Marcos Crutchik

CAPITULO 3

HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES

Introducción Como se observó en el capitulo anterior, los modelos matemáticos están constituidos por ecuaciones, tanto simples como diferenciales, de modo que si se quiere conocer la respuesta de un sistema a ciertos estímulos, ello forzosamente implica la resolución de del sistema de ecuaciones planteado para describir su dinámica. También, como ya se discutió largamente con anterioridad, para los efectos de este curso los sistemas se considerarán lineales e invariantes, de modo que la atención se centrará en las herramientas matemáticas asociadas a sistemas de este tipo. Básicamente existen dos estrategias gruesas, en lo que a herramientas matemáticas se refiere, para enfrentar el problema del análisis: (i) Herramientas en el Dominio del Tiempo: En este caso se aplican herramientas

para resolver directamente el sistema en su forma original, esto es, un conjunto de ecuaciones dependientes del tiempo. Las herramientas disponibles en este caso son esencialmente las siguientes dos: • Resolución directa de las ecuaciones utilizando técnicas de resolución de

sistemas de ecuaciones diferenciales. • Utilización del Método de la Convolución.

(ii) Herramientas en el Dominio de la Frecuencia: En este caso, mediante el uso

de transformadas (por lo general las de Fourier y de Laplace) se convierten las ecuaciones del modelo matemáticos cambiándolas del Plano del Tiempo al plano de la transformada que se esta utilizando (Plano de Frecuencia en el caso de Fourier y Laplace). La idea es en este caso es simplificar la resolución matemática transformando las ecuaciones diferenciales en ecuaciones lineales simples, hecho que facilita enormemente su resolución (de hecho se trata de resolver un sistema de ecuaciones lineales). Una vez resuelto el problema en el nuevo plano, habiéndose despejado la respuesta deseada, se obtiene la respuesta equivalente en el plano del tiempo aplicando al resultado la Transformada Inversa.

Las transformadas más utilizadas para el análisis de sistemas son las de Fourier y la de Laplace.

• La Transformada de Fourier: Transforma el conjunto de ecuaciones en el tiempo representativas del modelo matemático en otras equivalentes en el Plano de la Frecuencia. Su utilidad en el análisis de la respuesta de sistemas se ve limitada por el hecho de que presenta ciertos problemas de convergencia, y dado que en algunos casos su transformada inversa no es única. Constituye, eso si, una excelente herramienta para el análisis de señales, siendo éste su principal uso.

• Transformada de Laplace: Es una variante de la Transformada de Fourier, que en su versión del tipo Unilateral resulta ser una excelente herramienta para el

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análisis de la respuesta de sistemas lineales. Su utilización en el análisis de señales, si bien es posible, es más bien limitada, prefiriéndose en estos casos el uso de la Transformada de Fourier.

Cabe destacar que todas las herramientas a plantear, tanto en el Dominio de Tiempo como en el Dominio de la Frecuencia, resuelven el problema del análisis planteado como objetivo en este curso, de modo que en principio da lo mismo utilizar cualquiera de ellas, dependiendo el uso de una u de otra del gusto y las habilidades de cada una de las personas. A pesar de lo anterior, en la práctica, la mayoría de los analistas suelen utilizar en forma preferente la Transformada de Laplace, ello no solo dado a la simplicidad en su uso, sino que también, como se verá más adelante, por la información adicional respecto al comportamiento del sistema en el Plano de la Frecuencia que es posible extraer con su ayuda. 3.1. Herramientas Matemáticas en el Dominio del Tiempo Se trata de herramientas para el análisis de sistemas lineales (o linealizados) e invariantes, de los cuales, por su mayor familiaridad de los usuarios y simplicidad en el uso, se considerarán en esta sección solo las siguientes: (i) Métodos de solución de ecuaciones diferenciales, y, (ii) Método de la Convolución Continua. 3.1.1. Método basado en la resolución de ecuaciones diferenciales La idea es aplicar los métodos tradicionales, en el dominio del tiempo, de resolución de ecuaciones diferenciales. Para ello es necesario transformar el modelo matemático del sistema bajo estudio en una sola ecuación representativa del mismo, ecuación la cual, mediante su resolución, entregará la respuesta deseada (salida del sistema en este caso) frente a una entrada predeterminada. Puesto que se trata de sistemas lineales e invariantes las ecuaciones resultantes serán del tipo lineal con coeficientes constantes. Para lo que sigue, para y(t) como la salida deseada y x(t) como la entrada, se considerará la siguiente ecuación diferencial generalizada como base para plantear las metodologías de solución:

xByAdtdyA.....

dtydA

dtydA 0011n

1n

1nn

n

n =++++−

−

− (3.1)

en donde B0, A0, A1, ...., An son constantes. La metódica tradicional utilizada en la resolución de ecuaciones diferenciales de este tipo se basa en el calculo de y(t) a partir de la suma de la componentes Transiente, yts(t), (Homogénea en lenguaje matemático) y la Estacionaria, yss(t), (Particular, como la definen los matemáticos) de la respuesta (ver Fig. 3.1), en otras palabras: y(t) = yts(t) +yss(t) (3.2)

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Fig. 3.1. Esquema de la respuesta de un sistema como la suma de una componente Transiente y otra Estacionaria. (i) La Respuesta Transiente: Como su nombre lo indica es una parte de la

respuesta que tiene una duración finita, después de la cual deja de existir, quedando solo la componente Estacionaria de la respuesta. El cálculo de esta componente se consigue suponiendo que no existe entrada, x(t) = 0, esto se, se obtiene mediante la resolución de la ecuación:

0yAdt

dyA.....dt

ydAdt

ydA ts0ts

11nts

1n

1nnts

n

n =++++−

−

− (3.3)

o, con la utilización del Operador Dn = dn/dtn : ( ) 0)t(yADA.....DADA ts01

1n1n

nn =++++ −

− (3.4) En donde el polinomio entre paréntesis se denomina Polinomio Característico. La expresión para yts(t) depende de las raíces del Polinomio Característico. Cada raíz aporta un término a la solución, siendo la solución final la suma de todos los aportes individuales. Respecto a los aportes de las raíces se pueden dar tres tipos de situaciones: • Raíces Reales diferentes entre sí: Cada solución de este tipo aporta a yts(t) un

término como el siguiente: (3.5) tR

itsiieK)t(y =

En donde: Ri = Valor de la raíz del Polinomio Característico Ki = Constante, a determinarse con las Condiciones Iniciales Nota: Obsérvese que sí Ri>0, entonces ytsi(t) (y consecuentemente también yts(t) e y(t)) tienden a infinito a medida que el tiempo crece, es decir, para un sistema real

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ello implicaría que la salida crece constantemente, hecho que obviamente tarde o temprano terminará por dañar el sistema (imagínese que pasaría si la temperatura de un horno creciera indefinidamente). • Raíces Reales de multiplicidad P: Las raíces de este tipo aportan a yts(t)

términos como el que sigue: ( )12

2n1p

1np

tRtsi KtK.....tKtKe)t(y i ++++= −

−− (3.5)

En donde: Ri = Valor de la raíz del Polinomio Característico de multiplicidad P Kp,..,K1 = Constantes a ser determinadas con las Condiciones Iniciales • Raíces Imaginarias: Las raíces complejas siempre vienen de a pares, teniendo

estas la siguiente forma:

Di1,Di2 = A ± j B (3.6) Cada una de este par de soluciones a portan los siguientes términos a yts(t): (3.7) ( )Bt(SenK)Bt(CosKe)t(y 21

Attsi += )

En donde: A = Parte real de la raíz del Polinomio Característico B = Parte imaginaria de la raíz del Polinomio Característico K1, K2= Constantes a ser determinadas de las Condiciones Iniciales Ejemplo: Calcule una expresión para yts(t) para la siguiente ecuación homogénea:

0y16dt

dy48

dtyd

54dt

yd29

dtyd

8dt

ydts

ts2ts

2

3ts

3

4ts

4

5

5=+++++

Solución: El Polinomio Característico esta dado en este caso por: 016D48D54D29D8D 2345 =+++++ cuyas raíces son las siguientes: D1 = -2 D2 = -1 de multiplicidad 2 D3, D4 = -2 ± 2j Bajo este contexto, el aporte de cada una de las raíces a la solución yts(t) será el siguiente:

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• D1 = -2 ⇒ t211ts eK)t(y −=

• D2 = -1 de multiplicidad 2 ⇒ ( )32t

2ts KtKe)t(y += −

• D3, D4 = -2 ± 2j ⇒ ( ))t2(SenK)t2(CosKe)t(y 54t2

3ts += − De lo que se deduce la siguiente expresión para yts(t): yts(t) = yts1(t) + yts2(t) +yts3(t) = + + t2

1eK − ( )32t KtKe +− ( ))t2(SenK)t2(CosKe 54

t2 +− Las constantes K1, K2,....,K5 deberán ser calculadas con la ayuda de las Condiciones Iniciales. Nota: En la mayoría de los casos en la práctica los sistemas reales son del tipo causal, razón por la cual las condiciones iniciales son por lo general iguales a cero. (ii) La Respuesta Estacionaria: No existe una metodología sistemática para el

cálculo de esta componente de la respuesta. La solución debe encontrarse en estos casos en forma intuitiva, esto es, tratar de “imaginarse” una solución, para proceder posteriormente a la validación de la asumpción. En realidad puede ser complicado “imaginarse” una solución cuando la entrada corresponde a alguna función complicada, sin embargo, afortunadamente, en la práctica, desde el punto de vista operacional, no son muchos los tipos de entrada a las cuales están sometidos los procesos, siendo las entradas más usuales aquellas asociadas a la forma de un escalón (poner en marcha o apagar un sistema o proceso) y las del tipo sinusoidal. En estos casos las mejores aproximaciones de respuesta estacionaria se consiguen con: • X(t) = A U(t) ⇒ yss(t) = C U(t) • X(t) = A Sen(wt+φ) ⇒ yss(t) = C1 Sen(wt) + C2 Cos(wt) En donde C, C1, C2 son constantes que se pueden calcular por el método de las Constantes Indeterminadas.

Ejemplo: Para el siguiente sistema calcule la respuesta estacionaria a las siguientes entradas:

(a) x(t) = U(t) (b) x(t) = 20 Sen(2t)

)t(xy2dtdy3

dtyd2

2=++

Solución: (a) Sea yss(t) = C U(t) = C , para t ≥ 0

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En este caso, puesto que C es una constante 0dt

dydtyd ss

2ss

2

== , de modo que,

haciendo los reemplazos en la ecuación diferencial se obtiene que: 2 C U(t) = U(t) ⇒ C = 0.5 De lo que se concluye que; Yss(t)= 0.5 U(t) (b) Sea yss(t)= C1 Cos(2t) + C2 Sen(2t), en consecuencia:

)t2(SenC2)t2(SenC2dt

dy21

ss +−=

)t2(SenC4)t2(CosC4dtyd

212ss

2

−−=

Reemplazando las tres expresiones en la ecuación diferencial, y ordenando los términos, se tiene que: [6C2 – 2 C1] Cos(2t) + [-6C1 – 2 C2] Sen(2t) = 20 Sen(2t) Comparando los coeficientes en ambos lados de la igualdad se concluye que, si la igualdad ha de cumplirse, entonces necesariamente: 6 C2 – 2 C1 = 0 - 6 C1 – 2 C2 = 20 Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene que C1=-3, y C2=-1, entonces: Yss(t) = -3 Cos(2t) – Sen(2t) Ejemplo de Integración de conocimientos: Considere el siguiente sistema utilizado para calentar una sustancia a baño maría, cuyo modelo matemático se adjunta:

Modelo Matemático:

(1) 121

1 QQdt

dTC −=

(2) )TT(R1Q 21

112 −=

(3) a2122

2 QQdt

dTC −=

(4) )TT(R1Q a22

a2 −=

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En donde: C1 = Capacitancia Térmica del agua = 2 [Watts-Minutos/°C] C2 = Capacitancia Térmica de la sustancia = 1 [Watts-Minutos/°C] R1 = Resistencia Térmica entre el agua y la sustancia = 0.2 [°C / Watts] R2 = Resistencia Térmica entre la sustancia y el ambiente = 0.1 [°C / Watts] T1 = Temperatura del agua T2 = Temperatura de la sustancia Ta = temperatura del ambiente = 10 [°C]

Considerando que la temperatura ambiente tiene un efecto despreciables sobre el sistema, determine la temperatura T2 de la sustancia para Q =1000 (Watts). Solución: Para poder aplicar el método enseñado en la resolución de este problema se tiene que encontrar una ecuación diferencial para T2 como función de la entrada Q. Bajo esta premisa, reemplazando sucesivamente las ecuaciones (4), (3), y (2) en la ecuación (1), y después de algún trabajo algebraico se obtiene la siguiente expresión:

a2121

211

22121

2

1

2

2

1

1122

2T

CRR1Q

CR1T

CRR1

dtdT

CC

RR1

CR1

dtTd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

Nota: Observe que la ecuación diferencial resultante es de 2° Orden, lo cual es lógico si se recuerda que ella se genera a partir de dos ecuaciones diferenciales de 1° Orden independientes. Despreciando el efecto de la temperatura ambiental, condición dada para el problema, y reemplazando los valores de los parámetros se obtiene la siguiente ecuación diferencial que permite calcular T2 a partir del conocimiento de Q:

Q4

10T4

50dt

dT4

35dt

Td2

222

2=++

En cuanto a la solución transiente, el Polinomio Característico de la ecuación esta dado por la siguiente expresión:

04

50D4

35D2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ , Cuyas raíces son: D1 = -1.80 y D2 = -6.96

Puesto que las raíces son reales y distintas, la solución transiente estará dada por: t96.6

2t80.1

1ts2 eKeK)t(T −− += K1 y K2 son constantes a determinarse de las condiciones iniciales.

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En cuanto a la componente estacionaria, la entrada Q opera como un escalón del tipo Q=1000 U(t), ello puesto que el calefactor empieza a funcionar en el momento que es conectado a la energía eléctrica (tiempo t=o para efecto de la definición del eje tiempo). Recordando lo recomendado para este tipo de entradas, la componente estacionaria de T2 estaría dada por: T2ss = C U(t) De modo que, puesto que C es una constante, las derivadas son cero, de los cual se deduce que:

4

101000C4

50=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⇒ C = 200 ⇒ T2ss(t)= 200 U(t)

Finalmente: T2(t)= T2ts(t) + T2ss(t) = +200 t96.6

2t80.1

1 eKeK −− +

t96.62

t80.11

2 eK96.6eK80.1dt

dT −− −−=

Las condiciones iniciales para T2 y su derivada son 10 °C (la temperatura ambiental) y cero respectivamente, de modo que aplicándolas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: K1 + K2 + 200 = 10 -1.80 K1 – 6.96 K2 = 0 La resolución del sistema de ecuaciones arroja K1=-256.2 y K2=66.2, esto es: T2(t) = +200 t80.1t96.6 e2.256e2.66 −− − Nota: Observe que haciendo que t→∞ en la expresión anterior (sistema en estado estacionario) la temperatura T2 alcanza los 200 °C. Este mismo valor se obtiene si se calcula la temperatura en estado estacionario por medio del Modelo Estático, como se hizo en el Capitulo anterior. COMENTARIOS FINALES:

El método propuesto en este caso tiene algunos inconvenientes que conviene tener presente. En primer lugar, en lo que se refiere a las raíces del Polinomio Característico, estas no son siempre fáciles de determinar, es más, para polinomios de grado mayor que 4 ni si siquiera hay soluciones analíticas (formulas) para obtenerlas, siendo solo posible calcularlas con métodos iterativos computacionales. Si bien ello no constituye un problema grave, hay muchos métodos iterativos que se pueden implementar, se presenta si el inconveniente de poder implementarlos en la realidad laboral en la práctica. El hacer cálculos computacionales no resulta fácil de hacer en la faena productiva (imagínese que

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ud., como ingeniero a cargo, estuviese en terreno a punto de poner en marcha un estanque, y le gustaría saber en forma previa, con el fin de evitar posibles derrames de ácido, si el sistema tiene Sobreimpulso. El cálculo de este parámetro requiere conocer las raíces del Polinomio Característico, y por lo tanto el de disponer e un computador con el software adecuado, cosa que no siempre es posible de disponer en la faena).

La metodología intuitiva para calcular la componente estacionaria si bien,

como se vio en los párrafos anteriores, en muchos casos es posible visualizar la solución estacionaria, especialmente cuando ud. ya tiene cierta experiencia con el sistema, no es menos cierto que en muchos otros casos, cuando las entradas son complejas, no siempre resulta fácil “imaginarse” cual podría ser la componente estacionaria de una respuesta. En ocasiones las entradas en los sistemas reales pueden ser aleatorias, pseudoaleatorias, combinaciones de escalones o de impulsos, suma de muchas sinusoidales de diferentes frecuencias, etc., situaciones en las cuales no resulta nada de fácil obtener la componente estacionaria de la respuesta (se imagina que ud. no pueda poner en marcha el estanque de ácido del comentario anterior puesto que este día ud. no anda “inspirado” y no se le ocurre cual podría ser la respuesta estacionaria, y por lo tanto no sabe en que nivel se establecerá el nivel del ácido en el estanque). A las claras, un método más sistemático, menos intuitivo, sería más deseable. 3.1.2. Método de la Convolución Continua Este método, a diferencia del anterior, entrega un procedimiento más sistemático, no intuitivo, para determinar la respuesta de un sistema. Se busca aquí lo que se llama la Función Característica, h(t), con cuya ayuda, mediante la resolución de una integral, se obtiene la respuesta deseada. Teorema 1: Si un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLI) es excitado con un impulso unitario, δ(t), entonces la respuesta y(t) a esta excitación será igual a la Función Característica h(t) del sistema, correspondiente al par entrada-salida en estudio. Teorema 2: Toda señal x(t) puede aproximarse por medio de una suma ponderada de impulsos (ver Fig. 3.2), esto es:

(3.8) ∑∞

=

−δ=0n

T)nTt()nT(x)t(x

En donde: T = Intervalo de Muestreo X(nT) = Valor de X(t) en el instante de muestreo nT δ(t-nT) = Impulso aplicado en el instante de muestreo nT

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Fig. 3.2. Aproximación de señales por medio de (a) Pulsos, (b) Impulsos.

Demostración:

Sea la función Pulso P(t) = U(t)-U(t-T), entonces, en referencia a al Fig. 3.2, x(t) podría aproximarse como:

T)nTt(PT1)nT(x)nTt(P)nT(x)t(x

0n0n∑∑∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

Ahora, si T es suficientemente pequeño, entonces:

( ) )nTt(nTtPT1

−δ≈−

Reemplazando esta última expresión en la primera ecuación, se obtiene que:

∑∞

=

−δ=0n

T)nTt()nT(x)t(x

con lo cual el Teorema queda demostrado. Nota: Observe que la aproximación de x(t) es exacta cuando T→0, esto es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−δ= ∑

∞

=→ 0n0TT)nTt()nT(x)t(x Lim

Teorema 3: Si h(t) es la Función Característica de un sistema causal, lineal e invariante (SLI), entonces es posible determinar del sistema para una entrada x(t) cualquiera, resolviendo la siguiente integral, llamada Convolución Continua:

(3.9) ∫ ττ−τ=t

0d)t(h)(x)t(y

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Notación: Se acostumbra utilizar la siguiente notación para la función Convolución: y(t) = x(t)∗h(t) (3.10) Demostración: Sea la entrada x(t) aproximada por la ecuación (3.8), entonces, la aplicación sucesiva del Teorema 1 y del Principio de Homogeneidad a cada uno de los términos de x(t) arroja como resultado:

x(0) δ(t) T x(0) h(t) T

x(T) δ(t-T) T x(T) h(t-T) T

. .

.

. . .

x(jT) δ(t-jT) T x(jT) h(t-jT) T

. .

.

. . .

x(nT) δ(t-nT) T x(nT) h(t-nT) T

Etc.

Aplicando el principio de Superposición es posible concluir que la suma de todas las respuestas individuales corresponde a y(t), esto es: Y(t) = x(0)h(t)T+x(t)h(t-T)T+....+x(jT)h(t-jT)T+....+x(nT)h(t-nT)T+....

∑∞

=

−=0n

T)nTt(h)nT(x

Ahora, si T tiende a cero (T→dτ), entonces la Sumatoria tiende a una Integral y nT→τ. Introduciendo estos cambios se logra establecer finalmente que:

∫∞

ττ−τ=0

d)t(h)(x)t(y

Finalmente, puesto que el sistema es causal, h(t-τ) tiene sentido solo para tiempos mayores que cero, esto es: t - τ ≥ 0 ⇒ τ ≤ t Introduciendo esta restricción en la expresión anterior, se obtiene finalmente la expresión para la Convolución Continua como fue definida en el Teorema.

∫ ττ−τ=t

0d)t(h)(x)t(y

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Nota: Para sistemas no causales la función Convolución queda definida por:

(3.11) ∫+∞

∞−ττ−τ= d)t(h)(x)t(y

3.1.2.1. Propiedades de la Función Convolución Continua

1. Para todo x(t) y h(t) de cumple que:

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) (3.12) Demostración: Se hará un cambio de variables en la función Convolución. Sea U =t-τ → τ = t- U y además dU = -dt. De igual forma, respecto a los limites de la integral:

• Para τ = 0 → U = t • Para τ = t → U = 0

Introduciendo el cambio de variables se obtiene que:

∫∫∫ −=−−=ττ−τ=t

0

0

t

t

0dU)U(h)Ut(xdU)U(h)Ut(xd)t(h)(x)t(y

con lo cual la propiedad queda demostrada.

2. Si g(t) es la respuesta a x(t)= U(t) (escalón unitario) de un sistema lineal e invariante, entonces:

dt)t(dg)t(h = (3.12)

Demostración: Aplicando la Convolución para x(t)=U(t), se tiene que:

∫∫ ττ−=ττ−=t

0

t

0d)t(hd)t(h)t(U)t(g

Derivando esta última expresión respecto al tiempo, se obtiene la ecuación (3.12).

3. Si g(t) es la respuesta a un escalón unitario de un sistema causal, lineal e invariante en el tiempo, entonces la respuesta del mismo sistema a cualquier otra entrada x(t) puede determinarse a partir de:

∫ ττ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ

=t

0d)t(g

d)(dx)t(y (3.13)

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Demostración: Para demostrar esta propiedad se resolverá la integral de Convolución utilizando la metodología de resolución por partes. Así, si se elige:

U = x(τ) → τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ

= dd

)(dxdU

dV = h(t-τ) dτ → V = g(t-τ) (por Propiedad 2) En consecuencia:

[ ] ∫ ττ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ

+τ−τ−=t

0t0 d)t(g

d)(dx)t(g)(x)t(y

∫ ττ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ττ

++−=t

0d)t(g

d)(dx)t(g)0(x)0(g)t(x

Ahora, puesto que el sistema es causal, entonces x(0)=g(0)=0, quedando con ello demostrada la propiedad.

Ejemplo de Aplicación de la Convolución: Si se sabe que la Función Característica de un sistema es h(t) = Ae-Bt, entonces calcule la respuesta del sistema a las siguientes entradas:

(a) x(t) = U(t) (b) x(t) = e-at U(t)

Solución: (a) Puesto que U(t)=1 para t ≥0, entonces, para el h(t) dado:

[ ] ( )Btto

BBtt

0)t(B e1

BAee

BAdAe)t(y −τ−τ−− −=−=τ= ∫

(b) En este caso, para el mismo h(t) la integral de Convolución queda como:

[ ] ( )atBtto

)Ba(Btt

0)Ba(Btt

0)t(Ba ee

BaAee

BaAdeAedAee)t(y −−τ−−τ−−−τ−−− −

−=−

−=τ=τ= ∫∫

Para completar la metodología propuesta solo resta discutir las formas en que es posible determinar la Función Característica h(t). Antes de proceder al calculo de las funciones h(t) es importante recordar los siguientes aspectos: • La función h(t) es una característica del sistema bajo estudio, no depende de la

forma que adopta o tiene la entrada x(t). • Un sistema puede tener más de una salida o entrada, de modo que, puesto

que h(t) es una relación entre una salida y una entrada específicas, ello implica que en un sistema multivariable puede haber más de un Función Característica (en teoría un h(t) para cada par entrada-salida). Es decir, antes de calcular h(t)

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es necesario definir previamente cual es la entrada que se quiere estudiar, y cual será la entrada cuyo efecto sobre la salida elegida se quiere averiguar. Así, por ejemplo, para un estanque que acumula líquidos habrá un h(t) cuando se quiere conocer el Nivel (salida) en función del Caudal del fluido de alimentación (entrada), obteniéndose un h(t) distinto si se considera la Presión Ambiental como entrada y el flujo de salida del estanque como salida.

• Una vez calculada para un para entrada-salida específica, h(t) es única, siendo su forma independiente de los posibles cambios que se puedan producir en la entrada.

Teniendo en cuenta los antecedentes anteriores, a continuación se repasarán los principales métodos para calcular la Función Característica h(t). (i) Método 1: Aplicar la definición de h(t), esto es, excitar el sistema con x(t)=δ(t) y calcular la salida del sistema a esta excitación. De acuerdo a la teoría, bajo estas condiciones y(t)=h(t). Ejemplo: Calcular h(t) para el siguiente sistema.

)Tt(x)t(xdtdy

−−=

Solución: Sea x(t)=δ(t), de lo que se deduce:

)Tt()t(dtdy

−δ−δ= → ( )dt)Tt()t(dy −δ−δ=

Integrando ambos miembros de la ecuación se obtiene que: Y(t)=h(t)=U(t)-U(t-T) (ii) Método 2: Utilizar la Propiedad N° 2, esto es, calcular la respuesta, g(t), del sistema para una entrada escalón unitario, para después aplicar la ecuación (3.12) Ejemplo: Encontrar h(t) para el siguiente sistema causal

)t(x)t(ydt

)t(dy=+ , y(0)=0

Solución: Sea x(t)=U(t) → )t(U)t(gdt

)t(dg=+

• Parte Transiente: D + 1=0 → D = -1 → gts(t) = Ke-t • Parte Estacionaria

gss(t)=C U(t) → aplicando en la ecuación C U(t) = U(t) → C = 1

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De lo que se concluye que: g(t) = Ke-t + 1 Aplicando las condiciones iniciales: y(0)=0 → K + 1=0 → K = -1 Esto es, g(t) = 1-e-t, de lo que se concluye que:

tedt

)t(dg)t(h −==

Nota: A pesar de lo sencilla que es la ecuación diferencial, observe lo difícil que sería en este caso obtener h(t) con la ayuda del Método 1. (iii) Método 3: resolver la ecuación diferencial para x(t)=0 sujeta a las siguientes condiciones iniciales: • y(n-2)(0) =y(n-3)(0) =...........= y(0) =0

• y(n-1)(0) = 1

En este caso se puede demostrar que en este caso y(t)=g(t) Ejemplo: Encuentre h(t) para el siguiente sistema

)t(x)t(y2dt

)t(dy3dt

)t(yd2

2=++

Solución:

La ecuación a resolver es: 2

2d h(t) dh(t)3 2h(t)

dtdt0+ + = , en consecuencia:

D2 + 3 D + 2 = 0 → D1= -1, D2= -2 En consecuencia: h(t) = K1e-t + K2e-2t

t22

t1 eK2eK

dt)t(dh −− −−=

Aplicando las condiciones iniciales: h(0) = 0 → K1 + K2 = 0

1dt

)0(dh= → -K1 –2 K2 = 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene K1=1 y K2=-1, lo cual implica:

71

Marcos Crutchik

h(t) = e-t – e-2t COMENTARIOS FINALES: En comparación con el método tradicional de ecuaciones diferenciales, el método de la Convolución es totalmente sistemático, eliminando el rasgo de subjetividad que tenía el método anterior. Ello ciertamente constituye una ventaja. Respecto a lo métodos de cálculo de h(t), el primero es muy difícil de utilizar, no es nada fácil resolver una ecuación diferencial para una entrada impulso (para hacerse la idea, solo basta tratar de imaginarse la componente estacionaria, a una entrada impulso, en el ejemplo anterior). Es por lo anterior es que siempre resulta más fácil utilizar los métodos 2 o 3. Sin embargo la utilización de estos métodos, puesto que ambos lo requieren, nos retrotrae al problema de tener que calcular las raíces del Polinomio Característico, y por lo tanto a los ya discutidos requerimientos que ello podría significar. Por último, el uso el método de la Convolución Continua exige buen conocimiento de los procedimientos de integración, y cierta destreza en su aplicación, ello dado que en la mayoría de los casos la resolución de las integrales no solo resulta trabajosa, sino que muchas veces nada fácil de lograr (para comprender mejor este comentario, trate de resolver el ejemplo anterior para una entrada no tan complicada como pudiera ser x(t)=20 Sen(2t)). 3.2. Herramientas Matemáticas en el Dominio de la Frecuencia Las dificultades encontradas en la aplicación de las herramientas del dominio del tiempo sugiere la necesidad de explorar otras alternativas más sencillas para el análisis de los sistemas. En el contexto de lo anterior, se explorará en esta sección el mundo de las Transformadas como base de análisis de la respuesta de los sistemas. La idea es aplicar al modelo matemático obtenido del proceso alguna transformada que traslade las ecuaciones a otro Plano o espacio matemático en donde el análisis del sistema sea más sencillo, de modo que, una vez resuelto el problema en este nuevo Plano, para luego, y puesto que los que queremos saber esta en este plano, trasladar la respuesta obtenida nuevamente al plano del tiempo, mediante la aplicación de la Transformada Inversa (ver Fig. 3.3).

Fig. 3.3. Diagrama esquemático de la aplicación de una Transformada para el

análisis de sistemas.

72

Marcos Crutchik

Por razones obvias se considerarán en este caso solo transformadas lineales,

efinición

en particular las Transformadas de Fourier y de Laplace, que han demostrado ser las más útiles no solo para los propósitos del análisis, sino que también por la información adicional que es posible obtener sobre los sistemas en estudio. Puesto que ambas transformadas son una generalización de las Series de Fourier, conviene, en forma previa al desarrollo de las mismas, repasar los conceptos básicos respecto a la aproximación de funciones mediante series. D : si [g1(t), g2(t),....., gn(t)] constituyen una Base de funciones Ortogonales

, t ∈ [t1,t2] (3.14)

n donde C1, C2, ..., Cn son constantes de ajuste de la aproximación cuyo valor se

en un Espacio matemático de funciones en el tiempo determinado, entonces cualquier función f(t) del mismo Espacio puede aproximarse, en una intervalo [t1,t2], como una combinación lineal de las funciones de la Base. Esto es:

∑=

=n

1iii )t(gC)t(f

Ecalcula mediante métodos de optimización matemática. Hecha esta labor se obtiene la siguiente expresión para estas constantes:

∫∫

∫== 1

21

2

1

2t

t ii

t

t2

i

t

t i

i dt)t(g)t(fK1

dt)t(g

dt)t(g)t(fC (3.15)

a calidad de la aproximación se puede determinar calculando un Error de

LDesviación, ε, entre la señal real y la señal aproximada. Usando el método de los Mínimos Cuadrados es posible determinar la siguiente expresión para el error:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−=ε ∑∫

=

n

1ii

2i

t

t2

12KCdt)t(f

tt1 2

1 (3.16)

omo se observa en la última ecuación, cuando mayor sea “n”, esto es, considerar

ota

Cseries con mayor cantidad de términos, menor será ε y mejor será la aproximación. N : Recuerde que dos funciones gi(t) y gk(t) son Ortogonales en un intervalo

(a) si i ≠ k

(b) = Constante si i = k

[t1.t2] si se cumplen las siguientes condiciones:

0dt)t(g)t(g1

2

t

t ik =∫

it

t2

kt

t2

i Kdt)t(gdt)t(g 1

2

1

2== ∫∫

73

Marcos Crutchik

3.2.1. Las Series de Fourier La Serie Geométrica y Exp3.2.1.1. onencial de Fourier

El conjunto [Sen(wot), Sen(2wot),..., Sen(nwot), Cos(wot), Cos(2wot),...., nciones ortogonales para el

]

, t [t1,t2] (3.17)

Cos(nwot)], con wo=2π/(t2-t1), constituye una Base de fuEspacio de las Funciones Reales en el intervalo [t1,t2]. Bajo este contexto, cualquier función f(t) en este Espacio se puede representar como una combinación leal de las funciones de la Base:

[∑∞

++= )tnw(CosAA)t(f =1n

onono )tnw(SenB

∈∑∞

=

φ++=1n

nono )tnw(SenCA

Con:

n2

n2

n BAC += y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ −

n

n1n A

Btg

En donde:

∫−2

1

t

t12dt)t(f

tt1 (3.18 a) =oA

∫−= 2

1

t

t12n Co)t(f

tt1A o dt)tnw(s (3.18 b)

∫−= 2

1

t

t o12

n dt)tnw(Sen)t(ftt

1B (3.18 c)

Nota: Puesto que Sen(0 wot)=0, en o

ominada Serie Trigonométrica de

ná

(3.20)

tonces B =0. La serie dada en la ecuación (3.17) es den

ourier. Esta serie puede constituirse en una interesante herramienta para elFa lisis de los sistemas. En efecto, si se recuerda que un sistema lineal e invariante a una entrada x(t)=E Sen(wt) responde con y(t)=KE Sen(wt+φ), en donde K es la ganancia y φ el ángulo de fase del sistema. Entonces, puesto que, como se ha visto, cualquier entrada x(t) puede representarse por una serie Trigonométrica de Fourier, esto es, como una suma se sinusoidales, la respuesta puede obtenerse usando el Principio de Superposición como la suma de las respuestas individuales a cada una de la componentes de la serie que representa a la entrada x(t). Esto es, si la entrada del sistema esta representada por su serie Trigonométrica de Fourier:

∑∞

+= tnw(SenC)t(x=

φ1n

non )

74

Marcos Crutchik

por la siguiente serie:

(3.21)

n donde Ksn y φsn son la ganancia y

individuales de la serie.

3.4, en donde los coeficientes Cn y φn se presentan como nciones de la frecuencia. El primer gráfico se denomina Espectro Discreto de

Entonces, puesto que el sistema es lineal, la respuesta del sistema estará dada

∑∞

= nsn SenCK)t(y=

φ+φ+1n

snno )tnw(

E fase para cada una de las componentes

La serie de Trigonométrica de Fourier puede representarse gráficamente como se muestra en la figura Fig. fuFrecuencia de Amplitud mientras que el segundo se llama Espectro Discreto de Frecuencia de Fase. Las frecuencias wo, 2wo, 3wo, ..., etc. Se denominan Frecuencias armónicas, llamándose la primera 1° Armónica (o también Frecuencia Fundamental), la segunda 2° Armónica, y la enésima n° Armónica. Las Armónicas son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

Fig. 3.4. Representación en el Plano de la Frecuencia de una función f(t), (a) Espectro Discreto de Frecuencia de Amplitud, (b) Espectro de

Frecuencia Discreto de Fase. E ica una re te posible re onocimiento de los parámetros Cn, φn, las frecuencias de la Armónicas. Se cumple de ese modo una de los conceptos

s interesante observar que los gráficos de la figura Fig. 3.4 son en la práctpresentación en el Plano de la Frecuencia de f(t) y que es perfectamen

construir la función f(t) a partir del cyplanteados para este tipo de herramientas, el poder trasladar ecuaciones en el tiempo al plano de la frecuencia y viceversa. Puesto que ejnwt= Cos(nwt)+jSen(nwt), es posible pensar en simplificar la notación de la serie Trigonométrica de Fourier replanteándola de la siguiente manera:

75

Marcos Crutchik

∑∞

= tjnwn

oeF)t(f , t ∈ [t1,t2] (3.22=0n

)

n donde:

E

∫ −

−=

2n t

F 2

1

ot

ttjnw

1e)t(f

t1 (3.23)

n este caso “n” podría tompodría generalizar la ecuación (3.22) bajo la utilización de la siguiente Base

atemática {e± jnwt}, en cuyo caso la representación de la serie quedaría como:

Series Exponencial de Fourier.

E ar también valores negativos, hecho que de hacerse

m

∑∞

= tjnwn

oeF)t(f , t ∈ [t1,t2] (3.24) −∞=n

Ambas expresiones, ecuaciones (3.22) y (3.24), se conocen con el nombre de

COMENTARIO Si bien, como se mostró en las ecuaciones (3.20) y (3.21), es posible usar esta erramienta para el cálculo de la respuesta de un sistema, su uso tiene la

solo se podría conocer la respuesta en un intervalo específico de

as, en particular por el efecto que pueden tener sobre los sistemas léctricos. El hecho de que por un circuito o equipo eléctrico circulen corrientes, o

hlimitación de quetiempo, [t2, t1], de modo que la utilidad de esta herramienta es solo relativa. Bajo este contexto, sería deseable encontrar una herramienta que pudiera extender el análisis para todo el eje del tiempo. Por lo demás, la aplicación sucesiva del Principio de Superposición no solo resulta un método trabajoso, sino que la expresión que se determina finalmente para y(t) en muy poco manipulable, siendo bastante difícil sacar conclusiones sobre el comportamiento de un sistema con su ayuda. Un aspecto que no puede pasar desapercibido en este caso son las Armóniceexistan tensiones, de diferentes frecuencias constituye generalmente un problema. La distorsión de las señale que distribuyen las centrales generadoras de energía eléctrica, la producción de frenos al giro de los motores eléctricos, hecho que hace que los motores se calienten, bajando con ello su rendimiento y disminuyendo su vida útil, también, las Armónicas producen interferencias en los sistemas de telecomunicaciones, introducen corrientes parásitas en los neutros de los circuitos eléctricos trifásicos, entre otros efectos, son algunos ejemplos de sus efectos negativos. Lamentablemente existen muchos equipos que generan armónicas, en particular aquellos asociados a la electrónica de potencia (Rectificadores Polifásicos, Variadores de Frecuencia, etc., todos ellos ampliamente usados en la industria), es más, cualquier señal que no sea sinusoidal pura contiene armónicas,

76

Marcos Crutchik

de modo que, en consecuencia, el conocer a priori el tipo de armónicas presentes en una señal, saber su magnitud y su frecuencia, puede ser importante al momento de programar los resguardos para atenuar sus efectos negativos en los sistemas. Desde este punto de vista, la herramienta de la Serie de Fourier resulta extremadamente útil. 3.2.1.2. Serie Trigonométrica y Exponencial de Fourier de funciones periódicas Cuando las señales que se quieren analizar son periódicas, si se considera el eriodo de análisis al periodo de la función, puesto que la función se repite

po. pcíclicamente, es posible extender la validez del análisis a todo instante de tiemEn este caso las series de Fourier definidas en las ecuaciones (3.17), (3.22) y (3.24) serían las mismas, solo cambia en estos el hecho de que su validez es para todo instante de tiempo, t ∈ [-∞,∞]. Respecto a los coeficientes, si T es el periodo de la función, estos quedan definidos como sigue: • Serie Trigonométrica

∫∫ ==T2/T

nw(Cos)t(f2dt)tnw(Cos)t(f2A− 0 oon dt)t

T (3.25a)

2/TT

∫∫ ==−

T

0 o2/T

2/T on dt)tnw(Sen)t(fT2dt)tnw(Sen)t(f

T2B (3.25b)

• Serie Exponencial

∫∫ −− ==T

0tjnw2/T tjnw

n dte)t(fT1dte)t(f1F oo (3.26)

onsecuencia natural de la naturaleza sinusoidal de la energía eléctrica. Con el bjeto de observar el efecto que podrían tener sobre estos sistemas, se

− 2/TT Las señales periódicas son muy frecuentes en los sistemas eléctricos, ello es codesarrollarán a continuación dos ejemplos de cálculo de presencia de armónicas en dos equipos típicos de mucho uso en la industria: Los Variadores de Frecuencia (VDF) y los Rectificadores. Ejemplo: Los Variadores de Frecuencia son equipos eléctricos que entregan energía eléctrica de alta potencia de frecuencia variable. Con su ayuda se logra

gular la velocidad de giro de los motores de corriente alterna, que constituyen reparte de muchos de los sistemas industriales (Camiones, trenes, grúas, palas, correas transportadoras, bombas, etc.). En la figura se muestra una forma de onda típica que arrojan en su salida este tipo de equipos, en donde E es usualmente 220 Volts, y la frecuencia varía entre los 0 y 150 Hz (periodo T de 0 a 6.7 mseg). La idea es hacer un estudio sobre las armónicas presentes en la señal e(t) con el objeto de conocer las su magnitud y frecuencia. De esta manera, en caso de que estas presenten algún inconveniente, se podrás programar alguna atenuación de su efecto sobre los dispositivos que se conectan a la señal entregada por el VDF.

77

Marcos Crutchik

Solución: Como se observa la señal e(t) es impar de valor medio cero. De lo anterior se puede colegir que conviene usar la Serien Trigonométrica de Fourier ara calcular las armónicas, ello puesto que Ao=0 (e(t) tiene valor medio cero) y

n Donde, para wo=2π/T :

pAn=0 (e(t) es impar), de lo que se concluye que e(t) estaría aproximada por:

∑∞

= on )tnw(SenB)t(e =1n

E

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= ∫ ∫

2/Tdt)tnw(ESen2

∫ ∫π π

π− 0

2

0

T

2/T oon dx)nx(ESendx)nx(ESen1dt)tnw(ESenT

Para independizar el resultado se ha realizado un cambio de variables, definiendo x=wot. Resueltas la integrales se obtiene que:

B

( ))n(Cos1nE2Bn π−π

=

U•

n análisis más fino indica que: Si n = par, entonces Cos(nπ)=1 → Bn = 0

)=-1 → π

=nE4Bn • Si n = Impar, entonces Cos(nπ

Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Armónica Amplitud % de Fundamental Frecuencia, Hz 1° 1.27E 100.0 wo = 2π / T 3° 0.42E 33.3 3 wo 5° 0.25E 20.0 5 wo 7° 0.18E 14.3 7 wo 9° 0.14E 11.1 9 wo

11° 0.12E 09.1 11 wo

78

Marcos Crutchik

De acue a los os las arm presentes so os los múltiplos impares de la Fundamental, así, si se que el VDF en una frecuencia e 50 Hz, las armónicas presentes serían las de 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, etc. , de

rdo resultad ónicas n todquiere tregue

dmodo que si se quiere dejar solo la Frecuencia Fundamental, bastará con poner a la salida del VDF un filtro pasabajos con una Frecuencia de Corte wc algo mayor que los 50 Hz. Es importante observar en este caso que la magnitud de la armónicas es bastante grande en comparación con la de la Fundamental, siendo a demás su valor independiente de la frecuencia de trabajo. Por último, se puede calcular el valor de E a partir de la amplitud que se quiere que tenga la Fundamental. Por lo general se quiere que la fundamental sea de 220 Volts, de lo que se deduce que en este caso E tendría ser igual a 173.2. Ejemplo: Un Rectificador Polifásico es un dispositivo electrónico utilizado en la industria para convertir energía eléctrica de corriente alterna de alta potencia en tra del tipo de corriente continua. Ejemplos de este tipo de equipos es posible o

encontrar en los accionamientos de motores de corriente continua, en lo sistemas de refinación electrolítica de minerales (en los sistemas de Electroobtención de cobre se utilizan rectificadores de 100.000 amperes), etc. Existen en la practica tres tipos de este tipo de equipos los Rectificadores de 3, 6, y 12 Pulsos, cuyo nombre obedece al numero de pulsos (designado normalmente con la letra M) que tiene la señal de salida del Rectificador en un ciclo de trabajo (periodo de la señal alterna de alimentación del Rectificador. La figura siguiente muestra la forma típica del voltaje de un dispositivo de estas características, la idea es, mediante el calculo de la Serie de Fourier, determinar las armónicas presentes en esa señal.

Solución: Como se observa, la señal eDC es periódica (de periodo 2π/M), siendo además una función el tipo par, esto es, el término Bn en la serie Trigonométrica e Fourier es igual a cero (no se puede representar una función par como una d

suma de funciones impares, y las señales tipo Seno son impares). Para facilitar la integración se considerará el eje eDC*, quedando de esta manera los siguientes coeficientes para la serie de Fourier:

79

Marcos Crutchik

⎟⎠⎞

⎜⎛ π

π=

π= ∫

π

π−SenMEdx)x(ECos

2MA

3/

3/o ⎝ M

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−π=

π= ∫

π

π− MSen

1nnE2dx)nx(Cos)x(ECosMA 2

3/

3/n , n = M, 2M, 3M,...

La serie de Fourier esta dada en consecuencia por:

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π= 2DC Se

1nn

MSenE2

MSenMEe

∞

=

ππ

,..M2,Mn)nx(n

Observe que el tipo de armónicas presentes en la señal depende del numero

de pulsos M. Así, para un Rectificador de 3 Pulsos, las armónicas presentes son la °, 6°, 9°, etc., mientras que para un Rectificador de 6 Pulsos las armónicas son

3menos, estando presentes solo la 6°, 12°, 18°, etc. Observe también que a medida que aumenta el numero de la armónica, disminuye también su amplitud, de lo que es posible de concluir que cuando mayor sea el numero de pulsos M que arroja el Rectificador, de menor magnitud serán las armónicas, y por lo tanto el rectificador será de mejor calidad (ver figura adjunta).

Rectificador de 3 PulsosEspectro Discreto de Amplitud

30

0

5

10

15

20

25

3° 6° 9° 12°

15°

18°

21°

24°

27°

30°

33°

36°

39°

42°

45°

N° Armónica

% d

e E

Rectificador de 6 PulsosEspectro Discreto de Amplitud

0

5

10

15

20

25

30

6° 12° 18° 24° 30° 36° 42° 48°

N° Armónica

% d

e E

Rectificador de 12 PulsosEspectro Discreto de Amplitud

0

5

10

15

20

25

30

12° 24° 36° 48°N° Armónica

% d

e E

80

Marcos Crutchik

El primer término de eDC corresponde al valor medio de la señal, esto es la componente continua, siendo por lo tanto correspondiente a la tensión de corriente continua que entrega el Rectificador. 3.2.1.3. Generalización del concepto de serie de Fourier Para que la serie de Fourier sea realmente útil para el análisis de sistemas y señales sería deseable que su validez sea para todo instante de tiempo, es decir, lo ideal sería poder obtener una aproximación por serie de Fourier de cualquier función f(t) y que esta representación sea valida para todo instante de tiempo. Para explorar esta posibilidad, sea f(t) una señal cualquiera y fT(t) una función periodizada de f(t) (ver Fig. 3.5), tal que:

(3.27) ∑= T )t(f)t(f ∞→T

Fig. 3.5. (a) Función f(t) cualquiera, (b) fT(t), función periodizada de f(t).

e acuerdo a lo expuesto en la sección anterior, una serie exponencial de Fourier ara fT(t) estaría d

Dp ada por:

∑∞

−∞=

=n

tjnwnT

oeF)t(f , T2wo

π= (3.28 a)

∫−−=

2/T

2/Ttjnw

Tn dte)t(fT1F o (3.28 b)

Sean wn=nwo y F(wn)=TFn, entonces, reemplazando estas variables en las ecuaciones anteriores se obtiene que:

on

nn

nT wew(F2

e)w(FT

)t(f ∑∑−∞=−∞= π

== (3.29 a)

2/T

tjwtjw 11 nn

(3.29 b)

a robjetivo final de este análisis, como lo indica la ecuación (3.27), habrá que hacer

∞∞)

∫−−==

2/Ttjw

Tnn dte)t(fTF)w(F n

Ahora, para lograr l epresentación en serie para f(t), hecho que constituye el

tender el periodo T hacia infinito. Bajo este contexto, si T→∞, entonces:

81

Marcos Crutchik

f (t) → f(t)

→

on lo cual las ecuaciones (3.29 a) y

T wn → w wo → dw

∑∞

−∞=n ∫

∞

∞−

c (3.29 b) quedarían como:

∫ ∞−π= dwe)w(F

2)t(f jwt (3.30 a)

∫∞

∞−−= dte)t(f)w(F jwt (3.30 b

∞1

)

(3.30 a) y (3.30 b), que serían la representación en serie de e conocen con el nombre de Transformada Inversa de Fourier y

ourier, respectivamente, y representan la transformación, de , en re los planos del tiempo y el de la frecuencia de una f(t)

ación de f(t) en el plano de la frecuencia,

otación

Las ecuaciones Fourier para f(t), sla Transformada de Fida y de vuelta tcualquiera, es decir, F(w) es la representy viceversa. N :

F[f(t)]=

F--1[F(w)]=

dtjwt Transformada de Fourier ∫∞

∞−−= e)t(f)w(F

∞dwe)w(F jwt Transformada Inversa de Fourier ∫ ∞−π

=21)t(f

Nota: Debe recordarse que una integral corresponde en el fondo a una suma infinita, de modo que conceptualmente el concepto de “serie” esta implícitamente presente en la definición de la Transformada de Fourier. En términahora, en v

os conceptuales la idea sigue siendo la misma que antes, solo que ez de una suma discreta de términos se trata de una suma infinita, en cada frecuencia exis tant un m ase que la

caracteriza (recuerde que Fn era un numero complej én lo s). alabras, en vez de un e,

de Amplitud y de Fase, el e amplitud y de fase para cada frecuencia (ver Fig. 3.6). Para efecto de notación l primero se denotará como Espectro de amplitud, ⎮F(w)⎮, y el segundo Espectro

donde para te o odulo como un ángulo o fo, por lo tanto F(w) tambi

e En otras p Espectro Discreto de Amplitud y de Fasexiste un Espectro Continuo lo dado que existe un valordede Fase, φ.

82

Marcos Crutchik

Fig. 3.6. Ejemplos de Espectros de Frecuencia de una función f(t), (a) Espectro de Amplitud, (b) Espectro de Fase. Ejemplo: Determine la Transformada de Fourier de la función f(t)=e-atu(t). Solución: Por definición:

∫∫∞ +−∞

∞−−−

+===

ot)jwa(jwtat

jwa1dtedte)t(ue)w(F

El Modulo y la Fase están dados en este caso por:

22

1)w(F = , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=φ −

awtg 1

wa + Lo cual, para a = 0.5, arroja los siguientes espectros de frecuencia para f(t).

Espectro de Fase

-100

Espectro de Amplitud

-0.4

0.1

0.6

1.1

1.6

-10 -5 0 5 10

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

2.1

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Frecuencia, (Hz)

Fase

(°)

Nota: F(w)=1/(a+jw) es el equivalente de f(t)=e-atu(t) en el plano de la frecuencia, y viceversa.

83

Marcos Crutchik

Ejemplo: Determine la Transformada de Fourier para la función Pulso, llamada también Función Gate, de la figura:

Solución: Por definición de la Transformada de Fourier:

( )2/jwT2/jwT2/T

2/T jw−∞− ∫∫ jwtjwt eeAdtAedte)t(P)w(P −−∞ − −===

ero, puesto que e± jwt = Cos(wt) ± j Sen(wt), entonces:

P

⎥⎦⎣⎠⎝ 2/wT2w

⎤⎢⎡=⎟

⎞⎜⎛=

)2/wT(SenATTwSenA2)w(P

Transformada de Fourier de Función Gate A=1, T=2

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-0.4 -0.2 0 0.2 .4

Frecuencia (Rad)

Am

plitu

d

0

.3.1. Propiedades de la Transformada de Fourier

3

) Linealidad (i : Para a1, a2,...,an constantes, entonces:

F [a1f1(t)+a2f2(t)+...+anfn(t)] = a1F1(w)+a2F2(w)+....+anFn(w) (3.31) Demostración

: La demostración de esta propiedad es obvia, del Cálculo se sabe que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales, esto es:

84

Marcos Crutchik

F ]

=a1F1(w) + a2F2(w) + ....+ anFn(w)

(ii) Corrimiento en el Tiempo

[ ] [∫∞

∞−−+++=+++ dtefa...fafafa...fafa jwt

nn2211nn2211

= [ ] [ ]∫∫∞

∞−−∞

∞−− + dtefadtefa jwt

22jwt

11 [ ]∫∞

∞−−++ dtefa... jwt

nn

: Esta propiedad representa los retardos que usualmente tienen los sistemas. Así, si F[f(t)]=F(w), entonces:

F[f(t -T)] = e-jwT F(w) , T = Constante (3.32)

Demostración: Por definición:

ea u = t -T, → t = u + T, y dt = du. Además, sí t →±∞, entonces u →±∞. nterior:

ot

F ∫ ∞−

∞ −−=− dte)Tt(f)]Tt(f[ jwt

SIntroduciendo este cambio de variables en la ecuación a

F )w(Fedue)u(fedue)u(f)]u(f[ jwTjwujwT)Tu(jw −∞ −−∞ +− === ∫∫ ∞−∞−

N a: En teoría es posible obtener también la Transformada de Fourier de f(t+T) usando el mismo procedimiento anterior. Sin embargo f(t+T), por ahora, no tiene ignificado físico, pues implica un adelanto en el tiempo, esto es, “adivinar el

uro”. Es por lo anterior que este tipo de situación no te rso. En todo caso, si llegase a ser necesario F[f(t+T)]=

ii) o rimie to en uencia

sfut será considerado en escu ejwT F(w). (i C r n Frec : Sí F[f(t)]=F(w), entonces:

F[ejwot f(t)] = F(w w ) (3.33) - o

Demostración: Usando la definición de la Transformada de Fourier:

jw t ] =

ntonc por definición F[ejwot f(t)] = F(w-wo).

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−− = dte)t(fdte)t(fe t)ww(jjwttjw 00 F[e o f(t)

E es Nota: De igual forma es posible demostrar que F[e-jwot f(t)] = F(w+wo) (iv) Escalamiento en el Tiempo: Herramienta muy útil para la simulación

computacional que permite la compresión, o la extensión, de los ejes de

85

Marcos Crutchik

tiempo. De esta manera se puede simular en segundos lo que en la práctica puede demorar horas. En este caso, sí F[f(t)]=F(w), entonces:

F[f(at)] = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

awF

a1 , a = Cte. (3.34)

Demostración

plicando la definición: A

s, t→±∞ ⇒ x→±∞, lo cual

F[f(at)] = ∫∞

∞−− dte)at(f jwt

Entonces, sí x=at → t =(x/a), dt= (1/a)dx. Ademáransforma la ecuación anterior en: t

F[f(at)] = ∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

= dxe)x(fa1

adxe)x(f

xawj

axjw

∫∞

∞−

En consecuencia, por definición:

F[f(at)] = ⎟⎞

⎜⎛ wF1

⎠⎝ aa (v) Diferenciación: Sí F[f(t)]=F(w), entonces:

( ) )w(Fjwdt

)t(fd nn

n ⎤⎡F =⎥

⎢⎢ (3.35)

Demo

⎥⎦⎣

stración: Por definición:

∫ ∞−= dwe)w(F1)t(f jwt

n respecto al tiempo se obtiene que:

∞

π2Derivando esta expresió

∫∞

∞−π= dwe)w(F)jw(

21)t(df

dtjwt

Derivando nuevamente:

∫∞

∞−π=

1)t(fd2dwe)w(F)jw(

2dtjwt2

2

n consecuencia, generalizando:

E

86

Marcos Crutchik

∫∞

∞−π= w(F)1)t(fd n

n

ndwe)jw(

2dtjwt

ntonces, por definición F

( ) )w(Fjwdt

)t(fd nn ⎤⎡

E n =⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

.

(vi) Integración: Sí F[f(t)]=F(w), entonces:

F )w(Fjw

dt)t(f =⎥⎦⎢⎣∫ ∞− 1t ⎤⎡ (3.36)

Demostración: Por definición:

∫ ∞−π= dwe)w(F

2)t(f

tegrando esta expresión, se obtien :

∞1 jwt

In e

∫∫∫ ∫∞

⎢⎡=ττ )w(F1d)(f

t∫

∞

∞−

∞

∞−∞−

τ∞− ∞−

τ∞− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

=⎥⎦⎤

⎣τ

πdwe)w(F

jw1

21dwe

jw1)w(F

21dwde

2jwt

tjwt jw

ntonces, por definición F

)w(Fjw1dt)t(f

t=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∫ ∞−

. E

(vii) Diferenciación en el Plano de la Frecuencia: Sí F[f(t)]=F(w), entonces:

F ( )[ ] n

nn

dw)w(Fd)t(fjt =− (3.37)

Demostración: Por definició

∞n:

∫ ∞−−= dte)t(f)w(F jwt

e obtiene:

Derivando esta expresión respecto a la frecuencia w s

( )∫∞

∞−− dte jwt −= )t(fjt

dw)w(dF

erivando nuevamente: D

( )∫∞)w(Fd 2

2

∞−−−= dte)t(fjt

dwjwt

2

En consecuencia, generalizando:

( )∫∞

∞−−−= dte)t(fjt

dw)w(Fd jwtn

n

n

87

Marcos Crutchik

Es decir, por definición F ( )[ ] n

nn

dw)w(Fd)t(fjt =− .

iii) Simetría(v : Sí F[f(t)]=F(w), entonces:

2.38)

F[F(t)]=2πf(-w) ( Demostración: Por definición:

∫∞

∞−π= e)w(F

21)t(f jwt

ultiplicando por 2π y cambiando t por –t, se obtiene:

ea x=w, entonces:

sea t=w, entonces:

or último, sea x=t, entonces:

on lo cual la propiedad queda demostrada.

jemplo de Aplicación de Propiedades

dw

M

∞ −=−π dwe)w(F)t(f2 jwt∫ ∞−

S

∫ ∞−−π dxe)x(F)t(f2

∞ −= jxt

∞

∫ ∞−−=−π dxe)x(F)w(f2 jxw

P

∫∞ −=−π tdte)t(F)w(f2 jw ∞−

C E

da de Fourier de g(t)=f(t) Cos(wot) (1) Calcular la Transforma Solución:

n este caso Cos(w t) se puede aproximar Eg

o como 0.5(ejwot + e-jwot). En consecuencia (t) pu

g(t)= f(t)[0.5(ejwot + e-jwot)] = 0.5ejwotf(t) + 0.5 e-jwotf(t)

n consecuencia, aplicando las propiedades de Linealidad y Corrimiento en recuencia, se obtiene que:

(w+wo)]

ota

ede rescribirse como;

EF F [g(t)] =0.5 F(w-wo)+0.5F(w+wo) = 0.5 [ F(w-wo) + F N : Usando el mismo procedimiento es posible demostrar que F [f(t)Sen(wot)] es

ual a 0.5j [ F(w+wo) - F(w-wo)]. ig

88

Marcos Crutchik

(2 a ) Determinar la Transformad de Fourier de la siguiente función:

Solución: Diferenciando dos veces f(t) se obtiene:

De las graficas es posible observar que:

)2t(2)1t(4)t(2dt

)t(fd2

2−δ−δ= −δ+

de Linealidad y orrimiento en el Tiempo:

Ahora, puesto que F [δ(t)] =1, entonces, aplicando las Propiedades C

F⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡2

2

dt)t(fd = F [ )2t(2)1t(4)t(2 −δ+−δ−δ ] = 2 – 4e-jw +2e-2jw = 2(1-e-jw)2

Pero también, por la Propiedad de la Diferenciación:

F⎥⎥⎦

⎤⎡ 2 )t(fd⎢⎢⎣

2dt = (jw)2 F(w)

Esto es: (jw)2 F(w) = 2(1-e-jw)2

F(w)

De lo que se deduce que:

= 2jw

jwe12 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −

(3) Calcular la Transformada de Fourier de la función f(t) = t e-(a+jb)t Solución: Es posible rescribir f(t) como sigue: f(t) = j (-jt) e-jbt e-at

89

Marcos Crutchik

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ jwa1 Ahora, como se calculo en un ejercicio anterior, se sabe que F [e-at] =

Aplicando la Propiedad de Corrimiento en la Frecuencia:

F [e-jbt (e-at)] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++ )bw(ja

1

Aplicando la Propiedad de la Derivación en el Plano de la Frecuencia:

F [-jt(e-jbt e-at)] = [ ]2)bw(ja

j)bw(ja

1dwd

++

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Finalmente, por Homogeneidad:

F [ j (-jt e-jbt e-at] = [ ] [ ]22 )bw(ja)bw(ja ++⎟

⎠⎜⎝ ++

1jj =⎜⎛ −

ota

⎟⎞

N : mo se a en los ejercicios ant ades para la determinación de las Transformadas simplifica en forma importante su

rier en estos casos mediante la aplicación directa de la definición por lo general redunda en un largo y ngorr o proce ión matemática.

Existencia de la Transformada de Fourier

Co observ eriores, el uso de las Propied

cálculo. El tratar de calcular la Transformada de Fou

e os so de integrac

3.3.2. La La definición hecha para la Transformada de Fourier sugiere firmemente la

xistencia, ello dado que las integrales tienen límites finitos. En términos simples, la Transformada de Fourier existe si se cumple que:

< ∞ (3.39)

uesto que el Modulo de e-jwt es siempre igual a la unidad (recuerde que

mplirse que:

necesidad de investigar su ein

∫ ∞−e)t(f

∞ − dtjwt

Pe-jwt=Cos(wt)-jSen(wt)), entonces, si la integral ha de existir debe cu

∫∞

dt)t(f < ∞ ( ∞−

3.40)

cia para la

importante, pues muchas e las erés para el nálisis, y que es común encontrarlas en los

sistemas físicos reales, no cumplen esta condición (ejemplos: Sen(wt), Cos(wt), = Constante, U(t), r(t), etc.) Afortunadamente la condición es solo del tipo

unstancias,

Siendo esta la Condición Necesaria, pero no Suficiente, de existenTransformada de Fourier.

Esta condición de existencia plantea un problema d señales de int a

KNecesario pero no Suficiente, razón por la cual, bajo ciertas circ

90

Marcos Crutchik

aplicando algún arreglo matemático si es posible encontrar la transformada de lguna antes planteadas que no cumplen con la condición dada

en la ecuación (3.40). A continuación se plantean algunos ejemplos.

ada de Fourier

a de las funciones

• Casos Especiales de Transform Caso 1: Sea f(t)= , A= CA onstante, que evidentemente no cumple con la condición

ransformada. Para su calculo considérese la función Gate lanteada en un ejercicio anterior, tal que:

de existencia de la tp

T → ∞ ⇒

omo se calculó anteriormente: C

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/wT)2/wT(SenAT)w(P

En consecuencia:

)w(A22/wT

)2/wT(SenT ⎞⎛ 2TT ⎠⎝∞→∞→

LimA2)w(PLim)w(F δπ=⎟⎜π

π==

Nota: Observe que la Transformada de Fourier tiene sentido en este caso solo para w = 0

Caso 2: Considere la Transformada de Fourier de la función signo, sgn(t), de la gura, fi que evidentemente no cumple con la condición de existencia:

n este caso es posible aproximar sgn(t) como: E

= ( ))t(Ue)t(UeLim atat0a

−−−

→ Sgn(t)

En consecuencia:

91

Marcos Crutchik

Sgn(w)= jw2

wajw2LimdteedteeLim 220a

jwt0 atjwt0

at0a

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→

−∞−

−∞ −

→ ∫∫

Caso 3: Caso en donde f(t) es un escalón, señal ésta última de aplicación muy común en la práctica. En este caso f(t)siguiente aproximación:

n consecuencia, puesto que la Transformada de Fourier es lineal, entonces:

F(w)

=A U(t) se puede determinar a partir de la

f(t) = A U(t) = 0.5A[1 +sgn(t)] E

= ⎥⎦

⎤⎢ ⎣2⎡

+πδjw2)w(A

aso 4 C : Otras señales de uso muy frecuente son las señales sinusoidales del tipo

en(wot) o Cos(w0t), las cuales tampoco cumplen con la condición de existencia. Así, para el caso del Coseno, es posible utilizar la siguiente aproximación:

f(t) = Cos(wot) = 0.5[1.ejwot + 1.e-jwot] Puesto que F[1]=2πδ(w), entonces, por la propiedad de Corrimiento de Frecuencia:

F(w)= π[δ(w-w ) + δ(w+w )]

F[Sen(wot)]= -jπ [δ(w-wo) − δ(w+wo)]

S

o o Por el mismo procedimiento es posible demostrar que:

3.3.3. Aplicaciones de la Transformada de Fourier

ión de la Transformada de Fourier para el análisis de a de un sistema, esta herramienta ha demostrado ser útil para muchas

caciones, en particular en lo que se refiere a la caracterización de los istemas y las señales. A continuación se discutirán brevemente estas plicaciones, partiendo, naturalmente, por la utilización de la Transformada de

Fourier para el cálculo de la respuesta temporal de un sistema, pues ello constituye el objetivo primordial de esta asignatura.

Más allá de la utilizacla respuestotras aplisa

92

Marcos Crutchik

3.3.3.1. Cálculo de la Respuesta Temporal de un Sistema

En el caso más general un sistema lineal e invariante esta representado por l siguiente modelo matemático, en donde Ak y Bk son constantes, y(t) la salida e (t) la mente:

ex entrada del sistema respectiva

∑ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛n m kk )t(xd)t(yd

⎜⎝

=⎟⎠

⎜⎝0k 0k

kkkkdt

Bdt

A (3.41)

En primer lugar, siendo consecuentes con la metodología en estudio, debe

(3.42)

respuesta buscada, esta dada por:

trasladarse la ecuación (3.41) al Plano de la Frecuencia, hecho que se consigue pasando la Transformada de Fourier al Modelo. En consecuencia, aplicando las propiedades de Linealidad y la Diferenciación asociadas a la Transformada, se obtiene:

( ) ( )∑ ∑= kk

kk jwB)w(xjwA)w(y

= =

n

0k

m

0k De lo que se deduce que y(w), la

)w(x)w(y n0k

⎥⎥

⎢⎢= =

)jw(A0k

k ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣∑

=

)jw(B

k

k ⎥⎢ ∑ (3.43 a)

y(w) = H(w) x(w) (3.43 b)

El término entre paréntesis cuadrados, representado por H(w), se conoce con el nombre de Función de Transferencia del sistema. Nótese que puesto que Ak y Bk son constantes, entonces la Función de Transferencia H(w) es fija, esto es,

independiente del tipo de sistema con el ue se le esta excitando.

mk ⎤⎡

constituye una característica del sistema,q

Bajo el supuesto que x(w), la Transformada de Fourier de la entrada x(t),

existe, entonces la respuesta del sistema a una entrada x(t) cualquiera, se obtiene a partir de:

y(t) =F –1[y(w)] = F –1[ H(w) x(w) ] (3.44)

Esto es, devolviendo el sistema al Plano del Tiempo. Ejemplo: Considere un sistema representado por el siguiente modelo:

)t(x)t(y2dt

=+ )t(dy

93

Marcos Crutchik

Calcul

Solución

ar la respuesta y(t) del sistema a las siguientes entradas: (a) x(t) = sgn(t) (b) x(t) = e-4t U(t)

: El primer paso es calcular la Función de Transferencia del sistema.

plicando al modelo la Transformada d

(jw + 2) y(w) = x(w)

A e Fourier, se tiene:

De lo que se deduce que:

2jw

1)w(y)w(H == )w(x +

X(w) =

(a) De lo visto en los ejercicios anteriores:

jw2

Con lo cual y(w) en el Plano de la Frecuencia queda como:

y(w) = H(w) x(w) =

jw⎟⎟

⎠ 2

2jw1 ⎞

⎜⎜⎝

⎛+

Ecuación que, mediante la aplicación del método de Separación de fracciones

arciales, puede rescribirse como: p

y(w) = 2jw

12211−⎟

⎞⎜⎛

=− jw2jwjw +⎟⎜+ ⎠⎝

En consecuencia:

y(t) =F –1[y(w)] =21 F –1

⎥⎤

⎢⎡ 2 - F –1

⎥⎤

⎢⎡ 1

⎦⎣ jw ⎦⎣ + 2jw De lo que se deduce que la respuesta temporal del sistema es:

y(t) = 21 sgn(t) – e-2t

) En este caso: (b

X(w) = F[e-4t] = 4jw

1 +

De lo que se obtiene que:

y(w) = H(w) x(w) = 4jw

5.02jw

5.04jw

12jw

1+

−+

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+

⎠⎝⎠⎝

94

Marcos Crutchik

De lo cual se obtiene que:

y(t) =F –1[y(w)] = F –1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2jw5.0 - F –1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 4jw5.0

= 0.5 e-2t – 0.5 e-4t = 0.5 [e-2t – e-4t]

l Numerador como el Denominador de la Función de os, es posible rescribir H(w) como sigue:

Puesto que tanto e

ransferencia son polinomiT

)1jwp..().........1jwp)(1jwp()1jwz().........1jwz)(1jwz(K)w(H

n21

n21++++++

= (3.45)

en donde los zk y pk son las raíces de los respectivos polinomios, y K es la Ganancia Estacionaria del sistema. Se acostumbra utilizar la siguiente notación

respecto a estos parámetros: Definición: • (jwzk + 1) se denomina Cero del sistema • pk + 1) se denomina s (jw Polo del si tema

e acuerdo a esta notación la Función de Transferencia representada en la

istemas tiene más polos que ceros (un sistema con más ceros que polos tendría que tener características anticipativas, esto es,

tu o hecho que con la tecnología de hoy aun no es posible de

Decuación (3.45) tiene n Polos y m Ceros. En los sistemas físicamente realizables m ≤ n, esto es, por lo general los s

“adivinar el fu r ”,conseguir). Definición: Un sistema se dice de Grado n si su función de Transferencia H(w)

ota

tiene n polos. N : Observe que el Grado del sistema así definido coincide con el Grado de la ecuación diferencial. Teorema: La Función de Transferencia H(w) de un sistema es idéntica a la

de la Función Característica h(t) del mismo sistema, sada en el Método de la Convolución Continua.

Transformada de Fourier u Demostración: Por definición del Método de la Convolución Continua:

asan terior la Transformada de Fourier

∫∞

∞−ττ−τ= d)t(h)(x)t(y

P do a la expresión an :

∞∞ ⎡ dted)t(h)(x)w(y jwt−⎥⎦⎤ττ−τ=

∞−∞− ⎢⎣∫∫

95

Marcos Crutchik

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡τ −∞

∞−∞− ∫∫ edtt(h)(x t ττ− τ−∞de) jwjw

n consecuencia, aplicando para el paréntesis cuadrado la propiedad de Corrim

na comparación directa de este resultado con la ecuación (3.43 b) indica que si

E

iento en el Tiempo de la Transformada de Fourier:

)w(x)w(hde)(x)w(hde)w(h)(x)w( jwjw =ττ=ττ= τ−∞

∞−τ−∞

∞− ∫∫ y

Uha de cumplirse esta igualdad, entonces necesariamente H(w)=h(w), con lo cual el Teorema queda demostrado. Nota: Lo an

aterior permite confirmar la definición hecha para h(t), en el sentido de

del sistema a un impulso. En efecto, 3.43 b) quedaría en este caso como

sponde y(t)=h(t).

que est función corresponde a la respuestaq (puesto ue F[δ(t)]=1, entonces la ecuación

(w)=H(w)=h(w), esto es, para x(t)=δ(t) correy 3.3.3.2. Filtros y características de Filtraje de Sistemas

Puesto que tanto H(w) como x(w) en la ecuación (3.43 b) tienen asociado un espectro de frecuencias, entonces, matemáticamente, el espectro de frecuencias de la salida y(w) es en la práctica la multiplicación de los espectros de frecuencia de H(w) y x(w).

Esta propiedad anterior sugiere la posibilidad de manejar el espectro de

frecuencias de y(w) por medio de una adecuada selección de H(w). Así, en el caso e que así sead necesario, una adecuada selección de H(w) permitiría eliminar, o

ecuencias presentes en la salida, se denominen Filtros,

dejar pasar solo algunas, de las frecuencias que componen la entrada x(w). Los sistemas de sistemas de este tipo, ideados para procesar señales mediante la egulación de las frr

existiendo en la práctica cuatro tipos de estos sistemas (ver Fig. 3.8). (i) Filtros Pasa Bajos: Ver Fig. 3.8 a. Corresponde a un sistema que deja pasar olo las frecuencias menores a una cierta frecues ncia wc, denominada Frecuencia

ayor que wc ando estas

omponentes por cero). Filtro Pasa Altos

de Corte, eliminando todas las frecuencias cuya frecuencias sea mcomo se observa en la figura, la eliminación se consigue multiplic(

c

(ii) : Ver Fig. 3.8 b. Corresponde a un sistema que deja pasar corte wc, eliminando todas las frecuencias mayores a una cierta frecuencia de

todas las componentes cuya frecuencia sea menor a wc.

96

Marcos Crutchik

Fig. 3.8. Características de Filtros, (a) Filtro Pasa Bajos, (b) Filtro Pasa Altos,

(c) Filtro Pasa Banda, (d) Filtro Elimina Banda.

(iii) Filtro Pasa Banda: Ver Fig. 3.8 c. Corresponde asol

un sistema que deja pasar o las frecuencias que están dentro de un intervalo [w1,w2], llamado Banda,

eliminando cualquier frecuencia de x(w) que este fuera de ese intervalo. Nota: Los Filtros que tienen una Banda muy angosta suelen llamarse Filtros Sintonizados, siendo su uso importante cuando se quiere que pase una sola frecuencia, o un rango muy estrecha de ellas. Este tipo se filtros se utilizan para la selección de una estación de radio o televisión, para la recepción de señales de radar, sonar, de instrumentos de medición sónicos, y en general en cualquier aplicación que se quiere detectar una frecuencia específica, con muy poca dispersión. (iv) Filtro Elimina Banda: Ver Fig. 3.8 d. Corresponde a un sistema que elimina todas las frecuencias que se encuentran dentro de la Banda [w ,w1 2], dejando pasar cualquier frecuencia de x(w) que este fuera de ese rango. Ejemplo: Considere el siguiente filtro Pasa Bajos en cuya entrada existe una señal cuyo espectro de frecuencias es el que se muestra:

Determinar el espectro de frecuencias que habría en la salida del Filtro para la entrada cuyo espectro de frecuencias se adjunta:

97

Marcos Crutchik

Solución: Puesto que y(w) = H(w) x(w), entonces, multiplicando los espectros de frecuencia de h(w) y x(w) se obtiene:

Ejemplo: Considerando el Filtro Pasa Banda de la figura, determine una expresión matemática para y(t) si la entrada x(t) tiene la siguiente forma:

X(t)=30Sen(30t)+5Sen(28t)+-20Sen(33t)+15Sen(40t)-15Sen(60t)

Solución: De acuerdo al x(t) dado, su Espectro de Frecuencia de Amplitud es Discreto (recuerde las Series de Fourier), teniendo este la siguiente forma:

98

Marcos Crutchik

Nota: En este caso, puesto que no existe la parte cosenoidal en la entrada x(t), la fase en cada caso es igual a cero por lo que Espectro Discreto es siempre igual a cero. El Espectro de y(w), al igual que en el ejercicio anterior, se obtiene multiplicando |H(w)| por |x(w)|, operación la cual arroja el siguiente resultado:

De lo que se deduce que:

y(t)=5Sen(28t)-20Sen(33t)

-60-40-20

020406080

0 2 4 6 8 10

Tiempo

Am

plitu

d

x(t) y(t)

99

Marcos Crutchik

Desafortunadamente no es posible construir filtros con las características del tipo mostrado en la figura Fig. 3.8, los sistemas de este tipo no son realizables físicamente. En la práctica los filtros reales adoptan formas que solo aproximan la la característica ideal. En la siguiente tabla se muestran las formas que adoptan los filtros pasa bajos reales.

Ejemplos de Filtros Reales tipo Pasa Bajos 1° Orden 2° Orden 3° Orden

jwc11)w(H

+=

)jwc1)(jwc1(1)w(H

21 ++=

)jwc1)(jwc1)(jwc1(

1)w(H321 +++

=

( ) 22

1 jwcwc1)w(H

+−=

)wwc(j)wcc(1)w(H 3

22

31 −+−=

Filtros Pasa Bajos Reales

0

0.2

0.4

0.6

1

0 100 200 300 400 500Frecuencia

Mod

ulo

Am

plitu

0.8d

1º Orden

2º Orden

3º Orden

Fig. 3.9. Características de Filtros Pasa Bajos Reales.

Notas: 1. Como se observa en la figura Fig. 3.9 la calidad del filtrado aumenta con el

orden del sistema (el filtro se parece más al ideal), hecho que era de esperar dada la mayor complejidad que tienen los filtros de orden superior.

eso si, que un filtro de mayor complejidad significa o desde punto de vista de la mayor inversión que

habrá que hacer para su construcción, sino que también, por tener más componentes, por el mayor consumo de energía que su uso significa.

suele pensar, los filtros no se utilizan solo en los aplicaciones de este principio en otros

ámbitos de la ingeniería. De hecho, en la práctica, los sistemas de amortiguación que usan los sistemas mecánicos constituyen un filtro, también los materiales de aislamiento térmico y acústico son filtros (dejan pasar solo algunas frecuencias de las señales de sonidos o de calor que

Debe tenerse presente,un mayor costo, no sol

2. A pesar de lo que se sistemas eléctricos, existen también

100

Marcos Crutchik

inciden sobre ellos), como de igual manera los vidrios, con sus distintos colores, son filtros para las señales de luz, entre muchos otros ejemplos.

3. Puesto que los sistemas reales por lo general tienen más polos que ceros, ello implica que en la práctica presentan un comportamiento similar al de los filtros pasa bajos (a medida que aumenta la frecuencia disminuye la amplitud de la Función de Transferencia H(w)), de modo que de alguna manera se v ias sobre ellos. Lo

es una prop resante de los sistemas reales, en particular cuando se piensa en las señales de perturbación cuyo efecto se ve atenuado por este hecho.

3.3.3.3. Transmisión sin Distorsión y Ancho de Banda

e atenuado el efecto sobre algunas frecuencanterior iedad inte

Un efecto contrario al de los filtros son los sistemas que tratan de transmitir

las señales que les llegan, amplificándolas, sin que estas sufran distorsión. Un jemplo clásico de este tipo de sistemas lo constituyen los equipos musicales los

cuales, para mantener una alta fidelidad de la música reproducida deberían tener una característica de este tipo. Así, si un equipo ha de tener una característica de transmisión sin distorsión, su función de transferencia debería tener la forma que se observa en la figura Fig. 3.10, esto es, que todas las frecuencias sean amplificadas por el mismo factor.

e

Fig. 3.10. Característica de un Sistema Sin Distorsión.

Un sistem ncia igual a H(w)=K, lo cual indica que su Función Característica tendría que ser h(t)=Kδ(t),

Así, si se aplica esta definición a los parámetros de la figura Fig. 3.11 (a), es posible establecer que:

a como el de la figura tendría una función de transfere

característica que lamentablemente no es posible encontrar en un sistema o equipo real. En la Práctica, eso si, es posible concebir equipos, de música por ejemplo, que pueden mantener una característica de transmisión sin distorsión en un rango finito de frecuencias. Este rango es denominado Ancho de Banda (BW), y se define como el rango de frecuencias entre las cuales la amplitud de la función de transferencia baja en un factor raíz de dos (ver Fig. 3.11). Por comodidad se suele transformar el eje de amplitud ⎢H(w) ⎢por otra definida en decibeles (con ello se logra comprimir el eje). Los decibeles se definen de la siguiente forma: ⎢H(w) ⎢dB = 20 log(⎢H(w) ⎢) (3.46)

101

Marcos Crutchik

KdB = 20 log (K) (3.47) Y

3K)2log(20)Klog(202

Klog20 dB −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ (3.48)

Bajo esta perspectiva el Ancho de Banda BW puede redefinirse como el rango de frecuencias en el cual la amplitud de H(w) baja en 3 decibeles.

Fig. 3.11. Definición gráfica de Ancho de Banda, (a) Por Amplitud normal, (b) Por

Decibeles. 3.3.3.4. Sistemas de Transmisión en Amplitud Modulada

Una de las aplicaciones importante de la transformada de Fourier es posible encontrarla en la transmisión en Amplitud Modulada, llamada comúnmente transmisión AM. En la figura Fig.3.12 se muestra un diagrama esquemático de este tipo de sistemas.

Fig. 3.12 Esquema de Transmisión de Amplitud Modulada

El sistema esta compuesto por dos partes: Un sistema Transmisor, que consta de una etapa de Modulación y otra de Potencia, que sirve para transmitir la

formación a una cierta distancia con la ayuda de una antena, y de un sistema

n la etapa de Modulación consiste básicamente en multiplicar la información f(t)

eces de señal transportadora de la información. La multiplicación de ambas

inReceptor, llamado también de Demodulación, en donde se rescata la información enviada. Eque se quiere transmitir por una señal cosenoidal del tipo Cos(wot), que hace las vseñales produce en la salida una señal cosenoidal cuya amplitud varía de acuerdo

102

Marcos Crutchik

a los valores que adopta la señal f(t), formando f(t) una especie de envolvente para la señal cosenoidal (ver Fig. 3.13).

0

1

2

3

Am

plitu

d

4

0 1 2 3 4Tiempo

Información f(t) Transportadora

-2

-10

1

0 1 2Am

plitu

d

2

3 4

TiempoCose(Wot)

-1

0

Am

plitu

d

-4

-3

-2

1

2

3

4

0 1 2 3 4

Tiempof(t) f(t) Modulada

Fig. 3.13. Ejemplo de señales en sistema de transmisión de Amplitud Modulada.

Con el objeto de comprender el funcionamiento del sistema resulta útil

determinar la Transformada de Fourier de la señal f1(t). Así, si F[f(t)]=F(w)entonces:

,

F[f1(t)]= F[f(t)Cos(wot)]= 21 [F(w-wo)+F(w+wo)] (3.50)

Siendo esta la señal que se transmite por la antena. La señal f1(t) transmitida es recepcionada en el lugar deseado y es rescatada por

expresión:

un medio llamado denominado Demodulación, el cual consiste en una separación de la señal f(t) de la transportadora cosenoidal. La primera etapa consiste en multiplicar la señal f1(t) por otra señal cosenoidal idéntica al Cos(wot) que se usó para el transporte, lográndose con ello que la señal f2(t) adopte la siguiente

103

Marcos Crutchik

f2(t)=f1(t)Cos(wot)=f(t)Cos2(wot)=f(t)[21 (1+Cos(w t))]=o 2

1 f(t)+21 f(t)Cos(w t) (3.51) o

El espectro de frecuencia en este caso esta dado por:

F2(w)=

21 F(w)+

41 [F(w-wo)+F(w+wo)] (3.52)

Así, en referencia la figura Fig. 3.14, si F(w) corresponde al espectro de frecuencias de f(t), entonces el espectro de f2(t) es el que se muestra en la parte (b) de la misma figura.

Fig. 3.14. (a) Espectro de Frecuencias de f(t), (b) Espectro de frecuencias de f2(t).

De la figura anterior es fácil deducir que si f2(t) se hace pasar por un filtro pasa bajos con una frecuencia de corte wc=w1, a la salida de ese filtro se rescatará solo el espectro de F(w), y en consecuencia a la señal de información f(t) que fue enviada (ver Fig. 3.15).

Fig. 3.15. Rescate de señal demodulada con la ayuda de un filtro pasa bajos. Nota: El sistema de transmisión en amplitud modulada fue la primera técnica inalámbrica de transmisión de señales a distancia. Tiene la virtud de poder transmitir la información a grandes distancias (las antiguas radios AM llegaban prácticamente a todo el país), sin embargo tiene el inconveniente de ser vulnerable a las interferencias. Ello hace que la señal recepcionada no sea de la

104

Marcos Crutchik

mejor calidad, hecho que redunda en que sea difícil scat r en forma fidedigna la señal enviada. Lo anterior contribuye, por ejemp o, a que la calidad de la

re al

ansmisión de las radios AM sea solo regular, o en la introducción de errores rmación numérica. Con el

empo se desarrollaron algunas técnicas de mayor inmunidad a las distorsiones, on la transmisión en Frecuencia Modulada (FM) y las Microondas, que

trcuando se trata de transmitir código digitales o infoticomo lo ssin embargo pecan ser de tener alcance bastante menor. COMENTARIOS FINALES 1. Si se centra el enfoque solo en lo que se refiere al análisis de la respuesta de

los sistemas, el uso de la transformada de Fourier tiene solo utilidad limitada. La limitación viene esencialmente por el hecho de que no esta garantizada la existencia de la transformada, en particular de algunas señales de uso muy común en la práctica. Una segunda fuente de dificultad lo constituye la obtención de la transformada inversa para determinar la expresión temporal de la respuesta del sistema, la forma algo compleja que puede tomar el producto H(w)x(w) hace que muchas de las veces no sea nada fácil obtener la transformada inversa. En el contexto de todo lo anterior, si bien se ha conseguido alguna mejora en referencia a los métodos anteriormente

ñales y sistemas, los esquemas de transmisión AM, y el uso de los filtros o la transmisión sin distorsión, son todas herramientas muy útiles para estos propósitos. Esta utilidad se hace aun más manifiesto cuando se trata de sistemas y señales del tipo discreto.

3.4. La Transformada de Laplace

estudiados, deben explorarse aun otras alternativas que faciliten aun más la obtención de la respuesta deseada de los sistemas.

2. En donde si la transformada de Fourier ha demostrado ser de gran utilidad en el campo del procesamiento de las señales, hecho que hace que sea ampliamente utilizada por todos aquellos que se dedican a la especialidad de las comunicaciones electrónicas. La posibilidad de conocer los espectros de frecuencia de las se

Dado el problema de existencia que presenta la Transformada de Fourier,

se explorará mejorar este aspecto limitando el tipo de funciones a considerar, tratando que estas sean decrecientes en el tiempo, hecho que se logra considerando que funciones como las que se muestran en la ecuación (3.53). Se pretende así, puesto que el exponencial negativo es una función decreciente, dar mayor seguridad que la integral entre limites infinitos pueda converger a un valor finito.

φ(t) = f(t) e-σt , σ=Constante ∈R (3.53)

ara este tipo de función la Transformada de Fourier queda definida como: P

F ∫∫∞

∞−+σ−∞

∞−−σ− ==φ dte)t(fdtee)t(f)]t([ t)jw(jwtt (3.54)

105

Marcos Crutchik

En consecuencia, si F(w) es la transformada de Fourier de f(t), entonces, por definición: φ(w) = F(σ+jw) (3.55) La relación anterior indica que la Transformada Inversa de Fourier de φ(w) estará dada por:

∫∫∞1∞−∞−

+σπ

=φπ

=φ dwe)jw(F2

dwe)w(2

)t( jwt

Ahora bien, puesto que φ(t)=f(t)e-σt, entonces:

∞1 jwt

∫∞

∞−σ− +σ

π= dwe)jw(F

21e)t(f jwtt

De lo que se deduce que:

∫∞

∞−+σ+σ

π= dwe)jw(F

21)t(f t)jw( (3.56 a)

Además de:

∫∞

∞−+σ−=+σ dte)t(f)jw(F t)jw( (3.56 b)

Siendo éstas la transformada directa e inversa de Fourier para el caso planteado. Ahora, si se hace en las ecuaciones anteriores el siguiente cambio de variables: = σ+jw, entonces:

(3.57 a)

s

ds = j dw Y w → ∞ ⇒ s → σ ± j∞ Con lo cual las ecuaciones (3.56 a) y (3,56 b) quedan definidas como:

∫∞

∞−−= dte)t(f)s( stF

∫∞+σ j st1 ∞−σπ jj2

= dse)s(F)t(f (3.57 b)

cuac es que se conocen con el nombre de Trailateral de Laplace.

E ion nsformadas, directa e inversa, B

106

Marcos Crutchik

Notación: LB[f(t)] = F(s) Transformada Bilateral de Laplace

-1L B[F(s)] = f(t) Transformada Inversa Bilateral de Laplace Nota: Es interesante observar que en la práctica la Transformada Bilateral de Laplace es solo una variante de la Transformada de Fourier. Es más, si σ=0,

ntonces, eidénticas a la de la Transformada de Fourier.

las transformadas definidas en las ecuaciones (3.57 a) y (3.57 b) son

jemplo E : Con el objeto de probar las bondades de esta nueva herramienta,

olución

determinar la Transformada de f(t)=AU(t). S :

sAdteAdte)t(AU)s(F

0stst === ∫∫

∞ −∞

∞−−

otaN : Es interesante comparar este resultado con lo complejo que fue obtener la ransformada de Fourier para la misma función, y observar lo mucho más sencilla

ia de la Transformada Bilateral de Laplace

Ty manejable que es la transformada obtenida en este caso. 3.4.1. La Existenc

nsformada Bilateral de Laplace existe si:

La Tra

(3.58) ∞<∫∞

∞−− dte)t(f st

Puesto que s=σ+jw, y que se sabe que el modulo de un exponencial complejo es igual a la unidad, entonces la condición de existencia anterior puede redefinirse como sigue:

∞<∫∞ − ∞−

σ dte)t(f t (3.59)

-σt tiempo, la forma que

dopta ⏐f(t)⏐y como una posible forma no finita de ella es anulada por la aracterística decreciente ,

pertenecientes a lo Reales, tal que existe un par α y β cualesquiera, también ertenecientes a los Reales, e t)

existirá si:

En otras palabras, puesto que e es una función decreciente en elxistencia de la Transformada Bilateral de Laplace depende de la e

ac del exponencial. Así, si existe un numero M finito

p ntonces la Transformada Bilateral de Laplace de f(

{ 0t,Me

0t,Me t)t(f<β≤ (3.60)

t >α

i se cambia la expresión anterior en la definición de existencia anterior, entonces: S

107

Marcos Crutchik

∞−α−β ⎤⎡+

⎤⎡≤ t)s(

0t)s( MM)(F

∞− 0 De lo anterior se deduce que la relación anterior se cumple, y por lo tanto la transformada existe, solo si:

∞ −α−β

⎥⎦⎢⎣ −α⎥⎦

⎢⎣ −β

stt0 stt

es

es

s

jw (el modulo de un exponencial complejo unidad), entonces la condición de existencia se reduce a:

β − σ > 0 ⇒ σ < β (3.62 a)

onverge, si se cumple que:

(3.63)

e definió también un plano, lla

e S en distintas situaciones. Así, si Re[s]=σ e Im[s]=jw, entonces la condición de

∞−+≤ ∫∫ 0

dteMedteMe)(F s

β - s > 0 (3.61 a) α - s < 0 (3.61 b) Si se descarta de S la parte imaginaria es igual a la

α − σ < 0 ⇒ σ > α (3.62 b) Es decir, la Transformada LB[f(t)] existe, o si se quiere poner en otros términos, c

α < σ < β Laplac mado Plano de Laplace, en donde se representa gráficamente los valores que van tomando la parte de real e imaginaria dexistencia, llevada al Plano de Laplace, indica que existe en cada caso un área predeterminada, llamada Zona de Convergencia, dentro de la cual la Transformada Bilateral de Laplace existe.

Fig. 3.16 Zona de Convergencia en el Plano de Laplace.

otaN : Naturalmente si f(t) rá, y en consecuencia la existencia de la Transformada esta garantizada para todo S, sto es, la Zona de Convergencia es todo el Plano de Laplace.

es una función finita, la ecuación (3.59) también lo se

e

108

Marcos Crutchik

Ejemplos: 1. Determinar la Zona de Convergencia de (a) f (t) = e-atU(t), (b) f2(t)=ebtU(-t) Solución

1

:

(a) LB[f1(t)]= ∫∫ ∞−−− =

0t)as(stat dtedte)t(Ue =

∞ +−∞ ∞+−

⎥⎦⎢⎣ + 0

t)sa(esa

n conclusión, para que la transfo

⎤⎡ −1

rmada exista debe cumplirse que: E S + a> 0 ⇒ σ + a > o ⇒ σ >-a Lo cual arroja la siguiente Zona de Convergencia:

) LB(b [f2(t)]= ∫∫ −−∞ − =0 t)bs(stbt dtedte)t(Ue =∞−∞−

0t)bs(e1 −+−⎥⎤

⎢⎡ −

bs ∞−⎦⎣ −Lo que arroja que la transformada existe si se cumple que: S – b < 0 ⇒ σ - b < o ⇒ σ < b Obteniéndose la siguiente Zona de Convergencia:

Ejemplo: Determine la convergencia de la

transformada de la siguiente función

109

Marcos Crutchik

Solución

⎪⎩

⎧ <−

>−

0t),t(Ue

0t,e

bt

)t(atU

⎪⎨=)t(f

: Este caso es una combinación de los ejercicios (a) y (b) del ejemplo s Areas de

onve s casos, esto es: anterior. El resultado es en este caso la intersección de laC rgencia obtenida en cada uno de lo

Nota: Si el primer exponencial estuviese elevado a at en vez de –at, entonces, si a>b la Zona de Convergencia sería inexistente, es decir, no existiría una

Bilateral de Laplace para esa función.

aplace

Transformada

3.4.2. No Unicidad de la Transformada Inversa Bilateral de L Una de las dificultades en el uso de la Transformada Bilateral de Laplace

la respuesta de sistemas es que la ransformada Inversa no cumple con el principio de Unicidad, esto es, la

, no es única. Ello, a la luz del hecho de que la última etapa del análisis de la respuesta justamente esta relacionada al plano del tiempo mediante la aplicación de la transformada inversa, ciertamente, al no saber que expresión temporal utilizar, constituye un problema. Esto es, si la transformada inversa de una salida y(s) de un sistema no es única, entonces ¿cuál será la respuesta y(t) a analizar?.

Una metodología sencilla para demostrar la no unicidad de la transformada Inversa Bilateral de Laplace es utilizar lo que los matemáticos denominan demostración por el Contraejemplo, es decir, encontrar un ejemplo que contradiga una posible hipótesis de unicidad para la transformada. Para efecto de lo anterior e considerará la Transformada Bilateral de Laplace de la siguientes dos

es iferentes (ver figura).

para el análisis de la respuesta de Ttransformada inversa de una función F(s), a veces

sfunciones: f1(t)=eat U(t) y f2(t) = -eat U(-t), que evidentemente son funciond

110

Marcos Crutchik

Para el primer caso:

LB[f1(t)]=

Fig. 3.16 Formas gráficas de f1(t) y f2(t)

∫∫∞ −−∞

∞−− =

0t)as(stat dtedte)t(Ue =

as1e

as1

0

t)as(−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−− ∞

−− , con σ>a

En el segundo caso:

LB[f2(t)]= ∫∫ ∞−−−∞

∞−− −=−−

0 t)as(stat dtedte)t(Ue =as

1eas

1 0t)as(

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

− ∞−

−− , con σ<a

Como se observa F1(s)=F2(s) a pesar de que evidentemente f1(t) es diferente de f2(t), hecho el cual indica que la transformada inversa de F(s)=1/(s-a) no es única. COMENTARIO

Si bien la Transformada Bilateral de Laplace ha mejorado enormemente la condición de existencia, hecho que resuelve el problema presentado en la Transformada de Fourier. Sin embargo, la no unicidad de la transformada de inversa significa un problema grave, pues atenta contra la esencia misma del análisis propuesto para estudiar la respuesta de los sistemas, que es, retrotraer los resultados obtenidos en el plano de la frecuencia al plano del tiempo, de modo que allí se puedan sacar las conclusiones sobre el comportamiento del sistema que se encuentra en observación. Esta restricción hace poco recomendable la utilización de la Transformada Bilateral de Laplace como herramienta de análisis de sistemas, siendo entonces recomendable seguir explorando en pos de una herramienta con menos restricciones. El paso siguiente será considerar la Transformada Unilateral de Laplace como una posible solución al problema planteado. 3.4.3. La Transformada Unilateral de Laplace La mayoría de los sistemas físicos son causales, esto es, su comportamiento es alido desde el momev nto de que estos se ponen en marcha, tiempo que se upone que es t=0. Lo anterior sugiere que más que la Transformada Bilateral de aplace, que es válida para todo tiempo, habría que utilizar en este caso la

Transformada Unilateral de Laplace, herramienta que justamente se define para operar en el intervalo de tiempo [0,∞].

sL

111

Marcos Crutchik

La Transformada Unilateral de Laplace, y su Inversa, se define como:

(3.64 a)

∫∞ −=0

stdte)t(f)s(F

∫∞+σ

∞−σπ=

j

jstdse)s(F

j21)t(f (3.64 b)

Notación: [f(t)] = F(s) Transformada Unilateral de Laplace

Transformada

sta Transformada tiene algunas ventajas importantes respecto a su equivalente Bilateral. En efecto, en primer lugar, se mantiene, y se mejora la condición de

de las transformadas. Existe Transformada Unilateral de Lilizada en la práctica, eliminándose con ello la

certidumbre de no poder realizar el análisis de la respuesta de un sistema por no

ransformada Unilateral de Laplace tiene inversa única, recuperándose de esta

lidad de volver al plano del tiempo para obtener la respuesta e inform

L L-1[F(s)] = f(t) Unilateral Inversa de Laplace E

Existencia aplace para prácticamente toda señal utinexistir la transformada correspondiente. En segundo lugar, se elimina también en este caso la dificultad de la no unicidad de la transformada inversa, laTmanera la posibi

ación necesaria para operar los procesos. Por todas las razones anteriores es que la Transformada Unilateral de Laplace es la herramienta matemática preferida para el análisis de la respuesta de un sistema, y será también la herramienta que se usará en este texto. Nota: En lo que sigue se llamará a la Transformada Unilateral de Laplace, simplemente como Transformada de Laplace. Ejemplo: Calcule la Transformada de Laplace de (a) f1(t)=e-at U(t), (b) f2(t) =A U(t). Solución:

as1e(a) ∫∫ +−∞ − ==

0 t)as(stat dtedtee)s(Fas⎢⎣ +

1

0

t)as(+

=⎥⎦⎤⎡ −

=∞

+− ∞−01

(b) == ∫∞ −0

st2 dtAe)s(F

sAe

sA

0

st =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− ∞

−

112

Marcos Crutchik

Propiedades de la Transformada de Laplace Estando la Transformada de Laplace fuertemente correlacionada con la

ecciones anteriores para la Transformada de Fourier. Puesto que las propiedades son iguales, también lo son sus demostraciones, salvo el cambio de las variables,

numeran las principales propiedades:

) Linealidad

Transformada de Fourier (una es un caso especial de la otra), entonces las propiedades en este caso son exactamente las mismas que las discutidas en las s

razón por la cual no es necesario volver a demostrarlas. A continuación se e (i :

+βf2(t)] = αF1(s) +βF2(s) (3.65 a)

i) Es l Tie

L [αf1(t)

(i calamiento en e mpo:

L [f(at)] ⎟⎠⎝ aa

(iii) Corrimiento en el Tiempo

⎞⎜= F (3.65 b) ⎛ s1

L [f(t-T)] = e-sT F(s) (3.65 c)

(iv) Corrimiento en Frecuencia L [e-T tf(t)] = F(s + T) (3.65 d)

(v) Derivación en el Tiempo

L )s(Fsdt

)t(fd nn

n=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ (3.65 e)

vi) Integración(

L )s(Fs1d)(f

t

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ττ∫ (3.65 f)

(vii) Derivación en Frecuencia

L [ ] nn

ds)t(f)t( =− (3.65 g)

n )s(Fd

(viii) Teorema del Valor Final: Si L[f(t)]= F(s), entonces: ) (3.65 h)

(ix) Teorema del Valor Inicial

s(sFLim)(f0s→

=∞

: Si L[f(t)]= F(s), entonces: ) (3.65 i) s(sFLim)0(f

s ∞→=

Ejemplo de uso de Propiedades

) Determine la Transformada de Laplace de f(t) = Sen(wot) olución

(1S :

e sabe que Sen(w0t)= ( )tjwtjw oo e.1e.1j2

1 −− S

113

Marcos Crutchik

Por lo tanto, por linealidad se tiene que:

L[Sen(wot]= j2

1 ( L[1.ejWot] – L[1.e-jWot])

Ahora, puesto que L[1]=1/s, entonces, aplicando la propiedad de Corrimiento en Frecuencia, se obtiene:

F(s)= 2ooo ws +⎦ 2

owjws1

jws11

=⎥⎤⎡

+−

−

j2 ⎢⎣

2o

2 wss

+ Nota: De la misma forma es posible demostrar que L[Cos(wot)]=

2.

Soluci

(2) Determine la Transformada de Laplace de f(t)=At

ón: Sea f1(t)=A tal que f(t)=t2f1(t). Como se cálculo en ejercicios anteriores, se sabe que L[A]=A/s, en consecuencia, utilizando la propiedad de Derivación en Frecue

1

ncia, se obtiene:

L[f(t)]= L[t2f (t)]= 32

2 s(FdsdsA2)

=

Transformada de Laplace de f(t)=e-at Cos(wot).

Soluci

(3) Determine la

ón: Se sabe que os(wot)]= L[C 2o

2 wss

+, por aplic edad de Corrimiento en Frecuencia:

L[e-at Cos(wot)]=

Entonces ación de la propi

2o

2 w)as()as(

++

+

(4 formada de Laplace de la siguiente función: ) Determine la Trans

Solución: Siendo f(t) una señal Singular, su expresión matemática corresponde a:

AU(t) – 2 AU(t -T) + AU(t – 2T) f(t) =

114

Marcos Crutchik

Ahora, se sabe que: L[U(t)]=1/s, entonces por Propiedad de Linealidad y

Corrimiento en el tiempo:

2TsTs2Ts )e1(s

es

ess

)s(F −=+−=

AAA2A −−−

Comentario

: Como era de esperarse, al igual que lo que ocurrió en el caso de la e ourier, el uso de la s propiedades simplifica enormemente en el

calculo de las Transformadas de Laplace, razón por la cual su uso es altamente comendable en reemplazo del método directo, que puede derivar en largas y

lisis de Sistemas

Transformada d F

reengorrosas integraciones matemáticas. .4.4. Aplicación de la Transformada de Laplace al Aná3

El tratamiento a dar en este caso es esencialmente igual al usado en el caso de la Transformada de Fourier. Así, para un sistema generalizado representado por el siguiente modelo:

∑∑ =kkdt

)t(ydA==

m

0kk

k

k

n

0k

k

dt)t(xdB (3.66)

de la frecuencia, on la ayuda de la Transformada de Laplace:

(3.67)

e lo q la Función de Transferencia esta dada por:

se obtiene la siguiente expresión al trasladar al modelo al planoc

mn ∑∑

==

=0k

kk

0k

kk sB)s(xsA)s(y

d ue se deduce que

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢ ∑ k

ksB)s(y

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

∑=

=m

0k

kk

m

0k

sA)s(x

)s(H (3.68)

de los Polos y los Ceros

, en función : O

)ps..().........ps)(ps(

)s(Hn21 +++

= )zs)......(zs)(zs(K +++ m21 (3.69)

115

Marcos Crutchik

Con el objeto de hacer análisis de Estabilidad (que se estudiará en el próximo Capitulo), los polo

lano de Laplace utilizands y los ceros de H(s) se acostumbra a representar en el o la siguiente metodología:

(s+zi) = 0 ⇒ s= -zi (zi = ziR + j ziC ) (s+pi) = 0 ⇒ s= -pi (pi = piR + j piC )

P

Para distinguir los polos de los ceros en el Plano de Laplace, los Polos se grafican con el símbolo X, mientras que los Ceros con O (ver Fig. 3.17).

Fig. 3.17. Representación de Polos y Ceros en Plano de Laplace.

Ejemplo: Representar en el Plano de Laplace la ubicación de los Polos y Ceros de la siguiente Función de Transferencia:

)8s4s)(3s(

)2s2s(2)s(H2 +−

= 2 ++−

olución S : Por medio del álgebra e

de los polinomios. Hecho este trabajo, se s posible rescribir H(s) en función de sus Polos y

Ceros, esto es, en función de las raíces obtiene como resultado:

)j1s)(j1s(2 )j22s)(j22s)(3s(

)s(H++−+−

+−−−=

cuya representación en el Plano de Laplace es la siguiente:

Al igual que en el caso de la Transformada de Fourier, la expresión temporal, y(t), e la respuesta del sistema se obtiene mediante el uso de la Transformada versa de Laplace, esto es:

y(t) = L –1[y(w)] = L –1[H(w)x(w)] (3.70)

dIn

116

Marcos Crutchik

Ejemplo: En el siguiente circuito, determine la corriente i(t). Considere R = L = C =1 y e(t)=EU(t).

Solución: El primer paso consiste en plantear el modelo matemático del sistema. En consecuencia, aplicando la Ley de Kirchoff de Voltaje se obtiene la siguiente expresión representativa del circuito:

∫++= dt)t(iCdt1)t(diL)t(Ri)t(e

e. Así, utilizando las ropiedades de la Transforma a, la ecuación equivalente en el plano de la

frecuencia por:

El paso siguiente esta relacionado con la obtención de la Función de Transferencia del sistema. Ello implica trasladar la ecuación anterior al plano de la frecuencia con la ayuda de la transformada de Laplacp d

)s(isC1)s(sLi)s(Ri)s(e ++=

De lo que se deduce que:

1sss

1RCsCLss C

11

)s(e)s(i)s(H 22 ++

=++

===

Por otra parte se sabe que: X(s) = L[EU(t)]=E/s En consecuencia:

Y(s) = H(s) x(s) =

sCsLR ++

1ss

EsE

1sss

22 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

++

Ecuación que puede rescribirse de la siguiente forma:

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ++

=4/3)2/1s(3

)s(y 2 ⎞⎛ 2/3E2

117

Marcos Crutchik

Finalmente, al retrotraer y(s) al plano del t

y(t)= L –1[y(s)]= L –1

iempo se obtiene que:

⎥⎥⎦

⎤⎟⎞2

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎜⎜⎝

⎛

++ 4/3)2/1s(/3

3E2

2

)t(Ut 2

Sene3 ⎟

⎠⎜⎝

=

3E2 2/t ⎟⎞

⎜⎛−)t(y

-300

-200

-100

200

300

0 5 10 15 20 25 30

Tiempo

Am

0

100

pere

s

Nota: Se agrega el escalón U(t) la respuesta y(t) obtenida solo para recordar que l sistema es causal.

jemplo

e E : Determine una expresión para Fo(t) en el siguiente estanque. Considere

EU(t), Pa(t)=PU(t). flujos laminares y que Fi(t)=

En donde: C = Capacitancia Hidráulica del Estanque R = Resistencia Hidráulica de la Válvula Pa = Presión Ambiental P = Presión Hidrostática en fondo de estanque

Fo = Flujo de salida

ión

Fi = Flujo de entrada

Soluc : De acuerdo a lo aprendido para los sistemas de fluidos, el modelo matemático en este caso esta dado por:

118

Marcos Crutchik

(i) oi FFdPC −= dt

raspasando el sistema al plano de la frecuencia, este queda como sigue:

) sC P(s) = Fi(s) – F0(s) s) R = P(s) - Pa(s)

(iii) P(s) = γ L(s) + Pa(s)

Conviene, previo al análisis del sistema, esquematizar el proceso en función de sus entradas, salida, perturbaciones, y variables y parámetros internos. Un análisis del funcionamiento permite establecer las siguientes premisas:

(ii) F0 R = P - Pa (iii) P = γ L + Pa

T

(i(ii) F0(

Es decir, en la practícale sistema tiene dos variables exógenas que condicionan su funcionamiento: El caudal del Fluido Fi, y el valor de la presión ambiental Pa son

ndo el principio de superposición para

Para el cálculo de H1(s) se procede como sigue: • De la ecuación (2) → P(s)=R Fo• Reemplazando este resultado e

sCR Fo(s)=Fi(s) – Fo(s) de lo que se concluye que:

entradas del sistema, en consecuencia el sistema tendría dos funciones de transferencia, una que relaciona F0 con Fi, y otra que relaciona F0 con Pa, que endrían que calcularse por separado. Usatestos propósitos (el sistema lineal), es posible plantear que: i) Pa(s)=0 ⇒ H1(s)=Fo(s)/Fi(s) (

(s) n la ecuación (1) se obtiene:

sCR11

)s(F)s(F

)s(H i

o1 +

==

119

Marcos Crutchik

(ii) Fi(s)=0 ⇒ H2(s)=Fo(s)/Pa(s) Pa l cálculo de H (s) se procede como sigue:

• De la ecuación (2) → P(s)=R Fo(s)+Pa(s) • Re resultado en la ecuación (1) se obtiene:

SC(R Fo(s)+Pa(s))=– Fo(s)

e lo que se concluye que:

ra e 2

emplazando este

d

sC)s sCR1)s(P

)s(Ha

2 +== (Fo −

En consecuencia, el flujo Fo(s) esta dado por la siguiente expresión en el plano de la frecuencia:

)s(PsCR1sC1 ⎞⎛⎞⎛Fo(s) = H1(s)Fi(s)+H2(s)Pa(s)= )s(F

sCR1 ai ⎟⎠

⎜⎝ +

−⎟⎠

⎜⎝ +

Finalmente, para obtener Fo(t), solo resta encontrar la Transformada de la Laplace de Fi y Pa y determinar la Transformada de Laplace Inversa de Fo(s). De los datos dados se tiene que: Fi(s)=E/s , Pa(s)=P/s De lo que se deduce que:

sCR1

PCsCR1

ECRsE

sCR1PC

sE

sCR11)s(Fo +

−+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

En consecuencia: Fo(t)=E – ECR e-t/RC – PC e-t/RC = E – (ERC + PC) e-t/RC

Nota: Observe que en estado estacionario, cuando t→∞, Fo(t)=E. El mismo

sultado se habría obtenido i se hubiese usado el Teorema del Valor Final. En efecto: re s

120

Marcos Crutchik

EsCR1sCR1

Lim)s(sFLimF0s

o0s

oss =⎟⎠

⎜⎝ +

−+

==→→

sERCE ⎞ ⎛

3.5. Representación de Sistemas en Diagramas en Bloques

El poder tener una imagen visponentes de éste, la inter

ual gráfica de un sistema, que muestre las om conexión que existe entre las distintas partes, y las

da parte, ciertamente sería de gran ayuda. La as en Bloques ha sido concebida justamente para

stos propósitos, dar una imagen visual de una ecuación, de un conjunto de cuaciones, o de un modelo de un sistema.

ues:

cfunciones que cumple caherramienta de los Diagramee Para el caso de este texto las ecuaciones y los modelos se considerarán que están en el plano de la frecuencia, y los sistemas se representarán en base a los iguientes bloqs

Equivalente a F2(s) = G(s) F1(s) (i)

(ii)

Equivalente a E(s) = F1(s) – F2(s)

(iii)

Equivalente a E(s) = F1(s) + F2(s)

jemplo de Motivació

E n: Con el objeto de visualizherramienta, se trazará a continuación un Diagrama en Bloqu

ar las bondades de esta es para el conjunto

stanque más visto en los ejemplos anteriores: e

Modelo en el Plano de la Frecuencia (i) sC P(s) = Fi(s) – F0(s) (ii) F0(s) R = P(s) - Pa(s) (iii) P(s) = γ L(s) + Pa(s)

l forma que en el ejercicio desarrollado anteriormente, se considerará Fi omo entrada y Fo como salida.

De iguac

121

Marcos Crutchik

De acuerdo a la ecuación (i), es posible plantear el siguiente diagrama:

de igual forma, de la ecuación (ii):

c ación (iii) se puede representar como sigue: la e

u

Si se juntan los tres diagramas cuaciones, se obtiene el siguiente Diagrama en Bloques representativo del conjunto Estanque-Válvula.

hechos para cada una de las e

Si se adopta para el sistema el diagrama esquematizado vist(diagrama entre líneas segmentadas en ible observar lo siguiente: • El sistema tiene dos entradas Fi(s) y Pa(s), de ellas Pa(s) claramente

corresponde a una perturbación, ello puesto que el valor que esta variable adopta es independiente de toda manipulación, pues es una condición

o en el primer capitulo la figura anterior), es pos

atmosférica.

122

Marcos Crutchik

• P(s) y L(s) son variables internas del sistema, mientras que R, C, y γ son los los valores

y la forma que adopta la salida Fo(t) del sistema. • El sistema tiene una realimentación negativa, hecho el cual indica que el

sistema es autorregulado (o estable, en otras palabras), indicando con ello que Fo(t), L(t) y P(t) tienden a establecerse en valores finitos, dando con ello una condición de operación más segura por el sistema (en el próximo capitulo se discutirán los conceptos asociados a esta materia).

ota

parámetros que caracterizan el sistema, de los cuales dependerán

N : Es interesante observar la cantidad de información que es posible extraer de n diagrama en bloques, información que sería más difícil visualizar si solo se

as del modelo sistema. os diagramas en bloques, una vez establecidos, son posibles de manipular,

modificar, o reducir, utilizando algunas reglas sencillas. Ello resulta especialmente útil para poder observar los sistemas desde sus distintas perspectivas, y por lo tanto poder extraer mayor información del modelo del sistema. Para lo anterior, las

uanalizan las ecuaciones matemáticL

reglas a considerar son las siguientes: Reglas de Diagramas en Bloques i) Bloques en Cascada(

Equivalente a

, generalizando. O

Equivalente a

Demostración: Por la definición de Diagramas en Bloques: x1(s)= G1(s) x(s) e y(s)= x1(s) G2(s) reemplazando la primera ecuación e la segunda:

y(s) =[G1(s) x(s)] G2(s) = [G1(s) G2(s)] x(s)

demostrar la segunda parte de esta propiedad.

con lo cual queda demostrada la primera parte. Extendiendo esta metodología es posible (ii) Realimentación negativa

123

Marcos Crutchik

Equivalente a

Demostración Aplicando la definición, es posible plantear las siguientes ecuaciones:

(i) E(s)= x(s) – y1(s) (ii) y1(s)= G2(s) y(s) (iii) y(s)= E(s) G1(s)

Reemplazando la ecuación (ii) en la ecuación (i), y posteriormente ésta última en la ecuación (iii), se obtiene:

)s(x)s(G

1)s(G)s(G)s(x1)s(G)s(y 12

⎤⎢⎡ +

=⎥⎤

⎢⎡

+=)s(G 1

2

1⎥⎦⎣⎦⎣

:

De lo que se deduce que

)s(x)s(G)s(G1

)s(G)s(y21

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

(iii) Realimentación Positiva

Equivalente a

Demostración Respetando el cambio de signo en la ecuacie Realimentación Negativa, la demostració

ón (i) en la demostración de la Regla n de esta propiedad es idéntica a la d

anterior. (iv) Suma

Equivalente a

Demostración: Por definición: y(s)= y1(s) + y2(s) Pero:

124

Marcos Crutchik

y1(s)= G1(s) x(s) y2(s)= G2(s) x(s) Por lo tanto:

(s) x(s) + G2(s) x(s) = [G1(s)+G2(s)] x(s) Y(s)= G1

otaN : De igual manera es posible demostrar que:

Equivalente a

Traslado Hacia Atrás (v)

Equivalente a

emostraciónD : n el primer caso:

1 1 2(s)

De los que se deduce que: y(s) = G(s) [x1 2 En el segundo caso:

s) = y1(s) ± y2(s)

e lo que se deduce: y(s)=G(s) x1(s) ± G(s) x2(s)= G(s) [x1(s) ± x2(s)]

Finalmente, puesto que ambos resultados son idénticos, entonces ambos diagramas son equivalentes. (vi) Traslado Hacia delante

E(i) y(s) = G(s) y1(s)(ii) y (s) = x (s) ± x

(s) ± x (s)]

(i) y((ii) y1(s) = G(s) x1(s) (iii) y2(s) = G(s) x2(s)

D

Equivalente a

125

Marcos Crutchik

Demostración: En el primer caso:

(i) y(s) = y1(s) ± x2(s) 1(s) = G(s) x1(s)

(i) y(s) = G(s) y1(s) (ii) y2(s) = [1/G(s)] x2(s) (iii) y1(s) = x1(s) ± y2(s)

Reemplazando la ecuación (ii) en la ecuación (iii), y el resultado en la ecuación (i), se obtiene:

(1/G(s))x2(s)] = G(s) x1(s) ± x2(s)

Con lo cual, puesto que ambos idénticos, queda demostrada la propiedad. (vii) Intercambio de Sumadores

(ii) y De lo que se deduce que: y(s) = G(s) x1(s) ± x2(s) En el segundo caso:

y(s) = G(s) [x1(s) ±

resultados son

Equivalente a

os raLa dem t i n d ta propiedad es trivial.

álculo de las funciones de sistemas, ello mediante la reducción paulatina de los

s a un solo bloque. En ese caso la expresión que n, corresponde a la función de transferencia.

c ó e es

Es posible utilizar las reglas anteriores para el ctransferencia de losdiagra hamas sta lograr reducirlo

óqueda en el bloque, por definici

jemplE o: Usando las reglas definidas para los diagramas en bloques, determine la función de transferencia del siguiente sistema.

Solución: Utilizando la Regla (vi) se traslada G1(s) hacia adentro:

126

Marcos Crutchik

Por la Regla (vii) se pueden intercambiar los sumadores 2 y 3, además, por la

) se pueden reducir a un solo bloque, esto es: Regla (i) los bloques G1(s) y G2(s

Ahora, usando sucesivamente la Propiedad (ii) se obtiene que:

Es decir, la expresión del último bloque corresponde a la función de transferencia del sistema. Nota: Observe que la función de transferencia obtenida resulto ser igual al Lazo

y(s)), dividido por uno más Directo (camino directo entre la entrada x(s) y la salida

127

Marcos Crutchik

la suma de la multiplicación de los bloques existentes en cada uno de los lazos individuales. Para ejemplificar este concepto se desarrollará el siguiente ejercicio. Ejemplo: Usando la nota anterior, determine la función de transferencia del siguiente sistema:

Solución: Aplicando la metodología propuesta por la nota se tiene que: • El Lazo Directo esta dado por: G1(s) G2(s) • El sistema tiene dos lazos independientes:

Lazo 1: G2(s) H2(s) Lazo 2: G1(s) G2(s) H1(s)

En consecuencia, la función de transferencia esta dada por:

Ejemplo: En el siguiente sistema, determine una expresión para y(s).

Solución Para facilitar el establecimiento de lo pedido, se redibujará el diagrama de loa iguiente manera: s

128

Marcos Crutchik

En consecuencia:

(i) y1(s) = x(s) – P(s) GC(s)

Reemplazando la ecuación (i) en la ecuación (ii), se tiene que:

y(s)=[x(s) – GC(s) P(s)] G1(s) + P(s) G2(s) Reordenando, se obtiene finalmente:

y(s) = G1(s) x(s) + P(s) [G2(s) – GC 1(s)]

(ii) y(s) = y1(s) G1(s) + P(s) G2(s)

(s) G Nota: Observe que si P(s) fuese una perturbación y Ggregado para regular los efectos de la perturbación, entonc

C(s) un Controlador es, si el Controlador

e el sistema sería nulo

CICIOS PROPUESTOS

sistema es h(t)=e-t, entradas:

(a) x(t)= 2U(t-1)

(b) x(t)= 3e-2t

(c) x(t)= Sen(t)

aadopta la expresión GC(s)=G2(s)/G1(s) el efecto de P(s) sobr(el paréntesis cuadrado es igual a cero).

EJER 1. Si se sabe que la función Convolución Continua de un

entonces, calcule la respuesta del sistema a las siguientes

2. Para cada uno de los casos calcule la función Convolución Continua h(t) y la

respuesta del sistema a x(t)=2U(t-2)

(a) )3t(x)2t(x)t(xdtdy

−−−−= (b) )t(xdt

yd2

2

= (c) xy2dtdy3

dty2

2

=++ d

(d) xydtdy2

dtyd2

2

=++ (e) xy2dtdy2

dtyd2 =++

2

3. Para el siguiente sistema, plantee un modelo matemático que permita determinar el nivel L(t) teniendo como entrada al caudal F(t).

129

Marcos Crutchik

Considere despreciable la presión ambiental Pa, que la capacitancia hidráulica es Ch=4, la resistencia

dráulica es R=0.5, y que la densidad especifica es γ=10.

Para el sistema dado, calcule la función Convolución Continua h(t) y determine con

lo matemático para el sistema que permita determinar X(t) en función de la diferencia de presión (P1-P2).

hi

su ayuda L(t) para F= 10 (m3/Min).

4. Para el sistema plantee un mode

Considere que los coeficientes de elasticidad son K1=2, K2=1, que el

función Convolución Continua h(t) y x(t) para P1=10 (PSI) y P2=8 (PSI)

presenta:

coeficiente de roce viscoso es D=4, y que la superficie del embolo es A=3. Para el sistema planteado determine la

5. Para la señal f(t) se ha obtenido la siguiente serie de Fourier que la re

[ ]∑= ,..5,3,1n

Cos3) π+π= )tn100(n100(f

Para el caso planteado: (a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia en Hz, su amplitud, y su

fase. (b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y de Fase de f(t).

6. Para cada una de las siguientes funciones:

Se)tnt(

130

Marcos Crutchik

(a) Calcule las armónicas presentes,

Fase. ¿De que frecuencia y amplitu(b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y de Fase de la señal f(t).

su frecuencia en Hz, su Amplitud, y su d es la Fundamental?.

7. Para cada uno de los dos casos escriba un expresión para f(t), e indique la

frecuencia en Hz de cada una de ellas.

8. Su empresa ha comprado un Variador de Frecuencia de Onda Cuadrada (ver

figura). Si se quiere utilizar un Filtro para obtener a la salida una señal sinusoidal pura de 75 (Hz) y 220 (Volts), dimensione el Filtro que se necesitará para este propósito.

131

Marcos Crutchik

9. Para cada uno de los casos:

(a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia, su amplitud, y su fase. (b) Dibuje los Espectros Discretos de Amplitud y de Fase.

• F(t)=3Cos(t)+4Sen(t)+8Cos(2t)+6Sen(2t)+3Sen(5t) • F(t)=2Cos(2t)+3Cos(4t)+2Sen(4t)+2Cos(8t)+5Sen(8t)+3Cos(10t) • F(t)=20Cos(20t)+30Cos(40t)+20Sen(40t)+50Sen(60t)+30Cos(60t)

0. Considere el siguiente Filtro cuyos espectros de frecuencia de Amplitud y de 1

Fase se adjuntan. Si la entrada del Filtro x(t) es tal que: X(t)=2Sen(2t)+4Sen(6t+30)+2Sen(8t+10)+12Sen(12t+10)

Para el sistema dado.

(a) Determine una expresión para y(t). (b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y Fase de x(t) e y(t).

11. Considere el siguiente Filtro cuyos espectros de frecuencia de Amplitud y de Fase se adjuntan. Si la entrada del Filtro x(t) es tal que:

X(t)=2Sen(t)+8Sen(8t+30)-12Sen(12t+30)+16Sen(16t-20)+20Sen(25t-10)+30Sen(30t)

Para el Filtro dado.

(a) Determine el Ancho de Banda del Filtro (b) Para el x(t) dado, determine una expresión para y(t). (c) Para el x(t) y el y(t) dados, dibuje los espectros Discretos de Amplitud y

Fase para cada una de ellas.

132

Marcos Crutchik

12. Considere el siguiente filtro Pasa Banda cuyos diagramas de Amplitud y de

Fase se adjuntan. Si se sabe que x(t) tiene la forma: )t13(Sen3)t9(Cos2)t9(Sen2)t3(Cos)t3(Sen3)t(Sen3)t(x +++++=

(a) Determine una expresión para y(t). (b) Determine los espectros de Amplitud y de Fase de x(t) e y(t).

13. Considere la siguiente señal que se obtiene a la salida de un Variador de Frecuencia VDF, en donde D se usa como un parámetro que sirve para atenuar la amplitud de las armónicas. Considere w=100π (Rad/Seg).

(a) Mediante el desarrollo de una Serie de Fourier, determine las armónicas

(t), su frecuencia, su amplitud, y su fase. Comente el re la amplitud de las armónicas.

termine

presentes en ecefecto que tiene el parámetro D sob

(b) Si se quiere que la amplitud de la Fundamental sea 50 Volts, deel valor que debiera tener el parámetro D.

(c) Con el objeto de obtener una sinusoidal pura de 250 Hz, 220 Volts, se pasa ec(t) por un conjunto Filtro (de ganancia unitaria) más un transformador.

Para el caso. (i) Determine el tipo de Filtro que habrá que usar, la banda de frecuencias

que deberá dejar pasar. (ii) Determine la relación de vueltas n1:n2 que debiera tener el

transformador para que la señal de salida eo(t) tenga una amplitud de

muestra la figura:

220 Volts.

14. Si se sabe que la Transformada de Fourier de F(t) es la que

133

Marcos Crutchik

Entonces, a partir de ella, en cada uno de los casos escriba una expresión matemática para g(t) como función fr F(t).

15. Si el espectro de Amplitud de f(t) es el de la figura, determine:

(a) El Ancho de Banda de F(w).

de Amplitud de f1(t)=f(t) Cos(10t) Sen(10t).

e Fourier:

(b) El espectro(c) El espectro de Amplitud de f2(t)=0.5 f(t) Sen(20t). Comente el resultado.

16. Para una señal x(t) se ha obtenido el siguiente desarrollo en Serie d

∑=

+π+=4

1n)n10t)1n2((Cos

n12)t(x

Para la señal dada: (a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia, su amplitud, y su fase. (b) Dibuje los espectros de Amplitud y de Fase de x(t).

134

Marcos Crutchik

17. Considere el siguiente sistema G(s), cuyos espectros de Amplitud y de Fase se

adjuntan, determine para cada caso la forma que tendrá s(w)

Calcule además un expresión matemática para s(t)

18. Considere el siguiente sistema en donde se transmiten simultáneamente dos

señales f1(t) y f2(t), cuyos espectros de Amplitud se adjuntan:

Para el sistema dado:

espectros de Amplitud de f3(t), f4(t), f5(t), y f6(t). , r

(a) Determine los(b) Si se quiere que por f7(t) salga la señal f1(t) y por f8(t) la señal f2(t)

l que debieran tenedetermine el tipo de filtro y la característica espectralos Filtros 1 y 2.

135

Marcos Crutchik

19. Para el siguiente sistema:

Determine los espectros de Amplitud de g2(w) y s(w). 20. Considere el siguiente sistema de tres etapas de Transmisión de información

vía la técnica de Transmisión AM

Si los espectros de Amplitud de f(w) y H(w) son los que se adjuntan:

(a) Determine los espectros de Amplitud de f1(w), f2(w), f3(w), y s(w). (b) Determine, en función de f(t), una expresión matemática para s(t).

21. Usando las Propiedades, determine la Transformada Unilateral de Laplace de las siguientes funciones:

(a) f(t)=t2 e-t U(t)

(b) f(t)= Sen(t) Cos(2t)

(c) f(t)= (t2 + 2t + 1) U(t) (d) f(t)= (t-1) Sen(2t-2) (e) f(t)= e-2t (e-t +1) (f) f(t)= t e-

t Sen(t) + e-2t U(t-1)

(g) f(t)= (t-1)2 + (t-1)

(h) f(t)= t3

(i) f(t)= (t-1)e-(t-1) Sen(3(t-1))

(j) f(t)=[Sen(2(t-2))+cos(2(t-2))]e-(t-3)

136

Marcos Crutchik

ra el siguiente sistema: 2 2. Pa

x4ddtdtdtdt

(a) Determine la Función de Transferencia del sistema. (b) Calcule la Ganancia Estacionaria, y dibuje el diagrama de ubicación de

polos y ceros en el plano de Laplace. Indique cuales son el polo de respuesta más lento, y el polo de respuesta más rápida del sistema.

23. Calcule la Ganancia Estacionaria del sistema, y dibuje la ubicación de los polos y ceros en el Plano de Laplace para el sistema dado por la siguiente Función de Transferencia:

xy6dy11yd6yd2

2

3

3

+=+++

)10s)(1s)(1.0s( +++)20s(2)s(H +

=

Indique además el polo más rápido y el polo más lento.

ción de Diagramas de Bloques, calcule la Función de de ella, en c nsidere que los

Gi(s) son todos de 1º Orden.

24. Usando técnicas de reduc

el OrdenTransferencia, y ada uno de los casos. Co

Calcule H(s)=C(s)/R(s)

137

Marcos Crutchik

Calcule H1(s)=C(s)/R(s) y H2(s)=C(s)/P(s)

Calcule H1(s)=C(s)/R(s) y H2(s)=C(s)/P(s) 5. Considere el siguiente esquema de Control automático (llamado Control

Gc(s) (Controlador Prealiementado) si se quiere que la Perturbación P(s) no tenga ningún efecto sobre C(s).

2Prealimentado). Si P(s) es una perturbación, y si se supone que G1(s) y G2(s) son conocidas, que R(s) es la entrada, y C(s) la salida, entonces, calcule la expresión que debiera tener

26. Para el sistema dado, en donde R(s) es la Entrada, P(s) una Perturbación, y C(s) la salida:

138

Marcos Crutchik

(a) Determine las Funciones de Transferencias C(s)/R(s) y C(s)/P(s),

tacionaria y el Orden de cada una de ellas.

(b) Si R(t)=U(t), y P(t)=e-2tU(t), determine una expresión para C(s) y para C(t). ¿Cuanto vale C(t) en estado estacionario?, ¿Qué efecto tiene P(t) en ese caso?.

27. Para cada uno de los Modelos Matemáticos planteados,:

(a) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema. (b) Calcule las Funciones de Transferencia, indique la Ganancia

Estacionaria, y el Orden de cada una de ellas

)

indique además la Ganancia Es

(i

P2Q

PP3dt

4

QQQdP2

ao −=

−+=

(ii) dQdt o21

2 =Calcule P(s)/Q(s) y Qo/Q(s) 233

3 yyKdt

dy+=

Calcule y2(s)/x1(s)

3222

2111

yyKdt

dy

yxKdt

dy

+=

+=

(iii)

TKQ)TT(KQ

wKQ

QQQQdtdT

16242

4

23121

1

yAyAdt

dyA

yAxAdt

dyC

3o

a2p

1e

opei

=

−==

−−+=

Calcule T(s)/Qi(s)

(iv) A

−=

−=

Calcule y1(s)/x1(s) e y2(s)/x1(s)

(v)

211

122

21

yxdydt

−=(vi)

1

y2yx2dt

xxdy

−=

−=

Calcule y1(s)/x2(s) e y2(s)/x1(s)

2122

211

T4T2Q2dt

dT3

T3Q4dt

dT2

+−=

−=

Calcule T2(s)/Q1(s) y T2(s)/Q2(s)

139

Marcos Crutchik

28. El sistema es un acuario que recalienta con la ayuda de un flujo calórico Q.

Para saber como se distribuye la temperatura dentro del acuario éste se divide en tres partes iguales en donde la temperatura se considera como un parámetro concentrado. Ta es la temperatura ambiental y T1, T2, y T3 son bastante menores a 100 ºC (para proteger a los peces), de modo que se puede considerar que las perdidas de calor por radiación son despreciables.

Para el sistema planteado:

cuario.

29. Considere el siguiente sistema tipo Ward Leonard, utilizado para entregar

voltaje continuo variable de alta potencia a una carga R.

(a) Plantee un modelo matemático representativo del a(b) Dibuje un Diagrama en Bloque representativo del acuario. (c) Calcule la Función de Transferencia T3(s)/Q(s), indique su Orden, y

calcule su Ganancia Estacionaria.

Para el sistema planteado:

un modelo matemático (b) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema, considere Ea

como entrada y Eg como salida. (c) Calcule la Función de Transferencia Eg(s)/Ea(s), indique su Orden, y

determine la Ganancia Estacionaria.

30. Considere el siguiente sistema, en donde todos los flujos son laminares, y Pa es la Presión Ambiental.

(a) Plantee representativo del sistema.

140

Marcos Crutchik

141

Para el sistema planteado:

(a) Plantee un modelo matemático para el sistema. (b) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema. (c) Calcule la Función de Transferencia Fo(s)/Fi(s) y L2(s)/Fi(s), indique el

Orden y calcule la Ganancia Estacionaria de cada una de ellas.

31. Considere el siguiente sistema utilizado para calentar una sustancia a Baño María. Si se sabe que:

C1=

Ta= Temperatura ambiental=20 ºC

Solución Ambiente= 0.02 (ºC/Watt)

Para el sistema planteado: (a) Plantee un modelo matemático para el sistema. (b) Linealice el modelo obtenido en torno al punto de trabajo que se genera

cuando T2 se establece en 40 ºC. (c) Dibuje un diagrama en Bloques representativo del modelo matemático

linealizado. (d) Determine la función de transferencia ΔT2(s)/Δe(s). Indique el número de

polos y ceros que tiene, y dibújelos en el Plano de Laplace. Calcule la Ganancia Estacionaria del sistema.

R= Resistencia Eléctrica Calefactor=10 (Ω) R =R12 /esistencia Térmica Agua Sustancia= 0.01 (ºC Watt) R2a= Resistencia Térmica

C2= Capacitancias Térmicas= 1