Álgebra y funciones31. Polinomios

2. Identidades notables

3. Resolución de ecuaciones de primer grado

4. Ecuaciones de segundo grado

5. Soluciones de una ecuación de segundo grado. Problemas

6. Sistemas de ecuaciones

7. Sucesiones

8. Progresiones aritméticas y geométricas

9. Funciones

10. Funciones afines

11. Funciones cuadráticas

12. Tasa de variación media

Álgebra y funciones1. Polinomios3

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Basta con sumar o restar los monomios que sean semejantes, es decir, que tengan la misma parte literal.

EJEMPLO

Restar 2 25 2 1 3 5 ( x x ) ( x x )

2 2

2 2

2

5 2 1 3 5

5 2 1 3 5

2 3 6

( x x ) ( x x )

x x x x )

x x

Álgebra y funciones1. Polinomios3

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Hay que multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo y luego agrupar todos los términos semejantes.

EJEMPLO

Multiplicar22 5 3 2 ( x ) ( x x )

2

2

2

3 2

3 2

2 5 3 2

3 2

2 5

15 5 10

6 2 4

6 13 9 10

( x ) ( x x )

x x

x x

x x

x x x

x x x

Álgebra y funciones1. Polinomios3

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para realizar la división de polinomios utilizaremos la «caja de división»:primero se colocan los polinomios en orden decreciente según sus grados y a continuación operamos de la misma manera que si de números se tratase.

EJEMPLO

Dividir

4 3 2

4 3 3 2

3 2

3 2

4 2 5 3 1 1

4 4 4 2 7 4

2 5 3 1

2 2

7

x x x x x

x x x x x

x x x

x x

x2

2

3 1

7 7

4 1

4 4

5

x

x x

x

x

4 3 24 2 5 3 1 1 ( x x x x ) : (x )

Álgebra y funciones1. Polinomios3

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Cuando todos los términos de un polinomio comparten un factor comúnpodemos expresar dicho polinomio como un producto entre esa parte comúny la suma del resto de los factores.

EJEMPLO

Factorizar

Sacamos factor común

3 22 5 x x x

3 2

2

2 5

2 5 1

x x x

x ( x x )

Álgebra y funciones2. Identidades notables3

IDENTIDADES NOTABLES

Cuadrado de una suma

Cuadrado de una resta

Suma por diferencia

2 2 22 (a b) a a b b

2 2 22 (a b) a a b b

2 2 (a b) (a b) a b

Álgebra y funciones3. Resolución de ecuaciones de primer grado3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que, puestos en el lugar de la incógnita, cumplen lo que expresa la ecuación.

Vamos a aprender a resolver ecuaciones de primer grado, que tienen un único número como solución.

El método que vamos a usar para resolver ecuaciones es conseguir pasarde una ecuación complicada a una ecuación equivalente más sencilla. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:

Regla de la suma Regla del producto

Si sumamos o restamos una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación, obtenemos una ecuación equivalente.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una ecuaciónpor un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente.

Álgebra y funciones3. Resolución de ecuaciones de primer grado3

PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

1.ºEliminar los paréntesis en ambos miembros y agrupartérminos.

2.º Eliminar denominadores.

3.ºAgrupar los términos con incógnita a un lado de la ecuación y los términos sin incógnita al otro.

4.º Despejar la incógnita dividiendo por el número adecuado.

Al terminar, asegúrate de que no te has equivocado sustituyendola solución en la ecuación y comprobando que se cumple la igualdad.

Álgebra y funciones4. Ecuaciones de segundo grado3

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Grado de una ecuación: mayor número al que aparece elevada la incógnita.

Para resolver una ecuación de segundo grado, lo primero que debemosconseguir es que tenga la siguiente forma:

a, b y c son números reales

La solución de esta ecuación es:

2 0 a x b x c

2 4

2

b b a cx

a

Álgebra y funciones5. Soluciones de una ecuación de segundo grado. Problemas3

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Discriminante positivo

Discriminante nulo

Discriminante negativo

2Ecuación 0 a x b x c2 4

2Solución

b b a cx

a

2 4 0

Dos soluciones

b a c

2 4 0

Una solución

b a c

2 4 0

No existe la raíz cuadrada

La ecuación no tiene solución

b a c

Álgebra y funciones6. Sistemas de ecuaciones3

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones en las que aparecen las mismas incógnitas se denominansistema de ecuaciones.

Si las ecuaciones que forman el sistema son de primer grado, decimos que es un sistema de ecuaciones lineales.

Métodos analíticosSe basan en obtener, mediante transformaciones algebraicas, una única ecuación para una de las dos incógnitas.

Reducción

Sustitución

Igualación

Método gráficoConsiste en representar ambas ecuaciones en un mismo sistema decoordenadas. Por ser ecuaciones de primer grado, su representación será una línea recta. La solución al sistema vendrá dada por el punto de corte de ambas rectas.

Álgebra y funciones7. Sucesiones3

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cuales recibe el nombre de término. De forma general, escribimos una sucesión como:

Para definir una sucesión se pueden utilizar varios métodos:

Descripción de términos Ley de recurrencia Término general

Determinamos una sucesión mediante unapropiedad que define sus términos y los listamos.

Construimos cadatérmino en relación a los anteriores. Partimos de un término inicial.

Expresión que relaciona el valor de cada término con la posición queocupa.

EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO

Números naturales pares 2, 4, 6, 8, 10, ...

1 2 3 4 término -ésimo o término general n na ,a ,a ,a , ,a , a n

1

1

3

2

n n

a

a a2 1 na n

Álgebra y funciones8. Progresiones aritméticas y geométricas3

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo. Este número fijo recibe el nombre de diferencia, d

a1 = primer términod = diferenciaan = término general

1 1

2 1

3 2 1 1

4 3 1 1

1

2

2 3

1

n

a a

a a d

a a d a d d a d

a a d a d d a d

a a (n ) d

Álgebra y funciones8. Progresiones aritméticas y geométricas3

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior un número fijo. Este número fijo recibe el nombre de razón, r

a1 = primer términor = razónan = término general

1 1

2 1

23 2 1 1

2 34 3 1 1

2 11 1 1

n nn n

a a

a a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

Álgebra y funciones9. Funciones3

FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una función es una relación entre dos variables que asigna a cada valor de una de estas variables un único valor de la otra.

En una representación gráfica de ejes perpendiculares cada punto viene dadopor sus coordenadas.

AbscisasVariable independiente

OrdenadasVariable dependiente

2 4A( , )

3 2 B( , )

Álgebra y funciones9. Funciones3

ALGUNAS FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN

Enunciado

EJEMPLO

«El coste de las llamadas es de 20 céntimos el minuto»

Tabla

Fórmula C = 20∙t

Gráfica

t (minutos)

C(céntimos)

Álgebra y funciones9. Funciones3

ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

Dominio

Conjunto de valores que puede adoptar la variable independiente

Crecimiento y decrecimiento

Creciente/Decreciente: la variable dependiente aumenta/disminuye al aumentar la variable independiente.

Puntos de corte

Puntos en los que la función corta los ejes de coordenadas

EJEMPLOTemperatura en día de invierno

Hora

Temperatura (°C)

Álgebra y funciones10. Funciones afines3

FUNCIÓN AFÍN

La representación gráfica de una función afín es una recta.

Tiene una expresión algebraica de la forma:

y = m∙x + n

A m se le denomina pendiente y nos indica la inclinación de la recta.

A n se le denomina ordenada en el origen y nos da el punto de corte de la recta con el eje vertical.

Álgebra y funciones10. Funciones afines3

FUNCIÓN LINEAL

Es una línea recta que pasa por el origen

y = m∙x

EJEMPLO

y = m∙xm = 1y = x

y x

Álgebra y funciones11. Funciones cuadráticas3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Su forma general es

y = a x2 + b x + c

Su representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola.

Vértice de la parábola

Puntos de corte con el eje x, horizontal, y = 0 y = a x2 + b x + c = 0

Puntos de corte con el eje y, vertical, x = 0 y = c Punto (0,c)

b b a c,

a a

2 4

2 4

Álgebra y funciones12. Tasa de variación media3

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Para estudiar el crecimiento de una función en una determinada regiónutilizamos la tasa de variación media, TVM Se calcula siempre en un intervalo del dominio de la función, que viene determinado por dos puntos del eje horizontal.

2 11 2

2 1

TVM[ ]

y yx ,x

x x