caracteristici geometrice sectionale

Caracteristici geometrice ale secţiunilor

Aria secţiunii:

Unitatea de masură este [L]2. Uzual se foloseşte m2, cm2, sau mm2.

Aria este o mărime pozitiv definită.

Rezistenţa materialelor C1

1

A

dAA


2

Momentul static în raport cu o axă:

unde η este distanţa de la centru elementului dA la axa Δ. Unitatea de masură este [L]3. Uzual se foloseşte m3, cm3, sau mm3. Funcţie de semnul ordonatei η măsurată pe direcţie normală la axa Δ, momentele

statice pot fi pozitive, negative sau nule (atunci când centrul de greutate al secţiunii transversale se află pe axa Δ, atunci SΔ=0 (pentru că η=0)).

A

dAS

Momentul static în raport cu axa y sau z este:

dAzzdAS GA

y

dAyydAS GA

z

A

zdAz A

G

A

ydAy A

G

Momentul de inerţie axial:

Unitatea de masură este [L]4. Uzual se foloseşte m4, cm4, sau mm4. Momentul de inerţie axial este o mărime pozitiv definită.

În raport cu axele ortogonale y şi z:


3

A

2dAI

A

2y dAzI

A

2z dAyI

Moment de inerţie centrifugal:

Unitatea de masură este [L]4. Uzual se foloseşte m4, cm4, sau mm4. Momentul de inerţie centrifugal poate avea valori pozitive, negative sau nule.

În raport cu axele ortogonale y şi z:

Pentru o secţiune transversală cu o axă de simetrie:

deoarece A1=A2=A/2


4

A

dAI

A

yz zydAI

0dAyzzydAzydAI2AAA

yz

1

Moment de inerţie polar:

Unitatea de masură este [L]4. Uzual se foloseşte m4, cm4, sau mm4. Momentul de inerţie polar este o mărime pozitivă. r este distanţa măsurată de la originea sistemului de

axe (polul O) la centru elementului dA.

Se poate scrie:

Deci:


5

A

2po dArII

A

zy2

A

2

A

22

A

2o IIdAydAzdAyzdArI

222 yzr

.ctIII zyo

Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor.

Se cunosc: A (aria secţiunii transversale), momentele de inerţie axiale şi centrifugal Iz, Iy şi Iyz , în raport cu sistemul de axe ortogonale zy.

Se determină: Iz1, Iy1 şi Iy1z1 în raport cu un sistem de axe obţinut prin translaţia sistemului iniţial cu distanţele a şi b.

Rezultă:

În mod analog:


6

azz1 byy1

AaaS2IdAazdAa2dAz

dAaaz2zdAazdAzI

2yy

A

2

AA

2

A

22

A

2

A

21y1

AbbS2II 2zzz1

Momentul de inerţie centrifugal:

În cazul în care originea sistemul iniţial de axe yz este centrul de greutate a secţiunii transversale, momentele statice ale secţiunii în raport cu axele y şi z sunt nule, adică Sy = 0 şi Sz = 0.

Se obţin formulele lui Steiner:

unde Iy, Iz şi Iyz sunt momentele de inerţie în sistemul central de axe, iar a şi b sunt distanţele dintre axele centrale şi cele translatate.


7

abAaSbSIdAabydAazdAbzydA

dAabaybzzydAbyazdAyzI

zyyzAAAA

AAA11yz 11

AaII 2yy1 AbII 2

zz1 abAII yzyz 11

Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor.

Se cunosc: A (aria secţiunii transversale), momentele de inerţie axiale şi centrifugal Iz, Iy şi Iyz , în raport cu sistemul de axe ortogonale zy.

Se determină: Iz1, Iy1 şi Iy1z1 în raport cu un sistem de axe obţinut prin rotirea sistemului iniţial cu unghiul α, măsurat în sensul rotirii axei y către axa z (sens orar considerat pozitiv).

Se poate demonstra că:


8

2sinI2cos2

II

2

III yz

zyzyy1

2sinI2cos2

II

2

III yz

zyzyz1

2sin2

II2cosII zy

yzzy 11

Momente principale de inerţie. Axe principale de inerţie. Ştiind că Io=Iy+Iz=ct., rezultă că există două axe ortogonale, notate 1 şi 2, pentru

care I1 este maxim iar I2 este minim (se poate demonstra ştiind că pentru un astfel de sistem de axe momentul de inerţie centrifugal este nul).

Momentele de inerţie cu valori extreme, I1 şi I2, se numesc momente principale de inerţie.

Cele două axe în raport cu care momentele principale de inerţie ating valori extreme, se numesc axe principale de inerţie.

Dacă o suprafaţă (secţiune transversală) are o axă de simetrie, ea este o axă principală de inerţie. Perpendiculara la aceasta este cea de a doua axă principală de inerţie.


9

Raze de inerţie (giraţie)

Este o caracteristică geometrică a secţiunii definită în raport cu o axă. Se calculează cu formula:

unde: IΔ este momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa Δ

A este aria secţiunii transversale.

Unitatea de masură este [L]. Uzual se foloseşte m, cm, sau mm.


10

AI

i

Aplicaţie – determinarea caracteristicilor geometrice pentru o secţiune dreptunghiulară. Aria secţiunii transversale

Momentul static al secţiunii transversale

Poziţia centrului de greutate a secţiunii transversale (faţă de sistemul de coordonate ales).


11

bhdydzdzdydAAb

0

h

0AA

2bh

dyzdzzdzdyzdAS2

b

0

h

0AAy

2hb

ydydzydzdyydAS2

b

0

h

0AAz

2h

bh2

bh

A

Sz

2

yG

2b

bh2hb

AS

y

2

zG


Analog:

Momentul de inerţie centrifugal:

Momentul de inerţie polar:


12

A

3b

0

h

022

A2

y 3bh

dydzzdzdyzdAzI

3hb

I3

z

A

22b

0

h

0Ayz 4hb

ydyzdzzydzdyzydAI

3

bhbhIII

22

zyo

Aplicaţie – determinarea caracteristicilor geometrice pentru o secţiune dreptunghiulară (cu poziţionarea originii axelor de coordonate în centrul de greutate al secţiunii transversale). Aria secţiunii transversale:

Momentul static al secţiunii transversale:


Analog:


13

bhdydzdzdydAA2h

2h

2h

2hAA

0dyzdzzdzdyzdAS2b

2b

2h

2hAAy 0Sz

A

32b

2b

2h

2h22

A2

y 12bh

dydzzdzdyzdAzI

12hb

I3

z

Caracteristici geometrice pentru o secţiune inelară (cu poziţionarea originii axelor de coordonate în centrul de greutate al secţiunii transversale). Aria secţiunii transversale:




14

4

dDA

22

4444

p Dd

132D

32dD

I

4444

zy Dd

164D

64dD

II

Caracteristici geometrice pentru o secţiune circular[ (cu poziţionarea originii axelor de coordonate în centrul de greutate al secţiunii transversale). Aria secţiunii transversale:




15

22

r4D

A

R

0

42

03

A2

p 2R

ddrrdArI

64D

II4

zy

32D

I4

p

Determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunilor compuse Aria secţiunii transversale:

Poziţia centrului de greutate:


16

n

1iiAA 321 AAAA

A

zAz

n

1iii

G

A

yAy

n

1iii

G

AzAzAzA

z 332211G

AyAyAyA

y 332211G

Momentele de inerţie axiale: Se cunosc pentru fiecare componetă, momentele de inerţie proprii, Iyi şi Izi în

raport cu axele lor centrale yi şi zi (axe paralele cu axele y şi z, care trec prin centrul de greutate al elementului).

În raport cu axele centrale y şi z ale secţiunii compuse, momentele de inerţie ale elementelor componente se determină cu formulele lui Steiner.

unde:

reprezintă distanţele de la centrele de greutate ale elementelor componente i la axele centrale y, şi respectiv z.

Deci:


17

2iiyielem,y aAII 2

iizielem,z bAII

Gii zza Gii yyb

n

1i

2iiyiy aAII

n

1i

2iiziz bAII

APLICAŢII

Să se determine caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale de mai jos:


18

y

z

y

z

y

z

y

z

Documents

caracteristici geometrice sectionale