CAPÍTULO 3. Campo magnético

Campo magnético Hugo Medina Guzmán

1

CAPÍTULO 3. CAMPO MAGNÉTICO

INTRODUCCION Otro campo que entra en el estudio de la electricidad y el magnetismo es el campo magnético. Los efectos de estos campos son conocidos desde tiempos antiguos. En la Grecia antigua era conocido que ciertas piedras procedentes de Magnesia (ahora denominadas magnetitas) atraían trocitos de hierro.

Magnetita

El descubrimiento de la propiedad de orientación de este material en sentido norte-sur, influyó profundamente en la navegación y exploración. Aparte de esta aplicación el magnetismo tuvo poco uso y no fue explicado hasta cuando se inventó la pila voltaica. Le pila proporciona corrientes continuas del orden da amperios, con tales corrientes se descubrieron nuevos procesos une detrás de otro en rápida sucesión que relacionaron el magnetismo con la electricidad. Como habíamos visto en la interacción de dos cargas eléctricas estática la existencia del campo eléctrico, cuando estas partículas cargadas están en movimiento aparece un cambio en el movimiento debido a una fuerza que no es mecánica ni electrostática, es la fuerza de interacción magnética y depende de las velocidades relativas de las partículas cargadas, de la carga de cada una, de la dirección relativa del movimiento y de la distancie entre las cargas.

En la figura anterior mostramos dos cargas en movimiento, estas experimentan fuerzas

magnéticas →

F . Una carga eléctrica en

movimiento genera un campo magnético la otra carga eléctrica móvil sufre una fuerza debido a la influencia de dicho campo sobre ella. Este fenómeno tiene dos partes, primero la generación del campo magnético y segundo la influencia del campo magnético sobre cargas móviles. Por ahora solo nos ocuparemos de esta segunda parte. DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO →

B El campo magnético se define por sus efectos sobre una carga en movimiento. Supongamos una región del espacio que contiene varias fuentes magnéticas. Los experimentos que incluyen la observación de las trayectorias de las partículas cargadas que se desplazan por esa región demuestran que la fuerza que actúa sobre ellos tiene las características siguientes: →

F es directamente proporcional a la carga (q) →

F es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad de la partícula (v) →

F es perpendicular a →

v en toda la trayectoria de la partícula. Debido a las propiedades experimentales mencionadas podemos definir el campo magnético que se asocia a las fuentes dadas mediante la relación

→→→

×= BvqF

A →

B se le conoce también como: Campo magnético vectorial Inducción magnética Densidad de flujo magnético La magnitud de F está dada por θsenqvB ,

siendo θ el ángulo entre →

v y →

B . El campo magnético B está dado por la relación

qvFB =

En el sistema MKS, la unidad de B es

AmN

smC

N=

A esta unidad se le conoce como tesla (T) Otra denominación de esta unidad es


2

2mWeber

= 2mWb

2mWbT =

También se usa el Gauss (G) T10G -4=

Para tener una idea de la magnitud del Gauss daremos algunos ejemplos de campos magnéticos. De la Tierra es del orden de 0,5 G De un imán pequeño 100 G De un imán grande 20000 G De un acelerador de partículas 60000 G Como la fuerza magnética sobre una partícula carga da se presenta además de la fuerza eléctrica con la formulación obtenida es posible escribir una expresión para la fuerza total experimentada por una partícula cargada. La fuerza electromagnética total sobre la partícula cargada es la suma vectorial de las fuerzas magnéticas y las fuerzas eléctricas, es decir,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+=

→→→→

BvEqF

Esta ecuación es conocida como la ley de Fuerza de Lorentz. EL FLUJO MAGNETICO De la misma manera que en la teoría del campo eléctrico, asociaremos el campo

magnético →

B a un flujo magnético; A las líneas del campo magnético se las llama líneas de inducción, una carga eléctrica moviéndose a lo largo de una línea de inducción experimenta una fuerza magnética igual a cero. Las líneas así definidas y trazadas en el espacio constituyen una representación del campo magnético. Cuando el campo tiene intensidad uniforme se representa por líneas rectas, uniformemente espaciadas, tal casa se muestra a continuación.

Si se construye un área S normal a la superficie, el flujo se define como:

BSB =Φ Si el campo no es uniforme y la superficie no es uniforme, usaremos la expresión general

dSnBd B ˆ⋅=Φ→

el sentido de n es hacia afuera para superficies cerradas. El flujo neto a través de cualquier superficie es

dSnBSB ˆ⋅=Φ ∫→

El flujo magnético se mide en unidades de campo magnético por unidad de área o sea Weber (Wb). Se hará uso de ésta porte cuando discutamos la inducción electromagnética. Ejemplo 1. El campo magnético B en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del eje de las + z en la figura. a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd de la figura? b) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd? d) ¿Cuál es el flujo neto a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado?

Solución.

kB ˆ0,128=→

a) Flujo magnético a través de la superficie abcd .

( )( ) iiA ˆ12,0ˆ3,04,0 −=−=→

→→

⋅=Φ ABabcdB )( ( ) 0ˆ12,0ˆ128,0 =−⋅= ik b) Flujo magnético a través de la superficie befc

( )( ) kkA ˆ09,0ˆ3,03,0 −=−=→

( )kkABbefcBˆ09,0ˆ128,0)( −⋅=⋅=Φ

→→

= - 0,0115 Wb.


3

c) Flujo magnético a través de la superficie aefd

( )( ) ( )( )ikA ˆ3,04,0ˆ3,03,0 +=→

ik ˆ12,0ˆ09,0 +=

→→

⋅=Φ ABaefdB )( ( )ikk ˆ12,0ˆ09,0ˆ128,0 +⋅= = 0,115 Wb. d) El flujo neto en el resto de la superficie es cero ya que son paralelas a las de eje x de manera que el total del flujo es la suma de todas las partes anteriores, que es cero MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO MAGNETICO

De la ecuación →→→

×= BvqF se observa que una característica de la fuerza magnética que actúa sobre la partícula cargada es que siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula. Cuando el campo magnético es uniforme y la

velocidad inicial es perpendicular a →

B , tanto la fuerza corno la veloci1ad quedan en un

plano fijo perpendicular a →

B . Como la fuerza es constante en magnitud y siempre

perpendicular a →

v el movimiento es circular uniforme como se muestra a continuación.

Por la segunda ley de Newton

qvBmaF rr ==∑

ra es la aceleración centrípeta r

v 2

De aquí

rvmqvB

2

=

El radio es

qBmvr =

La velocidad angular de la partícu1a

rv

=ω es:

mqB

=ω

Ejemplo 2. Cuando una partícula con una

carga q > 0 se traslada con una velocidad →

1v orientada a 45º con respecto al eje + x en el plano xy, un campo magnético uniforme

ejerce una fuerza →

1F a lo largo del eje - z.

Cuando la misma partícula se traslada con

una velocidad →

2v de la misma magnitud que →

1v , pero a lo largo del eje + z, se ejerce sobre

ella una fuerza →

2F de magnitud F2 a lo largo del eje + x.

a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de q, v2 y F2) y la dirección del campo magnético? b) ¿Cuál es la magnitud de F1 en términos de F2? Solución. a)

→→→

×= BvqF 11

kBjBiBB yyxˆˆˆ ++=

→

( )→

×+=− BjivqkF ˆˆ22ˆ

11

( ) ( )kBjBiBjivqkF zyxˆˆˆˆˆ

22ˆ

11 ++×+=−

( )iBkBjBkBvqkF zxzy ˆˆˆˆ22ˆ

11 +−−=−

Por inspección


4

( )xy BBqvF −=− 11 22

0=zB

→→→

×= BvqF 22

( )jBiBkqviF yx ˆˆˆˆ 22 +×=

( )iBjBqviF yx ˆˆˆ 22 −= Por inspección

yBqvF 22 −=

0=xB El campo magnético es

0=xB , 2

2

qvFBy −= y 0=zB

El vector campo magnetico

( ) ( )kjqvFiB ˆ0ˆˆ0

2

2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

→

jqvF ˆ

2

2−=

b) Del resultado anterior se obtiene

yBqvF 11 22

−= y yBqvF 22 −=

Siendo →

2v de la misma magnitud que →

1v v2 = v1

21 22 FF =

Ejemplo 3. Medida de la relación mq

para

electrones (experimento de Thomson)

La figura muestra el tubo de Thomson usado

para la medición para la medición de mq

.

Los electrones proceden del cátodo C que c encuentra a una diferencia de potencial V con el ánodo A. Los electrones pasan a través de las rendijas A y B con una velocidad que se calcula de la siguiente manera: La carga q al moverse entra el cátodo y el ánodo que se encuentran a una diferencia de potencial VΔ gana una cantidad de energía

igual al producto VqΔ , la que se convierte en

energía cinética 2

21 mvEK = , siendo m la

masa de la carga y v la velocidad adquirida. De esto obtenemos la relación

2

21 mvVq =Δ

y de aquí m

Vqv Δ=

2

Cuando este haz de electrones ingresa en un campo magnético perpendicular forma una trayectoria circular cumpliéndose la relación

qBr

mv= , de donde

mqBrv =

Igualando ambas expresiones para la velocidad:

mqBr

mVq=

Δ2

Finalmente

VrB

mq

Δ=

2

22

Siendo las cantidades B, r y VΔ susceptibles

de medición se encuentra la relación mq

para

el electrón

sC1076,1 11×=

mq

También puede utilizarse los efectos de campos magnéticos y eléctricos en la misma región. Si los campos y la velocidad son mutuamente perpendiculares entre sí y además se ajustan las magnitudes de los campos de tal forma que qEqvB = ,

tendremos que BEv = . Esta medición puede

combinarse con las otras a fin de obtener el

valor de mq

.

Ejemplo 4. En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: - e; masa: m) son acelerados por un voltaje V. Después de salir del cañón de electrones, el haz de electrones recorre una distancia D hasta la pantalla; en esta región hay un campo


5

magnético transversal de magnitud B y ningún campo eléctrico, a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético es

mVeBDd

22

2

=

b) Evalúe esta expresión con V = 750 V, D = 50 cm y B = 5,0 x l0-5 T (comparable al campo de la Tierra). ¿Es significativa esta desviación? Solución. a)

Para una partícula moviéndose en un campo

magnético, .qBmvR =

El movimiento es circular: 222 Ryx =+

La partícula alcaza a la pantalla en el punto

Dx = , 221 DRy −= .

La trayectoria no reflectada llegaría en Ry =2 .

La desviación de la partícula es 22

12 DRRyyd −−=−=

2

2

1RDRR −−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= 2

2

11RDR

Sí DR >> ⇒

RD

RDRd

22111

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−≈ .

Como qVmv =2

21

, luego qmV

BR 21= .

La deflexión es

.2222

22

mVeBD

mVqBDd =≈

b) remplazando los datos

)(750)102(9,11)10(1,6

2)10(5,0(0,50)

31

1952

−

−−

×××

=d

= 0,067 m = 6,7 cm. %13≈d de D, cual es bastante significativa.

Ejemplo 5. Cada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura representa una carga positiva q que se desplaza con una velocidad de magnitud v en la dirección que se indica. La región de la figura se halla en un campo magnético B, paralelo al eje de las x y dirigido hacia la derecha. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.

Solución. Campo magnético del medio

iBB ˆ=→

Punto a

Velocidad jvva ˆ=→

Fuerza sobre la carga q

kqvBijqvBBvqF aaˆˆˆ −=×=×=

→→→

Punto b

Velocidad kvvbˆ=

→


jqvBikqvBBvqF bb ˆˆˆ =×=×=→→→

Punto c

Velocidad ivvc ˆ−=→


( ) 0ˆˆ =×−=×=→→→

iiqvBBvqF cc Punto d


6

Velocidad ( )kivvdˆˆ

22

−=→


( ) ikiqvBBvqF dd ˆˆˆ22

×−=×=→→→

Punto e

Velocidad ( )kjvveˆˆ

22

−=→

jqvBˆ22

−=


( ) ikjqvBBvqF ee ˆˆˆ22

×−=×=→→→

( )kjqvB ˆˆ22

+−=

La magnitud de cada una de las fuerzas es

,0 qvBF = luego:

0FFa = en la dirección k−

0FFb = en la dirección j+ 0=cF

022 FFd = en la dirección j−

0FFe = en la dirección )ˆˆ( kj +− Ejemplo 6. Un electrón se traslada a 2,50 x 106 m/s a través de una región en la que hay un campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7,40 x l0-2 T. a) ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrón debida al campo magnético? b) Si la aceleración real del electrón es la cuarta parte de la magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? Solución.

a) Siendo →→→→

×== BvqamF ⇒

mBvqa→→

→ ×=

Su módulo es

mqvBa φsen

=

La aceleración más pequeña posible es cero, cuando el movimiento es paralelo al campo magnético ( )0=φ . La aceleración es mayor cuando la velocidad y el campo magnético se encuentran en ángulo recto ( )2πφ = .

mqvBa =

)10(9,11

)10)(7,410)(2,50106,1(31

2619

−

−−

××××

=

= 216 sm1025,3 × .

b) Siendo m

qvBa φsen= ⇒

qvBma

=φsen

Si ( ) 1616 1081,01025,341

×=×=a

( )( )( )( )( )2619

1631

104,71050,2106,11081,01011,9sen −−

−

×××××

=φ

⇒ 25,0sen =φ ⇒ .5,14 o=φ Ejemplo 7. Una partícula con carga q > 0 se desplaza con rapidez v en la dirección + z a través de una región de campo magnético uniforme B. La fuerza magnética sobre la

partícula es ( )jiFF ˆ4ˆ30 +=→

, donde F0 es una constante positiva. a) Halle las componentes Bx, By y Bz, o al menos tantas de las tres componentes como sea posible a partir de la información dada. b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6F0/qv, averigüe todo lo que pueda acerca de las componentes

restantes de →

B . a)

→→→

×= BvqF

zyxzyx

zyx

BBBv

kjiq

BBBvvv

kjiq 00

ˆˆˆˆˆˆ==


7

jqvBiqvB xy ˆˆ +−= Pero

jFiFF ˆ4ˆ3 00 +=→

Luego

yqvBF −=03 y xqvBF =04

⇒ qvF

By03

−= , qvF

Bx04

= ,

Bz es arbitrario.

b) 22206zyx BBB

qvF

B ++==

20 169 zBqvF

++=

20 25 zBqvF

+= ⇒

⋅±=qvFBz

011

Ejemplo 8. Una partícula con carga negativa q y masa m = 2,58 x 10-15 kg viaja a través de una región que contiene un campo magnético

uniforme →

B = - (0,120 T) k . En un instante determinado la velocidad de la partícula es →

v = (1,05 x l06 m/s) ( )kji ˆ12ˆ4ˆ3 ++− y la magnitud de la fuerza sobre la partícula es de 1,25 N. a) Halle la carga q.

b) Determine la aceleración →

a de la partícula. c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de curvatura R de la componente circular de la trayectoria helicoidal. d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula. e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra, las coordenadas x e y varían de manera periódica. Si las coordenadas de la partícula en t = 0 son (x, y, z) = (R, 0, 0), encuentre sus coordenadas en el tiempo t = 2 T, donde T es el periodo del movimiento en el plano xy. Solución. a)

→→→

×= BvqF→→→

×= BvqF

z

zyx

zyx

zyx

Bvvv

kjiq

BBBvvv

kjiq

00

ˆˆˆˆˆˆ==

= [ ]jBviBvq zxzyˆ)(ˆ)( − ⇒

[ ]2222 )()( zxzy BvBvqF −= ⇒

( )222

22 1

xyz vvBFq

+= ⇒

22

1

xyz vvBFq

+=

Reemplazando valores

( )226 341

1005,11

0,12025,1

−+×−

=q

= - 1,98 x 10-6C. b) La aceleración está dada por

mBvq

mFa

→→→→ ×

==

= [ ]jBviBvmq

zxzyˆ)(ˆ)( −


( )jia ˆ3ˆ4)120,0()1005,1(1058,21098,1 6

15

6

+−×××−

= −

−→

⇒ ( )jia ˆ3ˆ4m/s109,67 213 +×=→

c) El movimiento es helicoidal ya que la

fuerza [ ]jBviBvqF zxzy ˆ)(ˆ)( −=→

está en el plano xy pero la velocidad tiene una componente z. El radio de la parte circular del movimiento es:

qBmvR =

Con

( ) 22622 431005,1 +−×=+= yx vvv

= (1,05 x 106)5m/s Reemplazando valores

)120,0()1098,1()1005,1()5()1058,2(

6

615

−

−

×××

=R

= 0,057 m. d) La velocidad angular de la partícula en el ciclotrón es

057,01025,5 6×

==Rvω = 92,11 x 106 rad/s

La frecuencia es


8

ππωf

21011,92

2

6×== = 14,67 x 106 Hz.

e) Después de dos ciclos completos, los valores de x e y vuelven a sus valores originales, x = R e y = 0, pero z ha cambiado.

fv

Tvz zz

22 == 7

6

1047,1)1005,1)(12(2

××

=

= 1,71 m. Ejemplo 9. El espectrómetro de masas. El espectrómetro de masas es un aparato que utiliza los principios anteriores para medir la masa de los isótopos. Mide la razón q/m de los iones, determinando la velocidad de estos y luego midiendo el radio de su órbita circular en el interior de un campo magnético uniforme

En la figura se muestran los elementos de un espectrómetro, la sección entre A y C actúa como se-lector de velocidades y pasan por la ranura C solo las partículas con velocidad común v. Al salir de C estas partículas entran en una región en la que hay un campo magnético

constante 0→

B perpendicular al plano de la figura, las partículas forman una trayectoria circular hasta que chocan con la pantalla o algún instrumento detector. La distancia a la que se detecta la partícula está dada por

0

22qBmvR = , por debajo e C

Como BEv = ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0qBBEmR

Sendo conocido q, y pudiendo conocerse →

E , →

B y 0

→

B , es posible determinar la nasa m con la medición de R. Ejemplo 10. Fuerzas sobre cargas eléctricas. Un ión de masa m1 con carga eléctrica q se

acelera desde el reposo por medio de una diferencia de potencial V. Luego el ión entra en una zona de campo magnético uniforme B perpendicular a su velocidad, por lo cual es desviado en una trayectoria semicircular de radio R1. Después de esta experiencia, un segundo ión e carga 2q y masa m2 se acelera a través de la misma diferencia de potencial V y se le desvía mediante el mismo campo magnético B dando Como resultado una trayectoria semicircular de radio R2 = 2 R1. ¿Cuál es la relación de las masas m1 y m2 de los iones? Solución.

Para el ión 1:

2112

1 vmqV = (1),

1

21

11 RvmBqv = (2)

Para el ión 2:

2222

12 vmqV = (3),

1

22

22 2RvmBqv = (4)

Dividiendo (1): (3):

22

21

2

1

21

vv

mm

= (5)

Dividiendo (2): (4):

22

21

2

1

2

1 22 v

vmm

vv

=

⇒2

1

2

1

41

vv

mm

= (6)

Dividiendo (6)2: (5):

22

21

2

1

22

21

22

21

21

161

vv

mm

vv

mm

=


9

⇒ 81

2

1 =mm

La relación de las masas m1 y m2 es 1/8. Ejemplo 11. ¿Es posible diseñar o plantear un campo magnético capaz de modificar la trayectoria y velocidad de una partícula cargada a nuestra conveniencia? ¿Cómo? o ¿por qué? Solución. Con campos eléctricos y campos magnéticos. Campos eléctricos Causa una fuerza sobre la partícula cargada

→→

= EqF Campos magnéticos. Causa una fuerza sobre la partícula cargada

→→→

×= BvqF Ejemplo 12. Se lanza una partícula se lanza horizontalmente con una velocidad de 104 m/s en tal dirección que se mueve perpendicularmente a un campo magnético horizontal, de magnitud 4,9 x 10-5 Wb.m2. La partícula, que lleva una sola carga electrónica, permanece en el mismo plano horizontal. ¿Cuál es su masa? Solución. Puesto que la partícula permanece en el mismo plano horizontal durante su movimiento, la fuerza magnética en ella debe equilibrar su peso. Puesto que el movimiento es perpendicular a la dirección de la inducción magnética, se deduce que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=−

→→→

Bvqgm , y así qvBmg = y

gqvBm = .

Reemplazando valores: ( )( )( )

8,9109,410106,1 5419 −− ××

=m

= 8,0 x 10-21 kg. Ejemplo 13. Un haz de electrones acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, se introduce en una región donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel y hacia el lector de intensidad 1,46 10-4 T. La anchura de la región es de 2,5 cm. Si no hubiese campo magnético los electrones seguirían un camino rectilíneo.

a) ¿Qué camino seguirán cuando se establece el campo magnético? b) ¿Cuánto se desviarán verticalmente al salir de la región? Razónese las respuestas Datos: masa del electrón 9.1 10-31 kg, carga 1,6 10-19 C. Solución. a)

El haz de electrones acelerado por una diferencia de potencial de 300 V adquiere una velocidad que se obtiene por:

22

21

21. if mvmvVq −= ⇒

23119 101,921300)106,1( v−− ×=× ⇒

sm1003,1 7×=v

Cuando se establece el campo magnético: →→→

×= BvqF B , º90senqVBFB = Por la segunda ley de Newton:

Bc Fma = ⇒ qVBr

vm =2

⇒

m 4,0==qBmvr

→→→

×= BvqF B , º90senqvBFB = Por la segunda ley de Newton: Bn Fma = ,

qvBr

vm =2

⇒ m 4,0==qBmvr

b) Al salir de la región deja de actuar el campo magnético y el haz de electrones continúa con su última dirección.


10

r025,0sen =θ ,

θcosrrd −= = 7,82 x 10-4m. Ejemplo 14. En un tipo de espectrómetro las partículas cargadas pasan a través de un selector de velocidades antes de ingresar al campo magnético. En otras las partículas pasan a través de un campo eléctrico fuerte antes de ingresar al campo magnético. Compare el cociente de los radios de iones simples de litio cargados de masas 6 amu y 7 amu en los dos casos. Solución. En el campo magnético un ion se mueve en un círculo, la fuerza centrípeta necesaria es proporcionado por la fuerza magnética sobre

él. Así RvmqvB

2

= . Cuando los iones han

pasado a través de un selector de la velocidad, ambos iones del litio tienen la misma velocidad en el campo. Además, tienen la misma carga y la misma densidad magnética del flujo. Luego R6/m6 = R7/m7.

∴ 857,076

7

6

7

6 ===mm

RR

.

Si los iones han pasado a través de un campo eléctrico fuerte, ambos han adquirido la misma energía. Pero, de la ecuación anterior,

tenemos m

rBqmv22

1 2222 = .

∴ 7

27

6

26

mr

mr

= o 926,07

6

7

6 ==mm

rr

.

Ejemplo 15. Cierto tipo de selector de velocidades consiste en un par de las placas paralelas entre las cuales se establece un campo eléctrico E. Un haz de partículas de la masa m, carga q, y velocidad v es dirigido paralelamente a las placas en la región entre ellas. Se aplica un campo magnético B perpendicular a E y a v. en la figura B se dirige hacia el papel, según lo indicado. Determine una expresión para la velocidad de

las partículas que no son deflectectadas por este dispositivo.

Solución. La fuerza magnética qvB balancea la fuerza del campo eléctrico qE, tal que:

qEqvB = y EBv = .

Ejemplo 16. Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en una región donde hay un campo eléctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se les aplica una diferencia de potencial de 100 V. a) Calcular el punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas. b) Ahora, aplicamos hay un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético para que el electrón no se desvíe. c) Se suprime el campo eléctrico, determinar el radio de la órbita del electrón. Dibujar su trayectoria. ¿Chocará contra las placas? Razónese todas las respuestas haciendo los esquemas correspondientes.

Datos: carga del electrón 1,6x10-19 C, masa 9,1x10-31 kg. Solución. a) Para calcular la velocidad del electrón. Por conservación de la energía

21

22 2

121 mvmvVq −=Δ , V 300=ΔV ,

02 vv = ,

01 =v ( ) 20

3119 101,921300106,1 v−− ×=×


11

⇒ smv 7

0 10027,1 ×=

La fuerza debido al campo eléctrico constante

qEFE = , dVE 'Δ

= = CN2500

04,0100

=

El movimiento del electrón en presencia del campo magnético es parabólico tal como el que se muestra en la figura siguiente:

Este movimiento esta dado por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×=×

==

=

−

→

229

31 sm1075,2

101,92500

0

mFa

aa E

y

x

⎩⎨⎧

==→

tavvv

vyy

x 0 y ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=→

2

0

21

tay

tvxr

y

Para m 4,0=x ⇒ m 033,0=y , impacta antes de salir El punto de impacto es cuando m 02,0=y ⇒ m 098,0=x b) Para que el electrón no se desvíe.

→→→

×= BvqF B , BF→

es de signo contrario a →→

×Bv , ya que la carga es negativa. Luego →

B debe de ser perpendicular al plano del papel y hacia adentro.

BE FF = , º90senqvBqE =

⇒ T 1043,2 4−×==vEB

c) Cuando se suprime el campo eléctrico.

Por la segunda ley de Newton

NB maF =

rvmqvBqE

2

º90sen ==

⇒ m 24,0==qBmvr

Punto de impacto: θcos24,024,002,0 −= ⇒ 24,0cos24,002,0 =+ θ ⇒ º6,23=θ

θsen24,0=x ⇒ m 096,0=x Ejemplo 17. Se tiene un campo magnético uniforme tal como se muestra en la figura, una partícula de masa m y carga q ingresa perpendicularmente con velocidad v. ¿Cuál es la trayectoria cuando abandona el campo magnético?

Solución. Al ingresar la partícula en el campo magnético esta toma una trayectoria circular cuyo radio es

qBmvR =

Si el valor de R es menor que L las partícula sale en sentido contrario al que ingreso tal como se nuestra en la figura a continuación.

Si el valor de R es mayor que L


12

el radio sigue siendo qBmvR =

la ecuación de la trayectoria de la partícula es ( ) 222 RRyx =−+

El punto de salida es cuando x = L y corresponde a

( ) 222 RRyL =−+ ⇒

( ) 2122 LRRy −=− ⇒

( ) 2122 LRRy −+=

La salida es en Lx = , ( ) 2122 LRRy −+= La inclinación está dada por el ángulo θ . Derivando con respecto a x la ecuación de la trayectoria:

( ) 022 =−+dxdyRyx ⇒

xyx

dxdy

−−=

Esta pendiente corresponde a θtan

xyx

dxdy

−−==θtan

En el punto salida

( ) 2122tan

LRL−

−=θ

Ejemplo 18. ¿Un protón (masa 1,67 x 10-27 kg) se mueve a lo largo de un arco de radio 32 cm cuando se mueve perpendicular a un campo magnético de 1,4 T. ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón y la cantidad de movimiento del protón? Solución. La cantidad de movimiento: mv = qBr = (1,6 x 10-19C)(1,4T)(0,32m) = 7,17 x 1020kg.m/s La frecuencia:

( )( )( )27

19

1067,124,1106,1

21

−

−

××

==ππ m

qBfc = 21 MHz

Ejemplo 19. Un espectrómetro de masas es un instrumento usado para separar los iones de masas ligeramente diferentes. Éstos son a menudo isótopos de un elemento, ellos tienen

características químicas muy similares. La construcción de un espectrómetro de masas se muestra en la figura. Los iones de carga + q y masa m se aceleran con una diferencia potencial V0. Los iones luego se mueven en un campo magnético perpendicular B, donde forman una trayectoria semicircular. Se detectan a una distancia d = 2r de la puerta de la entrada. Determine la masa del ion en términos de los parámetros conocidos.

Solución.

02

21 qVmv = y

rmvqvB

2

=

Resolviendo:

2

0

2

2B

Vqrm =

B puede ser variado para hacer que diversas masas lleguen al detector. Solamente la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético es cambiada por la fuerza magnética. Por lo tanto, una partícula que se mueve en ángulo con excepción de 90° al campo magnético se moverá en una trayectoria helicoidal. Ejemplo 20. Sea la región del espacio

0≥x , en la cual existe un campo magnético

uniforme kBB ˆ0=

→

. Desde una posición 0<x se dispara una partícula de carga

positiva q con una velocidad

jvivv yx ˆˆ 00 +=→

. a) Calcule el vector Fuerza Magnética que actúa sobre la partícula en el punto de ingreso a la región de campo magnético. b) Para el caso que las componentes iniciales

xv0 , y yv0 , sean iguales y positivas. Trace (esquemáticamente) la trayectoria de la partícula en la región de campo magnético. ¿Cuál es el vector velocidad de la partícula al salir de la región de campo magnético? Solución.


13

a) ( )jvivkqBBvqF yxˆˆˆ

000 +×=×=→→→

=

( )ivjvqB yxˆˆ

000 − b) Al ingresar la carga en la región del campo magnético tiene una trayectoria circular sobre el plano xy, el radio está dado por

qBvv

R yx20

20 +

=

El gráfico muestra el caso en que xv0 = yv0

Se puede observar que a en la salida del campo el vector velocidad continuará con el sentido que tenía en ese instante (tangente a la trayectoria).

jvivv yxˆˆ

00salida +−=→

Ejemplo 21. Un selector de velocidades se puede construir usando el principio siguiente: Los iones de carga q y masa m mueven hacia arriba comenzando en el origen con la velocidad 0v a un ángulo θ con el eje de z. Un campo magnético B se establece a lo largo del eje de z. Determine el primer punto donde los iones regresan al eje de z. Solución. Los iones se mueven en una trayectoria helicoidal y volverán al eje de z después de un período de la frecuencia del ciclotrón. Durante este tiempo viajarán una distancia

Tvz θcos0= a lo largo del eje z.

TmqBfc

121

==π

y qB

mvz

θπ cos 2 0=

Ejemplo 22. En una emulsión fotográfica el trazo de un protón que se mueve perpendicular a un campo magnético de 0,60 T se observa que es una circunferencia de radio 1,2 cm. ¿Cuál es la energía cinética del protón en electronvoltios?

Solución.

qBmvr = ,

mBermvK

2222

21

21

==

= ( ) ( ) ( )

( )27

22192

1067,160,0106,1012,0

21

−

−

××

= eVJ101,6J 1097,3

19-

16

×× −

= 2480 eV

Ejemplo 23. Un electrón se mueve con una de velocidad 3,2 x 105 m/s en la dirección positiva de x en presencia de un campo

magnético kjiB ˆ2,0ˆ3,0ˆ1,0 −+=→

(en teslas). ¿Qué fuerza experimenta el electrón? Solución.

→→→

×= BvqF = ( )( ) ( )[ ]kjii ˆ2,0ˆ3,0ˆ1,0ˆ102106,1 519 −+×××− −

= jk ˆ1064,0ˆ1096,0 1414 −− ×−× El módulo de la fuerza

N 101,1 1422 −×=+= yx FFF

Ejemplo 24. Un ión de litio cargado tiene una masa de 1,16 x 10-26 kg. Se acelera con un voltaje de 600 V y después entra en un campo magnético perpendicular a su velocidad de 0,60 T . ¿Cuál es el radio de la trayectoria del ion en el campo magnético?

Solución. 2

21 mvqV = ,

qmV

BqBmvr 21

==

= ( )( )

19

26

106,16001016,12

60,01

−

−

××

= 0,016 m

Ejemplo 25. Iones positivos, con carga simple se aceleran a través de una diferencia potencial y entran en un campo magnético uniforme normal a su línea de movimiento. ¿Si una diferencia potencial de 1000 voltios trae Li6 al detector, qué diferencia potencial haría que los iones Li7 atraviesen la misma trayectoria? Solución. En el campo magnético la fuerza que actúa en los iones provee la fuerza centrípeta necesaria


14

para mantenerlos en una circunferencia. Por

lo tanto qvBR

mv=

2

.

∴ m

qRBv = o m

BRqmv22

1 2222 =

Pero esta energía cinética es adquirida pasando a través de una diferencia de potencial V.

∴ m

BRqmvqV22

1 2222 = o

mBqRV

2

22

=

Para ambos iones, q, R, y B son iguales. Por

lo tanto 1

1 mkV = y

22 m

kV = ,

∴ 2

1

1

2

mm

VV

= ⇒

( )100076

12

12 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== V

mm

V = 857 V.

Ejemplo 26. La figura siguiente representa el dispositivo diseñado por Bainbridge para medir exactamente masas de isótopos. S es la fuente de iones cargados positivamente del elemento investigado. Todos los iones tienen la misma carga e pero tienen una gama de velocidades. A través de la región un campo

magnético uniforme →

B dirigida ingresando perpendicularmente a la página. Además, un

campo eléctrico →

E , dirigido paralelo al plano de la página, se instala entre los electrodos P y N. a) Demuestre que solamente los iones que velocidad y iguala E/B emergerán en C. b) Demuestre que la masa m de un ion es proporcional al radio R de su trayectoria semicircular.

Solución. a) De acuerdo a la figura anterior los iones que viajan de S a C está sujetos a una fuerza

eléctrica →→

= EqF e y una fuerza magnética →→→

×= BvqF m . Aquí →

E se dirige hacia la

derecha (de P a N) y →→

× Bv señala en la dirección opuesta y tiene una magnitud vB . Estas fuerzas se cancelan cuando qvBqE =

y BEv = .

b) De evBR

mv=

2

⇒ RE

eBRv

eBm2

==

Ejemplo 27. Espectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliza para medir masas de iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este tipo, se aceleran iones de masa m y carga q a través de una diferencia de potencial ΔV, los cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y son desviados en una trayectoria circular de radio R. Un detector mide el punto donde los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil calcular R. a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de B, ΔV, R y q. b) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para que los átomos de 12C monoionizados tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0,150 T? c) Suponga que el haz se compone de una mezcla de iones 12C y 14C. Si ΔV y B tienen los mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir los dos iones?

Solución. a) Durante la aceleración de los iones:


15

La variación de energía cinética del ión es igual a la energía potencial adquirida:

mVqvmvqV Δ

=⇒=2

21 2 (1)

Al incidir el ión perpendicularmente al campo

magnético →

B , describirá una órbita circular de radio R, definido por

qBmvR = (2)

Reemplazando (1) en (2):

mVq

qBmR Δ

=2

De aquí obtenemos m.

VRqBm

Δ=

2

22

b) La diferencia de potencial está dada por

mRqBV

2

22

=Δ

Masa del 12 C m12 = (12)(1,66 x 10-27) = 19,92 x 10-27 kg R = 0,50 m B = 0,150 T q = 1,6 x 10-19 C Reemplazando valores

( )( ) ( )( )27

2219

1092,19250,0150,01060,1

−

−

××

=ΔV

V1026,2 4×= c) Los iones son separados por las diferencias entre los diámetros de sus trayectorias.

2

222qBVmRD ==

1214 DDD −=Δ

Diámetro de 12C

212

1222qBVmD =

m12 = 19,92 x 10-27 kg

( )( )( )( )219

274

12 150,0106,11092,191028,222

−

−

×××

=D

= 1,0046 m Diámetro de 14C

214

1422qBVmD =

m14 = = (14)(1,66 x 10-27) = 23,24 x 10-27 kg

( )( )( )( )219

274

14 150,0106,11024,231028,222

−

−

×××

=D

= 1,0851 m Luego ΔD = 1,0851 - 1,0046 = 0,0805 m La separación es 8,05 cm Fácilmente distinguible. Ejemplo 28. En un horno a altas temperaturas una muestra de sodio es calentada al punto de evaporarse, el gas de sodio resultante está formado por átomos que perdieron un electrón (carga del electrón, - e).

a) ¿Cuál debe ser la relación entre los

módulos de →

E y →

B en la región I, de manera que sólo los átomos con velocidad exactamente igual a v0 sigan sin desviarse? Suponga que la masa de los átomos es m0 b) Si queremos que los átomos se detengan exactamente cuando lleguen a la placa cargada con σ , ¿cuál es el espesor de la región II? c) Considerando que el campo magnético de

la tierra →

HB , está también presente en ambas regiones, en la misma dirección en la que se mueven las partículas cargadas. ¿Influirá en la trayectoria de los átomos cargados? ¿Cómo? Solución.

a) qEBqv =0 ⇒ 0vBE=

b) Levm Δ=0

200 22

1εσ

⇒ evm

L 0200 ε

=Δ


16

c) No, porque el campo magnético de la

tierra →

HB , está en la misma dirección en la que se mueven las partículas cargadas Ejemplo 29. .El elemento estaño se analiza en un espectrómetro de Bainbridge. Están presentes los isótopos de masas 116, 117, 118, 119, y 120 u. Los campos eléctricos y magnéticos E = 20 kV/m y B = 0,25 T. ¿Cuál es el espaciamiento entre las marcas producidas en la placa fotográfica por lo iones de estaño 116 y los iones de estaño -120? Solución. Del problema anterior, la distancia x del punto C a la imagen de un isótopo se da por

meB

ERx 2

22 == por lo tanto,

meB

Ex Δ=Δ 2

2 =

( )( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

×× −

− ukg1066,1u4

106,1100,22 27

19

4

= 2,66 x 10-2mm. Ejemplo 30. Una partícula con la carga q y masa m orbita alrededor perpendicular a un

campo magnético uniforme →

B . Demostrar que su frecuencia del movimiento orbital es

mBQ

2π Hz. El hecho de que la frecuencia es

independiente de la velocidad de la partícula es importante en los aceleradores de la partícula llamados ciclotrones; esta frecuencia se llama la frecuencia del ciclotrón Solución.

El periodo esv

r 2π, tal que

rvf 2π

= .

Usandor

mvqvB2

= , tenemos m

qBf2π

= .

Ejemplo 31. Describa un ciclotrón y su operación.

Solución. Un ciclotrón es un dispositivo para acelerar partículas nucleares. El corazón del aparato consiste en una caja metálica partida fortín. La figura muestra las vistas lateral y superior de las mitades llamadas Des. Una diferencia potencial oscilante se aplica entre las Des. Esto produce un campo eléctrico oscilante en el espacio entre el Des, la región dentro de cada D que esencialmente está libre de campo eléctrico. Las Des se encierran en un envase evacuado, y la unidad entera se pone en un

campo magnético uniforme →

B con dirección normal al plano de las Des. Una partícula cargada de la masa m y carga q en el espacio entre las Des es acelerada por el campo eléctrico hacia uno de ellos. Dentro de las Des, se mueve con velocidad constante en un semicírculo. Del problema anterior el período del movimiento circular uniforme es

qBm

fT 21 π

== . Para la mitad de un círculo

qBmTt

2π

== y es independiente de la

velocidad. Si el medio período del campo eléctrico oscilante es igual a este tiempo, la partícula cargada será acelerada otra vez cuando cruce el espacio entre las Des nuevamente, debido a la dirección inversa del campo eléctrico. Así ganará energía. Esto hace que el semicírculo siguiente tenga un radio más grande, según como se muestra en la figura. El aumento de energía se puede repetir muchas veces. Ejemplo 32. Un ciclotrón tiene una frecuencia del oscilador de 11,4 MHz y un radio de 60 cm.


17

a) ¿Qué intensidad de campo magnético se requiere para acelerar los protones de la masa 1,67 x 10-27 kg y carga 1,6 x 10-19 C, b) ¿Cuál es la energía final que adquieren? c) ¿Qué error se comete si se asume que la masa de los protones sigue siendo constante? Solución. a) La frecuencia angular de los protones en el

ciclotrón es, mBq

=ω o m

Bqfπ2

= .

∴ ( )( )

19

276

106,11067,1104,112 2

−

−

×××

==ππ

qfmB

= 0,748Wb/m2. b) La energía final de los protones es

( ) ( ) ( )( )27

222192222

1067,126,0748,0106,1

221

−

−

××

==m

RBqmv

= 0,154 x 10-11 J =

J/MeV101,6J10154,0

13-

11

×× −

= 9,64 MeV. c) Desde E = mc2, esta energía es equivalente a un incremento de masa

/sm109J10154,0

216

11

××

=Δ−

m = 0,017 x 10-27 kg.

Luego el error es

10067,1017,0100 ×=×

Δmm

=1,02%.

Ejemplo 33. Un ciclotrón está acelerando los deuterones los cuales son núcleos de hidrógeno pesado que llevan una carga + e y tienen una masa de 3,3 X 10-27 kg. a) ¿Cuál es la frecuencia requerida del campo eléctrico oscilante si B = 1,5 T. b) Si los deuterones deben adquirir el 15 meV de energía cinética y la diferencia de potencial a través de la separación es 50 kV, cuántas veces el deuterón experimenta la aceleración? Solución. a) El período de la oscilación del campo eléctrico debe igualar al período orbital, así que la frecuencia requerida de la oscilación es

0 21

mqB

Tf

π== =

( )( )( )27

19

103,325,1106,1

−

−

××

π = 11,6

MHz. b) El deuterón al cruzar la separación, gana 50 keV = 5 x 104eV. Para ganar un total de 15 meV = 15 x 106 eV, el deuterón debe

experimentar (15 x 106)/(5 x 104) = 300 travesías de la separación. Ejemplo 34. Un ciclotrón se ha ajustado para acelerar deuterones. Debe ahora ser ajustado para acelerar, que tienen casi exactamente la mitad de la masa del deuterón. a) ¿Qué cambio debe ser realizado si no hay cambio en la frecuencia, de la diferencia potencial oscilante aplicada entre el Des? b) ¿Qué cambio debe ser realizado si cambio en campo magnético normal aplicado a las Des? Solución. a) La frecuencia angular del ciclotrón es

mqB

=ω , así tenemos:

qmB ω

=

Desde el protón y el deuterón tienen la misma

carga dp qq = y dp mm21

= , el campo

magnético debe ser disminuido a la mitad.

b) Referente a la ecuación q

mB ω= . Si B

debe permanecer invariable, la frecuencia de la oscilación del campo debe ser duplicada. Ejemplo 35. ¿Cómo cada uno de los cambios en el problema anterior altera la energía máxima que los protones pueden adquirir? Solución. Si se asume que la mecánica no relativista es aplicable a través del movimiento, la energía cinética máxima

2maxmax 2

1 mvK = y R

mvBqv mnax

nax = , donde

R es el radio R del dispositivo. (la cantidad R es un límite superior para el radio orbital de una partícula acelerada). Resolviendo para

maxK , encontramos que m

RBqK222

max 21

= .

a) La energía cinética máxima se parte en dos:

( ) ( ) ( )dKdKpK maxmax

2

max 21

2121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

(b) La energía cinética máxima se duplica:


18

( ) ( ) ( )dKdKpK maxmaxmax 2

211

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Ejemplo 36. .En un experimento de resonancia de ciclotrón, el campo magnético se dirige hacia arriba. Los resultados indican que las partículas cargadas están circulando a la izquierda según la vista de arriba. ¿Cuál es el signo de la carga en las partículas? Solución. Negativo (la fuerza debe estar dirigida al centro del círculo). FUERZA SOBRE UN ALAMBRE CON CORRIENTE. Cuando las cargas eléctricas se mueven en un conductor que esté en un campo magnético, existe una fuerza sobre el conductor que es la suma de las fuerzas magnéticas sobre las partículas cargadas en movimiento.

La figura muestra un conductor de sección A por el que pasa una corriente I y se encuentra

en un campo magnético →

B , producido por fuentes magnéticas diferentes. Tomemos un elemento infinitesimal ld del alambre, consideremos que el flujo de corriente se debe a N portadores de carga por unidad de volumen, cada uno de los cuales se desplaza con velocidad dv en la dirección de la corriente, por consiguiente la carga total que participa es lqNAdQ =Δ siendo q la carga de cada portador.

La fuerza →

Fd sobre el elemento ld podemos expresarla como

( )→→→

×Δ= BvQFd d = →→

× BvqNA d En esta expresión podemos hacer un

intercambio entre ld y dv→

donde el sentido vectorial sin alterar la expresión o sea usar en

cambio →

ld y dv (→

ld con el sentido de I). →→→

×= BdqNAvFd d l

La corriente es dqNAvI = , por consiguiente →→→

×= BdIFd l Que es la expresión para calcular la fuerza magnética sobre un alambre con corriente. Para una longitud dada L, la fuerza es:

∫→→→

×=L

BdIF l

Ejemplo 37. ¿Cuál es la fuerza sobre el alambre mostrado en la figura siguiente?

Solución.

La figura consta de dos partes, la parte recta y la parte curva. La fuerza sobre la parte recta es

→→→

×= ∫ BdIFL

01 l

Donde idxd ˆ=→

l , kBB ˆ−=→

( ) ( )kBidxIFL ˆˆ

01 −×= ∫

→

= ∫L

jBdxI0

ˆ = jIBLˆ

La fuerza sobre la parte curva es →→→

×= ∫ BdIFπ

02 l

Donde ( )jiRdd ˆ cosˆ sen φφφ −=→

l ,

kBB ˆ−=→

.

( ) ( )∫ −×−=→ π

φφφ0

2 ˆˆ cosˆ sen kBjiRdIF =

( ) φφφπ

dijIRB∫ +0

ˆ cosˆ sen = ( ) jIRB ˆ2 =

jIRBˆ2 La fuerza total es

21

→→→

+= FFF = ( ) jRLIB ˆ2+ Ejemplo 38. Balanza magnética. El circuito que se muestra en la figura sirve para construir una balanza magnética para pesar


19

objetos. La masa m, que se van medir, se cuelga del centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un material sumamente ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos incapaces de soportar una tensión apreciable; todo el peso de la masa suspendida m está sostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia R = 5,00 Ω en serie con la barra, la resistencia del resto del circuito es mucho menor que ésta. a) ¿Cuál punto a o b, debe ser el borne positivo de la batería? b) Si el voltaje máximo de bornes de la batería es de 175 V, ¿cuál es la mayor masa que puede medir el instrumento?

Solución. a) La fuerza magnética de la barra debe ser hacia arriba de tal manera la corriente a través de ella debe ser hacia la derecha. Por lo tanto, a debe ser el terminal positivo. b) Para el equilibrio, mgF =B

( ) jILBkBiILBLIF B ˆˆˆ =−×=×=→→→

iLL ˆ=→

, kBB ˆ−=→

0ˆ =−→

jmgF B 0ˆˆ =− jmgjILB

⇒ g

ILBmg

Tenemos B = 1,50 T, L = 0,60 m

00,5175

==R

I ε = 35,0 A

Luego

9,80)(1,50)00(35,0)(0,6

=m = 3,21 kg.

Ejemplo 39. Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano xy tal como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético paralelo al eje z, que varía a lo largo del eje x de la forma B = 0,1 x T (donde x se expresa en metros). a) Calcular el flujo del campo magnético que atraviesa la espira. b) La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de los lados de la espira.

Solución. a)

∫∫ =⋅=Φ→

º0cosˆ BdSdSnB =

( )( )1,0

0

21,0

0 201,01,01,0 xdxx =∫ = 5 x 10-5Wb

b)


20

Lado AB: 0=B ⇒ 0=F Lado CD: ( ) T 01,01,01,01 ==B

⇒ ( )( )( ) N 01,0º90sen01,01,0101 ==F , en el sentido negativo de x

iF ˆ01,01 −=→

Para los lados BC y AD las fuerzas son iguales y de sentidos opuestos, como B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento dx y luego por integración la fuerza total sobre el lado.

Para el lado BC: ( )( )( ) º90sen1,010 xdxdF = = xdx

N 1052

31,0

0

21,0

02−×=== ∫

xxdxF , fuerza

aplicada en el extremo C del lado BC.

jF ˆ105 32

−→

×−= Para el lado AD: Es igual a 2F , pero de sentido opuesto, aplicada en el extremo D de AD.

jF ˆ105 33

−→

×= Ejemplo 40. Un príncipe científico ha encontrado un método de enviar mensajes secretos a una princesa hermosa que ese encuentra prisionera de un ogro travieso en el piso superior de su castillo a 15 m del suelo. El príncipe coloca dos barras ligeras del metal (demasiado ligeras para ser usadas para subir) contra el travesaño de la ventana, y entre las barras él monta un alambre 10 cm de largo, en el cual pone el mensaje y un imán, de tal manera que el alambre está permanentemente en un campo magnético de fuerza 0,049 Wb/m2, perpendicularmente al plano de las

barras. Cuando él pasa una corriente de 10 A por una barra, a través del alambre que conecta y vuelve por la otra barra, el mensaje, el alambre y el imán viajan con velocidad uniforme hacia arriba de las barras. El conjunto móvil tiene una masa de 0,25 kg. Despreciando la fricción, calcule cual debe ser la longitud de las barras. Solución.

Del primer diagrama, vemos que el campo magnético debe ser perpendicular al plano de las barras y debe actuar hacia abajo. La magnitud de la fuerza experimentada por el alambre y los accesorios es

BIF l= = ( )( )( )049,0101,0 = 0,049 N

Del segundo diagrama, vemos en que las fuerzas que actúan sobre el alambre y los accesorios son tres: el peso que actúa verticalmente hacia abajo, la fuerza F, y N, la reacción normal. Puesto que el conjunto se mueve con velocidad uniforme,

θcosmgN = y θsenmgF = .

∴ ( )( )8,925,0049,0sen =θ = 0,02

Del diagrama, 02,0=Lh

Luego 02,0

1502,0

==hL = 750 m

Llevar tales barras sería absolutamente una hazaña. ¡El Príncipe mejor haría en recurrir a los servicios de una buena bruja! Ejemplo 41. Un alambre que está a lo largo del eje de x lleva 2,0 A. La corriente fluye en


21

la dirección positiva de x. Un campo magnético de 1,2 T paralelo al plano xy y que forma un ángulo de 30° con el eje de x (apuntando al primer cuadrante). ¿Cuál es la fuerza sobre un segmento de alambre de 0,40 m de longitud?

Solución.

kBILF ˆ sen θ= = (1,2 T)(2 A)(0,40 m) sen 30º k = 0,48 k N Ejemplo 41. Cañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masa m y longitud L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo magnético vertical uniforme y constante B llena la región comprendida entre los rieles. a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la resistencia eléctrica. b) Si la barra tiene una masa m, halle la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de una posición de reposo para alcanzar una rapidez v. c) Se ha sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían acelerar cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2 km/s). Sean B = 0,50T, I = 2.0 x l03 A, m = 25 kg y L = 50cm.

Solución.

a) →→→

×= BLIF

iLL ˆ−=→

, kBB ˆ=→

( ) jILBkBiLIF ˆˆˆ =×−=→

b) advv 22

02 +=

Siendo v0 = 0 ⇒ adv 22 = ⇒

ILBmv

avd

22

22

== .

c) Con v = 1,12 x 104 m/s, m = 25 kg, I = 2.0 x l03 A, L = 50 cm, B = 0,50T, obtenemos:

(0,50)(0,50)2(2000)(25))10(1,12 24×

=d

=3,14 x 106 m La distancia que debe recorrer son 3140 km Ejemplo 42. Un riel electromagnético para lanzar puede ser construido como sigue: Una barra conductora de masa m sobre dos carriles conductores horizontales paralelos separados una distancia L. Una fuente de poder hace circular una corriente I por los rieles y la barra A de la distancia para atravesar los carriles y la barra. Se mantiene un campo magnético vertical uniforme B. ¿Si la barra está inicialmente en reposo, cuál será la velocidad después de que haya movido una distancia x? Se ha sugerido que este dispositivo se podría utilizar para proyectar cargas útiles en órbita alrededor de la tierra, o transportar el mineral de la superficie de la luna a una fábrica en el espacio, o inducir reacciones de fusión nuclear con choques de alta velocidad. Solución.

xmFaxvv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= 2022

02 ⇒

mFxv 2

=

Como BILF = :

mBILxv 2

=

Ejemplo 34. Un alambre recto que está a lo largo del eje de x y que lleva una corriente de 2,0 A en la dirección positiva de x. Un campo


22

magnético uniforme de 0,08 T en el plano xy hace un ángulo de 60° con el alambre. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética en un segmento del 1,5 m del alambre. Solución.

θsenBILF = = ( )( )( )sen60º5,1208,0 = 0,21 N en la dirección positiva de z. Ejemplo 43. Un alambre que está en una superficie horizontal en el plano xy lleva 1,5 A. Un extremo del alambre está en el origen y el otro está en (3 m, 4 m). El alambre sigue una trayectoria errática a partir de un extremo al otro. Un campo magnético de 0,15 T dirigido verticalmente hacia abajo está presente. ¿Que fuerza magnética actúa en el alambre? Solución. Divida la trayectoria en pasos pequeños dx hacia la derecha y dy hacia arriba. La fuerza en cada segmento es

( )iBIdyjBIdxFd ˆˆ −+=→

. La fuerza total luego es:

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫ ∫

→ 3

0

4

0ˆˆA5,1T15,0 dyidxjF =

( )ij ˆ4ˆ3225,0 − La magnitud de la fuerza es

( ) ( )22 43225,0 −+=F = 1,13 N Observe que no importa la trayectoria exacta del alambre, desde que el alambre zigzaguea hacia adelante y hacia atrás, las fuerzas se cancelan en las partes que retroceden. La fuerza total es justamente la qué resultaría si el alambre fuera en línea recta de (0, 0) a (3, 4). Ejemplo 44. Un lazo circular de alambre de radio R lleva una corriente I. Un campo magnético uniforme B actúa perpendicularmente al plano del lazo. ¿Cuál es la tensión en el alambre? Solución. La fuerza en la mitad superior del lazo es equilibrada por la fuerza de la tensión en cada extremo del semicírculo. Usando la regla derecha, se ve que la fuerza magnética está dirigida radialmente hacia fuera. Por simetría la fuerza resultante en el lazo está dirigida en la dirección z, donde θcosFFz = .

∫=π

θ0

coslBIdFz , donde θRdd =l

( ) 2/0

2/

0sen2cos2 ππ

θθθ BIRdBIRFz == ∫

= TBIR 22 = De aquí BIRT = Ejemplo 45. En un altoparlante un imán permanente crea un campo magnético de 0,12 T dirigido radialmente hacia fuera del eje de z. La bobina del altoparlante tiene 60 vueltas y un radio de 0,013 m y se coloca en el plano xy. ¿Qué fuerza actúa en la bobina cuando lleva una corriente de 1,5 A? Solución.

θsenNBILF = = ( )( )( )( )( ) θπ sen013,025,112,060 = 0,88 N Ejemplo 46. Un alambre con masa por unidad de longitud 0,04 kg/m lleva 3 A horizontalmente al este. ¿Qué campo magnético mínimo se requiere para equilibrar este alambre contra la fuerza de la gravedad? Solución.

mgBILF == θsen , Lm λ= ,

ILLqB λ

= = ( )( )

38,904,0

= 1,13 T

Ejemplo 47. Un lazo cuadrado de lado L y de n vueltas lleva una corriente I. Un lado del cuadrado está a lo largo del eje de z, y la corriente fluye hacia abajo en este lado. El resto del lazo está en el cuadrante xy positivo, y el plano del lazo hace un ángulo

90°<φ con el eje x. Un campo magnético B se dirige a lo largo del eje positivo de x. ¿Qué torque experimenta el lazo? ¿Cuándo es visto de arriba, en qué dirección el lazo tenderá para rotar? Solución.

2nILnIAm == φθτ cossen 2 BnILmB ==

ya que º90=+φθ


23

El lazo rotará en el sentido antihorario. Ejemplo 48. Un alambre de longitud L en forma de un lazo rectangular. ¿Lleva una corriente I. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para maximizar el torque en él cuando es colocado en un campo magnético? Solución.

θτ senmB= , τ es máximo cuando IAm = es un máximo, es decir, cuando A es un máximo. Sea x = longitud de un lado

Luego ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xLxA

2,

xxLdxdA

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

20 ⇒

4Lx =

Un lazo cuadrado da el torque máximo. (Un lazo circular da aún más torque para una longitud dada de alambre.) Ejemplo 49. Un alambre aislado de masa m = 5,40 x l0-5 kg está doblado en forma de U invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15,0 cm. Los extremos doblados del alambre están parcialmente inmersos en dos depósitos de mercurio, con 2,5 cm de cada extremo abajo de la superficie del mercurio. La estructura entera se halla en una región que contiene un campo magnético uniforme de 0,00650 T dirigido hacia la parte interna de la página. Se establece una conexión eléctrica entre los depósitos de mercurio a través de los extremos del alambre. Los depósitos de mercurio están conectados a una batería de 1,50 V y a un interruptor S. Cuando se cierra el interruptor S, el alambre salta 35,0 cm en el aire, medidos respecto a su posición original. a) Determine la rapidez v0 del alambre en el momento en que sale del mercurio. b) Suponiendo que la corriente I a través del alambre fue constante desde el momento en que se cerró el interruptor hasta que el alambre salió del mercurio, halle I. c) Sin tener en cuenta la resistencia del mercurio y de los alambres del circuito, determine la resistencia del alambre móvil

Solución. a) En el momento que sale el alambre ya ha recorrido la distancia de 2,5 cm, espacio en que esta dentro del mercurio y circula la corriente I produciendo una fuerza f hacia arriba. Durante ese espacio se acelera hasta llega ala velocidad vo, velocidad inicial del movimiento hacia arriba.

Se produce un movimiento hacia arriba con velocidad v0, bajo la acción de aceleración de la gravedad. El alambre sube la altura

m0,3250,025350,0 =−=h Aplicamos

ghvv 220

2 −= Siendo v = 0, tenemos:

ghv 20 20 −= ⇒ ghv 20 =

Reemplazando valores )325,0)(8,9(20 =v = 2,52 m/s

La rapidez v0 del alambre en el momento en que sale del mercurio es 2,52 m/s. b) En el instante en que se cierra la llave S comienza a circular la corriente I por el alambre. El alambre con corriente I en presencia del campo magnético B produce una fuerza F sobre él.

( ) jILBkBiIF ˆˆˆ =−×=→

l La fuerza F es hacia Arriba. Esta fuerza actúa mientras circula la corriente I , esto es cuando el alambre sumergido en el mercurio (Δy = 0,025 m).


24

En una distancia de 0,025 m la velocidad del alambre se incrementa de cero a v0 =2,52 m/s.

2(0,025))(2,52

2

220 =Δ

=y

va = 127 m/s2.

El alambre tiene aceleración a mientras circula la corriente I.

Aplicando la segunda ley de Newton

∑ =−= mamgILBF

⇒ LB

agmI )( +=


(0,00650)(0,15)9,8))(12710(5,40 5 +×

=−

I

=7,58 A c) Aplicando la ley de Ohm

IRV = ⇒

A

VIVR

58,750,1

== = 0,20 Ω.

Ejemplo 50. Suponga que el campo magnético sobre la tierra presenta un ligero cambio en su magnitud en función de la altura h al piso. Así el campo tiene la forma

kahBB ˆ10 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

→

, donde B0 y a son

constantes. Un estudiante decide sorprender a sus compañeros haciendo levitar una espira cuadrada de lado l y que lleva una corriente I0. a) ¿Qué orientación del plano de la espira respecto del campo magnético, hará que la fuerza magnética resultante sea máxima y opuesta a su peso mg? Indique el sentido en la que deberá circular la corriente I0. Nota. Ignore los efectos del torque en la posición hallada. b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente que puede suspender la espira en el aire? Suponga que el lado más cercano al piso de la espira se encuentra a una altura h0.

Solución. a) El plano de la espira debe estar en posición vertical normal al campo magnético. La corriente I0 deberá circular en el sentido antihorario. La fuerza sobre el lado inferior es superior a la del lado superior de tal manera que la resultante es en el sentido positivo y la corriente I0 debe tener tal magnitud para compensar al peso mg de la espira.

b)

Las fuerzas sobre los lados verticales son iguales y de sentidos opuestos. Fuerza sobre el lado inferior

→→→

×= 101 BIF l , con ill =→

y

kahBB ˆ1 0

01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

→

Luego

kiahBIF ˆˆ1 0

001 ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

→

l

jahBI ˆ1 0

00 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= l

Fuerza sobre el lado superior →→→

×= 202 BIF l , con ill −=→

y

ka

hBB ˆ1 002 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

→ l


25

Luego

kia

hBIF ˆˆ1 0002 ×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

→ ll

ja

hBI ˆ1 000 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

ll

La suma de las fuerzas

ja

hBIa

hBIFF ˆ11 000

00021 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

→→ ll

ll

ja

BI ˆ02

0l=

El peso es jmgP ˆ−=→

Para la levitación

0=∑ yF ⇒ 002

0 =− mga

BI l

⇒ 0

20 BmgaIl

=

La magnitud del campo magnético terrestre en la superficie de la Tierra es de alrededor de 0,5 x 10-4 T, la constante a del orden de 1010 m Si la espira tiene un metro de lado, una masa de 0,1 kg, la corriente I0 debe ser del orden de 1014 amperes para sostener 0,1 kg. ¡Imposible por ahora! FUERZA Y TORQUE SOBRE UNA ESPIRA CON CORRIENTE Consideremos una espira rectangu1ar de lados a y b, situada en un campo magnético uniforme tal como se muestra en la figura siguiente.

Sobre los miembros verticales (lados de

longitud b) actúan las fuerzas 1→

F y 2→

F que son iguales y opuestas cuyo efecto es tratar da abrir la espira o cerrarla en caso de invertir la corriente, nosotros consideramos una aspira rígida indeformable de tal manera que no causan efecto alguno.

Sobre los miembros horizontales (lados de

longitud a) actúan las fuerzas 3→

F y 4→

F , tal que IaBFF == 43 . Estas fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en sentido, formando así un par de fuerzas de valor

θθτ sensen3 IaBbbF == con Aab = (área de lo espira) podemos escribir

θτ senIAB= Se puede expresar vectorialmente con la siguiente relación de producto vectorial.

→→→

×= BAIτ

El sentido de →

A se determina por la regla de la mano derecha, como de describe en la figura siguiente.

Al curvar los cuatro dedo de la mano derecha en la dirección de la corriente de la espira. El

pulgar apunta en la dirección de nAA ˆ=→

. De tal manera que

→→

×= BnIA ˆτ .

Si llamamos momento magnético →

m a nIA ˆ .

nIAm ˆ=→

El par viene a estar dado por

→→→

×= Bmτ Esta expresión deducida para una espira rectangular es válida para una espira de forma cualquiera. Ejemplo 51. Una bobina circular de alambre lleva 50 mA de corriente. La bobina tiene 50 vueltas y un área de 2,0 cm2. Un campo magnético de 0,300 T orientado paralelo al plano de la bobina está presente. ¿Qué torque actúa sobre la bobina? Solución. Cincuenta vueltas que llevan 50 mA son equivalentes a una vuelta que lleva (50)(50 mA), tal que


26

θτ sen NIAB= = 50(2 x 10-4)(50 x 10-

3)(0,30)sen 90° = 1,5 x l04 N.m Si uno intenta rotar un dipolo magnético en un campo magnético, un torque θμ senB− debe aplicarse. Así

∫−=−θ

θθθτ

0

sen0 dBUU =

( )0coscos θθ −− mB . Elegimos 0U tal que 0=U cuando º90=θ , luego

→→

⋅−=−= BmBU θμ cos , energía potencial de un dipolo magnético. Ejemplo 52. Un lazo rectangular rígido, que mide 0,30 m por 0,40 m, lleva una corriente de 2,0 A, como se muestra. Un campo magnético externo uniforme de la magnitud 1,2 T en la dirección negativa de x está presente. El segmento CD está en el plano xz y forma un ángulo 25° con el eje de z.

a) ¿Cuál es el valor de la componente y de la fuerza magnética en el segmento AB? b) Un torque externo se aplica al lazo y lo mantiene en equilibrio estático. ¿Cuál es la magnitud del torque externo? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través del lazo debido al campo externo? Solución.

a) →→→

×= BIF l = ( ) ( )iik ˆ2,1ˆº25sen3,0ˆº25cos3,00,2 −×+−

= ( )( ) jj ˆ65,0ˆ91,02,7 +=+ F = + 0,65 N

b) →→→

×= BIF l = ( ) ( )ij ˆ2,1ˆ4,00,2 −×

= k96,0+ Esta fuerza es producida en los dos lados largos produciendo un par de fuerzas o cupla,

para mantener en equilibrio se debe aplicar un torque opuesto a este, cuya magnitud es:

( )( )º25sen3,096,0=τ = ( )( )42,0288,0 = 0,12 N m c) º25cosBA=Φ = ( )( ) º25cos3,04,02,1 × = 0,13 Wb Ejemplo 53. La espira triangular de alambre que se muestra en la figura conduce una corriente I = 5,00 A en el sentido que se indica. La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud B = 3,00 T. orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la espira. a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero, especifique su dirección. b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira? c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo largo del lado PR. Con base en las fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la espira. d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c). ¿Coinciden estos resultados? e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el punto Q hacia el plano de la figura o hacia afuera de este plano?

Solución. a) La fuerza sobre un lado está dada por

→→→

×= BIF l Con

T ˆ00,3 jB =→

, I = 5,00 A Fuerza sobre el lado PQ

m ˆ600,0 j=→

l

( ) 0ˆ00,3ˆ600,000,5 =×=→

jjF PQ


27

Fuerza sobre el lado RP

m 800,0 i−=→

l

( )( ) jiF RP ˆ3,00ˆ800,000,5 ×−=→

N ˆ12,0k−= Fuerza sobre el lado QR

( )m ˆ600,0ˆ800,0 ji −=→

l

( )( ) jjiF QR ˆ3,00ˆ600,0ˆ800,000,5 ×−=→

N ˆ12,0k=

b) 0=++=→→→→

∑ QRRPPQ FFFF La fuerza neta sobre la espira triangular de alambre es cero.

c) →→→

×= Frτ Para calcular el torque sobre un alambre uniforme cabe suponer que la fuerza sobre el alambre se aplica en su centro. Torque debido a la parte PQ

jr ˆ3,0−=→

, 0=→

F

( ) ( ) 00ˆ3,0 =×−=→

jQPτ Torque debido a la parte RP

0=→

r , kF ˆ12−=→

( ) ( ) 0ˆ120 =−×=→

kRPτ Torque debido a la parte QR

jr ˆ3,0=→

, kF ˆ12=→

ikjQR ˆ6,3ˆ12ˆ3,0 =×=→

τ Torque neto

Nm 6,3 iQRRPQP =++=→→→→

ττττ d)

→→→

×= BAIτ .

( )( )kA ˆ8,06,021

−=→

2m ˆ0,24k−=

T ˆ00,3 jB =→

( )( ) jk ˆ00,3ˆ24,000,5 ×−=→

τ Nm ˆ6,3 i= Este resultado concuerda con la parte (c). e) El punto Q será rotado fuera del plano de la figura.

Ejemplo 54. La espira rectangular de alambre que se muestra en la figura tiene una masa de 0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al lado ab sobre un eje sin fricción. La corriente en el alambre es de 8,2 A, en el sentido que se indica. Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético paralelo al eje y que provocará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30,0° con el plano yz.

Solución. Datos.

g10kg

mcm 10

cmg15,0 3

2

××==l

mμ

mkg015,0=

m 06,01 =l , m 08,02 =l

11 lμ=m , 22 lμ=m I = 8,2 A Torque producido por el peso del alambre

( )jgmji ˆˆ23ˆ

21

12 −×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→

lτ

( )jgmji ˆ2ˆ23ˆ

21

2 22 −×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

l

( ) kgmm ˆ21

212 += l (1)

Torque sobre una espira con corriente


28

→→→

×= BAIτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

jiA ˆ21ˆ

23

21ll

→→

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= BjiI ˆ

21ˆ

23

21llτ

Para que el torque sea en el sentido positivo de z.

jBB ˆ=→

jBjiI ˆˆ21ˆ

23

21 ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

llτ

kBI ˆ23

21ll= (2)

Igualando (1) y (2):

( ) kBIkgmm ˆ23ˆ

21

21212 lll =+

( )1

21

3 lIgmmB +

=

IgB

331

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=l

lμ

( )2,833

681105,1 2 gB ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×= −

= 0,0241 T Ejemplo 55. Una bobina circular radio 4 cm y 100 vueltas lleva una corriente de 1,2 A. En presencia de un campo magnético de 0,80 T, orientado perpendicularmente al plano de la bobina. ¿Cuánto trabajo es requerido para dar una vuelta de 180° a la bobina? Solución. ( )°−°−= 0cos180cosBW μ = NAIBB 22 =μ = ( )( )( )( )8,02,104,01002 2π = 0,97 J

( )jgmji ˆˆ23ˆ

21

12 −×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→

lτ

( )jgmji ˆ2ˆ23ˆ

21

2 22 −×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

l

( ) kgmm ˆ21

212 += l (1)

Torque sobre una espira con corriente

→→→

×= BAIτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

jiA ˆ21ˆ

23

21ll

→→

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= BjiI ˆ

21ˆ

23

21llτ

Para que el torque sea en el sentido positivo de z.

jBB ˆ=→

jBjiI ˆˆ21ˆ

23

21 ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

llτ

kBI ˆ23

21ll= (2)

Igualando (1) y (2):

( ) kBIkgmm ˆ23ˆ

21

21212 lll =+

( )1

21

3 lIgmmB +

=

IgB

331

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=l

lμ

( )2,833

681105,1 2 gB ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×= −

= 0,0241 T

T ˆ0,0241 jB =→


29

Ejemplo 56. Bobina de voz. Se ha demostrado que la fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme es cero. La fuerza magnética sobre la bobina de voz de un altavoz es diferente de cero porque en la bobina el campo magnético no es uniforme.

Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un diámetro de 1,56cm, y la corriente es 0,950 A. Suponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de 0,220 T y está dirigido a un ángulo de 60° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina.

El eje de la bobina está en la dirección z. La corriente en la bobina tiene el sentido que se indica (en sentido contrario a las manecillas del reloj visto desde un punto encima de la bobina sobre el eje z). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta sobre la bobina. Solución. Consideremos un elemento diferencial dl = R dθ, de una espira de la bobina.

El diferencial de fuerza magnética sobre dl esta dado por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=

→→→

BIddFd l

Donde

kBrBB zrˆˆ +=

→

Con

BBBr 23º60sen == ,

BBBz 21º60cos == y

( )krBB ˆˆ32

+=→

Reemplazando →

B en →

Fd , tenemos:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +×=→→

krIBdFd ˆˆ321

l

( )rkIBd ˆˆ321

+−= l

rIBdkIBd ˆ21ˆ

23

ll +−=

Comparando con

kdFrdFFd zrˆˆ +=

→

Obtenemos

lIBddFr 21

=

Como θRdd =l ⇒

θIRBddFr 21

= y

lIBddFz 23

−=


30

La fuerza magnética sobre la espira es

∫∫∫ +=→

kdFrdFFd zrˆˆ ⇒

kFrFF zrˆˆ +=

→

Cálculo de la fuerza radial Fr.

rIBdrdFFd rr ˆ21ˆ l==

→

En el gráfico descomponemos al vector unitario r en sus componentes cartesianas i y j .

jir ˆsenˆcosˆ θθ +=

( )∫∫ +==→→ π

θθθ2

0ˆsenˆcos

21 djiIRBFdF rr

0cosˆ21senˆ

21 2

0

2

0=−= ππ θθ jIRBiIRB

Resultado esperado por la simetría diametral de los diferenciales de fuerza. Cálculo de la fuerza Fz..

lIBddFz 23

−=

Integrando

∫∫ −==πθ

2

023 dIRBdFF zz

IRBπ3−= Luego

( ) kIRBrkFrFF zrˆ3ˆ0ˆˆ π−+=+=

→

La fuerza sobre una espira es.

N ˆ 3 kIRBF π−=→

La fuerza sobre la bobina formada por N espiras

N ˆ 3 kIRBNF bobina π−=→


( )( )( )( ) N ˆ22,095,00156,0503 kπF bobina =→

N ˆ44,0 k= 0,88

( ) krkFrFF zrˆ44,0ˆ0ˆˆ −+=+=

→

N ˆ 0,444 kF −=→

La fuerza magnética sobre la bobina tiene una magnitud de 0,44 N paralela al eje z con sentido negativo Ejemplo 57. Una espira circular de área A yace en el plano xy. Vista a lo largo del eje z mirando en la dirección z hacia el origen, una corriente I circula en el sentido horario en torno a la espira. El torque que produce un

campo magnético externo →

B está dado por

( )jiD ˆ3ˆ4 −=→

τ , donde D es una constante positiva, y con esta orientación de la espira la

energía potencial →→

⋅= BU μ es negativa. La magnitud del campo magnético es

IADB 130 = .

a) Determine el momento magnético vectorial de la espira de corriente. b) Proporcione las componentes Bx, By y Bz de →

B .


31

Solución. a) El momento magnético vectorial de la espira de corriente

kIAnIA ˆˆ −==→

μ Usando la regla de la mano derecha obtenemos el sentido. b)

zB00

ˆˆˆ

yx BBIAkji

B −=×=→→→

μτ

)(ˆ)(ˆ xy IABjIABi −= .

Pero jDiD ˆ3ˆ4 −=→

τ Comparando, obtenemos

DIABy 4= ⇒ IADBx

3=

y

DIABx 3−=− ⇒ .4IADBy =

Para encontrar Bz.

IADBBBB zyx 13222

0 =++=

⇒IADB

AID

z 1325 222

2

=+

⇒ IADBz 12±=

Siendo →→

⋅= BU μ ( ) ( )kBjBiBkIAU zyx

ˆˆˆˆ ++⋅−=

zIAB− Como la energía potencial es negativa, Bz debe ser positivo, luego

IADB 12

z =

Aplicación 1: El Galvanómetro de D’ansorval.

Como ya vimos anteriormente el Galvanómetro consiste de un campo magnético producido por un imán permanente y una bobine de n espiras, la cual tiene libertad de rotar contra un torque restaurador de un espiral de suspensión. El torque de rotación es causado por la corriente I que fluye por la bobina y es justamente la que queremos medir.

El torque producido por el movimiento es

ατ cosnIAB= , siendo α el ángulo rotado desde la posición cero de equilibrio. La rotación se detendrá cuando el torque restaurador producido por el resorte se iguala al torque magnético, para obtener la posición de equilibrio α con la corriente que pasa tenemos

ακα cosnIAB= Si el ángulo de deflexión es pequeño, 1cos ≈α , la deflexión α directamente proporcional a la corriente I . Ejemplo 58. Una bobina de un galvanómetro tiene 500 vueltas de alambre enrollado alrededor de un marco de 2 cm de largo y 1 cm de ancho. La bobina rota en un campo magnético de 0,05 Wb/m2, siempre paralelo a su plano y perpendicular a su largo. ¿Qué torque actúa en la bobina cuando lleva una corriente de 10-8 A? Solución. La magnitud del torque que actúa en una sola vuelta de la bobina es,

ατ cosAIB= . Cuando la bobina tiene n vueltas,

ατ cosnAIB= = ( )( )( )( )( )105,01001,002,0500 8−× = 5 x 10-11 N.m. Ejemplo 59. La bobina de un galvanómetro tiene 150 vueltas de área media 1 cm2 y el par restaurador de la suspensión es 10-6 N.m por radián. La magnitud del campo magnético


32

radial en la cual la bobina gira es 0,2 Wb/m2. ¿Qué desviación será producida cuando una corriente de 10 μ A atraviesa la bobina? Las placas de un condensador de 1 μ F se cargan a una diferencia potencial de 1 V y después se descargan a través de la bobina del galvanómetro, la desviación resultante que es 0,1 rad. ¿Cuál es el momento de la inercia de la bobina? Solución. La magnitud del torque que actúa en las 150 vueltas de la bobina debido al campo magnético es, AIB150=τ , el campo es radial. La bobina gira hasta que este torsión es balanceado por el torque restaurador de la suspensión κθ . Así en la posición del equilibrio AIB150=κθ o

κθ AIB150= =

( )( )( )6

54

102,01010150

−

−−

= 0,03 rad. Cuando se descarga el condensador, la carga que atraviesa la bobina del galvanómetro es

( )( )110 6−== CVQ = 10-6 V Pero la carga y la desviación máxima resultante del galvanómetro están relacionadas por la ecuación

max' θκ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nABIQ , donde I’ es el momento de

inercia de la bobina. Así

2max

2222

'κθ

QBAnI = =

( ) ( ) ( ) ( )( )( )216

262242

1010102,010150

−−

−−

I

= 9 x 10-10kg.m2 Aplicación 2: Motor de corriente Continua. Consideremos un motor a corriente continua muy simple como el motor en la figura siguiente.

El motor a corriente continua consiste en una armadura formada por varias vueltas de alambre, la cual se encuentra en un campo magnético B uniforme, los motores pequeños utilizan imanes pera producir este campo y los grandes tienen electroimanes para este fin. La armadura esta conectada al conmutador el cual es un anillo dividido. La finalidad del conmutador es invertir la corriente en la apropiada fase de rotación, tal que el torque sobre la armadura actúa en la misma dirección. La corriente es proporcionada por la batería a través de un par de resortes o escobillas que están en contacto con el conmutador, El torque del motor está dado por θτ senNIAB= . Cuando 0=θ , no fluye corriente por la armadura y es el instante justo en que se invierte la corriente, en el proceso momentáneamente no interviene la batería. Pero como el motor ya esta funcionando, la inercia rotacional hace pasar la armadura a través de la región de torque cero. EFECTO HALL Un caso de efecto que produce un campo magnético sobre una corriente es el fenómeno descubierto por E.H. Hall en 1879, conocido como Efecto Hall. Este efecto nos permite determinar el signo de la carga situada en el portador y el número de portadores de carga por unidad de volumen (n) del conductor. Para describir este fenómeno consideremos una lámina delgada de material conductor con sección A, ancho a y largo l . Conectamos una fuente de voltaje como se muestra en la figura a continuación, aparece

un campo →

E y una cierta corriente I asociada a él, los electrones se desplazan con su velocidad dv en una dirección opuesta al campo.


33

Si se conecta un voltímetro transversalmente a la lámina, dará una lectura cero, ya que el campo eléctrico no tiene componente a lo largo de la dirección vertical. Ahora pongamos un campo magnético dirigido perpendicularmente fuera de la lámina como se muestra en la figura siguiente, la fuerza magnética sobre estas

partículas estará en la dirección →→

× Bvq d (hacia abajo en la figura). Los electrones se moverán hacia abajo con trayectoria curva.

Como consecuencia de este movimiento las cargas negativas se apilan en el fondo y en compensación aparecen cargas positivas en la parte superior. Como se muestra en la figura siguiente.

La apilación de cargas continuará hasta que la fuerza producida por el campo eléctrico transversal cancele la fuerza magnética, es decir

0=×+→→→

BvqEq dt Tomando en cuenta los sentidos y cancelando q, obtenemos

BvE dt = La existencia de tE queda evidente con el

hecho de que ente la presencia de →

B

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠→

0B , el voltímetro en la figura marca

una lectura V . El valor de tE está dado por

aVEt =

Como la corriente está dada por la expresión

dnqAvI = , obtenemos: nqA

Ivd =

Reemplazando esta expresión de dv en tE :

AIB

nqEt ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

Ejemplo 60. Una cinta de metal de 2 cm. de ancho y 0,1 cm. de espesor lleva una corriente de 20A y está situada en un campo magnético perpendicular al plano de la cinta de 2,0 T. La fuerza electromotriz Hall se mide y resulta 4,27 Vμ . Calcular: a) La velocidad de desplazamiento de los electrones en la cinta. b) El número de portadores de carga por unidad de volumen de la cinta. Solución. a) Como BvE dt =

tenemos que, B

aVBE

v td ==

Siendo V1027,4 6−×=V , m102 2−×=a , T 0,2=B .


21021027,42

6

×××

= −

−

dv = m/s1006,1 4−×

b) Como

nqAIvd =

Tenemos que dqAv

In =

Siendo A20=I , C10602,1 19−×=q , m/s1006,1 4−×=dv y

( )( ) 2422 m102,0101,0102 −−− ×=××=A Reemplazando valores

( )( )( )4419 1006,1102,010602,120

−−− ×××=n

= m3 / portadores 10 58,8 28×


34

Ejemplo 61. Los semiconductores tales como el silicio se pueden dopar con impurezas de modo que los portadores de la carga sean negativos (los electrones) o positivos (agujeros). Esta es una característica importante en la construcción de dispositivos como los transistores. En la figura se bosqueja una disposición para medir el efecto Hall. Tal medida puede determinar el signo y la densidad de los portadores y, cuando está calibrado, se puede utilizar para medir la fuerza de un campo magnético.

Determine una expresión en términos de los parámetros dados para el voltaje Hall medido entre los puntos X e Y en el arreglo mostrado. Solución. La fuerza magnética desvía a los portadores hacia arriba de la muestra hasta que un campo eléctrico E aumenta lo suficiente hasta cancelarse por la fuerza magnética. Cuando sucede esto qE = qvB y el voltaje entre X e Y es BdvEdV dH == . La corriente es

nAqvI = , donde A = ad y n es la densidad de del portadores. Luego:

BnAq

Id

VH = ⇒ aIB

nqVH

1=

1/nq es el coeficiente de Hall. Si los portadores son negativos, y la corriente es hacia la derecha, como en el dibujo, la velocidad del portador se dirige a la izquierda, y la fuerza magnética empuja otra vez los portadores hacia arriba. En este caso HV es negativo, mientras que HV es positivo para los portadores positivos. Así la medida del coeficiente de Hall determina el signo de los portadores y su densidad ya que casi siempre

eq = . Ejemplo 62. En un experimento de efecto Hall una muestra de 12 mm de espesor se utiliza con un campo magnético de 1,6 T. Cuando pasa una corriente de 10 A a través de la muestra, se observa un voltaje Hall de 0,080 V. ¿Cuál es la densidad del portador, asumiendo q = e? Solución.

aIB

nqVH

1= ⇒

aeVIBn

H

=

Reemplazando valores: ( )( )

( )( )( )3619 10121008,0106,16,110

−−− ×××=n

= 1,04 x 1029 m-3 Ejemplo 63. Determinar la fuerza electromotriz Hall que se produce en una cinta de cobre (suponiendo para éste metal un electrón libre por átomo) de 0,2 cm de espesor, por la que circula una intensidad de corriente de 5 A, cuando se aplica un campo magnético uniforme de 1,5 T, perpendicular a la cinta. Densidad del cobre 8,95 g/cm3, masa atómica 63,5 g. Solución.

El número de electrones libres por unidad de

volumen del cobre será. m

a

MN

Nρ

=

La fuerza electromotriz Hall es: vBaEd ==ε

Además NqvAIJ == ⇒

NqAIv =

De lo anterior: NqAIaB

=ε

ehNIBM

A

m

ρε = =

( )( )( )( )( )( )( )319323

3

102106,110985,81002,6105,635,15

−−

−

×××××

= V 103,0 6−× LEY DE AMPERE, LEY DE BIOT Y SAVART Después de los experimentos de Oersted en 1820 que describen el movimiento de les agujas de una brújula por la acción de un alambre por el que circula corriente eléctrica, muchos científicos trabajaron sobre este fenómeno. Jean Baptiste Biot y Félix Savart anunciaron los resultados de las mediciones


35

de la fuerza que actúa la aguja magnética en la cercanía del alambre con corriente. André Marie Ampere amplió estos experimentos y demostró que los propios elementos de corriente experimentan una fuerza en presencia de un campo magnético, demostró que dos corrientes ejercen fuerzas entre sí. LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO Como vimos en nuestros estudios de la electrostática, la ley de Gauss y la existencia de una función de potencial determinan, en gran parte, todas las características esenciales del campo electrostático. Hay dos leyes análogas, denominadas ley de Gauss para el magnetismo y ley de Ampere que desempeñan el mismo papel para el campo B. La finalidad de esta sección y la que sigue es analizar esas dos descripciones muy importantes del campo de inducción magnética. Como se verá en el capítulo que sigue, la importancia de estas dos leyes se debe, en general, al hecho de que son básicas para las ecuaciones de Maxwell. De hecho, la ley de Gauss para el magnetismo es una de las cuatro relaciones básicas. Además, para cualquier distribución dada de corrientes, las leyes de Ampere y Gauss, cuando se toman juntas, constituyen una especificación completa del campo B en todas partes. Por tanto constituyen la generalización necesaria de la ley más restringida de Biot Savart, que se aplica sólo a los flujos de corriente en alambres delgados. Por analogía con la definición del flujo eléctrico, definimos el flujo magnético a través de una superficie S mediante

dSnBSB ˆ⋅=Φ ∫→

en donde dS es un elemento de área normal a

S, →

B es el valor del campo magnético en ese punto y la integral es sobre la superficie de S. En función de esta cantidad, la ley de Gauss para el magnetismo establece que el flujo magnético de todas las superficies cerradas desaparece. Por ende

0ˆ =⋅∫→

dSnBS

, en donde dS es un elemento

vectorial de área dirigido hacia el exterior a partir de la superficie cerrada S. La comparación con la ley de Gauss para el

campo E, 0

ˆεQdSnE

S=⋅∫

→

, nos lleva a la

conclusión de que no hay análogo magnético para la carga eléctrica. Con frecuencia describimos esto, diciendo que no hay monopolos magnéticos. La validez de (25-11) se estableció mediante un gran número de experimentos y a pesar de las investigaciones continuas, nadie ha detectado todavía la presencia de un monopolo magnético Una de las consecuencias más importantes de

la ecuación 0ˆ =⋅∫→

dSnBS

es la de que todas

las líneas de campo B tienen que ser continuas. Por lo tanto, en general, es cierta la propiedad de las líneas de campo B, como se ilustra en la figura abajo, de que siempre se cierran sobre sí mismas.

LEY DE AMPERE. Hans Oersted en 1820 descubrió experimentalmente que una corriente que circula en un alambre produce efectos magnéticos sobre una brújula situada a su alrededor.

Al colocar varias brújulas en los alrededores del alambre estas se orientan tangencialmente a la circunferencia formada por la distancia radial al alambre, figura (a). Al invertir la corriente se orientan tangencialmente pero en sentido contrario, figura (b).

En la práctica se adopta la regla de la mano derecha orientando el pulgar con la corriente


36

y la punta de los dedos con el campo magnético como muestra la figura siguiente.

Se observó experimentalmente que al alejarse del alambre el campo disminuía y al acercarse aumentaba. Asimismo, el campo aumentaba con el aumento de la intensidad de la

corriente, es decir rIB ∝ o

rIKB = , donde

K es una constante igual a 2x10-7AmpereTesla.m

en el sistema MKSC.

También πμ2

0=K , donde 0μ es la constante

de permeabilidad en el vacío tiene un valor de

AmpereTesla.m104 7

0−= πμ

Finalmente Ir

Bπμ2

0=

Esta expresión es conocida como la ley de Ampere. Debido a la dependencia radial de B y a que r es constante en la circunferencia, podemos expresarla en la siguiente forma

IdB 0μ=⋅→→

∫ l

Esta expresión es válida en general para cualquier arreglo de conductores con corriente, para cualquier trayectoria cerrada de integración y para cualquier campo B, siempre y cuando éste no varíe con el tiempo. La corriente I es la corriente encerrada por la integral de línea. Se puede escribir en función de le densidad de corriente.

Como dSnJS

ˆ⋅∫→

⇒ dSnJdBS

ˆ0 ⋅=⋅ ∫∫→→→

μl

Donde la integral de superficie de la densidad de corriente corresponde al área encerrada por la integral de línea cerrada. La ley de Ampere tiene aplicación muy limitada ya que solo puede evaluar problemas que tienen simetría.

Ejemplo 64. Se tiene un conductor cilíndrico largo y recto de radio R que lleva una corriente I uniformemente distribuida. Calcular el campo magnético para puntos dentro y fuera del alambre. Solución. a) Campo magnético para Rr > .

IdB 0μ=⋅→→

∫ l

IrB 0 2 μπ = ⇒ rI

B 2

0

πμ

=

b) Campo magnético: para Rr < :

dSnJdBS

ˆ0 ⋅=⋅ ∫∫→→→

μl

Como la corriente I es uniforme

2RIJ

π= ; n

RIJ ˆ

2π=

→

220 2 r

RIrB π

πμπ =

20

2 RIr

Bπμ

=

c) Para Rr =

RI

B2

0

πμ

=

d) El gráfico de B versus r es

Ejemplo 65. Un hilo rectilíneo conduce una corriente de 4 A, un cable cilíndrico de 3 cm de radio conduce la misma corriente, uniformemente distribuida, pero en sentido contrario. a) Determínese, aplicando la ley de Ampere, la expresión de campo magnético producido por cada una de las corrientes rectilíneas infinitas a una distancia r, de forma separada. b) Hallar el campo magnético (módulo, dirección y sentido), en los puntos (13 cm, 0), y en el punto (0 cm, 4 cm) producido por las dos corrientes. c) Por último, hallar la fuerza, (módulo, dirección y sentido) que ejerce el cable sobre la unidad de longitud del hilo rectilíneo.


37

Solución. a) El campo magnético producido por el hilo rectilíneo

El campo es perpendicular al plano formado por la corriente y el punto, su sentido está dado por la regla de la mano derecha. Se toma como camino cerrado una circunferencia concéntrica de radio r. Aplicando la ley de Ampere:

IdB 0μ=⋅→→

∫ l ,

B es constante en todos los puntos de la circunferencia

IrBdBBd 0 2cos μπθ === ∫∫ ll

rrI

B

2 2

00

πμ

πμ

==

El campo magnético producido por el cable cilíndrico.

Para m 03,0<r y la corriente está

uniformemente distribuida ( )2

2

03,0 4

ππ rI =

( ) 2

2

0 03,04 2 rrB μπ = ⇒

πμ

20

03,02 r

B =

Para m 03,0>r A 4=I

rrI

B

2 2

00

πμ

πμ

==

b) Campo magnético resultante en el punto (13 cm, 0)

T 1062,013,0

2 501

−×==πμ

B ,

jB ˆ1062,0 51

−→

×= ( )

( )T 1089,0

03,001,02 5

20

2−×==

πμ

B ,

jB ˆ1089,0 52

−→

×−=

T ˆ1027,0 521 jBBB −

→→→

×−=+= Campo magnético en el punto (0 cm, 4 cm).

T 10204,0

2 501

−×==πμ

B , iB ˆ102 51

−→

×−=

T 1032,604,012,0

2 6

22

02

−×=+

=π

μB ,

jBiBB ˆcosˆsen 222 θθ +=→

=

ji ˆ106ˆ102 66 −− ×+×

T ˆ106ˆ108,1 6521 jiBBB −−

→→→

×+×−=+= c) La fuerza, que ejerce el cable sobre la unidad de longitud del hilo rectilíneo.

T 1067,012,0

2 502

−×==πμ

B

2→→→

×= BLIF B , ( )( ) º90sen14 2BFB = = N 107,2 5−× en

cada metro de hilo.


38

Ejemplo 66. Dos alambres paralelos al eje de las x rectos y largos, uno encima del otro, están separados por una distancia 2a. El eje y positivo está en el plano de los alambres en dirección del alambre inferior al alambre superior. Cada alambre transporta la corriente I en dirección x positiva. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano de los alambres a) a medio camino entre ambos?, b) a una distancia a sobre del alambre superior?, e) a una distancia a debajo del alambre inferior? Solución.

a) kaIBs ˆ

20

πμ

−=→

y kaIBi ˆ

20

πμ

=→

is BBB→→→

+=

0ˆ2

ˆ2

00 =+−=→

kaIk

aIB

πμ

πμ

b) kaIBs ˆ

20

πμ

=→

y ( )kaIBi ˆ32

0

πμ

=→

is BBB→→→

+=

kaIk

aIk

aIB ˆ

32ˆ

6ˆ

2000

πμ

πμ

πμ

=+=→

c) ( )ka

IBs ˆ32

0

πμ

−=→

y kaIBi ˆ

20

πμ

−=→

is BBB→→→

+=

kaIk

aIk

aIB ˆ

32ˆ

2ˆ

6000

πμ

πμ

πμ

−=−−=→

Ejemplo 67. Cuatro líneas eléctricas paralelas y largas transportan corrientes de 100 A cada una. Un diagrama de sección transversal de estas líneas es un cuadrado de 20,0 cm por lado. Con respecto a cada caso que se muestra en la figura, calcule el campo magnético en el centro del cuadrado.

Solución. Como la corriente son iguales y la distancia al punto en el que se quiere conocer el campo también, la magnitud del campo magnético que produce cada uno de los alambres es igual a

( ) 222200

0 aI

aIB

πμ

πμ

==

Donde: I = 100 A, a = 0,2 m. Luego

( )( ) T 10222,0100104 4

7

0−

−

×=×

=π

πB

a)


39

( )jiBB ˆˆ22

01 −−=→

( )jiBB ˆˆ22

02 +−=→

( )jiBB ˆˆ22

03 +=→

( )jiBB ˆˆ22

04 −=→

04321 =+++=→→→→→

BBBBB b)

( )jiBB ˆˆ22

01 −−=→

( )jiBB ˆˆ22

02 −=→

( )jiBB ˆˆ22

03 +=→

( )jiBB ˆˆ22

04 −−=→

04321 =+++=→→→→→

BBBBB c)

( )jiBB ˆˆ22

01 −−=→

( )jiBB ˆˆ22

02 +−=→

( )jiBB ˆˆ22

03 −−=→

( )jiBB ˆˆ22

04 +−=→

4321→→→→→

+++= BBBBB iB ˆ22 0−=

Luego

( ) iiB ˆ T 104ˆ10222 44 −−→

×−=×−= El campo magnético en el centro del cuadrado es T100,4 4−× , a la izquierda. Ejemplo 68. Dos alambres rectos muy largos conducen corrientes, como se muestra en la figura. Con respecto a cada caso de la figura, halle todos los puntos donde el campo magnético neto es cero.

Solución. a)

ky

B ˆ2

1001

πμ

=→

, kx

B ˆ2

1002

πμ

=→

En los cuadrantes II y IV están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición

xy1010

−= ⇒ xy −= .


40

La línea recta de pendiente - 1,00. b)

ky

B ˆ2

301

πμ

=→

, kx

B ˆ2

1002

πμ

−=→

En los cuadrantes I y III están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición

xy103

= ⇒ xy103

=

La línea recta de pendiente 1/3. c)

ky

B ˆ2

2001

πμ

−=→

, kx

B ˆ2

2002

πμ

=→

En los cuadrantes I y III están en sentidos opuestos y se anularían cuando se cumpla la condición

xy2020

= ⇒ xy = .

de línea punteada, →

1B y →

2B están en direcciones opuestas. La línea recta de pendiente + 1,00 Ejemplo 69. La figura muestra una vista de los extremos de dos alambres paralelos largos perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, aunque en sentidos opuestos. a) Copie el diagrama y dibuje vectores que muestren el campo B de cada alambre y el campo neto B en el punto P. b) Deduzca la expresión de la magnitud de B en cualquier punto sobre el eje x en términos de la coordenada x del punto. ¿Cuál es la dirección de B? c) Grafique la magnitud de B en puntos sobre el eje de las x. d) ¿En qué valor de x alcanza un máximo la magnitud de B? e) ¿Cuál es la magnitud de B cuando x >> a?


41

Solución. a)

b) En una posición sobre el eje x:

21→→→

+= BBB

( )jiaxπ

IμB ˆcosˆsen2 22

01 θθ +

+=

→

( )jiaxπ

IμB ˆcosˆsen2 22

02 θθ −

+=

→

Sumando

iaxπ

IμB ˆsen2 22

0 θ+

=→

Pero

22sen

axa+

=θ

Luego

iax

aaxπ

IμB ˆ2

22222

0

++=

→

( )iaxπIaμ ˆ

220

+=

c)

d) El campo magnético es un máximo en el origen, x = 0. e) Cuando x >> a,

iπx

IaμB ˆ2

0=→

Ejemplo 70. Lámina infinita de corriente. Se disponen unos al lado de otros unos conductores rectos de sección transversal cuadrada, cada uno de los cuales conduce una corriente I, para formar una lámina infinita de corriente. Los conductores yacen en el plano xy, son paralelos al eje de las y y transportan corriente en la dirección + y. Hay n conductores por unidad de longitud medida a lo largo del eje de las x. a) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a abajo de la lámina de corriente? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a arriba de la lámina de corriente?

Solución. a) Debajo de la hoja, todas las contribuciones de campo magnético de los diferentes alambres se suman para producir un campo magnético que apunta en la dirección x positiva. (Las componentes en la dirección y se cancelan.)


42

Usando la Ley de Ampere, →→

⋅= ∫ ldBIencerrada0μ

nLIIencerrada =

BLBLBLdB 2=+=⋅→→

∫ l

Luego BLnLI 20 =μ ⇒

20nIμB =

Notar que no hay dependencia en a. b) A una distancia a debajo de la hoja el campo magnético también es:

20nIμB = , en la dirección negativa de x.

Ejemplo 71. La figura muestra dos alambres llevando corriente. La corriente en el anillo tiene un valor y dirección conocidos 1I . Halle el valor y dirección de la corriente xI en el alambre recto e infinito de manera que el campo en el centro del anillo sea nulo.

Solución. El campo producido por el anillo es:

RI

B2

10μ=→

Para que el campo en el centro del anillo sea nulo, el alambre debe producir un campo igual y de sentido opuesto

( ) kaR

Ik

RI

B xa

ˆ2

ˆ2

010

+−=−=

→

πμμ

Para esto el valor de ( )

RaRII x

+=

π1 , con

sentido negativo de x. Ejemplo 72. Se tiene un cable coaxial, tal como se muestra en la figura. Calcular el campo magnético para todo punto.

Solución. a) Para 1Rr < Resuelto en el problema anterior

21

0

2 RIr

Bπμ

=

b) Para 1Rr =

2

0

2 RI

Bπμ

=

c) Para 12 RrR >>

IdB 0μ=⋅→→

∫ l ⇒ rI

B 2

0

πμ

=

c) Para 2Rr =

2

0

2 RI

Bπμ

=

d) Para 23 RrR >>

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=⋅ ∫∫

→→→

SdSnJIdB ˆ0μl ⇒

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−= IRRRr

IrB 22

23

22

2

0 2ππ

μπ ⇒

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−= 22

23

22

20 1 2 RR

RrrI

Bπμ

e) Para 3Rr > 0=B

Ejemplo 73. Un cilindro sólido, recto y largo, orientado con su eje en la dirección z, conduce una corriente cuya densidad de

corriente es →

J . La densidad de corriente, aunque es simétrica en torno al eje del cilindro, no es constante, sino que varia según la relación Para ar ≤

kar

aIJ ˆ12 2

20

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

→

π

Para ar ≥

0=→

J Donde a es el radio del cilindro, r es la distancia radial respecto al eje del cilindro e I0 es una constante con unidades de amperes. a) Demuestre que I0 es la corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre.


43

b) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo

magnético →

B en la región ar ≥ . c) Obtenga una expresión de la corriente I contenida en una sección transversal circular de radio ar ≤ y centrada en el eje del cilindro. d) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo

magnético →

B en la región ar ≤ . ¿Cómo son comparativamente los resultados de los incisos (a) y (b) cuando r = a? Solución. a) La corriente que pasa por dA

→→

⋅= AdJdI Con

kar

aIJ ˆ12 2

20

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

→

π y

krdrAd ˆ2π=→

La corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre es

→→

⋅= ∫ AdJIS

krdrkar

aIa ˆ2ˆ12

0

2

20∫ ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= π

π

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

adr

arrπ

πaI

0 2

3

20 22

a

arr

aI

02

42

20

424

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

44

424 2

20

2

42

20 a

aI

aaa

aI

0I= La corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre es I0. b) Aplicando la ley de Ampere para ar ≥

rBdBI πμ 200 =⋅=→→

∫ l ⇒

πrIμB

200= .

c) La corriente I contenida en una sección transversal circular de radio ar ≤

→→

⋅= ∫ AdJISencerrada

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−=

rdrr

ar

πaI

0 2

2

20 ''212 π

r

arr

aI

02

42

20

424

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−

′=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

2

2

0 212

ar

arI

d) Campo magnético →

B en la región ar ≤ . Aplicando la ley de Ampere para ar ≤

encerrada02 IπrB μ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

2

2

00 2122

ar

arIrB μπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

200

21

ar

arIB

πμ

Cuando ar = la corriente encerrada es

02

2

2

2

0 212 I

aa

aaIIencerrada =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Igual que en c). Cuando ar = el campo magnético es


44

aI

aa

aaIB

πμ

πμ

221 00

2

2

200 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Igual que en d) Ejemplo 74. La figura muestra una sección de un alambre coaxial muy largo. Esta formado por un alambre interior de radio a y

con densidad de corriente kraIJ ˆ

2π−=

→

, y

además por un cascarón muy delgado de radio b llevando una corriente I en su superficie. Hallar a) La corriente neta en el alambre interior macizo. b) El campo magnético en el espacio entre a y b.

Solución.

a) →→

⋅= ∫ SdJIS

' = ( )krdrkraIar

rˆ2ˆ

20π

π⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∫

=

=

= IdraI a

−=− ∫0

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⋅→→

∫ 22

22

0 1abarIdB μl

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= 22

22

0 12abarIrB μπ ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−= 22

220 1

2 abarI

rB

πμ

, en el sentido

horario.

arIdB 0μ=⋅

→→

∫ l ⇒arIrB 02 μπ = ⇒

aI

Bπμ2

0= , en el sentido horario.

Ejemplo 75. En el conductor cilíndrico hueco mostrado en la figura circula una corriente I uniforme hacia afuera. Calcular el campo magnético en la parte hueca.

Solución. Estando la corriente distribuida uniformemente, la densidad de corriente es

( )kRRIJ ˆ

'22 −=

→

π

En la figura siguiente se muestra gráficamente el campo magnético en un punto P en la parte hueca.

Cálculo de 1→

B

dSnJdBS

ˆ01 ⋅=⋅ ∫∫→→→

μl ⇒ 2

01 2 rJrB πμπ =

rJ

Bπ

μ2

91 =

La dirección del vector 1→

B está en la

dirección del vector →→

× Jr como →

r y →

J son perpendiculares podemos escribir.

→→→

×= JrBπμ2

01

Cálculo de 2→

B Procediendo de igual manera

→→→

×= JrB '2

02

πμ

Finalmente →

B es

21→→→

−= BBB →→→→→

×−×= JrJrB '22

90

πμ

πμ

= →→→

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − Jrr '

20

πμ

= →

× Jiaˆ2

0

πμ

= kJia ˆˆ2

0 ×πμ

= jaJ ˆ 2

0

πμ


45

Ejemplo 76. Un estudiante en un lugar donde la componente horizontal del campo magnético de la tierra es 1,7 x l0-7 Wb/m2, está realizando un experimento usando una brújula en un laboratorio que también tiene un experimento con un alambre vertical largo que lleva una corriente de 50 A. ¿Qué distancia los experimentos deben estar separados para que la aguja de la brújula sea afectada insignificante por el campo del alambre? Solución. La componente horizontal del campo magnético de la tierra es 1,7 x l0-5 Wb/m2. El efecto magnético debido al alambre vertical debe ser menor que 1/100 que esto para que su efecto sea insignificante a la exactitud de una aguja de brújula. Así si r es la distancia mínima por la cual los dos experimentos deben estar separados,

270 Wb/m107,1r2

−×==IB

πμ

⇒ ( )( )

7

7

107,150102−

−

××

=r = 58,8 m

Ejemplo 77. Encontrar el campo magnético de un solenoide. Solenoide es un conductor enrollado en forma de hélice y se utiliza para producir un campo magnético interno y uniforme en una pequeña región. - Solución. Si hacemos pasar corriente por una espira, ésta nos da un campo magnético como el mostrado en la figura siguiente.

Si juntamos varias espiras de un mismo radio, conectadas entre si, colocadas una a continuación de otras formando una bobina que tiene una longitud grande comparada con el radio de las espiras. Cuando circula corriente por el solenoide se produce la suma de los campos magnéticos de las espiras, tal como se muestra en la figura.

El campo magnético se refuerza en el interior del solenoide y se anula en la parte exterior. Así que podemos aplicar la ley de Ampere a lo largo de líneas cerradas a b c d mostrado a continuación.

Aplicando la ley de Ampere

( )INdB ll 0μ=⋅→→

∫ →→→→→→→→→→

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ lllll dBdBdBdBdBa

d

d

c

c

b

b

a

La única parte que tiene valor es

ll BdBb

a=⋅

→→

∫

N es el número de espiras por unidad de longitud. La corriente total encerrada por la superficie es ( )INl . De esta manera

( )INB ll 0μ= Finalmente

NIB 0μ= Ejemplo 78. El toroide. Determine el campo dentro de un toroide de N vueltas que llevan la corriente I. Un toroide es como un solenoide doblado en una forma de circunferencia.


46

Solución. Aplique la ley del amperio a una trayectoria circular dentro del toroide. Por simetría, B es tangencial a esta trayectoria y constante en magnitud a lo largo de la trayectoria, tal que

NIRBdBdB 02 μπ ===⋅ ∫∫→→

ll

⇒ RNI

Bπ

μ2

0=

Si la trayectoria integral está fuera del toroide, la corriente que atraviesa el plano encerrado por la trayectoria es cero, así el campo fuera de un toroide ideal es cero. Ejemplo 79. Una hoja conductora infinita en el plano del xz lleva una densidad de

corriente uniforme (por unidad de ancho) l

→

J en la dirección x. Determine el campo magnético fuera de la hoja.

Solución. Por medio de la regla de la mano derecha se

ve que →

B está dirigido según se muestra en la

figura. Por simetría, →

B es constante en

magnitud. →

B y →

ld son perpendiculares a lo

largo de la CA y de DE, tal que 0=⋅→→

ldB allí. Aplicando la ley del Ampere

LJBLdB ll 02 μ==⋅→→

∫ ⇒ 20JB μ=

FUERZA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS Anteriormente vimos que cuando un alambre de longitud l por el cual circula una corriente I se encuentra en un campo magnético sufre la

acción de una fuerza →→→

×= BIF l . Si tenemos dos alambres rectos paralelos por los cuales circulan corrientes 1I e 2I respectivamente como se muestra en la figura, separados una distancia d .

Debido a la corriente 1I a la distancia d se

forma un campo magnético dI

Bπ

μ2

101 =

produciendo sobre el alambre por el que circula una fuerza 122 BIF l= (dirigida hacia el alambre 1). Reemplazando el valor de 1B

dII

Fπ

μ2

2102

l=

De igual modo encontramos el valor de 1F .

dII

Fπ

μ2

2101

l= (dirigida hacia el alambre 2)

Por supuesto se cumple el principio de acción y reacción.

21→→

−= FF Si las corrientes son en sentidos opuestos la fuerza entre los alambres es de repulsión. Ejemplo 80. Sean dos alambres rectos, muy largos, y paralelos entre sí, por los que pasa una corriente 1I e 2I en el mismo sentido. Suponga que el alambre 1I coincide con el eje z, el alambre 2I pasa por el punto x = 2a, y que las corrientes tienen el sentido positivo de z. La figura anexa muestra un corte transversal de los alambres. a) Halle el vector de campo magnético en el punto P1 = (x; y; 0) debido a los dos alambres. b) Se coloca un alambre recto de longitud L, paralelo a los alambres anteriores, cuyo centro coincide con el punto P2 = (a; a; 0), y por el que pasa una corriente 3I en el mismo sentido de 1I . Suponga que 1I = 2I = I . Halle el vector de fuerza sobre el alambre 3I . c) Suponga que cambia el sentido de 2I ; es decir, 2I = I . ¿Cómo cambia el vector de fuerza sobre el alambre 3I ? Justifique su respuesta.


47

Solución, a) Halle el vector de campo magnético en el punto P1 = (x; y; 0) debido a los dos alambres.

( )[ ]ji

yx

IB ˆ cosˆ sen

2 2122

101 θθ

π

μ+−

+=

→

( )[ ] [ ]jiyax

IB ˆsen cos

222122

202 θθ

π

μ−−

+−=

→

( ) 2122sen

yxy

+=θ ,

( ) 2122cos

yxx

+=θ

→→→

+= 21 BBB =

[ ]( )

[ ]( )

( )[ ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+−+

+

+−

+2122

22122

12122

0

2

ˆˆˆˆ

2 yax

jyixI

yx

jxiyI

yxπ

μ =

[ ] [ ] ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−+

+

−

+i

yax

xIyx

yIyx

ˆ22 2122

22122

12122

0

πμ

[ ] ( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+

++ j

yax

yI

yx

xI ˆ2

2122

22122

1

b) Se coloca un alambre recto de longitud L, paralelo a los alambres anteriores, cuyo centro coincide con el punto P2 = (a; a; 0), y por el que pasa una corriente 3I en el mismo sentido de 1I . Suponga que 1I = 2I = I . Halle el vector de fuerza sobre el alambre 3I .

21cos sen == θθ

[ ]jia

IB ˆ cosˆ sen

220

1 θθπ

μ+−=

→

= [ ]jiaI ˆ ˆ

40 +−πμ

[ ]jia

IB ˆ cosˆ sen

220

2 θθπ

μ−−=

→

= [ ]jiaI ˆ ˆ

40 −−πμ

→→→

+= 21 BBB ⇒ iaI

B ˆ2

0

πμ

−=→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×=

→

iaI

kIF ˆ2

ˆ 03 π

μ = j

aII ˆ

230

πμ

−

c) Suponga que cambia el sentido de 2I ; es decir, 2I = I− . ¿Cómo cambia el vector de fuerza sobre el alambre 3I ? Justifique su respuesta.

21cos sen == θθ

[ ]jia

IB ˆ cosˆ sen

220

1 θθπ

μ+−=

→

= [ ]jiaI ˆ ˆ

40 +−πμ

[ ]jia

IB ˆ senˆ cos

220

2 θθπ

μ+=

→

= [ ]jiaI ˆ ˆ

40 +πμ

→→→

+= 21 BBB ⇒ jaI

B ˆ2

0

πμ

=→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

→

jaI

kIF ˆ2

ˆ 03 π

μ = i

aII ˆ

230

πμ

Ejemplo 81. Tres alambres paralelos e infinitos se colocan de manera que pasan por los vértices de un triángulo equilátero. ¿Es posible que los tres se repelan o los tres se atraigan simultáneamente? ¿Por qué?

Solución. Corrientes en la misma dirección atraen y corrientes en direcciones opuestas repelen. Si los tres alambres llevan corrientes en la misma dirección ellos se atraen uno a otro.


48

No hay forma de tener todos los pares con corrientes opuestas, de tal manera no es posible tener a los tres alambres repeliéndose uno a otro. Ejemplo 82. Tres alambres paralelos transportan cada uno la corriente I en los sentidos que se indican en la figura. Si la separación entre alambres adyacentes es d calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud sobre cada alambre.

Solución. Sobre el alambre superior:

kdIB ˆ

20

2πμ

−=→

, kdIB ˆ

40

3πμ

=→

kdIk

dIk

dIBBB ˆ

4ˆ

4ˆ

2000

32πμ

πμ

πμ

−=+−=+=→→→

→→→

×= BLIF

kdLIk

dIiILF ˆ

4ˆ

4ˆ

200

πμ

πμ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×=

→

dI

LF

πμ4

20= , hacia arriba.

Sobre el alambre del medio

kdIB ˆ

20

1πμ

−=→

, kdIB ˆ

20

3πμ

=→

031 =+=→→→

BBB

→→→

×= BLIF

( ) 0ˆ4

ˆ 0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×−=

→

kdIiLIF

πμ

Los campos magnéticos se cancelan tal que la fuerza es cero. Sobre el alambre inferior:

kdIB ˆ

40

1πμ

−=→

, kdIB ˆ

40

2πμ

=→

kdIk

dIk

dIBBB ˆ

4ˆ

2ˆ

4000

21πμ

πμ

πμ

=+−=+=→→→

→→→

×= BLIF

kdLIk

dIiILF ˆ

4ˆ

4ˆ

200

πμ

πμ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

→

dI

LF

πμ4

20−= , hacia abajo.

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA (AMPERE) Anteriormente dejamos pendiente la definición de Ampere, la cual podemos hacerla ya en esta parte: Si por dos conductores paralelos muy largos situados a la distancia de 1 metro entre sí, se hacen circular corrientes iguales que causen una fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor de 2x10-7 N/m. La corriente en cada uno de ellos es igual a un Ampere. En la práctica se escogen separaciones muy próximas y no es necesario que los conductores sean tan largos, la fuerza resultante es lo suficientemente grande como para medirse con exactitud. LEY DE BIOT Y SAVART Hasta aquí solo hemos tratado con casos simétricos. Pero en general no es así y se presenta el problema de los casos carentes de simetría y esto lo veremos a continuación. En la figura siguiente se muestran dos circuitos completos


49

Ampere encontró experimentalmente la

relación que nos da la fuerza 2→

F ejercida sobre el circuito 2 debido a la influencia del circuito 1, esta relación expresada en un lenguaje de matemática moderna es

∫ ∫ →→

→→→→

→

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

=1 2 3

12

1212

210

24

rr

rrddIIF

ll

πμ

A pesar de la aparente falta de simetría se puede demostrar por medio del análisis vectorial que esta ecuación es simétrica, esto

es 12→→

−= FF , cumpliéndose así la tercera ley de Newton. Sabemos que

→→→

×= BIdFd l , ∫→→→

×=c

BIdF l

Esto implica que

( ) ∫ →→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=1 3

12

121

10

42

rr

rrdIB r

l

πμ

y su forma diferencial

( ) 3

12

121

10

42→→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=

rr

rrdIBd r

l

πμ

Expresión conocida como ley de Biot y Savart, análoga a la ley de Coulomb. La causa del campo magnético es el elemento de corriente ld , del mismo modo que la carga q es la causa del campo eléctrico, el campo magnético al igual que el campo eléctrico disminuye proporcionalmente a la inversa del cuadrado de la distancia. Mientras el campo electrostático señala en dirección radial el campo magnético es

perpendicular tanto a la dirección radial como a la dirección del elemento de corriente ld . Otra demostración. Considere una corriente I que fluye en un alambre. Rompa el alambre en pequeños pedazos de la longitud ds. El campo magnético debido a este pequeño pedazo de corriente se encuentra experimentadme que es.

20 ˆ

4 rrIdBd ×

=

→→ l

πμ

o 20 sen

4 rIddB θ

πμ l

=

Ésta es la ley de Biot y Savart. Aquí r es la distancia del elemento actual I ds en el punto P del campo donde deseamos encontrar el campo magnético B. r es un vector unitario

apuntando a lo largo de →

r . 0μ es una constante de la naturaleza, es la permeabilidad del espacio libre. Recuerde para determinar la dirección de

rd ˆ×→

l usar la regla de la mano derecha,

señale sus dedos a lo largo de →

ld , y gírelos hacia r . EL pulgar derecho apuntará a lo

largo de →

Bd .

Para encontrar el campo magnético total debido a un conductor, sumamos las contribuciones de cada elemento de corriente integrando sobre el conductor entero. Así

∫×

=

→→

20 ˆ

4 rrdI

B l

πμ

La ley de Biot y Savart fue descubierta experimentalmente, pero puede ser derivada de la ley de Coulomb usando la teoría de la relatividad especial. Ejemplo 83. Campo magnético producido por un segmento de recta.


50

Solución. Se quiere encontrar el campo magnético con el punto P, producido por el segmento mostrado en la figura siguiente.

En este caso

∫+

→→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=Lb

b

rr

rrdIB 3

12

121

10

4

l

πμ

Aquí: II =1 , jdyd ˆ1 =→

l , jyr ˆ1 =→

,

kar ˆ2 =→

, jykarr ˆˆ12 −=−→→

y

( ) 212212 yarr +=−

→→

( )( )∫

+→

+

−×=

Lb

b yajykajdyIB 2322

0ˆˆˆ

4πμ

= ( )

iya

adyILb

bˆ

4 2322

0 ∫+

+πμ

Integrando

iyaa

yIaB

Lb

b

ˆ4 222

0

+→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

πμ

( )i

bab

Lba

LbaI

B ˆ4 2222

0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

++

+=

→

πμ

En el caso de tratarse de una recta infinita los límites serían de ∞− a ∞ .

iyaa

yIaB ˆ

4 222

0

∞

∞−

→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

πμ

= iya

yaI ˆ

20

22

0

∞

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+πμ

= i

yaa

I ˆ

1

12

2

2

0

∞

∞−⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+πμ

= iaI ˆ

20

πμ

CONDUCTOR RECTILÍNEO INFINITO. El campo magnético debido a un conductor rectilíneo muy largo es tangente a una circunferencia concéntrica con él mismo. El

sentido de →

B esta relacionado con el sentido de la corriente I por la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura a continuación.

Ejemplo 84. La figura muestra un alambre recto de corriente I que atraviesa un material no magnético en forma de un cubo de lado l .

Una sección →

ld situada en el centro del

cubo produce un campo →

Bd . Hallar →

Bd cuando lo calculamos en los puntos a, b , c, d y e. Los puntos a, b y c están en el centro de las caras que forma el cubo, el punto d en el punto medio de una arista y el punto e en el vértice.


51

Solución. En a: cero En b:

( ) 3

12

121

10

42→→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=

rr

rrdIBd r

l

πμ

jdd ˆ 1 ll =→

, kr ˆ2

2l

=→

, 01 =→

r

krr ˆ2

12l

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→

, 2

12l

=−→→

rr

( ) idIkjd

IBd r ˆ

2

ˆ2

ˆ

4 210

310

2l

l

l

ll

πμ

πμ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=

→

En c: cero En d:

( ) 3

12

121

10

42→→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=

rr

rrdIBd r

l

πμ

jdd ˆ 1 ll =→

, kjr ˆ2

ˆ2

2ll

+=→

, 01 =→

r

kjrr ˆ2

ˆ2

12ll

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→

, 2

212

l=−

→→

rr

( ) 310

22

ˆ2

ˆ2

ˆ

42

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

=→

l

lll kjjd

IBd rπμ

= idI ˆ22 10

l

l

πμ

En e:

( ) 3

12

121

10

42→→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=

rr

rrdIBd r

l

πμ

jdd ˆ 1 ll =→

, kjir ˆ2

ˆ2

ˆ2

2lll

++=→

, 01 =→

r

kjirr ˆ2

ˆ2

ˆ2

12lll

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→

,

23

12l

=−→→

rr

( ) 310

23

ˆ2

ˆ2

ˆ2

ˆ

42

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×

=→

l

llll kjijd

IBd rπμ

= ( )ikdI ˆˆ33 10 +−

l

l

πμ

Ejemplo 85. Se dispone de alambres conductores delgados, infinitamente largos y revestidos de material aislante, los cuales se ubican uno al costado del otro para formar una lámina infinita de corriente, con n conductores por unidad de longitud, y cada conductor portando una corriente I.

a) Calcule el campo magnético →

B producido por este arreglo de conductores en puntos situados a una distancia h, a ambos lados de la lámina. Ahora, suponga que se ubican dos de estas láminas infinitas de corriente en forma paralela, separadas una distancia d, como lo muestra el dibujo siguiente. Cada conductor de la lámina de arriba lleva una corriente I saliendo del plano del dibujo y cada conductor de la lámina de abajo también lleva una corriente I, pero entrando al plano del dibujo. El número de conductores por unidad de longitud de la lámina de arriba es n1 y el número de conductores por unidad de longitud de la de abajo es n2. Suponga que n1> n2 el eje de coordenadas x es horizontal. Calcule la magnitud y dirección del campo

magnético →

B , producido por las dos láminas: b) En el punto P, situado arriba de la lámina superior. c) En el punto S. situado debajo de la lámina inferior. d) En el punto R. equidistante de las láminas. e) Cuál sería el campo en los mismos puntos P, R y S si n1 = n2.


52

Solución. a)

( ) 21220

2 hxIndxdB+

=πμ

Al integrar desde – infinito a + infinito las componentes verticales se anulan, de tal modo que vamos a trabajar con la

componente horizontal de →

Bd .

( ) ihx

IndxBd ˆcos2 2122

0 θπμ

+−=

→

= ( ) ( ) ihx

hhx

Indx ˆ2 21222122

0

++−

πμ

= ( )ihxInhdx ˆ

2 220

+−

πμ

( )∫∞

∞−

→

+−= i

hxInhdxB ˆ

2 220

πμ

= ( )∞

−∞−=

+− ∫

0

100 22

0 tanˆˆhxiIn

hxdxiInh

πμ

πμ

= iIn ˆ20μ−

Otra manera de calcular es mediante la ley de Ampere, como en el ejemplo 60. Debido a que el campo magnético producido por los infinitos alambres produce un campo uniforme, en la parte superior dirigido hacia la derecha y en la parte inferior hacia la izquierda es factible utilizar la ley de Ampere.

IndB ll 0μ=⋅→→

∫ ⇒ InBB lll 0μ=+ ⇒

InB ll 02 μ= ⇒ 20nI

Bμ

=

A la distancia h: iIn

B ˆ20μ−=

←

b) En el punto P:

( )innIiIniInBP ˆ2

ˆ2

ˆ2 21

02010 −−=+−=→ μμμ

c) En el punto R:

( )innIiIniInBR ˆ2

ˆ2

ˆ2 21

02010 +=+=→ μμμ

d) En el punto S:

( )innIiIniInBS ˆ2

ˆ2

ˆ2 21

02010 −=−=→ μμμ

e) Si n1 = n2:

0=→

PB , iInBR ˆ0μ=

→

, 0=→

SB Ejemplo 86. Encontrar el campo magnético en el punto P en el eje de una espira circular de corriente.


53

Solución. En este caso

∫ →→

→→→

→

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

= 3

12

121

10

4rr

rrdIB

l

πμ

II =1 , ( )jiRdd ˆ cosˆ sen1 θθθ +−=→

l ,

( )jiRr ˆ senˆ cos1 θθ +=→

, kzr ˆ2 =→

( )jiRkzrr ˆ senˆ cosˆ12 θθ +−=−→→

,

( ) 212212 zRrr +=−

→→

( ) ( )( )∫

+

+−−×+−=

→ π θθθθθπμ 2

0 2322

0ˆˆ senˆ cosˆ cosˆ sen

4 zRkzjRiRjiRdIB

( )( )

θθθπμ π

dzR

kRjzRizRIB ∫+

++=

→ 2

0 2322

20

ˆˆ senˆ cos4

La integral de los términos en i y j da cero. Finalmente

( )k

zRRIB ˆ

2 2322

20

+=

→ μ

Ejemplo 89. ¿Un alambre recto largo que lleva una corriente I tiene una "torcedura semicircular" en ella de radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del semicírculo?

Solución. Las secciones rectas no contribuyen nada a B, ya que para ellas º0=θ y 0sen =θdx . La contribución del semicírculo es justamente la que corresponde a la mitad de un círculo

completo, RI

B22

1 0μ= . Luego

RI

B4

0μ=

Ejemplo 90. Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura en términos del R1, R2, I1 e I2. ¿Qué resultado da su expresión cuando I1 = I2?

Solución. No hay contribución de los alambres rectos, y tenemos dos contribuciones orientadas en forma opuesta de las dos semicircunferencias:

)( 21 BBB −= = ( )IIR

−10

4μ

, hacia la

página. Si las corrientes fueran iguales, el campo magnético en el centro de la espira sería cero. Ejemplo 91. Una arandela delgada (o un disco con hueco concéntrico) de radio interno a y de radio externo b, tiene una densidad de carga superficial σ . Suponga que la arandela gira en torno a su eje con velocidad angular ω . Calcule el campo magnético en el centro de la arandela.

Solución.


54

rdrrdrTrdri σω

πσωπσπ

===2

22

Esta corriente produce un campo magnético en el centro:

kriBd o ˆ

2μ

=→

= kdro ˆ2σωμ

El campo debido a toda la arandela lo encontramos integrando de r = a a r = b.

( )kabdrkB o

b

ao ˆ

21ˆ

2−== ∫

→

σωμσωμ

Otra manera, como la arandela tiene poco ancho ( )ab ≈

2abRm

+=

kab

IkR

IB o

m

o ˆ

22

ˆ2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==→ μμ

= ( )kabIo ˆ

+μ

( ) ( )22

2222 ababTQI −

=−

==σω

πωσπ

Finalmente: ( )

( ) kab

ab

Bo ˆ2

22

+

−

=→

σωμ= ( )kabo

ˆ21

−σωμ

Ejemplo 92. Determine el campo magnético en el centro de un cuadrado de lado a2 que lleva una corriente I. Solución. El campo opuesto al punto medio de un segmento recto de longitud a2 con corriente está dado por la integral

∫−=a

a rdxI

B 20 sen

4θ

πμ

.

Hay cuatro de tales segmentos en un cuadrado, tal que:

aI

aaaaIa

B 0

222

0 224

4μ

ππμ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

Ejemplo 93. Un alambre recto largo que lleva una corriente 1I se coloca en el plano de un lazo rectangular que lleva una corriente 2I , ¿cuál es la fuerza neta en el lazo? ¿Es atraída o rechazada por el alambre?

Solución. Las fuerzas en los extremos del rectángulo se cancelan, tal que:

LIBLIBF 2221 −=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

baaLII 11

2210

πμ

Ejemplo 94. Un solenoide largo de radio R y vueltas de N por el metro lleva una corriente

0I . En el eje del solenoide hay un alambre recto largo con una corriente I . ¿Qué valor de I dará lugar a un campo magnético en el punto r = 1/2 R que esté en 45º del eje del solenoide? Solución. Si el campo resultante está a 45º del eje, el campo del alambre debe tener la misma magnitud que el campo del solenoide, puesto que son perpendiculares. Así

000

2NI

rI

μπμ

= , 2Rr = , 0RNII π=

Ejemplo 95. Encontrar B en el punto central del dispositivo de la figura.

Solución. Los segmentos rectos no hacen ninguna contribución al campo en el centro; los segmentos curvos dan, por la Ley de Biot y Savart,

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

=Δ 220 22

4 bb

aaI

B θπθππ

μ


55

= ( )( )

ababIπ

θπμ4

20 −−

Ejemplo 96. Un disco fonográfico de radio R, con una carga uniformemente distribuida Q, está rotando con velocidad angular ω . Demostrar que el campo magnético en el

centro del disco está dado por RQ

Bπωμ

20= .

Solución. En la figura, se muestra el disco en rotación en sentido horario (visto de arriba) con una frecuencia cf estándar de disco fonográfico. El anillo de carga dq entre los radios r y

drr + constituye una corriente Tdqdi = ,

donde ωπ2

=T es el período de rotación del

disco. 2

2Rrdr

Qdq

ππ

= , de modo que

2

2R

rdrQdq =

Usar el resultado del campo magnético en el

centro de un anillo, RI

B2

0μ= , en este caso

diI = , rR = , luego la contribución del anillo diferencial es:

rdidB

20μ= = 2

0 222 rR

Qrdrπωμ

= drR

Q2

0

2πωμ

El campo magnético en el centro en el centro del disco lo hallamos por integración desde

0=r a Rr = .

RQ

drR

QB

R

πωμ

πωμ

220

020 == ∫

Para Q > 0, el campo tiene la dirección k− . Ejemplo 97. La corriente de una fuente de corriente continua es conducida a un instrumento por medio de dos alambres

paralelos largos, separados 10 cm. ¿Cuál es el campo magnético entre los alambres cuando la corriente es 100 A?

Solución. El campo magnético debido a cada alambre en el diagrama en el punto situado entre ellos son perpendiculares e ingresando al papel. Los efectos debido a los alambres por lo tanto se suman en ese punto y el efecto total es dos veces el efecto de cualquiera de ellos. Por lo tanto, en el punto medio entre los alambres,

( )05,0

10010222

2 70 −×==rIB

πμ

= 8 x 10-4Wb/m2. Ejemplo 98. Determine el campo magnético una distancia R de un alambre recto largo que lleva una corriente I.

RI

Bπμ2

0=

Solución.

∫∞

∞−= 2

0 sen4 r

dxIB θ

πμ

Donde rR

=θsen y 22 Rxr +=

( )∫∞

∞− += 2322

0

4 RxRdxI

Bπ

μ

= ∞

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+ 222

0

4 RxRxI

πμ

En el dibujo de la tapa de la derecha B sale del papel. Las líneas de B son círculos


56

concéntricos, con su espaciamiento aumentando a medida que se aleja del alambre. Ejemplo 99. Determine el campo magnético en el centro de un lazo circular de radio R que lleva la corriente I. Solución.

∫= 20 sen

4 rdxI

B θπ

μ = ∫

π θπ

μ 2

0 20

4 RRdI

= ( )ππ

μ2

40 I

Donde θRdd =l y º90=θ , luego

πμ2

0 IB =

El campo magnético de un lazo pequeño con corriente es como el de un imán de barra pequeño, con las líneas de B que brotan fuera de un Polo Norte imaginario y que van al otro extremo a un polo sur imaginario. Así el campo de un lazo pequeño con corriente es el de un dipolo magnético, con el mismo aspecto que el campo de un dipolo eléctrico.

Ejemplo 100. ¿Un alambre recto largo que lleva una corriente I está doblad 90º en un arco circular del radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del arco?

Solución. Cada sección recta es como una mitad de un alambre recto infinitamente largo, así que la contribución de estas dos secciones es

RI

Bπμ2

0= . La contribución de la sección

curvada es el de un cuarto de un círculo

completo,RI

B24

1 0μ= . Luego en el centro

RI

RI

RI

B 000 28,082

μμπμ

=+=

Ejemplo 101. ¿Un alambre largo, horizontal, rígido apoyado lleva una corriente de 50 A. Directamente sobre él y paralelo hay un alambre fino, cuyo peso es 0,075 N por metro, que llevar uno corriente de 25 A. ¿A qué distancia sobre el primer alambre debe estar el segundo alambre para ser sostenido por la repulsión magnética? Solución. Si el alambre superior va a ser soportado por la repulsión magnética, la fuerza magnética por longitud de unidad debe igualar el peso de una longitud de unidad del alambre. Además, las corrientes en los dos alambres deben estar en direcciones opuestas para que la fuerza entre los alambres sea de repulsión. Por lo tanto

rIIFmg '

20

πμ

==ll

⇒ l/

'2

0

mgIIr

πμ

= =

( )( )075,0

2550102 7−× = 0,33 x 10-2m =0,33 cm

Por lo tanto los alambres deben ser muy finos para permitir que sus centros estén muy cercanos. Ejemplo 102. Determine el valor del campo magnético en el centro de una bobina rectangular de largo a y ancho b, que lleva una corriente I. Solución.

Considere el alambre de longitud a en la

figura arriba. Cualquier elemento →

ld tiene

la dirección del flujo de la corriente y →→

× rd l

da un vector, para todo →

ld , dirigido hacia el


57

papel. Así la contribución de todos los →

ld está en la misma dirección y las magnitudes son sumadas directamente. Para el di

elemento →

ld mostrado, la magnitud del campo magnético producido en O una distancia z del alambre es

θπμ

senrIddB 2

0

4l

= .

Pero θsen=rz

, θ-tan=l

r, por

consiguiente θθ decrd cos 2=l

∴ θ

θθθπ

μ22

20

sen/sen. cos

4 zdeczI

dB =

= θθπμ

dzI

sen 4

0

Para todo el alambre,

∫= 2

1

sen 4

0 θ

θθθ

πμ

dzI

B

= ( )120 coscos 4

θθπμ

−−zI

= ( ) 22

0

2/

2/ 4 za

azI

+πμ

.

Del dibujo arriba, es obvio que, puesto que las corrientes entran en direcciones opuestas en los dos alambres de la longitud a, el campo debido a cada alambre en O es el mismo y z tiene el valor b/2. Es también obvio que es el valor de B' debido a cada uno de los otros alambres de la longitud b es

( ) ( ) ( )22

0

2/2/

2/2/4

'ba

aa

IB

+=

πμ

El valor total del campo magnético en O es: ( )'2 BBBTotal +=

= ( ) ( ) ( ) ( )22

0

22

0

2/2/

2/ 22/2/

2/ 2 ba

abI

ba

aaI

++

+ πμ

πμ

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ ab

ba

ba

I22

0

2

π

μ

= 2202ba

abI

+πμ

Ejemplo 103. ¿Dado un alambre que lleva una corriente, ¿Cuándo el campo magnético producido en el centro será mayor, doblando el alambre en un círculo o en un cuadrado? Solución. El campo en el centro de una espira rectangular de lados a y b es

2202ba

abI

B +=πμ

, Luego en el centro de

una espira cuadrada de lado a será:

aI

B22 0

1 πμ

=

Aquí la longitud del alambre con corriente es 4L, luego a = L y así

LI

B22 0

1 πμ

=

El campo magnético en el centro de una bobina del radio r es

rIB

20

2μ

=

Aquí Lr 4 2 =π , ⇒ πLr 2

= o

LI

B40

2πμ

= . Finalmente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

ππμ 224

012 L

IBB

= ( ) 0900,0785,00 <−L

Iμ

Así el campo debido a una bobina cuadrada es mayor que el de una bobina circular. Ejemplo 104. Campo magnético en el eje de un solenoide. Solución.

Sea el solenoide de N vueltas por unidad de longitud, longitud L y radio R.


58

El número de espiras del elemento dz es

NdzL

NLdz= .

El campo magnético en un punto P debido a este elemento es:

( )[ ] kzzR

RNdzIBd ˆ

2 2320

2

20

−+=

→ μ

El campo magnético del solenoide es

( )[ ]∫−+

=→ L

zzR

RdzkNIR

B0 232

02

0 ˆ2

μ

Cambiando la variable Zzz =−0 , dZdz −=

Cuando 0=z ⇒ 0zZ = y Lz = ⇒ LzZ −= 0

de aquí [ ]∫−→

+−=

Lz

z ZRdZk

NIRB 0

02322

20 ˆ

2μ

Integrando

( )

Lz

zZRRZk

NIRB

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

0

0

21222

20 ˆ

2μ

( )

Lz

zZRRZk

NIRB

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

0

0

21222

20 ˆ

2μ

=

( )( )[ ] ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−+

−− 212

02

021

02

00 ˆ2 zR

zLzR

Lzk

NIμ

Finalmente

( )( )( )[ ]

kLzR

Lz

zR

zNIB ˆ

2 210

20

2120

2

00

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

−+

+=

→ μ

En el caso de L >> R, la expresión entre llaves es igual a 2 y

kNIB ˆ0μ=

→

Ejemplo 105. Otra forma de solución. Demuestre que el campo magnético en el punto P en el eje de un solenoide de la longitud finita y N vueltas por unidad de longitud y radio R que lleva una corriente I es

( )120 coscos21 ααμ −= NIB , donde 1α y

2α se muestran en el dibujo

Solución. Considere el solenoide como una serie de lazos circulares de radio R y ancho dx , cada uno con corriente NdxIdi = . El campo magnético a una distancia z en el

eje de un lazo circular es ( ) 2322

20

2 xR

IRB

+=

μ.

El campo magnético producido por un lazo circular de ancho diferencial es:

( ) 2322

20

2 xR

diRdB

+=

μ= 3

20

2rdxNIRμ

para

encontrar el campo resultante integramos desde 1xx = a 2xx = .

∫= 2

13

20

2z

z rdxRNI

Bμ

De la figura anterior: ( ) 2122 xRr += ,

rR

=αsen , rx

=αcos y αsen

rdx ≈

dxrRdr

rRd 32 cos −=−=αα

( )dx

rx

Rxxdxdr =+

= 2122

Con ( ) 2122 xRr += y αsen

rdx ≈ :

∫= 2

13

20

2z

z rdxRNI

Bμ

= ∫2

1 sen2 3

20 z

z rrdRNIααμ

Con rR

=αsen :

∫= 2

1 sen sen

2

20 z

z

dNIB

αααμ

= ∫2

1

sen2

0 α

αααμ dNI

= ( ) 2

1cos

20 α

αα

μ−

NI

Finalmente ( )210 coscos2

ααμ

−=NI

B


59

Ejemplo 106. Dos bobinas circulares de Helmholtz de 250 vueltas son paralelas una a otra y separadas por una distancia igual a su radio común. Encuentre el valor del campo magnético en un punto en el eje entre ellas cuando la corriente atraviesa ambas bobinas en el mismo sentido, y demuestre que el campo es casi uniforme sobre el punto medio. Solución. El campo magnético debido a una sola bobina en un punto a lo largo del eje una distancia y del plano de la bobina es

20

1sen

2 rIaB αμ

= =

( ) 2322

20

3

20

22 yaIa

rIa

+=μμ

Similarmente, en el mismo punto el campo magnético debido a una sola vuelta de la segunda bobina es

( )[ ] 2322

20

2 yaa

IaB−+

=μ

Éstos actúan en la misma dirección, y el efecto total en O debido a las vueltas de n de ambas bobinas es

( )21 BBnB +=

= ( ) ( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−++

+23222322

20 11

2250

yaaya

Iaμ

= 0

Si 2ay = , entonces

( )a

IB 23

0

52508 μ

= , mas

adelante,

( )( )( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

−+

+

−= 23222322

20 33

2250

yaa

yayayIa

dydB μ

, si 2ay = ,

También

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−

+

−= 23222322

20

2

2 332

250

yaaya

Iady

Bd μ

+( )

( )( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

−+

−+

+2322

2

2322

2 1515

yaa

yayay

=( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+−2322

22220 315

2250

yayayIaμ

+( ) ( )[ ]

( )[ ] 03152322

222

=⎪⎭

⎪⎬⎫

−+

−+−−

yaa

yaaya,

Si 2ay = ,

Así dydB

y 2

2

dyBd

son cada uno igual a cero en

el punto 2ay = , en el punto medio entre las

bobinas. Por lo tanto de B difícilmente es cero alrededor de ese punto, dando una región grande de campo uniforme en la región central entre las bobinas. Con este espaciamiento particular de las bobinas, al bajar el valor de B debido a una bobina cuando nos alejamos de ella es compensado por el aumento de B debido a la otra bobina para buena parte de la región entre ellas.

La situación se ilustra en el diagrama. Las líneas llenas dan la magnitud de B debido a cada bobina por separado a lo largo del eje. La línea discontinua muestra el efecto combinado de las dos bobinas, y la región del campo uniforme alrededor del punto medio del sistema se ve claramente.


60

Ejemplo 106. En un laboratorio de Física se requiere eliminar los efectos del campo magnético terrestre en un determinado punto P del mismo. Para ello, se produce un campo magnético contrario al campo magnético terrestre Btierra por medio de un par de espiras circulares que comparten el mismo eje, ambas de radio R y separadas una distancia 2R entre sus centros, Las corrientes de ambas espiras circulan en el mismo sentido y el punto P esta ubicado en el punto medio del mencionado eje. a) Suponga que el campo magnético de la tierra es paralelo a su superficie y se dirige hacia el norte, ¿Cuál es la posición en que tendrían que ponerse las espiras para lograr el efecto deseado en el punto P? b) ¿Cuál es la magnitud de la corriente en las espiras que anulará el campo magnético terrestre en el punto P? c) Obtenga la expresión de la magnitud del campo magnético resultante de las espiras Bespiras en cualquier punto sobre el eje que comparten, tomando como origen el punto P. d) A partir de su resultado en la parte anterior esboce un gráfico del campo Bespiras a lo largo de dicho eje. Indique los valores críticos [máximo(s) o mínimo(s)] en su gráfico. Solución. a)

Las bobinas deben estar orientadas de norte a sur, con las corriente como se indican en el dibujo de tal manera que el campo producido por estás esté en el mismo eje y opuesto al campo magnético terrestre. b) El campo magnético debido a una sola bobina en un punto P en su eje a una distancia R del centro de la bobina es

( ) ( ) iR

IiRR

IRB ˆ22

ˆ2 5,1

02322

20

1μμ

−=+

−=→

Lo mismo para segunda bobina

( ) ( ) iR

IiRR

IRB ˆ22

ˆ2 5,1

02322

20

2μμ

−=+

−=→

El campo total producido por las dos bobinas es:

( ) iR

IBBB ˆ2 5,1

021

μ−=+=

→→→

El campo magnético terrestre es de la Tierra es del orden de 0,5x10-4 T. Para equiparar este campo debe de circular una corriente:

RI

83,2104105,0

74

−− ×=×

π ⇒

( )( )( )7

4

10483,2105,0

−

−

××

=π

RI = 112,60 R

(Amperes) c) El campo magnético resultante de las espiras Bespiras en cualquier punto sobre el eje que comparten, tomando como origen el punto P.

( )[ ] iRxR

IRB ˆ2 2322

20

1++

−=→ μ

Lo mismo para segunda bobina

( )[ ] iRxR

IRB ˆ2 2322

20

2−+

−=→ μ

El campo total producido por las dos bobinas es:

→→→

+= 21 BBB

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

++−= 2322

20 12 RxR

IRμ


61

( )[ ] i

RxRˆ1

2322 ⎪⎭

⎪⎬⎫

−++

d) En el gráfico puede verse que los máximos están en Rx ±= y el mínimo entre las espiras en el centro .0=x El máximo en Rx ±= es:

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

++= 2322

20 12 RRRIRBmáx

μ

( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

−++ 2322

1RRR

RI

RI

Bmáx0

230 54,01

51

2μμ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

El mínimo en .0=x es:

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

++= 2322

20

min01

2 RRIRB μ

( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

−++ 2322 0

1RR

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2323

0min 2

121

2RIB μ

R

IRI 0

230 35,0

2μμ

==

Ejemplo 107. Sobre la superficie de una esfera de madera de radio R se enrolla en una sola capa un número N de vueltas muy próximos entre si con un alambre muy fino, cubriendo completamente la superficie de le esfera. Como se muestra en la figura. Si se hace circular una corriente I ¿cuál es el campo magnético en el centro de la esfera?

Solución. El campo magnético formado en el centro de la esfera es la suma de los campos magnéticos de todas las espiras, como no es posible calcular una por una y sumar, encontraremos un elemento diferencial e integraremos.

La espira formada por el ángulo θd y determinada por θ produce un campo en el centro de la esfera igual a

( )j

yr

dirBd ˆ

2 2322

20

+=

→ μ

Donde θcosRr = , θsenRy = ,

θππ

θ dNIR

NIRdNIddI ===l

l

Reemplazando

jR

dNIRBd ˆ

2cos

3

220

πθθμ

=→

⇒

θθπ

μdj

RNI

Bd 20 cosˆ2

=→

El campo magnético total es

∫=→ π

θθπ

μ0

20 cosˆ2

djRNI

B =

( )π

θθθπ

μ

0

0 cossen21ˆ

2+j

RNI

Finalmente jRNI

B ˆ40μ=

→


62

PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Estudiar el movimiento en el vacío de una partícula de masa m, carga q, que se encuentra en un campo magnético uniforme que forma un ángulo θ con la velocidad inicial de la partícula. No se considerará la influencia del peso. 2. Una partícula de masa m y carga q en el vacío está sometida a un campo eléctrico uniforme E vertical a un campo magnético B uniforme horizontal. La partícula con una velocidad inicial en el punto 0. a) Estudiar el movimiento no tomando en cuenta la acción del peso. Considerar B paralelo al eje y. b) ¿Cómo se manifestaría la acción del peso? ¿Es despreciable? 3. La armadura de un motor de corriente continua, porta 24 bobinas espaciadas por igual, cada una con 10 vueltas, conectada en serie con sus puntos de conexión en los 24 segmentos del conmutador rotatorio. Unas “escobillas” de carbón hacen contacto con el conmutador para poder admitir corriente en las bobinas; la disposición de las escobillas y la geometría del campo magnético en que gira la armadura son tales que cada alambre paralelo el eje gira en un campo de 8500 Gauss en promedio y los paras son todos del mismo sentido. Si, en cualquier instante, todas las bobinas están conectadas a las escobillas de tal manera que haya dos trayectorias iguales y paralelas a través de la combinación, y se entrega a las escobillas una corriente de 12 amperes, encontrar el par promedio desarrollado en la armadura. Tómese cada bobine como un cuadrado de 8 cm. de lado, con los alambres paralelos al eje del motor a una distancia de 5 cm. del eje. 4. Un protón de 2MeV se desplaza en una región del espacio donde hay un campo eléctrico uniforme de una intensidad 10 V/m y un campo magnético uniforme en ángulo recto con él. Si la dirección tanto del campo eléctrico como del campo magnético y el protón no se acelere, calcular la intensidad y el sentido del campo

5. Un electrón describe una trayectoria circular de 0,2m de radio en un campo magnético de 0,002 Tesla. Calcular: a) Su velocidad b) Su periodo de revolución c) Su energía cinética en MeV 6. Una barra conductora de masa 50g en reposo, y a ángulos rectos, dos carriles horizontales separados 10 cm. Una corriente de 20 A pasa a través de la barra a partir de un carril al otro. El coeficiente de la fricción estática entre la barra y los carriles es 0,30. ¿Cuál es el menor campo magnético perpendicular al plano de la barra y de los carriles que moverá a la barra sobre los carriles? Respuesta 0,0735 Wb/m2 7. El alambre de la figura tiene una longitud total de l2 y el punto P está en la bisectriz perpendicular con las coordenadas (0, 0, z).

Demuestren que →

B se dirige en el sentido del eje x en la figura y tiene la magnitud

( ) 2122

0

2 l

l

+=

zzI

Bπμ

.

8. Una corriente de 10 amperios fluye por un lazo de alambre con la forma de un triángulo equilátero de 50cm de lado. Utilicen el resultado del problema anterior y calculen B en el centro del lazo. Respuesta. 3,6 x105T 9. Un alambre de l2 de longitud lleva una corriente I y reposa en el eje z de cierto sistema de coordenadas con su centro en el

origen. Demuestren que el campo →

B en un


63

punto con las coordenadas (x, 0, z), tiene la magnitud

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−= 2122

0

4 xz

zxI

Bl

l

πμ

( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

++

++ 2122 xz

z

l

l

y determinen su dirección. 10. Dos alambres paralelos e infinitos están separados por una distancia 2a y llevan corrientes I, en direcciones opuestas, como se muestra en la figura.

a) Calculen →

B en un punto P que se encuentra u una distancia b a lo largo de la bisectriz perpendicular, de tal modo que, en función del sistema de coordenadas que se muestra, las coordenadas de P son (b, a) ¿Cuál será su respuesta cuando b = 0?

b) Repitan el problema, calculando el campo en un punto general con las coordenadas (x, y). ¿Es una restricción esencial la de que no introduzcamos la coordenada z del punto de campo? c) Repitan el problema, suponiendo esta vez que las corrientes en los dos alambres se dirigen perpendicularmente hacia abajo. Respuesta

b) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

−+−

=→

iyx

yayx

ayIB ˆ

22

2 22220

πμ

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−

++ j

ayxx

yxx ˆ

2 2222

11. ¿Qué corriente debe circular por un lazo circular de alambre de radio de 50 cm para que el campo en el centro sea de 5 x 10-3 tesla? ¿Qué corriente debe de fluir para que el campo tenga una intensidad de dos. teslas? Respuesta. 40A; 1,6 x 106A

12. Una corriente I fluye en un segmento de un lazo circular de radio a y un ángulo α

como se muestra en la figura. Calcular →

B en el centro O del lazo, desdeñando los alambres de alimentación de la corriente.

Respuesta

aI

40

παμ

(abajo)

13. Supongan que hubiera una corriente circular en torno a la Tierra, en el ecuador. ¿Cuál sería la intensidad de esta corriente para producir el campo observado en los polos de aproximadamente 7,5 x l0-5 tesla? ¿Iría la corriente de este a oeste o en dirección opuesta? 14. Calculen en el punto P la intensidad del campo magnético debido a la corriente I a través del alambre de la figura. (Indicación:

15. Una línea de carga circular de radio a y carga por unidad de longitud λ , gira a una velocidad angular ω en torno a su eje. a) Demuestren que este movimiento corresponde a una corriente I que fluye en un lazo circular de radio a y está dada por

ωλaI = .

b) Calculen →

B en un punto sobre el eje de la línea de carga y a una distancia b de su centro. 16. Un disco de radio a lleva una carga uniforme por unidad de área σ . y gira con una velocidad angular ω en torno a su eje.


64

a) Demuestren que el campo magnética dB en el punto P sobre el eje, debida a un anillo de radio r y espesor dr es

( ) 2322

20

2

br

drrdB

+=

σωμ

b) Demuestren que el campo total B en el punto P es

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+

+= b

babaB 22

2 2122

220σωμ

17. Un solenoide de 0,5 cm de radio y 20 cm de longitud lleva una corriente de 10 A y tiene 1000 vueltas. Calculen el campo magnético sobre el eje de la bobina en los puntos siguientes: a) el centro de la bobina, b) el borde de la bobina, y c) a una distancia de 100 cm al centro de la bobina, d) tracen una gráfica de B en función de la posición sobre el eje de la bobina. 18. ¿Qué cantidad de vueltas por unidad de longitud se requieren para que un solenoide largo que lleva una corriente de 2,0 A tenga un campo magnético sobre su eje de 1,5 x l0-2 T? 19. Una corriente de 0,5 A fluye en torno a un solenoide de radio de 1,0cm y 40 cm de longitud. Si el campo magnético uniforme cerca del centro del solenoide es de l0-3 T, ¿qué cantidad de vueltas por unidad de longitud tendrá el solenoide? Respuesta 1,6 x 103 vueltas/m 20. Supongan que el campo sobre el eje de un solenoide muy largo con 1000 vueltas por metro es de 50 x l0-3T. a) Cuál es la corriente? b) Si se pone ahora un alambre que lleva una corriente de 10 A con N vueltas por unidad de longitud en torno al solenoide original, de tal modo que el campo sobre el eje se reduzca a

2,5 x l0-3T,calculen N. ¿Son los flujos de corriente paralelos en las dos bobinas? 21. Un protón se desplaza a una velocidad de 5,0 x l05 m/s a lo largo del eje de un solenoide, que tiene 1000 vueltas por metro y lleva una corriente de 2,0 A. Calculen la aceleración del protón. ¿De qué modo diferiría su respuesta, si se desplazan en paralelo, pero no a lo largo del eje? Respuesta Cero 22. Un hombre camina hacia el norte por debajo y en sentido paralelo a una línea de potencia en la que fluye una corriente directa de 100 A. Si está a 10 m por debajo de la línea, ¿qué campo magnético más allá del que se debe a la Tierra, medirá? ¿Tendrá esto una interferencia grave con una lectura de la brújula en este punto? 23. ¿Cuál es el campo magnético en el eje de un lazo circular de radio R con una corriente I a una distancia z del centro del lazo? Respuesta

θφπ

μ πcos

42

0 20 ∫=

rRdI

B ⇒

( ) 2122

20

2 zR

IRB

+=

μ

24 ¿Un alambre recto muy largo con una corriente I tiene un lazo circular de radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro del lazo?

Respuesta


65

Sobreponga el campo de un alambre recto,

RI

Bπμ2

0= , con el campo de un lazo,

RI

B2

0μ= .

RI

RI

B22

00 μπμ

+=

25. Tres alambres largos, rectos, paralelos, cada uno con corriente I en la misma dirección. Son equidistantes uno de otro con la misma separación a . ¿Qué fuerza por unidad de longitud un alambre experimenta debido a los otros dos? Respuesta

°= 30cos 2

2 0

aI

Bπμ

, aI

BILF2

0

23 μπ

==

26. ¿Un disco del radio R lleva una densidad uniforme σ de carga superficial. Rota sobre su eje con velocidad angular ω . cuál es el campo magnético en el centro del disco? Respuesta. Considere los anillos anulares de ancho dr . Cada uno es como un lazo con corriente

dAf σ , donde rdrdA π2= y πω 2=f .Luego el campo en el centro de

un lazo es: ( )

∫=R

rdrr

B0

0

2σωμ

= 2

0 Rσωμ

27. ¿Qué campo magnético es producido por un solenoide muy largo con 150 vueltas por metro que lleva una corriente de 20 A? Respuesta

NIB 0μ= = ( )( )( )20150104 7−π = 3,77 x 10-3T. 28. Un conductor recto, largo y de radio a , lleva una corriente 0I , se ha diseñado de tal manera que la densidad de corriente dentro del conductor varía de acuerdo a la expresión

30 23

arIJ

π=

Determinar el carpo magnético para todo punto.

29. Se tiene tres conductores paralelos como se muestra en la figura. Calcular el campo magnético en los puntos A, B, C y O.

A 11 =I , A 22 =I , A 33 =I .

30. Una espira lleva una corriente de 4 A y tiene un radio de l0 cm. Si colocamos un alambre recto y largo en el eje de la espira con una corriente de 1 A, determinar la fuerza que ejerce la espira sobre el alambre por unidad de longitud.

31. Una aspira cuadrada de alambre de lado a a lleva una corriente I , determinar el valor de B en el centro de la espira.

32. Calcular el campo magnético en el eje de la espira radio R que está conectada en ambos lados como se muestra en la figura y pasa una corriente I por ella. ¿Cual es el valor del campo en el centro de la espira?

33. Un disco de plástico de radio a tiene una carga uniformemente distribuida en su superficie ( )2C/m σ . Si el disco gira con


66

velocidad angular ω , encontrar el campo magnético en el centro del disco. 34. Dada una tira delgada de metal de ancho a y muy larga. La corriente es longitudinal y vale I . Encontrar el campo magnético en el plano de la tira a una distancia b del borde más cercano. 35. calcular es Campo magnético B creado por una espira circular de radio R por la que circula una corriente I , en un punto P sobre el plano del anillo. Realizar un desarrollo en potencia de limitarse el segundo orden.

36. Determinar el campo magnético en el punto O en la figura. Los alambres rectos se consideran muy largos.

37. Determinar el flujo magnético a través del contorno rectangular mostrado en la figura creado por la corriente I que pasa por el alambre recto infinito.

38. Determinar el flujo magnético a través de las secciones de los toroides mostrados en la figura. Las bobines están arrolladas

densamente con N vueltas y pasa una corriente I.

39. Una bobina cuadrada de 1 cm de lado, con 15 vueltas, está colgada en el centro de un solenoide largo de 200 vueltas por metro y conduce 300 mA. Si el plano de la bobina forma un ángu1o de 20º con el eje del solenoide y la bobina conduce 1 mA, encontrar el par sobre ella. 40. ¿Cual es el trabajo necesario para voltear la bobina cuadrada del problema anterior de una posición en que la normal positiva a la

bobina sea paralela a la dirección →

B en el solenoide a una posición invertida en 180°? 41. Las bobinas de Helmholtz son dos bobinas circulares planas (asimilarlo a dos espiras circulares de radio R), idénticas, con eje común, por las que pasa una misma corriente I en el mismo sentido. La distancia entre las bobinas es 2d.

Calcular el campo magnético →

B en un punto P Situado en el ejes la distancia x del centro O da las dos bobinas 42. Dos placas delgadas infinitas, paralelas de ancho a y la distancia entre ellas es b , llevan corrientes igual a I pero opuestas. Encontrar la fuerza por unidad de longitud de cada placa. 43. Determinar el campo magnético debido a dos planos paralelos con iguales densidades de corriente superficial i constante. Considere


67

los dos casos cuando las corrientes fluyen en el mismo sentido y en sentidos opuestos. 44. Una esfera de radio a tiene carga uniforme sobre su superficie con una carga total q , rota alrededor de un diámetro con velocidad angular constante ω . Encontrar el campo magnético dentro y fuera de la esfera. 45. Un protón en la capa superior de la atmósfera se desplaza a una velocidad de 10 m/s en ángulo recto con el campo de la Tierra, que tiene una intensidad de 5,0 x l0-5 T en este punto. a) ¿Cuál es el radio de la órbita del protón? b) ¿Cuánto tiempo necesita el protón para completar una órbita? c) ¿Cuál es su frecuencia de ciclotrón? Respuesta a) 210 m; b) 1,3x 10-3s; c) 4,8 x 103 rad/s 46. Un electrón se desplaza en ángulo recto con un campo magnético uniforme de una intensidad de 3,0 x l0-2 T. Si su energía es de 50 keV (1 keV = l0-3 MeV), calculen: a) su velocidad, b) el radio de su órbita y c) la frecuencia del ciclotrón. 47. Un protón y una partícula alfa se desplazan en direcciones paralelas a la misma velocidad, cuando entran a una región del espacio en la que hay un campo magnético

uniforme →

B . Supongan que se desplazan en ángulo recto con el campo. a) ¿Cuál es la razón de los radios de sus órbitas? b) ¿Cuál es la razón de sus frecuencias de ciclotrón? c) Cuál es la razón de sus energías? Respuesta

a) 2=pR

Rα , b) 21

=pω

ωα , c) 4=pK

Kα

48. Un protón de 2 MeV se desplaza en una región del espacio donde hay un campo eléctrico uniforme de una intensidad de 105

V/m y un campo magnético uniforme →

B en ángulo recto con él. Si la dirección de movimiento del protón es perpendicular a la dirección tanto del campo eléctrico como del campo magnético y el protón no se acelera,

calculen la intensidad y el sentido de

dirección del campo →

B . 49. Un haz que contiene una mezcla de los isótopos Li y 7Li entra en la región de campo

magnético uniforme 0→

B por la ranura C del espectrómetro de masas. Si los iones Li6 se detectan a una distancia de l0 cm por debajo de la ranura C, ¿dónde aparecerán los iones Li7? ¿Cuál es la razón de las energías cinéticas ale esos dos isótopos?

Respuesta.

5, l2 cm bajo la ranura; ( )( ) 6

76

7

=LiKLiK

50. Un ciclotrón que se utiliza para acelerar protones tiene un radio de 0,5 m y un campo magnético de 0,75 T. a) ¿Cuál es la energía de los protones que salen? Exprese su repuesta en Joules y en Mev. b) ¿Cuál es la velocidad final de los protones expulsados? c) ¿Cuáles serían las energías de partículas alfa si se vieran aceleradas por este ciclotrón?. 51. Con el ciclotrón del problema anterior. a) ¿Cuál es la frecuencia del oscilador ω para este ciclotrón, cuando acelera protones? b) Si los protones recogen 100 keV cada vez que cruzan el espacio entre las Des, ¿cuántas órbitas semicirculares completarán los protones antes de verse expulsados? c) Calculen el tiempo necesario para acelerar los protones hasta sus velocidades finales. Respuesta a) 7,2 x 107 rad/s; b) 69 órbitas; c) 3,0 x10-6s 52. Si se utilizara el mismo el ciclotrón para acelerar electrones, entonces, desdeñando los efectos relativistas, ¿cuáles serían las energías finales de los electrones? ¿Tenemos razones para suponer que los efectos relativistas son desdeñables?


68

Respuesta 9,l.2 x 104 MeV; no. 53. Un ciclotrón con un campo magnético de 2,0 T se usa para acelerar protones. a) ¿Cuál debe ser la frecuencia (en Hz) del campo oscilador entre las Des? b) Si se utiliza este ciclotrón para acelerar deuterones, ¿a qué frecuencia se deberá ajustar la frecuencia de este campo oscilador? 54. Si 0E es la energía de un ciclotrón, cuando acelera protones, demuestren que puede acelerar iones, de masas atómicas A y con Z unidades de carga, a la energía

0

2

EA

ZE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

55. Si existiera un monopolo magnético de intensidad ε , entonces, el campo magnético

asociado a él sería de →→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= r

rB 3

ε, en donde

r es la posición en el espacio, medida a partir del monopolo. a) Escriban la ecuación del movimiento para una partícula de carga q y masa m que se desplace en el campo de un monopolo. b) Demuestren que la energía cinética de la partícula es una constante de movimiento. Respuesta

a) 3rrvq

dtvdm

→→→

×= ε

56. Para el sistema físico del problema anterior, demuestren que: a) La cantidad de movimiento angular

→→

× vrm (en relación al monopolo) de la partícula no es constante en general.

b) La cantidad dt

vrmd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

→→

es constante y

determinen su valor en función de la

velocidad inicial 0

→

v . 57. Se ha estimado que en la superficie de una estrella de neutrones, el campo B puede ser de hasta 109 T. Para un protón de lo MeV que se desplace en ese campo, determinen:

a) su frecuencia de ciclotrón y b) el radio de su órbita. Respuesta a) 9,6 x 1016 rad/s b) 4,6x 10-10m 58. Una bobina rectangular de alambre lleva una corriente I y tiene una anchura a. Si el extremo inferior de la bobina se mantiene entre los polos de un electroimán con un campo magnético B y dirigido como se muestra en la figura, calculen la magnitud de

la fuerza →

F necesaria para sostener la bobina, por encima de la gravedad.

59. Demuestren que la fuerza sobre una porción de alambre que lleva una corriente en un campo magnético uniforme es la misma para todos los alambres que tengan los mismos puntos extremos. O sea, demuestren que la fuerza sobre los alambres 1 y 2 en la figura es la misma que si pasara la misma corriente por cada uno de ellos.

60. Una corriente de 5,0 A fluye en un lazo cuadrado de lado de 10 cm. Calculen la fuerza total en dos de sus lados adyacentes, producida por una inducción magnética externa perpendicular al plano del lazo y una intensidad de 0,1 T. 61. Una corriente de una intensidad I fluye en una bobina que tiene la forma de un pentágono regular de lado a. Supongan que


69

hay un campo magnético uniforme B perpendicular al plano de la bobina. a) Calculen la fuerza producida por el campo externo en cada segmento. b) Al utilizar los resultados de (a) demuestren explícitamente que la fuerza total sobre el lazo es cero. Respuesta a) IaB dirigido perpendicularmente al alambre en el plano de la bobina 62. Sean dos alambres paralelos, cada uno de ellos con una longitud l , que tienen las mismas corrientes I y están separados por una distancia a, como en la figura. a) Demuestren que el campo magnético B en el punto (x, a) del alambre superior, debido a la corriente en el interior, tiene la magnitud

( )( )[ ]⎩

⎨⎧

+−−

=22

0

221

4 axx

aI

Bl

l

πμ

( )

( )[ ]⎭⎬⎫

+++

+222

2ax

xl

l

¿Cuál es la dirección de B? b) Calculen la fuerza dF sobre el elemento de longitud dr, situado en el punto (x, a) del alambre superior. c) Demuestren por integración que la fuerza total F sobre el alambre superior es descendente y tiene la intensidad

( )[ ]aaa

IF −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

21222

0 12

lπ

μ

63. En la figura, si a = 3,0 cm, b = 5,0 cm,c = 3,0 cm, I1 = 5,0 A e I2 = 2,0 amperios, calculen: a) la fuerza en el segmento AC que se debe a la corriente en el alambre largo, y b) la fuerza en el segmento AE que se debe a la corriente en el alambre largo.

64. Sea nuevamente el sistema del problema anterior. Esta vez, calculen la fuerza sobre el alambre recto y largo debida a la medición magnética producida por el lazo rectangular. Respuesta

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

bahII 11

2210

πμ

, (izquierda)

65. Un lazo rectangular de alambre de lados de 10 y 30 cm lleva una corriente de 15 A. Calcular las fuerzas mutuas de repulsión entre los dos pares de alambres opuestos. Respuesta 9,7 x 10-5 N entre alambres más largos; 2,4 x 10-6 N entre alambres más cortos 66. Sean dos alambres de longitudes l y L en ángulo recto entre sí, de la figura. Supongan que las corrientes I1 e I2 se dirigen como se muestra.

a) Demuestren que el campo magnético →

B en la posición del elemento de longitud dy situado en el punto (0, y, 0) es

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−=

→

2122

10

4ˆ

ybb

yI

kBπ

μ

( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

++

++ 2122 yb

b

l

l

b) Demuestren que la fuerza magnética dF sobre el elemento dy es

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+

−=

→

2122

210

4ˆ

ybbdy

yII

iFdπ

μ

( )[ ] ⎪⎭

⎪⎬⎫

++

++ 2122 yb

b

l

l


70

c) Calculen la fuerza total →

F sobre alambre de longitud L.

67. Dos elementos de corrientes 11

→

ldI e

22

→

ldI se colocan uno en relación al otro, como se muestra en la figura. a) Calculen la fuerza que ejerce el elemento

11

→

ldI sobre el otro. b) Calculen la fuerza que ejerce el elemento

22

→

ldI sobre el otro. c) Expliquen la razón por la que, cuando los resultados en (a) y (b) no sean iguales y opuestos, no haya contradicción esencial con la ley de Newton de la acción y la reacción.

68. En cierto sistema de coordenadas fluye una corriente I2 a lo largo de un alambre infinitamente largo que se encuentra a lo largo del eje x. Demuestren que la fuerza magnética sobre el segundo alambre de longitud l y que lleva una corriente I1 cuyos puntos extremos están en los puntos (0, 0, a) y (0, l , a) es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

→

2

2210 1ln

4ˆ

aII

iF l

πμ

69. Sea la misma situación que en el problema anterior, suponiendo esta vez que los puntos extremos del segmento más corto están en los puntos (0, 2l− -, a) y (0, 2l , a).

a) Demuestren que esta vez no hay fuerza sobre el segmento más corto. b) Calculen el torque en torno al punto (0,0, a) sobre el segmento más corto. 70. Calculen los momentos dipolares magnéticos asociados a cada uno de los lazos planos siguientes (suponiendo que en cada caso, la corriente es de 2,0 A y que hay 10 vueltas en cada lazo): a) Un lazo circular de radio de 10 cm. b) Un lazo rectangular de lados de 2 y 10 cm. c) Un lazo de forma elíptica de eje semi mayor de 10cm y semi menor de 5cm. Respuesta a) 0,63 A.m2, b) 4,0 x 10-2 A.m2, c) 0,31 A.m2

71. Al calcular el trabajo que se requiere para hacer girar un lazo de corriente de momento

dipolar en un campo magnético →

B , demuestren que la energía U asociada con él es

→→

⋅−= BmU (Indicación: El trabajo dW que se re quiere para hacer girar un dipolo en un pequeño ángulo αd es αrd , donde τ es el torque que se tiene que aplicar.) 72. Una bobina circular de alambre de radio de 10cm y 150 vueltas lleva una corriente de 10-2 A. Cuál es el torque máximo que se puede ejercer sobre esta bobina mediante un campo magnético uniforme de una intensidad de 0,2 T. Respuesta 9,4 x 10-3 N.m 73. Se suspende un lazo rectangular de lados a y b de tal modo que tenga libertad para girar en torno al eje horizontal AB. Si tiene una masa m y si la corriente en torno es I, calculen el ángulo θ al que estará en equilibrio en presencia de un campo magnético vertical

uniforme →

B .

74. Sea un lazo plano de alambre que lleva una corriente I en presencia de un campo

magnético uniforme →

B .


71

a) Demuestren que el torque τ en torno a un punto P dentro del lazo se puede expresar,

utilizando, en la forma ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××=

→→→→

∫ Bdri lˆτ ,

en donde →

r es el vector del punto P al

elemento →

lId . b) Utilizando el hecho de que la integral se debe llevar en torno a un lazo cerrado, demuestren que otra fórmula equivalente para τ es

→→→→

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×= ∫ Bdri lˆ

21τ

c) Finalmente, demuestren que la integral →→

∫ × ldr21

es el área vectorial del lazo y, en

esa forma, establezcan la validez general de →→→

×= Bmτ .

75. Demuestren que →→→

×= Bmτ es válido para un lazo de forma arbitraria, reemplazando el lazo dado de corriente por un conjunto de lazos rectangulares contiguos y muy delgados, cada uno de los cuales tenga la misma corriente I. 76 Sea un alambre de longitud fija l y que lleve una corriente I. Este alambre se puede formar en varios lazos, tales como el cuadrado del lado 4l , n lazos circulares cada uno de ellos de radio n 21 π , etc. Demuestren que el torque máximo en cualquiera de ellos en un campo magnético

uniforme →

B se logra cuando el alambre

forma un círculo de radio π21 y calculen la torque en este caso. Respuesta

π4

2 BIl

77. Un lazo circular de alambre de masa m y radio a lleva una corriente I y tiene libertad para girar en torno a un diámetro horizontal

AC en presencia de un campo →

B uniforme, dirigido verticalmente hacia arriba. Si está distribuido en una cantidad ligera a partir de su posición de equilibrio, demuestren que oscilará en torno a AC con un movimiento

armónico simple de periodo 21 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

IBmT π

(Nota: El momento de inercia de este lazo en

torno a un diámetro es de 2

21 maIinercia = .)

78. En un experimento para medir el efecto de Hall en el sodio, supongan que se utiliza un campo magnético de una intensidad de 0,8 T y se mide una corriente de 10 A. Suponiendo que el área de corte transversal de la lámina metálica sea de 2 cm2 y que tE = l0 V/m, calculen: a) La velocidad de deriva de los electrones. b) El valor del coeficiente de Hall. e) El número de portadores de carga por unidad de volumen, comparando esto con el número de átomos de sodio por unidad de volumen. La masa atómica del sodio es de 23 y su densidad de l0 kg/m3. Respuesta a) 1.3 x 10-5 m/s, b) 2,5x 10-10 m3/C, c) 2,5 x 1028 portadores de carga/m3 79. Supongan que el galvanómetro de bobina pivotante de la figura tiene un campo radial →

B de una intensidad de 0,3 T, y que la bobina misma tenga 200 vueltas y un área de 3,0 cm2. Calculen la constante de resorte (torsión/desplazamiento angular), suponiendo que una corriente de 1,0 mA produzca una deflexión angular de 15°.


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CAPÍTULO 3. Campo magnético