Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 6.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT

Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum

cu înclinarea p faţă de orizontala locului.

În acest caz acceleraţia este negativă, deci forţa de inerţie a masei în mişcare de

translaţie a autovehiculului este îndreptată în sensul de mers al acestuia. De asemenea, sensul cuplurilor generate de inerţia pieselor în mişcare de rotaţie devine acelaşi cu cel de rotaţie al roţilor.

Ecuaţia de echilibru al forţelor pe direcţia deplasării autovehiculului este: (6.1) Ea se poate scrie şi sub forma (6.2) Notând: (6.3)

, (6.4)

(6.5) Rezultă: (6.6)

Sau . (6.7)

Împărţind cu Ga, rezultă:

Rdt

a V

Cg

Ga sinαp

Ga cosαp

Z1

Z2Ga

αp 

L 

b

CaRa

Faz

Ffr2

Ffr1

Rrul1

Rrul2

ha hg

B

A

Ri2 

Ri1

sau

, este deceleraţie. (6.8)

unde . (6.9)

reprezintă forţa de frânare specifică a autovehiculului. Relaţia (6.8) reprezintă ecuaţia generală de mişcare a autovehiculului în regim

de frânare.

6.2 DETERMINAREA CAPACITĂŢII DE FRÂNARE

Parametrii care caracterizează posibilităţile maxime de frânare ale autovehiculelor sunt: deceleraţia maximă, spaţiul minim de frânare şi timpul minim de frânare.

6.2.1 Determinarea analitică a deceleraţiei maxime

Din ecuaţia generală de mişcare a autovehiculului în regim de frânare (6.8),

rezultă: . (6.10)

În acest caz, deoarece  este coeficientul care ţine seama de influenţa pieselor

în mişcare de rotaţie ale întregului lanţ cinematic de la roţi până la motor, inclusiv, relaţia este valabilă pentru cazul în care frînarea se efectuează cu motorul cuplat cu

transmisia. La decuplarea motorului de transmisie, coeficientul  va deveni

0   1    R   1,02   1,04, 

reprezentând influenţa maselor în mişcare de rotaţie cuplate la roţi, mai puţin cele aparţinând motorului. Realţia (6.9) devine . (6.11)

Deceleraţia maximă depinde, în afară de forţele de frânare dezvoltate la roţi, de

rezistenţa specifică a drumului, ψ, de viteza de deplasare şi de coeficientul aerodinamic

al autovehiculului, k. La viteze relativ reduse, de până la (70 80)km/h, efectul

rezistenţei aerului poate fi neglijat. Decelaraţia maximă este limitată de aderenţă care limitează valoarea maximă a

forţelor tangenţiale longitudinale din pata de contact la frânare. Aceste forţe sunt: rezistenţa la rulare, forţa de frânare şi rezistenţa datorată inerţiei roţilor în mişcare de rotaţie şi pieselor cinematic legate de ele:

Xf1 = Rrul1 + Ffr1 + Ri1; Xf2 = Rrul2 + Ffr2 + Ri2,

Unde şi .

Ecuaţia de echilibru al forţelor care acţionează pe direcţia de deplasare este, în acest caz:

. (6.13)

De aici rezultă: . (6.14)

Condiţiile de limitare de către aderenţă a forţelor tangenţiale longitudinale din pata de contact la frânare sunt:

Xf1  φx · Z1  , 

  Xf2  φx · Z2  . 

La limită, rezultă:

Xf1 + Xf2 = φx  Z1    Z2    φx · Ga cos  p .  (6.16)

Ecuaţia (6.14) devine:

(6.12)

(6.15)

. (6.17)

La frânarea în palier (pe teren orizontal), la viteze suficient de mici pentru a

neglija rezistenţa aerului (sub 70  80 km/h , relaţia (6.17) devine:

. (6.18)

În aceste cazuri, deceleraţia maximă limitată de aderenţă poate fi exprimată ca o fracţiune din acceleraţia gravitaţională.

Decelaraţia maximă se obţine pentru frânări fără blocarea roţilor, deoarece la blocarea roţilor coeficientul de aderenţă are o valoare mai mică (vezi subcapitolul 2.3). 6.2.2 Determinarea analitică a spaţiului de frânare

Pentru determinarea spaţiului de frânare, se are în vedere că , de unde

. la rândul său, acceleraţia este . Ţinând seama de expresia lui dt,

rezultă: . (6.19)

Din această relaţie rezultă că spaţiul parcurs într-o mişcare decelerată este: . (6.20)

Înlocuind în această relaţie acceleraţia cu expresia rezultată din (6.8), rezultă: (6.21)

unde V0 este viteza iniţială, iar V este viteza la sfârşitul frânării. Efectuând aceeaşi operaţie însă în ecuaţia (6.14), rezultă:

(6.22) Dacă se consideră că pe timpul frânării forţele de frânare sunt constante, adică

, atunci ecuaţia (6.21) devine, după rezolvarea integralei:

. (6.23)

Având în vedere că (rezistenţa aerului este mult mai mică

decât forţa de frânare) şi că ln(1+x) x, rezultă o formă simplificată a relaţiei (6.23):

. (6.24)

Spaţiul minim de frânare limitat de aderenţă se obţine integrând relaţia (6.22), în care :

. (6.25)

Expresia simplificată, urmând aceleaşi aproximări ca în cazul anterior, este:

. (6.26)

Dacă frânarea se efectuează pe teren orizontal, până la oprire, atunci:

. (6.27)

6.2.3 Determinarea analitică a timpului de frânare

Din expresia (6.8)

rezultă formula de calcul al timpului de frânare: ;

. (6.28)

Dacă pe timpul frânării forţele de frânare sunt constante, adică şi dacă se neglijează rezistenţa aerului, atunci ecuaţia (6.28) devine, după rezolvarea integralei:

=

. (6.29)

V 

V0 

Timpul minim în cazul frânării la limita de aderenţă rezultă atunci când reacţiunile tangenţiale (X1 + X2) corespund limitei de aderenţă, conform relaţiei (6.14):

. (6.30)

Rezolvarea ei conduce la expresia:

.

(6.31) Timpul minim necesar opririi autovehiculului se obţine pentru V = 0, deci:

. (6.32)

Având în vedere că arctg x x, rezultă:

(6.33)

Dacă autovehiculul se deplasează pe teren orizontal, (6.34)

6.3 INFLUENŢA REPARTIŢIEI FORŢELOR DE FRÂNARE LA PUNŢI ASUPRA FRÂNĂRII

6.3.1 Determinarea dreptelor de aderenţă şi a dreptelor de repartiţie a forţelor de frânare la punţi

Valorile deceleraţiei maxime limitate de aderenţă – relaţia (6.17) şi timpului minim la frânarea la limita la aderenţă – realţia (6.26) se aplică atunci când roţile autovehiculului ajung simultan la limita la aderenţă, deci când reacţiunile tangenţiale longitudinale la frânare se distribuie proporţional cu încărcările dinamice normale la roţile autovehiculului.

Condiţiile de limitare de către aderenţă a forţelor tangenţiale longitudinale din pata de contact la frânare sunt, aşa după cum s-a mai arătat:

Xf1  φx · Z1  , 

  Xf2  φx · Z2  . 

(6.15)

Reacţiunile normale la sol sunt precizate de relaţiile (4.15’) şi (4.16’): , (4.15’)

. (4.16’)

Neglijându-se rezistenţa aerului, ele devin: , (6.16)

. (6.17)

Se fac înlocuirile X1 = - Xf1 şi X2 = - Xf2 în (6.16) şi (6.17), ţinându-se astfel seama de faptul că în acest caz Xf1 şi Xf2 reprezintă reacţiuni la frânare în loc de tracţiune.

, (6.16’)

. (6.17’)

Se introduc expresiile reacţiunilor normale la sol astfel obţinute în inegalităţile (6.15), rezultând:

 , (6.18)

. (6.19)

La limită, cele două relaţii devin ecuaţiile de definire a dreptelor de aderenţă: ; (D1) (6.20)

. (D2) (6.21)

Pentru un autovehicul încărcat cu o anumită sarcină, care se deplasează pe un

anumit drum se cunosc a, b, hg, αp şi x, iar Xf1 şi Xf2 depind de forţa de apăsare pe

pedala de frână. La limită, cele două inegalităţi formează ecuaţiile a două drepte (D1) şi (D2) în

sistemul de axe (Xf1 / Ga; Xf2 / Ga) a căror reprezentare grafică este prezentată mai jos.

M

F2 IV

IIIII

 

 

Punctele de intersecţie a acestor drepte cu axele sunt:

(D1): ; (6.22)

(D2): . (6.23)

Aceste puncte sunt fixe pentru un autovehicul, ele nedepinzând decât de poziţia

centrului de greutate (coordonatele a, b şi hg) şi de unghiul de înclinare a pantei αp. la

modificarea coeficientului de aderenţă vor rezulta câte un fascicul de drepte care trec prin punctele respective.

Punctele din diagramă situate deasupra dreptei (D1) nu îndeplinesc inegalitatea (6.18) şi deci forţa de frânare la puntea din faţă depăşeşte limita de aderenţă, iar roţile sale se blochează. Punctele din diagramă situate deasupra dreptei (D2) nu îndeplinesc inegalitatea (6.19) şi deci forţa de frânare la puntea din spate depăşeşte limita de aderenţă, iar roţile sale se blochează.

Pentru o anumită valoare a coeficientului de aderenţă x, cele două drepte se

intersectează în punctul M care împarte plan ul diagramei în patru domenii: I, II, III şi IV.

Un punct de funcţionare, ”F”, a sistemului de frânare pe un anumit drum, definit

de αp şi x, este caracterizat printr-un anumit raport între parametrii şi . În raport

cu situarea acestui punct în planul diagramei, se disting următoarele situaţii: • F este situat în domeniul I, atunci forţele de frânare de la ambele punţi sunt sub limita de aderenţă (nu se blochează); • F este situat în domeniul II, atunci forţele de frânare de la puntea din spate depăşesc limita de aderenţă şi roţile din spate se blochează, dar cele din faţă, nu; • F este situat în domeniul III, atunci forţele de frânare de la puntea din faţă depăşesc limita de aderenţă şi roţile din faţă se blochează, dar cele din spate, nu; • F este situat în domeniul IV, atunci forţele de frânare de la ambele punţi depăşesc limita de aderenţă şi toate roţile se blochează.

În punctul M este atinsă simultan limita de aderenţă la ambele punţi, deci pentru acest regim de funcţionare se obţine cea mai mare forţă totală de frânare.

Dacă frânarea se realizează cu motorul decuplat şi deceleraţiile nu sunt mari, se poate considera:

Xfj Ffj , j = 1, 2 (6.24)

Astfel încât în diagramă sepoate lucra direct cu şi .

Se defineşte coeficientul de repartiţie a forţei de frânare la punte, ν, raportul

. (6.25)

De aici rezultă:

Ff1 = ν · Ff şi Ff2 = (1 – ν  · Ff (6.26)

Din relaţiile (6.25) rezultă prin împărţire:

sau (6.27)

Ecuaţia (6.26) reprezintă ecuaţia dreptei de repartiţiea forţelor de frânare la punţi, notată în cele ce urmează cu (R). Ea trece prin originea sistemului de axe (

În figură sunt reprezentate trei drepte de repartiţie (R), (R’) şi (R’’). Dreptele (R’)

şi (R’’) intersectează dreptele de aderenţă (D1, φx) şi (D2, φx) în punctele M'1, M''1, respectiv M'2, M''2. Dreapta (R) intersectează dreptele de aderenţă exact în punctul de inersecţie al acestora, M.

În cazul dreptei (R’), la apăsarea pedalei cu o forţă de până la F’p1, frânarea se realizează fără blocarea roţilor. Pentru forţe de acţionare cuprinse între F’p1 şi F’p2, are loc blocarea roţilor din faţă, iar la forţe mai mari se blochează toate roţile.

Fenomenele decurg în aceeaşi manieră în cazul dreptei de repartiţie (R’’), dar ordinea de blocare a roţilor se inversează, având loc întâi blocarea roţilor din spate.

Dacă repartiţia forţelor de frânare are loc după dreapta (R), limita de aderenţă este atinsă simultan la roţile ambelor punţi, în punctul M, după care, dacă forţa la pedală continuă să crească, are loc blocarea tuturor roţilor frânate. Dacă se modifică valoarea coeficientului de aderenţă, unghiurile de înclinare a dreptelor de aderenţă se modifică şi, odată cu acesta, se modifică poziţiile punctelor de intersecţie cu dreptele de repartiţie, ceea ce poate produce onversarea ordinei de

blocare a roţilor. De exemplu, punctele M’’1-2 şi M’’2-2 corespunzătoare lui φx2   φx arată că, în

φx2   φx 

M’’1‐2 

M’’2‐2(D1, φx2) 

(D2, φx2) 

F’p1 F’p2 

F’’p1

F’’p2FpM

Fp

O 

(R) 

 

(R’)(R’’)

M

M’’2

M’’1M’2 

M'1 

(D1, φx) 

(D2, φx)

Fp 

cazul dreptei de repartiţie (R’’), se produce întâi blocarea roţilor din faţă, invers decât în

cazul lui φx (căruia îi corespund punctele M'2, M''2). 

Modificarea înclinării dreptelor de repartiţie se poate realiza prin poziţionarea corespunzătoare a centrului de greutate sau prin reglarea presiunii de acţionare la mecanismele de frânare ale roţilor din spate cu ajutorul unor dispozitive speciale prevăzute în sistemul de frânare al autovehiculului.

Din forma ecuaţiei dreptelor de repartiţie rezultă că înclinarea lor în câmpul

diagramei depinde de valoarea coeficientului de repartiţie ν.

După cum s-a arătat (6.24) şi (6.23) : .

Neglijând rezistenţa la rulare şi efectele aerodinamice, pentru un autovehicul frânat la urcarea unei rampe, rezultă:

(6.28)

(6.29) Rezultă: (6.30)

Pe teren orizontal: (6.31)

6.3.2 Determinarea parabolei ideale de frânare

Punctul de intersectare a dreptelor de aderenţă (punctul M din diagramă) reprezintă regimul în care frânarea se realizează cu eficienţă şi stabilitate maxime deoarece în acest caz limita la aderenţă este atinsă simultan la toate roţile. Poziţia acestui punct se modifică în planul diagramei în funcţie de valoarea coeficientului de aderenţă care schimbă unghiurile de înclinare a dreptelor de aderenţă.

Locul geometric al punctelor de intersecţie a dreptelor de aderenţă va reprezenta curba ideală a frânării. Expresia matematică a acestei condiţii este:

. (6.32)

Din ecuaţia (6.20):

Rezultă: , sau

de unde rezultă:

(6.33)

Se introduce φx astfel determinat în relaţia (6.21) a dreptei (D2):

, obţinându-se:

. (6.34)

Aducând la acelaşi numitor termenul din stânga egalului expresiei (6.34) şi egalând cu 0 numărătorul, se obţine:

;

;

. (6.35)

Aceasta este ecuaţia generală a unei parabole în coordonate care trece

prin originea sistemului de axe – parabola ideală de frânare (PIF). Această parabolă stabileşte legătura dintre forţele tangenţiale de frânare la cele

două punţi astfel încât ele să atingă simultan limita de aderenţă, când se obţine deceleraţia maximă posibilă la limita de aderenţă pentru drumul respectiv.

Ecuaţia parabolei mai poate fi scrisă sub forma: . (6.36)

Ecuația generală a conicelor este:     a11 x2 + 2 a12 xy + a22 y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 =0. 

Dacă termenul δ = a11 a22 – a212 = 0, atunci conica este o parabolă. 

În cazul acesta, a11 = 1,  a12 = 1, a22 = 1, a13 = 0,5 , a23 = ‐ 0,5  , a33 =0. 

Rezultă δ = 1·1 – 12 = 0, deci conica este parabolă. 

(PIF) (R)(D1, φx2)

Fiecărui punct al parabolei ideale de frânare îi corespunde o valoare a

coeficientului de aderenţă. Pentru un sistem de frânare cu repartizare constantă a forţelor de frânare la punţi, condiţia de frânare optimă nu este satisfăcută decât pentru o singură valoare a coeficientului de aderenţă, φx0, ce corespunde intersecţiei dreptei de repartiţie (R) cu (PIF). Dacă deplasarea se face pe un drum cu coeficient de aderenţă mai mic, φx1 < φx0, atunci dreapta de repartiţie va intersecta întâi dreapta (D1, φx1), ceea ce înseamnă că va avea loc blocarea roţilor din faţă – punctul M1,1; continuând acţionarea pedalei de frână cu forţe din ce în ce mai mari, se va ajunge ulterior în punctul M1,1, unde se produce blocarea şi a roţilor din spate. Dacă deplasarea se face

pe un drum cu aderenţă mai mare decât cea de referinţă, φx2 φx0, atunci blocarea

roţilor se va produce în ordine inversă – punctele M2,2 şi M1,2. Sistemele de frânare pot fi prevăzute cu dispozitive – repartitoare de frânare –

care modelează presiunea transmisă mecanismelor de frânare de la roţile punţii din spate, astfel încât să se obţină o aproximare (PIF) prin două drepte.

M0

(D1, φx0)

(D2, φx0)

(D1, φx1)(D2, φx1) φx2   φx0   φx3

M2,1 

M1,1 

0 

(D2, φx2)

M2,2

M1,2

 

0 

(PIF)

R’ 

R’’ 

Pf1 

Pf2

0

(PIF) 

R’’ 

R’

Pf 

6.4 DIAGRAMA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR

Determinarea parametrilor capacităţii de frânare s-a făcut în ipoteza că sistemul de frânare al autovehiculului intră în acţiune instantaneu şi dezvoltă forţa de frânare maximă penru o anumită valoare a forţei la pedală. În realitate, din momentul apariţiei necesităţii de frânare şi până la atingerea valorii maxime a deceleraţiei trece un anumit interval de timp, determinat de răspunsul conducătorului auto şi al sistemului de frânare.

Diagrama de frânare reprezintă variaţia deceleraţiei şi/sau a forţei la pedală în funcţie de timp.

t1 – timpul de reacţie al conducătorului (0,3 1,6 s)

t’1 – timpul de percepere a obstacolului; t’’1 – timpul necesar mutării piciorului pe pedale de frână; t2 – timpul de răspuns al sistemului de frânare t’2 – anularea jocurilor din sistem:

t’2 = (0,02 0,05) s transmisie hidraulică;

t’2 = (0,2 0,5) s transmisie pneumatică;

t’’2 – timpul corespunzător creşterii deceleraţiei la valoarea maximă:

t’’2 = (0,1 0,2) s transmisie hidraulică;

1,0 0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0  0,5  1,0 1,5  2,0  2,5

dr  Fp [daN]  50 40 

30 

20 

10 

Fp  

t [s] 

(dr) v

 

(dr) m

ax 

dr

t [s] 

Fp [daN]  

[m/s2]

Fp

 

t’1 t’’1 t’2 t’’2t1 t2 t3 t4  

t’’2 = (0,5 1,0) s transmisie pneumatică;

t’’2 1,5 s la trenurile rutiere.

t3 – perioada de frânare cu o deceleraţie corespunzătoare unei forţe la pedală constante. t4 – perioada de desfrânare: se ridică piciorul de pe pedală şi mecanismul de frânare eliberează roţile:

t4 = (0,2 0,3) s transmisie hidraulică;

t4 = (1,0 2,0) s transmisie pneumatică.

V2 

0  

0  

t [s] 

  

[m/s2] 

 

t’’2  t1 + t’2   t3 

t [s] 

V[m/s] V0 

Spa�iile de frânare corespunzătoare timpilor t1 �i t’2 sunt: ;

Spa�iul de frânare se determină în ipoteza că decelera�ia variază liniar de la 0 la valoarea maximă: (6.37)

Prin integrare rezultă: .. (6.38)

Spa�iul de frânare este:

. (6.39)

Spaţiul de frânare Sf3 parcurs cu deceleraţia constantă în timpul este:

, (6.40)

Unde V2 este viteza la sfârşitul perioadei de timp :

. (6.41)

Înlocuind în (6.40), se obţine:

.

Sau . (6.42)

Spaţiul total de frânare până la oprirea autovehiculului se obţine prin însumarea spaţiilor , , şi , rezultând:

. (6.43)

Pentru valorile uzual întâlnite, se poate considera că ,

astfel încât

. (6.44)