Capitulo.5.3 (1).pptx

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Torque o momento de una fuerzaSea una barra de longitud L apoyada sobre un piso horizontalliso, puede girar por el eje que pasa por O (pivoteada en O), sele aplica una fuerza de mdulo !"

#o $otaO

L

F

F$otaO

L

S%ST&' & *$T+-LS

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O

L

F

$ota m.s lento

Fcosφ La componente queproduce el giro es !senφ O L

φ

F Fsenφ

&stos resultados se pueden resumir con la siguiente e/presin"

Torque o momento de una fuerza

LFsen0 =

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&n general"

φ

φ

F rad = F cosφ

F Tan = F senφ

P

O

L0nea deaccin de !b = r senφ

1razo de palancaτ = r F senφ

&n forma vectorial"


F

r

F r ×≡ 00

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$&2L & L '#O &$&3


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'O'&#TO #2-L$ o #T% & 'O'&#TO #2-L$

y se encuentran en el plano /4y , est. en el eje z 5

z

x

y

m

O

φ

m v sen

r sen

r p L pr L 00 ×≡

vm p

0

r 0 L

φ rmvsen L =0

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&l cambio del momentoangular en el tiempo es igualal torque resultante queact6a sobre un cuerpo5

Constante

$elacin entre el torque y el momento angular

TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L

dt

pdr p

dt

r d) pr (

dt

d

dt

Ld 0 ×+×=×=

Fr dt

Ld

0

0 ×=

dt

Ldτ 00

=

v vm

0=

0 =0 L

torqueshayno si ⋅⋅⋅

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p = cte

d

x

y

θ

-na masa m con velocidad constante v, 9cu.l es el torque sobre ella:

m

d

θ

= cte

TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L

Nota" para ser matem.ticamente correctos el .ngulo para el senoes (;<=4θ), pero siempre el seno(;<=4θ es igual al seno(θ , quees el que nos sirve para la e/plicacin de d constante5

O

&jemplos

&jemplo ;"

vm

0r

k mvrsenθ L ˆ)(0 =

vm

0r

vm

cteL 0 = 00 =

pr L 00 ×≡ k rmvsen L ˆ0 =

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-na masa m con velocidad

angular constante girando enel plano >85

x

y

z

Si ω es la velocidad angular de la part0cula, podemos escribir el

momento angular como"I 0 : 'omento de %nercia ≡ mr

0 2

'omento de inercia

0

TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L

Siempre que la part0cula gira alrededor de un punto puedo decirque"

0r

v

ω

0 L

k ˆrmvk ˆrpsen90 pr L 0

OO ==×≡

k ωmr L 200 = ωI0= cte=

ωIL00 =

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-n peque?o bloque de =,; @g se conecta a una cuerda que pasa porun agujero en una superficie horizontal sin friccin5 &l bloque est.girando con rapidez de ; mAs a una distancia de =,B m del agujero5Luego, una persona jala de la cuerda acortando el radio de latrayectoria del bloque a =,; m5

a) 97uC tensin hay en la cuerda en el instante inicial:b) 97uC tensin hay en la cuerda en el instante final:c) 9u.l fue el trabajo efectuado por la persona (o sea por la tensin):

TO$7-& 8 'O'&#TO #2-L&jemplos

&jemplo D"

+

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'omento angularSea un sistema de # part0culas de masa m i con vectores posicin yvelocidad "

mi

O

x y

z

S%ST&' & *$T+-LS

ivi r

i r

i v

∑=

×≡n

1i

ii pr

SO L

CM iCM i CM iCM i V vv Rr r +=+=

+

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= +

Momento angularinterno o momentoangular respecto al

CM

Momento angular de unapartícula de masa M,

localizada en el CM y que semueve con velocidad V

CM

M

Momento angularexterno o momentoangular respecto al

punto

Si quiero tomar la conservacin del momento angular inicial igualal final, debo tomarlo respecto al mismo sistema de referencia5#o necesariamente el momento angular de sistema respecto a Oes igual que al '5

S%ST&' & *$T+-LS'omento angular

SO L CM CM P R ×

SCM L

∑ ∑∑==

×+×=×n

1i

CMiCMiCMiCM

n

1i

ii VmR pr pr

+

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f 21

f 31

f 12

f 32

f 13

f 23

F1

F2

F3m1

m2

m3


F1Int F1Ext

&n general para cualquier part0cula i"

S%ST&' & *$T+-LS

1F

dt

dp3121

1

Et

i

Int

ii FF

dt

pd +=

+

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0

Si la suma los momentos externos (el momento de las fuerzase/ternas, los torques e/ternos) sobre un sistema es cero, entoncesla cantidad de movimiento angular (momento angular) del sistemaes constante5

Cte

La suma los momentos externos (el momentode las fuerzas e/ternas, los torques e/ternos)sobre un sistema es igual a la variaci!n de lacantidad de movimiento angular (momentoangular) del sistema en el tiempo"

'ultiplicando por

La variacin de momento angular total ser."

, se obtiene la variacin de su momento angular5

S%ST&' & *$T+-LSTorque o momento de una fuerza

∑∑ ×+×=i

Int

ii

i

Et

ii!O Fr Fr

dt

Ld

Et

O

!OM

dt

Ld

∑=

dtLdM !O

O

=∑ 0 =

SO L

Int

ii

Et

ii

i

i Fr Fr dt

pd

r

×+×=×=dt

Ld i

ir

+

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F21

= - F12

F21

F12

r 1

r 2

r 21 = r 2-r 1

y x

z

m1

m2

= 0

S%ST&' & *$T+-LS

Torque de las fuerzas internas es cero

∑

×

2

1i

122211ii FrFrFr

122121 Fr Fr ×+×−=

∑=

×−=×2

1i

1212ii F)r r (Fr

+

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os patinadores de E= @g cada uno se apro/iman siguiendo caminos

paralelos separados F m5 Los patinadores llevan velocidades derapidez de ;= mAs cada uno, con sentidos opuestos5 &l primerpatinador lleva una varilla ligera de F m de longitud, y el otropatinador la coge del otro e/tremo al pasar5 &n la figura se muestrael momento inicial5 #o hay rozamiento con el hielo5

a) 3alle la posicin y velocidad del centro demasa antes, y la velocidad angular delsistema despuCs, de estar unidos5

b) &l patinador ; jala la varilla hastareducir a ; m la distancia al otro

patinador5 9u.l es la velocidad angularde los patinadores:c) ompare las energ0as cinCticas del

sistema en a) y b)5d) 9u.l fue el trabajo realizado por el

patinador ;:5

S%ST&' & *$T+-LSTorque y 'omento angular" ejemplos

&jemplo ;"

+

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CM

1

10ms

10ms

2

Gista desde arriba


+

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&jemplo D"

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