 4&



A@0,


mä° (2.13) Ö入K

|U|2 = |U x|2 + |U y| + |U z |2 = U x2 + U y2 + U z 2

m因此，向, U 的大小K

#2'&4$222

z y x U U U ++=U

@0,

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A@0,

j方向餘ÔK

– HI一個向,方向的方l!一，“標3µ向,與Ê標Î£Î向!L的è‰ θ x)、θ y 與 θ z ;

U x = |U| c!" θ x,

U y = |U| c!" θ y,

U z = |U| c!" θ z #2'&5$

A@0,

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Page 43



A@0,

& 方向餘ÔK

A@0,

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A@0,

& 方向餘ÔK

– 方向餘Ô K c!" θ x) c!" θ y * c!" θ z

– 方向餘Ô滿足¦IŽ係°K

c!"2 θ x + c!"2 θ y + c!"2 θ z = 1 #2'&$

– ô定 e “一個與 U 同方向的„[向,，因此

"

U = |U| e

– /0,23K

U xi + U y j + U z k = |U| (e xi + e y j + e z k )

A@0,

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A@0,

& 方向餘ÔK

– 因此K

U x = |U| e x, U y = |U| e y, U z = |U| e z

– ä些°:與° (2.15) 作³較K

c!" θ x = e x,

c!" θ y = e y,

c!" θ z = e z

– U 的方向餘Ô‚於與q同方向!„[向,的0,;

A@0,

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Page 4



A@0,

& /0,23[\向,K

– ÇÈÊ標 # x A) y A, z A$ 的W A

/TÊ標 # x B) y B, z B$ 的W

B ;

A@0,

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Page 4!



A@0,

& /0,23[\向,K

– f A 到 B 的[\向, r AB K

r AB = ( x B − x A)i + ( y B − y A) j + ( z B − z A)k #2'&!$

A@0,

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A@0,

& 於ñ定Ù!向,的0

,K – &A@7用V，常/與向

, U !Ù8的g個W A 與 B 的Ê標©定，

1定…向, U 的方向

– î用° (2.17) 決定[\向,

r AB

A@0,

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Page 4%



A@0,

j於ñ定Ù!向,的0,K

mä r AB ¤/¹的deÃ到一個fW A ©向W B 的„

[向, e AB;

– e AB 的方向與 U X同

m用 U 的de與

e AB XŸ的ŸB K U = |U| e AB

ª9 2 6

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ª9 2.6

方向餘Ô

椼架的 C W的Ê標“ xC = 4 $) yC = 0) z C = 0 ， W的Ê標

“ x D = 2 $) y D = 3 $) z D = 1 $'

f C W到 W的[\向, rCD 的方向餘Ô“

什麼%

ª9 2 6 ( ¶ )

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Page 5&



方±

ê道 C W# 的Ê標，()能ðµ rCD 的0,;然w

()能×. rCD 的de ( f C 到的hi ) ã且Ë用

° (2.15) .µ的方向餘Ô;

ª9 2.6 ( ¶ )

ª9 2 6 ( ¶ )

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¯·

E向,0,1.µ[\向, rCD ;

rCD = ( x D − xC )i + ( y D

− yC ) j + ( z D − z C )k

= (2 − 4)i + (3 −

0) j +

(1 − 0) k ($)= −2i + 3 j + k ($)

ª9 2.6 ( ¶ )

ª9 2 6 ( ¶ )

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¯·

×. rCD 的de;

( ) ( ) ( )

$3.74

$1$3$2222

222

=++−=

++= z CD yCD xCDCD rrrr

ª9 2.6 ( ¶ )

ª9 2 6 ( ¶ )

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¯·

×.方向餘Ô;

267.0$3.74

$1 c!"

,802.0$3.74

$3 c!"

,535.0

$3.74

$2 c!"

===

===

−=−==

CD

z CD z

CD

yCD

y

CD

xCD x

rr

r

rr

r

θ

θ

θ

ª9 2.6 ( ¶ )

ª9 2 6 ( ¶ )

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»習¼

椼架的W B 的Ê標“ x B = 2.4 $) y B = 0) z B = 3 $ ;®×.f

W B ©向 W!„[向, * BD 的0,;

·½K * BD = − 0.110i + 0.827 j − 0.551k

ª9 2.6 ( ¶ )

ª9 2 7 2 ! " 2 #

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ª9

2.7 2.! " 2.#

×.A@向,0,

( ¾¿Àu )

ª9 2.$%×.力的0,

( ¾¿Àu )

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