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F = 2÷3 in dipendenza del grado di conoscenza del sottosuolo.
I valori del coefficiente di sicurezza possono essere ridotti al 75% dei valori su riportati
nel caso di opere temporanee; in ogni caso, l'esperienza sconsiglia di adottare valori minori di 2.
Per strutture molto alte i valori sopra indicati devono essere aumentati dal 20% al 50%.
Il regolamento italiano (D.M. 11.3.88) prescrive che la scelta del coefficiente di
sicurezza sia adeguatamente motivata e, per le opere ordinarie, nei casi in cui non siano stati
eseguiti studi e indagini particolari, fissa un valore minimo F = 3.
10.3 - VALUTAZIONE DEI CEDIMENTI
10.3.1 - Considerazioni generali
Cause dei cedimenti - Le cause dei cedimenti di una fondazione superficiale possono essere
molteplici; quelle più comuni sono: deformazioni del terreno sotto l'azione dei carichi trasmessi
dalla fondazione; riduzione di volume del terreno di fondazione dovuta a processi di
consolidazione indotti dall'abbassamento della superficie libera della falda idrica (subsidenze);
deformazioni del terreno di fondazione conseguenti a scavi all'aperto o in sotterraneo effettuati
nei pressi dell'opera; addensamento di terreni incoerenti sciolti a seguito di vibrazioni indotte dal
traffico, da macchine vibranti, da terremoti, ecc.
I cedimenti dovuti alla prima causa si verificano in maggiore o minore misura in tutti i
casi; pertanto nel seguito si farà riferimento soprattutto a questi cedimenti. Quelli dovuti alle
altre cause sopra elencate sono meno frequenti e tra l'altro sono di difficile valutazione, per cui si
tende piuttosto a fare in modo che non si abbiano cedimenti, operando opportune scelte
progettuali (profondità del piano di posa) o prevedendo adeguate opere di sostegno degli scavi o
interventi di miglioramento delle caratteristiche dei terreni (compattazione dei terreni incoerenti
sciolti).
Tensioni indotte nel sottosuolo - Quando un carico è applicato sulla superficie di un
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semispazio, al suo interno si generano incrementi di tensione (Δσ) rispetto alle tensioni
preesistenti dovute al peso proprio (tensioni litostatiche). Per valutare le deformazioni del
terreno e quindi i cedimenti della superficie su cui agisce il carico, è necessario definire la
grandezza degli incrementi di tensione indotti nel terreno sottostante l'area caricata.
Caratteristiche di deformabilità dei terreni - Per il calcolo dei cedimenti devono essere note
le caratteristiche di deformabilità dei terreni presenti nel sottosuolo, cioè le relazioni tensioni- -
deformazioni-tempo. Come visto al Capitolo 8, tali relazioni variano con il tipo di terreno e con
le condizioni di drenaggio ed i parametri che le descrivono vanno determinati sperimentalmente.
Il terreno come mezzo elastico per il calcolo dei cedimenti - Molti problemi geotecnici
possono essere risolti assumendo che la legge costitutiva del terreno reale coincida con quella di
uno dei modelli reologici semplici. In particolare, il calcolo delle tensioni e delle deformazioni
del terreno sotto l'azione del peso proprio o di forze esterne può eseguirsi con l'ipotesi che il
terreno sia un mezzo elastico. I problemi di cedimenti delle fondazioni di manufatti ricadono in
questa categoria se il coefficiente di sicurezza nei riguardi della rottura del terreno di fondazione
è elevato (≥ 3).
Nell'applicare la teoria dell'elasticità ai terreni reali, va tenuto presente che il modulo di
deformabilità non è costante, ma dipende dallo stato di tensione iniziale e dal valore
dell'incremento di tensione.
Il modello reologico ideale rappresenta sia il comportamento del terreno nel suo
insieme (solido e fluido interstiziale), sia il comportamento del solo scheletro solido. Nel primo
caso le relazioni tensioni-deformazioni sono date in funzione delle tensioni totali, nel secondo in
funzione delle tensioni efficaci. Nelle applicazioni saranno indicati i casi nei quali si deve far
riferimento alle tensioni totali e quelli nei quali si deve far riferimento alle tensioni efficaci.
Cedimenti immediati e cedimenti nel tempo - Nel caso di sottosuolo formato da terreni
permeabili (ghiaie, sabbie), sia in assenza che in presenza di falda idrica, i cedimenti delle
fondazioni si verificano subito dopo l'applicazione dei carichi (cedimenti immediati).
Nel caso di sottosuolo formato da terreni coesivi saturi, i cedimenti delle fondazioni si
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verificano in parte subito dopo l'applicazione dei carichi (cedimenti immediati, dovuti a
deformazioni del terreno in condizioni non drenate) ed in parte nel tempo (cedimenti dovuti alla
consolidazione del terreno di fondazione). Nel caso di questi ultimi cedimenti, oltre al valore
finale al termine del processo di consolidazione, va previsto il "decorso nel tempo", cioè il modo
come i cedimenti gradualmente si manifestano.
Attendibilità dei risultati del calcolo dei cedimenti - La rispondenza tra cedimenti calcolati e
cedimenti effettivi di una fondazione dipende essenzialmente dal grado di conoscenza della
stratigrafia del sottosuolo e delle caratteristiche di deformabilità del terreno. Pertanto, l'aspetto
più importante riguarda la definizione di valori dei parametri di deformabilità che effettivamente
rappresentino il comportamento del terreno in sito in tutto il "volume significativo".
Al riguardo va tenuto presente che il volume di terreno investigato con prove di
laboratorio ed in sito è sempre una frazione molto piccola del "volume significativo" e che i
valori dei parametri di deformabilità ottenuti con prove di laboratorio risentono in misura
notevole del disturbo dei campioni. Inoltre, è praticamente impossibile disporre di campioni
indisturbati di terreni incoerenti. Ciò comporta che i valori dei parametri di deformabilità che si
impiegano nei calcoli il più delle volte siano scarsamente rappresentativi del comportamento del
terreno in sito.
I valori dei cedimenti ottenuti dal calcolo, devono, pertanto, considerarsi come dati
indicativi, la cui approssimazione nella maggior parte dei casi è limitata all'ordine di grandezza.
10.3.2 - Tensioni indotte nel sottosuolo
Per il calcolo delle tensioni indotte nel sottosuolo da carichi esterni si fa ricorso alla
teoria del semispazio elastico, omogeneo ed isotropo. Inoltre, le soluzioni riportate sono state
ottenute considerando il terreno privo di peso; le relazioni forniscono perciò le tensioni indotte
da forze o carichi distribuiti applicati in superficie.
Le tensioni agenti nel terreno sono ottenute sovrapponendo le tensioni calcolate
(incrementi di tensione) a quelle litostatiche.
Gli incrementi di tensione indotti in un punto P generico del semispazio di coordinate x,
y, z dipendono:
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- dalla intensità e distribuzione del carico in superficie;
- dalla forma e dalla "rigidezza" della superficie di carico (fondazione);
- dalle coordinate del punto.
Nel caso che il piano di posa sia posto alla profondità D rispetto alla superficie, il carico
da considerare è quello netto: Δq = q - γD.
La rigidezza della fondazione dipende oltre che dalle caratteristiche della fondazione,
anche dalle caratteristiche strutturali dell'opera in elevazione. In linea di primo orientamento, si
considerano a seconda dei casi le condizioni limite di fondazione flessibile e di fondazione
rigida (ad es. platea generale nervata).
Forza verticale agente in superficie - La soluzione del problema è dovuta a Boussinesq (1863).
Nella Fig. 10.8.a, sono indicati gli incrementi di tensione indotti in un punto del semispazio dalla
forza Q.
L'incremento di tensione Δσz è dato dall'espressione:
Δσz =3Q
2πr2 cos3 θ (10.3.1)
dalla quale risulta che Δσz è indipendente dal modulo di elasticità E e dal coefficiente di Poisson
ν.
La distribuzione di Δσz in funzione di z e di R è riportata in Fig. 10.8.b, dalla quale
risulta che gli incrementi di tensione decrescono sensibilmente all'aumentare della profondità z.
Gli incrementi di tensione Δσt, Δσh e τrz sono piccoli rispetto a Δσz; di conseguenza
questo incremento fornisce il maggior contributo alla deformazione verticale nel punto
considerato ed all'abbassamento in superficie.
Nella maggior parte dei casi, ai fini del calcolo dei cedimenti ci si limita perciò a tener
conto soltanto dell'incremento di tensione verticale.
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Fig. 10.8 - Tensioni indotte in un semispazio elastico da una forza Q agente in superficie: a)
incrementi di tensione indotti in un punto ; b) distribuzione con la profondità degli
incrementi di tensione verticale.
Carichi distribuiti su fondazioni flessibili - Le tensioni verticali indotte da carichi ripartiti su
superfici di forma qualsiasi possono essere determinate per sovrapposizione degli effetti,
impiegando la relazione (10.3.1) e considerando la superficie di carico suddivisa in elementi
infinitesimi su ciascuno dei quali agisce un carico concentrato. Tale analisi è stata eseguita per
fondazioni di forma varia, uniformemente caricate, ed i risultati sono disponibili sotto forma di
grafici e tabelle.
Gli incrementi di tensione verticale al di sotto di superfici di carico di forma quadrata e
nastriforme sono disponibili sotto forma di curve (superfici nel caso tridimensionale) luogo dei
punti di egual incremento della tensione verticale (isobare). L'insieme delle isobare forma il
"bulbo di pressione", come mostrato in Fig. 10.9.
Nel caso di superficie di carico di forma quadrata, gli incrementi di tensione verticale a
profondità pari a due volte la larghezza della fondazione sono circa il 10% del carico unitario q
applicato in superficie. Nella maggior parte dei casi, incrementi di carico inferiori al 10% di q
sono considerati non significativi ai fini del calcolo dei cedimenti.
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Fig. 10.9 - Luoghi dei punti di egual incremento della tensione verticale (isobare) per superfici
di carico: a) nastriforme; b) quadrata
Un altro tipo di grafici, che consente di ottenere i valori degli incrementi di tensione
verticale al di sotto di superfici uniformemente caricate di forma rettangolare, è quello che
fornisce i valori del "coefficiente di influenza":
Iσ =Δσz
q
funzione soltanto della dimensione della fondazione e della profondità del punto considerato.
Il diagramma di Fig. 10.10 fornisce il coefficiente di influenza per il calcolo di Δσz
lungo la verticale passante per il vertice di una superficie rettangolare, flessibile, uniformemente
caricata.
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Fig. 10.10 - Coefficiente d'influenza Iσ per l'incremento di tensione Δσz lungo la verticale
passante per un vertice di una superficie di carico rettangolare flessibile
uniformemente caricata.
Esso consente di calcolare le tensioni verticali indotte in un punto qualsiasi del semispazio da
carichi distribuiti su superfici di forme diverse. La superficie viene divisa in rettangoli e per
ciascuno dei rettangoli con vertice comune si ricava il valore di Δσz; la tensione indotta dal
carico agente sulla superficie totale, dato che gli effetti sono sovrapponibili, è data dalla somma
dei contributi dovuti ai rettangoli con vertice comune:
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Δσz = q Iσii=1
n∑
dove Iσi è il coefficiente di influenza relativo al rettangolo i-esimo.
Carichi agenti su fondazioni rigide - Le fondazioni flessibili trasmettono al terreno i carichi ad
esse applicati senza variarne l'intensità e la distribuzione. Le fondazioni rigide, non trasmettono
al terreno i carichi così come su di esse sono distribuiti, ma ridistribuiscono i carichi sul terreno
in modo tale da non subire deformazioni. Esse, cioè, subiscono traslazioni e rotazioni rigide, che
dipendono dalla grandezza e dal punto di applicazione della risultante dei carichi e non dalla loro
distribuzione.
Come si vedrà nel seguito, i cedimenti di una fondazione flessibile uniformemente
caricata non sono uniformi. Essi sono massimi al centro e minimi ai bordi e la deformata della
fondazione presenta concavità verso l'alto. A parità di carico risultante e di forma, una
fondazione rigida presenta alcuni punti (punti caratteristici) con cedimento uguale a quello della
corrispondente fondazione flessibile uniformementre caricata (Fig. 10.11).
Pertanto, per calcolare i cedimenti di una fondazione rigida si può far riferimento agli
incrementi di tensione lungo la verticale passante per uno dei punti caratteristici della fondazione
flessibile corrispondente. Oppure, in via approssimata, il cedimento di una fondazione rigida si
può assumere pari all'80% del cedimento massimo della corrispondente fondazione flessibile
uniformemente caricata.
Fig. 10.11 - Punti caratteristici (X) di una fondazione rettangolare di lati B e C.
142
10.3.3 - Relazioni per il calcolo dei cedimenti
In linea generale, per calcolare il cedimento di un punto del piano di posa di una
fondazione, noti gli incrementi di tensione lungo la verticale passante per il punto e le
caratteristiche di deformabilità del terreno, si dovrebbe procedere al calcolo delle deformazioni
unitarie verticali (εz) ed alla loro integrazione. Ad esempio, il cedimento δ di un punto A della
superficie caricata indicata in Fig. 10.12 è dato da:
δ = εz dz0
∞∫ = 1
E0
∞∫ Δσz − ν Δσx + Δσy( )[ ] dz (10.3.2)
Ai fini applicativi, tuttavia, il sottosuolo viene schematizzato con una successione di
strati orizzontali di spessore finito (Δz) e, come detto, si trascura il contributo degli incrementi di
tensione Δσx e Δσy. L'espressione 10.3.2, pertanto, si trasforma nella:
δ = Δσzi Δzi
Eii=1
n∑ (10.3.3)
dove:
Δσzi incremento di tensione medio nello strato i-esimo
Δzi spessore dello strato i-esimo
Ei modulo di deformabilità o compressibilità medio dello strato i-esimo
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Fig. 10.12 - Schema generale per il calcolo dei cedimenti
Il numero di strati viene definito in base al grado di approssimazione che si intende
conseguire. In terreno omogeneo, all'aumentare della profondità, lo spessore degli strati viene
gradualmente aumentato. La suddivisione in strati viene spinta fino alla profondità alla quale gli
incrementi di tensione Δσz possono ritenersi ancora significativi nei riguardi del calcolo dei
cedimenti.
In condizioni di sottosuolo omogeneo, di fondazione di forma semplice (quadrata,
rettangolare e circolare) uniformemente caricata, la teoria dell'elasticità fornisce la seguente
soluzione in forma chiusa dell'espressione 10.3.2:
δ = q B 1− ν2E I (10.3.4)
dove:
q carico unitario applicato in superficie
B lunghezza del lato minore della fondazione (diametro nel caso di fondazione circolare)
I coefficiente di influenza, dipendente dalla forma e dalla rigidezza della fondazione
In tabella 10.1 sono riportati i valori di I per il calcolo dei cedimenti di fondazioni di
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forma varia, sia flessibili che rigide, poste sulla superficie di un semispazio elastico.
Tab. 10.1 - Coefficienti di influenza I per fondazioni poste sulla superficie di un semispazio
elastico
Flessibili Rigide
Forma Centro Vertice Bordo/metà lato
maggiore (C)
Medio
Circolare
1,00 0,64 0,85 0,79
Quadrata
1,12 0,56 0,76 0,95 0,82
Rettangolare:
C/B = 2 1,53 0,76 1,12 1,30 1,12
C/B = 5 2,10 1,05 1,68 1,82 1,60
C/B = 10 2,56 1,28 2,10 2,24 2,00
Se il piano di posa della fondazione è posto alla profondità D rispetto alla superficie, il
carico unitario da considerare è quello netto (Δq= q - γD), ed il cedimento è inferiore a quello
calcolato con l'espressione 10.3.4, in quanto le deformazioni del terreno sottostante la
fondazione sono minori. In queste condizioni l'espressione 10.3.4 diventa:
δ = μo Δq B 1 − ν2E I (10.3.5)
dove μo è il coefficiente di influenza che tiene conto della profondità del piano di posa. Per
fondazioni di forma rettangolare e quadrata i valori di μo sono dati in tabella 10.2 (per
fondazioni di forma circolare si può fare riferimento ai valori relativi alla fondazione quadrata).
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Tab. 10.2 - Coefficiente di influenza μo della profondità del piano di posa
D/B
C/B 0,2 0,5 1,0 2,0
1 0,95 0,85 0,73 0,63
2 0,97 0,90 0,78 0,68
5 0,98 0,93 0,86 0,75
10 0,99 0,95 0,88 0,80
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10.3.4 - Cedimenti di fondazioni su terreni a grana grossa (sabbie)
In generale il problema della valutazione dei cedimenti si pone per le sabbie, in quanto
le ghiaie sono terreni poco deformabili; i cedimenti di fondazioni su ghiaie, infatti, sono di
grandezza trascurabile nel caso di edifici ordinari.
Nel caso delle sabbie, sia al di sopra che al di sotto della superficie libera della falda
idrica, il cedimento può considerarsi immediato: esso avviene cioè in tempo molto breve e
raggiunge il valore finale subito dopo il termine della costruzione.
In linea teorica, il cedimento può essere calcolato con le espressioni 10.3.3 e 10.3.4,
nelle quali E è il modulo di deformabilità e ν è il coefficiente di Poisson della sabbia. Nella
realtà, poiché di regola non è possibile prelevare campioni indisturbati di sabbie, la
determinazione delle caratteristiche di deformabilità di questi terreni non è effettuabile in
laboratorio.
Il problema principale consiste, pertanto, nella valutazione delle caratteristiche del
terreno. Esistono vari metodi empirici che consentono di ricavare le caratteristiche del terreno,
quindi i cedimenti, dai risultati di prove in sito, in particolare: prove penetrometriche, statiche e
dinamiche, e prove di carico su piastra.
In generale, la valutazione del cedimento di fondazioni su sabbia è sempre incerta, sia
che si utilizzino le relazioni fornite dalla teoria dell'elasticità, sia che si impieghino i metodi
empirici basati sui risultati di prove in sito.
Si può avere un'indicazione della grandezza del cedimento di una fondazione su sabbia
utilizzando correlazioni statistiche tra cedimenti misurati di fondazioni reali, loro dimensioni
minime in pianta B e caratteristiche di addensamento delle sabbie. Un esempio di queste
correlazioni è riportato in Fig. 10.13. Dalla figura risulta che la grandezza del cedimento dipende
principalmente dallo stato di addensamento delle sabbie. A parità di dimensione B della
fondazione e di carico unitario netto Δq, il cedimento nel caso di sabbie sciolte può essere al
limite di un ordine di grandezza maggiore di quello di sabbie addensate. Ciò si spiega dal punto
di vista teorico tenuto conto che le caratteristiche di deformabilità di una sabbia dipendono in
larga misura dal suo stato di addensamento. Questo può essere valutato mediante prove
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penetrometriche dinamiche SPT.
Il valore più probabile del cedimento può essere assunto pari alla metà del limite
superiore indicato in Fig. 10.13 ed il cedimento massimo in generale non eccede una volta e
mezzo il valore più probabile.
Va tenuto presente che per utilizzare il metodo sopra indicato è necessario che il
sottosuolo sia uniforme; cioè sia costituito dallo stesso tipo di sabbia fino alla profondità alla
quale le tensioni indotte dalla fondazione sono significative nei riguardi dei cedimenti
Fig. 10.13 - Cedimenti osservati di fondazioni su sabbie.
148
Dati i valori del modulo di deformabilità dei terreni incoerenti (di regola maggiori di
qualche decina di MPa) i cedimenti assoluti sono in genere piccoli. E' da osservare però che i
cedimenti differenziali, dovuti ad eterogeneità del terreno, possono essere dello stesso ordine di
grandezza del cedimento assoluto massimo e raggiungere perciò valori non ammissibili (Fig.
10.14).
Fig. 10.14 - Correlazione statistica fra il massimo cedimento assoluto δmax ed il massimo
cedimento differenziale Δδ per uno stesso edificio e per terreni diversi
10.3.5 - Cedimenti di fondazioni su terreni a grana fina (argille)
Nel caso di fondazioni su terreni argillosi saturi, i cedimenti avvengono in parte al
momento dell'applicazione dei carichi per deformazioni a volume costante dell'insieme scheletro
solido-acqua, cioè in condizioni non drenate (cedimento immediato δi), ed in parte gradualmente
nel tempo a seguito di espulsione di acqua (cedimento di consolidazione: δc). Quest'ultimo
cedimento è dovuto al processo di consolidazione che si sviluppa nel terreno via via che si
dissipa l'eccesso di pressione neutra (Δu), dovuto all'aumento delle tensioni (Δσ) indotte dai
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carichi trasmessi dalla fondazione (Fig. 10.15).
Ad un tempo t > tc (tc = tempo di costruzione) il cedimento complessivo è:
δ(t) = δi + δc(t)
al termine del processo di consolidazione il cedimento complessivo è:
δf = δi + δc
Fig. 10.15 - Schema del decorso dei cedimenti nel tempo di una fondazione su argille
150
Cedimento immediato (δi)
Si hanno cedimenti immediati quando il terreno di fondazione può deformarsi
lateralmente; ciò accade se la dimensione minima B della fondazione è minore o uguale allo
spessore del terreno deformabile. Nel caso di fondazioni molto estese rispetto allo spessore del
terreno deformabile, il cedimento immediato è trascurabile ed il cedimento è dovuto
essenzialmente alla consolidazione.
La valutazione del cedimento immediato è importante soprattutto nel caso di fondazioni
su argille sovraconsolidate, in quanto tale cedimento è generalmente dello stesso ordine di
grandezza del cedimento di consolidazione. Nel caso delle argille normalmente consolidate, il
cedimento immediato è molto minore del cedimento di consolidazione ed ai fini pratici può
essere trascurato.
Il cedimento immediato può essere calcolato con le relazioni 10.3.4 e 10.3.5, fornite
dalla teoria dell'elasticità, e valide nel caso di sottosuolo omogeneo e di fondazione di forma
semplice uniformemente caricata. Il modulo di deformabilità che compare nelle suddette
relazioni è il modulo Eu, ricavato dai diagrammi tensioni-deformazioni di prove di
compressione triassiale consolidate non drenate o valutato in base alla resistenza al taglio non
drenata cu (Paragrafo 8.4.2). Il coefficiente di Poisson è ν = 0,5.
Cedimento di consolidazione finale (δc)
Il cedimento per consolidazione può essere valutato supponendo che il terreno si
consolidi in condizioni di deformazione uniassiale (εx = εy = 0; εz ≠ 0). In tal caso il cedimento
dipende solo dagli incrementi di tensione verticale ed è dato dalla relazione 10.3.3, in cui E è il
modulo di compressione edometrica (Eed) ricavato dai diagrammi tensioni-deformazioni di
prove edometriche (metodo edometrico).
La relazione 10.3.3 è valida solo se nel sottosuolo si realizzano condizioni di
151
deformazione uniassiale (Fig. 10.16).
Nel calcolo del cedimento bisogna tener conto che Eed è funzione del livello di
tensione, per cui per ogni strato si avrà un valore del modulo dipendente dallo stato di tensione
efficace preesistente, dovuto al peso proprio del terreno, e dall'incremento di tensione verticale
indotto dal carico trasmesso dalla fondazione (Fig. 10.17).
Nel caso di fondazione posta alla profondità D rispetto alla superficie, gli incrementi di
tensione sono riferiti al carico netto Δq. Lo spessore di terreno da considerare è determinato
dall'eventuale esistenza alla profondità H di un terreno praticamente indeformabile (Fig. 10.16.a)
o, nel caso di sottosuolo omogeneo, (Fig. 10.17), dalla profondità alla quale l'incremento di
tensione Δσz indotto dal carico è pari al 20% della tensione verticale efficace preesistente in sito
(σ'z).
Fig. 10.16 - Schemi di sottosuolo per i quali è valida l'ipotesi di condizioni di deformazione
uniassiale (edometriche) per il calcolo dei cedimenti di consolidazione
152
Fig. 10.17 - Metodo edometrico per il calcolo del cedimento di consolidazione finale nel caso
di sottosuolo uniforme: a) argille normalmente consolidate; b) argille
sovraconsolidati
Decorso dei cedimenti nel tempo (Teoria della consolidazione)
Il decorso dei cedimenti nel tempo e quindi il tempo necessario perchè il cedimento di
consolidazione raggiunga il valore finale possono essere valutati con la teoria della
consolidazione monodimensionale.
153
Fig. 10.18 - Schema della consolidazione monodimensionale di uno strato di argilla drenato
solo verso l'alto
Si è visto al paragrafo 7.2 che, se dopo aver impresso al terreno uno stato tensionale in
condizioni non drenate si modificano le condizioni al contorno permettendo all'acqua di
attraversare la superficie di contorno, si stabilisce un moto di filtrazione in regime vario.
L'eccesso di pressione neutra Δu indotto dal carico esterno tende a dissiparsi in quanto la
pressione neutra tende a mettersi in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno;
contemporaneamente si ha un incremento delle tensioni efficaci e quindi una variazione di
volume del mezzo.
Questo processo prende il nome di consolidazione e si arresta quando Δu = 0 e non si
hanno ulteriori incrementi delle tensioni efficaci.
Il decorso della consolidazione avviene in un tempo più o meno lungo in relazione ai
valori del coefficiente di permeabilità (k) e del modulo di deformabilità dello scheletro solido
(Eed), nonché al percorso massimo (H) che deve fare l'acqua per raggiungere le superfici drenanti
al contorno.
La distribuzione e l'andamento nel tempo degli eccessi di pressione neutra (ue = Δu)
possono essere dedotti uguagliando il volume di liquido che nell'unità tempo attraversa la
superficie di contorno di un generico elemento di volume del mezzo alla corrispondente
variazione di volume dell'elemento.
154
La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi studia il processo di
consolidazione di uno strato di argilla di spessore supposto costante nel quale la filtrazione può
avvenire in direzione verticale verso uno o due strati drenanti posti ai limiti dello strato di
argilla. In Fig. 10.18 è riportato il caso di uno strato di argilla di spessore H, nel quale la
filtrazione può avvenire solo verso uno strato drenante di sabbia posto in alto.
L'equazione differenziale (10.3.6) descrive il processo di consolidazione dello strato di
argilla:
cv ∂2ue
∂z2 = ∂ue
∂t (ue = eccesso di pressione neutra) (10.3.6)
Il termine cv è il coefficiente di consolidazione e rappresenta le proprietà del mezzo:
cv =k Eedγw
In Fig. 10.18.a è indicata la distribuzione con la profondità delle pressioni interstiziali
(ui) nello strato di sabbia ed in quello di argilla, prima dell'applicazione di un carico in superficie
(condizioni iniziali).
Nell'istante t = to viene applicato il carico q, indefinito ed uniformemente distribuito,
così che in ogni punto del sottosuolo si ha un incremento delle tensioni verticali Δσz = q.
Nello strato di argilla all'istante t = t0 non ci può essere un flusso d'acqua attraverso la
superficie drenante (per avere un flusso d'acqua in un tempo infinitesimo sarebbe necessaria un
mezzo con permeabilità infinita), sicché la distribuzione iniziale delle sovrappressioni
interstiziali Δuo indotte dal carico q e della pressione neutra totale u sono date da:
Δuo = Δσz = q
u = ui + Δuo
155
mentre nello strato di sabbia, data l'elevata permeabilità, il carico si trasmette immediatamente
allo scheletro solido, per cui: u = ui.
Tra lo strato di argilla e il sovrastante strato di sabbia si stabilisce una differenza di
carico idraulico, che provoca un moto di filtrazione diretto verso l'alto. Il sottile strato di argilla
adiacente alla superficie drenante tenderà a mettersi in equilibrio idraulico con le condizioni al
contorno più rapidamente di quelli lontani e nell'istante generico t > to si ha una distribuzione
delle sovrappressioni neutre del tipo di quella riportata in figura 10.18.c ed una riduzione di
volume dello strato proporzionale all'incremento delle tensioni efficaci.
Il processo si arresta quando in ogni punto dello strato di argilla le sovrappressioni
interstiziali si sono ridotte a zero (Fig. 10.18.d) e tutto il carico esterno, come tensioni efficaci, è
sostenuto dallo scheletro solido dell'argilla che in queste condizioni subisce la massima
deformazione.
Le condizioni al contorno nel caso in esame sono:
1) ue = 0 per t ≥ to e z = 0
2) ue = Δuo per t = to e 0 < z ≤ H
e poichè la superficie limite inferiore dello strato di argilla è impermeabile:
3) 0z
ue =∂∂ per t ≥ 0 e z = H
La dimensione H rappresenta il percorso che la particella d'acqua più lontana dalla
superficie drenante deve compiere per raggiungere detta superficie. Nel caso di strato con una
sola superficie drenante, H coincide con lo spessore dello strato, mentre è pari alla metà dello
spessore dello strato se il drenaggio può avvenire verso l'alto e verso il basso (condizione di
156
doppio drenaggio).
Assegnate le condizioni al contorno l'integrazione della 10.3.6 risolve completamente il
problema della consolidazione monodimensionale.
La soluzione è espressa in funzione delle grandezze adimensionali T ed U*. In
particolare:
T = cv t
H2 prende il nome di fattore tempo
U∗ = 1 −ue z,t( )
0
H∫ dz
Δu0 H =
Area ADCE
Area ABCD
si definisce grado di consolidazione medio e rappresenta geometricamente il rapporto tra l'area
ADCE e l'area ABCD nella Fig. 10.18.c.
Nella Fig. 10.19 è riportato il grado di consolidazione medio in funzione del fattore
tempo T. Dal grafico si rileva che, all'aumentare del tempo, U* aumenta via via più lentamente
e, teoricamente, il processo di consolidazione si esaurisce a tempi infiniti.
Fig. 10.19 - Teoria della consolidazione di Terzaghi: variazione del grado di consolidazione
medio U* con il fattore tempo T
157
La funzione U* descrive anche l'andamento nel tempo della variazione di volume dello
strato di argilla e quindi del cedimento di consolidazione δc(t). Noto il valore finale del
cedimento di consolidazione δc, è possibile conoscere il valore del cedimento ad un tempo
generico t mediante la relazione:
δc(t) = U* δc
Il tempo t necessario per raggiungere un determinato grado di consolidazione U* è dato
dall'espressione:
t = H2
cv T
Il valore di T si ricava in funzione di U* dal grafico di Fig. 10.19.
Il valore di H dipende dalle condizioni di drenaggio dello strato di argilla soggetto a
consolidazione. Come detto, nel caso di strato con una sola superficie drenante, H coincide con
lo spessore dello strato, mentre è pari alla metà dello spessore dello strato se il drenaggio può
avvenire verso l'alto e verso il basso (condizione di doppio drenaggio). Nel caso di sottosuolo
uniforme (Fig. 10.17) la Teoria di Terzaghi non è valida in quanto non si verificano condizioni
di consolidazione monodimensionale. Tuttavia in prima approssimazione si può fare ancora
riferimento a tale Teoria e quindi al grafico di Fig. 10.19, assumendo H pari alla dimensione
minore in pianta (B) della fondazione.
Il valore di cv si ricava dai risultati delle prove di laboratorio.
Dati i bassi valori del modulo Eed delle argille normalmente consolidate, il cedimento
finale di consolidazione può essere molto grande e può essere raggiunto in tempi anche lunghi,
maggiori della vita economica dell'opera. Ciò che conta però ai fini dell'ammissibilità dei
cedimenti è il cedimento durante la vita economica dell'opera, che per edifici civili può essere
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assunta pari a 100 anni.
Di regola il cedimento differenziale è minore del cedimento assoluto massimo (Fig.
10.14).
10.3.6 - Criteri e metodi per la valutazione e la limitazione dei cedimenti differenziali
Nei paragrafi precedenti, l'attenzione è stata rivolta soprattutto alla valutazione dei
cedimenti assoluti, sia nel caso di fondazioni su sabbie che nel caso di fondazioni su argille. Al
paragrafo 9.3.6 si è visto che, i cedimenti differenziali, più che quelli assoluti, determinano il
comportamento di una struttura in termini di danni alla stessa o di sue rotazioni rigide eccessive.
Pertanto è essenziale poter valutare la grandezza dei cedimenti differenziali.
Nello stesso paragrafo sono state indicate le cause più comuni dei cedimenti
differenziali, che qui di seguito sono richiamate.
1 - eterogeneità dei terreni di fondazione
2 - distribuzione disuniforme dei carichi in fondazione
3 - distribuzione uniforme dei carichi su fondazioni flessibili
Nei casi in cui il cedimento di una fondazione è disuniforme (Fig. 9.5) ed è possibile
calcolare i cedimenti assoluti corrispondenti, i cedimenti differenziali tra due punti del piano di
posa della stessa fondazione, o tra due elementi strutturali isolati (plinti o travi) facenti parte
della fondazione di un unico fabbricato, possono essere ottenuti per differenza tra i rispettivi
cedimenti assoluti.
Con riferimento alle cause dei cedimenti sopra richiamate, tale procedura può essere
impiegata: per la causa 1, se le caratteristiche del terreno di fondazione variano con regolarità in
direzione orizzontale; per la causa 2, se la distribuzione disuniforme dei carichi può essere
scomposta nella somma di più distribuzioni uniformi per ciascuna delle quali sia possibile
calcolare i cedimenti assoluti; per la causa 3, se la fondazione può considerarsi effettivamente
flessibile.
Se tali condizioni non si verificano, l'ordine di grandezza del cedimento differenziale
massimo di una fondazione può essere stimato con le correlazioni statistiche riportate in Fig.
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10.14, facendo riferimento al cedimento assoluto massimo della stessa fondazione.
Se i cedimenti differenziali non sono ammissibili, in quanto non sono rispettati i limiti
alla distorsione angolare o alla rotazione della struttura riportati in Tabella 9.1, è necessario
modificare il progetto della fondazione, in modo da contenere i cedimenti differenziali entro
valori ammissibili per la struttura. Ciò può essere ottenuto:
a - limitando i cedimenti assoluti: a questo fine può essere ridotto il carico unitario netto Δq,
ampliando le dimensioni in pianta della fondazione o approfondendo il suo piano di posa (al
limite possono essere adotatte "fondazioni compensate", cioè fondazioni che trasmettono al
terreno un carico unitario pari al peso dei terreni scavati: q = γD);
b - irrigidendo la struttura di fondazione (graticcio di travi alte, platea generale nervata, fino a
scatolare con pareti di irrigidimento tra la soletta inferiore e quella superiore);
c - adottando una fondazione di tipo profondo.
10.4 - REAZIONI DEL TERRENO DI FONDAZIONE
Per il dimensionamento di una struttura di fondazione devono essere note le azioni
trasmesse dalla sovrastruttura e le reazioni del terreno. La teoria dell'elasticità ed osservazioni
effettuate su strutture reali indicano che le reazioni del terreno su fondazioni uniformemente
caricate non sono uniformi. La distribuzione delle reazioni dipende dalla rigidezza della
fondazione e dal tipo di terreno. Un'analisi può essere fatta nel caso di fondazione perfettamente
flessibile o di fondazione rigida.
Se la fondazione è flessibile ed il carico è uniforme, nel caso di terreno dotato di
coesione ed attrito, il cedimento è differente nei diversi punti della fondazione e la reazione del
terreno è uniforme (Fig. 10.11).
Sempre nel caso di carico uniforme, se la fondazione è rigida, il cedimento è uniforme e
perciò la distribuzione delle reazioni del terreno deve coincidere con la ripartizione che causa un
cedimento uniforme. Questa ripartizione dipende dalle caratteristiche del terreno ed è di difficile
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definizione.
Nel caso di fondazione reale, non perfettamente rigida nè perfettamente flessibile, la
distribuzione delle reazioni non è uniforme e dipende dalla rigidità relativa terreno-struttura. In
molti casi ai fini del calcolo si adotta una ripartizione uniforme.
