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S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
cenidet DISEÑO, CONSTRUCCI~N Y CARACTERIZACI~N
DE UN MOTOR TERMOACÚSTICO
T E S I S Que para obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA
presenta ING. JOSÉ FRANCISCO LÓPEZ ALQUICIRA
Directora de tesis: Dra. Guadalupe Huelsz Lesbros (C.I.E.) Codirectora de tesis: Dra. Sara Lilia Moya Acosta (cenidet)
CENTRO DE INFORMACION ”““I SEP CENIDET
’? - 0 4 = o 9 3’0 Cuernavaca, Mor. Diciembre del 2004
II
ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS
cenidet Centro Nacional de Investigadn
y Desanullo Tecnol6gico
M10
Cuemavaca, Mor., a 16 de agosto del 2004
C. M.C. CLAUDIA CORTES GARCIA Jefa del departamento de Ing. Mecánica Presente.
c
At‘n C. Dr. José Ma. Rodríguez Leiis Presidente de la Academia de ing. Mecánica
Nos es gato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: :DISENO,
por el C. José Francisco Mpez Aiquicira, y dirigida por Dra. Guadaiupe Huelsz Lesbros ’) Dra. Sara Liha.Moya Acosta, y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ,ACF.PTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.
CONSTRUCCI~N Y CARÁ~TERIZACIÓN DE UN MOTOR TERMOAC~STICO~~, reaiizada
.. .
Atentamente La Comisión de Revisión de Tesis
/-I
MC. Jesús Arce Landa Nombre y firma Revisor
Nombre5 firma Nombre y fuma Revisor Revisor
C.C.P. Subdirección Académica Departamento de Servicios Ewlares Directores de tesis Estudiante
PROLONGACl6N AV. PAlMlRA ESQ. APATZINGAN. COL, PALMIRA, A.P. 5164. CP. 62490, CUERNAVACA. MOR. - M f X I C O TELS/FAX: (777J3140437y3127613
11
cenidet Centro Nacional de Investigacih
y üesamllo Tecnolbgico
M11
<LBYMIIYEtC"LUtUt MmoobinQIxQuuI
AUTORIZACI~N DE IMPRESIÓN DE TESIS
Cue.mavaca, Mor., a 22 de octubre del 2004
C. JOSE FRANcrScO LOPEZ ALQUiCIii.4 Candidato ai grado de Maatro en Ciencias en ingeniería Mecánica Presente. I
Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la comisión Revisora de la Academia de Ingeniería Mecánica, en relación a su irabajo de tesis cuyo titdo es: L 6 ~ ~ ~ Ñ ~ , CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACiÓN DE .UN MOTOR TERMOAC6~CW, me es grato mmunicaile que conforme a los lieamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorizacón para que proceda con la impresión de su tesis.
Atentamente
I
C. UC. Claudia f i o h Garcia Jefa del Depariamento de ing Mecánica S. E. P.
CENTRO NACIONAL CE INVESTIGACIGN
Y DESAKROLLO TECN0LGGI:O
DEPARTAMENTO DE ING. MECANICA
c c p SuWirecci6nAcadénica Resdeme de la Acadeniia d e b M d c a Departamado de Saviaos Escolares -*
PROLONGAC16N AV. PALMIRA ESQ. APATZINGAN. COL, PALMIRA , A.P. 5-164. CP. 62490, CUERNAVACA. MOR.'! MEXICO TELSIFAX: (7771 3140637 y 312 7613
AGRADECIMIENTOS
A la Dra. Guadalupe HULLZ por su apoyo, comprensión e invaluable asesoría, durante la realización de esta tesis. Asimismo, por darme la oportunidad de realizar esta investig4ción.
A la Dra. Sara Lilia Moya por la revisión de la tesis, su confianza y sus comentarios, durante el desarrollo de este trabajo.
A la comisión asignada para revisar la tesis, integrada por: Dra. Gabriela Alvarez García. Dr. Alfonso García Gutiérrez y al M. C. Jesús Arce Landa, por sus valiosos comentarios y sugerencias en la revisión de este trabajo.
AI ing. Guillermo Hernández por asesorme en la construcción del circuito amplificador que utiliza el micrófono Sharp y por ayudarme en resolver en los problemas que se iban presentando en la instrumentación.
AI Dr. Camilo Arancibia por proporcionar los valores de presión atmosférica que se registraron en el C.LE, los cuales corresponden a los días en que se realizaron las mediciones reportadas en este trabajo.
A mis compañeros, Gabriel, Gonzalo, Miguel, Daniel y Gabriela, por compartir momentos dificiles y por su amistad incondicional durante mi estancia en el cenidet.
AI Centro de Investigación en Energía (C.I.E.) por brindarme la oportunidad de realizar este trabajo de investigación experimental.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por brindarme la oportunidad de estudiar la maestría.
AI Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico otorgado para la realización de mis estudios de maestría. También expreso mi agradecimienth a este Consejo por el apoyo económico para la compra de instrumentos utilizados en esta investigación, otorgado a través del proyecto CONACYT 32707-U.
CONTENIDO
Lista de figuras ...................................................................................................................... Lista de tablas ....................................................................................................................... Nomenclatura ....................................................................................................................... Resumen ................................................................................................................................ Abstract .................................................................................................................................
1 . INTRODUCCI~N ...................................................................................................... . . . 1.1. Ubicacion del problema ............................. ~ ........................................................
1.2. Revision bibliográfica ......................................................................................... 1.2.1. Máquinas termoacústicas ..................................................................... 1.2.2. Investigaciones sobre la generación de sonido por efecto
termoacustico ....................................................................................... 1.2.3. Motor termoacústico ............................................................................ 1.2.4. Desarrollos comerciales .......................................................................
1.3. Objetivos .............................................................................................................
MODELO TEÓRICO BIDIMENSIONAL ..............................................................
. . . . .
. .
2 . 2.1. Ecuaciones gobernantes ...................................................................................... 2.2. Ecuacion de onda para la presion ....................................................................... 2.3. Ecuación de flujo de entalpia .............................................................................. 2.4. Ecuación de producción de potencia acústica .................................................... 2.5. Aproximación de máquina pequeña ................................................................... 2.6. Análisis de estabilidad ........................................................................................
.. . .
. . . .
3 . SOLUCI~N NUMÉRICA ..........................................................................................
3.1. Estrategia ............................................................................................................ 3.2. Algoritmos ..........................................................................................................
3.2.1. Programa auxiliar ................................................................................. 3.2.2. Programa de evaluacion .......................................................................
. . ..
4 . METODOLOG~A EXPERIMENTAL ..................................................................... . . 4.1. Pruebas preliminares ...........................................................................................
4.1.1. Dispositivo experimental preliminar .................................................... 4.1.2. Instrumentación, equipo auxiliar y sistema de adquisición de datos .... 4.1.3. Resultados ............................................................................................
iii vii viii xii
xiii
1
1 1 2
5 6
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13
14 18 20 24 28 31
35
35 31 31 40
50
50 54 56 56
i
4.1.4. Conclusiones ........................................................................................ Diseño del oscilador termoacústico .................................................................... 4.2.
.. 4.3. Instrumentacion .................................................................................................. 4.3.1. Medición de la presión acústica ........................................................... 4.3.2. Medición de temperatura media ........................................................... 4.3.3. Equipo auxiliar ..................................................................................... 4.3.4. Sistema de adquisicion de datos ........................................................... Caracterización del oscilador termoacústico ....................................................... 4.4.1. Determinación de la posición óptima de la zona activa ....................... 4.4.2. Análisis de las condiciones críticas para generar ondas acústicas ...... 4.4.3. Evaluación del gradiente mínimo de temperatura media para generar
ondas acústicas ............................................................................... .: ....
. . . . . .
4.4.
5 . COMPARACIÓN DE RESULTADOS TEÓRICOS, NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES .................................................................................................
5.1. 5.2.
Comparación entre los resultados numéricos y experimentales del OSTA4 ...... Comparación entre los resultados del análisis de estabilidad y los resultados experimentales ....................................................................................................
....................................................... 6 . CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
APÉNDICES
A . PROPIEDADES DEL AIRE Y DE LA CERAMICA ..............................................
A.l. Propiedades del aire ............................................................................................ A.2. Propiedades de la ceramica ................................................................................. . .
B . INSTRUMENTACI~N ..............................................................................................
B.l . Diseño del circuito amplificador del micrófono Sharp ...................................... B.2. Calibración del micrófono Sharp ........................................................................ B.3. Calibracion del terrnistor .................................................................................... ..
c . ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE .........................................................................
REFERENCIAS ...................................................................................................................
58 58
61 61 62 62 63 65 65 72
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79
79
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87
87 90
91
91 91 93
95
98
....... ......... !I.
LISTA DE FIGURAS
Lista de figuras
Figura 1.1. Figura.l.2.
Figura 1.3.
Figura 2.1.
Figura 3.1.
Figura 3.2.
Figura 3.3.
Figura 3.4. Figura 3.5.
Figura 3.6.
Figura 3.7.
Figura 3.8.
Figura 3.9.
Esquema básico de un motor termoacústico (tomado de Huelsz, 1996) ............. Esquema básico de un refrigerador o de una bomba de calor termoacústico (tomado de Huelsz, 1996) .................................................................................... Temperaturas que se presentan en los dos intercambiadores de calor de flujo cruzado. Un intercambiador de calor se encuentra en la zona caliente y el otro se encuentra en la zona fría de la máquina termoacústica ................................... Sistema físico de las placas paralelas. (a) configuración de varias placas, (b) sistema de referencia empleado y (c) vista ampliada de las placas paralelas, en el plano xy. Cada placa tiene un espesor 21, y cada capa de fluido tiene un espesor de 2yo. El origen de la coordenada y’ se encuentra a la mitad del espesor de la placa y el de la coordenada y a la mitad de la distancia que existe entre las dos placas paralelas. La onda acústica y el gradiente de temperatura media (VT, ) son paralelos al eje x
3
3
4
.................................................................... 13 Esquema del oscilador termoacústico. Se presenta la notación utilizada para designar las longitudes de los elementos que conforman al motor ..................... Diagrama de flujo del programa auxiliar que se resume en ocho pysos, mediante aproximación de máquina pequeña ..................................................... Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de la frecuencia de resonancia, de la potencia disipada en el resonador y de la potencia entregada a la carga .... Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de propiedades físicas del aire .... Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de las oscilaciones de presión y de velocidad, potencias disipadas en el intercambiador de calor caliente y en el frío ....................................................................................................................... Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de la suma de las potencias de entrada y de salida, así como el cálculo de THcol ................................................ Diagrama de flujo del programa de evaluación que emplea el algoritmo de Runge-Kutta para resolver la integración de las ecuaciones de onda de presión y de flujo de calor en la zona activa .................................................................... Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de p , y u , , en cada zona del OSTA ................................................................................................................... Diagrama de flujo de la subnitina del cálculo de T,. p i , p x y u, , en la zona
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41
42 43
44
45
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.- 4Y
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55 55
activa .................................................................................................................... Figura 4.1.a) Vista frontal del oscilador termoacústico (OSTM) que utiliza nitrógeno
líquido como fluido de trabajo Figura 4.1 .b) Sección transversal del oscilador termoacústico (OSTA2) que utiliza nitrógeno
Figura 4.l.c) Vista lateral y frontal del intercambiador de calor del oscilador termoacústico (OSTA2) que utiliza nitrógeno líquido como fluido de trabajo ..........................
Figura 4.2.a) Esquema del oscilador termoacústico (OSTA3) y sistema de referencia para la localización de la zona activa, la tolerancia de las longitudes es de f 5x1 O-5 m
Figura 4.2.b) Fotografía del oscilador termoacústico ..............................................................
............................................................................
líquido como fluido de trabajo ...........................................................................
< < .
111
.. ...... I(. __ -
LISTA DE FIGURAS
Figura 4.3. Amplitud de la oscilación de presión (PA) como función de la posición de la Zona activa ( X, ). Los símbolos corresponden a datos experimentales: -8- P, =lo1200 Pa -0- P, =1Oi200. Las líneas que unen 10s puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de 10s mismos, Se i&ca la incertidumbre mayor al tamaño del símbolo, en los datos experimentales .........
Figura 4 . 4 4 a) Forma Y tamaño del poro, visto bajo un mismo microscopio con un amento
Figura 4.4. b) Conjunto de Poros que conforman la zona activa del oscilador termoacústico ,,, Figura4.5. a) Vista frontal Y lateral del tubo de vidrio Pyres que conforma el tubo
resonador (escala 1:4), b) vista frontal y lateral del panel cerámica denominado zona activa (escla 1:4), c) amplificación de la vista frontal del panel cerámico (escala 2:l) y d) dibujo en conjunto del dispokitivo expenmental. En este último dibujo se muestra el tapón que conforma el extremo cerrado del tubo así como los conductores eléctricos que conectan a la resistencia eléctrica, que se localiza en el extremo de la zona caliente, cercano al extremo cerrado del tubo ......................................................................... .:.
Figura 4.6. Fotografía del micrófono montado en la tapa de acrílico ................................... Figura 4.7.a) Esquema del dispositivo experimental, la instrumentación, el sistema de
adquisición de datos y el equipo auxiliar, que se usaron en la investigación ..... Figura 4.7.b) Fotografía del oscilador termoacústico construido. En el extremo izquierdo se
encuentra la tapa con el micrófono. La línea azul con flecha, indica la posición
Figura 4.7.c) Vista lateral de la resistencia eléctrica cuando circula la corriente eléctrica, proporcionando el flujo de calor al oscilador termoacústico y d) vista frontal
Amplitud de la oscilación de presión (PA.) como función de la posición axial de la zona activa ( x ~ , , , ) . Los símbolos corresponden a datos experimentales obtenido con dos diferentes gradientes axiales de temperatura. Las líneas que unen los puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de (10s mismos ................................................................................................................ Relación de la magnitud de la frecuencia del primer armónico o segunda componente ( fi) con respecto la magnitud de la frecuencia fundmenti o primer componente ( A ) como función de la posición axial de la zona activa
Gradiente axial de temperatura media (VT, ) como función de la posición axial de la zona activa (xms). Los símbolos corresponden a datos experimentales para dos diferentes valores de voltaje. Las líneas que une a los puntos se dibujaron Únicamente para facilitar la localización de los mismos Gráfica de la frecuencia de la onda acústica (f) en función de la posición axial de la zona activa (x,~,,,). Los símbolos corresponden a datos experimentales de dos diferentes gradientes axiales de temperatura. Las líneas que unen los puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de 10s mismos .; .........................................................................................................
de cuatro veces su tamaño normal .......................................................................
....
de la resistencia eléctrica. La línea roja con flecha denota el extremo abierto ....
de la misma resistencia eléctrica .................................................................... :.... Figura 4.8.
Figura4.9:
( x, ) ................................................. :.. ................................................................ Figura 4.10.
...... Figura4.11.
57
59 59
60 61
63
64
64
66
67
68
69
iv
I1 ........ -. - - _ - - - ....... .,L
LISTA DE FIGURAS
Figura4.12.
Figura 4.13.
Figura 4.14.
Figura4.15.
Figura 4.16.
Figura 4.17.
Figura 4.18.
Figura 4.19. Figura 4.20.
Figura 4.21.
Figura 4.22.
Figura 5.1.
Figura 5.2.
Figura B 1. Figura B2.
Figura 83.
Figura B4.
@áfica de la temperatura de la sección fría (T,) en función de la posición axial de la zona activa ( X,,,,, ). Se indica la incertidumbre estimada en los datos
Gráfica de la frecuencia de la onda acústica (f ) en función de la temperama de la sección fría ( Tc ). LOS símbolos corresponden a datos experimentales, La
experimentales .....................................................................................................
línea corresponden a la predicción teórica .......................................................... Gráfica de la frecuencia de la onda acústica ( f ) en función de la temperatura media de la zona activa (T, ) .............................................................................. h p l i t u d de la oscilación de presión (Pa ) como función del flujo de 'calor (e). Los puntos etiquetados se explican en el texto. La línea vertical continua separa la región crítica de la no critica ................................................................ Magnitud de la frecuencia del primer armónico, normalizada con la magnitud de la frecuencia fundamental (mag f2 / m a g f,), como función del fluJo de calor (Q) ............................................................................................................. Magnitud de la frecuencia del segundo armónico, normalizada con la magnitud de la frecuencia fundamental ( mag f3 /mug f, ), como función del
Gradiente axial de temperatura media (VT, ), a través de la zona activa, como funcion del flujo de calor (Q) ............................................................................. Temperatura de la sección caliente ( TH ) como función del flujo de calor ( Q ) . Frecuencia de la onda acústica ( f ) en función de la temperatura de la región fría (í",). Los símbolos corresponden a los datos experimentales y la línea a la frecuencia de resonancia calculada para T, ....................................................... Frecuencia de la onda acústica (f) en función de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo (Pa ) ........................................................................... Frecuencia del sistema ( f ) en función de la temperatura media (T, ). LOS símbolos corresponden a los datos experimentales, la línea continua corresponden a un ajuste de segundo orden .................................................. ' Mínimo gradiente axial de temperatura media como función de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo ............................................................... Flujo de entalpía calculado numéricamente y valor experimental del flujo de calor aplicado en el extremo caliente de la zona activa, ambos como función del gradiente axial de temperatura media ............................................................ Diseño del circuito amplificador de la señal de voltaje de salida del micrófono Montaje del dispositivo acústico utilizado para la calibración del micrófono
Curvas de calibración del micrófono Sharp en una onda acústica. Los símbolos corresponden a los datos experimentales. Las líneas continuas corresponden 'a un ajuste de tercer orden. Ambas incertidumbres, la del valor del voltaje y la
Curva de calibración del termistor. Los símbolos corresponden a los datos experimentales, Las líneas continuas corresponden a un ajuste de mínimos
flujo de calor (Q) ................................................................................................
.,
Sharp ....................................................................................................................
de la amplitud de oscilación de, presión, son menores al tamaño del símbolo ....
'1
70
70
71
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74
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78
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V
11. - _ .... . . ~
LISTA DE FIGURAS
cuadrados a los datos .experimentales. La incertidumbre del valor de la temperatura es menor al tamaño del símbolo ...................................................... 94
' vi
............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii _ -
LISTA DE TABLAS
Lista de tablas
Tabla4.1. Tabla 4.2.
Tabla 4.3.
Tabla5.1.
Tabla 5.2.
Tabla A. 1. Tabla C. 1.
Tabla C.2.
Valores de 10s parámetros eléctricos utilizados ................................................... 56 Valor Óptimo de la frecuencia y longitud del motor termoacústico, correspondientes al tamaño y forma del poro de la zona activa .......................... 58 valores de los parámetros eléctricos utilizados en el OSTA4 y el gradiente de temperatura que se produce en la dirección axial de la zona activa .................... 62 Parámetros fisicos y geométricos de distintos trabajos experimentales reportados en la literatura ..................................................................................... 83 Valores experimentales y teóricos de los gadientes críticos axial, evaluados
84 89
para diferentes fluidos, presiones medias y formas de poro geométrico ............. Valores de los coeficientes y exponentes de las ecuaciones (A1.8) y (A1.9) ....
indican la posición óptima ...................................................................................
Incertidumbre asociada a la temperatura, tanto del extremo frío como del extremo caliente de la zona activa, que corresponden a las dos mediciones que
Incertidumbre calculada para la temperatura media, que se obtiene para cada 96
97 ma de las dos mediciones que indican la posición óptima ..................................
vii I1
NOM EN C L A T UX.4
Nomenclatura
velocidad del sonido en el fluido, (
calor específico a presión constante por unidad de masa de la placa, ( J / kg K ) frecuencia, ( Hz ) función de disipación térmica, (adimensional) función de disipación viscosa, (adimensional) gradiente axial de temperatura media (equivalente VT, ), ( K lm) entalpía por unidad de masa, ( J / kg ) tamaño de paso que se utiliza en el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden, ( m ) número imaginario i = -& , (adimensional) número de onda, (rad / m ) conductividad térmica, ( W / m K ) mitad del espesor de la placa paralela o de la pared entre de la zona activa, según sea el caso, ( m ) longitud axial del interior del tubo resonador, ( m ) presión, ( N / m2 amplitud de la oscilación de presión, ( N / m2) calor generado por la resistencia eléctrica, ( W ) radio del tubo ( m ) entropía por unidad de masa, ( J / kg K ) tiempo, ( s ) temperatura, ( K ) componente de la velocidad en la dirección x , ( m / s ) componente de la velocidad en la dirección y , ( rn / s ) volumen específico de un gas con comportamiento ideal, ( m3 / kg ) volumen específico de un gas con comportamiento real, ( m3 1 kg ) vector velocidad, ( m / s ) coordenada axial medida a partir del extremo cerrado, ( m ) posición axial de la zona activa durante los experimentos, considerando, como origen el extremo cerrado del oscilador termoacústico posición axial de la mitad de la zona activa, considerando como origen el extremo cerrado del oscilador termoacústico posición óptima de la zona activa que se obtiene experimentalmente (donde se obtiene la máxima producción de potencia acústica) posición óptima de la zona activa que se obtiene teóricamente
) específico a presión constante por unidad de masa del fluido, ( J / kg K )
... VI11
NOMMCLATURA
Y
Yo Y'
Z
Z, factor de compresibilidad
coordenada transversal cuyo origen se localiza a la mitad de la distancia que existe entre las dos placas, ( m ) mitad de la distancia de separación entre las placas paralelas, ( m ) coordenada transversal a la propagación de la onda acústica y normal a la placa, cuyo origen se encuentra a la mitad del espesor de la placa, ( m ) coordenada transversal a la propagación de la onda acústica y paralela a la placa, ( m )
Letras griegas
P Y
coeficiente de expansión térmica del fluido, (1K) cociente entre los calores específicos a presión constante y a volumen constante en el fluido, (adimensional)
6, 1 s i i = j Osii+ j
, (adimensional) delta de Kronecker, Su =
profundidad de penetración térmica en el fluido, 6, = f T = E, ( m ) Prn c p w 6k
6, profundidad de penetración térmica en el sólido, 6, =
profundidad de penetración viscosa en el fluido, 6, = / p y w > ( m ) __
A x A z E
E, relación entre las propiedades del fluido y del sólido,
longitud, en la dirección x , de la zona activa con gradiente de temperatura, ( m ) longitud en la dirección z de la zona activa con gradiente de temperatura, ( rn ) energía interna por unidad de masa, ( J / kg )
rl
K
3 segundo coeficiente de viscosidad. Usando la relación de Stokes q = - - p , 2
( N s / m 2 ) , í m 2 1s)
K difusividad térmica del fluido, K = -
Pm cp
difusividad térmica del sólido, K, = - Ks , ( m 2 / s ) P s cs
longitud de onda, ( m ) viscosidad dinámica, ( N s / m 2 )
ix I!
I1 . .. . .~ . . .. . .~ .- - - .~..
NOMENCLATURA
P'
n perímetro, ( m ) P densidad, ( k g / m 3 )
viscosidad cinemática, p' 5 -, P ( m 2 / s ) P m
0. nhnero de Prandtl 0. = __, CP P (adimensional) K
7) .. tensor de los esfuerzos cortantes, ( N / m 2 ) Q,
w
Subíndices
se utiliza para designar cualquier variable mecánica o termodinámica que es función de la posición y el tiempo (adimensional) frecuencia angular, w = 2 z f , (rad / s)
A
b C exP H m max OPt res
1 2
S
amplitud máxima de la oscilación, en ondas estacionarias corresponde a la amplitud en el antinodo variable que representa a la amplitud de la temperatura en la interfase sólido-fluido relativo a la zona fría valor que se obtiene experimentalmente relativo a la zona caliente valor medio de la variable frecuencia máxima analizada en el espacio de Fourier valor óptimo relativo al tubo resonador relativo a la placa sólida perturbación de primer orden perturbación de segundo orden
Otros símbolos
x. a A 6J 277
longitud angular, k = - = - , ( m /rad )
mag VTm
magnitud del espectro de frecuencias gradiente axial de la temperatura media (en las gráficas se usa alternativamente
valor crítico del gradiente axial de la temperatura media, ( K / m ) valor crítico del gradiente axial de la temperatura media, sin considerar la viscosidad ni la longitud de la zona activa, ( K / m ) valor crítico del gradiente axial de la temperatura media, sólo considerando la longitud de la zona activa, ( K / m ) valor crítico del gradiente axial de la temperatura media, tomando en cuenta únicamente la viscosidad, ( K / m )
gradL) , ( K l m I VTmcni VTmcieo/
VTmcmr
VTmEIeolv
NOMENCLATURA
VTm,,e,, valor crítico del gradiente axial de la temperatura media, evaluando tanto la viscosidad como la longitud de la zona activa, ( K /m)
V Tmmin, valor del gradiente mínimo de temperatura media para la generación de la onda acústica, ( K / m)
O ( ) orden de magnitud parte real promedio temporal complejo conjugado de la variable función que sólo depende de las coordenadas espaciales
- A
O(
:, xi
Resumen
En programa
tesis se realiza un estudio de motores termoacústicos mediante un análisis teórico, un Y experimentos. Estos se aplican a motores termoacústicos abiertos
que generan ondas acústicas estacionarias.
En el analítico se considera ia teoría lineal de estabilidad propuesta por ~ i ~ ~ ~ ~ - A l ~ ~ ~ ~ y Chejne (2001). Esta koría Presenta cuatro modelos para predecir el gradiente de temperatura media crítico ( v ~ m c r j , 1, 10s CdeS Se aplican para calcular dicho gradiente de seis osciladores termoacústicos reportados en la literatura y del oscilador termoacústico consmid; en esta investigación.
El programa numérico se basa en un algoritmo presentado por Swift (1992), este algoritmo utiliza la teoría lineal desarrollada para el efecto termoacústico.
Se diseñó y construyó un oscilador termoacústico, cuya caracterización se efectuó a través de dos tipos de experimentos. En los primeros se mantiene fijo el flujo de calor que suministra la resistencia eléctrica al extremo caliente de la zona activa (Q) y se varía la posición d i la zona activa; en los segundos se mantiene fija la posición de la zona activa y se varía el flujo de calor, para la evaluación de las condiciones de generación de la onda acústica.
Con los resultados de los primeros experimentos se determina la posición Óptima de la zona activa (x, = 0.25 LreS) en el oscilador. Con los resultados de los segundos experimentos, donde se varía el flujo de calor, se encuentra que existen dos valores críticos Q,, = 33 W y Q,, = 37 W, para Q,, < Q < Qc2 existen dos condiciones posibles: sin perturbación externa se genera una onda acústica de pequeña amplitud (PA z 8 Pa), en este caso el gradiente mínimos es VT,,,, = 7600 Wm y con perturbación externa se genera una onda acústica de mayor amplitud (PA = 4000 Pa), en este caso el gradiente mínimo disminuye y tiene el valor de VTmmin = 5500 Wm. Para Q > Q,, se genera una onda acústica de gran amplitud independientemente de si hay o no una perturbación externa. Estos resultados tienen relevancia en el caso de utilizar una fuente de energía térmica, en donde no se controlaría la temperatura de la zona caliente y la variable independiente sería, como en estos experimentos, el flujo de calor; por ejemplo: la energía solar.
Los valores experimentales del gradiente de temperatura media ( VT, ), Correspondientes a valores pequeños de la amplitud de la onda acústica (Pa < 60 Pa), concuerdan con los resultados numéricos, éstos sobrestiman al valor experimental en a lo más el 4 Yo. No se pudieron comparar los resultados experimentales correspondientes a valores mayores de la amplitud de la onda acústica ( P a > 2500 Pa) con los resultados numéricos, porque tienen componentes importantes de segundo orden y el programa está basado en una aproximación de pnmer orden.
De comparar los resultados experimentales de esta investigación, y los resultados expenmentales de los motores termoacústicos reportados en la literatura, con los resultados del análisis de estabilidad, se deduce que el VT,,,,, experimental es a lo más 2.8 veces el Or,,,,,, estimado por el modelo más completo de Rivera-Álvarez y Chejne (2001). Esto sirve como guía para el diseño de motores termoacústicos.
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Abstract
A theoretical analysis, a numerical program and an experimental study of a themoacoustic prime mover is presented in this thesis. These are applied to open themoacoustic prime movers ( L , = M 4 ) that generate acoustic standing waves.
The stability linear theory proposed by Rivera-Álvarez and Chejne (2001) is considered in the theoretical analysis. This analysis presents four models to predict the critical mean temperature gradient ( VT,,,,, ), which are applied to calculate the aforementioned gradient for six thermoacoustic prime movers reported in the literature and one thermoacoustic prime mover built in the research of this thesis.
The numerical program is based on the algorithm suggested by Swift (1992), this algorithm uses the linear theory developed for the thermoacoustic effect.
A prime mover was designed and built. Its characterization was done through two types of experiments. In the first, the heat flux (Q) that provides the electrical resistance at the hot end of the stack is maintained constant and the position of the stack is varied. In the second set of experiments, the position of the stack is constant and the heat flux is varied, to obtain the conditions for the generation of the acoustic wave.
The optimum position of the stack (x,, = 0.25 L,, ) is determined from the results of the first set of experiments. From the second set of experiments, where the heat flux is varied, it is found that there are two critical values Q,, = 33 W and Q,, = 37 W. In the interval Q,, < Q < Qcz two possible conditions exist: without external perturbation an acoustic wave of small dpli tude ( P A o 8 Pa) is generated, in this case the minimum gradient is VT,,,, o 7600 Wm, and with an external perturbation an acoustic wave of large amplitude ( P A o 4000 Pa) is produced, in this case the minimum gradient decreases and the value is VT,,,, cz 5500 Wm. For Q > Q,, an acoustic wave of large amplitude, which is independent of the existence of an external perturbation, is generated. These results have relevance when a thermal energy source, like the solar, is used. In these cases there is no control of the hot zone temperature and the independent variable is the heat flux.
The mean temperature gradient (Or,) experimental values, corresponding to small pressure amplitudes (PA < 60 Pa), agree with the numerical results, the latter results overestimate the experimental values at most 4 %. The experimental data that correspond to large pressure amplitudes ( P A ~ 2 5 0 0 Pa) cannot be compared with numerical results because they have important second-order components and the program is based on linear theory.
From the comparison of the experimental results of this research and those of the prime movers reported in the literature against the stability analysis results, it is deduced that the experimental value of VT,,,, is at most 2.8 times the value estimated by the more complete model of Rivera- Álvarez and Chejne (2001). This criterion can serve as a design guide of prime movers.
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MTRODUCCIÓN
1. INTRODUCCI~N
En este capítulo se explica el interés que se tiene por el presente tema de investigación, la revisión de 10s Principales trabajos reportados en la literatura sobre máquinas termoacústicas, particularmente de motores t~rmOaCÚStiCos. Al final del capítulo se presenta el objetivo general y los objetivos específicos.
1.1. Ubicación del problema
Desde 1962 se propuso utilizar el efecto termoacústico para la construcción de máquinas termoacústicas (Swift 1988b). Esta idea ha ido consolidándose y actualmente en varias partes del mundo se llevan a cabo investigaciones tanto teóricas como experimentales para desarrollar este tipo de máquinas. Las principales ventajas de las máquinas termoacústicas son los bajos costos de construcción y mantenimiento (por no tener partes móviles) con respecto a otras tecnologías, como son la compresión a vapor y las máquinas Stirling. Además, en el caso del refrigerador termoacústico, al operar con fluidos de trabajo que no dañan la atmósfera, son una buena alternativa para sustituir los refrigeradores por compresión.
Con el propósito de contribuir al desarrollo, en México, de máquinas termoacústicas un grupo de investigadores de la Universidad Nacional Autónoma de México, desde principios de los noventa, estudia los efectos termoacústicos (Orozco, 1992; Orozco, 1995; Huelsz y Ramos, 1995; Santillán y Boullosa, 1995; Huelsz y Ramos, 1996; Huelsz, 1996; Huelsz y Ramos, 1998a; Huelsz y Ramos, 1998b; Huelsz y Ramos, 1999; Huelsz y López-Alquicira, 2000)' y han construido dos pequeños motores termoacústicos que funcionan creando el gradiente de temperatura con nitrógeno líquido, el cual tiene una temperatura cercana a -190 C.
Los motores termoacústicos tienen aplicaciones potenciales, en particular cuando su fuente de energía es la solar, ya que es abundante y libre de contaminación. Dos de estas aplicaciones son: como motor de un refrigerador termoacústico y como motor de un generador eléctrico magnetohidrodinámico. Debido a estas aplicaciones de los motores termoacústicos, un gyp0 de investigadores del Centro de Investigación en Energía (C.I.E.), lugar donde se realizó la investigación que aquí se reporta, están interesados en el diseño y construcción de dichos motores. Para ello, se requiere realizar una investigación que contribuya ai entendimientg de la operación del motor termoacústico cuando la variable independiente es el flujo de calor suministrado; además, este trabajo ayudará al desarrollo de esta tecnología en el C.I.E.
1.2. Revisión bibliográfica
Se presenta la revisión bibliográfica de los principales trabajos reportados en la literatura sobre máquinas termoacústicas, particularmente de motores termoacústicos. El propósito de la revisión bibliográfica es contextualizar la contribución de la presente tesis. Asimismo dicha información permitirá planear futuras investigaciones en el área del efecto termoacústico.
Una parte de información del capítulo se encuentra descrito en las diferentes revisiones bibliográficas que se han publicado sobre el tema. La revisión más antigua es la reportada por
INTRODUCCIÓN
Putman y Dennis en 1956, ellos mencionan 10s estudios sobre oscilaciones en tubos de sistemas de combustión. Las dos siguientes revisiones se publicaron en 1968 por Feldman y tratan sobre el efecto termoacústico, una está relacionada con el tubo de Sondhauss y la otra, con el tubo de Rijke.
Otra de las revisiones importantes es la que publicó Rott en 1980, en la cual resume los principales resultados de la teoría termoacústica desarrollada durante más de una década por él y colaboradores. En 1988, Swift presentó una revisión de los fundamentos de las máquinas termoacústicas. En 1994, Sen et al. expusieron una amplia revisión bibliográfica sobre el tema. En un artículo de divulgación, Swift (1995) presenta el desarrollo de prototipos comerciales de máquinas termoacústicas. El estudio del efecto termoacústico en el Centro de Investigación en Energía se inició con el trabajo de Huelsz (1996), donde se incluye una revisión bibliográfica del tema.
1.2.1. Máquinas termoacústicas
Las máquinas termoacústicas son máquinas térmicas que utilizan efectos temoacústicos para su operación. Las máquinas térmicas son máquinas donde existe un intercambio entre el trabajo y el calor transferido entre dos zonas a diferentes temperaturas.
Las máquinas térmicas, y por tanto, las máquinas termoacústicas se dividen en dos clases dependiendo de si la máquina hace trabajo o recibe trabajo. En la primera clase de máquinas témicas están los motores, estas máquinas hacen trabajo aprovechando la transferencia de calor de la zona de alta temperatura a la de menor temperatura. La segunda clase son las máquinas que reciben trabajo del exterior, en esta clase existen dos subclases. La primera constituida por dispositivos que aumentan la transferencia de calor natural, es decir, desde la zona de,,mayor temperatura a la zona de menor temperatura. La segunda subclase está formada por los refrigeradores y por las bombas de calor, en estas máquinas se transfiere calor de la zona de menor temperatura a la zona de mayor temperatura (Huelsz, 1996).
El motor termoacústico aprovecha el efecto por el cual se produce una onda acústica en un fluido compresible que se encuentra en contacto con una pared sólida donde existe un adecuado gradiente axial de temperatura; de esta manera, parte de la energía térmica se transforma en energía mecánica. El refrigerador termoacústico trabaja utilizando el efecto contrario, es' decir, una onda acústica genera un gradiente de temperatura en las paredes sólidas en contacto con ella; en este caso, parte de la energía mecánica se transforma en energía térmica. Estos efectos se llevan a cabo en la capa límite térmica y son conocidos como efectos termoacústicos.
Un motor termoacústico está constituido básicamente por un tubo resonador con una estructura interna que denominamos zona activa' donde existe un gradiente axial de temperatura suficientemente alto para generar ondas acústicas. Esto en general se logra a través de dos intercambiadores de calor, uno caliente y otro frio. El intercambiador caliente está colocado'cerca del antinodo de presión, éste puede ser sustituido por una fuente de calor como una resistencia eléctrica. En la Figura 1 . I se muestra un esquema del motor termoacústico.
' Dado que la geometría empleada inicialmente era un apilamiento de placas, en la mayoria de la literatura se le denomina como stack.
2 I,
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INTROOUCCldN
Intercambiador de calor en la zona
caliente o fuente de lntercambiador de calor en la zona
calor fría Zona fría
I - J 1
Zona caliente -+
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Estructura Interna (zona activa)
Figura 1.1. Esquema básico de un motor termoacústico (tomado de Huelsz, 1996).
Una bomba de calor o un refrigerador termoacústico están constituidos básicamente por una bocina o cualquier otro dispositivo que genere ondas acústicas, un resonador, una estructura interna en cuyos extremos se encuentran dos intercambiadores de calor, el intercainbiador caliente está colocado cerca del antinodo de presión. El refiigerador extrae cdor del intercambiador frío y lo entrega al intercambiador caliente. En la Figura 1.2 se tiene el &quema básico de una bomba de calor o de un refrigerador termoacústico.
Bocina lntercambiador de Intercambiador de Zona fría calor en la zona calor en la zona caliente fría
Zona caliente
Estructura Interna (zona activa)
Figura 1.2. Esquema básico de un refrigerador o de una bomba de calor termoacústico (tomado de Huelsz, 1996).
En la Figura 1.3 se muestra el detalle de las temperaturas involucradas en los dos intercambiadores de calor de flujo cruzado que se usan comúnmente en las máquinas termoacústicas. Debido a que el flujo que atraviesa los dos intercambiadores de calor en la dirección axial del tubo termoacústico es oscilatorio, las temperaturas de entrada y salida de este flujo, se alternan cada medio ciclo.
En esta investigación interesa particularmente el motor termoacústico, por lo que a continuación se presenta una visión general sobre las investigaciones que se han hecho sobre la generación de sonido por efecto termoacústico y sobre el motor termoacústico, también llamado oscilador termoacústico.
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Intercambiador de calor en la zona caliente (i.c.z.c.)
Intercambiador de calor en la zona fria (i.c.z.f.)
TI,,, = Temperatura del fluido caliente que entra al intercambiador de la zona caliente
T',o = Temperatura del fluido caliente que sale del intercambiador de la zona caliente
Te/,,= Temperatura del fluido de trabajo que está en el extremo del i.c.z.c. durante el medio ciclo
Tcf , o = Temperatura del fluido de trabajo que sale del i.c.z.c y entra a la zona activa durante el medio ciclo
Td,,= Temperatura del fluido de trabajo que está en el extremo de la zona activa durante el siguiente medio ciclo Ti,,= Temperatura del fluido de trabajo que sale de la zona activa y entra al i.c.z.c durante el siguiente medio ciclo x, =Amplitud de desplazamiento de la partícula del fluido con respecto a su posición media T,, , = Temperatura del fluido frío que entra al intercambiador de la zona fria
T,,,= Temperatura del fluido frío que sale del intercambiador de la zona fría
Thf,, = Temperatura del fluido de trabajo que está en el extremo de la zona activa durante el medio ciclo
Th,,o= Temperatura del fluido de trabajo que sale de la zona activa y entra al i.c.z.f a durante el medio ciclo Th;,,= Temperatura del fluido de trabajo que está en el extremo del i.c.zf. durante el siguiente medio ciclo Ti,,= Temperatura del fluido de trabajo que sale del i.c.z.f. y entra a la zona activa durante el siguiente medio ciclo.
Figura 1.3. Temperaturas que se presentan en los dos intercambiadores de calor de flujo cruzado.,Un intercambiador de calor se encuentra en la zona caliente y el otro se encuentra en la zona fría de la
máquina termoacústica.
l e 2 m 2 * lnvestkaciones sobre la generación de sonido por efecto termoacústico
Las primeras ObseIT’acioneS de kt producción de sonido a través del calentamiento adecuado en Un sistema, es decir del efecto termOaCÚStiC0 en su modalidad de generador de sonido;idatan de mediados del Siglo XVIII. Desde entonces, 10s sopladores de vidrio emplean un tubo de vidrio, en
de SUS extremos se encwntra e! vidrio fundido y por el otro extremo soplan. E] tubo es delgado Y largo, el extremo con el vidrio fundido tiene una alta temperatura mien*+ que, la temperatura del extremo por el que soplan es cercana a la temperatura ambiente. Cuando se deja de soplar, el extremo a temperatura ambiente queda abierto y emite un fuerte sonido. Fue en este sistema en el que por primera vez se observó este efecto termoacústico.
Un efecto termoacústico similar es el que se presenta en procesos con combustión. En 1777 Byron Higgins (Swift 1988b) hizo los primeros experimentos sobre las oscilaciones acústicas que se producen en este tipo de procesos, las cuales se originan cuando se coloca adecuadamente una flama de hidrógeno dentro de un tubo largo y abierto por ambos extremos (Putman y Dennis, 1956). El trabajo de Higgins eventualmente evolucionó en la ciencia moderna de la combustión de pulso, según lo refiere Swift (198813).
Sondhauss (1859) realizó experimentos con un tubo que tiene características similares a los tubos de los sopladores de vidrio, es decir, un tubo largo y delgado con un extremo abierto y el otro cerrado con un bulbo. Cuando el extremo cerrado es suficientemente calentado, el tubo emite oscilaciones acústicas. Además, encontró que la frecuencia del sonido emitido depende de las dimensiones del tubo. Sin embargo, no ofreció ninguna explicación del fenómeno (Feldman, 1968a).
También se estudió la generación de oscilaciones acústicas por efectos térmicos en un tubo con otra configuración geométrica, llamado tubo ‘de Rijke. En este tubo, las oscilaciones acústicas se producen cuando se introduce calor a una malla interna localizada en la mitad inferior de un tubo en posición vertical, con una corriente de aire ascendente (Feldman, 1968b).
Swift (1988b) señala que la termoacústica teórica inicia en 1868, cuando Kirchhof presentó los cálculos que demuestran la atenuación de la onda acústica que se propaga en un gas contenido en un ducto, debido a la transferencia de calor oscilatona entre la pared isotérmica y el gas.
Lord Rayleigh (1886) ofreció el criterio paia la generación o atenuación de la onda acústica por el efecto termoacústico. En particular, explicó las condiciones para la generación de sonido en el tubo de Sondhauss, las cuales son: ‘‘ ... lfheat be given to the air at the moment of greatest condensation, or be taken fvom it at the moment of greatest rarefaction, the vibration is encouraged”.2
Rott et al. (1969, 1973, 1975, 1976) establecieron los fundamentos teóricos para la teoría termoacústica que fueron validados experimentalmente primero por Merkli y Thomann (1.975), después por Yazaki et a1.(1980), y posteriormente por Muller y Lang (1985) y Hofler (1988).
“Si en el momento de mayor condensación se le suministra calor al aire, o si en el momento de mayor rarefacción se extrae calor de él, se estimula la vibración.”
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INTROOUCCIÓN
En Huelsz (1996) y Huelsz y Ramos (1999) se demostró teórica y experimentalmente la explicación dada por Rayleigh a la generación o atenuación de las oscilaciones acústicas por el efecto termoacústico.
Rivera-Alvarez y Chejne (2001) presentaron un análisis de estabilidad de las máquinas termoacústicas con fundamento en la teona de estabilidad (Glansdorff y Prigogine, 1971; Nicolis y Prigogine, 1977 y Nicolis, 1995), considerando al fluido un gas ideal. La estrategia consistió en considerar a la perturbación de presión y velocidad como función de las coordenadas axial y transversal al ducto y del tiempo. En contraste, la perturbación de la temperatura se consideró dependiente sólo de la coordenada transversal y el tiempo. Ramos y Huelsz (2001) extendieron este análisis considerando la expresión general de la densidad como una función de la presión y temperatura. El análisis se hizo para un resonador de un cuarto de longitud de onda con líquido como fluido de trabajo.
1.2.3. Motor termoacústico
La idea que abrió la posibilidad de utilizar el efecto termoacústico en motores fue dada por Carter et ai. en 1962 (Swift, 1988b). El efecto termoacústico como ya se mencionó, se lleva a cabo en la capa límite térmica, por lo que ellos propusieron aumentar el área de contacto entre las paredes sólidas donde se tiene el gradiente de temperatura y el fluido. Para ello colocaron estructuras tales como un apilamiento de placas, denominado stack. Además, estos autores propusieron el tuso del efecto termoacústico para producir oscilaciones acústicas en un fluido contenido en un tubo que es acoplado a un generador magnetohidrodinámico (MHD), para producir corriente eléctrica alterna. El primero en construir motores termoacústicos fue Feldman en 1966. Sin embargo, SU
motor más eficiente produjo 27 W de potencia acústica usando 600 W de calor, i. e. eficiencia del 4.5 %.
Wheatley et al. (1983a, 1983b, 1985a,1985b) iniciaron investigaciones sobre máquinas termoacústicas en el Laboratorio Nacional de los Álamos. Actualmente este grupo es el líder mundial en este campo.
Swift et ai. (1985) desarrollaron una teoría basada en los trabajos de Rott (1969, 1980) y la aplicaron al diseño de un motor termoacústico funcionando con sodio líquido. Swift (1988a) reportó los resultados de sus experimentos en este motor termoacústico de sodio líquido. La estructura interna consistió en un apilamiento de placas paralelas de molibdeno, en cuyos extremos se encontraban los intercambiadores de calor formados por tubos. Los resultados experimentales difirieron cuantitativamente de los resultados numéricos basados en la teoría presentada antes por Swift et al. (1985). En la mayor amplitud acústica conseguida, el motor produjo 18 W de potencia acústica con 990 W de calor, con una eficiencia del 1.8 YO. Esto se obtuvo con una diferencia de temperatura a 10 largo de la estructura interna de 360 K. Los autores propusieron el acoplamiento de su motor a un transductor magnetohidrodinámico, el cual aprovecha el movimiento del metal líquido (alta conductividad eléctrica) en presencia de un campo magnético, para generar potencia eléctrica. Este dispositivo es conocido como generador MHD por efecto termoacústico.
Swift y Fusco (1988) indicaron la posibilidad de utilizar agua de mar como fluido de trabajo en el generador MHD por efecto termoacústico. Sin embargo, hasta la fecha no se han realizado
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INTRODlJCCidN
experimentos al respecto. Debido a las estrictas medidas de seguridad de ese laboratorio, este grupo no continuó la investigación sobre el motor termoacústico con metales líquidos (Swift 1996).
Gabrielson (1991) propuso el uso de un motor termoacústico como fuente acústica submarina. Como resultado del análisis teórico que realizó, encontró que una fuente submarina con un motor temoacústico puede alcanzar más potencia si el resonador es llenado con gas en vez de líquido. Además, que la potencia radiada está en función de la geometría del resonador para 'un valor determinado de la amplitud máxima de presión media en el fluido que está conteniiio en el resonador.
Ward et al. 199 1 analizaron teóricamente el funcionamiento de motores termoacústicos de 1 MW de potencia acústica operando con una mezcla de helio y xenón, con helio puro o con una mezcla eutéctica de sodio y potasio (NaK-78) como fluido de trabajo. Con la estructura intema formada por un conjunto de placas planas paralelas. De los resultados obtenidos a través de la solución numérica a la ecuación de onda para la presión, consideraron que los motores termoacústicos son técnicamente viables utilizando estos fluidos de trabajo, con eficiencias satisfactorias (cercanas al 20 %).
Amott et al. (1992) reportaron la medición de la impedancia acústica en un motor termoacústico como función de la diferencia de temperaturas entre los intercambiadores. El motor está formado por un resonador de un cuarto de longitud de onda con aire como fluido de trabajo, capaz de generar sonido con una diferencia de temperatura mayor de 176 K. Encontraron que la parte real de la impedancia cambia de signo para diferencias de temperatura suficientemente grandes, indicando la posibilidad de producir sonido. En otro artículo Amoti (1992) propuso un motor termoacústico con ondas radiales con posible aplicación en un espectrómetro fotoacústico mejorado termoacústicamente.
Swift (1992) realizó y analizó las mediciones hechas a un motor termoacústico con un diámetro de 0.13 m y 4.32 m de longitud, utiliza helio como fluido de trabajo. La máquina entrega 630 W a una carga acústica con una eficiencia de 9 YO para una presión media de 13.8 bar.
Luck y Trepp (1992b) propusieron un motor termoacústico en forma radial, con un apilahiento de placas en forma de anillo, el intercambiador frío en la zona central, en la zona periféiica el intercambiador caliente y un pistón en la zona superior central. Modelaron el gas contenido en el sistema como un resorte ideal y usaron una solución a la ecuación de onda de Rott (1969). Las predicciones teóricas sobre la potencia y la presión concordaron sólo cualitativamente con 10s resultados experimentales (Luck y Trepp 1992a).
Atchley et al. (1992) reportan resultados teóricos y experimentales de la frecuencia como función de la presión media del gas (helio y argón) y el gradiente de temperatura que se establecejen la zona activa de un oscilador. El rango del gradiente de temperatura comprende desde un valor de cero hasta el valor necesario para producir y mantener las oscilaciones termoacústicas de las variables termodinámicas. Las mediciones de la presión media del gas, fueron en un rango de 170-500 kPa. Los resultados teóricos son explicados con base a una técnica usada en medios porosos. En ese mismo año, Atchley (1992) presentó los resultados teóricos con base al análisis
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INTRODUCCIbN
de onda estacionaria motivada por Swift (I 988b) comparándolos con los valores experimentales del trabajo anterior.
Ward Y Swift (1994) presentaron un programa (DELTAE) de uso comercial para el diseño de máquinas termoacústicas de baja amplitud. Este programa usa la continuidad de las oscilaciones de Presión, de las oscilaciones de velocidad volumétrica y de temperatura media para aioplar las soluciones de 10s segmentos adyacentes y para modelar la estructura interna usa la ecuación de onda de Swift (1988b).
Atchley y Fan-ming (1994) predicen y miden los límites de estabilidad, para el primer y segundo armónico de la frecuencia de oscilación, empleando el mismo oscilador que se utilizó en un trabajo anterior (Atchley et al. 1992) y también, se obtienen estos límites para ese oscilador con modificaciones para suprimir armónicos.
Amott et al. (1994) también estudiaron teórica y experimentalmente los límites de estabilidad para un oscilador en un rango de presión media del gas (helio) de 143-308 kPa. Este estudio teórico es derivado de la aproximación de máquina pequeña.
Olson y Swift (1995) reportaron mediciones efectuadas en un motor termoacústico con dos estructuras internas en su interior, operando una carga acústica disipativa. El análisis de SU funcionamiento mostró que la potencia suministrada a los calentadores y la temperatura del extremo caliente son funciones de la impedancia de la carga. Las predicciones obtenidas con el programa DELTAE se compararon satisfactoriamente con los resultados experimentales. '
Watanabe et al. (1997) desarrollaron una teoría aproximada para un oscilador termoacústico, basada en un modelo, aproximado, quasi-unidimensional, Este modelo es resultado de un método muy común para el estudio de flujos compresibles no lineales y ondas de choque, el cual consiste en promediar las ecuaciones de conservación sobre una sección transversal del dispositivo. Debido a lo anterior, las novedades de este modelo son: (I) su naturaleza no lineal, (11) su formulación es en el dominio del tiempo, necesaria para el estudio de efectos no lineales; y (111) su capacidad para tomar en cuenta los cambios de la sección transversal del dispositivo, también en el régimen no lineal.
Yuan et al. (1997) adaptaron el método descrito por Watanabe et ai. (1997), en el régimen no lineal; y describen un método numérico confiable para su integración. Realizan, una comparación entre los resultados numéricos y datos experimentales disponibles (Gaitan y Atchley, 1993; Atchley et al., 1992; Atchley, 1994).
Karpov y Properetti (1998) propusieron una descripción aproximada, en el dominio del tiempo, para el desarrollo de la inestabilidad termoacústica; la cual es válida cuando el periodo de la onda estacionaria es mucho más pequeño que el tiempo de crecimiento de la inestabilidad, lo cual se satisface en la mayoría de los casos.
Chen y Garrett (1998) construyeron, instrumentaron y evaluaron, un motor termoacústico con lo que demostraron el uso de la energía solar para generar potencia acústica. La longitud del motor es de 0.4 m y su frecuencia de 40 Hz, aproximadamente.
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INTRODUCClbN
Lotton et al. (1998) derivan una ecuación que describe la estabilización de las oscilaciones en un oscilador termoacústico y encontraron la solución analítica particular de la ecuación, permitiendo evaluar cuando ocurre el efecto no lineal de las ondas acústicas.
Raspet et al. (1998) proporcionan un método aproximado de diferencias finitas de las ecuaciones termoacústicas. Útil para estimar de manera rápida y aproximada, los diseños iniciales de motores y refrigeradores termoacústicos; tanto para ondas estacionarias como ondas viajeras.
Zhou y Matsubara (1998) reportaron mediciones hechas a un oscilador termoacústico, utilizando una malla metálica de cobre, como zona activa. Encontraron que el rendimiento de la zona activa del oscilador, depende principalmente de 6, / rh , donde 6, es la profundidad de penetración térmica y rh es el radio hidráulico. Se obtuvo, experimentalmente, un valor $timo de 6, Ir,, = 0.35.
Backhaus y Swift (1999) construyeron el primer motor termoacústico que 'produce ondas acústicas 'viajeras con una eficiencia de 42 % de la'eficiencia de Camot. En este caso el espaciamiento entre las placas de la estructura (stack) debe ser más pequeño que en motores que producen ondas estacionarias.
Belcher et al. (1999) encontraron que los mejores gases para refrigeradores termoacústicos tienen altos valores de la relación de calores específicos y bajo nUmero.de Prandtl. Estas propiedades se pueden optimizar mediante la mezcla de gases nobles ligeros y pesados, mostrando que la'mezcla de un gas noble ligero con uno de gas pesado poliatómico puede resultar un útil gas de trabajo. También, demuestran que el gas con un número grande de Prandtl y un valor pequeñb de la relación de calores específicos minimiza la diferencia de temperatura en la zona activa de un motor. termoacústico para iniciar la oscilación acústica, sin embargo existe un compromiso entre la reducción del gradiente de temperatura crítico en la zona activa y la máquina completa,' donde un número de Prandtl bajo y un alto valor de la razón de calores específicos son deseables. "
Lightfoot et al. (1999) realizaron un estudio experimental de un oscilador de ondas acusticas radiales. El estudio experimental consistió en medir la diferencia de temperatura necesaria para iniciar las ondas acústicas y compararla con las predicciones teóricas, considerando, en el primer modelo, que el tamaño del poro es uniforme y que existe la continuidad de temperatura entre la zona activa y los intercambiadores de calor (caso ideal). En un segundo modelo, se toma en cuenta que el tamaño de poro no es uniforme y que existen discontinuidades de temperatura en los intercambiadores de calor como sucede con el dispositivo experimental.
En el año 2000 se desarrollaron dos refrigeradores termoacústicos, acoplados cada uno,, a un oscilador termoacústico solar. El primer refrigerador funciona con energía solar y fue construido por Adeff y Hofler (2000), en el extremo caliente de la zona activa (carbón vítreo reticulado) del motor se obtiene una temperatura de 550 "C. La temperatura en el extremo caliente del refrigerador va de 18 a 30 "C, con una temperatura en el extremo frío de O "C. El otro refrigerador fue fabricado por Chen y Garrett (2000), produce de 10 hasta 60 W de potencia de enfriamiento con potencia térmica de entrada de 150 hasta 600 W con eficiencias de 6.6 % a 10.0 %. Este último valor se obtiene cuando se concentra la energía solar en un disco parabólico, se hace incidir sobre un extremo de la zona activa (cerámica) del oscilador durante 3 horas.
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NTRODUCCdN
Delbende (2000) presenta un modelo numérico que simula el desarrollo de la inestabilidad en un motor termoacústico. Éste se basa en la discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido compresible en dos dimensiones. Se considera que el gas, inicialmente, está en reposo y se impone un gradiente de temperatura longitudinal, obteniendo el inicio de la inestabilidad del motor como función de varios parámetros (principalmente, magnitud del gradiente de temperatura y presión media). Bretagne et al. (2000) reportan resultados experimentales de la estabilidad del motor para diferentes valores de presión media, entre 0.5 y 10 bars. Estos resultados fueron comparados con las predicciones del modelo teórico basado en la teoría de Rott, encontrando solamente una buena concordancia con la teoría para valores mayores a 2 bars de presión media.
Karpov y Prosperetti (2000) proponen una teoría no lineal, donde las no linealidades son relativamente pequeñas (weakly nonlinear íheory). Las expresiones que derivaron, simulan el crecimiento inicial de la inestabilidad, la evolución no lineal y la saturación final; debido a que las oscilaciones termodinámicas se expanden hasta cuarto orden.
Liu et al. (2001), evaluaron un motor construido por Swifi que opera a 20 bars con helio, entrega 160 W a la carga acústica con una entrada de potencia térmica de 2760 W, resultando una eficiencia de 5.8 %, y produciendo 655 'C de temperatura en el extremo caliente. En el rango de 348 hasta 2773 W de la entrada de potencia térmica, se midió la amplitud de la oscilación de presión, la cual concuerda con lo estimado por el programa DELTAE, con una diferencia menor al 12 %. Este motor fue unido a un motodgenerador electrodinámico, modelo B-300 CFIC, para explorar la factibilidad de regeneración y cogeneración de energía.
Qiu y Chen (2001) encuentran experimentalmente el factor óptimo de empacmiento de una malla metálica (cobre) para formar la zona activa del motor. Este oscilador se acopla a un refrigerador de pulso, obteniendo temperaturas tan bajas como 138 K y 196 K, empleando helio y nitrógeno, respectivamente.
1.2.4. Desarrollos comerciales
En la década de los noventas, empieza el interés de compañías en el desarrollo de máquinas termoacústicas.
El primer dispositivo fue un refrigerador de uso doméstico construido por el Consejo para la Investigación Científica e Industrial de la República de Sudáfrica. Este dispositivo está basado en uno diseñado por Garrett et al. (1992) y está formado por un resonador simétrico, de media longitud de onda, dos bocinas modificadas en ambos extremos, dos zonas activas y cuatro intercambiadores de calor. El fluido de trabajo es neón, opera con una frecuencia de 120 Hz y con una presión media de 15 bars.
Ford Motor Company en 1993 (Murrell y Mozurkewich 1993), desarrolla el primer refngerador que produce más de 100 W de enfriamiento. El refrigerador se compone de un resonador de un cuarto de longitud de onda y una bocina comercial con un diámetro de 0.25 m. La bocina está colocada en el antinodo de velocidad. De este modo, la potencia acústica se entrega con una pequeña amplitud de la oscilación de presión y un gran desplazamiento volumétrico
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INTROOUCCIÓN
Tektronix (Godshalk et al. 1996) construyó motor termoacústico para accionar un refrigerador criogénico que se emplea para enfriar componentes electrónicos a temperatura criogénica, Entrega una Potencia acústica de 500 W generada por dos motores termoacústicos i con una eficiencia de 23 % de la eficiencia de Carnot y enfria a 150 K. ~1 fluido de trabajo es helio a 30 atmósferas y opera a 350 Hz.
(swift 1997) ConsmiYÓ un motor termoacústico para operar un refrigerador de pulso, la fuente de calor para el motor es la combustión de gas natural. Este refrigerador suministra 2000 W de potencia de refrigeración con un coeficiente de C m o t de 23 % (COPC,,,,,,). El fluido de trabajo del oscilador fue helio a una presión media de 30 atmósferas y 40 Hz de frecuencia. El refrigerador fue construido para la licuefacción de gas natural (metano) a 120 K.
De esta revisión bibliográfica se encontró que existen estudios que demuestran la factibilidad de emplear energía solar como fuente de calor para el motor termoacústico (Adeff y Hofler 2000, Chen y Garret 2000), sin embargo no existen estudios que caractericen las condiciones de operación del motor termoacústico cuando la variable independiente es el calor suministrado, lo que se presenta en el caso de que la fuente de calor sea la energía solar. Por eso, en estaltesis se presenta una investigación teórico-experimental que servirá para el desarrollo de los motores termoacústicos que eventualmente se puedan acoplar en un refrigerador solar-termoacústico o a un generador eléctrico solar-termoacústico-magnetohidrodinámico.
1.3. Objetivos
Con base a la revisión bibliográfica, este trabajo tiene como objetivo principal el diseño, construcción y caracterización de un motor termoacústico que funciona con una fuente de calor y que genera ondas acústicas estacionarias.
El diseño y la consmicción del motor se realizarán considerando la revisión bibliográfica. La caracterización consistirá en evaluar las condiciones para generar ondas acústicas y en determinar experimentalmente la posición óptima de la zona activa. En estos experimentos el flujo de calor (suministrado por una resistencia eléctrica, en el extremo de la zona activa cercano al antinodo de presión) será la variable independiente.
Los objetivos específicos son: o
o
Desarrollo de un código numérico basado en la teoría lineal termoacústica para ser utilizado como guía de diseño de motores termoacústicos. Validación los resultados del código con los resultados experimentales. Comparación del valor del gradiente de temperatura media crítica (VT,,,,, ) predicho por el
análisis de estabilidad lineal propuesto por Rivera-Álvarez y Chejne (2001) con resuitados experimentales.
En el segundo capítulo se presenta la teoría lineal que permite calcular analíticamente la potencia acústica por'efecto temoacústico. Esta teoría se basa en los trabajos de Rott (1969,1980) y de Swift (1988b). También se presenta la derivación completa del promedio temporal de la producción de potencia acústica a segundo orden, la cual está basada en el trabajo de Huelsz y
O 4 - O 9 3 Oi , 1 1
'I .- - .
INTROOUCCION
Ramos (1988a). Además, se Presentan cuatro modelos que predicen el valor del gradiente de temperatura media crítica, propuestos por Rivera-Álvarez y Chejne (2001). La estrategia para el diseño y los algoritmos de los programas de cómputo, basados en el trabajo de Swift (i992), se desarrollan en el tercer capítulo. En el cuarto capítulo se describen las mediciones preliminares realizadas en un motor termoacústico que funciona con nitrógeno líquido (OSTA2) y en un pequeño motor termoacÚstico que funciona con una resistencia eléctrica (OSTA3). Se presenta el diseño del motor (OSTA4) sobre el cual se realizaron los experimentos de estas tesis, que también funciona con una resistencia eléctrica. Asimismo, se describe la instrumentación y el sistema de adquisición de datos empleados. Se muestran los experimentos y los resultados obtenidos con OSTA4. En el quinto capítulo se realiza la comparación de los resultados experimentales de esta investigación con los resultados numéricos y se efectúa un análisis de los mismos. En este capítulo también se muestran los resultados de los modelos de estabilidad aplicados al OSTA4 y a otros motores reportados en la literatura, y se comparan con el respectivo valor de VT,,,,,,, obtenido experimentalmente. En el sexto capítulo se presentan las conclusiones generales de esta tesis. Finalmente se incluyen dos apéndices. En el apéndice A, se presentan las propiedades fisicas del aire como función de la presión y de la temperatura, utilizadas en el código numérico. En el apéndice B se presenta el proceso de calibración del micrófdho y el sistema generador de ondas acústicas empleado para dicho fin. Asimismo se presenta la curva de calibración del ternistor usado para la medición de la temperatura de la tarjeta de conexión donde se conectan los termopares tipo T. En el apéndice C se describen los métodos usad& para calcular las incertidumbres de los resultados expenmentales.
" 12
............ ................ ii - _ _ -.
MODELO TE6RlCO BIDIMENSIONAL
2. MODELO TEÓRICO BIDIMENSIONAL
Aquí se presenta la teoría lineal termoacústica basada en los trabajos de Rott (1969,1980) y de Swift (1988b), que permite calcular analíticamente la producción de potencia acústica por efecto termoacústico. Para lograr este objetivo, se parte de las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y de energía térmica, en la descripción euleriana, expresadas en un sistema de coordenadas cartesiano.
Esta teoría considera la existencia de una onda acústica monocromática de frecuencia angular w en un fluido compresible, sin flujo medio, con un gradiente de temperatura media en la dirección x e independiente de la dirección y. El fluido está en contacto con varias placas paralelas a la dirección de propagación de la onda; estas placas poseen el mismo gradiente axial de temperatura media que el fluido, una capacidad calorifica finita y se consideran infinitas en la dirección z. En la Figura 2.1 se muestra la geometría de las placas paralelas (stack) del sistema físico en estudio.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : * 2YO 2 , $..
. .~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z k// ................... t---l-
A x
( 4
fluido
fluido vTm . , Dirección de la sólido onda acústica I sblidn Y’ Y x
fluido Y-x
h i d o
Figura 2.1. Sistema físico de las placas paralelas. (a) Configuración de varias placas, (b) sistema de referencia empleado y (c) Vista ampliada de las placas paralelas, en el plano xy. Cada placa tiene ‘un
espesor 21, y cada capa de fluido tiene un espesor de 2y0. El origen de la coordenada y’se encuentra a la mitad del espesor de la placa y el de la coordenaday a la mitad de la distancia que existe entre las dos placas paralelas. La onda acústica y el gradiente de temperatura media ( V T , ) son paralelos al eje x.
13
- .1. ~ ~
..~ ~ ~ .~ .. . ~ . ..~ .
MODELO TEÓRICO BlDlMENSlONAL
2.1. Ecuaciones gobernantes
Como se SUPUSO que las placas son infinitamente grandes en la dirección z, el problema se reduce a dos dimensiones (plano xy). Además, si se desprecian los efectos de los bordes de la placa y las fuerzas de cuerpo, el sistema bajo estudio se describe con las ecuaciones de balance para un flujo bidimensional, compresible y con propiedades variables (Arpaci y Larsen, 1984).
La ecuación de conservación de masa del fluido para un volumen de control infinitesimal es
en donde p es la densidad del fluido, u y v son las componentes de la velocidad en las direcciones x y y, respectivamente.
A partir de la segunda ley de Newton se deduce la ecuación vectorial de conservación de la cantidad de movimiento para un fluido compresible y viscoso. Además, si se desprecian las fuerzas de cuerpo, se considera el fluido newtoniano (relación lineal entre los esfuerzos 8iscosos y el tensor de rapidez de deformación) y la relación de Stokes (17 = -2 / 3 p ) , se reduce a
donde p es la presión y p es la viscosidad dinámica. Las ecuaciones (2.2) y (2.3) corresponden a las ecuaciones de cantidad de movimiento en la dirección x y en la dirección y, respectivdente.
La ecuación de conservación de energía para el fluido es
donde T es la temperatura, K es la conductividad térmica, c p es el calor especifico a presión constante y p el coeficiente de expansión térmica.
La temperatura en la placa T, es obtenida por la solución de la ecuación de calor
at (2.5)
14
. “1 ._ . ~
.. ~ ~ . ~ - - -
MODELO TE6RICO BIDIMENSIONAL
donde K, = K , lp, c, es la difusividad térmica del sólido, y K , , p,<, y c, son la conductividad térmica, densidad y el calor específico por unidad de masa del sólido, respectivamente.
También se considera la ecuación de estado
donde la densidad se expresa como función de la temperatura y presión. Además, se ha empleado
la definición del coeficiente de expansión térmica p = - -
Las seis ecuaciones (2.1)-(2.6) tienen seis variables. Las ecuaciones de continuidad, de estado y de energía del fluido y del sólido, son cuatro ecuaciones escalares, mientras que las ecuaciones de Navier-Stokes expresan dos ecuaciones escalares. Las seis variables son la presión, temperatura del fluido, temperatura del sólido, densidad y las componentes de velocidad en la dirección x y en la dirección y , esto es, p , T , T,, p, u y v .
La teoría se desarrolla haciendo suposiciones adicionales: El fluido se encuentra en reposo con perturbaciones de las variables dinámicas y termodinámicas. Las variables se expresan como una perturbación de primer orden (@,) sumada al valor medio de la variable respectiva (Q,,,). Los subindices I y ,,, denoth una perturbación de primer orden y una cantidad media, respectivamente
@ ( X > Y , O = Qrn + Ql(X,Y, t ) . (2.8)
Así, la perturbación que se propaga en el fluido compresible como una onda acústica monocromática, se puede expresar como
(2.9)
donde x es la coordenada en la dirección de propagación de la onda, y es la coordenada transversal medida desde la mitad del espesor del fluido (ver fig. 2.1), t es el tiempo, w es la frecuencia angular de la onda e i 3 -&¡. Como es usual, al utilizar la notación compleja, la variable con significado físico es la parte real de la cantidad compleja.
Se considera la aproximación de capa límite. Esto significa que la profundidad de penetración viscosa en el fluido 6, (6, = liz/.;/pmo ) es mucho menor que la longitud de onda A , por lo clue
a v a u a v a u
a x a x a y a y -<<-, V < < U , - <<-, (2.1 O )
~ I - - . . . . - _. __ - . . MODELO TEÓRICO BIDIMENSIONAL
a u a u a x a y
«-. - (2.1 1)
Y que la profundidad de penetración térmica en el fluido 6, (6, = ,/-) es mucho más pequeña que A . Esto implica que el efecto de la conductividad térmica en la dirección x pueda despreciarse, comparado con la conductividad térmica en la dirección y .
Bajo la aproximación de capa límite, las ecuaciones de conservación (Ecuaciones (2.1)-(2.5)) se expresan como
Ecuación de continuidad
Ecuación de cantidad de movimiento en la dirección n
p !?! a t + p ( u + v$) = -2 + &(,u E)
(2.12)
(2.13)
Ecuación de cantidad de movimiento en la dirección y
I (2.14) - = O . a P a y
Ecuación de energía
(E + u + VE) - p T( $ + u 2) = &( K E) + ,L4 (ay)'. (2.15) a t a x a y
Ecuación de energía para la placa a2T,
-- -IC-- aTS
a t a y 2 ' (2.16)
En esta ecuación se consideró que (a2Ts /ax2)/ (a2TS / a y t 2 ) = K~ / w X 2 << 1, sabiendo que a l a x esdelordende 1/X y a / d y esdelordende 1/6,,donde X = A / 2 7 r y 6, =,/-.
Estas ecuaciones linealizadas, i.e. despreciando términos de segundo orden y considerando la forma de las perturbaciones de primer orden (ecuación (2.8)), se expresan como sigue:
Ecuación de conservación de masa
(2.17)
" 16
"1 ~~- - - _ - _ _ ~.
MODELO TEÓRICO BIDIMENSIONAL
Ecuación de conservación de cantidad de movimiento en la dirección x
a2u, +P- rwp u =-- dP1
d x a v 2 ' m l ,
en esta ecuación se ha despreciado la dependencia de la viscosidad con la temperatura.
Ecuación de conservación de cantidad de movimiento en la dirección y
!!Lo a y
Ecuación de energía para el fluido a2r,
d x a y - i w T , P p , = K - , .
Ecuación de energía para la placa
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
También, la ecuación de estado se expresa como
donde y es la relación de calores específicos y a es la velocidad del sonido, válida para gas ideal.
La linealización y el hecho que p i no dependa de y (ecuación(2.19)), desacoplan el conjunto anterior de ecuaciones (Ecuaciones (2.17)-(2.22)). De esta manera, la ecuación (2.18) se desacopla de las ecuaciones (2.17), (2.19), (2.20) y (2.22), su solución se obtiene en términos de la oscilación de presión.
Las condiciones de frontera requeridas para resolver las ecuaciones (2.16)-(2.19) son:
Pi = - P m P T , + G . / a 2 ) P l > (2.22)
U J = V I [ = o , Y=Y. Y'Y,
(2.23)
(condición de no deslizamiento) (condición de simetría)
K (a T, a = -K , (a T,, / a y ' ] I , (2.24) Tl(YO) = Tsl(z) = rbl
(condición de continuidad de temperatura) (condición de continuidad de flujo de calor)
(2.25)
(condición de simetría),
Resolviendo la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x (Ecuación (2.18)) sujeta a las condiciones de frontera expresadas en la ecuación (2.23), se tiene la siguiente solución
17
MODELO TE6RICO BlDIMENSlONAL
i d p , (I- ~osh[ ( l+ i )y l6~] cosh[(l + i)yo /CY,]
UI =-- 0 P m d x
Esta expresión denota la perturbación de velocidad u1 en términos de p i .
(2.26)
La perturbación de temperatura en la placa sólida se determina usando la ecuación de conservación de energía en la placa (ecuación (2.21)) junto con las condiciones de frontera escritas en las ecuaciones (2.24) y (2.25), donde c, es la amplitud de la temperatufa en la frontera y' = I (interfase sólido-fluido), aún indeterminada. La solución se exuresa como
(2.27)
donde 6,$ = es la profundidad de penetración térmica en el sólido
La perturbación de temperatura en el fluido se obtiene sustituyendo la ecuación (2.26) para uI y se resuelve la ecuación (2.20) considerando las condiciones de frontera representada en la ecuación (2.24). El resultado es
P m c p Pi -__ P m a= *(l- ( ( ~ - l ) c o s h [ ( l + l ) y ~ / ~ ~ , ] T, P r, =-
1
P m c p (0 - 1) P, (2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
6, = -J2K!w es la profundidad de penetración térmica en el fluido y K = K / p, cp es su difusividad térmica. También, Ti está expresada en términos de pi .
La amplitud de la temperatura en la frontera, T6,, se obtiene al evaluar T, en y = y,.
2.2. Ecuación de onda para la presión
Se derivará la ecuación de onda para la presión pi (x) considerando la ecuación de continuidad (ecuación (2.17)) y la ecuación de conservación de movimiento (ecuación (2.18)), utilizando en ambas la ecuación de estado (ecuación (2.22)) y las soluciones para u, (ecuación (2.26)) y
18
I1 ”I
MODELO TEÚRICO BIDIMENSIONAL
(ecuación (2.28)). Combinando la ecuación (2.17) con la derivada con respecto a x de la ecuación (2.18), resulta
Substituyendo la ecuación (2.22) en la ecuación (2.32) se transforma en
(2.32)
’ (2.33)
Utilizando las ecuaciones (2.26) y (2.28) para uI y Ti, la ecuación (2.33) puede ser integrada con respecto a y desde O hasta yo para obtener un ecuación diferencial para p i como una función de x solamente. El resultado de la integración es
Esta es una ecuación diferencial ordinaria para la amplitud de la presión acústica compleja p i (x) en términos de la distribución media de la temperatura T, (x) y de las propiedades termofisicas del fluido y geometría del sólido. Una vez que pi ha sido determinado, las otras cantidades uI , Ti, pi y vi son fáciles de obtener de las ecuaciones (2.26), (2.28), (2.22) y (2.17), respectivamente.
En ausencia del gradiente de temperatura ( d T, / d x = O), situación que se presenta en la sección caliente o fría del oscilador termoacústico, la ecuación (2.34) se reduce a
(2.35)
La solución es
donde p i = cI exp(ik,x) + c2 exp(-ik,x) , (2.36)
CI = 2 * exp(-ik,x,) ’
PI, cz =
2 * exp(ik,x,) ’
(2.37)
(2.38)
(2.39)
19
MODELO TEORICO BlDlMENSlONAL
y x puede tomar valores determinados de la longitud axial del tubo resonador; es decir, O 5 x I L, mientras que
d x lxso 2 a2 (2.40)
donde Pa es la amplitud de la oscilación de presión en el extremo cerrado de la zona caliente del motor (antinodo de presión); considerando que, para el conjunto de ecuaciones (2.35)-(2.40), el origen del eje axial del oscilador termoacústico ( x = O ) se localiza en el extremo cerrado. En la deducción de la ecuación (2.40), a partir de la ecuación (2.35), se toma en cuenta la absofción de la onda acústica mediante la profundidad de penetración térmica en el extremo cerrado, donde existe disipación térmica y no hay disipación viscosa ( u , = O).
Ahora, si se desprecia la disipación viscosa ( uI = O ) y térmica ( f, = f k = O ), suposición válida lejos de la capa limite oscilatoria viscosa y térmica, la ecuación (2.35) se transforma en
d 2 p l w2 dx' a
--+2p, = o , (2.41)
conocida como ecuación de onda.
2.3. Ecuación de flujo de entalpía
Ahora, se deriva una expresión promediada en el tiempo, para el flujo de energía total que se presenta en la dirección x de la zona activa y en estado estacionario, considerando que no existe flujo de calor en las direcciones y y z. Además se toman en cuenta los términos de segundo orden v el oroducto de dos cantidades de primer orden. Para derivar dicha expresión, utilizakos la & a h n general que describe el flujode energía total (Landau et al., 1986)-
- v . r ' - K V T , at 2 1 (2.42)
donde E es la energía interna por unidad de masa, h es la entalpía por unidad de masa y z' es el tensor de los esfuerzos cortantes con componentes (Landau et al., 1986):
(2.43)
donde 7 es el segundo coeficiente de viscosidad y 6, es la delta de Kronecker.
En los dos términos del lado izquierdo de la ecuación (2.42), el primero expresa la energía cinética y el segundo la energía interna. Estos términos se omiten por considerarse &stado estacionario y los términos que tienen el producto v v 2 , se desprecian porque son de tercer orden. De este modo, al promediar en el tiempo la ecuación (2.42), se tiene
(2.44)
Iim - jA'( )dt .
V . [ (p v h) - ( Y .z') - (K VT)]=O , 1
donde ( ) denota el promedio en el tiempo de la variable, definido como ( ) A r + m A t O
20
4 1
MODELO TE6RICO BIDIMENSIONAL
Debido a que el flujo de energía es sólo en la dirección x, la ecuación (2.44) se reduce a
(pu l (2.45)
Para obtener el flujo total de energía por unidad de perímetro a lo largo de x, se integra la cantidad dentro de los paréntesis cuadrados de la ecuación (2.45) sobre el plano y-z, de esta manera se obtiene
d x
d x la cantidad dentro de los paréntesis cuadrados es el flujo de energía promediada en el tiempo por unidad de perímetro a lo largo de x y es igual a una constante; por consiguiente, la ecuación anterior se puede expresar como
donde Il es el perímetro de la placa y H es el flujo de energía total.
Ahora, si las amplitudes de las variables acústicas se expanden a segundo orden, la primera integral de la ecuación (2.47) se transforma en
u1 exp(iw 1) h) dy = [i, (u, exp(iw t)) h, + p, (u2 exp(i2w t ) ) h,
+ ( (pi u I ) exp(iw I ) ) h, + P, ((ul hl )exp(iw t))Idy, (2.48)
el primer término de la integral de la ecuación (2.48) es cero porque ( u l ) = O , el segundo y el tercer término son cero, debido a que el flujo de masa promediada en el tiempo es cero a segundo orden; por lo tanto, la ecuación (2.48) se reduce a
(2.49)
la tilde - denota conjugación compleja. Utilizando las siguientes relaciones termodinámicas donde s es la entropía por unidad de masa del sistema
(2.50) 1 1 dh = T ds + ~ dp = cp dT + -0- P T ) d p , P P
ds = (cp / T ) d T - @ / p ) d p , (2.51)
la ecuación (2.49) resulta
Sólo los términos de orden cero de la segunda y tercera integral de la ecuación (2.47) son significativos, por lo que:
"""I, *' CENIOET (F&TRO DE INFORMACION
MODELO TE6RlCO BlDlMENSlONAL
d Tm (2.53) -$ d T :: ( K z ) d y - ( K , - ) d y ' z - ( y o K + I K , ) - .
dx
Considerando la aproximación de capa límite y recordando que d i d x es del orden de 1 / k , en la última integral de la ecuación (2.47) se observa que los términos más grandes son del orden y o p u: / X ; pero ( p u, exp(iw t ) h) es del orden de pi uI z p m a u: . Haciendo una comparación, se obtiene que
(2.54)
por lo que se deduce que el término debido a los esfuerzos viscosos en la dirección x, es despreciable. En esta ecuación se uso la relación X = ,I / 2~ = a / w .
Por consiguiente, se puede escribir la ecuación (2.47) como
recordando que el subíndice sobre 17, es el flujo de energía que considera las cantidades acústicas de segundo orden. Además, se nota que el flujo de calor al sistema, con presión y números de moles constantes, se transforma en un flujo de entalpía. Ahora, se substituyen los resultados de la amplitud de la oscilación de temperatura y velocidad, ecuación (2.26) y ecuación (2.28), transformándose la ecuación (2.55) en
c ~ c o s h [ ( l + l ) y / S , ] dTm d p , *[*- (Q - l)cosh[(l+ I) y o /8,] I-- d x d x -- *2 - n P m c p
cosh[(i - i ) y / S , ] +(l-T,p); *[L$(l- Prn cosh[(~ - i)yo / S, ]
(2.56)
Finalmente, después de realizar las integraciones de la ecuación (2.56) y de simplificar los términos resultantes, el flujo de energía se reduce a
22
*I.
MODELO TE6RICO BlDlMENSlONAL
(1 + 6s )(I + 0) H2 =
(2.57)
Este resultado es el flujo de energía en la dirección x , compuesto por un flujo de calor que resulta del movimiento del fluido (flujo hidrodinámico de calor) y por el flujo de calor debido a la conducción de calor en la placa y en el fluido. Se observa que la ecuación anterior está en términos de la distribución media de la temperatura T, ( x ) , de la distribución de la amplitud de oscilación de presión pi (x) y de las propiedades termofísicas del fluido y geometría del sólido.
La ecuación de onda de presión (ecuación (2.34)) y la ecuación de flujo de energía (ecuación (2.57)) son los resultados principales de esta teoría lineal termoacústica. Estas ecuaciones contienen tres ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden en las vqiables T, (x ) , Re [pi ( x ) ] e Im [p, ( x ) ] . Ahora, haciendo
+ 2 ~ ~ p ~ ( I - 0 ) d x d x d x
-n (YO K + l K s ) ~ . d Tm
d Pi Px =x’ i(2.58)
el conjunto de ecuaciones (ecuación (2.34), (2.57) y (2.58)) se puede transformar en un conjunto de cinco ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden con las variables T,(x), Re [P,(x)L Im [pi ( x ) l Re[p,(x)] e Im [P , (x ) ] ; considerando a H , como parámetro inicial.
La solución de este conjunto de ecuaciones lineales se puede obtener mediante la integración numérica, empleando el método de Runge-Kutta de cuarto orden; iniciando en el extremo caliente de la zona activa. Para obtener dicha solución numérica, la ecuación (2.34) se transforma en una ecuación diferencial de primer orden en términos de p x (ecuación (2.58))
donde
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
23
. .#(L
MODELO TEÓRICO BlDlMENSlONAL
La ecuación (2.57), en términos de p x , se expresa como
donde
(2.63)
(2.64)
(2.65)
es el flujo de energía por unidad de área.
En la siguiente sección se deduce la expresión para la producción de potencia termoacústica.
2.4. Ecuación de producción de potencia acústica
Ahora, se presenta una derivación completa del promedio temporal de la producción de potencia acústica a segundo orden, la cual está basada en el trabajo de Huelsz y Ramos (1998a).
Recordando, de termodinámica, el trabajo dw hecho por una parcela infinitesimal de fluido de volumen ak dy dz ( V ) cuando se expande a un volumen dx dy dz + dV ( V + dV ) es expresado por (Callen 1960)
P P
hy = p d V = -- V d p . (2.66)
Así, la potencia por unidad de volumen desarrollada por el fluido conforme se expande es
La ecuación anterior es válida en la descripción lagrangiana, por lo que se necesita transformarse a la descripción euleriana para evaluar la potencia en el volumen de control. Esto se’llogra mediante la relación de derivada total en dos dimensiones
(2.67)
De esta manera, la potencia hecha por el fluido por unidad de volumen se transforma en
24
~ I1 .,. MODELO TEÓRICO BlOIMENSlONAL
p iap ap ~(x,y,z,t)=-- - + u - + v - .
P a t ax av (2.68) - I
AI promediar en el tiempo e integrarla sobre el volumen de control, la ecuación anterior se expresa como
(2.69)
Por definición, un valor positivo de la potencia total promediada en el tiempo indica que es potencia hecha por el fluido contenido en el volumen de control hacia los alrededores, es decir, el sistema produce potencia acústica.
Ahora, las variables acústicas de la ecuación (2.69) se expanden a segundo orden, obteniendo
(2.70)
donde el denominador del primer factor de la ecuación anterior, lo podemos descomponer en
factores; de este modo, el denominador es pm , en el cual se puede expresar como
un caso especial de la serie binomial (Spiegel, 1980) (1 + x)-1 = 1 - x + o(x2) donde - 1 < X < 1 . (2.71)
Así, la ecuación (2.70) se puede modificar a
Realizando los productos hasta segundo orden y tomando en cuenta que pm depende únicamente de la posición x, la ecuación (2.72) se transforma en
(2.73)
u 25
1 MODELO TEÓRICO BIDIMENSIONAL
En la ecuación anterior no se encuentran términos de orden cero y el resultado es la potencia total promediada en el tiempo, considerada una cantidad de segundo orden. Obsérvese" que los términos primero y segundo, se anulan porque el promedio temporal de una variable de primer orden es cero.
Nuevamente, retomamos la ecuación de continuidad a primer orden aPl a - + - (P,., )+ Pm - = o 3
at ax ?Y Pi Pm
la cual se multiplica por p m - y se promedia en el tiempo, obteniendo
(2.74)
(2.75)
Esta expresión se sustituye en la ecuación (2.73) y se integra sobre z, por consiguiente se tiene
w = -h I[$[ (pm $) + (pm ui g) + (pm u2
(2.76)
Obsérvese que en los términos cuarto y sexto, de la anterior expresión, se puede emplear la siguiente igualdad
(2.77)
además; si se desarrolla el quinto término y se adicionan el segundo y el tercer término de la ecuación (2.76). la ecuación (2.76) se reduce a
(2.78)
Al intercambiar el orden del promedio temporal con la integración espacial en el quinto termino de la ecuación (2.78), resulta que el valor del término es nulo como consecuencia de las condiciones de frontera (ecuación 2.23)
(2.79)
26
I¡
MODELO TEÓRICO BlDlMENSlONAL
La ecuación de continuidad (ecuación (2.12)) a segundo orden
T + Z ( P r n U 2 aP2 8 + P i ~ i ) + P m - + - ( P i ~ , ) = o ~ a v 2 a ? Y +
se promedia en el tiempo e integra en la dirección y , resultando (2.80)
donde se nota que, los términos cuarto y quinto son cero; producto que se obtiene ai sustituir los límites en la integración espacial.
AI sustituir las ecuaciones (2.79) y (2.81) en la ecuación (2.78), ésta toma la forma
W = - A q & [ - JPm P m ( 2 ) d . + J ( P , + ) d Y + m jP’ UI)Q].. ’ (2.82)
Realizando un intercambio del orden de integración en el primer término y recordando que el valor de la presión media es una constante, la ecuación del promedio temporal de la producción acústica se expresa como
Desarrollando el primer término, resulta
(2.84)
La velocidad a segundo orden u2 tiene una parte parcialmente independiente del tiempo y otra que depende del doble de la frecuencia 2w. El promedio temporal de u2 es la parte independiente del tiempo denotado por u2* y es conocido como corrientes estacionarias (acoustic streaming). Este fenómeno se presenta cuando la amplitud axial de primer orden no es pequeña, de tal manera que la amplitud axial de segundo orden no es despreciable por lo que la velocidad promedio ( u 2 ) tampoco io es.
La ecuación (ecuación (2.83)) del promedio temporal de la producción acústica se reduce a
(2.85)
Otra forma de expresar el promedio temporal de la producción acústica, es utilizando la oscilación de la densidad en términos de las oscilaciones de temperatura y presión (ecuación (2.7)). Sustituyendo la ecuación (2.7) en la ecuación (2.85) y tomando en cuenta que el promedio
temporal del término es cero, se transforma en
21
1 "L
MODELO TEÓRICO BlDIMENSlONAL
donde P,,, = es el coeficiente de expansión térmica correspondiente a la P
temperatura media.
Ahora, en la ecuación (2.86), se expresa la perturbación de Ti como se representa en la ecuación (2.8), se obtiene el gradiente de la densidad media en términos del gradiente de la temperatura media y se considera la relación del promedio temporal del producto de dos funciones periódicas; resultando
El primer término de esta expresión representa la producción de potencia debido al defasamiento de la oscilación de temperatura con respecto a la presión. Este defasamiento es causado' por el calor transferido entre el fluido y las fronteras sólidas.
El segundo término es la potencia generada debido al trabajo mecánico realizado por las oscilaciones de velocidad en fase con respecto a la presión y la existencia del gradiente de temperatura.
El tercer término es la producción de potencia debido al trabajo mecánico hecho por las corrientes estacionarias. Para valorar este término, se necesita obtener la solución completa de las ecuaciones de conservación a segundo orden. Aún no se ha desarrollado esta teoría; pero se tiene, de la literatura, algunos casos especiales de las corrientes estacionarias; en uno de ellos, se menciona que para cualquier onda acústica, si se considera la aproximación de máquina pequeña ( A x << A), la diferencia u22/,z - = O por io tanto el tercer término es despreciable. Como en esta tesis se considera la aproximación de máquina pequeña, la producción de potencia termoacústica promediada en el tiempo es expresada con variables de primer orden.
Así, el efecto neto para una posición x y considerando la aproximación de máquina pequeña, se reduce a
(2.88)
2.5. Aproximación de máquina pequeña
En el diseño de osciladores termoacústicos se requiere realizar un diseño preliminar, utilizando la aproximación de máquina pequeña para la zona activa. Esto permite predecir el comportdiento aproximado del motor termoacústico.
i MODELO TEÓRICO BIDIMEWSIONAL
La aproximación de máquina pequeña consiste en considerar la longitud de la zona activa suficientemente pequeña ( L , << A ) de tal manera que no perturba la propagación de la onda estacionaria.
Ahora, si se toma en cuenta que en una onda estacionaria la presión ps y la velocidad us se encuentran desfasadas en el tiempo y el desfasamiento de una con respecto a la otra es por ír / 2 , se puede asumir que pi = ps es real y la velocidad media
(2.89)
es puramente imaginario. La relación del cambio de presión con respecto a x , se obtiene integrando la ecuación (2.26) con respecto a y , cuyo resultado es
(2.90)
se nota que debido a f , esta relación es una cantidad compleja aún cuando us es real.
Se normaliza el gradiente de temperatura media del fluido con respecto al gradiente crítico obtenido al considerar ,u f O ,
de tal manera que
es el gradiente de temperatura normalizado.
Si se considera ai fluido como un gas ideal, se tiene que T, P2 u2 y - l =
(2.91)
(2.92)
(2.93)
Además, si se considera la amplitud local de la oscilación de presión ( pf ) y velocidad (us), de una onda acústica estacionaria monocromática que se propaga en un fluido ideal ( j~ = O ); la
:I
(2.94)
Se sustituyen las ecuaciones (2.89), (2.90) y (2.92) en la ecuación de onda de presión (echción 2.35) y en la ecuación de flujo de energía (ecuación 2.57); además, considerando que 6, << y o , 6, << yo y 6, << I , se obtiene
29
I MODELO TEORICO BlOlMENSlONAL
(2.95)
Y
Estas expresiones para el flujo de entalpía (2.95) y la ecuación de onda de presión (2.96), se utilizan en el programa auxiliar (sección 3.2).
La potencia acústica generada o absorbida en la zona activa es la diferencia entre los dos extremos de dicha zona del promedio temporal de la intensidad acústica
w = n YO lb71 ) m a d a - (PTI )salida 1 (2.97)
(2.98) d - = n y o hw+Iul) X
(2.99)
Por lo que se necesita obtener la derivada d ( P , ) / d x , para ello se sustituye la ecuación (2.90) en el segundo término del lado izquierdo de la ecuación (2.96), expresándose como
y se despeja de la ecuación (2.96). Para obtener la derivada dp, /& , se utiliza la ecuación (2.90). Substituyendo estos resultados en la ecuación (2.99), se tiene
r ~ 1 + - J o ) ( 1 - s , / Y 0 + 6 ~ / 2 ~ 0 )
1 4
W = - r I 6 , A x
1 6JPm("fj2 --ns, Ax 4 1-6, / y o + 6,' /2y; '
(2.101)
El primer término de la ecuación (2.101) puede ser positivo (generación de potencia acústp) o negativo mientras que el segundo y tercer término siempre son negativos por lo que corresponden a la absorción de potencia acústica.
La energía pérdida por unidad de área superficial del resonador se obtiene al considerar el promedio temporal de la potencia acústica absorbida (ecuación (2.101)) dividida por el 'área superficial del resonador, tomando en cuenta que en el resonador y, >> 6, y r = O . Resultando
" 30
MODELO TEÓRICO BlDlMENSlONAL
(2.102)
donde se observa la disipación viscosa (primer término) y la térmica (segundo término). Para obtener la potencia disipada total W,, para un oscilador termoacústico de onda plana de
L, = - , se integra la ecuación (2.102) sobre el área superficial del resonador, además usando a 4
pi = P A sin - = p ; ( x ) , (3 u, = i __ cos - =7u; (x ) , ("1
donde PA es la amplitud de oscilación de presión en el antinodo. Por lo que
(2.103)
(2.104)
(2.105)
R el término - corresponde al extremo cerrado del resonador con un área de d 2 , donde R es
el radio del resonador. En este extremos experimenta sólo pérdida de energía por compresión ya que p s # O y us = O ; siendo proporcional a 6,.
Finalmente, se presenta la potencia acústica radiada hacia el exterior del extremo abierto'de un
resonador L,, = ~ y diámetro pequeño
&e,
a 4
(2.106)
Esta expresión se utiliza en el programa auxiliar (sección 3.2).
2.6. Análisis de estabilidad
Se presentan los resultados de cuatro modelos que permiten evaluar el gradiente crítico de temperatura media ( V Tmerr, ), los cuales se obtienen del análisis de estabilidad propuesto por Rivera-Álvarez y Chejne (2001). Este método considera a las ecuaciones de conservación en forma lineal y una expansión, propuesta en series de Fourier, de las variables termodinámicas que expresan una perturbación de primer orden. En dichas ecuaciones, se supone, para cada &a de las variables, una solución expresada como la multiplicación de una función del tiempo y una función de las coordenadas x y y . Se asume la forma de la función espacial que satisfaga las
condiciones de frontera y la función temporal de la forma e a r , donde a es un número complejo. De tal manera que si Re(a)< O el sistema es estable y si Re(a)> O el sistema es inestable. El valor de V T,,, se obtiene cuando &(a) = O e h ( a ) # O .
I1
MODELO TEÓRICO BIDIMENSJONAL
Las suposiciones generales a los cuatro modelos son: 1. Hay un nodo de presión en el extremo abierto ( x = O ) y un nodo de velocidad en el
extremo cerrado (X=LIps), Por 10 tanto se considera que la longitud del &cilador
termoacústico es L,, = -A . 2. El fluido se comporta como un gas ideal y como un fluido Newtoniano. 3 . La interacción entre el gas y el sólido, no afecta al gradiente de temperatura media. 4. Las componentes y y z de velocidades, se consideran nulas.
1 4
Estas consideraciones se toman en cuenta en las ecuaciones de conservación de masa (ecuación (2.1.)), cantidad de movimiento (ecuación (2.2.)) y energía (ecuación (2.4)), junto con las suposiciones adicionales para cada modelo:
I
2
3
4
1. ,u = O y Ax = O se obtiene VT,, , , 2. ,u = O y Ax # O se obtiene VT,,,, , 3 . ,u # O y Ax = O se obtiene VTmc,,, y 4. ,u # O y Ax # O se obtiene VT,,,,, .
Modelo no. 1. En éste se aplica el análisis de estabilidad a un volumen de control de fluido en la zona activa que se considera de longitud cero, el fluido se supone sin viscosidad y se tiene el simiente resultado
(2.107)
donde n significa el modo de oscilación, así n = 1 para las oscilaciones que corresponden a la fundamental.
Esta ecuación es igual a la que obtuvo Swift (1988b) (ecuación 2.(94)), por un procedimiento diferente. En el modelo de Swift se considera que las oscilaciones son estables y el valor es calculado con base al signo del flujo de calor y del trabajo, separando el comportamiento"de un motor o un refiigerador.
Modelo no. 2. En este caso, el análisis se aplica a toda la zona activa y considerando al fluido sin viscosidad, encontrando que
2 (2.108) VT,,,,, = vTmcleo, * rcr , , , donde
1
n z Ax/4 L, -1)' tan ( n z Ax / 4 L,, )
r . = C I l l
l+G.-l)
(2.109)
n = 1 para el modo fundamental. El valor de T, debe ser evaluado en la mitad de la zona activa ( XS, ).
32
I1 *.
MODELO TEÓRICO BlDlMENSlONAL
Modelo no. 3. Nuevamente, se aplica el análisis a un volumen de control de fluido pero ahora considerando la viscosidad del fluido y se obtiene
(2.110) donde
3 VTmcrt , = VTmcieo/ * r c r r / v ,
(2.1 1 I ) (Y - 1)
donde: p2 c, Tm rr2
2 2 ’ Y = 12 P m Yo
r = - 2Yo L ’
(2.112)
(2.1 13)
rn es modo de oscilación en la dirección y , rn = 1 corresponde al modo fundamental,
Para la mayoría de los casos, el valor de Y es entre lo-’ y comparándolo con el orden de magnitud correspondiente a las variables restantes del último término de la ecuación (2.1 1 I ) , se puede despreciar este término. Además, para valores de r o lo-* y los primeros armónicos, el segundo término de la ecuación (2.111) es aproximadamente a la unidad. Por lo tant;, dicha ecuación se reduce a:
(2.1 14)
En estos resultados se nota que se ha considerado la viscosidad al tener el número de Prandt ( (r ) en las ecuaciones (2.1 11) y (2.1 14). I1
Modelo no. 4. En este último modelo, se aplica el análisis a toda la zona activa y cuenta la viscosidad del fluido para obtener
4 VTmcrii = VTmcieo/ * ‘=rim 3
donde
se toma en
(2.115)
,I
(2.116)
donde n n A x / 4 L,,
tan (nrr Ax/ 4 L,,,) A = (2.117)
Y
li 33
II ..
MODELO TEORICO BIOIMENSIONAL
(2.1 18)
Los resultados experimentales de este trabajo y los que se reportan en la literatura se comparan con los resultados de estos modelos para dichos trabajos, como se describe en la sección 5.2.
34
Y
JI - -.
SOLUCi6N NUMÉRICA
3. SOLUCIÓN NUMÉRICA
En este capítulo se presenta la estrategia y dos algoritmos para la solución numérica de las ecuaciones diferenciales de primer orden descritas en el capítulo 2, utilizando la teoría lineal termoacústica para modelar un motor termoacústico básico, como el que se muestra en la Figura 3.1. En ésta se presenta la notación utilizada para designar las longitudes de las partes que integran el oscilador. En este modelo, se utiliza como zona activa, una estructura de poros cuadrados alineados con el eje del resonador. Además, se considera que los intercambiadores de calor están formados por apilamiento de placas planas.
Intercambiador caliente y fiio
Lh Lc -?iIt?iF-
Lct >I
Zona caliente Zona activa Zona fiía
K Lres
>I Tubo resonador
Figura 3.1. Esquema del oscilador termoacústico. Se presenta la notación utilizada para designar las longitudes de los elementos que conforman al motor.
3.1. Estrategia
Para la solución numérica del modelo teórico se utilizan, en forma sucesiva, dos algo,fitmos propuestos por Swift (1992). Para cada uno de ellos se desarrolló un programa codificado en MatLab.
El primer algoritmo es útil para predecir, de manera aproximada, el comportamiento del oscilador y para obtener estimaciones de los valores de frecuencia, amplitud de la oscilación presión y temperatura caliente, necesarios para el segundo algoritmo. Los resultados de este algoritmo se utilizan como entrada del segundo, por ello, al programa correspondiente se le denomina programa auxiliar.
El segundo algoritmo sirve para evaluar el diseño de un oscilador termoacústico con valores deseados de temperatura de la zona fría ( Tc), la temperatura de la zona caliente ( TH ) y flujo de calor suministrado, por lo cual, al correspondiente programa se le nombra de evaluación.
II 35
" - JL SOLUCIbN NUMERICA
El programa auxiliar usa la aproximación de máquina pequeña para la zona activa (longitud de la zona activa << h); así como continuidad de presión y flujo volumétrico en las uniones de los elementos.
Los parámetros de entrada son: {o Las propiedades físicas del fluido:
densidad media ( p, ), viscosidad dinámica (,u), conductividad térmica ( K ), calor específico a presión constante ( c p ) ,
velocidad del sonido ( a ) .
c
La geometría de la zona activa:
ifi La amplitud de la oscilación de presión en el antinodo (Pa ). <+ La presión media ( p , ). <?: La temperatura de la zona fiía (T,-). ::o Además; se propone un valor inicial para la temperatura de la zona caliente ( TH ).
relación de calores específicos ( y ),
< o La geometría del resonador: longitud del tubo resonador ( Lres ), longitud de la zona caliente (Lhr ), longitud de la zona fría (Let ), radio del resonador ( R ).
longitud del intercambiador de calor caliente ( L h ) y del frío ( L e ) , mitad del espesor del material de las placas paralelas del intercambiador caliente (Ih ) y del frío (IC ), mitad de la separación entre las placas paralelas del intercambiador caliente ( yh) y del intercambiador frío ( yc ).
longitud de la zona activa ( L s ) , mitad del lado del poro cuadrado ( l o ) , mitad del espesor de la pared entre poros de la zona activa ( I ) .
:* .... La geometría de los intercambiadores de calor:
...
LOS parámetros de salidas son: < o Frecuencia (f ). < * <o
Temperatura de la zona caliente ( THcai). Flujo de calor que entra por el intercambiador caliente ( H 2 ) .
El programa de evaluación se basa principalmente en la solución numérica de las dos ecuaciones diferenciales básicas de la teoría lineal termoacústica: la ecuación de onda para la presión (ecuación (2.34)) y la ecuación de flujo de entalpía (ecuación (2.57)). También usa continuidad de presión y flujo volumétrico en las uniones de los elementos.
36 I/
SOLUCIÓN NUMERICA
LOS parametros de entrada son: { o Temperatura de la zona caliente ( TH ). i t Presión media ( p , ).
Amplitud de la oscilación de presión en el antinodo (Pa ). {C: Frecuencia ( f ). { o Flujo de calor que entra por el intercambiador caliente ( H2). { o Geometría del tubo resonador, de los intercambiadores de calor y de la zona activa
(mismas del programa auxiliar). Propiedades físicas del fluido y del material de los elementos del oscilador (mismas del programa auxiliar).
Los parametros de salidas son:
....
3 Temperatura de la zona fría ( Tc), iP Impedancia acústica en el extremo final de la zona fría (Z).
Flujo de potencia acústica ( W,,) como función de la posición axial del resonador,
Además, se elaboró un programa para el cálculo de las propiedades físicas del aire como función de la presión y temperatura. Éste se utiliza tanto en el programa auxiliar como en el programa de evaluación como una subrutina.
3.2. Algoritmos
Se describen los algontmos del programa auxiliar y del programa de evaluación del, motor termoacústico, propuestos por Swift (I 992).
En ambos programas de simulación se considera un sistema de referencia con el eje x sobre el eje longitudinal del oscilador termoacústico. El origen del eje x corresponde a la posición del extremo cerrado del resonador, cercano al extremo caliente de la zona activa. De esta manera, a partir del origen y en el sentido positivo, las partes del motor termoacústico a lo largo del eje x aparecen en el siguiente orden: zona caliente del resonador, intercambiador de calor caliente, zona activa, intercambiador de calor frío y zona fría del resonador. El sistema de uddades utilizado en los dos programas de simulación es el Sistema Internacional.
3.2.1. Programa auxiliar
En el programa auxiliar se considera que se propaga una onda acústica estacionaria sin pérdidas térmicas y viscosas. El algoritmo del programa se divide en ocho pasos:
1" Paso. Se inicia con la introducción de los datos de entrada, mencionados anteriormente. Se procede a calcular la frecuencia de resonancia del tubo resonador, considerando que todo el resonador se encuentra a una temperatura fria, T, I , e ignorando la presencia de los intercdbia-
' Se usa la temperatura de la zona fria, debido a que la compresibilidad del gas es aproximadamente independiente de la temperatura mientras que la inercia depende fuertemente de la temperatura. De esta manera; la frecuencia de resonancia es substancialmente independiente de la temperatura en el antinodo de presión (zona caliente) pero depende de la temperatura en el antinodo de velocidad, que se presenta en la zona fria.
31
/I
SOLUCi6N NUMÉRICA
dores de calor y de la zona activa. Por lo cual la frecuencia se calcula
(3.1) donde a es la velocidad de sonido en el fluido de trabajo. Válida cuando la sección transversal del ducto es uniforme.
f = a (T, ) I 1,
2" Paso. Se obtiene la potencia disipada en el resonador (W,e, = Wd,s de la ecuación (2.105)) y se
calcula / P i ) . También se considera que el resonador se encuentra a una temperatura fría (T,) y se ignora la presencia de los intercambiadores de calor y de la zona activa.
3" Paso. Se obtiene la potencia entregada a la carga ( W,,) y se calcula. W,, / P," . Cuando el motor funciona como fuente de sonido, como estudiado en esta investigación, corresponde a la potencia acústica radiada W,, por lo que se utiliza la ecuación (2.106).
4" Paso. Se propone un valor inicial para la temperatura de la zona caliente ( TH ). Considerando la propagación de la onda estacionaria sin pérdidas, iniciando en el extremo cerrado y empleando continuidad de presión y flujo volumétrico en las uniones de los elementos. Se calculan las amplitudes de las oscilaciones de presión y velocidad, en la mitad de cada intercambiador y de la zona activa. Estos valores se dividen entre la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo, pi / P A y uI / P A . Para estos cálculos se evalúan las propiedades fisicas a la temperatura correspondiente: TH para la zona caliente y el intercambiador de calor caliente, T, para la zona fría e intercambiador frío y (TH + T,) / 2 en la zona activa.
De tal manera que, para cada posición, primero se calcula pi (ecuación (2.36)), después su derivada p x y por último uI (ecuación (2.26)); empezando por el extremo cerrado ( x = O ) y considerando los siguientes valores en los cambios de sección:
En x = O , pi = PA y p x usando la ecuación (2.40). En x = Lht , pi por continuidad de presión y p x por continuidad en flujo volum&rico, esta última condición se transforma en
... !.?.!
: *
donde A , es el área de la sección transversal del ducto que conforma la zona caliente, A , es el área abierta que existe entre las placas paralelas del intercambiador de calor a
TH , (2) está evaluada al final de la zona caliente y ($),ice es evaluada al fdC
inicio del intercambiador. <.?! En x = Lhr + Lh , pi por continuidad de presión y p x por continuidad en :flujo
volumétrico. Ahora, esta última condición toma la siguiente forma
...
(3.3)
38
donde A, es el área abierta de la sección transversal de la zona activa, ( m)ficc está
evaluada al final del intercambiador de calor a T, y [ 2);za es evaluada en el inicio
de la zona activa. En x = Lht + Lh + Ls, p , por continuidad de presión y p , por continuidad en flujo volumétrico que se expresa como
donde A, es el área abierta que existe entre las placas paralelas del intercambiador de
calor a Tc , (2) está evaluada al final de la zona activa y [ - es evaluada al f.a
inicio del intercambiador. En x = Lht + Lh + Ls + Lc, pi por continuidad de presión y p x por continuidad en flujo volumétrico
(3.5)
(2)&/ está Adfes el área de la sección transversal del ducto de la zona fría,
evaluada al final del intercambiador de calor a T, y ( - 2 es evaluada al inicio del
ducto que conforma la zona fría.
Posteriormente se calcula la relación pi / P A y u1 / P A a la mitad de los dos intercambiadores y a la mitad de la zona activa.
5' Paso. Se obtiene la potencia disipada en el intercambiador de calor caliente ( W,,) y en el intercambiador frío ( Wfix) Se calcula Pc,x / P,' y PfiX / P,' . Se emplea la ecuación (2.105),para calcular las potencias disipadas, utilizando los valores de la amplitud de las oscilaciones de presión y velocidad, calculadas anteriormente.
6" Paso. Se obtiene la potencia generada en la zona activa W,, , considerando la aproximación de máquina pequeña (ecuación (2.101)), y se caicuia W, / P,' . Posteriormente, se suman las potencias de disipación y la entregada a la carga, la suma se iguala a W,, / P j . De este modo, resulta la siguiente expresión
(3.6)
' 39 11
De esta última expresión se despeja T H , denominándola í",,,, para diferenciarla del valor propuesto en el paso 4. Se observa que THco, es independiente de Pa .
7' Paso. Se obtiene el valor absoluto de la sustracción entre el resultado de THcal y el valor propuesto de TH , si la diferencia es mayor que un valor de tolerancia E, se regresa al paso 4.
8" Paso. Se obtiene el flujo de calor que se debe suministrar al motor, utilizando la ecuación (2.95); si requiere un flujo de calor distinto al obtenido entonces se modifica el valor de P a .
Este algoritmo se representa mediante el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.2. Los diagramas de flujo de las subrutinas correspondientes, se encuentran en las Figuras 3.3 a 3.6.
3.2.2. Programa de evaluación
En el programa de evaluación se considera que se propaga una onda acústica estacionaiia con pérdidas térmicas y viscosas.
El algoritmo consiste en la evaluación de la oscilación de presión y velocidad, nuevamente iniciando en el extremo cerrado de la sección caliente. Esta evaluación se realiza en varios puntos que se localizan en la dirección axial del motor termoacústico. También, se evalúa la temperatura media en los extremos de la zona activa.
Se inicia con valores propuestos de frecuencia, temperatura de la sección caliente y la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo.
Posteriormente, la evaluación se realiza con el siguiente procedimiento:
!,
i l i En O I x 5 Lht (zona caliente), la amplitud de la oscilación de presión pi se calcula con las ecuaciones (2.36), (2.37), (2.38) y (2.39). Para evaluar la función de disipación viscosa que se tiene en el vector de onda complejo (ecuación 2.39) se utiliza la siguiente expresión (Rott 1969)
donde R es el radio de la sección transversal del ducto. La función de disipación térmica ( fk dc ) es similar a la ecuación (3.7), excepto que se tiene que sustituir 6; por 6,.También se evalúa la derivada de la oscilación de presión. La amplitud de la oscilación de velocidad u1 se calcula con la ecuación (2.26), sin considerar el término de disipación viscosa i. e., ul = i / w pm dp, / du . Las condiciones iniciales correspondientes, en x = O , son: pi = Pa y p x se obtiene mediante la ecuación (2,40).
En Lht < x I (Lht + Lh) (intercambiador de calor a temperatura alta), las amplitudes de las oscilaciones de presión y velocidad se obtienen con las mismas ecuaciones que
( 0
40 li
I. ~- *.- ~~ I.
SOLUCION NUMERICA
Inicio
4 Leer:
Geometría: del resonador, de la zona activa, del intercambiador de calor caliente y del frio. Parámetros de operación: T,, pm y PA. .
4
#
Cálculo de frecuencia, de potencia disipada en el resonador y de potencia entregada a la carga.
Pasos 1, - J Cálculo de las oscilaciones de
disipadas en el intercambiador de calor caliente y en el frio.
Pasos presión y de velocidad, potencias 4
I
I TH = T H - I n c . Suma de potencia de entrada y salida, y cálculo de THco,. 1
I
pasos --_- _ _ _ _ I ~ 1 Cálculo de flujo de calor x 1 TH = T H + I n c . 1
Figura 3.2. Diagrama de flujo del programa auxiliar que se resume en ocho pasos, mediante aproximación de máquina pequeña.
41 1
SOLUCI~N NUMÉRICA
Cálculo de frecuencia, potencia disipada en el resonador y la potencia entregada a la carga
+ Leer > temperatura fría del aire > presión media del aire 9 amplitud de la oscilación del
antinodo de presión > radio del resonador > longitud del resonador > longitud de onda
Cálculo de las propiedades físicas del
aire
Cálculo de la: frecuencia de resonancia y frecuencia angular relación de Vre3 / P,’, donde w,, la potencia disipada en el resonador relación de W,, I P,’ , donde w,, es la potencia entregada a la carga
I (3 Retorno
Figura 3.3. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de la frecuencia de resonancia, de la potencia disipada en el resonador y de la potencia entregada a la carga.
42
SOLUCI6N NUMERICA
Cálculo de las propiedades físicas del
4 Leer P temperatura media del aire P presión media del aire 9 constante universal de los gases > constante particular del aire P temperatura crítica del aire 9 densidad critica del aire
Cálculo de:
densidad reducida densidad real
Cálculo de la: viscosidad dinámica conductividad térmica capacidad térmica especifica velocidad del sonido como gas ideal
ri Retorno
Figura 3.4. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de propiedades físicas del aire.
43
Cálculo de las oscilaciones de presión y de velocidad,
potencias disipadas en el intercambiador de calor
caliente y en el frío.
4 Leer / 9 P m 9 Tc 9 w 9 valor inicial para Tu.
I + Cálculo de las
propiedades fisicas del aire
4 Cálculo de la relación pi / P a y u, / P A a la mitad del los dos intercambiadores y a la mitad de la zona activa.
4 Cálculo de w,, /PA' y wfm / P,', donde W,, y Wfm son las potencias disipadas en los intercambiadores de calor caliente y frío.
4 Retorno
Figura 3.5. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de las oscilaciones de presión y de velocidad, potencias disipadas en el intercambiador de calor caliente y en el frío.
44
SOLUCi6N NUMÉRICA
Cálculo de la suma de potencias de entrada y de salida, y cálculo de THc0,
+ Leer P Las amplitudes de las oscilaciones
de presión y de velocidad, en la zona activa.
9 Potencias disipadas en los dos intercambiadores de calor.
P Frecuencia angular
i) Retorno
Figura 3.6. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de la suma de las potencias de entrada y de salida, así como el cálculo de T,,,, .
en la zona caliente, excepto la forma de f, y fk. Las condiciones iniciales, enx = Lht , son: pi por continuidad de presión y p , por continuidad en flujo volumétrico, esta última condición se expresa como
donde es la disipación viscosa que se presenta en el intercambiador de calor, la cual se evalúa con la ecuación (2.29), fv,dc es la disipación viscosa que se tiene en la zona caliente, ésta se estima con la ecuación (3.7). Los términos restantes fueron definidos para la ecuación (3.2).
i2i En (Lhr + Lh) < x 2 (Lhr + Lh + Ls) (zona activa), se realiza el cálculo de pi y u, , respectivamente con las ecuaciones (2.34) y .(2.26). La integración de la ecuación de
45
onda de presión (ecuación (2.34)) se resuelve por medio del método de Runge-Kutta de cuarto orden, esta integración es la evaluación más importante del algoritmo. Las condiciones iniciales son: pi por continuidad de presión y p , por continuidad en flujo volumétrico. esta última condición se exmesa como
donde f,,,,, es la disipación viscosa que se presenta en el intercambiador de calor, la cual se evalúa con la ecuación (2.29), f,,, es la disipación viscosa que se tiene en la zona activa y como dicha zona está formada por poros cuadrados, se tiene que (Amott et al., 1991)
(3.10) f = 1 - 4 64 1
",ZO
mnrmpar 2 2{ [-,'I[ lb2m2 + l u 2 n 2 ] } ' m n I +- (lu + Ib)Z
donde Ib =la = I , para poro cuadrado y Av = 2'.'R, / J V , donde R, = 2. la. lb /(la + Ib) es el radio característico del poro. Los términos restantes de la ecuación (3.9) son los mismos que se definen para la ecuación (3.3).
En (Lhi + Lh + Ls j < x 5 (Lht + Lh + Ls + Lc j (intercambiador de calor a temperatura fría) y en (Lht + Lh + Ls + Lc) < x 5 (Lhi + Lh + Ls + Lc + Lctj (zona fiía), las oscilaciones de presión y velocidad se obtienen con las correspondientes ecuaciones del intercambiador de calor a temperatura caliente y de la zona caliente. Se aplica, en el intercambiador de calor de la zona fría, continuidad de presión y continuidad en flujo volumétrico de manera similar como se aplica en el intercambiador de calor de la zona caliente. El procedimiento de continuidad se realiza en la zona fría de manera análoga a la de la zona caliente.
Este algoritmo se representa mediante el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.7. Los diagramas de flujo de las subrutinas correspondientes se encuentran en las Figuras 3.8, 3.9 y la subrutina del cálculo de propiedades físicas es el mismo al presentado en la Figura 3.4.
46
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Inicio c=, Leer
Geometria: del resonador, de la zona activa, del intercambiador de calor caliente y del frio. Parámetros de operación: p , y H,. Valores propuestos de f , TH y Pa
/ / I
Cálculo de pi y uI , en cada zona del OSTA.
4 Cambiar valores de
No ¿ Son T, y Z , los valores deseados?
Cálculo de pi y uI , en cada zona del OSTA.
4 Cambiar valores de
No ¿ Son T, y Z , los valores deseados?
si I I
Cálculo de VT, I Escribir
VT, y Z .
Figura 3.7. Diagrama de flujo del programa de evaluación que emplea el algoritmo de Runge Kutta para resolver la integración de las ecuaciones de onda de presión y de flujo de calor en la zona activa.
41
SOLUCIÓN NUMÉRICA
/I Cálculo pi y uI , en cada zona del OSTA
Cálculo de las propiedades fisicasa p , y TH
Cálculo de pi, p x y ui , en la zona caliente
el intercambiador de calor caliente
Cálculo de T, , pi , pr y u ] , en la zona activa
Cálculo de las propiedades físicas a p , y T, :
Cálculo de pi, p x y uI , en el intercambiador de calor . frío
la zona fría
4 Retorno
Figura 3.8. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de pi y ul , en cada zona del OSTA. 48
SOLUCi6N NUMERICA
---
Cálculo de T,,, , PI, pX y u1 , en la zona activa
Algoritmo de Runge-Kutiia j - ésima variable dependiente que toma los siguientes valores i = 1.2 ..... in
T, = TH , pi continuidad de presión y da, /& continuidad de fluio volumétrico
in = número de ecuaciones
I I Cálculo de las propiedades físicas a
I x = x + h . Cálculo de (u1) I
c.3 Retorno
Figura 3.9. Diagrama de flujo de la subrutina del cálculo de T, , pi, p , y u1 , en la zona activa.
49
.~ ~ ~. . . .~ .
METODOLOGiA EXPERIMENTAL
4. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL
Son tres objetivos fundamentales de la parte experimental de esta tesis: el diseño, la construcción y la caracterización de un oscilador termoacústico. En el diseño y construcción del motor, se consideró una condición: la posibilidad de instrumentar al dispositivo con transductores de presión dinámica (micrófono piezoeléctrico) y de temperatura media (termopar tipo T). Los transductores tienen que colocarse en lugares específicos; un micrófono se debe instalar en el antinodo de presión, un termopar se debe encontrar fijado en el extremo caliente de la zona activa y otro, en el extremo fno. Con esto se logra obtener la caracterización, la cual consiste en: la determinación de la posición óptima de la zona activa y la determinación de las condiciones para la generación de ondas acústicas.
En lo sucesivo, se describen las estrategias que se desarrollaron para obtener los resultados experimentales y así, alcanzar los objetivos primordiales de la tesis. También, se describe la instrumentación y el equipo utilizado en los experimentos.
4.1. Pruebas preliminares
Las primeras pruebas se realizaron con un oscilador termoacústico denominado OSTA2 (Huelsz, 2000), el cual es una modificación del propuesto por Orozco (1992) y se denomina OSTAI. El oscilador OSTA2 fue diseñado para hacer mediciones que ayuden a comprender los fenómenos involucrados en el efecto termoacústico. Para mejorar su eficiencia tendría que aislarse térmicamente la zona activa y la zona fiía, ya que se encuentran a menor temperatura que la del ambiente, la entrada de calor a estas zonas disminuye el desempeño del motor.
El dispositivo modificado (OSTA2) es un tubo resonador cerrado por un extremo y por el otro abierto, por lo que la longitud de onda es A = 4 L,, . Posee dos intercambiadores de calor, entre ellos se encuentra la zona activa, los cuales están formados por apilamientos de placas paralelas. Las placas paralelas de los intercambiadores son de cobre y los de la zona activa son de vidrio. Se instnunentó para efectuar mediciones de velocidad, presión y temperatura. El esquema de la vista frontal y sección transversal del OSTA2, así como vista frontal y lateral de los intercambiadores que lo conforman, se encuentran en las Figuras 4.1 .a, 4.1 .b y 4.1 .c.
Las caractensticas que presenta:
1. Tiene las mismas dimensiones que OSTAl y se pueden generar ondas acústicas estacionarias de una frecuencia cercana a 260Hz.
2. Contiene un depósito para contener el nitrógeno líquido, cuyo propósito es mantener el fluido en contacto permanentemente con el intercambiador de calor de la sección fría. Esto permite hacer mediciones continuas, sin que se tenga que introducir y extraer, el extremo abierto del tubo hacia el interior del contenedor del nitrógeno líquido; procedimiento que se necesita para el funcionamiento del OSTAI.
50
9 - 9 2 m - c rn
C
o o Q v)
:o
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e I :
L . -
x v
-
h (0 a
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
< ,. ,. > < >
38.1 24.0 ,, 115.0 .I
173.1
PLANO CENTRAL VERTICAL TRANSVERSAL
7 < 5.6 ... Todas las acotaciones son en mm La tolerancia de las longitudes es de kO.05 mm
Sección activa ______-_------ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 .o
38.5
1 .o
>
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
,.
INTERCAMBIADOES
,. -
70.0
-
Vista lateral Vista frontal
-
46.0
-
10.0 10.0 50.0 ./ ,. ,. 70.0
I
i g g Placacobre
Láminas cobre e= 0.5 mm espaciadas 0.5mm
Láminas de cobre e= 0.5mm sobrepuestas
Todas las acotaciones son en mm La tolerancia de las longitudes es de f0 .05 mm
l?igura 4 . 1 4 Vista lateral y frontal del intercambiador de calor del oscilador termoacústico (OSTA2) que utiliza nitrógeno líquido como fluido de trabajo.
53
METODOLOGiA EXPERIMENTAL
3’ ‘Osee (vidrio), en la dirección axial, cerca del extremo abierto para llevar a cabo mediciones de la oscilación de velocidad al interior del tubo resonador con anemometna láser Doppler,
4. Tiene CUatrO termopares para la medición de la temperatura; uno se colocó en el intercambiador de calor cercano al extremo cerrado, otro en el extremo caliente del aPilamient0 de vidrio, el tercero en el extremo frío y el último, en el intercambiador de calor Cercano al extremo abierto. Para la medición de la oscilación de presión se usa un micrófono Bmjm & Kajer modelo 4165.
Sin embargo, este oscilador presenta cuatro inconvenientes; el primero, dificultad para controlar y mantener un gradiente de temperatura, originando la atenuación de la onda acústica e impidiendo realizar las mediciones. Segundo, se utiliza nitrógeno líquido para lograr el flujo de calor, resultando los experimentos muy costosos. Tercero, no era factible la traslación, en la dirección axial, de la zona activa para la evaluación de su posición óptima. Cuarto, los vidrios que conforman el apilamiento central, sufren un impacto térmico que provoca el rompimiento de algunos vidrios.
Posteriormente, se propuso producir el oscilador diseñado por Reh-lin Chen (Garrett and Bachaus, 2000) para continuar los experimentos. A continuación se expone el dispositivo termoacústico, la instrumentación utilizada, los resultados experimentales y las conclusiones de las pruebas preliminares.
4.1.1. Dispositivo experimental preliminar
Un oscilador termoacústico denominado OSTA3, similar al dispositivo diseñado por Reh-lin Chen, está formado por tres partes y un fluido de trabajo. Estos elementos se indican a continuación:
Un tubo de ensayo de vidrio Pyrex como tubo resonador en el cual se establece la onda acústica estacionaria.
Una pieza cilíndrica de cerámica con poros paralelos de sección transversal cuadrada, alineados al eje del cilindro (la pieza con poros proviene de un convertidor catalítico de automóvil), como zona activa.
Un alambre de nicromel (diámetro = 5x104 m) como resistencia eléctrica para imponer un gradiente de temperatura en la cerámica. La resistencia se coloca en el extremo de la pieza porosa, que está más cercano al extremo cerrado del tubo resonador, “tejiéndose” entre las ranuras (una si y otra no) hechas en la pieza.
El aire a presión atmosférica como fluido de trabajo.
Cabe mencionar que en el artículo de Garrett y Bachaus (2000) no se proporcionan los detalles de diseño, como son: la longitud axial del material poroso, la posición del material en el tubo, el diámetro de la resistencia eléctrica y diámetro del resonador.
54
METODOLOGfA EXPERIMENTAL
En la Figura 4.2.a se muestra el esquema del OSTA3, donde se indica la posición de la ZOM
activa, x, , la cual se mide a partir del extremo cerrado del tubo resonador; además, en la figura 4.2.b se presenta una fotograña del dispositivo. La longitud de la ZOM activa es aproximadamente 1/6 de la longitud del tubo resonador.
resistencia .f-3 zona activa eléctrica I I
y && 0 1 0.0175m
>I O. 149 m I<
Figura 4.2.8) Esquema del osciiador termoacústico (OSTA3) y sistema de referencia para la localizaci6n de la zona activa, la tolerancia de las longitudes es de f 5x10-’ m.
Figura 4.2.b) Fotografia del oscilador termoacústico.
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
( a )
4.1.2. Instrumentación, equipo auxiliar y sistema de adquisición de datos
(VI (A)
Para la medición de la oscilación de presión acústica se utiliza un micrófono piezoeléctrico Kistler. El micrófono GStler modelo 206 es conectado a un amplificador acoplador Kistler modelo 5134. El amplificador acoplador, es un acondicionador de cuatro canales para transductores piezoeléctncos de baja impedancia (Kistler, 1996).
La calibración del micrófono Kistler fue hecha por el fabricante (Kistler, 1998), obteniendo una sensibilidad de 0.018 mV/Pa (123.3 mV/psi). El rango de medición es de O a 550 Wa (O a 80 psi), su resolución es de 5.5 Pa (0.0008 psi) y su frecuencia natural es de 130 M z .
Este micrófono se colocó a 0.018 m de distancia del extremo abierto del OSTA3. Con esta medición es factible determinar de la posición óptima de la zona activa; es decir, el lugar donde se genera la máxima potencia acústica dada una diferencia de potencial eléctrico en la resistencia
Como equipo auxiliar, se utilizó una fuente de energia eléctrica Hewlett-Packard modelo E3631A para alimentar a la resistencia eléctrica. Este instrumento permite fijar un determinado valor del voltaje o de la corriente, en este caso se fijó el valor del voltaje suministrado. Los valores de los parhetros eléctricos que se utilizaron en las mediciones del OSTA3, se encuentran en la Tabla 4.1. Con estos valores, por efecto Joule, se genera un flujo de calor de 18.10 f 0.05 w en la resistencia eléctrica.
Tabla 4.1. Valores de los parámetros eléctricos utilizados
I Resistencia eléctrica I Voltaje I Intensidad I
Se usó un sistema de adquisición de datos Hewlett-Packard modelo 3852A, controlado desde una computadora personal. Con este sistema se registraron 10000 datos, correspondientes a la señal del micrófono, con una frecuencia de muestreo de 50 O00 Hz. Asi, el tiempo total de muestreo es de 0.2 s.
Para la adquisición y el análisis de los datos se elaboró un programa utilizando el código HPVee, residente en la computadora personal. El código HPVee es un paquete computacional, que se basa en la programación orientada a objetos, la cual facilita construir programas por medio de bloques definidos, donde se introducen o cambian funciones o parámetros. Los bloques tienen la propiedad de concatenarse, de tal manera que la programación es similar a un diagrama de flujo; asimismo, tiene la opción de presentar el programa en modo de panel, donde se visualizan los bloques de entrada y salida de datos
4.1.3. Resultados
Las primeras observaciones se realizaron colocando la zona activa a 0.049m del extremo cerrado, lo que corresponde a aproximadamente 1/3 de la longitud del tubo resonador. Se consideró esta posición de la zona activa siguiendo sugerencias de trabajos anteriores (Orozco, 1992). Después
56
METODOLOG~A EXPERIMENTAL
de aproximadamente 7 segundos de haber conectado la resistencia a la fuente de voltaje, se escucha Un sonido de un SO10 tono. Del análisis de la señal de salida del micrófono se desprende que la onda acústica generada tiene una frecuencia de 580 f 5 Hz. Dicha frecuencia corresponde a la de una onda acústica estacionaria con una longitud de onda A = 4L y una temperatura del aire de 298K (25-Q donde L es la longitud del resonador.
Para estimar la posición óptima de la zona activa, x,,, se midió la amplitud de la oscilación de presión producida por el oscilador a una distancia de 0.01 8 m del extremo abierto del resonador como función de la posición de la zona activa, x,. Cabe señalar que al medirse la presión fuera del tubo, donde no se conoce la proporción entre onda estacionaria y viajera, la estimación de la posición óptima puede presentar cierto error, que no es posible estimar. Los resultados de estas mediciones se muestran en la Figura 4.3, donde se presentan dos valores de Pa para cadax, con la misma presión media.
Tanto en la Figura 4.3 como en las siguientes figuras, la incertidumbre en la posición de la zona activa está dada por la mínima escala del vernier utilizado, siendo de +lxi04 m, menor al tamaño de los símbolos.
La incertidumbre en la amplitud de la oscilación de presión se obtiene con el método Presentado en el Apéndice C. En ésta y en las demás figuras se presentan aquellas que son mayores al tamaño del símbolo correspondiente.
. . ; .o . ... . . . ......... .; ....... ....:.... ., . . .. , . . i D . . . ....... ~
I I I J I I I I I ' I ' I o - .
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 o.io 0.12 0.14 Posici.5" de 18 zona activa (m)
Figura 4.3. Amplitud de la oscilación de presión ( P A ) como función de la posición axial de la zona activa
P, = 101200 Pa. Las líneas que unen los puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de los mismos. Se indica la incertidumbre mayor al tamaño del símbolo, en los datos experimentales.
...e ..A. ( x~,,,). Los símbolos corresponden a datos experimentales: P, =101200Pu,
57
METODOLOG~ A EXPERIMENTAL
Forma de Tamaño del Temperatura de la Frecuencia de resonancia poro poro (m) zona fría (K) (Hz)
Cuadrado 0.001 300 80.62
La posición Óptima corresponde al valor de x, donde se presenta el máximo valor de la amplitud de la oscilación de presión, de la gráfica se observa que x,, = 0.062 f 0.003 m, esta posición corresponde a 0.42 L,, , que es ligeramente mayor al valor utilizado por Orozco (1992) que fue de 0.27 L,, . Cabe señalar que para posiciones mayores a 0.125 m no se produce sonido para los gradientes impuestos.
Longitud del resonador (m)
1.0764
Durante estas mediciones se observó que el tiempo de inicio de la oscilación depende de la posición de la zona activa, siendo más notable para las posiciones más alejadas del extremo cerrado, donde el tiempo de inicio de la oscilación aumenta hasta 14 segundos.
4.1.4. Conclusiones
58
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
El resultado de la frecuencia es el valor óptimo y se obtuvo mediante la ecuación (Arnott y colaboradoes, 1991)
donde R, es el radio característico del poro y hC es un número adimensional crítico con el cual se obtiene un mayor flujo de calor para un determinado flujo de calor. El valor del hc depende de la forma del poro, en este caso tiene el valor de 2.4 para el poro cuadrado (Amott y colaboradoes, 1991).
Sin embargo, no se realizó el diseño con estos valores porque esta longitud del resonador dificultaba el cambio de la posición de la zona activa. Por lo cual se decidió reducir su longitud a
= 0.556 m.
De esta manera, la construcción de este nuevo oscilador se conformó con los tres elementos básicos que se utilizaron en el OSTA3 (ver sección 4.1.1.), pero con distintas longitudes y el mismo fluido de trabajo (aire a presión atmosférica). El esquema del OSTA4 y el detalle de los poros de la zona activa se encuentran en la Figura 4.5.
Figura 4.4.a) Forma y tamaño del poro, visto bajo un microscopio con un aumento de 4 veces su tamaño normal.
Figura 4.4.b) Conjunto de poros que conforman la zona activa del oscilador termoacústico. 59
h
v o
1 L 4-,
h
v m
m * 5 w !i
r
METODOLOG~A EXPERIMENTAL
4.3. Instrumentación
Para la selección de la instrumentación se consideraron las características del experimento, en particular de la onda acústica, que se generaría en el dispositivo experimental cuya frecuencia fundamental sería de f o 155 HZ .
4.3.1. Medición de la presión acústica
Como se explicó en la sección 4.1.4, es conveniente situar el micrófono en el antinodo de presión en un oscilador termoacústico, el antinodo de presión está cercano a la zona caliente. Por io que, al colocarse en ese lugar específico, es posible que el calor afecte su funcionamiento o dañe al propio micrófono. Por tal razón, en la medición de la oscilación de presión acústica es necesario emplear un transductor de bajo costo. Considerando este argumento, se seleccionó un micrófono piezoeléctrico Sharp modelo 273-078 (12.7~10” m de diámetro), que se ilustra junto con la tapa de acrílico en la Figura 4.6. Se diseñó y se construyó un circuito para amplificar la salida de este micrófono (ver Apéndice B, sección B.l).
Figura 4.6. Fotografia del micrófono montado en la tapa de acrílico
La calibración del micrófono Sharp, se realiza mediante la medición de la oscilación de presión de una onda monocromática, utilizando un micrófono de condensación Brujzr & Kajer modelo 4165. Las oscilaciones de presión se producen con un dispositivo acústico que lo conforma una guía de ondas acoplada a un sistema generador de ondas acústicas, este dispositivo se describe en la sección B.2. La calibración se realizó para tres diferentes frecuencias de la onda acústica f = 110 Hz, f = 155 Hz y f = 200 Hz , resultando tres diferentes curvas de calibración, que se muestran en la Figura B3, que indican mayor sensibilidad entre mayor valor de frecuencia, para las tres frecuencias analizadas.
61
METODOLOGf A EXPERIMENTAL
4.3.2. Medición de la temperatura media
Para evaluar el gradiente axial de la temperatura media que se tiene en la zona activa, se midió la temperatura en el extremo caliente y en el extremo frío de dicha zona. La medición se efectuó con termopares Omega tipo T (cobre y constantan) pegados a la pared transversal al eje axial de la zona activa, de ambos extremos, con cemento Omega CC de alta temperatura.
Se consideró la curva de calibración para este tipo de termopares presentada por Hewlett-Packard (Hewlett-Packard 1984), siendo necesaria la medición de la temperatura de la tarjeta de conexión. La temperatura de la tarjeta se midió con un termistor, obteniendo su curva de calibración mediante los valores registrados en un calibrador de temperaturas JOFRA modelo D55SE. La curva de calibración del termistor se muestra en el apéndice B, sección B.3. La respuesta de los termopares se verificó con el calibrador de temperaturas, en el rango de O a 120 "C, resultando una diferencia máxima de f 1 O C .
4.3.3. Equipo auxiliar
Para suministrar potencia eléctrica a la resistencia se empleó una fuente de voltaje variable de corriente directa, Agilent Technologies modelo E3632A. La precisión del instrumento es de 0.0005. Esta fuente permite ajustar el voltaje en dos rangos diferentes, el primer rango es de 15 volts con un máximo de 5 amperes y en el segundo, es de 30 volts con un máximo de 4 amperes. Además, permite fijar el voltaje o la comente en un valor determinado, en este caso se fijó el valor del voltaje suministrado.
Los parámetros eléctricos fijos, que se utilizaron para determinar la posición óptima de la zona activa del OSTA4, se encuentran en la Tabla 4.3.
Tabla 4.3. Valores de los parámetros eléctricos utilizados en el OSTA4 y el gradiente de temperatura que se produce en la dirección axial de la zona activa.
1 Resistencia eléctrica I Voltaje Intensidad Q
Para observar las señales de voltaje de los transductores en tiempo real, se empleó un osciloscopio Hewlett-Packard modelo 54502A. En este instrumento se visualiza la señal de voltaje de dos canales con una velocidad máxima de 400 MHZ, permitiendo observar la señal de voltaje, correspondiente a la presión, que se presenta cuando funciona el oscilador termoacústico o de las señales de voltaje que se registran cuando se calibra el micrófono.
62
METOEOLOC~A EXPERIMENTAL
- Fuente de
voltaje variable de c-d
4.3.4. Sistema de adquisición de datos
Al igual que en las pruebas preliminares se utilizó el sistema de adquisición de datos Hewlett- Packard modelo 3852% el cual se describió en la sección 4.1.3. Ahora, la configuración consiste en controlar tres canales, uno para la adquisición del voltaje del micrófono y dos para el voltaje de los dos termopares colocados en la zona activa.
Para la adquisición y el análisis de los datos, de nuevo, se elaboró un programa utilizando el código HPVee.
El esquema del dispositivo experimental, la instrumentación, el sistema de adquisición de datos y el equipo auxiliar, así como fotografías del acoplamiento experimental y el calentamiento de la resistencia eléctrica, se ilustran en las Figuras 4.7.a, 4.7.b y 4.7.c.
-
Micrófono -----'::I
Figura 4.7. a) Esquema del dispositivo experimental, la instrumentación, el sistema de adquisición de datos y el equipo auxiliar, que se usaron en la investigación.
63
- r-- $ . I - !___
- - , I . .
Termopar no. 1 Termopar no. 2
- , , Termistor 0 -
Tarjeta de conexiones ,
Sistemade adquisición
de datos, alta
velocidad
Computadora
I / . .
METODOLOGfA EXPERIMENTAL
Figura 4.7.b) Fotografia del oscilador termoacústico construido. En el extremo izquierdo se encuentra la tapa con el micrófono. La linea azul con flecha, indica la posición de la resistencia eléctrica. La línea roja con flecha denota el extremo abierto
Figura 4.7.c) Vista lateral de la resistencia eléctrica cuando circula la corriente eléctrica, proporcionando el flujo de calor al oscilador tennoacústico. y d) vista frontal de la misma resistencia eléctrica.
64
METODOLOG¡ A EXPERIMENTAL
4.4. Caracterización del oscilador termoacústico
La caracterización del oscilador termoacústico construido (OSTA4) consistió en la determinación de la posición Óptima de la zona activa (medio poroso), x, , la evaluación de las condiciones críticas para generar ondas acústicas y el gradiente mínimo de temperatura media, V Tmrnm, para ello.
El gradiente de temperatura media o simplemente gradiente de temperatura se calcula como
(4.2) VT, = TH -Tc
' H -xC
donde TH es la temperatura del extremo caliente de la zona activa, T, es la temperatura del extremo frío de la zona activa, x H es la distancia que existe desde el extremo cerrado hasta el extremo caliente de dicha zona y x, es la distancia que existe desde el extremo cerrado hasta el extremo fiío de la misma zona.
La variable que se controló en los experimentos realizados fue el voltaje que se suministra a la resistencia eléctrka, la cual proporciona el flujo de calor. De tal manera que, en la determinación de x,, , se estableció un valor del voltaje y se cambió la posición de la zona activa en la dirección axial del tubo resonador. Mientras que en la evaluación de las condiciones para generar ondas acústicas, se fijó la zona activa en x, encontrada con los experimentos anteriores y se varió el voltaje suministrado a la resistencia.
Todos los experimentos se llevaron a cabo a presión atmosférica y no se controló la temperatura, ni de la sección fría y ni de la caliente.
4.4.1. Determinación de la posición Óptima de la zona activa
Como se mencionó en la sección 4.1.3, existe una posición en la dirección axial de la zona activa ( x, ) donde se logra producir el máximo valor de la amplitud de oscilación de presión, Pa , con respecto a las otras ubicaciones axiales del mismo medio poroso, bajo un determinado flujo de calor suministrado al extremo caliente; esta ubicación es considerada como la posición óptima, x,. La cual es importante porque se obtiene la máxima potencia acústica generada en el oscilador termoacústico, debido a que la potencia es función del valor de la amplitud de presión en el antinodo (extremo cerrado).
Para determinar x,, se midió, en el antinodo de presión, la amplitud de la oscilación de presión producida por el oscilador como función de la posición de la zona activa, x, . Los resultados de estas mediciones se muestran en la Figura 4.8 para dos valores diferentes del voltaje a la resistencia, V, =10.4 V y 12.0 V, que producen un gradiente de temperatura media de VT,, = 351 1 f 3 6 Wm y VT,, = 4850 f 35 Wm, respectivamente (ver Tabla 4.3). También, se nota que hay dos mediciones de PA para cada x, (símbolos vacíos y símbolos llenos) con SU
correspondiente gradiente de temperatura. De la gráfica se observa que para ambos gradientes, 65
METODOLOGiA EXPERMENTAL
x,, = O . 139 f 0.034 m, dicho punto corresponde a 0.25 L , y este coeficiente es 40 % menor al de OSTA3 (0.42 Lrc,). Además de la incertidumbre en la determinación de x, en OSTA3, es posible que, esta diferencia se presente por el valor diferente de la frecuencia fundamental que se manifiesta en la x,, ; o por la proporción diferente que existe entre la longitud de la zona activa y la longitud del tubo resonador, en estos osciladores (Ax, l L , = 0.1678, Ax4 IL, = 0.1097). Para verificar estos resultados distintos, se sugiere que se realicen experimentos que tengan diferentes longitudes del tubo y distintas longitudes de la zona activa para una misma longitud de tubo. Cabe señalar que para posiciones mayores a 0.416 m no se produce sonido para los gradientes impuestos.
4500
4000
3500
,E 3000
Iu 2500 i? 2 2000 3
1500
* 1000 3 - = 500
h
3
m -
O
0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40 0.44
Posición de la zona activa (m)
Figura 4.8. Amplitud de la oscilación de presión (Pa ) como función de la posición axial de la zona activa (x, ). Los símbolos corresponden a datos experimentales obtenido con dos diferentes gradientes axiales
de temperatura. Las líneas que unen los puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de los mismos.
La teoría de máquina pequeña (Swift, 1988b) predice que la máxima potencia acústica sucede en la posición donde la relación
(4.3) W, = const. u, . pi = const. sen(loc). cos(loc) = const. sen(2k),
tiene su máximo como función de x, por lo que la posición óptima predicha es de
66
METODOLOCIA EXPERIMENTAL
I ' I '
Así, en un oscilador abierto, es decir de L,es = A/ 4, su valor es x,,,~~ = O. 5 L,, . Los osciladores utilizados en esta investigación son abiertos y por lo tanto, les corresponde dicho valor.
Existe una diferencia entre el valor teórico y los valores experimentales de OSTA3 y OSTA4, la cual se presenta porque la teoría analizada supone que la longitud de la zona activa es muy pequeña comparada con la longitud del resonador y por que es a primer orden. Como se observa en la Figura 4.9, donde se presenta la relación que existe entre la magnitud de la frecuencia fundamental entre la magnitud del primer armónico como función de la posición, el fenómeno termoacústico tiene componentes de segundo orden, las cuales no son despreciables como se suponen en la teoría lineal. Dicha relación tiende a incrementarse conforme se acerca al nodo de velocidad, donde las pérdidas viscosas son más pequeñas y las pérdidas térmicas son más grandes.
0.35
0.30
: o i : A a grad Tm, = 35 I I +/- 36 (Wm) . -~ . . . :~... .................................... I.. .......o... g r a d . ~ ~ = 4 8 5 O ~ + / - 35 <K/m) . -
.. . I . . . ... . i . . . . . . . . . I . . . . .~. : . . . . . . . . . . . . . . .;. . . . . . . : ......... ..: .......
~ o : . .
7 2 0.15
1::: t 0.00
0.04
......................
.....................
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.08 0.12
a i iA ...................... 'i~. ...........
..........................................
......................................
a A
5 e
0.16 0.20 0.24 _-L
0.28 I I_
0.32
8 L
0.36 J 0.40
Posición en la zona activa (m)
Figura 4.9. Relación de la magnitud de la frecuencia del primer armónico o segunda componente ( fi ) con respecto la magnitud de la frecuencia fundamental o primer componente ( f i ) como función de la
posición axial de la zona activa (x,?,,,).
El valor del VT, , que se reporta es el promedio de los diferentes gradientes de temperatura que se presentaron al variw la posición en el eje axial, la incertidumbre asociada es la desviación estándar de los datos. De manera similar, se evaluó el valor del VT,, y su incertidumbre. Este último gradiente, presenta un alto valor de desviación debido a los experimentos que se realizaron más próximos al antinodo de presión (extremo cerrado). El gradiente de temperatura cerca del antinodo de presión es 2.4 veces el gradiente mínimo registrado, como se muestran en la Figura 4.1 O, donde se presenta el gradiente de temperatura media como función de la posición para los
61
METODOLOCfA EXPERIMENTAL
12000
1 1000
E 10000
5 9000 E
h
v 2 8000
7000 m
dos valores diferentes del voltaje a la resistencia, Vi = 10.4 V y V, = 12.0 V. El mayor gradiente, cerca del antinodo de presión, se presenta porque se disminuye la amplitud de oscilación de presión, a un valor límite de generación de onda acústica, lo cual origina que se eliminen las componentes de segundo orden de las variables termodinámicas, como se observa en la Figura 4.9 para la presión, y se incremente el valor de la frecuencia, como se nota en la Figura 4.1 1. El que exista un mínimo de gradiente de temperatura como función de la posición, justo en xso , confirma aún más la posición óptima de la zona activa.
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3000 8 1 ' 1 ' 1 '
Figura 4.10. Gradiente axial de temperatura media (Vi", ) como función de la posición axial de la zona activa (x,, ). Los símbolos corresponden a datos experimentales para dos diferentes valores de voltaje.
Las líneas que unen los puntos se dibujaron Únicamente para facilitar la localización de los mismos.
Otro parámetro que varía conforme se cambia la posición de la zona activa es la frecuencia, como se nota en la Figura 4.1 1, donde se observa que el mínimo valor de la frecuencia corresponde a la posición óptima. En estos experimentos varía la frecuencia en un rango de 154-162 Hz para VT,,,, y de 158-165 Hz para VT,, . Para comprender estos resultados es necesario establecer la siguiente consideración: la frecuencia depende principalmente de la temperatura de la zona fría. Esto se debe a que la compresibilidad del gas es prácticamente independiente de la temperatura mientras que la inercia depende fuertemente de la temperatura, de esta manera; la frecuencia de resonancia es substancialmente independiente de la temperatura en el antinodo de presión pero depende de la temperatura en el antinodo de velocidad que se presenta en la zona fría. Así, si hay un aumento de la temperatura en la zona fría, la frecuencia se acrecienta, ya que ésta es función de la velocidad del sonido y ésta es a su vez función de la temperatura.
68
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METOOOLOCfA EXPERIMENTAL
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0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40
Posición de la zona activa (m)
Figura 4.11. Gráfica de la frecuencia de la onda acústica (f ) en función de la posición axial de la zona activa (x,?,,,). Los símbolos corresponden a datos experimentales de dos diferentes gradientes axiales de temperatura. Las líneas que unen los puntos se dibujaron únicamente para facilitar la localización de los
mismos.
Por lo tanto, se podría decir que los dos rangos de frecuencia son debidos a que no se controló la temperatura de la zona fría; como se observa en la Figura 4.12, donde la variación de la temperatura de la sección fría se presenta en un rango de 27-38 "C y no se determina un comportamiento definido.
Existe una discrepancia entre los valores de la frecuencia medida y los de la frecuencia calculada con la temperatura de la zona fría como se muestra en la Figura 4.13; en la cual, se observa que la mayoría de los valores experimentales de frecuencia son mayores o aproximadamente iguales al valor teórico que se obtiene con la temperatura correspondiente a la sección fría. Sólo hay dos valores que son menores ai valor teórico y se presentan porque ai aumentar la magnitud de la segunda componente de frecuencia se modifica el valor de la frecuencia fundamental del oscilador, lo que sucede conforme la zona activa se aproxima al antinodo de presión (ver la Figura 4.9). Ademas de esto, la frecuencia fundamental y el gradiente de temperatura, disminuyen conforme la zona activa se acerca a la posición óptima (ver la Figura 4.1 1 y Figura 4.10, respectivamente). Estos tres efectos producen que el valor experimental sea menor al valor estimado por medio de la temperatura fría.
Aunque existe una diferencia entre los valores experimentales y los teóricos, se nota que los valores experimentales se localizan cerca de la línea de la predicción teórica tienden al comportamiento esperado; es decir, si aumenta la temperatura aumenta la frecuencia. Por consiguiente, se puede concluir que la frecuencia es función de la temperatura de la sección fría, de la posición axial de la zona activa y de otro parámetro que se analiza a continuación.
69
40
Figura 4.12. Gráfica de la temperatura de la sección fria (T , ) en función de la posición axial de la zona activa ( x,~,,,). Se indica la incertidumbre estimada en los datos experimentales.
- - ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. -
26 28 30 32 34 36 38
Temperatura de la zona H a ("C)
b dz - 32 a" $ 3 0 : 2
Figura 4.13. Gráfica de la frecuencia de la onda acústica (f ) en función de la temperatura de la zona fría (T,) . Los símbolos corresponden a datos experimentales. La línea continúa corresponde a la predicción
teórica. 70
. . . . . . . . . . . . . . . -
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-
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m1 : j 0 : O &radTm2=4850+~-35 (W&) - i
METODOLOGiA EXPERIMENTAL
165 164 163 162
161
.Ñ 160
159 E.
e 157 a .- g 158
is
155 IS6
154 153 IS2
Datos experimentales muestran que la kecuencia también es función de la temperatura media, como se nota en la Figura 4.14. Los datos que se localizan entre la posición óptima y el extremo abierto del oscilador (datos excluidos de la elipse), nos indican que la frecuencia disminuye cuando hay un decremento en la temperatura media, este decremento ocurre conforme se aproxima a la posición óptima (ver Figura 4.10). Los datos marcados con la elipse se localizan entre el extremo cerrado del oscilador y antes de la posición óptima, los cuales presentan altos valores de la temperatura media y no se ajustan al comportamiento esperado con base a los datos excluidos de la elipse; es decir, a mayor temperatura media se espera mayor frecuencia. Esta discrepancia se observa porque la frecuencia se disminuye cuando se acerca al antinodo de presión como sucede con los datos restantes, confirmando que la frecuencia depende de la posición de la zona activa (ver Figura 4.1 I ) y de la temperatura media (ver Figura 4.14).
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Figura 4.14. Gráfica de la frecuencia de la onda acústica (f ) en función de la temperatura media de la zona activa (T, ).
Por lo tanto, la frecuencia es función de la temperatura de la sección fría (ver Figura 4.13), de la temperatura media (ver Figura 4.14) y de la posición de la zona activa (ver Figura 4.1 I). De tal manera que, cuando se mantiene fijo el flujo de calor, en la posición óptima para máxima amplitud de oscilación de presión, se presenta el mínimo valor de frecuencia y el mínimo valor del gradiente de temperatura. Estos resultados no se encuentran reportados en la literatura.
71
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
4.4.2. Análisis de las condiciones críticas para generar ondas acústicas
Para evaluar las condiciones críticas para generar ondas acústicas se midió en el antinodo de presión la amplitud de la oscilación de presión (Pa ) como función del flujo de calor que se le suministra a la zona activa (Q). Se comenzó con un valor de Q = 54 W con el que se genera la onda acústica, posteriormente se disminuyó hasta que PA fuera cero; así, el V Tmmin es el valor de V T, antes de que PA sea cero.
Cabe mencionar que una fracción del flujo de calor Q que se transfiere a la zona activa, proveniente de la transformación de la energía eléctrica, se desperdicia hacia el medio ambiente. En estos experimentos no es posible determinar el flujo de calor al fluido (flujo de entalpía) y el flujo de calor al ambiente (pérdidas de calor).
Los experimentos se realizaron bajo tres condiciones: I ) Sin ninguna perturbación externa por el extremo abierto del oscilador. 2) Con la imposición de una perturbación extema, la cual consiste en soplar por el extremo
3) Con un intercambiador de calor en la superficie exterior del tubo resonador, en la zona abierto cuando se aproxima al V Tmmin.
fría.
Los resultados bajo las tres condiciones se presentan en la Figura 4.15, donde se muestran dos conjuntos de valores de PA como función de Q. El primer conjunto (símbolos rellenos) es el resultado de aplicar un filtro pasa banda de 145 a 170 Hz a la señal de presión; el otro conjunto (símbolos vacíos) es consecuencia de emplear un filtro pasa banda de 120 a 400 Hz. El filtro del primer conjunto, inhibe las frecuencias mayores y menores a la fundamental; mientras que en el otro conjunto, se omiten las frecuencias superiores al primer armónico y las frecuencias inferiores a la frecuencia fundamental. Estos filtros colaboran para denotar el efecto no lineal del fenómeno termoacústico que se manifiesta en este dispositivo experimental y que aumenta al incrementar el flujo de calor.
También, en la Figura 4.15 se aprecian tres regiones definidas. En la primera región Q > 37 W, todos los valores de PA son mayores a 3000 Pa, en 10 sucesivo región no crítica. En esta región se observa un decremento notable de PA conforme Q disminuye. Para Q < 37 W, existen dos regiones. Una con PA > 4000 Pa, región de transición forzada, llamada así porque a ella pertenecen los experimentos con perturbación externa y presentan la misma tendencia que los de la región no crítica. La otra región con O < PA < 1 O0 Pa, primera región crítica, a ella pertenecen los experimentos sin perturbación externa con excepción de los puntos a y b. Ya que estos puntos (a y b) tienen la misma tendencia que aquellos de la región de transición forzada es posible que durante estos experimentos ocurriera una perturbación externa no provocada intencionalmente.
En la Figura 4.15 se etiquetaron algunos puntos para interpretar las aparentes incongruencias que presentan estos puntos, las cuales son consecuencia de no controlar la temperatura de la zona caliente y de la fría durante las mediciones. La línea vertical continua se traza únicamente para que sirva como referencia del inicio de la zona crítica que comprende los puntos designados con
12
METODOLOGiA EXPERIMENTAL
-
-.
I, 11,111, c, d y CI; estos puntos no presentan diferencia en el valor de PA al aplicar los filtros, el valor de Pa es muy pequeño pero no es nulo.
i 0 1 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : Región no critica ~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-
i ai i ! * : ! -
En la región no crítica que se observa en la Figura 4.15, el punto 2 presenta una diferencia con el comportamiento que muestra los puntos restantes de dicha región, debido a que el punto 2 es una medición continua de la medición del punto 1; es decir, se realizó la primera adquisición (puntol), permitiendo que el oscilador siguiera funcionando, posteriormente que se terminó de registrar los datos se procedió a realizar el segundo muestre0 (punto 2). Por otro lado, el punto 3 corresponde a una medición en las mismas condiciones que el punto 1, es decir de O W se llevó a 53 W y se realizó la adquisición. Los puntos l ' , 2' y 3', se señalan para distinguirlos cuando se ha aplicado el segundo filtro a la señal del micrófono. Se señalan los puntos A y B para discusiones posteriores.
j I* Cbn int~cambiador de calor (i204úO Hz). I s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
14000
12000
3 4 .s 10000
-2000 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
Flujo de calor (W) Qd Qd
Figura 4.15. Amplitud de la oscilación de presión (PA ) como función del flujo de calor (Q). Los puntos etiquetados se explican en el texto. La linea vertical continua separa la región critica de la no critica.
Debido a la pequeña magnitud de P A , el efecto no lineal se suprime en la región crítica como se muestra con los puntos etiquetados con I, 11, 111, c, d y CI, correspondientes a la Figura 4.16, donde se presenta la magnitud de la frecuencia del primer armónico, normalizada con la frecuencia fundamental, como función del flujo de calor. Sin embargo, el punto designado como IC, el cual pertenece a la región critica, no concuerda con el comportamiento mencionado. Lo mismo sucede con la magnitud normalizada de la frecuencia del segundo armónico del punto CI como se observa en la Figura 4.17, donde se presenta la magnitud de la frecuencia del segundo armónico, normalizada con la frecuencia fundamental, como función del flujo de calor. Esto
73
METODOLOGf A EXPERIMENTAL
0.6
0.5
0.4 L-
Y E 0.3 Q . 3 0.2
o. 1
0.0
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
Flujo de calor (W)
Figura 4.16. Magnitud de la frecuencia del primer armónico, normalizada con la magnitud de la frecuencia fundamental (mug fi /mug f, ), como función del flujo de calor (Q).
0.5
0.4
0.3 --
Y E
o. I
0.0
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
Flujo de calor (W)
Figura 4.17. Magnitud de la frecuencia del segundo armónico, normalizada con la magnitud de la frecuencia fundamental (mug f3 /mug f, ) como función de como función del flujo de calor (Q).
14
puede deberse a que en este experimento se presenta mayor ruido, es decir bandas de frecuencias con magnitudes comparables a la frecuencia del sistema que está claramente localizada. Los datos correspondientes a la región no crítica indican que las magnitudes de la frecuencia del primer armónico se presentan en un rango del 22-52 YO y las magnitudes de la frecuencia del segundo armónico son de 8-1 7 YO, como se muestra en la Figura 4.16 y 4.17, respectivamente
4.4.3. Evaluación del gradiente mínimo de temperatura media para generar ondas acústicas
Se han descrito las condiciones críticas para la generación de las ondas acústicas. Ahora, se procede a evaluar el gradiente mínimo de temperatura media; para ello, se reporta V T, como función del flujo de calor como se muestra en la Figura 4.1 8.
En la Figura 4.18, se observa que existen dos valores mínimos de Vi", en los experimentos como función flujo de calor. El primero corresponde a los experimentos donde la onda acústica es de mayor amplitud (región critica y región de transición forzada), en estos casos la transferencia de calor de la zona caliente a la zona fría de la zona activa a través de la onda acústica es importante; de tal manera que se obtiene un valor mínimo del VT,,, = 5500 K / m . El segundo corresponde a los experimentos donde la onda acústica es muy pequeña (primera región crítica), en este caso la transferencia de calor a través de la onda acústica es muy pequeña, por lo que la temperatura de la zona caliente se incrementa (ver Figura 4.19), incrementándose así el valor de Vi",,, = 7600 K / m .
9500
9000 h
3 8 5 0 0 -
ü 8000 E 2
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e 7500
$ 7000
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Figura 4.18. Gradiente axial de temperatura media ( V T,), a través de la zona activa, como función del flujo de calor ( Q ) .
METODOLQGf A EXPERIMENTAL
La existencia de estos dos valores mínimos de VT, se debe principalmente a que en los experimentos no se han controlado las temperaturas de la zona caliente y de la zona fría, como se ha hecho en los experimentos reportados en la literatura. Cabe destacar que los resultados reportados en este trabajo tienen relevancia en el caso de utilizar una fuente de energía como la solar, en donde no se controlaría la temperatura de la zona caliente y la variable independiente sería, como en estos experimentos, el flujo de calor.
Para los experimentos con intercambiador de calor, el valor del VT,,, anterior se disminuye a VT,,,n = 5300 K / m , esto se debe a la transferencia de calor desde la zona caliente hacia el intercambiador a través del vidrio, lo que hace que la temperatura en dicha zona sea menor a su correspondiente en los experimentos sin intercambiador (ver Figura 4.19).
750 r-
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Sin perturbación externa
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32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
Flujo de calor (W)
Figura 4.19. Temperatura de la sección caliente ( TH ) como función del flujo de calor (e).
Como se mencionó en la sección 3.2, la frecuencia ( f ) de la onda acústica generada depende principalmente de la temperatura de la zona fría ( Tc). En la Figura 4.20 se encuentra la gráfica de f como función de T,, la línea corresponde a la f calculada para T, . Los experimentos con mayor amplitud de la onda acústica tienen valores aproximados a los teóricos sin embargo muestran una pendiente diferente en la gráfica f(T,). Los experimentos con pequeña amplitud de la onda acústica (primera región crítica, excepto los puntos a y b) presentan valores mayores que los calculados. Esto señala una dependencia de la frecuencia con la amplitud de la onda acústica como se muestra en la Figura 4.21, donde se presenta la amplitud de oscilación de presión como función de la frecuencia. En esta Figura, se observa que para mayores amplitudes la
16
frecuencia es menor para un determinado flujo de calor (por ejemplo comparar los puntos a y b con los puntos c y d). Esto concuerda con lo obtenido en la sección 4.4.1. Aunque existe una dependencia de la frecuencia con la temperatura media (Figura 4.22) parece ser menos importante que la influencia de la amplitud.
Por lo anterior se concluye que cuando se controla el flujo de calor que suministra la resistencia eléctrica al extremo caliente de la zona activa ( Q ) existen dos valores críticos Qc, = 33 W y Qc2 = 37 W , para Q,, < Q < Qc2 (ver Figura 4.15) existen dos condiciones posibles: sin perturbación externa se genera una onda acústica de pequeña amplitud ( P A = 8 Pa) , en este caso el gradiente mínimo es VT,,,,,,, = 7600 K /rn y con perturbación externa se genera una onda acústica de mayor amplitud (PA = 4000 Pa) , en este caso el gradiente mínimo disminuye y tiene el valor de VT,,,,, = 5500 K / rn . Para Q > Q,, se genera una onda acústica de gran amplitud independientemente de si hay o no una perturbación externa.
- l l l C
2 161 -
2 160 -
* ‘Con intercambiador de caloT Frecuencia de resonancia
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Temperatura de la sección fría (“C)
Figura 4.20. Frecuencia de la onda acústica (f ) en función de la temperatura de la región fría ( Tc). Los símbolos corresponden a los datos experimentales y la linea corresponde a la frecuencia de resonancia
calculada para T, .
77
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
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I: :IC I I, II
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O 2000 4000 6000 8000
Amplitud d e la oscilación de presión en el antinodo (Pa)
Figura 4.21. Frecuencia de la onda acústica (f ) como función de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo ( P A ).
167
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,$ 164
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1 161 2 "g 160
3 159
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0
158
Temperatura media ("C)
Figura 4.22. Frecuencia del sistema (f) como función de la temperatura media (T,). Los símbolos corresponden a los datos experimentales, la linea continua corresponde a un ajuste de
segundo orden.
78
COMPARACIÓN DE RESULTADOS TEÓRICOS, NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
5. COMPARACI~N DE RESULTADOS TE~RICOS, NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
En este capítulo se presenta la comparación de los valores numéricos con los resultados experimentales que corresponden al OSTA4. Así como la comparación entre los resultados teóricos del VT,,,,, y los resultados experimentales.
Los resultados numéricos se obtuvieron con el programa de evaluación, descrito en la sección 3.2, en el cual se ingresan como datos de entrada los valores experimentales de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo, la temperatura de la sección caliente, la frecuencia de la onda acústica y los parámetros geométricos del OSTA4. Debido a que no se evaluaron las pérdidas de flujo de calor al medio ambiente en el experimento, en el programa se propone un valor del flujo de entalpía hasta que se logra una amplitud de la oscilación de presión, en el extremo abierto (nodo de presión), menor a 0.002 Pa.
Los resultados teóricos del VT,,,,,, se obtienen de los análisis de estabilidad de A. Rivera- Álvarez y F. Chejne (2001), presentados en la sección 2.6. Estos resultados se comparan con los resultados del V T,,, , obtenidos experimentalmente. En esta comparación se incluyen los resultados teóricos de la posición óptima (x, , ) para máxima potencia, los cuales se obtienen de la teoría de máquina pequeña (ecuación 4.2). Esta confrontación de resultados, se realiza también a trabajos experimentales de otras investigaciones.
5.1. Comparación entre los resultados numéricos y experimentales del OSTA4
En la Figura 5.1 se muestra el gradiente de temperatura media obtenido experimentalmente junto con el obtenido numéricamente como función de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo, únicamente para los experimentos donde la onda acustica no presenta componentes de segundo orden. Los resultados numéricos sobrestiman el valor experimental del gradiente de temperatura media en a lo más del 4 %, lo cual indica que los resultados numéricos muestran buena concordancia con los experimentales.
En la Figura 5.2 se presentan los valores numéricos del flujo de entalpía y los valores experimentales del flujo de calor aplicado al extremo caliente de la zona activa, ambas como función del gradiente de temperatura media para los mismos experimentos de la Figura 5.1. Nótese que las escalas del flujo de entalpía y del flujo de calor son distintas, de hecho el flujo de entalpía es dos ordenes de magnitud menor que su correspondiente flujo de calor, esto indica grandes pérdidas de energía. Para el diseño de un motor termoacústico que sea para aplicaciones éstas se deben de reducir. Se observa que el valor más grande del flujo de calor corresponde al OSTA4 con intercambiador de calor en la sección fría y sin embargo, el flujo de entalpía es el más pequeño. Estos resultados señalan que la presencia del intercambiador de calor ocasiona que el flujo de calor hacia el exterior aumente, disminuyendo la entrada de calor al proceso termoacústico (entalpía). También, se nota que conforme aumenta el gradiente de temperatura se incrementa el flujo de calor y el flujo de entalpía.
I9
COMPAR4CI6N DE RESULTADOS TEÓRICOS, NUMCRICOS Y EXPERIMENTALES
* grad Trn (valores nurnericos co:n intercmbiador) ' 5500 ........*.. ....: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :.... . . . . . . . . . .A.. . . . . . . . . . . . :... . I * .I
5000 I I I I I
9000 I V I I I I I I
0.30
......
I ' I ' I ' I ' I ' I I '
& ; ............ :~ . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . »i . . . . . . . . . . ~
37.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-
1 0 ' o i o ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........... ' O Flujv de calor sin intercambiador
6500 1 . . . . . . . . . ..;..~ ................................ i.... .............. i ................. . .
E k
6 O h a d Trn (Valores expeirnental&)
0.25 .-I..*.. Flujode-calor&n intercambiador ....I........ & .... . . . : 1 n - m . . . . . . . . ~ O Flujo de entalpiask inlercpbiador i,.,, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
.- I * Flujo de entdpia con intertambiador I E
4 2 0.20 ~ ~ . . : :, : :... ~ . . ; ~
» I :
I » i :
..... ........ ............. ......... ............... ............ .............. O
Lr
.? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-
* I l l l l l l l l l i l l , 0.15
O grad Tm (Valorcs numtricor) grad Tm (Valores r~perimcnwlcs con inicrcmbiador,,
6000
36.5 v 8
36.0 4 'E? G:
- m o O
35.5
35.0
Figura 5.1. Mínimo gradiente axial de temperatura media como función de la amplitud de la oscilación de presión en el antinodo.
Figura 5.2. Flujo de entalpía calculado numéricamente y valor experimental del flujo de calor aplicado en el extremo caliente de la zona activa, ambos como función del gradiente axial de temperatura media.
80
COMPARACIÓN DE RESULTADOS TEORICOS, NUMERICOS Y EXPERIMENTALES
Los resultados experimentales con valores mayores de la amplitud de la onda acústica no se comparan con resultados numéricos porque tiene componentes importantes de segundo orden (ver Figura 4.16), mientras que el programa está basado en una aproximación de primer orden. Se intentó obtener resultados numéricos correspondientes a estos experimentos y se encontró que se necesita mayor flujo de entalpía que el flujo de calor que se suministró al oscilador. Esta incongruencia demuestra que la teoría de primer orden no es aplicable cuando hay componentes de segundo orden.
5.2. Comparación entre los resultados del análisis de estabilidad y los resultados experimentales
Se compara el valor experimental del gradiente mínimo de temperatura para OSTA4 y el valor experimental del gradiente de temperatura crítica (VT,,,) de otros osciladores termoacústicos reportados en la literatura con los valores teóricos correspondientes que se obtienen de los análisis de estabilidad con cuatro modelos diferentes.
En la Tabla 5.1. se muestran los parámetros fisicos y geométricos de los osciladores termoacústicos reportados en la literatura. En la Tabla 5.2 se presentan los resultados teóricos del V T,,, para los cuatro modelos:
I
2
Modelo 1 con p = O y Ax = O ( VTmcleol , ecuación (2.107)),
ecuaciones (2.108) y (2.109)), Modelo 2 con p = O y Ax # O (VTmcle0, , Modelo 3 con p # O y Ax = O ( VTmcleolv , ecuaciones(2.110)y(2.114)) y Modelo 4 con p it O y Ax it O (VT,,,,, ,ecuaciones (2.115)-(2.118)), 4
así como el resultado experimental ( VTmcezp). También, se presenta VTmccxp IVT,,,, 4 . Se
observa que en todos los casos con p = O , el tomar en cuenta la longitud de la zona activa aumenta el V T,,,, i.e.
(5.1)
Sin embargo con p # O , disminuye el V T,,,,,I al tomar en cuenta la longitud de la zona activa, i. e.
(5.2)
I 2 VTmcreol < VTmcteor .
3 4 VTmcreo/v "Tmeteorv .
4 I En todos los casos VT,,,, > VTmcleol . Exceptuando los osciladores con helio a P' > ónim (Swift, 1992), en los demás se tiene que
81
COMPARACI6N DE RESULTADOS TEORICOS, NUMÉRICOS Y EXPERIMENTALES
El hecho de que VT,,, > VT,,,e,, , se debe a las pérdidas de energía por la presencia de los intercambiadores de calor y al resonador, que no son consideradas en el modelo.
El hecho de que los osciladores con P,,, > 6 utm presenten VT,,,, < VT,,,e, , puede deberse a que el fluido (helio) ya no se comporta como gas ideal para estos valores altos de presiones media.
Estos resultados válidos son importantes para P, < 6 utm como guía de diseño en osciladores
con gas como fluido de trabajo. Se puede esperar que si VTmceXp > 3 VT,,,e, el oscilador funcionará.
4
82
Tabla 5.1. Parámetros físicos y geométricos de distintos trabajos experimentales reportados en la literatura.
cos fop-
[Hz]
33.18
289.54 131.03 98.59
125.00 94.27 67.84 47.28
190.01 159.85 150.98 137.27 128.21 113.74 88.29
268.1 1 30.85 5.27
33.18
23.01
80.64 88.16
58.46
80.62
Autor I año
Arnott et al., 1992
Atchley, 1992
f e x p
[*I
115.0
505.2 509.4 510.5
123.0 120.9 120.1 120.2
317 316 315 314 315 315 315
304 95 40
288
264.0
165.1 166.0
380.0
584.0
Swift, 1992
296
293
303
293
293
300
91.5
300 315
145
303
Arnoti et al., 1994
384.00
488.00 458.00 483.00
507.00 452.00 430.50 425.50
380.00 376.00 375.35 375.25 375.75 377.00 380.00
380.50 358.00 347.00
355.00
146.25
591.50 529.00
218.50
_-_
Belcher et al., 1999
Belcher, 1996
CI-CIE
CIE- CENIDET
CENIDET DEMO-CIE- CENIDET Ecuación
CI-CIE-
0.0402
0.0350 0.0350 0.0350
0.2790 0.2790 0.2790 0.2790
0.0508 0.0508 0.0508 0.0508 0.0508 0.0508 0.0508
Forma de poro1 Fluido
Cuadrado Aire PP'
Helio Helio Helio
Cilíndrico Helio Helio Helio Helio
Cuadrado Helio Helio Helio Helio Helio Helio Helio
Cuadrado Helio Argón S F T
Cuadrado Aire PP' Aire
Cuadrado Aire Aire PP' Aire
Cuadrado Aire
)
0.00077
0.00077 0.00077 0.00077
0.0005 0.0005 0.0005 0.0005
0.00077 0.00077 0.00077 0.00077 0.00077 0.00077 0.00077
Estructurz del
resonador
Semi- cerrado
Cerrado Cerrado Cerrado
Cerrado Cerrado Cerrado Cerrado
Cerrado Cerrado Cerrado Cerrado Cerrado Cerrado Cerrado
Cerrado Cerrado Cerrado
Cerrado Semi-
cerrado
Semi- cerrado Semi-
cerrado Semi-
cerrado
Pm [arm1
1 .o0
1.68 3.71 4.93
5.2 6.9 9.6 13.8
1.41 1.68 1.82 1.95 2.09 2.36 3.04
1 .o0 1 .o0 1 .o0
1 .o0
1 .o0
1.00 1 .o0
1 .o0
1 .o0
Parámetros x Parámetrc
0.72678
0.9989 0.9989 0.9989
4.320 4.320 4.320 4.320
1,60546 1.60546 1.60546 1.60546 1.60546 1,60546 1.60546
1.290 1.290 1.290
0.6089
0.1750
0.556 0.556
0.1731
0.149
0.0508 0.0508 0.0508
0.00077 0.00077 0.00077
geométri 1
[ml
0.00005
0.00014 0.00014 0.00014
0.00005 0.00005 0.00005 0.00005
0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005
0.00005 0.00005 0.00005
0.00005
0.000 1 o
0.00005 0.00005
0.00010
0.00005
5
xsexp
[ml
0.24608
0.08012 0.08012 0.08012
0.4785 0.4785 0.4785 0.4785
0.27363 0.27363 0.27363 0.27363 0.27363 0.27363 0.27363
0.27363 0.27363 0.27363
0.06595
0.048
0.1390 0.1390
0.501
0.062
xsteo
[ml
0.36339
0.24972 0.24972 0.24972
1 .O80 1 .O80 1.080 1.080
0.40136 0.40136 0.40136 0.40136 0.40136 0.40 136 0.40136
0.3225 0.3225 0.3225
0,152220
0.0875
0.2780 0.2780
0.0865
0.0745
83
N a S E
2 ; D
3 a
? . s -
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Las principales conclusiones derivadas de esta tesis son las siguientes:
G Se encontró una diferencia del 40 % entre los valores de los coeficientes experimentales de OSTA3 y OSTA4, en la expresión del valor de la posición óptima de la zona activa con respecto a la longitud del resonador (x , , = 0.42 LreJ y x,, = 0.25 LreS4). Esta discrepancia puede deberse al diferente valor de la frecuencia fundamental que se presenta en cada oscilador termoacústico; o por la distinta proporción que existe entre la longitud de la zona activa y la longitud del tubo resonador ( Ax3 / L, = O. 1678 y Ax4 / L, = O. 1097 ).
En la posición óptima (máxima amplitud de la oscilación de presión en el antinodo) se registró un valor mínimo del gradiente de temperatura media, lo que confirma aún más dicha posición. Además, se encontró que en esta posición se presenta un mínimo en el valor de la frecuencia.
< * Se encontró que, cuando el flujo de calor que se suministra al oscilador termoacústico es la variable independiente, existen dos valores críticos Qcl =33 W y Q,, =37 W. Para Q,, < Q < Qc2 (ver Figura 4.15) existen dos condiciones posibles: sin perturbación externa se genera una onda acústica de pequeña amplitud (PA = 8 Pa), en este caso el gradiente mínimo es VT,,,, i- 7600 Kím y con perturbación externa se genera una onda acústica de mayor amplitud ( P A Z= 4000 Pa), en este caso el gradiente mínimo disminuye y tiene el valor de VT,,,, i- 5500 Kím. Para Q > Q,, se genera una onda acústica de gran amplitud independientemente de si hay o no una perturbación externa.
Estos resultados no se encuentran reportados en la literatura y tienen relevancia en el caso de utilizar una fuente de energía como la solar, en donde no se controlaría la temperatura de la zona caliente y la variable independiente sería, como en estos experimentos, el flujo de calor.
Se comprobó que la frecuencia es función principalmente de la temperatura de la sección fría (ver las Figuras 4.13 y 4.20), y en menor grado de la temperatura media (ver las Figuras 4.14 y 4.22). Se encontró que la frecuencia es también función de la amplitud de la oscilación de presión (ver Figura 4.21). Este resultado tampoco se encuentra reportado en la literatura.
:* Se compararon los resultados del programa de simulación numérico basado en el algoritmo de solución al modelo teórico propuesto por Swift (1992) (programa de evaluación, sección 3.2), con los resultados experimentales del oscilador construido, correspondientes a valores pequeños de la amplitud de la onda acústica ( P A < 60 Pa). Los resultados numéricos del valor del gradiente de temperatura media son satisfactorios, sobrestiman el valor experimental en a lo más el 4 % (ver Figura 5.1). Para estas simulaciones, el único valor que se supuso es el valor del flujo de entalpía (flujo de calor que se suministra al proceso termoacústico) hasta que se logró una amplitud de la oscilación de presión, en el extremo abierto (nodo de presión), menor a 0.002 Pa. Encontrándose que, el flujo de entalpía es dos
85
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
ordenes de magnitud menor que el correspondiente flujo de calor que suministra la resistencia eléctrica (ver Figura S.2), esto indica grandes pérdidas de energía al ambiente. Para el diseño de un motor termoacústico que sea para aplicaciones éstas se deben de reducir.
.+ Se encontró que el resultado experimental del gradiente de temperatura media crítica ( ~ T , , , , ) , de seis osciladores termoacústicos reportados en la literatura, dos construidos en el C.1.E.-CENIDET y otro en el C.I'.-C.LE, es a lo más 2.8 veces el valor teórico de dicho gradiente (VTmcr,,), el cual se calcula con el modelo más completo de Rivera-Álvarez y Chejne (modelo cuatro, VTmCfeon).
Para trabajos futuros se hacen las siguientes recomendaciones:
:* Para el diseño de un oscilador termoacústico, utilizar como primer paso el cuarto modelo de Rivera-Álvarez y Chejne para estimar el valor del VT,,,, y considerar tres veces este valor como posible valor del VT,,,, real. Como segundo paso, utilizar el programa numérico de evaluación, desarrollado en esta tesis, para afinar el diseño.
i:* Para utilizar el programa de evaluación en el diseño o rediseño de un oscilador que use un fluido distinto al aire, se necesita adicionar la ecuación de estado que le corresponde al fluido de trabajo.
:.!.: Para mejorar la eficiencia de los motores se deben separar térmicamente las secciones del tubo resonador, que corresponde a cada una de las zonas y aislar térmicamente las zonas que se encuentran a diferentes temperatura que la ambiente.
Para realizar experimentos, similares a los de esta tesis, en condiciones estacionarias por mayor tiempo, se debe utilizar un intercambiador de calor interno en la zona fría que permita fijar la temperatura fría de la zona activa.
:* Para comprobar la justificación sobre la existencia de los dos valores experimentales de la posición Óptima, descrita en la primera conclusión, se sugiere que se realicen más experimentos. Estos experimentos pueden realizarse con osciladores que tener diferentes longitudes de tubo para una determinada proporción Ax/&, y distintas longitudes de zona activa para una misma longitud del tubo.
...
' Centro de Instrumentos de la U.N.A.M. 86
APENDICE A PROPIEDADES FiSlCAS DEL AIRE Y DE LA CERÁMICA
APÉNDICE A: PROPIEDADES FÍSICAS DEL AIRE Y DE LA CERÁMICA
En este apéndice se presentan las relaciones que proporcionan los valores de las propiedades fisicas del aire y de la cerámica. Los valores correspondientes al aire se emplean en el programa auxiliar y en el programa de evaluación.
A.l. Propiedades del aire
Los valores de las propiedades físicas del aire se expresan como función de la temperatura media y de la presión media. Dichas valores son obtenidos por correlaciones que se reportan en el manual de propiedades físicas de líquidos y gases de Vargaftik et al. (1996).
La densidad media se calcula por medio del factor de compresibilidad (Z,), el cual es una medida que resulta del cociente del volumen específico real (vreoi) entre volumen específico ideal (vldea/), es decir, mide la desviación del comportamiento de un gas real con respecto al comportamiento de un gas ideal (Wark, 1997)
(Al . l )
donde R , es la constante particular del gas (en este caso aire). De tal modo que, a través de calcular el factor de compresibilidad para un gas determinado se puede calcular una de las siguientes variables conociendo las otras dos: la densidad media, temperatura media y la presión media. Como la densidad es la propiedad de interés en este caso, se calcula con la siguiente expresión:
(Ai .2) Pidear
Zgas P m =->
donde pideal es la densidad del gas calculada con la ecuación de estado ideal.
El factor de compresibilidad expresado como
(Al .3)
donde
(A1.4) p=- Pffi PO
x=- Tm Tcr
(A1.5)
y b, son coeficientes Correspondientes a la sustancia de interés; se le conoce como ecuación de estado virial. Los coeficientes viriales del aire, reportados por Vargaftik et al. (1996), son:
87
APENDICE A PROPIEDADES FiSlCAS DEL AIRE Y DE LA CERÁMICA
blo = 0.366812 ~ 1 0 ' b,, =-0,252712 xl0' b,, = - 0.284986 x 10' b,, = 0.360179~10' b,, = - 0.3 18665 x 10' b,, = 0 .154029~10~ b16 =-0.260953 xlO0 b,, =-0.391073 x 10-1 b,, = 0.140979 x 10' b,, = -0.724337 x 10.' b,, = 0.780803 x 10' b23 = - 0.143512 x 10' b,, = 0.633134~10'
b,, = 0.634585 x 10' b,, = -0.16291 2 x 10' b, = ~ 0.217973 x 10' b,, = 0.925251 x lo-' b,, = 0.893863 x lo5 b,, = -0.444978 x 10' b,, = -0.734544~ 10' b,, = 0.199522 x 10.' b,, = -0,176007 x 10' b,, = -0.998455 x 10" b,, = -0.620965 x 10.' b,, = 0.285780 x 10' b,, = 0.258413~10'
b,, =-0.891O12x1O0 b,, = 0.582531 x lo-'
b,, = 0.749790 x 10.' b,, = 0.859487 x 10"
b2, = 0.172908~10'~ b,, = - 0.790202 x 10.' b31 =-0.213427x10° b,, = - 0.125167 x 10' b33 =-O. 164970 x 10' b,, = 0.684822 x 10' b3, = 0.221185~10' b3, = 0.634056 x IO-' b,, = 0.313247~10'
b4l = 0 . 8 8 5 7 1 4 ~ 1 0 ~
bM = -0.884071 x 10" b7, = -0.636588 x 10.' b,, =-0.105811 xlOo b,, = -0.345172 x 10.'
b7, = 0.429817 x 10" b,, = 0.631385 x109 bso = 0.1 16375 x IO" b,, = 0.361900 x10" bs2 = -0.195095 x 10.' b,, = -0.379583 x lo-, ,
Los valores de los parámetros críticos y la constante particular correspondientes al aire son: T, = 132.5 K, p, =316.5 kg/m3, R, = 287.1 J/(kg*K).
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación (Al .2), se obtiene la densidad media del aire en kg/m3.
88
APMDlCE A PROPIEDADES FkICAS DEL AIRE Y DE LA CERÁMICA
8 9 10
Las correlaciones, citadas por Vargaíiik et al. 1996, para la viscosidad dinámica (Pa*s) y la conductividad térmica (W/(m*K)) del aire gaseoso diluido (a bajas presiones) son
-107.0340 4 1 -27.901 7 5 O 29 0736 5 1
p,, . lo7 = - 6 6 1 9 ~ - ' . ~ +322 .119~- ' - 5 4 7 . 9 5 8 ~ ~ . ~ +347.63+38.4042~-2 .18923~"~
(Al .6)
KO .lo' = -18 .5809~- ' .~ +103.23~- ' -219.744~- ' .~ +222 .852-109 .445~~.~ . (A1.7) + 37.8137 x - 3.43349 x1.5
Las ecuaciones para valorar los incrementos de la viscosidad dinámica ( A p ) y de la conductividad térmica ( AK ), dada una temperatura y presión (incluyendo la región crítica) están expresadas como
(A1.8)
(Al .9)
Para obtener la viscosidad dinámica y la conductividad térmica para cualquier presión y temperatura, se suman dichos incrementos de tal manera que
(Al. 1 O) 89
APÉNDICE A PROPIEDADES F~SICAS DEL AIRE Y DE LA CERÁMICA
La capacidad comportamiento del
K (m, x)= KO(X)+ AK 01, a) > (Al. l l) térmica específica a presión constante se puede evaluar por medio del gas ideal, descrito por el siguiente polinomio
donde a, = 0.661738~10~ a, = - 0.105885 x 10' a2 = 0.201650 x 10'
pi = -0.549169~ 10' p2 = 0.585171 x 10' p3 = -0.372865 x 10'
(A1.12)
a3 =-0.196930~10-' a4 = 0.106460 x a5 = -0.303284 x I O 4
p4 = O. 133981 x 10'
p5 = - 0 . 2 3 3 7 5 8 ~ 1 0 ~ p6 =-0.125718~10~' o = T/100 a6 = 0.355861 x
A.2. Propiedades de la cerámica
Las propiedades físicas de la cerámica que se utilizaron para el cálculo del orden de magnitud del valor del coeficiente que resulta entre las propiedades del fluido y de la cerámica, corresponden a una cerámica con 85% de magnesio, a una temperatura de 293 K (Welty et al., 1976). Estas propiedades físicas son
Densidad ps = 270 kg/m3 Calor específico Conductividad térmica
C, = 8 . 4 ~ 1 0 - ~ J/(kg*K) K , = 0.066 W/(m*K)
Se emplearon estos valores aunque se desconoce la composición de la cerámica de que está hecha la pieza que se utilizó en los experimentos como zona activa.
90
AF'ENDICE B MSTRUMENTAClbN
APÉNDICE B: INSTRUMENTACI~N
A continuación se presentan diferentes arreglos de la instrumentación que se hicieron para desarrollar los experimentos de esta tesis, como son: el circuito amplificador que aumenta el voltaje que registra el micrófono, la calibración del micrófono y la calibración del termistor que se emplea para la medición de la temperatura que se tiene en la tarjeta de conexión de los termopares.
B.l. Diseño del circuito amplificador del micrófono Sharp
En la medición de las oscilaciones de presión se utilizó un micrófono de la marca Sharp, conectado a un circuito amplificador cuyo componente principal es un amplificador de la serie LM741. Este circuito está conFigurado para que aumente diez veces la señal de voltaje que registra el micrófono. El diseño del circuito es el siguiente
Figura B1. Diseño del circuito amplificador de la señal de voltaje de salida del micrófono.
Los valores de las resistencias y del capacitor que se muestran en la Figura B 1, son los siguientes R1 =IO00 R , R 2 =10000Cl, C1 =O. 1 pF.
B2. Calibración del micrófono Sharp
Para evaluar la respuesta del micrófono a las ondas acústicas estacionarias se realizó una calibración del micrófono para tres valores de frecuencias de ondas acústicas. Para ello se utilizó la guía de ondas que se presenta a continuación.
91
APÉNDICE B INSTRUMENTACIÓN
La guía de ondas está acoplada a un sistema generador de ondas acústicas. El sistema que genera la onda acústica comprende: un generador de señales marca Wavetek modelo 29, con impedancia de salida de 50 R, amplitud en voltaje de 2.5 mVpp a I O Vpp y un rango de frecuencias de 100
a IO MHz para una forma de onda senoidal; conectado a un amplificador Onkyo RI modelo A-RV410, con potencia de salida de 80 W a impedancia de salida de 8 Q y éste a su vez se conecta a una bocina JLT de 8 R y potencia máxima de 45 W. Además se utiliza un mutímetro digital Hewlett-Packard modelo 3468A para observar el voltaje de alimentación de la bocina.
La guía de ondas utilizada es un ducto semicerrado de sección transversal rectangular de 0.098 m x 0.054 m y longitud interior de L = 0.60 m. Está formado por dos paredes laterales de acrílico transparente, la base y la tapa de naylacero. Además, en un extremo de la guía de ondas ( x = 1.20 m) está colocada la bocina y el extremo opuesto ( x = O m) está cerrado con una tapa de acrílico. En esta tapa se colocan el micrófono Sharp, a calibrar, y el micrófono Brujzr & Kajer, como patrón de calibración. En la Figura B.2 se muestra un esquema del dispositivo para la calibración.
Micrófono B r u j a &
Sistema de Kaier
I adquisición de alta velocidad
Generador n \Bocina 1
Amplificador K I *-
Amplificador de
Micrófono Sharp
Figura B2. Montaje del dispositivo acústico utilizado para la calibración del micrófono Sharp.
Los resultados de la calibración del micrófono Sharp se muestran en la Figura B3, donde se tiene la amplitud de oscilación de presión (en el antinodo de presión) que se registra con un micrófono Brujzr & Kajer, modelo 4165 como función del voltaje de salida del circuito amplificador acoplado con el micrófono Sharp, modelo 273-078 ( E,,,,c).
En la Figura B3 se nota que hay mayor sensibilidad cuando se incrementa el valor de la frecuencia para estas tres frecuencias analizadas. Se realizó un ajuste de tercer orden a los datos experimentales para cada frecuencia, obteniendo los siguientes resultados
92
APÉNDICE B INSTRUMENTACIÓN
Parala f = i i O Hz PH =2+1918E,,, -471 +150
¿7pH = 2 + 2 0 E , i c + 3 7 E ~ i c + 1 8 E ~ i c .
Para la f = 155 Hz PH =4+1339E,;, -251Eij, + 5 2 E i i , , 6 = 4 + 9 E,, +10 E,, + 3 E,, . 2 3 PH
Parala f = 2 0 0 Hz PH = -0.4 + 1066 Emit - 244 E;ic + 66 6, = 0.4 + 7 Emit + 23 E,, + 22 2
(B2.1)
(B2.2)
(32.3) (B2.4)
(B2.5) (B2.6)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 I .o 1.2 1.4
Voltaje (v)
Figura B3. Curvas de calibración del micrófono Sharp en una onda acústica. Los símbolos corresponden a los datos experimentales. Las líneas continuas corresponden a un ajuste de tercer orden. Ambas
incertidumbres, la del valor del voltaje y la de la amplitud de oscilación de presión, son menores al tamaño del simbolo.
B.3. Calibración del termistor
Para medir la temperatura que se presenta en la tarjeta de conexión de los termopares se utilizó un termistor, su curva de calibración se obtuvo por medio de un calibrador de temperaturas JOFRA modelo D55SE.
93
APMDICE B MSTRUMENTACIÓN
La curva de calibración se muestra en la Figura B4, donde se tiene la temperatura media (T,) como función de la resistencia eléctrica del termistor ( Re,e). En esta figura se observa que hay una relación lineal entre la temperatura y la resistencia eléctrica, la cual se expresa como
T = 301.2-0.0133 Refe , (C2.4) (C2.5)
Esta ecuación es el resultado de realizar un ajuste de mínimos cuadrados a los datos experimentales.
5 6, = 0.3 -1~10- Rele.
40
35
.................. :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '" ... ..;..~ ...... j .......... j . . . . :< ~ 3 E : .......................................................................... : : : ; : ' : ..................
19800 20000 20200, 20400 20600 20800 21000 21200 21400 21600
Resistencia eléctrica del termistor (C2)
Figura B4. Curva de calibración del termistor. Los símbolos corresponden a los datos experimentales. La línea continua corresponde a un ajuste de mínimos cuadrados a los datos experimentales. La incertidumbre
del valor de la temperatura es menor al tamaño del símbolo.
94
APÉNDICE c: ANÁLISIS DE INCERTIDUMBRE
En este apéndice se describen los métodos usados para calcular las incertidumbres de los resultados experimentales.
La incertidumbre asociada a la frecuencia es (Press et al., 2002) 1
6fiec = f 1 Afe/ > (Cl.1)
donde Afdf es la resolución del valor de la frecuencia que se tiene en el espacio de Fourier y está determinada por
(C1.2)
donde f,,, es la frecuencia de muestreo y nd es el número de datos adquiridos durante un muestreo. La frecuencia máxima analizada en el espacio de Fourier es
(C1.3)
De esta manera, el análisis de Fourier que se realiza a las señales de voltaje del termopar y del micrófono, incluye componentes en el espacio de frecuencias de hasta f,, = 1666.6 Hz con una resolución de AYef = 0.2 Hz, por lo que Gfrec = f 0.1 Hz.
La incertidumbre que se asocia a los parámetros eléctricos es la mitad del valor que corresponde al mínimo valor que se puede medir con la fuente de energía utilizada, cuyo valor es de lo-’ V para la diferencia de potencial y de 1 O-’ A para la intensidad de la corriente eléctrica (Agilent Technologies, 2000).
La incertidumbre que se asocia a los datos experimentales de presión y de temperatura reportados en esta tesis, es calculada considerando la desviación estándar obtenida en las mediciones correspondientes al parámetro en cuestión. También, se considera la incertidumbre asociada a la calibración del transductor con que se mide dicho parámetro; de tal manera que, la incertidumbre de la temperatura 6T se calcula como (Miranda, 2004)
= +tee, + 6Tr;a > (C1.4) donde Sr,,, es la desviación estándar obtenida en las mediciones de temperatura y Sr,, es la desviación estándar obtenida en la calibración del transductor. De manera similar, se calcula la incertidumbre de la presión. Esta incertidumbre se le conoce como incertidumbre estándar combinada. Cabe aclarar que este procedimiento evalúa la incertidumbre del resultado de una medición, posteriormente se describe otro procedimiento para calcular la incertidumbre del resultado de varias mediciones.
Como ejemplo de aplicación de este procedimiento, en la Tabla C. 1 se muestran dos evaluaciones de la incertidumbre estándar combinada de la temperatura del extremo frío de la zona activa (ver
95
Medición Temperatura lTmd sr,, T, =300.5 0.5 1 .o
Tc =307.2 0.9 1 .o
K K
1 TH = 580.3 1.1 1 .o
2 7'" =619.1 1.4 1 .o
K
Para la estimación de la incertidumbre en el resultado calculado, a partir de las incertidumbres de los resultados experimentales, se utiliza un método presentado por Kline y Mc. Clintock (1953) y referido por Holman y Gajda (1978). Si el resultado calculado Y es una función de las variables independientes xI, x2, xj ,..., x, ,
y las incertidumbres de las variables independientes &, ,dX2 ,&3,...,&, tienen la misma mobabilidad, entonces la incertidumbre del resultado se calcula como
y = YJ (XI, x i , x3,..., Xn) > (C1.5)
lT K 1.1 1.5 1.3 1.7
I/2
(C1.6)
Empleando este método para estimar la incertidumbre de la temperatura media (ecuaciones (C1.5)~ (C1.6)), la cual esta definida como
T E TH -'C (C1.7) 2 rn
resulta que Y = T, FH ,T,), (C1.8)
x2 =Tc. (Cl . I O) XI = T H > (C1.9)
Por io tanto, la incertidumbre es
(C1.11)
donde f l H y f l c se calculan con la ecuación C1.4. De la misma manera se calculan las incertidumbres de los parámetros restantes.
Como ejemplo de aplicación de este procedimiento, en la Tabla C.2 se muestran las dos evaluaciones de la incertidumbre calculada de la temperatura media (ver Figura 4.14), las cuales
96
Medición
1 2
91
%I
T,,, = 440.4 0.9 T,,, = 463.2 1 . 1
Temperatura media K
K
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