123

10 - FONDAZIONI SUPERFICIALI

10.1 - DEFINIZIONI

Con riferimento alla Fig. 10.1, che rappresenta una fondazione superficiale a pianta

rettangolare (plinto) di lato minore B e lato maggiore C, si definiscono:

Area di base A = B . C

Profondità del piano di posa D

Carico trasmesso dalla sovrastruttura Qs

Carico complessivo trasmesso dalla fondazione al terreno

(P: peso del plinto; PR: peso del rinterro) Q = Qs + P + PR

Carico unitario trasmesso dalla fondazione al terreno q = Q/A

Carico unitario ridotto della sottospinta idraulica q' = q - γwzw

Sovraccarico unitario qo = γ D

Carico unitario netto Δq = q - qo

124

Fig. 10.1 -Schema per la definizione dei carichi relativi ad una fondazione superficiale a plinto

10.2 - CARICO LIMITE DEL COMPLESSO FONDAZIONE-TERRENO

10.2.1 - Generalità e meccanismi di rottura

Si definisce carico limite del complesso fondazione-terreno (o semplicemente carico

limite) il valore del carico unitario qlim, trasmesso da una struttura di fondazione al sottosuolo,

che provoca la rottura del terreno. A seconda della compressibilità del terreno, la rottura può

avvenire secondo due meccanismi limite diversi (Fig. 10.2):

- rottura generale: si verifica nei terreni poco compressibili (sabbie addensate, argille

consistenti) ed è caratterizzata dalla formazione di superfici di scorrimento ben definite che si

estendono fino in superficie; il terreno sottostante la fondazione viene spinto verso il basso e

lateralmente e quello posto ai lati si solleva; se non esistono vincoli particolari, il collasso è

accompagnato da una rotazione della fondazione; con questo meccanismo di rottura il valore

del carico limite risulta chiaramente individuato come punto di massimo della curva carichi-

cedimenti;

- rottura locale (o punzonamento): si verifica nei terreni molto compressibili (sabbie poco

addensate ed argille tenere) ed è caratterizzata dall'assenza di superfici di scorrimento ben

definite e da cedimenti che crescono con gradualità all'aumentare del carico senza consentire

una precisa individuazione del carico limite.

125

Fig. 10.2 - Meccanismi di rottura : a) generale; b) locale (o punzonamento)

Nell'ipotesi che il meccanismo di rottura sia quello generale, la teoria della plasticità

fornisce il valore del carico limite per una fondazione nastriforme indefinita (problema piano)

sottoposta a carichi con risultante verticale e centrata.

Il carico limite è calcolabile nell'ipotesi che il terreno sia un mezzo rigido-plastico e che

il criterio di rottura sia espresso dalla relazione τf = c + σ tg ϕ (Fig. 10.3).

Per il calcolo del carico limite esistono più soluzioni proposte da vari Autori, che

differiscono essenzialmente per le assunzioni fatte sulla forma delle superfici di scorrimento.

Tutte le soluzioni esprimono il carico limite in funzione delle caratteristiche geometriche della

fondazione e delle proprietà fisico-meccaniche del terreno. E' importante al riguardo rilevare che

il carico limite non è una caratteristica del terreno, ma dipende anche dalla geometria della

fondazione.

Nel seguito si fa riferimento alla soluzione di Terzaghi, valida per fondazione

nastriforme indefinita; mediante l'introduzione di coefficienti correttivi la relativa espressione

del carico limite può essere estesa ad altre condizioni (diversa forma della fondazione in pianta,

meccanismo di rottura locale nel caso di terreno compressibile, ecc.).

126

10.2.2 - Fondazione nastriforme indefinita (Soluzione di Terzaghi)

Si considera il caso di una fondazione di lunghezza indefinita e di larghezza B, con

piano di posa alla profondità D, sottoposta a carichi verticali e centrati. Siano γ1 e γ2 i pesi

dell'unità di volume rispettivamente del terreno posto al di sopra ed al di sotto del piano di posa

e c, ϕ i parametri di resistenza al taglio del terreno posto al di sotto del piano di posa (Fig. 10.3).

Fig. 10.3 - a) schema per il calcolo del carico limite di una fondazione nastriforme indefinita;

b) modello di comportamento del terreno

Si consideri, per il momento, la condizione di falda idrica assente. La base della

fondazione attraverso la quale è applicato il carico q è considerata una soletta indeformabile

orizzontale che, penetrando nel terreno, mobilita la resistenza al taglio del terreno stesso.

Secondo la soluzione proposta da Terzaghi la resistenza del terreno può ottenersi per

sovrapposizione di tre contributi:

a) - resistenza del terreno con γ2 ≠ 0 ϕ ≠ 0 c = 0 qo = 0

b) - resistenza del terreno con γ2 = 0 ϕ ≠ 0 c ≠ 0 qo = 0

c) - resistenza del terreno con γ2 = 0 ϕ ≠ 0 c = 0 qo ≠ 0

127

Il campo di linee di scorrimento che determina il valore minimo del carico necessario per

produrre la plasticizzazione del mezzo è costituito da (Fig. 10.4):

- una zona in stato passivo GDE (Capitolo 12);

- una zona (GCD) in cui le linee di scorrimento sono archi di spirale logaritmica e segmenti di

rette passanti per G.

Nel cuneo CGG', per effetto delle tensioni tangenziali lungo GG' il terreno si comporta

come un corpo rigido solidale con la fondazione.

Nella soluzione di Terzaghi, il terreno posto al di sopra del piano di posa contribuisce al

carico limite con il suo peso e non con la sua resistenza, in quanto le linee di scorrimento non si

estendono al di sopra di tale piano (Fig. 10.4).

Fig. 10.4 - Meccanismo di rottura secondo Terzaghi

Terzaghi ha espresso il contributo dovuto ad a) e b) con la relazione:

qlim = 12 Bγ2Nγ + cNc

Il contributo dovuto a c) è espresso da: qoNq = γ1DNq

Il carico limite per una fondazione nastriforme indefinita può in definitiva essere

128

calcolato con la relazione:

qlim = cNc +1

2Bγ 2N γ + γ1DNq (10.2.1)

Le grandezze adimensionali Nc, Nq, Nγ, definite coefficienti di capacità portante, sono

funzione dell'angolo d'attrito ϕ.

I valori ricavati da Terzaghi sono riportati nel grafico di Fig. 10.5.

Fig. 10.5 - Coefficienti di capacità portante secondo Terzaghi: rottura generale Nc Nq Nγ ;

rottura locale: N'c N'q N'γ

129

10.2.3 - Forma in pianta della fondazione

Il carico limite di fondazioni rettangolari, quadrate o circolari è valutato con criteri

semi-empirici. La relazione di Terzaghi (10.2.1) si modifica nella:

qq1γγ2cclim s N D γs N γB 21s N cq ++= (10.2.2)

in cui sc, sγ , sq sono coefficienti di forma.

Per fondazioni rettangolari:

sc = sq = 1 + 0,2 B/C

sγ= 1 - 0,3 B/C

ove B e C sono i lati della fondazione (B < C).

Per fondazioni circolari:

sc = 1,3 sq = 1 sγ = 0,6

10.2.4 - Compressibilità del terreno (rottura locale)

Le relazioni sopra riportate sono basate sull'ipotesi di terreno rigido-plastico (Fig.

10.3.b). Per il caso in cui questa ipotesi non sia verificata e le deformazioni siano elevate anche

per bassi valori del carico trasmesso al terreno, non si hanno teorie razionali per il calcolo del

carico limite.

Sulla base di criteri puramente empirici Terzaghi ha proposto di far riferimento ai

130

coefficienti N'q, N'c, N'γ che, a parità di ϕ, forniscono valori ridotti dei coefficienti di capacità

portante (Fig. 10.5).

10.2.5 - Scelta dei parametri di resistenza al taglio del terreno ed influenza della falda

idrica

Nel caso di terreni molto permeabili, la verifica di stabilità deve essere eseguita in

tensioni efficaci, tenendo conto dei valori di regime delle pressioni neutre nel terreno.

Nel caso di terreni saturi a basso coefficiente di permeabilità l'incremento delle tensioni

totali nel terreno genera un eccesso di pressione neutra Δu. Tale eccesso si dissipa in un tempo

più o meno lungo in funzione del coefficiente di consolidazione cv e delle condizioni di

drenaggio.

Il coefficiente di sicurezza raggiunge il valore minimo al termine della costruzione,

quindi aumenta con il procedere della consolidazione nel terreno (Fig. 10.6).

Fig. 10.6 - Andamento nel tempo della pressione neutra e del coefficiente di sicurezza nel caso

di terreni saturi a basso coefficiente di permeabilità (tc = tempo di costruzione; q =

carico unitario trasmesso al terreno)

131

La condizione più sfavorevole per la stabilità della fondazione si ha perciò al termine

della costruzione. Pertanto, il calcolo del carico limite viene eseguito in termini di tensioni totali

nelle condizioni di drenaggio impedito a fine costruzione. E' tuttavia consigliabile verificare

anche le condizioni a lungo termine in tensioni efficaci.

Verifica in termini di tensioni efficaci - Per il calcolo del carico limite in condizioni drenate, la

resistenza al taglio del terreno è espressa dai parametri c' e ϕ' e bisogna tener conto dell'influenza

della falda idrica se la superficie libera è a profondità (d) rispetto al piano di posa minore o

uguale a B (Fig. 10.7). All'aumentare del livello della falda si riducono le tensioni efficaci nel

sottosuolo e di conseguenza si riduce il valore del carico limite.

Con riferimento alla relazione 10.2.1 di Terzaghi per il calcolo del carico limite di una

fondazione nastriforme indefinita, nel caso di Fig. 10.7.a, si ha:

qlim = ′ c Nc +1

2 B ′ γ 2 N γ + γ1 D − zw( )+ ′ γ 1 zw[ ] Nq (10.2.3)

Nel caso di Fig. 10.7.b, si ha:

qlim = ′ c Nc + 12 B ′ γ 2 + γ2 − ′ γ 2( )d

B[ ] N γ + γ1 D Nq (10.2.4)

Se il piano di posa è al di sotto della superficie libera della falda, qlim va confrontato con

il carico unitario totale dedotta la sottospinta idraulica: q' = q - γwzw.

132

Fig. 10.7 - Schemi per valutare l'influenza della falda idrica sul carico limite in termini di

tensioni efficaci

Verifica in termini di tensioni totali - Per il calcolo del carico limite in termini di tensioni totali

nel caso di terreno saturo, la resistenza al taglio è espressa dai parametri ϕ= ϕu = 0 e c = cu. Per

ϕu=0 risulta: Nc = 5,7; Nγ = 0; Nq = 1 (Fig. 10.5).

Nel caso di fondazione nastriforme indefinita l'espressione del carico limite pertanto

diventa:

qlim = 5,7 cu + γ1 D (10.2.5)

ove γ1 è il peso di volume totale (acqua + scheletro solido).

La relazione 10.2.5 è valida anche per fondazioni rettangolari, quadrate e circolari; cioè

nelle verifiche in termini di tensioni totali non si tiene conto dei coefficienti di forma.

Nel caso di piano di posa posto al di sotto della superficie libera della falda idrica, qlim

va confrontato con il carico unitario totale agente q; cioè da q non va sottratta la sottospinta

idraulica.

133

10.2.6 - Coefficiente di sicurezza

Le relazioni fornite in quanto precede hanno lo scopo di consentire la determinazione

del carico limite (Qlim = qlim A) per il quale si ha il collasso dell'insieme fondazione-terreno.

Definire il valore del carico ammissibile (Qam) è un problema di ottimizzazione che può

essere risolto mettendo in conto la funzionalità e l'economicità della struttura di fondazione, la

probabilità che avvenga il collasso e le conseguenze che esso avrebbe.

Nella pratica il problema viene risolto dividendo per un opportuno coefficiente di

sicurezza (F) il valore del carico limite:

Qam =Qlim

F

La scelta del valore di F è determinata dalle caratteristiche e dalla destinazione della

struttura in elevazione e dalla valutazione delle conseguenze dell'eventuale collasso. Nella scelta

del coefficiente di sicurezza si deve naturalmente tener conto del grado di conoscenza delle

caratteristiche del terreno di fondazione.

I criteri di regola seguiti per assumere il valore del coefficiente di sicurezza sono

sintetizzati in quanto segue:

A - Strutture nelle quali la probabilità che il carico massimo (permanente più accidentali)

agisca molto frequentemente (serbatoi, magazzini industriali, silos per autovetture).

F = 3 se è stata eseguita un'indagine geotecnica molto accurata

F = 4 se permangono incertezze sulle caratteristiche del terreno di fondazione

B - Strutture nelle quali il carico massimo può agire solo occasionalmente (ponti stradali,

fabbricati civili ed industriali).

F = 2,5÷3,5 in dipendenza del grado di conoscenza del sottosuolo

C - Strutture nelle quali il carico massimo ha scarsa probabilità di agire (fabbricati di civile

abitazione).

134

F = 2÷3 in dipendenza del grado di conoscenza del sottosuolo.

I valori del coefficiente di sicurezza possono essere ridotti al 75% dei valori su riportati

nel caso di opere temporanee; in ogni caso, l'esperienza sconsiglia di adottare valori minori di 2.

Per strutture molto alte i valori sopra indicati devono essere aumentati dal 20% al 50%.

Il regolamento italiano (D.M. 11.3.88) prescrive che la scelta del coefficiente di

sicurezza sia adeguatamente motivata e, per le opere ordinarie, nei casi in cui non siano stati

eseguiti studi e indagini particolari, fissa un valore minimo F = 3.

10.3 - VALUTAZIONE DEI CEDIMENTI

10.3.1 - Considerazioni generali

Cause dei cedimenti - Le cause dei cedimenti di una fondazione superficiale possono essere

molteplici; quelle più comuni sono: deformazioni del terreno sotto l'azione dei carichi trasmessi

dalla fondazione; riduzione di volume del terreno di fondazione dovuta a processi di

consolidazione indotti dall'abbassamento della superficie libera della falda idrica (subsidenze);

deformazioni del terreno di fondazione conseguenti a scavi all'aperto o in sotterraneo effettuati

nei pressi dell'opera; addensamento di terreni incoerenti sciolti a seguito di vibrazioni indotte dal

traffico, da macchine vibranti, da terremoti, ecc.

I cedimenti dovuti alla prima causa si verificano in maggiore o minore misura in tutti i

casi; pertanto nel seguito si farà riferimento soprattutto a questi cedimenti. Quelli dovuti alle

altre cause sopra elencate sono meno frequenti e tra l'altro sono di difficile valutazione, per cui si

tende piuttosto a fare in modo che non si abbiano cedimenti, operando opportune scelte

progettuali (profondità del piano di posa) o prevedendo adeguate opere di sostegno degli scavi o

interventi di miglioramento delle caratteristiche dei terreni (compattazione dei terreni incoerenti

sciolti).

Tensioni indotte nel sottosuolo - Quando un carico è applicato sulla superficie di un

135

semispazio, al suo interno si generano incrementi di tensione (Δσ) rispetto alle tensioni

preesistenti dovute al peso proprio (tensioni litostatiche). Per valutare le deformazioni del

terreno e quindi i cedimenti della superficie su cui agisce il carico, è necessario definire la

grandezza degli incrementi di tensione indotti nel terreno sottostante l'area caricata.

Caratteristiche di deformabilità dei terreni - Per il calcolo dei cedimenti devono essere note

le caratteristiche di deformabilità dei terreni presenti nel sottosuolo, cioè le relazioni tensioni- -

deformazioni-tempo. Come visto al Capitolo 8, tali relazioni variano con il tipo di terreno e con

le condizioni di drenaggio ed i parametri che le descrivono vanno determinati sperimentalmente.

Il terreno come mezzo elastico per il calcolo dei cedimenti - Molti problemi geotecnici

possono essere risolti assumendo che la legge costitutiva del terreno reale coincida con quella di

uno dei modelli reologici semplici. In particolare, il calcolo delle tensioni e delle deformazioni

del terreno sotto l'azione del peso proprio o di forze esterne può eseguirsi con l'ipotesi che il

terreno sia un mezzo elastico. I problemi di cedimenti delle fondazioni di manufatti ricadono in

questa categoria se il coefficiente di sicurezza nei riguardi della rottura del terreno di fondazione

è elevato (≥ 3).

Nell'applicare la teoria dell'elasticità ai terreni reali, va tenuto presente che il modulo di

deformabilità non è costante, ma dipende dallo stato di tensione iniziale e dal valore

dell'incremento di tensione.

Il modello reologico ideale rappresenta sia il comportamento del terreno nel suo

insieme (solido e fluido interstiziale), sia il comportamento del solo scheletro solido. Nel primo

caso le relazioni tensioni-deformazioni sono date in funzione delle tensioni totali, nel secondo in

funzione delle tensioni efficaci. Nelle applicazioni saranno indicati i casi nei quali si deve far

riferimento alle tensioni totali e quelli nei quali si deve far riferimento alle tensioni efficaci.

Cedimenti immediati e cedimenti nel tempo - Nel caso di sottosuolo formato da terreni

permeabili (ghiaie, sabbie), sia in assenza che in presenza di falda idrica, i cedimenti delle

fondazioni si verificano subito dopo l'applicazione dei carichi (cedimenti immediati).

Nel caso di sottosuolo formato da terreni coesivi saturi, i cedimenti delle fondazioni si

136

verificano in parte subito dopo l'applicazione dei carichi (cedimenti immediati, dovuti a

deformazioni del terreno in condizioni non drenate) ed in parte nel tempo (cedimenti dovuti alla

consolidazione del terreno di fondazione). Nel caso di questi ultimi cedimenti, oltre al valore

finale al termine del processo di consolidazione, va previsto il "decorso nel tempo", cioè il modo

come i cedimenti gradualmente si manifestano.

Attendibilità dei risultati del calcolo dei cedimenti - La rispondenza tra cedimenti calcolati e

cedimenti effettivi di una fondazione dipende essenzialmente dal grado di conoscenza della

stratigrafia del sottosuolo e delle caratteristiche di deformabilità del terreno. Pertanto, l'aspetto

più importante riguarda la definizione di valori dei parametri di deformabilità che effettivamente

rappresentino il comportamento del terreno in sito in tutto il "volume significativo".

Al riguardo va tenuto presente che il volume di terreno investigato con prove di

laboratorio ed in sito è sempre una frazione molto piccola del "volume significativo" e che i

valori dei parametri di deformabilità ottenuti con prove di laboratorio risentono in misura

notevole del disturbo dei campioni. Inoltre, è praticamente impossibile disporre di campioni

indisturbati di terreni incoerenti. Ciò comporta che i valori dei parametri di deformabilità che si

impiegano nei calcoli il più delle volte siano scarsamente rappresentativi del comportamento del

terreno in sito.

I valori dei cedimenti ottenuti dal calcolo, devono, pertanto, considerarsi come dati

indicativi, la cui approssimazione nella maggior parte dei casi è limitata all'ordine di grandezza.

10.3.2 - Tensioni indotte nel sottosuolo

Per il calcolo delle tensioni indotte nel sottosuolo da carichi esterni si fa ricorso alla

teoria del semispazio elastico, omogeneo ed isotropo. Inoltre, le soluzioni riportate sono state

ottenute considerando il terreno privo di peso; le relazioni forniscono perciò le tensioni indotte

da forze o carichi distribuiti applicati in superficie.

Le tensioni agenti nel terreno sono ottenute sovrapponendo le tensioni calcolate

(incrementi di tensione) a quelle litostatiche.

Gli incrementi di tensione indotti in un punto P generico del semispazio di coordinate x,

y, z dipendono:

137

- dalla intensità e distribuzione del carico in superficie;

- dalla forma e dalla "rigidezza" della superficie di carico (fondazione);

- dalle coordinate del punto.

Nel caso che il piano di posa sia posto alla profondità D rispetto alla superficie, il carico

da considerare è quello netto: Δq = q - γD.

La rigidezza della fondazione dipende oltre che dalle caratteristiche della fondazione,

anche dalle caratteristiche strutturali dell'opera in elevazione. In linea di primo orientamento, si

considerano a seconda dei casi le condizioni limite di fondazione flessibile e di fondazione

rigida (ad es. platea generale nervata).

Forza verticale agente in superficie - La soluzione del problema è dovuta a Boussinesq (1863).

Nella Fig. 10.8.a, sono indicati gli incrementi di tensione indotti in un punto del semispazio dalla

forza Q.

L'incremento di tensione Δσz è dato dall'espressione:

Δσz = 3Q2πr2 cos3 θ (10.3.1)

dalla quale risulta che Δσz è indipendente dal modulo di elasticità E e dal coefficiente di Poisson

ν.

La distribuzione di Δσz in funzione di z e di R è riportata in Fig. 10.8.b, dalla quale

risulta che gli incrementi di tensione decrescono sensibilmente all'aumentare della profondità z.

Gli incrementi di tensione Δσt, Δσh e τrz sono piccoli rispetto a Δσz; di conseguenza

questo incremento fornisce il maggior contributo alla deformazione verticale nel punto

considerato ed all'abbassamento in superficie.

Nella maggior parte dei casi, ai fini del calcolo dei cedimenti ci si limita perciò a tener

conto soltanto dell'incremento di tensione verticale.

138

Fig. 10.8 - Tensioni indotte in un semispazio elastico da una forza Q agente in superficie: a)

incrementi di tensione indotti in un punto ; b) distribuzione con la profondità degli

incrementi di tensione verticale.

Carichi distribuiti su fondazioni flessibili - Le tensioni verticali indotte da carichi ripartiti su

superfici di forma qualsiasi possono essere determinate per sovrapposizione degli effetti,

impiegando la relazione (10.3.1) e considerando la superficie di carico suddivisa in elementi

infinitesimi su ciascuno dei quali agisce un carico concentrato. Tale analisi è stata eseguita per

fondazioni di forma varia, uniformemente caricate, ed i risultati sono disponibili sotto forma di

grafici e tabelle.

Gli incrementi di tensione verticale al di sotto di superfici di carico di forma quadrata e

nastriforme sono disponibili sotto forma di curve (superfici nel caso tridimensionale) luogo dei

punti di egual incremento della tensione verticale (isobare). L'insieme delle isobare forma il

"bulbo di pressione", come mostrato in Fig. 10.9.

Nel caso di superficie di carico di forma quadrata, gli incrementi di tensione verticale a

profondità pari a due volte la larghezza della fondazione sono circa il 10% del carico unitario q

applicato in superficie. Nella maggior parte dei casi, incrementi di carico inferiori al 10% di q

sono considerati non significativi ai fini del calcolo dei cedimenti.

139

Fig. 10.9 - Luoghi dei punti di egual incremento della tensione verticale (isobare) per superfici

di carico: a) nastriforme; b) quadrata

Un altro tipo di grafici, che consente di ottenere i valori degli incrementi di tensione

verticale al di sotto di superfici uniformemente caricate di forma rettangolare, è quello che

fornisce i valori del "coefficiente di influenza":

Iσ =Δσz

q

funzione soltanto della dimensione della fondazione e della profondità del punto considerato.

Il diagramma di Fig. 10.10 fornisce il coefficiente di influenza per il calcolo di Δσz

lungo la verticale passante per il vertice di una superficie rettangolare, flessibile, uniformemente

caricata.

140

Fig. 10.10 - Coefficiente d'influenza Iσ per l'incremento di tensione Δσz lungo la verticale

passante per un vertice di una superficie di carico rettangolare flessibile

uniformemente caricata.

Esso consente di calcolare le tensioni verticali indotte in un punto qualsiasi del semispazio da

carichi distribuiti su superfici di forme diverse. La superficie viene divisa in rettangoli e per

ciascuno dei rettangoli con vertice comune si ricava il valore di Δσz; la tensione indotta dal

carico agente sulla superficie totale, dato che gli effetti sono sovrapponibili, è data dalla somma

dei contributi dovuti ai rettangoli con vertice comune:

141

Δσz = q Iσii=1

n∑

dove Iσi è il coefficiente di influenza relativo al rettangolo i-esimo.

Carichi agenti su fondazioni rigide - Le fondazioni flessibili trasmettono al terreno i carichi ad

esse applicati senza variarne l'intensità e la distribuzione. Le fondazioni rigide, non trasmettono

al terreno i carichi così come su di esse sono distribuiti, ma ridistribuiscono i carichi sul terreno

in modo tale da non subire deformazioni. Esse, cioè, subiscono traslazioni e rotazioni rigide, che

dipendono dalla grandezza e dal punto di applicazione della risultante dei carichi e non dalla loro

distribuzione.

Come si vedrà nel seguito, i cedimenti di una fondazione flessibile uniformemente

caricata non sono uniformi. Essi sono massimi al centro e minimi ai bordi e la deformata della

fondazione presenta concavità verso l'alto. A parità di carico risultante e di forma, una

fondazione rigida presenta alcuni punti (punti caratteristici) con cedimento uguale a quello della

corrispondente fondazione flessibile uniformementre caricata (Fig. 10.11).

Pertanto, per calcolare i cedimenti di una fondazione rigida si può far riferimento agli

incrementi di tensione lungo la verticale passante per uno dei punti caratteristici della fondazione

flessibile corrispondente. Oppure, in via approssimata, il cedimento di una fondazione rigida si

può assumere pari all'80% del cedimento massimo della corrispondente fondazione flessibile

uniformemente caricata.

Fig. 10.11 - Punti caratteristici (X) di una fondazione rettangolare di lati B e C.

142

10.3.3 - Relazioni per il calcolo dei cedimenti

In linea generale, per calcolare il cedimento di un punto del piano di posa di una

fondazione, noti gli incrementi di tensione lungo la verticale passante per il punto e le

caratteristiche di deformabilità del terreno, si dovrebbe procedere al calcolo delle deformazioni

unitarie verticali (εz) ed alla loro integrazione. Ad esempio, il cedimento δ di un punto A della

superficie caricata indicata in Fig. 10.12 è dato da:

δ = εz dz0

∞∫ = 1

E0

∞∫ Δσz − ν Δσx + Δσy( )[ ] dz (10.3.2)

Ai fini applicativi, tuttavia, il sottosuolo viene schematizzato con una successione di

strati orizzontali di spessore finito (Δz) e, come detto, si trascura il contributo degli incrementi di

tensione Δσx e Δσy. L'espressione 10.3.2, pertanto, si trasforma nella:

δ = Δσzi Δzi

Eii=1

n∑ (10.3.3)

dove:

Δσzi incremento di tensione medio nello strato i-esimo

Δzi spessore dello strato i-esimo

Ei modulo di deformabilità o compressibilità medio dello strato i-esimo

143

Fig. 10.12 - Schema generale per il calcolo dei cedimenti

Il numero di strati viene definito in base al grado di approssimazione che si intende

conseguire. In terreno omogeneo, all'aumentare della profondità, lo spessore degli strati viene

gradualmente aumentato. La suddivisione in strati viene spinta fino alla profondità alla quale gli

incrementi di tensione Δσz possono ritenersi ancora significativi nei riguardi del calcolo dei

cedimenti.

In condizioni di sottosuolo omogeneo, di fondazione di forma semplice (quadrata,

rettangolare e circolare) uniformemente caricata, la teoria dell'elasticità fornisce la seguente

soluzione in forma chiusa dell'espressione 10.3.2:

δ = q B 1− ν2E I (10.3.4)

dove:

q carico unitario applicato in superficie

B lunghezza del lato minore della fondazione (diametro nel caso di fondazione circolare)

I coefficiente di influenza, dipendente dalla forma e dalla rigidezza della fondazione

In tabella 10.1 sono riportati i valori di I per il calcolo dei cedimenti di fondazioni di

144

forma varia, sia flessibili che rigide, poste sulla superficie di un semispazio elastico.

Tab. 10.1 - Coefficienti di influenza I per fondazioni poste sulla superficie di un semispazio

elastico

Flessibili Rigide

Forma Centro Vertice Bordo/metà lato

maggiore (C)

Medio

Circolare

1,00 0,64 0,85 0,79

Quadrata

1,12 0,56 0,76 0,95 0,82

Rettangolare:

C/B = 2 1,53 0,76 1,12 1,30 1,12

C/B = 5 2,10 1,05 1,68 1,82 1,60

C/B = 10 2,56 1,28 2,10 2,24 2,00

Se il piano di posa della fondazione è posto alla profondità D rispetto alla superficie, il

carico unitario da considerare è quello netto (Δq= q - γD), ed il cedimento è inferiore a quello

calcolato con l'espressione 10.3.4, in quanto le deformazioni del terreno sottostante la

fondazione sono minori. In queste condizioni l'espressione 10.3.4 diventa:

δ = μo Δq B 1 − ν2E I (10.3.5)

dove μo è il coefficiente di influenza che tiene conto della profondità del piano di posa. Per

fondazioni di forma rettangolare e quadrata i valori di μo sono dati in tabella 10.2 (per

fondazioni di forma circolare si può fare riferimento ai valori relativi alla fondazione quadrata).

145

Tab. 10.2 - Coefficiente di influenza μo della profondità del piano di posa

D/B

C/B 0,2 0,5 1,0 2,0

1 0,95 0,85 0,73 0,63

2 0,97 0,90 0,78 0,68

5 0,98 0,93 0,86 0,75

10 0,99 0,95 0,88 0,80

146

10.3.4 - Cedimenti di fondazioni su terreni a grana grossa (sabbie)

In generale il problema della valutazione dei cedimenti si pone per le sabbie, in quanto

le ghiaie sono terreni poco deformabili; i cedimenti di fondazioni su ghiaie, infatti, sono di

grandezza trascurabile nel caso di edifici ordinari.

Nel caso delle sabbie, sia al di sopra che al di sotto della superficie libera della falda

idrica, il cedimento può considerarsi immediato: esso avviene cioè in tempo molto breve e

raggiunge il valore finale subito dopo il termine della costruzione.

In linea teorica, il cedimento può essere calcolato con le espressioni 10.3.3 e 10.3.4,

nelle quali E è il modulo di deformabilità e ν è il coefficiente di Poisson della sabbia. Nella

realtà, poiché di regola non è possibile prelevare campioni indisturbati di sabbie, la

determinazione delle caratteristiche di deformabilità di questi terreni non è effettuabile in

laboratorio.

Il problema principale consiste, pertanto, nella valutazione delle caratteristiche del

terreno. Esistono vari metodi empirici che consentono di ricavare le caratteristiche del terreno,

quindi i cedimenti, dai risultati di prove in sito, in particolare: prove penetrometriche, statiche e

dinamiche, e prove di carico su piastra.

In generale, la valutazione del cedimento di fondazioni su sabbia è sempre incerta, sia

che si utilizzino le relazioni fornite dalla teoria dell'elasticità, sia che si impieghino i metodi

empirici basati sui risultati di prove in sito.

Si può avere un'indicazione della grandezza del cedimento di una fondazione su sabbia

utilizzando correlazioni statistiche tra cedimenti misurati di fondazioni reali, loro dimensioni

minime in pianta B e caratteristiche di addensamento delle sabbie. Un esempio di queste

correlazioni è riportato in Fig. 10.13. Dalla figura risulta che la grandezza del cedimento dipende

principalmente dallo stato di addensamento delle sabbie. A parità di dimensione B della

fondazione e di carico unitario netto Δq, il cedimento nel caso di sabbie sciolte può essere al

limite di un ordine di grandezza maggiore di quello di sabbie addensate. Ciò si spiega dal punto

di vista teorico tenuto conto che le caratteristiche di deformabilità di una sabbia dipendono in

larga misura dal suo stato di addensamento. Questo può essere valutato mediante prove

147

penetrometriche dinamiche SPT.

Il valore più probabile del cedimento può essere assunto pari alla metà del limite

superiore indicato in Fig. 10.13 ed il cedimento massimo in generale non eccede una volta e

mezzo il valore più probabile.

Va tenuto presente che per utilizzare il metodo sopra indicato è necessario che il

sottosuolo sia uniforme; cioè sia costituito dallo stesso tipo di sabbia fino alla profondità alla

quale le tensioni indotte dalla fondazione sono significative nei riguardi dei cedimenti

Fig. 10.13 - Cedimenti osservati di fondazioni su sabbie.

148

Dati i valori del modulo di deformabilità dei terreni incoerenti (di regola maggiori di

qualche decina di MPa) i cedimenti assoluti sono in genere piccoli. E' da osservare però che i

cedimenti differenziali, dovuti ad eterogeneità del terreno, possono essere dello stesso ordine di

grandezza del cedimento assoluto massimo e raggiungere perciò valori non ammissibili (Fig.

10.14).

Fig. 10.14 - Correlazione statistica fra il massimo cedimento assoluto δmax ed il massimo

cedimento differenziale Δδ per uno stesso edificio e per terreni diversi

10.3.5 - Cedimenti di fondazioni su terreni a grana fina (argille)

Nel caso di fondazioni su terreni argillosi saturi, i cedimenti avvengono in parte al

momento dell'applicazione dei carichi per deformazioni a volume costante dell'insieme scheletro

solido-acqua, cioè in condizioni non drenate (cedimento immediato δi), ed in parte gradualmente

nel tempo a seguito di espulsione di acqua (cedimento di consolidazione: δc). Quest'ultimo

cedimento è dovuto al processo di consolidazione che si sviluppa nel terreno via via che si

dissipa l'eccesso di pressione neutra (Δu), dovuto all'aumento delle tensioni (Δσ) indotte dai

149

carichi trasmessi dalla fondazione (Fig. 10.15).

Ad un tempo t > tc (tc = tempo di costruzione) il cedimento complessivo è:

δ(t) = δi + δc(t)

al termine del processo di consolidazione il cedimento complessivo è:

δf = δi + δc

Fig. 10.15 - Schema del decorso dei cedimenti nel tempo di una fondazione su argille

150

Cedimento immediato (δi)

Si hanno cedimenti immediati quando il terreno di fondazione può deformarsi

lateralmente; ciò accade se la dimensione minima B della fondazione è minore o uguale allo

spessore del terreno deformabile. Nel caso di fondazioni molto estese rispetto allo spessore del

terreno deformabile, il cedimento immediato è trascurabile ed il cedimento è dovuto

essenzialmente alla consolidazione.

La valutazione del cedimento immediato è importante soprattutto nel caso di fondazioni

su argille sovraconsolidate, in quanto tale cedimento è generalmente dello stesso ordine di

grandezza del cedimento di consolidazione. Nel caso delle argille normalmente consolidate, il

cedimento immediato è molto minore del cedimento di consolidazione ed ai fini pratici può

essere trascurato.

Il cedimento immediato può essere calcolato con le relazioni 10.3.4 e 10.3.5, fornite

dalla teoria dell'elasticità, e valide nel caso di sottosuolo omogeneo e di fondazione di forma

semplice uniformemente caricata. Il modulo di deformabilità che compare nelle suddette

relazioni è il modulo Eu, ricavato dai diagrammi tensioni-deformazioni di prove di

compressione triassiale consolidate non drenate o valutato in base alla resistenza al taglio non

drenata cu (Paragrafo 8.4.2). Il coefficiente di Poisson è ν = 0,5.

Cedimento di consolidazione finale (δc)

Il cedimento per consolidazione può essere valutato supponendo che il terreno si

consolidi in condizioni di deformazione uniassiale (εx = εy = 0; εz ≠ 0). In tal caso il cedimento

dipende solo dagli incrementi di tensione verticale ed è dato dalla relazione 10.3.3, in cui E è il

modulo di compressione edometrica (Eed) ricavato dai diagrammi tensioni-deformazioni di

prove edometriche (metodo edometrico).

La relazione 10.3.3 è valida solo se nel sottosuolo si realizzano condizioni di

151

deformazione uniassiale (Fig. 10.16).

Nel calcolo del cedimento bisogna tener conto che Eed è funzione del livello di

tensione, per cui per ogni strato si avrà un valore del modulo dipendente dallo stato di tensione

efficace preesistente, dovuto al peso proprio del terreno, e dall'incremento di tensione verticale

indotto dal carico trasmesso dalla fondazione (Fig. 10.17).

Nel caso di fondazione posta alla profondità D rispetto alla superficie, gli incrementi di

tensione sono riferiti al carico netto Δq. Lo spessore di terreno da considerare è determinato

dall'eventuale esistenza alla profondità H di un terreno praticamente indeformabile (Fig. 10.16.a)

o, nel caso di sottosuolo omogeneo, (Fig. 10.17), dalla profondità alla quale l'incremento di

tensione Δσz indotto dal carico è pari al 20% della tensione verticale efficace preesistente in sito

(σ'z).

Fig. 10.16 - Schemi di sottosuolo per i quali è valida l'ipotesi di condizioni di deformazione

uniassiale (edometriche) per il calcolo dei cedimenti di consolidazione

152

Fig. 10.17 - Metodo edometrico per il calcolo del cedimento di consolidazione finale nel caso

di sottosuolo uniforme: a) argille normalmente consolidate; b) argille

sovraconsolidati

Decorso dei cedimenti nel tempo (Teoria della consolidazione)

Il decorso dei cedimenti nel tempo e quindi il tempo necessario perchè il cedimento di

consolidazione raggiunga il valore finale possono essere valutati con la teoria della

consolidazione monodimensionale.

153

Fig. 10.18 - Schema della consolidazione monodimensionale di uno strato di argilla drenato

solo verso l'alto

Si è visto al paragrafo 7.2 che, se dopo aver impresso al terreno uno stato tensionale in

condizioni non drenate si modificano le condizioni al contorno permettendo all'acqua di

attraversare la superficie di contorno, si stabilisce un moto di filtrazione in regime vario.

L'eccesso di pressione neutra Δu indotto dal carico esterno tende a dissiparsi in quanto la

pressione neutra tende a mettersi in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno;

contemporaneamente si ha un incremento delle tensioni efficaci e quindi una variazione di

volume del mezzo.

Questo processo prende il nome di consolidazione e si arresta quando Δu = 0 e non si

hanno ulteriori incrementi delle tensioni efficaci.

Il decorso della consolidazione avviene in un tempo più o meno lungo in relazione ai

valori del coefficiente di permeabilità (k) e del modulo di deformabilità dello scheletro solido

(Eed), nonché al percorso massimo (H) che deve fare l'acqua per raggiungere le superfici drenanti

al contorno.

La distribuzione e l'andamento nel tempo degli eccessi di pressione neutra (ue = Δu)

possono essere dedotti uguagliando il volume di liquido che nell'unità tempo attraversa la

superficie di contorno di un generico elemento di volume del mezzo alla corrispondente

variazione di volume dell'elemento.

154

La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi studia il processo di

consolidazione di uno strato di argilla di spessore supposto costante nel quale la filtrazione può

avvenire in direzione verticale verso uno o due strati drenanti posti ai limiti dello strato di

argilla. In Fig. 10.18 è riportato il caso di uno strato di argilla di spessore H, nel quale la

filtrazione può avvenire solo verso uno strato drenante di sabbia posto in alto.

L'equazione differenziale (10.3.6) descrive il processo di consolidazione dello strato di

argilla:

cv ∂2ue

∂z2 = ∂ue

∂t (ue = eccesso di pressione neutra) (10.3.6)

Il termine cv è il coefficiente di consolidazione e rappresenta le proprietà del mezzo:

cv =k Eedγ w

In Fig. 10.18.a è indicata la distribuzione con la profondità delle pressioni interstiziali

(ui) nello strato di sabbia ed in quello di argilla, prima dell'applicazione di un carico in superficie

(condizioni iniziali).

Nell'istante t = to viene applicato il carico q, indefinito ed uniformemente distribuito,

così che in ogni punto del sottosuolo si ha un incremento delle tensioni verticali Δσz = q.

Nello strato di argilla all'istante t = t0 non ci può essere un flusso d'acqua attraverso la

superficie drenante (per avere un flusso d'acqua in un tempo infinitesimo sarebbe necessaria un

mezzo con permeabilità infinita), sicché la distribuzione iniziale delle sovrappressioni

interstiziali Δuo indotte dal carico q e della pressione neutra totale u sono date da:

Δuo = Δσz = q

u = ui + Δuo

155

mentre nello strato di sabbia, data l'elevata permeabilità, il carico si trasmette immediatamente

allo scheletro solido, per cui: u = ui.

Tra lo strato di argilla e il sovrastante strato di sabbia si stabilisce una differenza di

carico idraulico, che provoca un moto di filtrazione diretto verso l'alto. Il sottile strato di argilla

adiacente alla superficie drenante tenderà a mettersi in equilibrio idraulico con le condizioni al

contorno più rapidamente di quelli lontani e nell'istante generico t > to si ha una distribuzione

delle sovrappressioni neutre del tipo di quella riportata in figura 10.18.c ed una riduzione di

volume dello strato proporzionale all'incremento delle tensioni efficaci.

Il processo si arresta quando in ogni punto dello strato di argilla le sovrappressioni

interstiziali si sono ridotte a zero (Fig. 10.18.d) e tutto il carico esterno, come tensioni efficaci, è

sostenuto dallo scheletro solido dell'argilla che in queste condizioni subisce la massima

deformazione.

Le condizioni al contorno nel caso in esame sono:

1) ue = 0 per t ≥ to e z = 0

2) ue = Δuo per t = to e 0 < z ≤ H

e poichè la superficie limite inferiore dello strato di argilla è impermeabile:

3) 0z

ue =∂

∂ per t ≥ 0 e z = H

La dimensione H rappresenta il percorso che la particella d'acqua più lontana dalla

superficie drenante deve compiere per raggiungere detta superficie. Nel caso di strato con una

sola superficie drenante, H coincide con lo spessore dello strato, mentre è pari alla metà dello

spessore dello strato se il drenaggio può avvenire verso l'alto e verso il basso (condizione di

156

doppio drenaggio).

Assegnate le condizioni al contorno l'integrazione della 10.3.6 risolve completamente il

problema della consolidazione monodimensionale.

La soluzione è espressa in funzione delle grandezze adimensionali T ed U*. In

particolare:

T = cv t

H2 prende il nome di fattore tempo

U∗ = 1 −ue z,t( )

0

H∫ dz

Δu0 H =

Area ADCE

Area ABCD

si definisce grado di consolidazione medio e rappresenta geometricamente il rapporto tra l'area

ADCE e l'area ABCD nella Fig. 10.18.c.

Nella Fig. 10.19 è riportato il grado di consolidazione medio in funzione del fattore

tempo T. Dal grafico si rileva che, all'aumentare del tempo, U* aumenta via via più lentamente

e, teoricamente, il processo di consolidazione si esaurisce a tempi infiniti.

Fig. 10.19 - Teoria della consolidazione di Terzaghi: variazione del grado di consolidazione

medio U* con il fattore tempo T

157

La funzione U* descrive anche l'andamento nel tempo della variazione di volume dello

strato di argilla e quindi del cedimento di consolidazione δc(t). Noto il valore finale del

cedimento di consolidazione δc, è possibile conoscere il valore del cedimento ad un tempo

generico t mediante la relazione:

δc(t) = U* δc

Il tempo t necessario per raggiungere un determinato grado di consolidazione U* è dato

dall'espressione:

t = H2

cv T

Il valore di T si ricava in funzione di U* dal grafico di Fig. 10.19.

Il valore di H dipende dalle condizioni di drenaggio dello strato di argilla soggetto a

consolidazione. Come detto, nel caso di strato con una sola superficie drenante, H coincide con

lo spessore dello strato, mentre è pari alla metà dello spessore dello strato se il drenaggio può

avvenire verso l'alto e verso il basso (condizione di doppio drenaggio). Nel caso di sottosuolo

uniforme (Fig. 10.17) la Teoria di Terzaghi non è valida in quanto non si verificano condizioni

di consolidazione monodimensionale. Tuttavia in prima approssimazione si può fare ancora

riferimento a tale Teoria e quindi al grafico di Fig. 10.19, assumendo H pari alla dimensione

minore in pianta (B) della fondazione.

Il valore di cv si ricava dai risultati delle prove di laboratorio.

Dati i bassi valori del modulo Eed delle argille normalmente consolidate, il cedimento

finale di consolidazione può essere molto grande e può essere raggiunto in tempi anche lunghi,

maggiori della vita economica dell'opera. Ciò che conta però ai fini dell'ammissibilità dei

cedimenti è il cedimento durante la vita economica dell'opera, che per edifici civili può essere

158

assunta pari a 100 anni.

Di regola il cedimento differenziale è minore del cedimento assoluto massimo (Fig.

10.14).

10.3.6 - Criteri e metodi per la valutazione e la limitazione dei cedimenti differenziali

Nei paragrafi precedenti, l'attenzione è stata rivolta soprattutto alla valutazione dei

cedimenti assoluti, sia nel caso di fondazioni su sabbie che nel caso di fondazioni su argille. Al

paragrafo 9.3.6 si è visto che, i cedimenti differenziali, più che quelli assoluti, determinano il

comportamento di una struttura in termini di danni alla stessa o di sue rotazioni rigide eccessive.

Pertanto è essenziale poter valutare la grandezza dei cedimenti differenziali.

Nello stesso paragrafo sono state indicate le cause più comuni dei cedimenti

differenziali, che qui di seguito sono richiamate.

1 - eterogeneità dei terreni di fondazione

2 - distribuzione disuniforme dei carichi in fondazione

3 - distribuzione uniforme dei carichi su fondazioni flessibili

Nei casi in cui il cedimento di una fondazione è disuniforme (Fig. 9.5) ed è possibile

calcolare i cedimenti assoluti corrispondenti, i cedimenti differenziali tra due punti del piano di

posa della stessa fondazione, o tra due elementi strutturali isolati (plinti o travi) facenti parte

della fondazione di un unico fabbricato, possono essere ottenuti per differenza tra i rispettivi

cedimenti assoluti.

Con riferimento alle cause dei cedimenti sopra richiamate, tale procedura può essere

impiegata: per la causa 1, se le caratteristiche del terreno di fondazione variano con regolarità in

direzione orizzontale; per la causa 2, se la distribuzione disuniforme dei carichi può essere

scomposta nella somma di più distribuzioni uniformi per ciascuna delle quali sia possibile

calcolare i cedimenti assoluti; per la causa 3, se la fondazione può considerarsi effettivamente

flessibile.

Se tali condizioni non si verificano, l'ordine di grandezza del cedimento differenziale

massimo di una fondazione può essere stimato con le correlazioni statistiche riportate in Fig.

159

10.14, facendo riferimento al cedimento assoluto massimo della stessa fondazione.

Se i cedimenti differenziali non sono ammissibili, in quanto non sono rispettati i limiti

alla distorsione angolare o alla rotazione della struttura riportati in Tabella 9.1, è necessario

modificare il progetto della fondazione, in modo da contenere i cedimenti differenziali entro

valori ammissibili per la struttura. Ciò può essere ottenuto:

a - limitando i cedimenti assoluti: a questo fine può essere ridotto il carico unitario netto Δq,

ampliando le dimensioni in pianta della fondazione o approfondendo il suo piano di posa (al

limite possono essere adotatte "fondazioni compensate", cioè fondazioni che trasmettono al

terreno un carico unitario pari al peso dei terreni scavati: q = γD);

b - irrigidendo la struttura di fondazione (graticcio di travi alte, platea generale nervata, fino a

scatolare con pareti di irrigidimento tra la soletta inferiore e quella superiore);

c - adottando una fondazione di tipo profondo.

10.4 - REAZIONI DEL TERRENO DI FONDAZIONE

Per il dimensionamento di una struttura di fondazione devono essere note le azioni

trasmesse dalla sovrastruttura e le reazioni del terreno. La teoria dell'elasticità ed osservazioni

effettuate su strutture reali indicano che le reazioni del terreno su fondazioni uniformemente

caricate non sono uniformi. La distribuzione delle reazioni dipende dalla rigidezza della

fondazione e dal tipo di terreno. Un'analisi può essere fatta nel caso di fondazione perfettamente

flessibile o di fondazione rigida.

Se la fondazione è flessibile ed il carico è uniforme, nel caso di terreno dotato di

coesione ed attrito, il cedimento è differente nei diversi punti della fondazione e la reazione del

terreno è uniforme (Fig. 10.11).

Sempre nel caso di carico uniforme, se la fondazione è rigida, il cedimento è uniforme e

perciò la distribuzione delle reazioni del terreno deve coincidere con la ripartizione che causa un

cedimento uniforme. Questa ripartizione dipende dalle caratteristiche del terreno ed è di difficile

160

definizione.

Nel caso di fondazione reale, non perfettamente rigida nè perfettamente flessibile, la

distribuzione delle reazioni non è uniforme e dipende dalla rigidità relativa terreno-struttura. In

molti casi ai fini del calcolo si adotta una ripartizione uniforme.