Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Neda Kricka
Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjevanejednakost
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Neda Kricka
Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjevanejednakost
Diplomski rad
Mentor: prof.dr.sc. Rudolf Scitovski
Osijek, 2012.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Povijesni pregled 2
2 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost 4
2.1. CSB nejednakost za realne brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. CSB nejednakost za kompleksne brojeve . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Primjena CSB nejednakosti 11
3.1. Primjena CSB nejednakosti u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3. CSB nejednakost i Heisenbergova relacija
neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Biografije 19
Literatura 22
Sazetak 24
Summary 25
Zivotopis 26
i
Uvod
Tema ovog diplomskog rada je Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost koja je
u matematici poznata jos kao Cauchyjeva nejednakost ili Schwarzova nejednakost ili
Cauchy-Schwarzova nejednakost, skraceno CSB nejednakost. Ime je dobila po ma-
tematicarima: Augustinu Louisu Cauchyju (1789–1857), Viktoru Yakovlevichu Buni-
akowskom (1804–1889) i Hermannu Amandusu Schwarzu (1843–1921).
Glavni cilj rada je pokazati povijesni put razvoja ove nejednakosti, njene dosege i
primjene od jednostavnijih do slozenijih primjera. U prvom dijelu prikazan je kratak
povijesni pregled nastanka CSB nejednakosti.
U drugom dijelu se uz uvodne definicije skalarnog produkta, norme i unitarnog prostora,
nalaze odgovarajuci teoremi o CSB nejednakosti u realnom i kompleksnom prostoru.
U trecem dijelu su primjeri iz nekih podrucja u kojima se koristi CSB nejednakost, a
to su geometrija, vjerojatnost i kvantna mehanika.
Na kraju su biografije triju matematicara zahvaljujuci kojima imamo ovu vrlo vaznu i
primjenjivu nejednakost.
1
Poglavlje 1
Povijesni pregled
Francuski matematicar Augustin Louis Cauchy (1789–1857) objavio je svoju nejed-
nakost 1821. u knjizi Cours ’Analyse Algebrique koja je ujedno prvi svjetski strogo
matematicki tekst. [13] Cauchy svoju nejednakost nije cesto rabio osim u nekim ilustra-
tivnim vjezbama. Tek 1829. ozbiljno ju je uporabio u istrazivanju Newtonove metode
za izracunavanje korijena algebarskih i transcendentalnih jednadzbi.
Cauchyjeva nejednakost bila je u obliku konacne sume(n∑k=1
xkyk
)2
≤n∑k=1
x2k
n∑k=1
y2k.
Ruski matematicar V. J. Buniakowsky (1804 – 1889) napisao je tu nejednakost u inte-
gralnom obliku ∫ b
a
f(x)g(x)dx ≤(∫ b
a
f 2(x)dx
) 12(∫ b
a
g2(x)dx
) 12
.
Buniakowsky je studirao u Parizu kod Cauchyja i dobro je poznavao njegov rad o ne-
jednakostima. Ovaj oblik nejednakosti prvi puta se pojavio u njegovom djelu Memoires
koje je objavila Carska akademija znanosti u St. Petersburgu 1859.
Iako su Memoires stampani u Francuskoj, nisu bili rasprostranjeni sirom zapadne
Europe pa su bili nepoznati i njemackom matematicaru H. A. Schwarzu (1843 – 1921)
koji je 1885. radio na svom fundamentalnom djelu o teoriji minimalne povrsine.
Schwarz je imao potrebu za dvodimenzionalnim integralima analognim Cauchyjevoj
nejednakosti. Trebao je pokazati da ako je S ⊂ R2 i f : S → R i g : S → R, tada
dvostruki integrali
A =
∫ ∫S
f 2dxdy, B =
∫ ∫S
fgdxdy, C =
∫ ∫S
g2dxdy,
moraju zadovoljavati nejednakost |B| ≤√A√C, pri cemu vrijedi stroga nejednakost
osim ako su funkcije f i g proporcionalne.
2
Pristup ovom rezultatu preko Cauchyjeve nejednakosti bio je problematican jer se stro-
gost diskretne nejednakosti moze izgubiti u ogranicavajucem prijelazu prema integra-
lima. Schwarz je trazio alternativni put i otkrio dokaz koji se i danas koristi. Istaknuo
je da je realni polinom
p(t) =
∫ ∫S
(t f(x, y) + g(x, y))2 dxdy = At2 + 2Bt+ C,
uvijek nenegativan, tj. p(t) je strogo pozitivan osim ako su f i g proporcionalne. Tada
koeficijenti moraju zadovoljavati B2 ≤ AC, a osim ako su f i g proporcionalne, vrijedi
stoga nejednakost B2 < AC. Schwarz je ponovno otkrio Buniakowskyjev oblik nejed-
nakosti, a dao je i opci oblik nejednakosti koristeci skalarni produkt vektora koji se i
danas naziva Schwarzov oblik:
(v, w) ≤ (v, v)12 (w,w)
12 .
3
Poglavlje 2
Cauchy-Schwarz-Buniakowskynejednakost
2.1. CSB nejednakost za realne brojeve
Promatramo realni vektorski prostor Rn.
Definicija 2.1.1 Skalarni produkt vektora x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn i y = (y1, . . . , yn) ∈Rn je realan broj koji oznacavamo s (x | y) i definiramo kao konacnu sumu
(x | y) =n∑i=1
xiyi.
Funkciju (x | y) : Rn × Rn → R zovemo skalarni produkt u Rn.
Svojstva skalarnog produkta:
(S1)
(S2)
(x | x) ≥ 0
(x | x) = 0 ⇐⇒ x = 0
(pozitivna definitnost),
(S3) (x | y) = (y | x) (simetricnost),
(S4) (x + y | z) = (x | z) + (y | z) (aditivnost u prvom argumentu),
(S5) (λx | y) = λ(x | y) (homogenost u prvom argumentu).
Zahvaljujuci svojstvu (S1) pomocu skalarnog produkta mozemo definirati normu vek-
tora.
Definicija 2.1.2 Norma ili duljina vektora x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn je realan broj
‖x‖ =√
(x | x) =
√√√√ n∑i=1
x2i .
4
Tako definirana funkcija ‖ ‖ : Rn → R zove se norma i ima sljedeca svojstva:
(N1)
(N2)
‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rn
‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0
(pozitivna definitnost),
(N3) ‖λx‖ = |λ|‖x‖, ∀λ ∈ R i ∀x ∈ Rn (homogenost),
(N4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x,y ∈ Rn (nejednakost trokuta).
Definicija 2.1.3 Realni vektorski prostor Rn na kome je definiran skalarni produkt sa
svojstvima (S1) – (S5) zove se realan unitaran prostor.
U svakom unitarnom prostoru vrijedi CSB nejednakost.
Prvo iskazimo jednu lemu.
Lema 2.1.1 Neka je f : R→ R kvadratna funkcija f(x) = ax2 + 2bx+ c, a, b, c ∈ R,
a > 0. Tada vrijedi:
f(x) ≥ 0 ⇐⇒ b2 − ac ≤ 0 i
f(x) = 0 ⇐⇒ b2 − ac = 0,
pri cemu se jednakost postize za x0 = − ba.
Dokaz: Nultocke kvadratne funkcije f dobiju se iz formule
x1,2 =−b±
√D
2a, D = b2 − ac.
Buduci da je a > 0 graf kvadratne funkcije (parabola) okrenut je prema gore i vrijedi
f(x) ≥ 0 ⇐⇒ D ≤ 0 ⇐⇒ b2 − ac ≤ 0,
pri cemu se jednakost postize u slucaju D = 0, a tada je x0 = − ba.
Vrijedi sljedeci teorem kojim iskazujemo Cauchyjev oblik CSB nejednakosti [8, str. 16].
Teorem 2.1.1 (Cauchyjeva nejednakost) Za realne brojeve a1, . . . , an i b1, . . . , bn
vrijedi Cauchyjeva nejednakost(n∑k=1
akbk
)2
≤n∑k=1
a2k
n∑k=1
b2k. (2.1)
Ako je ai 6= 0 bar za jedno i, onda u (2.1) stoji znak jednakosti ako i samo ako postoji
realni broj λ takav da je
bk = λak (k = 1, . . . , n).
5
Dokaz I:
Ako je a1 = . . . = an = 0 (odnosno b1 = . . . = bn = 0), teorem ocigledno vrijedi.
Pretpostavimo zato da je barem jedan ai 6= 0 i definirajmo pomocnu funkciju
f(x) =n∑k=1
(akx+ bk)2,
koju mozemo zapisati u obliku
f(x) = ax2 + 2bx+ c, a =n∑k=1
a2k, b =
n∑k=1
akbk, c =n∑k=1
b2k.
Kako je a > 0 i f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, onda prema prethodnoj lemi mora biti
b2 − ac ≤ 0, (2.2)
sto je zapravo nejednakost (2.1).
Jos preostaje dokazati da u (2.1) stoji jednakost onda i samo onda ako postoji λ ∈ R,takav da je bk = λak ∀k = 1, . . . , n.
(⇒) Pretpostavimo da u (2.1), odnosno (2.2) stoji jednakost. Prema prethodnoj lemi
slijedi da je f(x) = 0 za x = x0 = − ba, tj. vrijedi
f(− ba
) =n∑k=1
(− baak + bk
)2
= 0,
iz toga slijedi
− baak + bk = 0 ⇒ bk =
b
aak ∀k = 1, . . . , n.
(⇐) Pretpostavimo da postoji λ ∈ R, takav da je bk = λak ∀k = 1, . . . , n.
Tada je
a =n∑k=1
a2k, b =
n∑k=1
akbk =n∑k=1
akλak = λa, c =n∑k=1
b2k =
n∑k=1
(λak)2 = λ2a,
pa imamo
D = b2 − ac = (λa)2 − aλ2a = 0,
sto daje jednakost u (2.2), odnosno (2.1).
6
Dokaz navedene nejednakosti moze se napraviti i na druge nacine. Jedan od nacina je
pomocu Lagrangeova identiteta. Vidi [3, str.34] i [4, str.2].
Dokaz II:
Lagrangeov identitet glasi:(n∑k=1
a2k
)(n∑k=1
b2k
)−
(n∑k=1
akbk
)2
=∑
1≤i<k≤n
(aibk − akbi)2 .
Buduci da je desna strana u Lagrangeovu identitetu pozitivna, to je i lijeva strana
pozitivna pa (2.1) ocito vrijedi. Jednakost u (2.1) vrijedi ako i samo ako je
(aibk − akbi)2 = 0,
za svaki i, k ∈ 1, . . . , n, a to je ekvivalentno cinjenici da su nizovi brojeva (a1, . . . , an)
i (b1, . . . , bn) proporcionalni.
Treci dokaz je geometrijske naravi. Vidi [10, str.174].
Dokaz III:
Skalarni produkt vektora a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn) u n-dimenzionalnom real-
nom vektorskom prostoru Rn definirali smo kao
a · b =n∑i=1
aibi,
a normu vektora kao
||a|| =
√√√√ n∑i=1
a2i .
S druge strane, skalarni produkt vektora a·b jednak je umnosku duljine jednog vektora
i projekcije drugog vektora na prvi vektor, tj. jednak je umnosku normi vektora a i b
i kosinusa kuta ϕ izmedu njih:
a · b = ||a|| · ||b|| · cosϕ.
Zbog | cosϕ| ≤ 1 slijedi da je |a · b| ≤ ||a|| · ||b||, a odavde odmah slijedi Cauchy-
Schwarzova nejednakost.
Teorem 2.1.2 (Schwarzova nejednakost) U svakom realnom unitarnom prostoru
Rn vrijedi nejednakost
|(x|y)| ≤ ||x|| · ||y||, x,y ∈ Rn. (2.3)
Jednakost vrijedi onda i samo onda ako su vektori x,y linearno zavisni.
Dokaz pogledati u [9, str.72].
7
Analogija Cauchyjevoj nejednakosti je Buniakowsky-Schwarzova nejednakost za odredene
integrale.
Ako su f, g ∈ C([a, b]) realne neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu [a, b], skalarni
produkt definiramo:
(f |g) =
∫ b
a
f(x)g(x)dx,
te vrijedi nejednakost(∫ b
a
f(x)g(x)dx
)2
≤(∫ b
a
f 2(x)dx
)(∫ b
a
g2(x)dx
).
Primjer 2.1.1 Dokazati nejednakost trokuta za dane vektore x i y pomocu CSB ne-
jednakosti.
Rjesenje:
‖x + y‖2 = (x + y|x + y)
= (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y)
= ‖x‖2 + 2(x|y) + ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2|(x|y)|+ ‖y‖2.
Primijenimo li sada Schwarzovu nejednakost dobijemo
‖x + y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 =
= (‖x‖+ ‖y‖)2 .
Iz prethodne nejednakosti slijedi trazena nejednakost trokuta
‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
Za x 6= 0,y 6= 0 vrijedi znak jednakosti ako i samo ako postoji λ > 0 t.d. je y = λx.
Zadatak 2.1.1 Neka su x1, x2, . . . , xn nenegativni realni brojevi takvi da je x1 + x2 +
. . .+ xn = 1. Dokazimo nejednakost:
√x1 +
√x2 + . . .+
√xn ≤
√n.
Rjesenje:
Primjenom CSB nejednakosti dobivamo
(√x1 +
√x2 + . . .+
√xn)2 = (1 ·
√x1 + 1 ·
√x2 + . . .+ 1 ·
√xn)2
≤ (12 + 12 + . . .+ 12)((√x1)2 + (
√x2)2 + . . .+ (
√xn)2)
= (12 + 12 + . . .+ 12)(x1 + x2 + . . .+ xn)
= n · 1
odakle korjenovanjem slijedi trazena nejednakost.
8
2.2. CSB nejednakost za kompleksne brojeve
Skup Cn svih uredenih n-torki (a1, . . . , an) kompleksnih brojeva ima strukturu vek-
torskog prostora nad poljem C. U tom prostoru definiramo skalarni produkt vektora
a,b ∈ Cn formulom
(a|b) =n∑i=1
aibi. (2.4)
Ovaj produkt zadovoljava svojstva (S1), (S2), (S4) i (S5), a umjesto svojstva (S3)
(simetricnost) zadovoljava uvjet
(S3) (a|b) = (b|a).
Vektorski prostor Cn nad poljem C na kojem je definiran skalarni produkt (2.4) sa svoj-
stvima (S1), (S2), (S3), (S4) i (S5) zove se kompleksan unitaran prostor. Sada sasvim
analogno kao i u realnom slucaju, mozemo dokazati da i u kompleksnom unitarnom
prostoru vrijedi CSB nejednakost u svim oblicima.
Teorem 2.2.1 Za kompleksne brojeve a1, . . . , an i b1, . . . , bn vrijedi Cauchyjeva nejed-
nakost
|n∑i=1
aibi|2 ≤n∑i=1
|ai|2 ·n∑i=1
|bi|2. (2.5)
Jednakost vrijedi ako i samo ako je b1 = . . . = bn = 0 ili je bk 6= 0 bar za jedno k, ali
postoji λ ∈ C takav da je ai = λbi (i = 1, . . . , n).
Dokaz:
Stavimo:
A =n∑i=1
|ai|2, B =n∑i=1
|bi|2, C =n∑i=1
aibi.
Ako je B = 0 tvrdnja je ocigledna. Neka je dakle B > 0. Tada je:
n∑i=1
|Bai − Cbi|2 =n∑i=1
(Bai − Cbi)(Bai − Cbi)
= B2
n∑i=1
|ai|2 −BCn∑i=1
aibi −BCn∑i=1
aibi + |C|2n∑i=1
|bi|2
= B2A−B|C|2 = B(AB − |C|2);
dakle B(AB − |C|2) ≥ 0. Odavde i iz B > 0 slijedi AB ≥ |C|2, tj. slijedi (2.5).
Jednakost vrijedi ako i samo ako je Bai − Cbi = 0 za svaki i, dakle ai = CBbi (i =
1, . . . , n).
9
Teorem 2.2.2 Neka su f i g kompleksne funkcije koje su definirane i neprekidne na
segmentu [a, b], onda vrijedi Buniakowsky-Schwarzova nejednakost:
|∫ b
a
f(t)g(t)dt|2 ≤∫ b
a
|f(t)|2dt ·∫ b
a
|g(t)|2dt. (2.6)
Jednakost vrijedi ako i samo ako je g(t) = 0 za svaki t ∈ [a, b] ili postoji t0 ∈ [a, b]
takav da je g(t0) 6= 0, ali je f(t) = λg(t), t ∈ [a, b] za neki broj λ.
Dokaz: Dokaz nejednakosti (2.6) analogan je dokazu nejednakosti (2.5), s tim da
umjesto sumiranja treba integrirati. Dokaz pogledati u [7, str.27].
10
Poglavlje 3
Primjena CSB nejednakosti
Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost je nejednakost prisutna u mnogim podrucjima
matematike, ali i u drugim granama znanosti. Ovdje ce se pokazati neke od primjena,
a to je primjene u geometriji, teoriji vjerojatnosti i kvantnoj mehanici.
3.1. Primjena CSB nejednakosti u geometriji
Zadatak 3.1.1 Neka su a, b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.
Dokazite da vrijedi nejednakost
ab+ bc+ ca < 2c2.
Rjesenje:
Primijenimo CSB nejednakost:
(ab+ bc+ ca)2 ≤(a2 + b2 + c2
) (b2 + c2 + a2
)=(a2 + b2 + c2
)2= (c2 + c2)
2= (2c2)
2,
odakle nakon korjenovanja slijedi ab + bc + ca ≤ 2c2.
Primijetimo da u prethodnoj nejednakosti ne moze stajati znak jednakosti jer nizovi
(a, b, c) i (b, c, a) nisu proporcionalni. Kada bi bili proporcionalni, postojao bi neki
realni broj m takav da je
a = mb, b = mc, c = ma.
Tada bismo imali
c2 = m2a2 = m2(m2b2
)= m4b2 = m4
(m2c2
)= m6c2,
odatle bi slijedilo m = 1, a onda c = a, sto je u suprotnosti s Pitagorinim pouckom.
Dakle, vrijedi stoga nejednakost.
11
Zadatak 3.1.2 Neka je dan trokut ABC i tocka P unutar njega. Neka su D, E i
F redom nozista okomica iz tocke P na pravce BC, CA i AB. Dokazite da vrijedi
nejednakost
|AB|2 + |BC|2 + |CA|2 ≤ 4(|AF |2 + |BD|2 + |CE|2
).
Rjesenje:
Slika 3.1: Trokut ABC
Uvedimo oznake |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b, |AF | = z, |BD| = x i |CE| = y.
Tada je |FB| = c− z, |DC| = a− x, |EA| = b− y.
Primijenimo Pitagorin poucak na trokute PBD i BPF:
|PB|2 = x2 + |PD|2,
|PB|2 = (c− z)2 + |PF |2,
odakle je
x2 + |PD|2 = (c− z)2 + |PF |2. (3.1)
Analogno iz trokuta CPD i PCE, odnosno APE i PAF dobivamo
y2 + |PE|2 = (a− x)2 + |PD|2, (3.2)
z2 + |PF |2 = (b− y)2 + |PE|2. (3.3)
Zbrajanjem (3.1), (3.2) i (3.3) dobivamo
x2 + y2 + z2 = (a− x)2 + (b− y)2 + (c− z)2,
12
odakle je
ax+ by + cz =1
2
(a2 + b2 + c2
).
Primijenimo CSB nejednakost:
(ax+ by + cz)2 ≤(a2 + b2 + c2
) (x2 + y2 + z2
),
slijedi1
4
(a2 + b2 + c2
)2 ≤(a2 + b2 + c2
) (x2 + y2 + z2
),
tj. a2 + b2 + c2 ≤ 4(x2 + y2 + z2
),
a to je i trebalo dokazati. Jednakost vrijedi ako i samo ako je ax
= by
= cz
= 2, a to
je ako i samo ako su D,E i F polovista stranica trokuta. Tada je P srediste trokutu
ABC opisane kruznice.
3.2. Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti
U teoriji vjerojatnosti i statistici najvaznija su u primjenama dva tipa slucajnih va-
rijabli: diskretne i neprekidne. [12, str.307] Najvaznije numericke znacajke slucajnih
varijabli su matematicko ocekivanje i varijanca.
Neka je X diskretna slucajna varijabla sa zakonom razdiobe
X =
(x1x2 . . .
p1p1 . . .
).
Tada je matematicko ocekivanje slucajne varijable X dano formulom
EX=∑k
xkpk. (3.4)
Neka je sada X neprekidna slucajna varijabla s gustocom fX .
Tada je njeno ocekivanje:
EX=
∫ ∞−∞
xf (x) d(x). (3.5)
Da bismo izrekli Cauchy-Schwarzovu nejednakost, moramo pokazati da je prostor L2(Ω)
unitaran prostor, a to cemo uciniti postupno [12, str.310].
Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) i r > 0.
Definicija 3.2.1 E(Xr) zovemo r-ti moment od X,a E(|X|r) zovemo r-ti apso-
lutni moment od X.
13
Za slucajne varijable X i Y i r > 0 iz ocigledne nejednakosti
|X + Y|r ≤ [2 max(|X| , |Y|)]r ≤ 2r [|X|r + |Y|r] ,
slijedi
E [|X + Y|r] ≤ 2r [E (|X|r) + E(|Y|r)] . (3.6)
Prema tome, ako X i Y imaju (konacne) r-te apsolutne momente, tada X+Y takoder
ima r-ti apsolutni moment.
Sa L2 (Ω,F , P ) = L2(Ω) oznacimo skup svih slucajnih varijabli definiranih na Ω koje
imaju konacan drugi moment. Iz (3.6) slijedi da je L2(Ω) vektorski prostor.
Za X,Y ∈ L2(Ω) stavimo
< X,Y> = E(XY). (3.7)
Time je definiran skalarni produkt u L2(Ω), dakle je L2(Ω) unitaran prostor. Buduci
da je L2(Ω) unitaran prostor, u njemu vrijedi Cauchy- Schwarzova nejednakost. Vidi
[12, str. 314].
Propozicija 3.1 (Cauchy- Scharzova nejednakost) Neka su X i Y slucajne va-
rijable takve da je E(X2) <∞ i E(Y2) <∞. Tada je E(|XY|) <∞ i vrijedi
[E(|XY|)]2 ≤ E(X2)E(Y2). (3.8)
Dokaz:
Prema Propoziciji 10.3 (i) [12, str.293] relacija (3.8) slijedi trivijalno ako je barem
jedna od X ili Y jednaka nula. Pretpostavimo zato da je E(X2) > 0 i E(Y2) > 0. U
elementarnoj nejednakosti 2 |ab| ≤ a2 + b2 stavimo
a =X
[E(X2)]12
, b =Y
[E(Y2)]12
.
Tada dobijemo
|XY| ≤ 1
2
[E(X2)E(Y2)
] 12
[X2
E(X2)+
Y2
E(Y2)
],
Dakle |XY| ima konacno ocekivanje, a (3.8) slijedi uzimanjem matematickog ocekivanja.
Iz (3.8) i Teorema 10.1(iii) (vidi [12, str.291]) slijedi drugaciji zapis nejednakosti:
|E(XY)| ≤[E(X2)
] 12[E(Y2)
] 12 . (3.9)
Time smo dobili Cauchy-Schwarzovu nejednakost za unitarni prostor L2 (Ω). U (3.9)
vrijedi jednakost ako i samo ako je X=λY za neki λ ∈ R.
14
Varijanca slucajne varijable je druga vazna numericka znacajka slucajne varijable.
Definicija 3.2.2 Neka EX postoji (tj. konacno je). Tada E [(X−EX)r] zovemo r-ti
centralni moment od X, a E [|X−EX|r] zovemo r-ti apsolutni centralni mo-
ment od X.
Definicija 3.2.3 Varijanca od X koju oznacujemo sa Var X jest drugi centralni
moment od X, dakle je
V arX=E[(X−EX)2
]. (3.10)
Nadalje, definirat cemo pojam kovarijance [12, str.317].
Neka je X = (X1, . . . ,Xn) n- dimenzionalni slucajni vektor na (Ω,F , P ). Tada je mate-
maticko ocekivanje od X definirano kao EX = (EX1, . . . , EXn) ∈ Rn uz pretpostavku
da je EXi konacno za sve i = 1, ..., n. Neka je E(Xi2) < ∞ za i = 1, ..., n. Tada iz
propozicije 3.1 slijedi da za i, j = 1, ..., n postoje realni brojevi
µij = cov (Xi, Xj) =E [(Xi − EXi) (Xj − EXj)] . (3.11)
Za i 6= j cov(Xi,Xj) zovemo kovarijanca slucajnih varijabli Xi,Xj, a µii = V ar Xi.
Ocigledno je
cov (Xi,Xj) = E (XiXj)− EXiEXj.
Iz Cauchy- Schwarzove nejednakosti i definicije skalarnog produkta (3.7) slijedi nejed-
nakost:
|cov (Xi,Xj) |2 = |E [(Xi − EXi) (Xj − EXj)] |2
= | 〈Xi − EXi,Xj − EXj〉 |2
≤ 〈Xi − EXi,Xi − EXi〉 〈Xj − EXj,Xj − EXj〉= E
[(Xi − EXi)
2]E [(Xj − EXj)2]
= V ar (Xi) V ar (Xj).
3.3. CSB nejednakost i Heisenbergova relacija
neodredenosti
Prije nego pokazemo samu primjenu CSB nejednakosti u izvodu Heisenbergove relacije
neodredenosti, navodimo nekoliko osnovnih ideja kvantne mehanike i nekoliko pojmova
o operatorima koje cemo koristiti u izvodu.
Za razliku od makrosvijeta gdje eksperimentom ne utjecemo na svijet, u mikrosvijetu
narusavamo narav mikrosvijeta. Ako mjerimo polozaj mikrocestice, tim mjerenjem
15
joj dajemo impuls i ne mozemo znati koliku brzinu potom ima. U klasicnoj mehanici
mozemo mjeriti polozaj x i impuls px istovremeno s proizvoljnom tocnoscu. Heisenberg
je zakljucio da u mikrosvijetu to nije istina. U mikrosvijetu ne postoji pojam staze
jer ne mozemo izmjeriti kanonske parove x(t), px(t); y(t), py(t); z(t), pz(t). Ali, mozemo
odrediti intervale u kojima se s najvecom vjerojatnoscu nalaze pojedine opservable.
Heisenberg je dao svoju opce poznatu relaciju neodredenosti u kojoj odreduje donju
granicu neodredenosti i ona iznosi h2
:
∆x∆px ≥h
2(analogno vrijedi u smjeru y-osi i z-osi) ,
h je reducirana Planckova konstanta; h= h2π
(h = 6, 626176·10−34Js),∆x je neodredenost
polozaja pri mjerenju u smjeru x-osi, a ∆px je neodredenost pripadnog impulsa u smjeru
x-osi.
Nadalje, Heisenberg je zakljucio da ne mozemo mikroobjekte opisati obicnim brojevima
vec operatorima (princip korespodencije). Svakoj dinamickoj opservabli pripada odgo-
varajuci linerni operator. Neki primjeri fizikalnih operatora su: ~r - operator polozaja,
~p - operator impulsa itd. Svi fizikalni operatori moraju biti hermitski (A = A∗).
Za bilo koji hermitski operator A mozemo definirati standardnu devijaciju:
σA =
√⟨A2⟩−⟨A⟩2,
gdje je⟨A⟩
srednja vrijednost operatora A; u kvantnomehanickoj interpretaciji⟨A⟩
predstavlja rezultat mjerenja opservable A, kada se mjerni sustav nalazi u stanju opi-
sanom valnom funkcijom ψ.
Za bilo koja dva hermitska operatora A i B definiramo komutator:[A, B
]= AB − BA.
Koristeci navedeno i Cauchy-Schwarzovu nejednakost izvest cemo Robertsonovu rela-
ciju neodredenosti, a iz nje Heisenbergovu relaciju neodredenosti.
Izvod Robertsonove relacije neodredenosti [19]
Neka su A : H → H i B : H → H dva proizvoljna hermitska operatora. Na osnovu
definicije standardne devijacije imamo:
σ2A =
⟨(A−
⟨A⟩)ψ∣∣∣(A− ⟨A⟩)ψ⟩ .
Zamjenom∣∣f⟩ =
∣∣∣(A− ⟨A⟩)ψ⟩ dobivamo
σ2A =
⟨f |f⟩.
16
Analogno za drugi hermitski operator B u istom stanju:
σ2B =
⟨(B −
⟨B⟩)ψ∣∣∣(B − ⟨B⟩)ψ⟩ =
⟨g|g⟩,
za∣∣g⟩ =
∣∣∣(B − ⟨B⟩)ψ⟩ .Produkt ove dvije standardne devijacije moze se izraziti kao:
σ2Aσ
2B =
⟨f |f⟩⟨g|g⟩. (3.12)
Kako bi se povezala dva vektora |f⟩
i |g⟩, koristimo Cauchy-Schwarzovu nejednakost:⟨
f |f⟩⟨g|g⟩≥ |⟨f |g⟩|2.
(3.12) mozemo napisati u obliku
σ2Aσ
2B ≥ |
⟨f |g⟩|2. (3.13)
Kako je⟨f |g⟩
uglavnom kompleksan broj, koristimo cinjenicu da je kvadrat apsolutne
vrijednosti bilo kojeg kompleksnog broja z definiran kao |z|2 = z · z∗, gdje je z∗ kom-
pleksno konjugiran od z.
Kvadrat apsolutne vrijednosti moze se izraziti kao:
|z|2 = (Re(z))2 + (Im(z))2 ≥ (Im(z))2 =
(z − z∗
2i
)2
. (3.14)
Zamijenimo z =⟨f |g⟩
i z∗ =⟨g|f⟩, slijedi:
∣∣⟨f |g⟩∣∣2 ≥ (⟨f |g⟩− ⟨g|f⟩2i
)2
. (3.15)
Skalarni produkt⟨f |g⟩
napisimo u obliku⟨f |g⟩
=⟨ψ(A−
⟨A⟩)∣∣∣(B − ⟨B⟩)ψ⟩
i koristeci cinjenicu da su A i B hermitski operatori nalazimo:⟨f |g⟩
=⟨ψ∣∣∣(A− ⟨A⟩)(B − ⟨B⟩)ψ⟩
=⟨ψ∣∣∣(AB − A⟨B⟩− B⟨A⟩+
⟨A⟩⟨B⟩)ψ⟩
=⟨ψ∣∣∣ABψ⟩− ⟨ψ∣∣∣A⟨B⟩ψ⟩− ⟨ψ∣∣∣B⟨A⟩ψ⟩+
⟨ψ∣∣∣⟨A⟩⟨B⟩ψ⟩
=⟨AB⟩−⟨A⟩⟨B⟩−⟨A⟩⟨B⟩
+⟨A⟩⟨B⟩
=⟨AB⟩−⟨A⟩⟨B⟩.
17
Slicno se moze dokazati da je ⟨g|f⟩
=⟨BA⟩−⟨A⟩⟨B⟩.
Razliku ⟨f |g⟩−⟨g|f⟩
=⟨AB⟩−⟨A⟩⟨B⟩−⟨BA⟩
+⟨A⟩⟨B⟩
=⟨
[A, B]⟩,
uvrstimo u (3.15). Slijedi
∣∣⟨f |g⟩∣∣2 ≥ ( 1
2i
⟨[A, B]
⟩)2
. (3.16)
(3.16) uvrstimo u (3.13) i dobivamo Robertsonovu relaciju neodredenosti:
σAσB ≥1
2i
⟨[A, B]
⟩. (3.17)
Robertsonova relacija neodredenosti ukljucuje Heisenbergovu relaciju neodredenosti
kao specijalni slucaj. To se moze pokazati na primjeru relacije za polozaj-impuls.
Uzmimo da je A operator polozaja, a B operator impulsa. Komutator [x, px] iznosi i h.
Tada iz (3.17) slijedi:
σxσp ≥h
2.
Analiza izvoda relacije neodredenosti pokazuje da neodredenost ulazi u izvod upravo
sa Cauchy-Schwarzovom nejednakoscu. U kontekstu relacije neodredenosti, Cauchy-
Schwarzovu nejednakost prvi je u svom izvodu upotrijebio Weyl (1928), zatim Robert-
son (1929) i Schrodinger (1930).
18
Poglavlje 4
Biografije
Augustin Louis Cauchy (21.kolovoza 1789., Pariz- 23.svibnja 1857., Sceaux)
Slika 4.1: Augustin Louis Cauchy
A.L. Cauchy veliki je francuski znanstvenik i jedan od najvecih matematicara u povi-
jesti. [2, 16] Njegov izniman talent u ranom djetinjstvu uocili su veliki matematicari
Lagrange i Laplace koji su ga i potaknuli ucenju matematike. Zavrsio je (1807) uglednu
visoku skolu Ecole Polytechnique gdje je dobio polozaj docenta za matematicku ana-
lizu. Postao je slavan radom o valovima i radom o poligonalnim brojevima sto mu
je omogucilo da postane clan Francuske akademije znanosti. Cauchy je u svom vre-
menu bio prvi koji je, pored Gaussa, uvodio strogost u matematicku analizu. Prvi je
precizno proucio pojam konvergencije odnosno limesa, a prvi je i definirao kompleksnu
funkciju kompleksne varijable i time utemeljio kompleksnu analizu. U podrucju algebre
doprinio je u razvoju teorije grupa i dao ime determinanti. Zbog znacajnog doprinosa
u otkrivanju mnogih matematickih istina njegovim imenom oznaceno je mnogo mate-
matickih pojmova i teorema. Neki od njih su: Cauchyjev niz, Cauchyjeva nejednakost,
Cauchyjev integral, Cauchyjeva distribucija itd. Da zakljucimo: ovom velikom mate-
maticaru zahvaljujemo za suvremeni oblik matematicke analize, koju je sintetizirao i
precizirao. Objavio je ogroman broj od 789 radova. Najpoznatiji su: Lecons sur les
19
applications du calcul infinitesimal a la geometrie (1816), Analyse algebrique (1821),
Cours d’ analyse (1821), Memoire sur les integrales definies, pises entre des limites
imaginaires (1825).
Karl Hermann Schwarz Amandus (25. sijecnja 1843., Hermsdorf, Prusija- 30.
studenoga 1921., Berlin, Njemacka)
Slika 4.2: Karl Hermann Schwarz Amandus
H. Schwarz studirao je kod velikih matematicara Kummera i Weierstrassa. [18] Pre-
davao je na Sveucilistu u Halleu, Zurichu i Gottingenu. Bavio se temama iz teorije
funkcija, diferencijalne geometrije i varijacionog racuna. 1892.godine postao je clan
Berlinske akademije znanosti i profesor na Sveucilistu u Berlinu. Najpoznatija djela su
mu: Bestimmung einer speziellen Minimalflache (1867) i Gesammelte Mathematische
Abhandlungen (1890).
Viktor Yakovlevich Buniakowsky (16.prosinca 1804., Bar, Ukrajina- 30.studenog
1889., Sankt Peterburg, Rusija)
Slika 4.3: Viktor Yakovlevich Buniakowsky
20
Buniakowsky je doktorirao 1825.godine u Parizu kod Cauchyja. [17, 21] Vratio se u St.
Peterburg noseci znanja koja do tada nisu postojala u Rusiji. Odigrao je vaznu ulogu
u razvoju teorije ostataka i ideje o vjerojatnosti. Bavio se i geometrijom, mehanikom i
hidrostatikom. Najpoznatiji je po otkricu Cauchy-Schwarzove nejednakosti objavljene
1859. u studiji o nejednakosti izmedu integrala. To je bilo 25 godina prije Schwarzovog
rada. Napisao je preko 150 radova, predavao je na Sveucilistu, bio je clan, a kasnije
i potpredsjednik Petersburske akademije znanosti. Najpoznatiji radovi su mu: Foun-
dations of the mathematical theory of probability (1846), Memoires de l’Academie des
sciences de St-Peterbourg (1859).
21
Literatura
[1] N.S. Barnett, S.S. Dragomir, An additive reverse of the Cauchy-
Bunyakowsky-Schwarz integral inequality, Applied Mathematics Letters, Volume
21, Issue 4, April 2008, 388-393.
[2] F.M. Bruckler, Povijesna rubrika, Osjecki matematicki list, 9 (2009), 107-114.
[3] L. Caklovic, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Skolska knjiga, Zagreb, 1979.
[4] S.S. Dragomir, A Survey on Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Type Discrete Inequ-
alities, Victoria Univerity, Melbourne, 2003.
[5] I. Ilisevic, Primjena Cauchy-Schwarz-Buniakowsky-jeve nejednakosti u geome-
triji, Osjecki matematicki list, 5 (2005), 77-84.
[6] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Sveuciliste J.J. Strossmayera, Odjel za
matematiku, Osijek, 2000.
[7] S. Kurepa, Matematicka analiza 3, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.
[8] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Skolska knjiga, Zagreb, 1978.
[9] S. Mardesic, Matematicka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru,
Skolska knjiga, Zagreb, 1979.
[10] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehnicka knjiga, Zagreb,
1992.
[11] J. Pecaric, Nejednakosti, HMD i Element, Zagreb, 1996.
[12] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.
[13] J.M. Steel, The Cauchy-Schwarz-Master Class, An introduction to the art of
mathematical inequalities, Cambridge University Press, 2004.
[14] E.H. Wichmann, Kvantna fizika, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1988.
[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz_inequality
22
[16] http://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy
[17] http://en.wikipedia.org/wiki/Viktor_Bunyakovsky
[18] http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz
[19] http://www.enotes.com/topic/Uncertainty_principle_derivations#The_
Robertson_Uncertainty_Relation
[20] http://www.scribd.com/doc/15501464/CauchySchwarz-Inequality-and-
Heisenberg-Uncertainty-Principle
[21] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bunyakovsky.html
23
Sazetak
U ovom diplomskom radu razmatra se CSB nejednakost, jedna od najvaznijih nejed-
nakosti u matematici. Nejednakost je stavljena u povijesni okvir, te se kroz povijesni
pregled uvodi problematika koja je zaokupljala tadasnje matematicare.
U radu je prikazana CSB nejednakost u integralnom obliku, vektorskom obliku i u
obliku sume za realne i kompleksne brojeve, te razni primjeri.
CSB nejednakost ima svekoliku primjenu u analizi, algebri, statistici, vjerojatnosti,
kvantnoj mehanici i dr. Neke od primjena su obradene u radu, a to su primjene u
geometriji, vjerojatnosti i kvantnoj mehanici.
Kroz teoreme i primjene naglasena je vaznost CSB nejednakosti u matematici, te njena
vaznost za dalji razvoj matematike i podrucja u kojima se koristi matematika. O
vaznosti CSB nejednakosti govori i podatak da se svaki mjesec objavljuju stotine novih
znanstvenih radova gdje se ona primjenjuje.
24
Summary
This thesis examines the CSB inequality, one of the most important inequalities in
mathematics. Inequality is placed in a historical framework, and through the historical
review introduces the problem that has occupied the former mathematicians.
This paper presents the CSB inequality in integral form, in the form of vector sum of
real and complex numbers, and various examples.
CSB inequality has applications in analysis, algebra, statistics, probability, quantum
mechanics, etc. Some of the applications are processed in the work, such as applications
in geometry, probability and quantum mechanics.
Through the application of theorems we emphasized the importance of CSB inequality
in mathematics and its importance for the further development of mathematics and
areas in which mathematics is used. The importance of the CSB inequality is the fact
that every month hundreds of new applicable research papers, where published.
25
Zivotopis
Rodena sam 25.srpnja 1964. u Nizi. Od 1971. do 1979. pohadala sam osnovnu skolu
”Ivana Brlic-Mazuranic“ u Koski. Maturirala sam 1983. u CUO “Braca Ribar“ u Osi-
jeku, smjer matematicar-informaticar. Godine 1983. upisala sam smjer matematika-
fizika na Pedagoskom fakultetu u Osijeku, gdje sam 1987. apsolvirala. Nekoliko godina
sam radila u srednjoj skoli”Josip Kozarac“ u Durdenovcu. Kada je osnovan Odjel za
matematiku Sveucilista u Osijeku, presla sam s Pedagoskog fakulteta na novoosnovani
Odjel.
26
