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Cálculo Vectorial upm
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Cálculo vectorial
Física Grado en Biotecnología
Magnitudes escalares y vectoriales
Sistemas de vectores deslizantes
Resultante de un sistema de vectores deslizantes
Operaciones con vectores libres
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
Invariantes de un s. vectores deslizantes
Momento de un vector deslizante. Momento axial
Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitud que queda definida por su valor numérico (número real que las mide) que puede ser:
Magnitud escalar
Abstractas: no tienen unidades Ej. Índice de refracción, rendimiento Concretas: tienen unidades Ej. Longitud (m), masa (kg), temperatura (K)
Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitud vectorial
Magnitud que queda definida cuando se conoce, además de su módulo, la dirección sobre la que actúa y sentido. Ej. velocidad (m/s), aceleración (m/s2), fuerza (N),
A
B Se representa por un segmento rectilíneo AB de origen en el punto A y extremo el B. Su longitud es el módulo, su dirección la de la recta soporte y sentido de A a B
Magnitudes vectoriales
Clasificación de vectores
Vectores libres. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección y sentido. Su punto de aplicación es cualquier punto del espacio (punto arbitrario).
Dos vectores libres son iguales si son superponibles mediante una traslación en el espacio. Tienen el mismo módulo, dirección y sentido independientemente de cual sea su origen y su recta soporte (directriz).
Libres Deslizantes Localizados
v
v
Puede trasladarse en su propia directriz o directrices paralelas.
Magnitudes vectoriales
Vectores deslizantes. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección, sentido y la recta soporte. Su punto de aplicación es cualquier punto de la directriz.
Dos vectores deslizantes son iguales cuando son superponibles por deslizamiento a lo largo de su recta soporte.
v
v
Ej. Fuerzas aplicadas a los sólidos rígidos
Solo puede trasladarse en su propia directriz.
Magnitudes vectoriales
Vectores localizados. Quedan definidos cuando se conoce su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
Dos vectores localizados son iguales cuando tienen igual módulo, dirección, sentido y punto de aplicación (u origen y extremo). Un vector localizado solo puede ser igual a sí mismo.
v v
A esta categoría pertenecen los vectores representativos de las velocidades lineales.
Magnitudes vectoriales
Vector unitario o versor. Es un vector sin unidades, de módulo unidad. Se utilizan para especificar la dirección y sentido.
El vector unitario que especifica la dirección y sentido de un vector se calcula mediante el cociente entre dicho vector y su módulo.
x y zv v i v j v k 2 2 2
x y zv v v v
v
vu
v
Magnitudes vectoriales
i Y
X
Z
j
k
Sistema de referencia
Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos se expresan por:
, ,i j k
x y zv v i v j v k
Componentes de un vector:
cos ; cos ; cosyx z
vv v
v v v
v
vx
vy
vz
Y
X
Z
Magnitudes vectoriales
Representación
cos cos cosv v i v j v k
Las componentes son las proyecciones sobre los ejes coordenados
Se cumple:
2 2 2cos cos cos 1
2 2 2
2 2 2
2cos cos cos 1
x y zv v v
v
La suma o resultante de dos vectores es el vector diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores. En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo. La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo es el extremo del segundo.
Operaciones con vectores libres
Suma
AB
C
La proyección del vector suma sobre un eje, es la suma de las proyecciones de los vectores sobre dicho eje.
A B C
x x x
y y y
C A B
C A B
Es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector. Tiene la misma dirección y sentido si el escalar es positivo (n>0) y sentido contrario si es negativo (n<0).
Operaciones con vectores libres
Producto de un escalar por un vector:
( , , )x y zv v v v
nv
nv
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por n las componentes del vector.
( , , )x y zn v nv nv nv
El módulo es: n v n v
Si n=-1, obtenemos el vector opuesto a v nv v
Es un escalar cuyo valor es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman los vectores.
Operaciones con vectores libres
Producto de un escalar de dos vectores:
1 1 1 1( , , )x y zv v v v
1 2·v v
1 2 1 2· cosv v v v
2 2 2 2( , , )x y zv v v v1v
2v
1 2 1 2 1 2 1 2· x x y y z zv v v v v v v v
El producto escalar es nulo si lo es alguno de ellos o si son perpendiculares:
Operaciones con vectores libres
Producto escalar de dos vectores: 1 2·v v
1 2· 0v v 1 0v
2 0v
1 2 0; 0v v cos
Recíprocamente, si el producto escalar es nulo, y no lo es ninguno de ellos, los vectores son perpendiculares.
Operaciones con vectores libres
Propiedades del producto escalar:
1 2 2 1· ·v v v v Conmutativa
Asociativa respecto al producto por un escalar
1 2 1 2 2 1( · ) ( )· ( )·n v v n v v nv v
Distributiva respecto a la suma de vectores
1 2 3 1 2 1 3·( ) · ·v v v v v v v
No asociativa respecto a productos escalares sucesivos
1 2 3 1 2 3·( · ) ( · )·v v v v v v
ESCALAR ESCALAR
Es un vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman, dirección perpendicular a ambos vectores y el sentido se determina por la regla de la mano derecha (o del tornillo).
Operaciones con vectores libres
Producto vectorial de dos vectores:
1 1 1 1( , , );x y zv v v v
1 2v v
1 2 1 2v v v v sen
2 2 2 2( , , )x y zv v v v1v
2v1 2v v
Operaciones con vectores libres
Producto vectorial de dos vectores:
El producto vectorial, geométricamente, tiene un significado importante: su módulo es igual al área del paralelogramo que determinan los dos vectores.
Operaciones con vectores libres
Producto vectorial de dos vectores: 1 2v v
1 2 1 2v v v v sen
1 2Área v v
1v
2v
El producto vectorial es nulo si lo es alguno de ellos o si son paralelos:
Operaciones con vectores libres
Producto vectorial de dos vectores: 1 2v v
1 2 0v v 1 0v
2 0v
1 2 0; 0v v sen
Recíprocamente, si el producto vectorial es nulo, y no lo es ninguno de ellos, los vectores son paralelos.
Operaciones con vectores libres
Si el producto vectorial es nulo:
1 2 1 1 1
2 2 2
0;x y z
x y z
i j k
v v v v v
v v v
11 1
2 2 2
yx z
x y z
vv v
v v v
Las componentes de los vectores son proporcionales:
Operaciones con vectores libres
Expresión analítica del producto vectorial:
1 2 1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
i j k
v v v v v
v v v
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x yv v v v v v i v v v v j v v v v
No conmutativa
Operaciones con vectores libres
Propiedades del producto vectorial:
1 2 2 1( )v v v v
Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )n v v n v v v nv
Distributiva respecto a la suma de vectores
1 2 3 1 2 1 3( )v v v v v v v
No asociativa respecto a productos vectoriales sucesivos
1 2 3 1 2 3( ) ( )v v v v v v
Operaciones con vectores libres
Producto mixto:
1 1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
·( )
x y z
x y z
x y z
v v v
v v v v v v
v v v
Es un escalar
1 2 3·( )v v v
1 2 3 1 3 2 2 1 3( ) ( · )· ( · )·v v v v v v v v v
Doble Producto Vectorial:
Operaciones con vectores libres
Interpretación geométrica del producto mixto:
Es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los tres vectores.
1v
2v
3v
Vectores deslizantes
Un vector deslizante puede deslizarse a lo largo de su recta soporte sin que cambie el vector.
A
B
A
´B
v A B AB Vectores equipolentes
Siendo P un punto cualquiera de su recta soporte
,( , )p p p
x y z
P x y z
v v i v j v k
v
v
La ecuación de la recta soporte es:
p p p
x y z
x x y y z z
v v v
Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Considerando el vector deslizante aplicado en el punto A de su recta soporte, el momento del vector respecto al punto fijo 0 (centro de momentos) es un nuevo vector cuyo punto de aplicación es 0, e igual al producto vectorial:
v AB
0( )M AB OA AB
( , , )A x y z
B También se denomina Momento Central
0 ( )M AB
0 ( )M AB
0 0 00( , , )x y z
Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un punto
0( )M AB OA AB
0( )M AB OA AB sen
La dirección del momento central es perpendicular a OA y AB, es decir al plano definido por el punto O y el vector AB.
Módulo: el área que determinan los vectores
Sentido: el de avance de un tornillo que gira del primero al segundo
Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un punto
0 0 0 0( )
x y z
i j k
M AB x x y y z z
v v v
0 0 0( ) ( ) ( )
x y z
OA x x i y y j z z k
AB v v i v j v k
Analíticamente:
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
El momento de un vector respecto a punto cualquiera de su recta soporte es nulo (distancia a la recta soporte nula)
( ) 0CM AB CA AB
A
B
C
CA AB
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
El momento central es único para un determinado punto 0, es independiente de la posición del vector deslizante sobre su recta soporte.
0 ( )M AB
A
B
A
´B
0 0( ´ ) 0 ´ ´ ´ ( )M A B A A B M AB
0
Tomando un vector A´B´ equipolente al AB, situado en la misma recta soporte, obtenemos que el momento respecto a 0 es el mismo, ya que:
0 0A A AA
A B AB Vectores equipolentes
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Matemáticamente:
0 0( ´ ) 0 ´ ´ ´ ( )M A B A A B M AB
0( ´ ) (0 ) ´ ´ (0 ´ ) ( ´ )M A B A AA A B A A B AA A B
(0 )A ABNulo (son paralelos)
0 0( ´ ) 0 ( )M A B A AB M AB
Por tanto:
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Conociendo el momento de un vector respecto a punto O, podemos determinar el momento respecto a otro punto O´.
0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB
Ecuación de cambio de centro de momentos: el momento respecto a un punto 0´ es igual al momento respecto a un punto 0 más el producto vectorial de los vectores 0´0 y AB.
0 ( ) 0M AB A AB
0( ) 0M AB A AB 0 0 0 0A A
Demostración:
Cambio de centro de momentos
AB
0 ( )M AB0 ( )M AB
A B
0
0
0 ( ) (0 0 0 )M AB A AB
0 ( ) 0 0 0M AB AB A AB
0M
0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB
0 0 0( ) ( ) ( )M AB M AB M A B
Cambio de centro de momentos
AB
0 ( )M AB0 ( )M AB
A B
0
0
00 0 0 0 ( )AB A B M A B
Por otra parte, como:
AB A B Vectores equipolentes
0 0( ) ( ) 0 0M AB M AB AB
El momento resultante respecto un punto 0´ es igual al momento respecto a un punto O más el momento respecto a 0´de un vector equipolente al dado aplicado en 0.
Cambio de centro de momentos
0 0M M
Evidentemente, si es paralelo a AB00
0 0 0AB
El momento no varía.
El momento de un vector dado es el mismo respecto a todos los puntos de una recta paralela a la directriz de
ABAB
A
B
Momento axial
Momento axial o momento de un vector respecto a un eje. Es la proyección sobre ese eje del momento del vector respecto a punto cualquiera del eje E.
( ) · coseje eje E E eje EM proy M AB M u M
Es un escalar
A
B
E
( )EM AB
Momento axial
El momento respecto a un eje es único, no depende del punto elegido sobre el eje
Es evidente que si el vector es paralelo al eje, el momento axial es nulo
A
B
E
E
Sistemas de vectores deslizantes
Cálculo vectorial
Consideramos un sistema de n vectores deslizantes, aplicados respectivamente en los puntos Pi, i(1,2,….n)
Sistemas de vectores deslizantes
iv
1v
2v
3vnv
Se denomina sistema de vectores deslizantes al conjunto formado por un número cualquiera, finito o infinito, de vectores deslizantes.
Llamaremos Resultante general de un sistema de vectores deslizantes al vector que se obtiene sumando todos los vectores del sistema como si fuesen libres.
Resultante de un sistema de vectores deslizantes
1 2 ......... nR v v v
1 2 ....x x x nxR v v v
x y zR R i R j R k
1 2 ....y y y nyR v v v
1 2 ....z z z nzR v v v
La Resultante es un vector libre ya que es independiente del punto 0 de aplicación elegido.
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
El Momento resultante respecto a un punto 0 es la suma vectorial de los momentos de los vectores del sistema, respecto a dicho punto.
0 0 1 0 2 0( ) ( ) ...... ( )nC M v M v M v
0 1 1 2 20 0 ...... 0 n nC P v P v P v
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
Depende de la posición del punto 0, si tomamos otro punto 0´ se cumple:
0´ 0 0 0C C R
El Momento resultante respecto a un punto 0´ es igual al momento resultante respecto a 0 más el momento de la resultante (localizada en 0) respecto al punto 0´.
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
0 0´ 0 0 0C C si R
Para que el momento resultante respecto a un punto 0 sea igual momento respecto al punto 0´, la resultante debe ser nula o los vectores 0´0 y R paralelos.
0R
0 0 R
0 0´ 0´ ..... pC C C C
Momento independiente del punto respecto al que se calcula:
Un sistema de vectores deslizantes, cuya resultante es nula y el momento resultante es independiente del punto respecto al que se calcula, equivale a un par.
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
Par de vectores.
Es un sistema formado por dos vectores de igual módulo, direcciones paralelas y sentidos opuestos.
vvA
B
Momento resultante de un s. vectores deslizantes
Par de vectores.
vvA
B
0C
0R
0 A BC C C AB v
Resultante nula
Independiente del punto Perpendicular al plano determinado por los vectores
Momento resultante:
Invariantes de un s. vectores deslizantes
Magnitudes que permanecen constantes en cualquier punto del espacio, y por tanto, son característicos de cada sistema. No cambian al cambiar el centro de momentos.
1.Resultante general: vector, su módulo y la norma.
2.Producto escalar de la resultante general y el momento resultante respecto a un punto cualquiera.
3.Cociente entre el segundo invariante y el primero
0· · · .... ·A B PRC RC RC RC Cte
0· · ·.....A P
R C R C R CCte
R R R
2; ;R R R
R
Invariantes de un s. vectores deslizantes
El tercer invariante expresa que la proyección del momento resultante sobre la resultante general es constante.
El tercer invariante también se denomina momento mínimo por coincidir con el módulo del momento mínimo.
0· RC u Cte
Una consecuencia inmediata es que el momento resultante será mínimo cuando la resultante y el momento resultante tengan la misma dirección.
0 mínC C
0
2
·mín
C RC R
R
Momento mínimo de un s. vectores deslizantes
El módulo del momento mínimo es el tercer invariante (tiene el mínimo valor posible para dicho sistema), su dirección y sentido son los de la resultante.
0 0 0· · · .... ·R R R E RC u C u C u C u Cte
0 0 0cos cos cos .... cos0ºEC C C C Cte
El momento respecto al punto O forma un ángulo α con la dirección de la resultante, el momento respecto al punto O´ forma un ángulo β, el momento respecto al punto O´´ forma un ángulo γ, etc. y el momento respecto al punto E es paralelo a la resultante.
Cuando el coseno del ángulo toma el máximo valor (cos 0º = 1), el momento toma el mínimo valor; por tanto
E mínC CE mín
RC C
R
Momento mínimo de un s. vectores deslizantes
0· ·EC R C R Cte
0
20 E E E
R CE x i y j z k
R
0
2
·mín
C RC R
R
Pero siempre se cumple que :
0EC C EO R
00 mínSi C C
Otra forma de calcular el momento mínimo es considerar que el momento de módulo mínimo es el momento respecto a un punto del eje central. Dicho punto se puede calcular mediante la expresión:
Una vez conocidas las coordenadas de dicho punto, se aplica la ecuación del cambio de momentos
Eje central de un s. vectores deslizantes
Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que dan momento resultante mínimo. Es decir, de todos los puntos del espacio respecto a los cuales el momento resultante y la resultante general son paralelos.
( , , )E E EE x y z
E E E
x y z
x x y y z z
R R R
R
E
Ecuación del Eje Central
Punto del Eje Central: E E mínC C
Sistema de vectores deslizantes concurrentes
Sistema de vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasa por un punto denominado punto de concurrencia (A)
A
2v
1v1A
2A
.
Como son vectores deslizantes podemos considerar que todos tienen como origen el punto A
Sistema de vectores deslizantes concurrentes
A
2v1v
.
Momento resultante respecto a un punto 0 cualquiera:
0 1 2
0 1 2
0 0
0 ( ) 0
C A v A v
C A v v A R
0 0C A R
Teorema de Varignon
El momento de un sistema de vectores deslizantes concurrentes, respecto a un punto O, es igual al Mto. de la Resultante aplicada en el punto de concurrencia (A) respecto al mismo punto O.
Sistema de vectores deslizantes concurrentes
Se deduce que: el momento resultante y la resultante son siempre perpendiculares y por tanto el segundo invariante es nulo.
0 0 · 0C R C R
El tercer invariante también será nulo, y en consecuencia, Se deduce que el momento mínimo es nulo.
0· · 0AC R C R También se cumple
Por tanto el eje central es el lugar geométrico de los puntos del espacio que den momento nulo.
S.v.d. concurrentes. Teorema de Varignon
A A A
x y z
x x y y z z
R R R
Ecuación del eje central:
El momento resultante respecto al punto de concurrencia es nulo, por tanto el punto de concurrencia pertenece al eje central
El punto de concurrencia A es un punto que da momento resultante nulo.
0AC
El eje central es la recta que pasa por A y es paralela a la resultante.