CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL · PDF fileEstática 2003/04 – Pág. 10 CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL 2.1. Grandezas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandezas físicas

Estática 2003/04 – Pág. 10

CAPÍTULO 2

CÁLCULO VECTORIAL

2.1. Grandezas escalares e vectoriais.

Noção de Vector. As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. As grandezas massa, comprimento, tempo ficam completamente definidas pelo seu valor numérico e por uma unidade: 22 kg, por exemplo. São grandezas escalares. As grandezas escalares combinam-se de acordo com as regras de álgebra ordinária. Pelo contrário, a acção de um corpo sobre outro (uma força) só fica caracterizada pelas suas intensidade, direcção e pelo seu sentido. Trata-se de uma grandeza vectorial. Os vectores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direcção e sentido, e que se combinam segundo certas regras específicas: a álgebra vectorial. Representação gráfica Considere-se o sistema ortonormado representado na figura. Os vectores representam-se graficamente por segmentos orientados. Nos diagramas, escolhida uma escala, o comprimento de um vector é proporcional ao seu módulo; a direcção e o sentido do vector representam a direcção e o sentido da grandeza em causa.

( , , )P x y z r

i

j

k


Vector livre / vector aplicado Um vector utilizado para representar uma força que actua num determinado ponto material tem bem definido o seu ponto de aplicação, o ponto material. É um vector aplicado; não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema. Outras grandezas físicas, e.g. os momentos, são representadas por vectores que se podem deslocar paralelamente a si mesmos, livremente no espaço. São vectores livres. Finalmente, há ainda outras grandezas físicas, e.g. as forças actuantes em corpos rígidos, que são representadas por vectores que se podem deslocar ao longo da sua linha de acção. São vectores deslizantes. Dois vectores P e P ’ de mesma intensidade, direcção e sentido são ditos iguais quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação. O vector oposto ou simétrico de um determinado vector P é definido como sendo um vector com a mesma intensidade e direcção de P , e sentido oposto ao de P . Representa-se por – P . Os vectores P e – P são designados vectores directamente opostos. A soma de dois vectores directamente opostos é o vector nulo, 0 .

P + (- P ) = 0


2.2. Método gráfico de adição de vectores. A adição de vectores efectua-se segundo a regra do paralelogramo. O vector soma é a diagonal do paralelogramo. Propriedades Como o paralelogramo construído com os vectores P e Q não depende da ordem segundo a qual são tomados, verifica-se que a adição de dois vectores é comutativa:

P + Q = Q + P

Ou alternativamente pela regra do triângulo. O vector soma obtem-se unindo a origem de um vector com a extremidade do outro. (Propr. Comutativa) Subtrair um vector é somar ao primeiro vector o oposto do segundo vector. P - Q = P + (-Q )

Adição de três ou mais vectores A adição de três ou mais vectores pode ser obtida pela aplicação repetida da regra do paralelogramo ou do triângulo aos sucessivos pares de vectores, até que todos os vectores tenham sido substituídos por um único vector. Se os vectores iniciais forem coplanares (i.e., contidos no mesmo plano), será facil obter a sua soma graficamente.


A adição de três vectores P , Q e S será, por definição, obtida pela

adição inicial dos vectores P e Q e, adicionando posteriormente S

ao vector P + Q

Aplicação sucessiva da regra do triângulo: regra do polígono para a adição de vectores.

O resultado permanece inalterado se os vectores Q e S forem

substituídos pela sua soma Q + S , o que exprime o facto da adição vectorial ser uma operação associativa:

P + Q + S = ( P + Q ) + S = P + ( Q + S )

A ordem pela qual os vários vectores são somados é irrelevante.


Produto de um escalar por um vector Define-se o produto kP , de um escalar k por um vector P , como um vector com:

a mesma direcção e sentido de P (se k for positivo) ou direcção igual e sentido oposto ao de P (se k for negativo),

e em qualquer caso, a intensidade igual ao produto de P pelo valor absoluto de k. As propriedades e os resultados apresentadas para vectores são válidos para qualquer sistema de vectores, em particular para os vectores que representam forças. Na sequência utilizaremos forças físicas em vez de vectores com o objectivo de tornar este curso mais intuitivo. Resultante de várias forças concorrentes Considere-se um ponto material A sujeito à acção de diversas forças. Como todas elas passam pelo ponto A, são chamadas forças concorrentes. Pela utilização repetida da regra do paralelogramo (regra do polígono) obtém-se o vector R , que representa a força resultante das forças concorrentes, i.e. uma força única que produz o mesmo efeito que as forças originais sobre o ponto material A.

regra do polígono ordem irrelevante


2.3. Componentes cartesianas de vectores.

Sistema de coordenadas cartesianas. Versores. Se duas ou mais forças actuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força resultante, reciprocamente, uma única força F que actua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas, tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. A estas forças chamamos componentes da força original F , e este processo de substituição denomina-se decomposição da força F em componentes. Facilmente se verifica que para cada força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes. Contudo, na maioria dos problemas é conveniente decompor a força em componentes normais entre si, que são as mais utilizadas: as componentes rectangulares, onde um vector se exprime como a soma de dois vectores perpendiculares entre si.


Forças no Plano (2 dimensões): A força F é decomposta nas componentes xF , segundo o eixo Ox, e yF , segundo o eixo Oy, no caso bidimensional. O paralelogramo desenhado para obtenção das duas componentes é um rectângulo, e xF e yF são denominadas componentes cartesianas. Nos casos que envolvem apenas duas dimensões (i.e., podem ser formulados e resolvidos num plano) os eixos Ox e Oy são escolhidos segundo duas direcções perpendiculares quaisquer, escolhidas convenientemente para cada problema. Ao sistema ortogonal de eixos chama-se Sistema de Coordenadas Cartesianas 2-D. Se definirmos agora dois vectores de intensidade ou módulo 1, orientados respectivamente segundo os eixos Ox e Oy; são denominados vectores unitários ou versores, e representados por i e j , respectivamente.


Relembrando a definição do produto de um escalar por um vector podemos então escrever e então temos onde os escalares xF e yF podem ser positivos ou negativos,

dependendo do sentido dos vectores xF e yF coincidir ou não com o sentido do vector unitário (i.e., do eixo) correspondente. Os valores absolutos de xF e yF são respectivamente iguais às

intensidades das forças componentes xF e yF . Denominando F a intensidade da força F e θ o ângulo entre F e o eixo Ox , medido sempre a partir do semi-eixo positivo e no sentido anti-horário, as componentes escalares de F exprimimem-se como e tem-se que

2 2 2x yF F F= + e tan y xF Fq =

As relações obtidas são válidas para quaisquer ângulos θ entre 0º e 360º, que definem os sinais e os valores absolutos das componentes escalares xF e yF .

Não esquecer: xF e yF componentes escalares da força F

xF e yF componentes vectoriais de F

iFF xxˆ=

jFF yyˆ=

jFiFFFF yxyxˆˆ +=+=

xF = F cos θ e yF = F sin θ


Forças no Espaço (3 dimensões): Consideremos agora a força F aplicada na origem O do Sistema de Coordenadas Cartesianas 3-D, x, y e z. Para definir a direcção de F , considera-se o plano OBAC que contém simultaneamente F e um eixo, neste caso, o eixo vertical. O ângulo φ, que o plano OBAC forma com o plano xOy, define a orientação do plano OBAC, enquanto que a direcção de F nesse plano é definida pelo ângulo θy, que F forma com o eixo Oy. A força F é decomposta numa componente vertical yF , e numa

componente horizontal hF . Temos uma força no plano OBAC, e podemos escrever as componentes escalares Mas hF encontra-se no plano xOz, pelo que pode ser decomposta

em duas componentes cartesianas xF e zF , segundo os eixos Ox e Oz, respectivamente. Tem-se então

yF = F cos θy

hF = F sen θy

xF = hF cos φ = F sen θy cos φ

zF = hF sen φ = F sen θy sen φ


triedro positivo de eixos ortogonais

xF = F cos θx

yF = F cos θy

zF = F cos θz

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD, pode escrever-se

222222 )()()( hy FFBAOBOAF +=+== 222222 )()()( zxh FFDCODOCF +=+==

donde se obtem 222

zyx FFFF ++= Denominando θx e θz respectivamente os ângulos que F forma com os eixos Ox e Oz, podemos escrever Os três ângulos θx, θy e θz definem a direcção da força F . Os cosenos de θx, θy e θz são conhecidos por cosenos directores da força F , e obtém-se como Introduzindo os vectores i , j e k , orientados segundo os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente, a força F escreve-se onde as componentes escalares xF , yF e zF são definidas atrás. Substituindo as componentes escalares

xF , yF e zF obtemos ( ) λθθθ ˆˆcosˆcosˆcos FkjiFF zyx =++= com

kji zyxˆcosˆcosˆcosˆ θθθλ ++=

Força como produto de escalar F por vector

unitário da direcção de F .

cos θx = xF F cos θy = yF F cos θz = zF F

kFjFiFFFFF zyxzyxˆˆˆ ++=++=


2.4. Método analítico de adição de vectores Quando pretendemos adicionar três ou mais forças, torna-se complicado obter uma solução gráfica, pelo que convém utilizar uma solução analítica, através da decomposição de cada força nas suas componentes cartesianas. Se considerarmos, por exemplo, a acção de três forças complanares sobre um ponto material, A. Determinaremos a sua resultante, definida por i

iR F P Q S= = + +Â ,

pela soma das suas componentes cartesianas. x yR R R= + . Decompondo cada força nas suas componentes cartesianas, temos

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y x y x y x y x yR R R R i R j P i P j Q i Q j S i S j= + = + = + + + + + =

( ) ( )ˆ ˆx x x y y yP Q S i P Q S j= + + + + +

ou seja x x x xR P Q S= + +

y y y yR P Q S= + +

ou, de forma compacta, para o caso bidimensional,

x xR F=Â y yR F=Â


Genericamente, no espaço tridimensional, as componentes escalares Rx, Ry e Rz da resultante R de várias forças que actuam sobre um ponto material obtém-se pela adição algébrica das correspondentes componentes escalares das forças iniciais.

( ) ( ) ( ) ( )kFjFiFkFjFiFRRRR zyxzyxzyxˆˆˆˆˆˆ ∑∑∑∑ ++=++=++=

ou seja ∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR

O módulo da resultante R e os ângulos θx, θy e θz formados com os eixos coordenados são obtidos analogamente:

222zyx RRRR ++=

e os cosenos directores da resultante R

2.5. Produto escalar ou interno de dois vectores O produto escalar ou interno de dois vectores, P e Q , é definido

como sendo o produto dos módulos de P e Q pelo coseno do ângulo θ

formado por P e Q (θ ≤180º). Muito importante: o resultado não é um vector, mas um escalar.

cos θx = xR R cos θy = yR R cos θz = zR R

θcosPQQP =•


kPjPiPP zyxˆˆˆ ++=

kQjQiQQ zyxˆˆˆ ++=

Em termos das suas componentes cartesianas, o produto escalar de dois vectores, P e Q , escreve-se

( ) ( ) zzyyxxzyxzyx QPQPQPkQjQiQkPjPiPQP ++=++•++=• ˆˆˆˆˆˆ (prop. distrib) O produto escalar de dois vectores é comutativo, i.e.,

PQQP •=•

O produto escalar é também distributivo, i.e.,

( ) 2121 QPQPQQP •+•=+•

Determinação do ângulo formado por dois vectores Dados os mesmos vectores P e Q , escritos em termos das suas componentes: igualando as expressões obtidas atrás para o seu produto escalar, tem-se

zzyyxx QPQPQPPQQP ++==• θcos

que nos permite escrever

e.g. 0ˆˆ1ˆˆ

=•

=•

ji

ii 0ˆˆ

1ˆˆ

=•

=•

kj

jj

0ˆˆ1ˆˆ

=•

=•

ik

kk

PQQPQPQP zzyyxx ++

=θcos


Projecção de um vector sobre um eixo Consideremos um vector P que forma um ângulo θ com um eixo ou recta orientada OL. A projecção de P sobre o eixo OL é definida como sendo o escalar

θcosPPOL = . Se considerarmos que o vector Q está orientado segundo o eixo OL, o produto escalar entre P e Q escreve-se

QPPQQP OL==• θcos de onde se deduz

QQPQPQP

QQPP zzyyxx

OL

++=

•=

ou ainda

zzyyxxOL PPPPP θθθλ coscoscosˆ ++=•=

2.6. Produto vectorial ou externo de dois vectores O produto vectorial ou externo de dois vectores, P e Q , representado pela expressão matemática

V = P ×Q é definido como sendo o vector V que satisfaz as seguintes condições:


θsenPQV =

1. A linha de acção de V é perpendicular ao plano que contém os vectores, P e Q ;

2. O módulo de V é o produto dos módulos de

P e Q pelo seno do ângulo θ formado

por P e Q (θ ≤180º). 3. O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na extremidade de

V observará como sendo anti-horária a rotação θ que traz o vector P sobre o vector Q . Os três vectores P , Q e V formam um triedro positivo ou directo.

NOTA: Se P e Q não tiverem, inicialmente, o mesmo ponto de aplicação, deverão ser colocados com as origens no mesmo ponto.

Determinemos os produtos vectoriais dos diversos pares possíveis de vectores unitários i , j e k .

jki

kji

ii

ˆˆˆ

ˆˆˆ0ˆˆ

−=×

=×

=×

ikj

jj

kij

ˆˆˆ0ˆˆ

ˆˆˆ

=×

=×

−=×

0ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

=×

−=×

=×

kk

ijk

jik


xyyxz

zxxzy

yzzyx

QPQPV

QPQPV

QPQPV

−=

−=

−=

Determinação do sinal do produto vectorial ou externo de dois vectores unitários: será positivo se se seguirem um ao outro no sentido anti-horário e negativo em caso contrário. Em termos das suas componentes cartesianas, o produto vectorial de dois vectores, P e Q , escreve-se

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zV P Q P i P j P k Q i Q j Q k= ¥ = + + ¥ + + =

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ

y z z y z x x z x y y xP Q P Q i P Q P Q j P Q P Q k= - + - + - (prop. distrib)

As componentes cartesianas do produto vectorial V são então:

O produto vectorial V pode ser expresso através de um determinante. Da 3ª condição resulta que o produto vectorial não é comutativo:

( )QPPQ ×−=× A propriedade associativa também não se verifica no produto vectorial. Em geral,

( ) ( )SQPSQP ××≠×× por exemplo:

( ) ( )jjijji ˆˆˆˆˆˆ ××≠××

Mas o produto vectorial é distributivo, i.e., verifica-se a seguinte relação, de extrema importância neste curso de Estática:

( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+×


2.7. Produto misto de três vectores O produto misto de três vectores, S , P e Q , é definido como sendo

o produto escalar de S pelo produto vectorial de P e Q ; é dado pela expressão

( ) θcosPQQPS =×•

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