Castigliano Armaduras

8/17/2019 Castigliano Armaduras

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3 5 6 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a

a p l ic a r p r i m e r o dP¡ y luego l as ca rg as P \ , P i,- - - . P n• C o m o e s t a s d o s e c u a

c i o n e s d e b e n s e r i g u a le s , s e r e q u i e r e q u e

k> q u e d e m u e s t r a e l t e o r e m a : e s d e c i r , e l d e s p l a z a m i e n t o A , e n l a d i r e c

c ió n d e P¡ e s i g u a l a la p r i m e r a d e r i v a d a p a r c i a l d e l a e n e r g í a d e d e f o r

m a c i ón c o n r e s p e c to a P ¡*

D e b e s e ñ a l a r s e q u e l a e c u a c i ó n 9 - 20 e s u n e n u n c i a d o a c e r c a d e l a c o m

p a ti b il id a d d e la e s tr uc tu ra . A d e m á s , l a d e d u c c i ó n a n t e r io r e x i ge q u e e n

e l an á l i s is s ó lo s e cons ide ren l a s fu e r z a s co nserva d o ra s . Es ta s fue r zas

r e a li z a n t r a b a j o q u e e s i n d e p e n d i e n t e d e l a t r a y e c t o r i a y p o r l o ta n t o n o

c r e a n p é r d i d a s d e e n e r g í a . C o m o la s fu e r z a s q u e c a u s a n u n a r e s p u e s t a li

n e a l e l á s ti c a so n c o n s e r v a d o r a s , e l t e o r e m a s e l i m i t a a u n c o m p o r t a

m ien to l inea l e lá s t ico t f cl m a t e r ia l . E s t o c o n s t it u y e u n a d i f e r e n c i a c o n e l

m é t o d o d e l a f u e r z a v i r t u a l a n a l iz a d o e n l a s e c ci ó n a n t e r i o r , q u e s e a p l ic a

tan to a l c o m p o r t a m i e n t o e lá s t ic o c o m o a l no e lás t ico .

9 . 6 T eo rema d e Ca s tig lia n o paraa rmaduras

1 .a e n e r g ía d e d e f o rm a c ió n p a r a u n e l e m e n t o d e u n a a r m a d u r a e s t á d a d a

p o r l a e c u a c ió n 9 -9 , U¡ -* N 2L /2 A E . A l s u s t it u ir e s t a e c u a c i ó n e n l a e c u a

c ión 9 -20 y s i s e om i te e l s ub índ ice / . r e s u l t a

A = — y ] ——d P 2 A E

P b r l o g e n e r a l e s m á s fá c i l r e a l i z a r l a d i fe r e n c i a c i ó n a n t e s d e l a s u m a t o -

r ia . E n e l c a s o g e n e r a l L , A y E s o n c o n s t a n te s p a r a u n e l e m e n t o d a d o , y p o r k) ta n to p u e d e e sc r ib ir se a s í

* ■ M m ( 9 - 2 1 )

d o n d e

A = d e s p la z a m i e n t o d e l a j u n t a e x t e r n a d e la a r m a d u r a .

P = f u e rz a e x t e r n a a p l ic a d a a l a j u n t a d e l a a r m a d u r a e n l a d i re c ci ón

d e A.

N ■ f u e r z a in t e r n a e n u n e l e m e n t o c a u s a d a tan to p o r la f u e r z a P c o m o

p o r la s c a rg a s s o b r e la a rm a d u ra .

L » l on g it ud d e u n e l e m e n t o . A = á r e a d e l a s e c c ió n t r a n s v e r s a l d e u n e l e m e n t o .

E = m ó d u l o d e e la s ti c id a d d e u n e l em e n t o .

*EI pr imer leo r e m a d e C a s t i g l ia n o e s p a r e c i d o a s u s e g u n d o t e o r e m a ; s in e m b a r g o , r e l a

c i o n a l a c a r g a P t c o n l a d e r iv a d a p a r d a l d e l a e n e rg í a d e d e f o r m a d ó n r e sp e c to a l d e s

p la z am ie n to c o rr e s p o n d ie n te , es d e d r P, = d U / d 1- a c o m p r o b a d ó n e s p a r e c i d a a l a

d a d a a n t e r i o r m e n t e y , c o m o e l m é t o d o d e l d e s p l a z am i e n t o v i r t u a l , e l p r i m e r t e o r e m a d e

C a s t i g li a n o s e a p l ic a t a n t o a l c o m p o r t a m i e n t o m a t e r i a l c l á s ti c o c o m o a l n o c l á s t ic o . E s tet e o r e m a e s o t r a m a n e r a d e e x p r e s a r lo s requis itos de equ i l ibr io pa ra una es t ruc tura y ,

p u est o q u e ti e n e u n uso m uy li m it ad o e n e l a n á li s is e s tr u c tu ra l, n o s e a n a li za e n e s te l ib r a

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9 . 6 TPOR EM Ad e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s

E s t a e c u a c ió n e s s e m e j a n t e a l a q u e s e u t il iz a e n e l m é t o d o d e l t r a b a j o

vir tual , ecu ació n 9-15 (1 • A = ' Z n N L / A E ) , e x c e p to q u e n se sus t i tuye

p o r d N / d P . O b s e rv e q u e c o n e l f in d e t e r m i n a r e s ta d e r i v a d a p a r ci a l s e r á

n e c e s a ri o t r a t a r P c o m o u n a var iable ( n o u n a c a n t id a d n u m é r ic a e s p e c í

f ic a ) y , a d e m á s , c a d a e l e m e n t o d e l a f u e r z a N d e b e e x p r e s a r s e e n f u nc i ón

d e P . E n c o n s e c u e n c i a , e l c á l c u lo d e d N / d P g e n e r a lm e n t e r e q u i e r e u n

p o c o m ás d e o p e ra c io n e s q u e la s n e c e s a r ia s p a ra c a lc u la r c a d a fu e rz a n

d e m a n e r a d i r e c t a . f t» r s u p u e s t o , e s t o s t é r m i n o s s e r á n i g u a le s p o r q u e n o

d N / d P e s si m p l e m e n t e e l c a m b i o d e l a f u e r z a i n t e r n a d e l e l e m e n t o c o n

res pec to a l a ca rga P . o e l c a m b i o e n la f u e r za d e l e le m e n t o p o r c a r g a

uni tar ia .

P r o c e d i m i e nt o d e anál i s i s

E l s ig u i e n te p r o c e d im i e n to p r o p o r c i o n a u n m é t o d o q u e p u e d e u t il iz a r se p a r a d e t e r m i

n a r e l d e sp l a z a m i e n to d e c u a l q u i e r j u n t a d e u n a a r m a d u r a u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s t i

g l iano.

Fue r z a e x t e r n a P

• C o l o q u e u n a f u e r z a P s o b re l a a r m a d u r a e n l a ju n t a d o n d e s e d e s e a d e t e r m i n a r e l d e s

p la z a m ien to . S e s u p o n e q u e e s ta fu e rz a tie n e u n a magn i tud var iab le c o n e l f i n d e o b

t e n e r e l c a m b i o S N / d P . A s e g ú r e s e d e q u e P e s t é d i ri g i d a a l o l a r g o d e l a l í n e a d e

a c c ió n d e l d e s p l a z a m i e n t o .

Fuerzas i n te rnas N

• D e t e rm i n e la fu e r z a . V e n c a d a e l e m e n t o c a u s a d a t a n t o p o r la s c a r g a s r e a le s (n u m é r i

c a s) c o m o p o r l a f u e r z a v a r ia b l e P . S u p o n g a q u e la s f u e rz a s d e t e n s i ó n s o n p o s i ti v a s y

q u e l a s d e c o m p r e s i ó n s o n n e g a t i v as .

• C a l c u l e l as d e r i v a d a s p a r c i a l e s re s p e c t i v a s d N / B P p a r a c a d a e l e m e n t o .

• D e s p u é s d e d e t e r m i n a r N y d N / d P , a s ig n e a P s u v a l o r n u m é r i co s i h a r e e m p l a z a d o

u n a fu e r z a r e a l s o b r e l a a r m a d u r a . D e l o c o n t r a r i o . c o n s i d e r e q u e P e s igua l a ce ro .

Teo rema de Cas t i g l i ano

• A p l i q u e e l te o r e m a d e C a s ti g li a n o p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m i e n to A d e s e a d o . Es

i m p o r t a n t e c o n s e r v a r lo s s ig n o s a l g e b r a ic o s p a r a lo s v a l o re s c o r r e s p o n d i e n t e s d e N y

d N / d P a l s u s t itu i r e s to s t é rm inos e n l a ecuac ión .

• S i l a s um ato r i a r e s u l t an te 1 N ( d N / d P ) L / A E e s pos i t iva , A t i ene l a m is ma d i r ecc ión

q u e P . S i s e o b t i e n e u n v a l o r n e g a t iv o , A e s o p u e s t o a P .

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EJEMPLO

3 m

----------* - 4 k N

- U - ———̂

4 m ---------- 1

( 3 )

4 k N

D e t e rm i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r ti ca l d e l a ju n t a C d e l a a r m a d u r a

q u e s e m u e s t r a e n l a fi g u r a 9- 11 a. E l á r e a de l a s ecc ión t r ans ve r s a l de

c a d a e l e m e n t o e s A = 4 0 0 m m 2 y E - 200 G P a .

S O L U C I Ó N

Fu e r z a e x te r n a . S e a p l ic a u n a f u e r z a v e r t ic a l s o b r e l a a r m a

d u r a e n l a j u n t a C , p u e s t o q u e e s d o n d e d e b e d e t e rm i n a rs e e l d e s p l a

zam ien to ve r t i ca l , f igu ra 9 -116 .

Fuerzas in te rnas N . S e d e t e r m i n a n l as r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s

A y H d e l a a r m a d u r a y l o s r e s u l ta d o s s e m u e s t r a n e n l a fi g u r a 9 - 1 1 6.

U t i l iz a n d o e l m é t o d o d e l o s n u d o s , s e d e t e r m i n a n l a s f u e r z a s N en

c a d a e l e m e n t o , f ig u r a 9 - 1 l e * P o r c o n v e n i e n c i a , e s t o s r e s u lt a d o s j u n t o

c o n l a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s A V /d P s e e n u n c i a n e n f o r m a t a b u l a r d e la

s i g u i e n te m a n e r a :

0 5 P - 1.5 kN 0-5 P + 1 .5 kN

E l e m e n t o N ¿>N

d P N ( P = 0 ) L

“ ( S >

A B 0 . 6 6 7 P + 2 0 .6 6 7 2 8 1 0 .6 7

A C - ( 0 . 8 3 3 / ' - 2.5 ) - 0 .8 3 3 2 .5 5 - 1 0 . 4 2

B C - ( 0 .8 3 3 / * + 2 .5 ) - 0 .8 3 3 - 2 . 5 5 10 .42

(b )

4 k N

N a c - 0.833 P - 2 -5 k N

- A Á

1 = 1 0 .6 7 k N • m

E n v i s ta d e q u e P e n r e a l id a d n o e x i s te c o m o u n a c a rg a r e a l s o b r e l a

a r m a d u r a , s e r e q u i e re q u e P = O e n l a t a b l a a n t e r io r .

Te o r em a d e C a * t ig l ia n o . A l ap l i ca r l a ecu ac ión 9 -21 . s e t i ene

10.67 kN • m

- 0 66 7 P * 2 kN

0 - 5 P - 1 .5 k N

* \ d P J A E A E

N „c - 0 *3 3 P + 2 .5 k N

N a» “ 0 .6 67 /* + 2 k N ♦

0.5/* + 1-5 kN

(c )

R g H M 9 -1 1

S i s e s u s t i tuye A = 400 mm 2 = 400 (10“6) m2. E = 200 G P a = 200 (109)

P a , y la s u n i d a d e s d e s e c o n v ie r te n d e k N a N . s e t ie n e

10.67(103) N* m

400( 10”6) m 2( 200(10*) N /m 2)0.000133 m = 0 .133 mm

Resp .E s t a s o l u c ió n d e b e c o m p a r a r se c o n e l m é t o d o d e l t ra b a j o v i r t u al d e l

e j e m p l o 9 - 2.

' Q u i z á s e a m á s c o n v e n i e n t e a n a l i z a r la a r m a d u r a s ó l o c o n l a c a r g a d e 4 k N s o b r e e ll a ,

y l u eg o a n a l i z a r l a a r m a d u r a c o n l a c a r g a P , D e e s t e m o d o p u e d e n s u m a r s e l o s r e s u l

t a d o s p a r a o b t e n e r l a s f u e r z a s N .

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9 . 6 TEOR ÉM Ad e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s

EJEMPLO 9 .5

D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o h o r i z o n t a l d e la ju n t a I ) e fe la arm ad ura

q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 9 - 1 7 a. C o n s i d e re q u e E = 2 9(103) ks i . El

á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e c a d a e l e m e n t o s e i n d i c a e n la f i g u ra .

(b)

Figura 9-12

S O LU CIÓ N

Fu e rz a e x te r n a . C o m o d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p l a z a m i e n t o h o

r iz o n t a l d e D , s e a p l ic a u n a f u e r z a v a r i a b l e h o r i z o n t a l P a l a j u n t a D ,

f igura 9-12b .

Fuerzas in ternas N. A p l i c a n d o e l m é t o d o d e l o s n u d o s , s e c a lc u l a

la fuerz a N en ca da e l emen to .* U na vez m ás , a l ap l i ca r l a ecuac ión 9 -21 .

s e e s t a b l e c e P = 0 p o r q u e e s t a f u e rz a n o e x i s t e r e a l m e n t e s o b r e l a a r

m a d u r a . L o s re s u l ta d o s s e m u e s t r a n e n l a f ig u r a 9 - 1 2 6 . A l d is p o n e r l o s

d a t o s e n f o r m a t a b u l a r , s e t ie n e

Elemento N dN

dP N (P = 0) L

A B -13.33 0 -13.33 12 0 B C -13.33 0 -13.33 12 0CD 16.67 0 16.67 15 0

D A 16.67+ 1.25/' 1.25 16.67 15 312.50 BD -(20+0.75P) -0.75 -20 9 135.00

Teorema de Ca s t ig l iano . A l a p li c a r l a e c u a c i ó n 9 - 2 1 , s e t i e n e

A _ y N ( M \ L _ = 0 + Q + o + 3 1 2 .5 0 k - p i e ( 12 p u l g / p i e ) + 1 3 5.0 0 k - p i e ( 1 2 p u l g / p i e )

¿ \ d P ) A E ~ (0 .5 pu lg2)[29(10J ) k /pu lg2! (0 .75 pu lg2)[29(103) k /p ulg 2]

= 0 .333 pu lg Resp .

•Como en e l ejempkj anterior, quizá lo recomendable sea realizar un análisis po r separado de la armadura cargada con 10 k y cargada con P, para después superponer losresultados.

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EJEMPLO 9 .6

D e t e rm i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r ti ca l d e l a ju n t a C d e l a a r m a d u r a

q u e s e m u e s t r a e n l a f ig u r a 9 - 1 3 a. S u p o n g a q u e A = 0 .5 pu lg* y q ue E

= 29 (103) ks i.

S O L U C I Ó N

Fu e r z a e x te r n a . L a f u e re a d e 4 k e n C s e s u s ti tu y e p o r u n a fu e r z a

var iable P en l a jun ta C . f igu ra 9 -136 .

Fuerzas in te rnas N. S e u s a e l m é t o d o d e l o s n u d o s p a r a d e t e r

m i n a r l a f u e r z a N e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a . L o s re s u l ta d o s

s e r e s u m e n e n l a f ig u r a 9 - 1 3 6 . A q u í . P = 4 k c u a n d o s e a p l i c a l a

e c u a c ió n 9 - 2 1. L o s d a t o s r e q u e r i d o s p u e d e n d i s p o n e r s e e n f o r m a

t a b u l a r d e l a s i g u ie n t e m a n e r a:

(a)

E l e m e n t o NT r »

( P = 4 k ) L

A B 0.333 P + 2667 0333 4 10 13.33

BC 0.667 P + 1.333 0.667 4 10 26.67

CD 0.667 P + 1.333 0.667 4 10 26.67

D E -( 0.9 43 /* + 1.886) -0 .9 43 -5 .6 6 14.14 75.42

EF - (0 .333 P + 2667) -0 .333 - 4 10 13.33

FA -(0 .471/* + 3.771) -0.471 -5 .6 6 14.14 37.71

R F 0.333 P + 2.667 0333 4 10 13.33

B E - 0 4 7 1 P + 1.886 -0.471 0 14.14 0

CE P 1 4 10 40

2 = 246.47 k-p ie

Te o r em a d e C a s t i g lia n o . S i s e s u s t i tuyen lo s da to s en l a ecua c ión

9-21. resu l ta

0.333/*+2.667k 4k P (b)

Figura 9-13

L _ 246.47 k • pie

A E A E

0.667/*+1333k A l c o n v e r t i r l a s u n i d a d e s d e l o n g i tu d d e l e le m e n t o e n p u l g a d a s y a l

s u s t i tu i r e l v a lo r n u m é r ic o d e A E , s e t i e n e

( 2 46 .4 7 k - p i e ) (1 2 p u l g / p i e )

¿ ^ ( 0 , p ^ ) ( M ( l t f ) W ) - a 2 0 4 p u ' 8

D e b e o b s e r v a rs e l a s e m e j a n z a e n t r e e s t a s o lu c i ó n y l a d e l m é t o d o

d e l t r a b a j o v i r tu a l , e j e m p l o 9 -1 .

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