1 lgebra de funciones

Definicin Sean 0 E qqqqqp

B qqqqqp 0B

1 F qqqqqp

B qqqqqp 1B

funciones tales que A partir de estas dos funcionesE F 9podemos definir:

1.- Suma:

0 1 E F qqqqqp

B qqqqqp 0 1B

donde :0 1B 0B 1B

2.- Multiplicacin por escalar:

- - 0 E qqqqqp

B qqqqqp 0B 0B- -

donde : 0B 0B- -

3.- Producto:

0 1 E F qqqqqp

B qqqqqp 0 1B 0B 1B

donde :0 1B 0B 1B

2 4.- Divisin:

Sea G B E F 1B ! 9

01 G qqqqqp

B qqqqqp B 01 1B0B

donde : 01 1B0BB

Ejemplo

Dada las funciones

0 % &qqqqqqp 1 $ )qqqqqqp B qqqp B #B $ B qqqp #B "#

Determinar 1.- 2.- 3.- ; 4.- 0 1 0 1 #101

Solucin

1.- 0 1 qqqqqp $ &

B qqqqqp B ##

2.- 0 1 qqqqqqqqqqp $ &

B qqqqqp ( )( )B #B $ #B "#

3.- 01 qqqqqqqp $ &"#

B qqqqqp B #B$#B"#

4.- #1 qqqqqqqp $ )

B qqqqqp ##B "

3Ejemplo

Considere las funciones 0 $ #qqqqqqp B qqqp B #B $#

y 1 qqqqqqp

B qqqp

B !

B B B !

"B

Determinar

1.- 2.- 3.- ; 4.- 0 1 0 1 #101

Solucin

1.- 0 1 qqqqqp $ #

B qqqqp 0 1B

donde 0 1B B #B $ $ B !

B $B $ B ! B #

# "B

#

2.- 0 1 qqqqqqqqqqp $ #

B qqqqqp 0 1B

donde 0 1B $ B !

B #B $B B ! B #

B #B$B

#

#

43.- 01 ! qqqqqqqp $ #

B qqqqqp 01 B

donde 01

#

B #B$

B B

B

B #B $B $ B !

! B #

#

4.- #1 qqqqqqqp

B qqqqqp #1B

donde #1B B !

#B # B B !

#B

Definicin

Sean funciones0 EqqqqqpF 1 GqqqqqpH

Sea L B E 0B G 9

Se define la funcin de con Composicin 0 1 como la funcin que denotaremos por ,donde :1 0

1 0 L qqqqqp H B qqqqqp 1 0B

con :1 0B 10B

Observacin

Si .H971 0 L E H970 se dice que es la de con 1 0 0 1 Funcin Compuesta

5Ejemplo Sean , funciones tales que0 1

; 1 qqqqqqp 0 _ # qqqqqqp B qqp B )B "$ B qqqqp B "# #

a) Defina la funcin 0 1b) Determine, en caso de ser posible, , si0 1,

$, & (.

Solucin a) H970 1 B 1B _ #

B B )B "$ # #

B B )B "" ! #

B B % & #

B B % &

B B % & B % &

_ % & % & _ adems se cumple que :

0 1B 01B 0 B )B "$ #

B )B "$ " # #luego, se tiene que :

0 1 _ % & % & _ qqqp

B qqqqqqp B )B "$ " # #

b) si se tiene que $, & ( , #$

luego 0 1 0 1 0 # # "'* #)%)!$ $ * )"

6Ejemplo

Sean , funciones tales que2 1

2 qqqqqqp B qqqqqqp B 'B

1 #" _ qqqqqqp

B qqqqqqp B"#B$

a) Defina la funcin 1 2 b) Determine, en caso de ser posible, , si1 2 ,

, "' !# .

Solucin

a) H971 2 B 2B #" _

B B 'B & # #"

B B 'B "' ! #

B B #B ) !

_ ) # _ adems se cumple que :

1 2B 12B 1B 'B & #

B 'B & B 'B 'B 'B & B "#B (

# #

# #

"# $ #

luego, se tiene que :

1 2 _ ) # _ qqqp

B qqqqqqp B 'B 'B "#B (

#

##

b) si se tiene que , "' ! , %#

luego 1 2 % 1 2 % %' #)( *

7Ejemplo

Sean funcin0 qqqqqqqqp " _

BqqqqqqqqqqqqqqqpB"B#

1 % _ qqqqqqqqp $ _ funcin Bqqqqqqqqqqqqp % B $ Determine, si existe: .0 1

Solucin

H970 1 B % _ 1B

B % _ % B $ !

B % _ B $ %

B % _ B $ "'

B % _ B "*

"* _ adems se cumple que :

0 1B 01B 0 % B $

% B$ $ B$

% B$ # B$

"#

luego, se tiene que :

0 1 "* _ qqqp " _

B qqqqqqp$ B$

# B$

8Ejemplo

Sean funcin0 qqqqqqqqp !

B qqqqqqqqqqqp#B'B#

1 _ qqqqqqqqp " _ funcin B qqqqqqqqqqp B "

Determine,si existe, 0 1

Solucin

H970 1 B _ 1B !

B _ B " !

B _ B " !

B _ B "

_

adems se cumple que :

0 1B 01B 0 B "

# '#

B"

B"

luego, se tiene que :

0 1 _ qqqp funcin compuesta

B qqqqqqp# '

#

B"

B"

9Ejemplo

Dadas las funciones

0 1 " # qq # $ qqq % "! tal que

0B B " "

B " " B " #

$B"#

1B B " B # !

#B B ! $

#

Determinar 1 0

Solucin

H971 0 " # # $ B 0B

B 0B B 0B " " # $ " # # $

B # $ " " $B"# B # $ " # B " "

B % ' " " $B "

B " % " # B "

B & & B % " " $B " # B "

B B "( " " B " # B& &$ $

" " " # " #

10

1 0B 10B

1 " "

1 B " " " #

$B"# B

B

se tiene que, considerando

# ! & $B " B $B" " $ $

! $ " $B & B $B" & "# $ $

# ! " " B # B " " B "

! $ " % # B "( B " " B "

1 0B

1 "

1 "

1 B " " " #

$B"#

$B"#

B

B

B

"$

"$

# "

" "

B " " " " #

$B"#

$B"#

#

#

B

B

B

"$

"$

$B " "

"

B " " #

B

B

B

"$

"$

$B$#

#

11

luego, se tiene que

1 0 " # qqq % "! funcin compuesta

B qqqqqqp 1 0B donde

1 0B

B

B

B

$B " "

"

B " " #

"$

"$

$B$#

#

Ejercicios

1.- Considere las funciones :

0 " % qqqqp ) "! 1 & %qqqqp! #! B qqqqp 0B B qqqqp 1B

donde

;

;

;

;

0B 1B #B " " B #

B # # B %

#B $ & B !

! B %

# "

B"

Defina la funcion 1 0

2.- Dadas las funciones y , determine y 0 1 1 0 0 1

, 0 " _ qqqqqp 1 qqqqqp Bqqqqqp B " B qqqqqp B $ #

12

3.- Dadas las funciones y , determine y 0 1 1 0 0 1

, 0 " _ qqqqqp 1 qqqqqp

Bqqqqqp#B % B qqqqqpB " B "

#B $ B "

Observacin

Dada funcin, se cumple que0 EqqqqqpF Bqqqqqp0B

aB E 3. 0B 0 3.B 0B

Teorema

Sea funcin biyectiva , entonces existe una0 EqqqqqpF nica funcin biyectiva de tal modo que1 FqqqqqpE y 1 0 3. 0 1 3. E F

Observacin

1. La funcin del teorema anterior se llama Inversa de y se anota 1 0 0 "

Es decir , la Funcin Inversa de

donde es0 E qqqqqp F C 0B B qqqqqp 0B

, donde 0 F qqqqqp E B 0 C " "

C qqqqqp 0 C"

Observacin

Si es funcin biyectiva se cumple que0

0B C B 0 C"

13

Ejemplo

Sea funcin1 qqqqqqp B qqqqqqp #B $

Determine ,si es biyectiva y encuentre, de serlo su inversa1

Solucin

Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C

1B 1C #B $ #C $ B C

por lo tanto es inyectiva.1

Por ver si es epiyectiva (sobre):

V/-1 C b B C 1B C b B C #B $

C b B B C$# C C$#

luego se tiene que es epiyectiva ,por lo tanto es biyectiva1 1 con lo cual, existe inversa ,donde :

1 qqqqqqp" B qqqqqqp B$#

14

Ejemplo Sea funcin2 " _ qqqqqqp B qqqqqqp B 'B

a) Determine ,si es biyectiva ,de no serlo .hacer las restriccines2mnimas para obtener de una funcin biyectiva2 2"

b) Determine 2""Solucin

a) Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C " _

2B 2C B 'B & C 'C #

B $ " C $ " B $ C $# # # #

B $ C $ B $ C $ B C por lo tanto es inyectiva.2

Por ver si es epiyectiva (sobre):

V/-2 C b B " _ C 2B C b B " _ C B 'B & #

C b B " _ C B $ " #

C b B " _ B $ C " #

C b B " _ B $ C " C " ! con C b B " _ B $ C " C " con C " _ $ C " " _ C " _ $ C " " C " _ C " # C " _ C " % C " _ C $ $ _

luego ,se tiene que no es epiyectiva ,pero si consideramos :2

es biyectiva2 " _ qqqqqqp $ _" B qqqqqqp B $ "#

b) es su inversa2 $ _qqqqqqp " _"" B qqqqqqp $ B "

15

Ejemplo

Sea

1 % _ qqqqqqqqp $ _ funcin B qqqqqqqp % B $

Pruebe que es biyectiva y determine su inversa1

Solucin

Por ver si es inyectiva : sean tal que :B C % _

1B 1C % B $ % C $ B $ C $ B $ C $ B C

por lo tanto es inyectiva.1

Por ver si es epiyectiva (sobre):

V/-1 C $ _ bB % _ C 1B C $ _ bB % _ C % B $ C $ _ bB % _ C % B $ C $ _ bB % _ B $ C % #

C $ _ bB % _ B $ C % #

C $ _ $ C % % _ #

C $ _ $ C % % #

C $ _ C % "#

C $ _ C % " C $ _ C $ $ _

luego ,se tiene que es epiyectiva ,por lo tanto es biyectiva y se tiene que :1

funcin1 $ _ qqqqqqqqp % _" B qqqqqqqp $ B %

16

Ejemplo

Sea funcin0 " " # & ( "! qqqqqqp Bqqqqqqqqqqqqqp 0B donde :

0B

B " "

B & ' B # &

B ( "!

B $#

"$

#B""$

#

a) Trace el grfico de 0

b) Haga las restricciones mnimas necesarias para obtener de 0una funcin biyectiva0"

c) Determine 0""Solucin

a) se tiene que el grfico de es:0

17

b) se tiene que la funcin biyectiva es :

0 " " # & ( "! qqqp $ " " # $ '" Bqqqqqqqqqqqqqp 0B

c) 0 $ " " # $ ' qqqqp " " # & ( "!""

Bqqqqqqqqqqqqqp 0 B ""

donde :

0 B

B $ "

#B $ B " #

& "# #B B $ '

""

""$B#

Ejercicios

1. Determinar la funcin inversa de :

0 _ # qqqqqp " _ B qqqqqp B %B

2. Sea : 0 _ qqqqqp "#

B qqqqqp #B "

Hacer las restricciones necesarias para que la funcin sea biyectiva0 y determinar su inversa .

18

MODELACIN

Observacin

La teoria de funciones se usa en la modelacin de diferentes

problemas practicos que requieren para su resolucin una

presentacin funcional

Ejemplo

Si el nmero se descompone en dos sumandos positivos.$!a) Encuentre la funcin que determina el valor del producto de

estos sumandos, cualquiera sea la descomposicin.

b) Qu descomposicin determina el producto de mximo valor?

Solucin

Sean los sumandos se tiene que B C B C $!sea el producto ,luego se tiene :T

pero por lo tanto :T BC C $! B con con lo cual :T B$! B B ! $!

a) funcin productoT ! $! qqqqqqp B qqqqqqp B$! B

b) sea D T B D B$! B D B $! B#

D B $! B B "& D ##& T# #

como se sabe , la parbola abre hacia abajo ,por lo tanto es claroT que el vertice indica el punto ms alto del grafico,es decir :

el producto de mximo valor se obtiene cuando los sumandos son :

15,15 y su valor mximo es 225

19

Ejemplo

Encuentre la funcin que determina el rea de los rectngulos que se

pueden inscribir en la regin limitada por el eje y la curvaBdefinida por la ecuacin C % B#

Solucin Se tiene que C % B B %C % T# #

es claro que es simtrica respecto al eje por lo tanto ,la relacinT Cque hay entre y es : + , , +

por otro lado se tiene que : el rea del rectangulo esta determinado por :

si es decir :E + ,0+ 0B % B#

donde luego ,se tiene que :E+ #+% + + ! ##

funcin reaE ! # qqqqqqp

+ qqqqqqp #+% + #

20

Ejemplo

Si se despone de planchas rectangulares de hojalata de de largo$! -7y de ancho,con las cuales se desean fabricar cajas rectangulares&!-7sin tapa (una con cada plancha). Encuentre la funcin que determina

los volmenes de las cajas que se pueden formar.

Solucin

Se tiene que ,el volumen de la caja formada (ver fig.) esta determinado

por :

Z B&! #B$! #B B ! "& luego ,se tiene que :

funcin volumenZ ! "& qqqqqqp

x qqqqqqp B&! #B$! #B

21

Ejemplo

Encuentre la funcin que determina el rea de todos los rectngulos

que se pueden inscribir en la regin limitada por el eje , la rectaB

C B C B $ "# y la parbola Si la base del rectngulo

#

debe estar en el eje , un vertice en la recta y otro en la parbolaB

Solucin

Sea P C B 0B B T C B $ 1B B $" "# #

# #

sean tales que B C 0C 1B C B $ C #B $"#

# #

por otro lado ,el rea del rectngulo esta detereminado por :

E B C 1B B #B $ #B $ # # B # $ luego ,se tiene que :

funcin reaE # $ qqqqqqp

x qqqqqqp B #B $ #B $# #

22

Ejemplo

Se desea construir un calentador de agua con capacidad de

$#! 7>= 1 $ , cuya forma sea la de un cilindro sin tapa,usando paraello, una base de cobre y los lados de aluminio.Si se sabe que el valor

del de cobre es de $ y el valor del de aluminio es de7> &!!! 7> 2 2

$ . Encuentre la funcin que determina el costo de todos los"!!!calentadores que se pueden construir

Solucin

Se tiene que pero la capacidad debe ser de Z # < 2 $#! 7>= 1 1# $

por lo tanto es decir con lo cual : Z $#! # < 2 $#! 2 1 1 1# "'!

23

Ejemplo

Un fabricante sabe que el costo de producir artculos es deBUS$( y el precio de venta por unidad es de US$( &!! #B )! ! "B a) Defina la funcin utilidad respecto al nmero de artculos

producidos y vendidos.

b) Determine el nivel de produccin con el cual se obtiene la mxima

utilidad Cul es esa utilidad ? A qu precio se vendi cada artculo?

c) Cul es la utilidad si se producen y venden artculos ?#!! d) Cul es la cantidad mnima de artculos que se deben producir

y vender para que la utilidad sea de US$ ?"(&!

Solucin

a) Sea el nmero de artculos producidos y vendidos ,se tiene que :B si es la utilidad ,entonces :Y

( ( por lo tanto , comoYB )! ! "B B &!! #BDom( ( (Y B )! ! "B ! )! ! "B B &!! #B !

0 B )! B )!!B B &!!! #!B ! # B B )!! B ()!B &!!! ! # B B )!! B $*! ""!! &!!! ! # B B )!! B $*! "%("!! ! # B B )!! B $*! "! "%(" $*! "! "%(" $*! "! "%("

luego, se tiene que :

Y qqqp $*! "! "%(" $*! "! "%(" B qqqqqqqqqqp ( ()! ! "B B &!! #B

b) Sea por lo tanto ,se tiene queC YB ( (C )! ! "B B &!! #B

"!C B ()!B &!!! "!C B $*! "%("!!# #

B $*! "!C "%("! T#

es claro que la mxima utilidad se presenta en el vertice de la

parbola por lo tanto : la mxima utilidad es de US$ 14.710 cuando

se producen y venden 390 artculos

24

c) ( (Y#!! )! ! " #!! #!! &!! # #!! """!!es decir la utilidad al producir y vender 200 artculos es de US$ 11.100

d) YB "(&! B $*! "!"(&! "%("!#

B $*! "!"(&! "%("!#

B $*! $'! B $! B (&! por lo tanto al producir y vender 30 artculos se tiene una utilidad de

US$ 1 1.750

Ejemplo

Se desea construir una caja de base cuadrada con tapa, de volumen

Si el costo de la tapa es de $ el el costo de la base es de# -7 # -7 $ #

$ y el costo de los lados es de $ el Encuentre la funcin& -7 $ -7 # #

que determina el costo de todas las cajas que se pueden formar.

Solucin

De los datos se tiene que , ademas se es el costo B C # C G# #B# se tiene que : G #B &B $ %BC (B $B (B # # # ## $!#%B B#

con B luego ,se tiene que :

funcin costoG qqqqqqp

< qqqqqqp (B # $!#%B

25

Definicin

Sea funcin . Se dice que:0 E qqqqqpF

es 3 0 creciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B

" # " # " #

es 33 0 decreciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B

" # " # " #

es 333 0 estrictamente creciente si y slo si ( ) ( a B B E B B 0 B 0B

" # " # " #

es 3@ 0 estrictamente decreciente si y slo si ( ) ( = a B B E B B 0 B 0B

" # " # " #

Ejemplo

Dada 0 _ # qqqqqp " _ B qqqqqp B %B

se tiene que 0B B %B & B # "# #

sean tal queB C _ #

B C B # C # ! # C # B

# C # B C # B ## # # #

C # " B # " 0C 0B# #

es decir es estrictamente decreciente0

26

Ejemplo

Dada 0 # _ qqqqqp % _ B qqqqqp #B & $

sean tal queB C # _

B C #B #C #B & #C & ! #B & #C &

#B & #C & #B & $ #C & $

0B 0C

es decir es estrictamente creciente0

Ejemplo

Dada 0 ! _ qqqqqp % _ B qqqqqp #B"B"

se tiene que 0B # #B" #B#$ $B" B" B"

sean tal queB C ! _

B C B " C " ! #B & #C &" "C" B"

#B & #C & #B & $ #C & $

0B 0C

es decir es estrictamente creciente0

27

Ejercicios

Determine si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes,

estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes.

1.- : 0 # _ qqqqqp

B qqqqqp #B "

2.- : 0 _ ! qqqqqp

B qqqqqp B "#