Capitolul 3

Geometria diferentiala acurbelor si suprafetelor

3.1 Curbe plane

3.1.1 Introducere

Definitia 3.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. Se numeste curbaplana o multime de puncte din R2 ale caror coordonate sunt date prin

(Γ) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]; (3.1)

� Ecuatiile (3.1) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei, iar t senumeste parametrul curbei ;

� Ecuatiile (3.1) asociaza fiecarei valori a parametrului t ∈ [a, b] un punctM(x(t), y(t)) de pe curba.

� Reprezentarea parametrica poate fi scrisa sub forma vectoriala

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j (3.2)

� Daca functiile x(t), y(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarileparametrice de mai sus se numesc drumuri.

� O curba poate fi data prin mai multe parametrizari, deci poate fi ima-ginea mai multor drumuri echivalente.

1

� De exemplu, un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentareaparametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentatsi prin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

Definitia 3.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunemca acest drum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoarenu are puncte multiple, nu se autointersecteaza;

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoaret ∈ [a, b] pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

� In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ınspatiu.

� Un punct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeste punct singular al curbei.

Pe langa ecuatiile parametrice din definitie, o curba plana mai poate fidata prin urmatoarele reprezentari analitice:

� ecuatie carteziana explicita

y = f(x), x ∈ [a, b] (3.3)

� ecuatie carteziana implicita

F (x, y) = 0, (x, y) ∈D ⊂ R2 (3.4)

� ecuatie polara explicita

ρ = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2] (3.5)

unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale unui punct de pe curba:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0,2π]

2

Definitia 3.3. 1. O curba plana data prin una din reprezentarile (3.1),(3.3) sau (3.5) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiilecare apar ın reprezentarile respective admit derivate continue pana laordinul k inclusiv.

2. O curba plana data prin reprezentarea vectoriala (3.2) se numeste curbade clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentele x(t) si y(t)de clasa Ck (admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv).

3. O curba plana data prin reprezentarea implicita (3.4) se numeste curbade clasa Ck daca functia F (x, y) admite derivate partiale continuepana la ordinul k inclusiv.

In continuare vom presupune ca toate curbele plane la care ne referimsunt cel putin de clasa C1.

Definitia 3.4. 1. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia vec-toriala (3.2) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0 senumeste punct ordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acest punctderivata functiei vectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul, adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j ≠Ð→0 .

2. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia implicita (3.4) siM0(x0, y0) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punctordinar al curbei Γ daca derivatele partiale ∂F

∂x (x0, y0) si ∂F∂y (x0, y0)

nu sunt simultan nule, adica

(∂F∂x

(x0, y0))2

+ (∂F∂y

(x0, y0))2

≠ 0.

3.1.2 Tangenta si normala la o curba plana

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b] (3.6)

si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 aparametrului . Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)).Avem: ÐÐ→

OM0 =Ð→r (t0),ÐÐ→OM =Ð→r (t)

ÐÐÐ→M0M =ÐÐ→OM −ÐÐ→OM0 =Ð→r (t) −Ð→r (t0)

3

ÐÐÐ→M0M

t − t0=Ð→r (t) −Ð→r (t0)

t − t0

asadar vectorulÐÐÐ→M0M are aceeasi directie cu

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

.

Trecand la limita

limt→t0

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

=Ð→r ′(t0)

deci directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atuncicand M →M0.

Definitia 3.5. Dreapta limita a secantei M0M cand punctul M tinde catreM0 pe curba se numeste tangenta la curba ın punctul M0.

Ecuatia analitica a tangentei la curba ın punctul M0(x(t0), y(t0)) este

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

(3.7)

Observatii:1. Cand curba este data printr-o ecuatie explicita de forma y = f(x), folosindparametrizarea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ty = f(t)

ecuatia (3.7) a tangentei ın punctul M0(x0, f(x0)) devine:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) (3.8)

2. Cand curba este data printr-o ecuatie implicita de forma F (x, y) = 0,folosind teorema functiilor implicite ıntr-o vecinatate a punctului ordinarM0, exista o reprezentare explicita locala y = f(x), deci

F (x, f(x)) = 0.

Prin derivare obtinem

∂F

∂x+ ∂F∂y

⋅ f ′(x) = 0

de unde rezulta ca

f ′(x0) = −∂F

∂x(x0, y0)

∂F

∂y(x0, y0)

4

Inlocuind ın ecuatia tangentei (3.8) obtinem

∂F

∂x(x0, y0) ⋅ (x − x0) +

∂F

∂y(x0, y0) ⋅ (y − y0) = 0. (3.9)

Daca∂F

∂y(x0, y0) = 0, ecuatia tangentei ın M0 este x − x0 = 0.

Definitia 3.6. Se numeste normala la curba Γ ın punctul M0 dreaptacare trece prin M0 si este perpendiculara pe tangenta la curba ın M0.

In functie de tipul reprezentarii analitice prin care este data curba Γ,avem urmatoarele cazuri:

� Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, ecuatia normalei la curba ın M0(t = t0) este

x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0

� Γ ∶ y = f(x), ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0

� Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0

∂F∂x (x0, y0)

= y − y0

∂F∂y (x0, y0)

ExempluSa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la curba de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, t ∈ [0,4]

ın punctul M0(t0 = 2).

� coordonatele carteziene: M0(4,5);

�

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = 3t2 − 2

y′ = 2t⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′(2) = 10

y′(2) = 4

� tangenta:x − 4

10= y − 5

4⇔ 2x − 5y + 17 = 0

� normala: 10(x − 4) + 4(y − 5) = 0⇔ 5x + 2y − 30 = 0

5

3.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata parametric si pre-supunem ca toate punctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncteale curbei Γ corespunzatoare valorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului.Lungimea arcului de curba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2

dt

Pentru un punct oarecareM al curbei corespunzator valorii t a parametru-lui, definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2

du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 sipunctul variabil M .

Derivata acestei functii este

ds

dt=√

(x′(t))2 + (y′(t))2

de unde deducem

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2]dt2 = dx2 + dy2

Diferentiala ds =√dx2 + dy2 se numeste elementul de arc al curbei Γ.

Cand curba Γ este data printr-o ecuatie explicita y = f(x), elementul de arceste

ds =√

1 + (f ′(x))2dx

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ınfunctie de s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei . Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana lapunctul curent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

= 1.

6

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vec-

torul derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara

devine∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) = 1

Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul naturalt = t(s), prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(3.10)

3.1.4 Curbura unei curbe plane

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe plane Γ si M un punct arbitrar alcurbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0

si M la curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

Definitia 3.7. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

Observatie:Daca limita din definitia curburii este 0, atunci raza de curbura este ∞.

Teorema 3.1. Fie Γ o curba de clasa C2 data prin parametrizarea naturalaÐ→r =Ð→r (s). Atunci valoarea curburii ın punctul M0 (Ð→r (s0)) este

1

R= ∥Ð→r (s0)∥ .

Demonstratie: FieM0 (Ð→r (s0)) un punct ordinar al curbei Γ siM (Ð→r (s0 +∆s))punctul de pe curba corespunzator valorii s0 +∆s a parametrului natural.

Notam cu Ð→τ (s0), respectiv Ð→τ (s0 + ∆s) versorii tangentelor ın M0, res-pectiv M la curba si cu ∆ω unghiul dintre acesti vectori. Avem:

Ð→τ (s0) = Ð→r (s0) si Ð→τ (s0 +∆s) = Ð→r (s0 +∆s).

7

FieÐ→AB si

Ð→AC doi reprezentanti ai acestor versori cu originea ın acelasi

punct A. Avem:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥ = ∥Ð→τ (s0 +∆s) −Ð→τ (s0)∥ = ∥Ð→AC −Ð→AB∥ = ∥Ð→BC∥

Din triunghiul isoscel ABC obtinem:

∥Ð→BC∥ = 2 ∣sin ∆ω

2∣

unde ∆ω este unghiul dintreÐ→AB si

Ð→AC. Impartind prin ∆s gasim:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥∆s

= 2 ∣sin ∆ω

2

∆s∣ = ∣

sin ∆ω2

∆ω2

∣ ⋅ ∣∆ω∆s

∣

Trecand la limita ∆s→ 0 se obtine

∥Ð→r (s0)∥ = 1 ⋅ lim∆s→0

∣∆ω∆s

∣ = 1

R.

Fie o curba Γ data printr-o ecuatie vectoriala

Ð→r =Ð→r (t)

Scriind parametrul t ın functie de parametrul natural s si derivand ınraport cu s deducem

Ð→r =Ð→r ′ ⋅ dtds

=Ð→r ′

∥Ð→r ′∥Derivam ınca o data ın raport cu s:

Ð→r = d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ dtds

= d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ 1

∥Ð→r ′∥Dupa efectuarea calculelor obtinem

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Observatii

1. Cand curba Γ este data parametric prin

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, obtinem

1

R= ∣x′y′′ − x′′y′∣√

((x′)2 + (y′)2)3

8

2. Cand curba Γ este data explicit prin y = f(x), obtinem

1

R= ∣f ′′(x)∣√

(1 + (f ′(x))2)3

3. Cand curba Γ este data prin reprezentarea polara explicita ρ = ρ(θ),obtinem

1

R= ∣ρ2 + 2(ρ′)2 − ρρ′′∣√

(ρ2 + (ρ′)2)3

3.1.5 Infasuratoarea unei familii de curbe plane

Fie o ecuatie de formaf(x, y,α) = 0 (3.11)

unde α este un parametru real, iar functia f are derivate partiale continuede ordinul 2 ın raport cu x, y,α.

Pentru fiecare valoare a parametrului α, ecuatia (3.11) reprezinta o curbaplana Γα de clasa C2. Cand α variaza ın mod continuu ın R (sau ıntr-uninterval I ⊂ R), spunem ca ecuatia (3.11) reprezinta o familie de curbeindexata dupa parametrul α.

Definitia 3.8. O curba Γ tangenta la toate curbele familiei (3.11) se numesteınfasuratoarea familiei (3.11).

Fie Γα curba din familia (3.11) corespunzatoare valorii α a parametruluisi fie M punctul de tangenta al curbei Γα cu ınfasuratoarea Γ. Punctul Mse mai numeste punct caracteristic al curbei Γα.

Presupunem ca M este punct ordinar pentru curbele Γα si Γ. Coordo-natele acestui punct depind de valoarea parametrului α, asadar atunci candα variaza punctul M descrie curba Γ, deci putem reprezenta ınfasuratoareaΓ prin ecuatii parametrice de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(α)y = y(α)

.

Cum punctul M apartine si curbei Γα, avem:

f(x(α), y(α), α) = 0.

Parametrii directori ai tangentei la curba Γ ın punctul M sunt x′(α) si

y′(α), iar parametrii directori ai tangentei la curba Γα ın M sunt∂f

∂y(x, y,α)

si −∂f∂x

(x, y,α).

9

Impunand conditia ca cele doua curbe sa aiba aceeasi tangenta ın punctulM obtinem

x′(α)∂f∂y (x, y,α)

= − y′(α)∂f∂x(x, y,α)

sau echivalent

x′(α) ⋅ ∂f∂x

(x, y,α) + y′(α) ⋅ ∂f∂y

(x, y,α) = 0 (3.12)

Derivand f(x(α), y(α), α) = 0 ın raport cu α gasim

∂f

∂x(x, y,α) ⋅ x′(α) + ∂f

∂y(x, y,α) ⋅ y′(α) + ∂f

∂α(x, y,α) = 0 (3.13)

Din (3.12) si (3.13) deducem

∂f

∂α(x, y,α) = 0

asadar coordonatele punctelor de pe ınfasuratoare verifica ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y,α) = 0∂f∂α(x, y,α) = 0

Rezolvand acest sistem ın necunoscutele x, y se obtin ecuatiile parame-trice ale ınfasuratoarei, sau eliminand parametrul α din cele doua ecuatii seobtine ecuatia carteziana implicita a ınfasuratoarei.

Teorema 3.2. Conditia pentru ca familia de curbe (3.11) sa admita o ınfasuratoareeste ca functia f sa verifice relatiile

RRRRRRRRRRR

∂f∂x

∂f∂y

∂2f∂x∂α

∂2f∂y∂α

RRRRRRRRRRR≠ 0 si

∂2f

∂α2≠ 0

3.2 Curbe ın spatiu

3.2.1 Reprezentari analitice. Puncte ordinare

O curba ın spatiu poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b]. (3.14)

10

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j + z(t)Ð→k , t ∈ [a, b]. (3.15)

3. Reprezentare carteziana explicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = y(x)z = z(x)

, x ∈ [a, b]. (3.16)

4. Reprezentare carteziana implicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. (3.17)

Definitia 3.9. 1. O curba ın spatiu data prin una din reprezentarile (3.14)sau (3.16) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiile careapar ın reprezentarile respective admit derivate continue pana la ordinulk inclusiv.

2. O curba ın spatiu data prin reprezentarea vectoriala (3.15) se numestecurba de clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentelex(t), y(t) si z(t) de clasa Ck (admit derivate continue pana la ordinulk inclusiv).

3. O curba ın spatiu data prin reprezentarea implicita (3.17) se numestecurba de clasa Ck daca functiile F (x, y, z) si G(x, y, z) admit derivatepartiale continue pana la ordinul k inclusiv.

Definitia 3.10. 1. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatiavectoriala (3.15) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0

se numeste punct ordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acestpunct derivata functiei vectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul,adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j + z′(t0)

Ð→k ≠Ð→0 .

2. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatia implicita (3.17) siM0(x0, y0, z0) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punctordinar al curbei Γ daca ın acest punct este verificata conditia

rang(∂F∂x

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂x

∂G∂y

∂G∂z

) = 2.

Un punct de pe o curba ın spatiu Γ care nu este punct regulat se numestepunct singular.

11

3.2.2 Triedrul Frenet

Definitia 3.11. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 aparametrului. Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)).Dreapta limita a secantei M0M cand punctul M tinde catre M0 pe curba senumeste tangenta la curba ın punctul M0.

Directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atuncicand M →M0, deci ecuatiile tangentei la curba ın M0 sunt

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

= z − z(t0)z′(t0)

(3.18)

� Pentru o curba data prin ecuatii explicite de forma (3.16), ecuatiiletangentei sunt ın punctul M0(x0, y(x0), z(x0)) sunt:

x − x0

1= y − y(x0)

y′(x0)= z − z(x0)

z′(x0)(3.19)

� Pentru o curba data prin ecuatii implicite de forma (3.17), ecuatiiletangentei sunt ın punctul M0(x0, y0, z0) sunt:

x − x0

D(F,G)D(y,z) (M0)

= y − y0

D(F,G)D(z,x) (M0)

= z − z0

D(F,G)D(x,y) (M0)

(3.20)

unde

D(F,G)D(y, z) = ∣

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂y

∂G∂z

∣ , D(F,G)D(z, x) = ∣

∂F∂z

∂F∂x

∂G∂z

∂G∂x

∣ , D(F,G)D(x, y) = ∣

∂F∂x

∂F∂y

∂G∂x

∂G∂y

∣ .

Definitia 3.12. Planul perpendicular pe tangenta la o curba Γ ın punctulM0 ∈ Γ se numeste plan normal la curba Γ ın punctul M0.

� pentru o curba data prin ecuatie vectoriala sau ecuatii parametrice,ecuatia planului normal ın M0 este:

x′(t0) ⋅ (x − x(t0)) + y′(t0) ⋅ (y − y(t0)) + z′(t0) ⋅ (z − z(t0)) = 0 (3.21)

� pentru o curba data prin ecuatii implicite, ecuatia planului normal ınM0 este:

D(F,G)

D(y, z)(M0) ⋅ (x−x0)+

D(F,G)

D(z, x)(M0) ⋅ (y−y0)+

D(F,G)

D(x, y)(M0) ⋅ (z −z0) = 0

12

� orice dreapta continuta ın planul normal ın M0 la curba si care continepunctul M0 se numeste normala la curba ın M0.

Definitia 3.13. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C2 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 aparametrului. Consideram de asemenea doua puncte ordinare variabile M1,M2.Planul limita la care tinde planul M0M1M2 cand M1,M2 tind catre M0 pecurba se numeste plan osculator la curba ın punctul M0.

Directia normalei la M0M1M2 converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0)×Ð→r ′′(t0), deci ecuatia planului osculator ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRR

x − x(t0) y − y(t0) z − z(t0)x′(t0) y′(t0) z′(t0)x′′(t0) y′′(t0) z′′(t0)

RRRRRRRRRRRRRR= 0. (3.22)

Definitia 3.14. Se numeste binormala la curba Γ ın punctul M0 dreaptaperpendiculara pe planul osculator ın M0;

Un vector director al binormalei esteÐ→b =Ð→r ′(t0) ×Ð→r ′′(t0)

deci ecuatiile binormalei sunt

x − x(t0)A(t0)

= y − y(t0)B(t0)

= z − z(t0)C(t0)

(3.23)

unde

A = ∣ y′ z′

y′′ z′′∣ , B = − ∣ x

′ z′

x′′ z′′∣ , C = ∣ x

′ y′

x′′ y′′∣

Definitia 3.15. Se numeste normala principala la curba Γ ın punctul M0

dreapta de intersectie a planului normal cu planul osculator ın M0.

Un vector director al normalei principale este

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)deci ecuatiile normalei principale sunt

x − x(t0)l(t0)

= y − y(t0)m(t0)

= z − z(t0)n(t0)

(3.24)

unde

l = ∣ B Cy′ z′

∣ , m = − ∣ A Cx′ z′

∣ , n = ∣ A Bx′ y′

∣

13

Definitia 3.16. Se numeste plan rectificant la curba Γ ın punctul M0

planul determinat de tangenta si binormala la curba Γ ın M0.

Un vector normal la planul rectificant este chiar vectorul director al nor-malei principale

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)deci ecuatia planului rectificant este

l(t0)(x − x(t0)) +m(t0)(y − y(t0)) + n(t0)(z − z(t0)) = 0 (3.25)

Cu notatiile anterioare, ecuatia planului osculator (3.22) se rescrie

A(t0)(x − x(t0)) +B(t0)(y − y(t0)) +C(t0)(z − z(t0)) = 0 (3.26)

Vectorii directori ai tangentei, normalei principale si binormalei (Ð→r ′, Ð→n ,siÐ→b ) ın punctul M0 de pe curba Γ sunt ortogonali doi cate doi si formeaza

o baza ın spatiul vectorial V3. Versorii corespunzatori acestor 3 vectori sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ =Ð→r ′

∥Ð→r ′∥Ð→ν =

Ð→b ×Ð→r ′

∥Ð→b ×Ð→r ′∥Ð→β =

Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

(3.27)

si formeaza o baza ortonormata ın V3.

Reperul ortonormat {M0;Ð→τ ,Ð→ν ,Ð→β } se numeste triedrul lui Frenet atasatcurbei Γ ın punctul M0.

Tangenta, normala principala si binormala sunt axele (muchiile) triedru-lui Frenet, iar planul normal, planul osculator si planul rectificant sunt planele(fetele) triedrului Frenet.

3.2.3 Elementul de arc. Curbura si torsiune

Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata parametric si presupunemca toate punctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncte ale curbeiΓ corespunzatoare valorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului. Lungimeaarcului de curba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2

dt

14

Pentru un punct oarecareM al curbei corespunzator valorii t a parametru-lui, definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2 + (z′(u))2

du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 sipunctul variabil M .

Diferentiala acestei functii

ds =√

(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

se numeste elementul de arc al curbei Γ. Ridicand la patrat obtinem:

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2]dt2 = dx2 + dy2 + dz2 = dÐ→r 2

de unde rezulta

∥dÐ→rds

∥ = 1

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ınfunctie de s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)z = z(t(s)) = Z(s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei. Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana lapunctul curent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

+ (dZds

)2

= 1.

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vec-

torul derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara

devine∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) + z2(s) = 1

Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul naturalt = t(s), prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

15

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(3.28)

Din∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ Ð→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 1

prin derivare obtinemÐ→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 0

asadar vectorii Ð→r (s) si Ð→r (s) sunt ortogonali. Folosind aceste proprietati,obtinem din (3.27) urmatoarele expresii pentru versorii triedrului Frenet:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ = Ð→rÐ→ν =

Ð→r∥Ð→r ∥

Ð→β =

Ð→r × Ð→r∥Ð→r ∥

(3.29)

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe ın spatiu Γ si M un punct arbitraral curbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ınM0 si M la curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

Definitia 3.17. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

La fel ca si pentru curbe plane, se poate demonstra ca

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Fie M0 un punct ordinar si neinflexionar al unei curbe ın spatiu Γ de clasaC3 si M un punct arbitrar al curbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ϕunghiul dintre binormalele ın M0 si M la curba si cu ∆s lungimea arculuide curba M0M .

Definitia 3.18. Torsiunea curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

T= lim

∆s→0∣∆ϕ∆s

∣

T se numeste raza de torsiune a curbei Γ ın punctul M0 .

16

Se poate demonstra ca

1

T=

(Ð→r , Ð→r ,...Ð→r )

∥Ð→r ∥2=

(Ð→r ′,Ð→r ′′,Ð→r ′′′)∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥2

.

Derivatele versorilor triedrului Frenet ın raport cu parametrul natural spot fi scrise astfel:

Ð→τ = 1

RÐ→ν (3.30)

Ð→ν = − 1

RÐ→τ + 1

T

Ð→β (3.31)

Ð→β = − 1

TÐ→ν (3.32)

ecuatii care se numesc formulele lui Frenet.

3.3 Suprafete

3.3.1 Generalitati

O suprafata S poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2. (3.33)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2. (3.34)

3. Reprezentare carteziana explicita:

z = f(x, y), (x, y) ∈D ⊂ R2. (3.35)

4. Reprezentare carteziana implicita:

F (x, y, z) = 0. (3.36)

17

Definitia 3.19. Spunem ca functia vectoriala

Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k

este de clasa Ck daca are derivate partiale continue pana la ordinul k in-clusiv.

� functia vectoriala Ð→r (u, v) este de clasa Ck daca toate componentelesale sunt de clasa Ck;

� u si v se numesc parametri sau coordonate curbilinii pe suprafata;

� un punct M0 ∈ S este unic determinat de coordonatele sale curbiliniiu = u0 si v = v0.

Definitia 3.20. Spunem ca o suprafata S data prin reprezentarea vectoriala(3.34) este o suprafata elementara daca sunt satisfacute conditiile:

1. suprafata este de clasa C1

2. ecuatia Ð→r =Ð→r (u, v) realizeaza o corespondenta biunivoca ıntre multimeapunctelor de pe suprafata si multimea perechilor (u, v) ∈D

3. Ð→r ′u ×Ð→r ′v ≠Ð→0 , ∀(u, v) ∈D

Definitia 3.21. Punctul M0(u0, v0) se numeste punct ordinar al unei

suprafete S de clasa C1 daca Ð→r ′u ×Ð→r ′v(M0) ≠ Ð→0 . In caz contrar, punctulM0 se numeste punct singular al suprafetei S.

Fie o suprafata elementara S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2.

O curba pe suprafata S este reprezentata ın mod analog curbelor plane,dar folosind coordonatele curbilinii u si v ın locul coordonatelor cartezienex, y:

1. parametric:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

, t ∈ [a, b];

2. explicit: u = ϕ(v) sau v = ψ(u);

3. implicit: g(u, v) = 0.

18

Pentru o curba Γ de pe suprafata S reprezentata parametric,

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)) , t ∈ [a, b]

reprezinta ecuatia vectoriala a curbei Γ ın spatiu.O curba Γ de pe suprafata S data prin ecuatia explicita u = ϕ(v) sau

v = ψ(u) are ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (ϕ(v), v) sau Ð→r =Ð→r (u,ψ(u)).In particular, daca functia ϕ (sau ψ) este constanta, pe curbele corespun-

zatoare de pe suprafata S variaza doar v (respectiv u).Notam cu Γ0

u curba de pe suprafata S corespunzatoare lui v = v0 si avandecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (u, v0), respectiv cu Γ0

v curba de pe suprafata Scorespunzatoare lui u = u0 si avand ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (u0, v).

Curbele Γ0u si Γ0

v se numesc curbe de coordonate sau curbe carac-teristice pe suprafata S.

Fiecare punct M0 (Ð→r (u0, v0)) este intersectia a doua curbe de coordonate.

3.3.2 Plan tangent si normala la o suprafata

In continuare vom presupune ca suprafata S precum si curbele de pe a aceastasuprafata sunt de clasa C1.

Fie suprafata S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2,

punctul M0 ∈ S si Γ o curba arbitrara pe S care trece prin M0. Pentru oparametrizare u = u(t), v = v(t) a curbei Γ, obtinem ecuatia vectoriala ınspatiu a curbei Γ:

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t))Notam cu t0 valoarea parametrului t care corespunde punctului M0 pe curbaΓ si cu u0 = u(t0), v0 = v(t0) coordonatele curbilinii ale punctului M0 pesuprafata S.

Tangenta ın M0 la curba Γ are directia data de vectorul

Ð→r ′(t0) =∂Ð→r∂u

(u0, v0) ⋅ u′(t0) +∂Ð→r∂v

(u0, v0) ⋅ v′(t0).

Vectorii Ð→r 0u =

∂Ð→r∂u

(u0, v0) si Ð→r 0v =

∂Ð→r∂v

(u0, v0) depind doar de suprafata S si

de punctul M0 ∈ S, iar vectorul director al tangentei la orice curba de pe Scare trece prin M0 este o combinatie liniara de acesti doi vectori.

Definitia 3.22. Se numeste plan tangent la suprafata S ın punctul M0

planul determinat de vectorii Ð→r 0u si Ð→r 0

v.

19

Observatie: Vectorii Ð→r 0u si Ð→r 0

v sunt chiar vectorii directori ai tangentelorla curbele de coordonate de pe S care trec prin M0.

Ecuatia planului tangent ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0)∂x

∂u(u0, v0)

∂y

∂u(u0, v0)

∂z

∂u(u0, v0)

∂x

∂v(u0, v0)

∂y

∂v(u0, v0)

∂z

∂v(u0, v0)

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

sau echivalentA(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde

A = ∣∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣ (M0), B = ∣∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

∣ (M0), C = ∣∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣ (M0)

iar (x0, y0, z0) sunt coordonatele carteziene ale lui M0.Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), folosind

parametrizarea⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

obtinem ecuatia planului tangent

p(x − x0) + q(y − y0) − (z − z0) = 0

unde p = ∂f∂x(x0, y0) si q = ∂f

∂y (x0, y0).Daca suprafata S este data prin ecuatia implicita F (x, y, z) = 0, obtinem

ecuatia planului tangent

∂F

∂x(M0)(x − x0) +

∂F

∂y(M0)(y − y0) +

∂F

∂z(M0)(z − z0) = 0

Definitia 3.23. Se numeste normala la suprafata S ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈ Sdreapta perpendiculara pe planul tangent la S ın M0.

In functie de tipul reprezentarii suprafetei S, ecuatia normalei este:

1. parametric x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v):

x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

20

2. explicit z = f(x, y):x − x0

p= y − y0

q= z − z0

−1

3. implicit F (x, y, z) = 0:

x − x0

F ′x= y − y0

F ′y= z − z0

F ′z

Exemplu 1:Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u + vın punctul M0(u0 = 1, v0 = 0).

Coordonatele carteziene: M0(1,0,1). Derivatele partiale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u = cos v

y′u = sin v

z′u = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u(1,0) = 1

y′u(1,0) = 0

z′u(1,0) = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v = −u sin v

y′v = u cos v

z′v = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v(1,0) = 0

y′v(1,0) = 1

z′v(1,0) = 1

Planul tangent:

RRRRRRRRRRRRRR

x − 1 y z − 11 0 10 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇔ −x − y + z = 0

Normala:x − 1

−1= y

−1= z − 1

1Exemplu 2:

Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

z(x2 + y2) − 1 = 0 ın punctul M0 (1,1,1

2) .

Derivatele partiale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x = 2xz∂F∂y = 2yz∂F∂z = x2 + y2

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x (M0) = 1∂F∂y (M0) = 1∂F∂z (M0) = 2

Planul tangent:

1 ⋅ (x − 1) + 1 ⋅ (y − 1) + 2 ⋅ (z − 1

2) = 0⇔ x + y + 2z − 3 = 0

Normala:x − 1

1= y − 1

1=z − 1

2

2

21

3.3.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie suprafata S data prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2

sau prin ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2

si o curba oarecare Γ pe S de ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

.

Definitia 3.24. Se numeste prima forma fundamentala a suprafetei Spatratul elementului de arc (ds2) al curbei Γ de pe suprafata S.

Ecuatia vectoriala a curbei Γ este Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)). Avem:

∥dÐ→rds

∥ = 1⇔ ds = ∥dÐ→r ∥⇔ ds2 = dÐ→r ⋅ dÐ→r

InlocuinddÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv

obtinemdÐ→r ⋅ dÐ→r = ∥Ð→r ′u∥2du2 + 2Ð→r ′uÐ→r ′vdudv + ∥Ð→r ′v∥2dv2

asadar prima forma fundamentala este forma patratica

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = ∥Ð→r ′u∥2 =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′uF =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′vG = ∥Ð→r ′v∥2 =Ð→r ′v ⋅Ð→r ′v

E, F si G se numesc coeficientii primei forme fundamentale saucoeficientii lui Gauss .

Scriind vectorii Ð→r ′u si Ð→r ′v pe componente si calculand produsele scalaregasim

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = (x′u)2 + (y′u)2 + (z′u)2

F = x′ux′v + y′uy′v + z′uz′vG = (x′v)2 + (y′v)2 + (z′v)2

22

Pentru o suprafata S data prin ecuatia explicita

z = f(x, y)

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = 1 + p2

F = pqG = 1 + q2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia implicita

F (x, y, z) = 0

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E = (F ′x)2 + (F ′z)2

(F ′z)2

F =F ′x ⋅ F ′y(F ′z)2

G =(F ′y)2 + (F ′z)2

(F ′z)2

Lungimea unui arc de curba Γ ⊂ S cuprins ıntre punctele M1(t1) si M2(t2)este

t2

∫t1

ds =t2

∫t1

√E (du

dt)

2

+ 2Fdu

dt⋅ dvdt

+G(dvdt

)2

dt

Definitia 3.25. Fie Γ1 si Γ2 doua curbe pe suprafata S care se intersecteazaın punctul M de pe suprafata. Unghiul θ dintre tangentele duse la cele douacurbe ın M se numeste unghiul dintre curbele Γ1 si Γ2 pe suprafata S.

Vom nota cu d deplasarea de-a lungul curbei Γ1 si cu δ deplasarea de-alungul curbei Γ2. Vectorii dÐ→r si δÐ→r dau directiile tangentelor la cele douacurbe ın punctul M , asadar avem:

cos θ = dÐ→r ⋅ δÐ→r∥dÐ→r ∥ ⋅ ∥δÐ→r ∥

Inlocuind

dÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv si δÐ→r =Ð→r ′uδu +Ð→r ′vδv

23

obtinem:

dÐ→r ⋅ δÐ→r = (Ð→r ′u)2duδu +Ð→r ′uÐ→r ′v(duδv + δudv) + (Ð→r ′v)2dvδv

= Eduδu + F (duδv + δudv) +GdvδvdÐ→r 2 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

δÐ→r 2 = δs2 = Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

cos θ = Eduδu + F (duδv + δudv) +Gdvδv√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ⋅

√Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

unde E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale calculati ın punctulM comun celor doua curbe.

In particular pentru curbele de coordonate Γ1 ∶ u = u0 si Γ2 ∶ v = v0, gasimdu = 0 si δv = 0, iar cosinusul unghiului dintre cele doua curbe devine

cos θ = F√E ⋅G

.

Definitia 3.26. Se numeste element de arie pe suprafata S ın punctulM ∈ S, notat cu dσ, aria paralelogramului construit pe vectorii Ð→r ′udu siÐ→r ′vdv cand cresterile parametrilor du si dv au acelasi semn.

Avem:

dσ = ∥Ð→r ′udu ×Ð→r ′vdv∥ = ∥Ð→r ′u ×Ð→r ′v∥dudv=

√A2 +B2 +C2dudv

=√EG − F 2dudv

Daca suprafata este data prin ecuatie carteziana explicita z = f(x, y),elementul de arie este

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy.

3.4 Exercitii

1. Fie curba C ∶ Ð→r (t) = (t2 + 3t)Ð→i + (t2 + 2t)Ð→j . Sa se afle:

(a) intersectiile curbei cu axele de coordonate

(b) intersectiile curbei cu prima bisectoare

(c) ecuatia carteziana implicita a curbei

(d) ecuatia tangentei ın punctul M0(t0 = −2)

24

2. Sa se scrie ecuatia tangentei si normalei la curba data ın punctul indi-cat:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = t3

1 − t2y = 1 + t2

1 − t2, A(t0 = 2)

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, A(t0 = 2)

(c) y = x3 + 2x2 − 4x + 3, M0(−2,5)(d) y = x lnx + 1, M0(x = 1)(e) x3 + 3x2y − y2 − 2x + 9 = 0, A(2,−1)(f) x3 − xy2 + 2x + y − 3 = 0, A(y = 0)

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei si normalei la elipsa

x2

4+ y2 − 1 = 0

ın punctul M0 (√

3, 12)

4. Sa se calculeze elementul de arc si lungimea arcului de curba AB pentrucurbele:

(a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a(t − sin t)y = a(1 − cos t)

, A(t = 0), B(t = 2π)

(b) y2 = 4x, A(0,0), B(1,2)(c) ρ = a sin3 θ

3 , A(θ = 0), B (θ = 3π2)

5. Sa se calculeze curbura urmatoarelor curbe ın punctele indicate:

(a) Ð→r (t) = t2Ð→i + t3Ð→j , A(1,1)R: 6

13√

13

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = sin t

y = t cos t, M (t = π

2)

R: 4π2

(c) y = x3 − x2 + 2x − 2, A(1,0)R: 2

5√

10

(d) y = x2 − 1, M(1,0)R: 2

5√

5

25

(e) ρ = a sin 2θ, M (θ = π4)

6. Sa se determine ınfasuratoarea urmatoarelor familii de curbe:

(a) αx − α2y − 1 = 0R: x2 = 4y

(b) α2x − (α − 1)y + 2 = 0R: y2 − 4xy − 8x = 0

(c) (α2 − 1)x − 2αy + 2α2 − 1 = 0R: x3 + xy2 + 4x2 + 3y2 + 4x + 4y+ = 0

(d) (x − α)2 + y2 = 4αR: y2 + 4x + 4 = 0

7. Sa se scrie ecuatiile tangentei si ecuatia planului normal la curba C ınpunctul specificat:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

z = 1x3

;A(1,1,1)

(c) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a cos2 t

y = a sin t cos t

z = a sin t

; M0 (t = π4)

(d) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + z2 − 4 = 0

x2 + y2 − 4 = 0; M0(

√3,1,1)

(e) (C) ∶Ð→r (t) = tÐ→i + t2Ð→j + t3Ð→k ; A(2,4,8)

8. Sa se calculeze versorii triedrului Frenet ın urmatoarele cazuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = z

; A(1,1,1)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = et(Ð→i cos t +Ð→j sin t +Ð→k )

26

9. Sa se scrie ecuatiile muchiilor si fetelor triedrului Frenet ın urmatoarelecazuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = −tz = t2

2

; M0(t0 = 2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 2√

2 cos t

y = 2 + 2 sin t

z = 2(1 − sin t); M0(0,4,0)

10. Sa se calculeze elementul de arc pentru curba

(C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = t2z = 2t3

3

11. Sa se calculeze lungimea arcului (AB), unde:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = et cos t

y = et sin tz = et

, A(t = 0), B (t = π2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

2

z = x3

6

, A(x = 0), B(x = 6)

(c) (C) ∶Ð→r (t) = a cos tÐ→i + a sin t

Ð→j + btÐ→k , A(t = 0),B(t = 1)

12. Sa se afle versorii triedrului Frenet, curbura si torsiunea la curba (C)ın punctul indicat:

(a) (C) ∶ Ð→r (t) = (2t − 1)Ð→i + t3Ð→j + (1 − t2)Ð→k , M0(t = 0)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = cos t

y = sin t

z = t2

2

, A(t = 0)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = t cos tÐ→i + t sin tÐ→j + atÐ→k ın origine.

13. Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata Sın punctul specificat:

27

(a) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v + 1)Ð→i + (u2 − v + 1)Ð→j + (uv + 2)Ð→k ,M0(u = 1, v = −1)

(b) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + uvy = u + u2v

z = u2 + u3v

, M0(3,3,3)

(c) (S) ∶ z = x2 + y2, M0(1,−2,5)(d) (S) ∶ x2 + y2 + z2 + 2xy + 4xz + 2x + 4y − 6z + 8 = 0, M0(0,0,2)

(e) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u − v)2Ð→i + (u2 − 3v2)Ð→j + v(u − 2v)

Ð→k2 , M0(u =

1, v = 0)(f) (S) ∶ z = x3 + y3, M1(1,2,9), M2(1,1,2)(g) (S) ∶ x2

16 +y2

9 − z2

8 = 0, M0(4,3,4)

14. Sa se scrie prima forma fundamentala a urmatoarelor suprafete:

(a) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u2

(b) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v)Ð→i + (u + v2)Ð→j + (u + v)Ð→k(c) (S) ∶ z = xy2

(d) (S) ∶ x2

a2 +y2

b2 + z2

c2 − 1 = 0

(e) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = a ⋅ v(f) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − a2 = 0

15. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k .

(a) Sa se scrie prima forma fundamentala a suprafetei S;

(b) Sa se scrie elementul de arc pentru curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1si (C3) ∶ v = au;

(c) Sa se calculeze lungimea arcului curbei C3 cuprins ıntre punctelecorespunzatoare lui u = 1 si u = 2.

16. Sa se calculeze elementul de arie pentru suprafetele:

28

(a) Ð→r (u, v) = u + v2

Ð→i + u − v

2

Ð→j + uv

2

Ð→k ;

(b) Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k ;

(c) xyz = 2.

17. Se considera suprafata

Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + (u + v)Ð→k

Sa se calculeze unghiul dintre curbele de coordonate pe aceasta suprafata.Pentru ce curbe de coordonate este acest unghi de 600?

18. Fie suprafata

(S) ∶Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 1, (C2) ∶ v = u si (C3) ∶v = −u. Sa se calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniudeterminat pe suprafata S de aceste curbe.

19. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si (C3) ∶u = v. Sa se calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniudeterminat pe suprafata S de aceste curbe.

29