capitolul II.doc

Regulile lui L’Hospital. Aplicaţii

Capitolul II:

NOŢIUNI DE BAZĂ

1. LIMITE DE FUNCŢII

Limita unei funcţii într-un punct

Formularea problemei. Exemple:

1) Fie funcţia , şi . Studiem comportamentul funcţiei

în jurul punctului .

, , , .

2) Fie funcţia , şi . Studiem comportamentul

funcţiei în jurul lui zero.

, , , .

3) Fie funcţia , şi . În acest punct de acumulare este

infinit şi nu aparţine domeniului. Studiem comportamentul funcţiei în jurul

lui .

.

Definiţia limitei unei funcţii într-un punct

Fie este o funcţie şi un punct de acumulare (finit sau infinit) a lui

(deci există două şiruri , , , , ).

Definiţie (Heine). Dacă este limita funcţiei în punctul , oricare ar fi şirul

, , , , şirul al valorilor funcţiei tinde către .


Condiţia din definiţie se enunţă astfel:

Dacă , , , atunci

sau mai simplu (renunţând la indicele )

, , . Scriem atunci .

Exemplu: Fie şi Atunci .

Observaţie.

O modalitate de a arăta că o funcţie nu are limită într-un punct de acumulare este

următoarea:

Se aleg două şiruri , , , , , , pentru care şirurile

au limite diferite.

Caracterizarea limitei unei funcţii într-un punct

Teoremă (Cauchy). Fie este o funcţie şi un punct de acumulare a lui ,

Funcţia are limită în punctul numărul dacă şi numai dacă pentru orice

există un număr real astfel încât

, (1)

să rezulte

(2)

Observaţie.

Criteriul este cunoscut sub numele de criteriul lui Cauchy (sau criteriul ), şi ne

dă condiţia necesară şi suficientă pentru limita unei funcţii într-un punct de acumulare.

Unicitatea limitei unei funcţii

Fie şi două limite ale funcţiei în punctul de acumulare atunci

Limite laterale


Definiţie. Spunem că este limita la stânga a funcţiei în punctul dacă

pentru orice şir avem .

Exemplu: .

Definiţie. Spunem că este limita la dreapta a funcţiei în punctul dacă

pentru orice şir avem .

Exemplu:

Criteriul de existenţă a limitei

Teorema următoare vine să caracterizeze limita unei funcţii într-un punct cu

ajutorul limitelor laterale.

Teoremă. Fie este o funcţie şi un punct de acumulare pentru cu

proprietatea că funcţia are limite laterale în punctul (deci există ).

Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) are limită în punctul ;

b) .

Atunci avem:

.

Criteriul majorării

Teoremă (Criteriul majorării). Fie două funcţii şi un punct de

acumulare pentru şi o vecinătate a lui . Dacă ,

şi dacă atunci .

Exemple:


Limitele funcţiilor sinus şi cosinus nu au limită la .

Folosind criteriul majorării la pentru şiruri, se pot formula criterii

asemănătoare pentru limite de funcţii:

Teoremă (Criteriul majorării la ). Fie două funcţii şi un punct

de acumulare pentru şi o vecinătate a lui . Dacă ,

şi dacă atunci .

Teoremă (Criteriul majorării la ). Fie două funcţii şi un punct

de acumulare pentru şi o vecinătate a lui . Dacă ,

şi dacă atunci .

Limitele funcţiilor elementare

a) Limita funcţiei constante

Dacă , atunci ,

b) Limita funcţiei polinomiale

- Limita funcţiei polinomiale într-un punct de acumulare finit se obţine înlocuind cu :

.

- Limita funcţiei polinomiale la este aceeaşi cu limita termenului de grad maxim:

.

c) Limita funcţiei raţionale

Avem funcţia unde şi sunt funcţii

polinomiale:

, unde , , ,

Cazul: punct de acumulare finit ( )


Se disting cazurile:

i) , deci nu este rădăcină pentru numitor.

ii) , deci este rădăcină pentru numitor

Cazul: punct de acumulare infinit ( )

unde - gradul numărătorului şi - gradul numitorului

d) Limita funcţiei radical

Dacă , şi punct de acumulare, atunci

pentru , atunci

Dacă , , şi avem

pentru , atunci

pentru , atunci

.

e) Limita funcţiei exponenţiale

Fie funcţia , , .

Dacă atunci avem cazurile:

a) pentru ,

b) pentru ,

c) pentru ,


pentru

pentru

pentru


a) pentru ,

b) pentru ,

c) pentru ,

f) Limita funcţiei logaritmice

Fie funcţia , , .


a) pentru ,

b) pentru ,

c) pentru ,


a) pentru ,

b) pentru ,

c) pentru ,

g) Limita funcţiilor trigonometrice directe

Dacă este un punct de acumulare şi este finit atunci:

Deci limita funcţiei sin într-un punct de acumulare finit se obţine înlocuind pe cu

Dacă este un punct de acumulare şi este finit atunci:

Deci limita funcţiei cos într-un punct de acumulare finit se obţine înlocuind pe cu


Dacă a aparţine domeniului de definiţie atunci tg = tg .

Deci limita funcţiei tg într-un punct de acumulare finit din domeniul de definiţie se

obţine înlocuind pe cu

Dacă atunci:

tg tg

Dacă a aparţine domeniului de definiţie atunci ctg = ctg .

Deci limita funcţiei ctg într-un punct de acumulare finit din domeniul de definiţie se

obţine înlocuind pe cu

Dacă atunci:

ctg ctg

h) Limita funcţiilor trigonometrice inverse

Dacă atunci .

Dacă atunci .

Dacă atunci arctg = arctg .

Dacă atunci arctg = .


Dacă atunci arctg = .

Dacă atunci arcctg = arcctg .

Dacă atunci arcctg = 0.

Dacă atunci arcctg = .

Operaţii cu limite de funcţii

Teoremă. Fie funcţiile şi un punct de acumulare pentru . Fie

şi cu şi atunci funcţia:

a) are limită în şi

(Limita sumei este egală cu suma limitelor ).

Excepţie: dacă sau .

b) are limită în şi

(O constantă iese în afara limitei ).

c) are limită în şi

(Limita produsului este egală cuprodusul limitelor ).


d) are limită în şi dacă ;

(Limita câtului este egală cu câtul limitelor ).


e) are limită în şi

(Limita modulului este egală cu modulul limitelor ).

Trecerea la limită în inegalităţi


Teoremă. Fie funcţiile şi un punct de acumulare pentru şi o vecinătate

pentru . Fie şi dacă şi au limite în punctul în

atunci .

Corolar. Fie funcţiile şi un punct de acumulare pentru , are limită în

punctul şi o vecinătate pentru .

Pentru atunci .

Pentru atunci .

Pentru atunci .

Teoremă („Cleştelui” sau a „celor doi jandarmi”).

Fie funcţiile şi un punct de acumulare pentru şi o vecinătate

pentru .

Avem a)

b) ,

atunci are limită în şi mai mult .

Schematic se reprezintă astfel :

Teoremă (criteriu). Fie funcţiile şi un punct de acumulare pentru şi o

vecinătate pentru şi proprietăţile:

p1) ( mărginită pe o vecinătate a lui );

p2) .

Atunci .

(Limita produsului dintre o funcţie mărginită şi o funcţie de limită zero este zero)

Limite de funcţii compuse

Fie funcţiile , , şi un punct de acumulare pentru .

Teoremă. Dacă avem:

a) ;

b) , pentru orice ;


c) ,

atunci .

Limite de puteri

Fie două funcţii şi un punct de acumulare pentru . Presupunem că ,

. Atunci puterea este definită. Are loc următoarea teoremă:

Teoremă. Dacă şi şi dacă are sens atunci funcţia

are limită în şi încă .

(Limita se distribuie în bază şi în exponent)

Excepţie :

cu ;

cu ;

cu .

În particular:

a) ;

(Limita radicalului este egală cu radicalul limitei)

b) .

Limite remarcabile

1. ;

2. , dacă ;

3. ;

4. , dacă ;

5. ;


6. , dacă ;

7. ;

8. , dacă ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. , dacă ;

13. , dacă ;

14. ;

15. , dacă ;

16. , ;

17. ;

18. , , dacă ;

19. , dacă .

2. FUNCŢII DERIVABILE

Funcţia derivabilă într-un punct


Definiţie. Funcţia are derivată în dacă limita există în .

Atunci această limită se notează cu şi se numeşte derivata funcţiei în punctul .

Deci .

Definiţie. Funcţia este derivabilă în dacă limita există în

(există şi este finită). Atunci această limită se notează cu , adică

.

Derivate laterale

Definiţie. Funcţia are derivata la stânga în dacă limita există în .

Definiţie. Funcţia este derivabilă la stânga în dacă limita există în

.

Definiţie. Funcţia are derivata la dreapta în dacă limita există în .

Definiţie. Funcţia este derivabilă la dreapta în dacă limita există în

.

Legătura dintre derivata într-un punct şi derivatele laterale

Teoremă.


i) Funcţia are derivată în are derivate laterale în şi atunci

ii) Funcţia este derivabilă în este derivabilă bilateral (la stânga şi la dreapta) în

şi .

Puncte remarcabile de pe graficul unei funcţii

Puncte de inflexiune

Definiţie. este punct de inflexiune al funcţiei dacă funcţia este continuă în , are

derivată în (finită sau infinită) şi dacă graficul este convex (concav) de o parte a lui

concav (convex) de cealaltă parte.

Puncte unghiulare

Definiţie. Se numeşte punct unghiular pentru graficul funcţiei , punctul ,

dacă derivatele laterale ale funcţiei în sunt diferite şi cel puţin una este finită.

Puncte de întoarcere

Definiţie. Se numeşte punct de întoarcere pentru graficul funcţiei , punctul

, dacă derivatele laterale ale funcţiei în sunt diferite şi infinite.

Diferenţiala unei funcţii

Definiţie. Se numeşte diferenţiala funcţiei în punctul , funcţia dată de corespondenţa

şi se notează cu

, .


Din raportul deducem că derivata lui este egală cu raportul

a două diferenţiale. De aici rezultă că:

,

(diferenţiala lui este egală cu produsul dintre derivata lui şi diferenţiala

argumentului)

Continuitatea unei funcţii derivabile

Teoremă. O funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Derivabilitatea pe un interval

Fie funcţia şi un interval din .

Definiţie. Funcţia este derivabilă pe intervalul dacă este derivabilă în fiecare punct al

intervalului .

Derivatele unor funcţii elementare

Funcţia constantă

Fie funcţia şi unde este un număr real dat.

Funcţia constantă este derivabilă pe R şi derivata sa este egală cu zero, adică

.

Funcţia identică

Fie funcţia şi .

Funcţia identică este derivabilă pe R şi derivata sa este egală cu unu, adică

.

Funcţia putere cu exponent natural


Fie funcţia şi .

Funcţia este derivabilă pe R şi derivata sa este egală cu

.

Funcţia radical de ordin n

Fie funcţia şi , unde dacă n este par şi

dacă n este impar.

Funcţia radical este derivabilă în orice punct , şi derivata este egală cu

. În punctul funcţia radical nu este derivabilă, dar are

derivata .

Observaţii.

Dacă , atunci:

Dacă , atunci:

Dacă şi 0x , atunci: .

Dacă atunci: .

Funcţia trigonometrică sinus

Fie funcţia şi .

Funcţia trigonometrică sinus este derivabilă pe este egală cu

.

Funcţia trigonometrică cosinus

Fie funcţia şi .

Funcţia trigonometrică cosinus este derivabilă pe este egală cu

.


Funcţia logaritm natural

Fie funcţia şi .

Funcţia logaritmică este derivabilă pe şi derivata sa este egală cu

.

Operaţii cu funcţii derivabile

Suma

Fie două funcţii şi .

Teoremă. Întrucât funcţiile şi sunt derivabile în atunci este derivabilă în şi

avem egalitatea:

.

Teoremă. Dacă şi sunt funcţii derivabile (pe ) atunci şi suma lor este o funcţie

derivabilă (pe ) şi avem egalitatea:

.

(Derivata sumei este egală cu suma derivatelor).

Produsul


Teoremă. Întrucât funcţiile şi sunt derivabile în atunci produsul lor este o

funcţie derivabilă în şi avem egalitatea:

.

Teoremă. Fie şi sunt funcţii derivabile (pe ) atunci şi produsul lor este o funcţie

derivabilă (pe ) şi avem egalitatea:

.

(Derivata produsului este egală cu prima funcţie derivată înmulţită cu a doua

nederivată, plus prima funcţie nederivată înmulţită cu a doua derivată).


Dacă avem adică este funcţie constantă şi este o funcţie derivabilă

(pe ), atunci este o funcţie derivabilă (pe ) şi avem egalitatea:

(Constanta iese în afara derivării)

Pentru se obţine:

Ţinând seama de rezultatul pentru sumă şi acest ultim rezultat avem pentru două funcţii

şi derivabile (pe ) că este o funcţie derivabilă (pe ) şi avem egalitatea:

.

(Derivata diferenţei a două funcţii este egală cu diferenţa derivatelor).

Câtul


Teoremă. Întrucât funcţiile şi sunt derivabile în , atunci şi funcţia cât

este o funcţie derivabilă în şi avem egalitatea:

.

Teoremă. Dacă şi sunt funcţii derivabile (pe ), atunci şi funcţia cât este

o funcţie derivabilă (pe ) şi avem egalitatea:

.

(Derivata câtului este egală cu derivata numărătorului înmulţită cu numitorul nederivat

minus numărătorul nederivat înmulţit cu derivata numitorului, totul supra numitorul la

pătrat ).

Derivarea funcţiilor compuse

Teoremă. Dacă există şi două intervale , două funcţii, dacă este

derivabilă în , iar este derivabilă în punctul , atunci funcţia compusă

este derivabilă în şi mai mult:


.

Teoremă. Fie şi două intervale , două funcţii. Dacă este derivabilă

pe , iar este derivabilă în punctul , atunci funcţia compusă este derivabilă pe şi:

(Derivata unei funcţii compuse se obţine înmulţind derivatele funcţiilor care se compun

în ordinea compunerii lor)

Teoremă (de derivare a funcţiei inverse). Dacă există şi două intervale ,

continuă şi bijectivă. Funcţia este derivabilă în punctul şi , atunci funcţia

inversă este derivabilă în punctul şi atunci avem:

.

Teoremă. Dacă există şi două intervale , continuă şi bijectivă. Funcţia este

derivabilă în punctul şi , atunci funcţia inversă este

derivabilă pe şi atunci avem:

.

Derivatele unor funcţii elementare

Funcţia exponenţială

Funcţia exponenţială de bază , , , este derivabilă pe şi:

, .

Dacă avem , .

Dacă este o funcţie derivabilă atunci, utilizând derivatele funcţiilor compuse, vom avea:

şi

.

Funcţia logaritmică

Derivata logaritmică a funcţiei este derivata logaritmului acestei funcţii,

adică:


.

Renunţând la argumentul :

,

Care se poate reţine uşor din exprimarea:

Funcţia se derivează considerând întâi constant şi derivând ca o funcţie exponenţială,

apoi considerând constant şi derivând ca o putere şi se adună cele două derivate.

Funcţia arcsinus

Fie funcţia , pentru care stim că este continuă şi bijectivă şi

pentru .

Dacă atunci şi . Întrucât este strict crescătoare se deduce

.

Idem dacă atunci şi şi

.

Deci:

Funcţia este derivabilă pe şi , .

Mai mult )1((arcsin)')1((arcsin)' .

Dacă u este funcţie derivabilă cu atunci

.

Funcţia arccosinus

Funcţia este derivabilă pe şi atunci

, .

Mai mult .

Dacă u este funcţie derivabilă cu atunci


.

Funcţia arctangentă

Funcţia arctg este derivabilă pe şi atunci

(arctg , .

Dacă u este funcţie derivabilă atunci

(arctg .

Funcţia arccotangentă

Funcţia arcctg este derivabilă pe şi atunci

(arcctg , .

Dacă u este funcţie derivabilă atunci

(arcctg .

Derivate de ordin superior

Fie un interval sau reuniune de intervale din şi fie funcţia .

Definiţie. Funcţia se numeşte derivabilă de ordinul 1 dacă este derivabilă.

Funcţia se numeşte derivata de ordinul 1 a lui .

Definiţie. Funcţia este de două ori derivabilă în , dacă respectă următoarele:

este derivabilă într-o vecinătate a lui .

este derivabilă în .

În acest caz derivata lui în se numeşte derivata a doua (sau de ordinul 2) a lui în

punctul şi se notează . Atunci:

.

Definiţie. Funcţia este de două ori derivabilă dacă este derivabilă.


Funcţia se numeşte derivata de ordinul doi a lui .

Definiţie. Fie . Funcţia se numeşte derivabilă de ordinul n+1 dacă este derivabilă

de ordinul şi dacă derivata sa de ordinul , este derivabilă.

Definiţie. Funcţia se numeşte derivabilă de ordinul sau funcţie infinit derivabilă dacă

este derivabilă de orice ordin , .

Derivatele funcţiilor elementare

Funcţia DerivataDomeniul de

derivabilitateFuncţia compusă Derivata

(constantă)0

1)(, *Nnxn

tg tg

ctg ctg


arctg arctg

arcctg arcctg

sh

(sinus hiperbolic)

ch sh ch

ch

(cosinus hiperbolic)

sh ch sh

3. PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR DERIVABILE

3.1 Puncte de extrem ale unei funcţii

Se dă funcţia şi un interval sau o reuniune de intervale.

Definiţie. Se numeşte punct de maxim local un punct al funcţiei , dacă există o

vecinătate a lui , în care funcţia are valori mai mici decât în , adică:

.

Definiţie. Se numeşte punct de minim local un punct al funcţiei , dacă există o

vecinătate a lui , în care funcţia are valori mai mari decât în , adică:

.

Definiţie. Se numeşte punct de extrem local un punct de minim local sau maxim local

pentru funcţia .

Definiţie. Se numeşte extremele locale ale funcţiei valorile funcţiei în punctele sale de

extrem, maximele şi minimele funcţiei.

Definiţie. Se numeşte puncte de extrem local ale graficului punctele de maxim şi minim

local ale graficului.

Definiţie. Se numeşte punct de maxim absolut al funcţiei , punctul , dacă:

.

Definiţie. Se numeşte punct de minim absolut al funcţiei , punctul , dacă:

.


Definiţie. Se numeşte punct de extrem absolut un punct de minim absolut sau maxim

absolut al unei funcţii.

3.2 Teoreme

Teoremă (Fermat). Dacă şi un interval iar un punct de extrem din

interiorul intervalului. Dacă funcţia este derivabilă în atunci .

Conform teoremei lui Fermat, punctele de extrem local ale unei funcţii derivabile sunt

printre punctele critice, adică punctele de extrem local ale lui sunt printre soluţiile

ecuaţiei .

Teoremă (a lui Rolle). Fie funcţia şi . Dacă sunt îndeplinite

următoarele condiţii:

1) este continuă pe intervalul închis ;

2) este derivabilă pe intervalul deschis ;

3) are valori egale la capetele intervalului, ,

atunci există cel puţin un punct din intervalul deschis , în care derivata

se anulează, .

Corolar. Dacă funcţia este continuă pe , derivabilă pe şi

(unde sunt rădăcini pentru ) atunci există cel puţin un punct

astfel încât .

Şirul lui Rolle

Şirul lui Rolle asociat unei ecuaţii de forma , unde funcţie derivabilă, cu ajutorul

căruia se pot determina numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei, precum şi intervalele în care

aceste rădăcini sunt situate, reprezintă o aplicaţie deosebit de importantă a teoremei lui

Rolle.

Lemă. Dacă funcţia este derivabilă pe un interval , atunci între două rădăcini

(zerouri) consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a ecuaţiei .

(Zerourile derivatei separă zerourile funcţiei)


Teorema lui Lagrange (numită şi prima teoremă a creşterilor finite sau prima teoremă de

medie) este considerată un caz generalizat al teoremei lui Rolle în care funcţia nu mai ia

(obligatoriu) valori egale la capetele ale intervalului considerat.

Teoremă lui Lagrange

Teoremă (Lagrange). Fie funcţia şi . Dacă sunt respectate

următoarele condiţii:

1) este continuă pe intervalul închis ;

2) este derivabilă pe intervalul deschis ,

atunci există cel puţin un punct din intervalul deschis , pentru care

.

Consecinţele teoremei lui Lagrange

Prima consecintă (Funcţii cu derivata nulă)

Corolar 1. O funcţie este considerată constantă pe un interval dacă are derivata nulă pe

acel interval.

A doua consecintă (Funcţii cu derivate egale)

Corolar 2. Atunci când două funcţii au derivatele egale pe un interval, ele diferă printr-o

constantă pe acel interval.

A treia consecintă (Rolul derivatei întâi. Intervale de monotonie. Puncte de extrem)

Corolar 3. Dacă funcţie derivabilă şi un interval, atunci:

a) , , este crescătoare pe ;

b) , , este descrescătoare pe ;

sau

a’) , , este strict crescătoare pe ;

b’) , , este strict descrescătoare pe .

În cazul unei funcţii derivabile , nu neapărat interval, pentru a determina

intervalele de monotonie se procedează în felul următor:

Se calculează derivata a funcţiei ;


Se rezolvă (în ) ecuaţia , ;

Se determină intervalele în care păstrează acelaşi semn;

Se ţine seama de corolarul 3) şi se stabilesc intervalele de monotonie.

A patra consecintă (Derivata unei funcţii într-un punct)

Această consecinţă este foarte importantă pentru că permite să decidem dacă o funcţie este

derivabilă într-un punct.

Corolar 4. Dacă există funcţia , un interval, şi sunt respectate condiţiile:

1) este continuă în ;

2) este derivabilă pe ;

3) există ,

atunci are derivată în şi .

Dacă , în acest caz este derivabilă în şi .

Teoremă lui Cauchy

Teoremă (Cauchy). Fie funcţiile , două funcţii cu proprietăţile:

1) sunt continue pe intervalul închis ;

2) sunt derivabile pe intervalul deschis ;

3) .

Atunci şi există cel puţin un punct astfel încât să avem:

(formula lui Cauchy).

Observaţie.

Formula lui Lagrange este caz particular al formulei lui Cauchy pentru când

.

3.3 Formula lui Taylor

O problemă importantă în matematică este aceea a aproximării unei funcţii (ce satisface

anumite condiţii) în jurul unui punct printr-o funcţie de gradul întâi sau mai general prin


polinoame, iar în acest caz rămâne de văzut, care este eroarea pe care o comitem printr-o

astfel de aproximare. De asemenea utilizând dezvoltarea în serie Taylor a funcţiilor se pot

soluţiona limite în cazurile de nedeterminare, inegalităţi, etc.

Teoremă (Formula lui Taylor pentru polinoame).

Dacă este un polinom de grad şi este un punct fixat. În acest caz are

loc egalitatea:

.

Observaţie.

Formula din enunţul teoremei se numeşte formula lui Taylor de dezvoltare a polinomului

de grad , în jurul lui , sau mai simplu formula lui Taylor pentru în

punctul .

Documents

capitolul II.doc