Capitolo 7 Integrale di Riemann · 2020. 11. 17. · Integrale di Riemann In questo capitolo svilupperemo la teoria dell’integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile

Capitolo 7

Integrale di Riemann

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell’integrazione secondo Riemann per funzionidi una variabile reale.

7.1 Motivazioni

Consideriamo i seguenti problemi.

1. Calcolo di un’area. Sia f : [a, b] ! R una funzione continua e positiva il cui grafico siaquello rappresentato in figura.

x

y

a b

L’area A della figura compresa tra il grafico di f e il segmento [a, b] riportato sull’as-se delle x non e calcolabile elementarmente se il grafico di f non e rettilineo. Un modoper calcolare A puo essere quello di usare il seguente processo di approssimazione. Di-vidiamo l’intervallo [a, b] tramite dei punti di suddivisione x1, x2, . . . , xn e poniamo percomodita x0 = a e xn+1 = b. Sia Ij l’intervallo [xj, xj+1]. Se Ij e abbastanza piccolo, lavariazione di f su Ij sara piccola, cioe f sara approssimativamente costante. Sia ⇠j 2 Ij:

165

7.1. MOTIVAZIONI A.A. 2020-2021

un’approssimazione dell’area Aj sottesa da f su Ij e dunque

Aj ⇡ f(⇠j)(xj+1 � xj).

Concludiamo che un’approssimazione di A e data dalla somma delle Aj, cioe

(7.1) A ⇡ A =nX

j=0

f(⇠j)(xj+1 � xj).

Se la scelta dei punti di suddivisione e operata in modo da risultare abbastanza fitta, ci siaspetta che A sia una buona approssimazione di A: anzi, piu la suddivisione e fitta, piu Asi avvicinera ad A.

x

y

a x1 bx2

y = f(x)

2. Calcolo della massa di una trave. Consideriamo una trave di lunghezza L riportatasull’asse reale in modo che un estremo sia in x = 0 e l’altro in x = L. Sia ⇢(x) la densita dimassa per unita di lunghezza nel punto x 2 [0, L]: cio significa che una piccola zona dilunghezza " vicino a x ha massa

m" ⇡ ⇢(x)".

x0 L

La funzione ⇢(x) non e supposta continua: in questo modo e possibile tenere conto delfatto che la trave sia composta di diversi materiali nelle sue diverse parti, un caso chepuo essere utile nelle applicazioni.

Un’approssimazione della massaM della trave puo ottenersi nel seguente modo: sceglia-mo dei punti di suddivisione x1, x2, . . . , xn, ponendo per comodita x0 = 0 e xn+1 = L, ed in-cludendo in essi i punti di discontinuita di ⇢. Se l’intervallo Ij = [xj, xj+1] e su�cientementepiccolo, la massa del tratto Ij e data circa da

mj ⇡ ⇢(⇠j)(xj+1 � xj)

166

A.A. 2020-2021 7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE

dove ⇠j e un punto di Ij, ad esempio il suo punto medio. Dunque un’approssimazione dellamassa M della trave e data dall’espressione

M ⇡ M =nX

j=0

⇢(⇠j)(xj+1 � xj).

All’infittirsi della suddivisione, M diverra un’approssimazione sempre migliore di M . Ab-biamo ottenuto un risultato simile a quello della formula (7.1).

7.2 Definizione di integrale

Sia [a, b] ✓ R un intervallo limitato con a < b, e sia f : [a, b] ! R una funzione limitata,cioe esiste una costante M � 0 tale che per ogni x 2 [a, b]

�M f(x) M.

Diamo ora una formulazione matematica rigorosa delle idee viste nella sezione precedente.

1. Diciamo che S = {x0, x1, . . . , xn+1} e una suddivisione di [a, b] se

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 = b.

2. Sia ⇠j 2 [xj, xj+1]: diremo che la quantita

nX

j=0

f(⇠j)(xj+1 � xj)

e una somma di Riemann di f relativa alla suddivisione S. Come visto nella sezioneprecedente, le somme di Riemann nascono in modo naturale nelle applicazioni.

3. Poniamo

⌃0(f, S) =nX

j=0

inf

x2[xj ,xj+1]f(x)

�(xj+1 � xj)

e

⌃00(f, S) =nX

j=0

"sup

x2[xj ,xj+1]f(x)

#(xj+1 � xj)

I numeri reali ⌃0(S, f) e ⌃00(S, f) si chiamano rispettivamente somma inferiore e sommasuperiore associate alla funzione f e alla suddivisione S. Chiaramente, ogni somma diRiemann relativa a S e compresa tra ⌃0(f, S) e ⌃00(f, S).

167

7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE A.A. 2020-2021

x

y

a bx1

y = f(x)

4. Diciamo che una suddivisione T e un ra�namento della suddivisione S se T contiene ipunti di suddivisione di S, cioe S ✓ T . In tal caso si ha che

⌃0(f, S) ⌃0(f, T ) e ⌃00(f, S) � ⌃00(f, T ).

E’ facile capire queste relazioni nel caso in cui T si ottiene da S aggiungendo un puntodi suddivisione ⇠: il risultato generale discende da questo, aggiungendo un punto allavolta. Se S = {a, x1, b} e T = {a, x1, ⇠, b} si ha per le somme inferiori quanto mostratoin figura. Dunque ”ra�nando” la suddivisione di [a, b] la somma inferiore cresce, mentrequella superiore decresce.

x

y

a bx1 x

y

a b⇠x1

5. PoniamoI 0(f) = sup

S⌃0(f, S) e I 00(f) = inf

S⌃00(f, S).

I numeri reali I 0(f) e I 00(f) si dicono rispettivamente integrale inferiore e integralesuperiore di f su [a, b].

168

A.A. 2020-2021 7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE

Abbiamo immediatamente la disuguaglianza I 0(f) I 00(f).

6. Possiamo ora dare la definizione di integrabilita nel senso di Riemann.

Definizione 7.1 (Integrabilita secondo Riemann). Siano a, b 2 R con a < b, e sia

f : [a, b] ! R una funzione limitata. Diciamo che f e integrabile secondo Riemann se

I 0(f) = I 00(f). Tale valore si dice l’integrale di f sull’intervallo [a, b] e si indica con i

simboli Z b

a

f(x) dx oppure

Z b

a

f dx,

Poiche in questo corso useremo solo l’integrazione secondo Riemann, ometteremo diindicare che l’integrabilita e intesa nel senso di Riemann.

Osservazione 7.2 (Interpretazione geometrica). Se f e positiva,R b

a f(x) dx puo interpretarsicome l’area compresa tra l’asse delle ascisse e il grafico di f .

x

y

y = f(x)

ba

Nel caso in cui f(x) 0 per ogni x 2 [a, b],R b

a f(x) dx rappresenta l’area tra f e l’asse

delle ascisse ma con il segno negativo. Se f cambia segno sull’intervallo [a, b],R b

a f(x) dxtiene conto del ”bilanciamento” tra le aree positive e quelle negative.

x

y

y = f(x)

b

a

169

7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE A.A. 2020-2021

7. La seguente proposizione contiene una caratterizzazione della classe delle funzioni integra-bili.

Proposizione 7.3 (Condizione necessaria e su�ciente per l’integrabilita ). Sianoa, b 2 R con a < b, e sia f : [a, b] ! R una funzione limitata. Allora f e integrabile se e

solo se per ogni " > 0 esiste una suddivisione S" di [a, b] tale che

(7.2) ⌃00(f, S")� ⌃0(f, S") < ".

Dimostrazione. Supponiamo che f sia integrabile, cioe che si abbia I 0(f) = I 00(f). Sia" > 0. Possiamo trovare due suddivisioni T1 e T2 di [a, b] tali che

I 0(f) < ⌃0(f, T1) +"

2e ⌃00(f, T2) < I 00(f) +

"

2.

Considerando la suddivisione S" = T1 [ T2 si ha

I 0(f) < ⌃0(f, S") +"

2e ⌃00(f, S") < I 00(f) +

"

2.

Otteniamo⌃00(f, S") < I 00(f) +

"

2= I 0(f) +

"

2< ⌃0(f, S") +

"

2+

"

2da cui

⌃00(f, S")� ⌃0(f, S") < ".

Dunque S" e la suddivisione cercata.Viceversa supponiamo che per ogni " > 0 esista una suddivisione S" di [a, b] tale che

⌃00(f, S")� ⌃0(f, S") < ".

Allora si haI 00(f) ⌃00(f, S") < ⌃0(f, S") + " I 0(f) + ".

Poiche " e arbitrario, si ha I 00(f) I 0(f). Poiche e sempre I 0(f) I 00(f), si ottieneI 0(f) = I 00(f), cioe f e integrabile.

Osservazione 7.4. Geometricamente possiamo interpretare il risultato in questo modo:f e integrabile se e solo se il suo grafico puo ricoprirsi con un numero finito di rettangoliassociati ad una suddivisione la somma delle cui aree e piccola a piacere.

x

y

a x1 x2 x3 x4 x5 b

170

A.A. 2020-2021 7.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Osservazione 7.5. Sia S" una suddivisione di [a, b] tale che valga (7.2), e sia

⌃ =nX

j=0

f(⇠j)(xj+1 � xj)

una somma di Riemann associata a S". Dalle disuguaglianze

⌃0(f, S") ⌃ ⌃00(f, S")

e

⌃0(f, S") Z b

a

f(x) dx ⌃00(f, S")

ricaviamo la disuguaglianza

(7.3)

��Z b

a

f(x) dx� ⌃

�� < ".

Dunque una qualsiasi somma di Riemann relativa a S" fornisce una buona approssimazionedell’integrale di f su [a, b].

7.3 Classi di funzioni integrabili

In questa sezione vediamo che la classe di funzioni integrabili e molto ampia, tanto dacoprire essenzialmente tutte le funzioni interessanti nelle applicazioni.

1. Poniamo la seguente definizione.

Definizione 7.6 (Oscillazione). Siano I un intervallo e f : I ! R una funzione. Per

ogni intervallo J ✓ I poniamo

osc(f, J) := supJ

f � infJf.

Diciamo osc(f, J) l’oscillazione di f sull’intervallo J .

x

y

J

osc(f, J)

171

7.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI A.A. 2020-2021

Vale il seguente risultato.

Teorema 7.7 (Heine). Siano a, b 2 R e f : [a, b] ! R una funzione continua. Allora per

ogni " > 0 esiste ` > 0 tale che per ogni intervallo J ✓ [a, b] di lunghezza minore di ` si ha

osc(f, J) < ".

Dimostrazione. Procediamo per assurdo. Supponiamo che esista " > 0 tale che per ogni` > 0 possiamo trovare un intervallo J` di lunghezza minore di ` con

osc(f, J`) � ".

Scegliamo ` = 1n con n � 1 e indichiamo con Jn l’intervallo associato. Sia poi xn 2 Jn. Per

il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esistono (xnk) sottosuccessione di (xn) e x0 2 [a, b] con

xnk! x0. Grazie alla continuita di f in x0, esiste � > 0 tale che per ogni x 2]x0� �, x0+ �[

(e x 2 [a, b]) si ha

|f(x)� f(x0)| <"

3.

Notiamo che per n grande si ha Jn ✓]x0 � �, x0 + �[. Se dunque y, z 2 Jn si ha

|f(y)� f(z)| |f(y)� f(x0)|+ |f(x0)� f(z)| < 2

3",

e dunque (passando al sup in y e all’inf in z)

osc(f, Jn) 2

3"

che contraddice l’ipotesi osc(f, Jn) � ".

2. Ritorniamo alla questione dell’integrabilita di una funzione. E conveniente scrivere ladi↵erenza tra una somma superiore ed una somma inferiore nel seguente modo

⌃00(f, S)� ⌃0(f, S) =nX

j=0

⇥sup

[xj ,xj+1]f⇤(xj+1 � xj)�

nX

j=0

⇥inf

[xj ,xj+1]f⇤(xj+1 � xj)

=nX

j=0

⇥sup

[xj ,xj+1]f � inf

[xj ,xj+1]f⇤(xj+1 � xj) =

nX

j=0

osc(f, [xj, xj+1]) · (xj+1 � xj).


Teorema 7.8 (Integrabilita delle funzioni continue). Sia f : [a, b] ! R continua.

Allora f e integrabile.

172

A.A. 2020-2021 7.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI

Dimostrazione. Sia " > 0. Dividiamo [a, b] in n-intervalli uguali con n cosı grande che suogni sottointervallo [xj, xj+1] della suddivisione S associata si abbia

osc(f, [xj, xj+1]) <"

b� a.

Cio e possibile essendo f continua per il teorema di Heine. Si ha allora vista la riscritturadi ⌃00(f, S)� ⌃0(f, S) in termini di oscillazione

⌃00(f, S)� ⌃0(f, S) =X

j

osc(f, [xj, xj+1])(xj+1 � xj)

<"

b� a

X

j

(xj+1 � xj) ="

b� a(b� a) = ".

Dunque f soddisfa alla condizione necessaria e su�ciente per l’integrabilita .

Osservazione 7.9. In termini geometrici, possiamo dire che il grafico di f : [a, b] ! Rcontinua puo ricoprirsi con un numero finito di rettangoli associati ad una suddivisione lasomma delle cui aree e piccola a piacere.

3. Siamo pero interessati ad integrare anche funzioni discontinue (come nell’esempio del cal-colo della massa). Una classe di funzioni discontinue molto utili nelle applicazioni sono lefunzioni continue a tratti.

Definizione 7.10 (Funzioni continue a tratti). Diciamo che f : [a, b] ! R e continua

a tratti se esiste una suddivisione S = {x0, x1, . . . , xn+1} di [a, b] tale che f e continua su

ogni intervallo aperto ]xj, xj+1[ ed esistono finiti i limiti

limx!x+

j

f(x) e limx!x�

j+1

f(x).

Un grafico tipico di funzioni continue a tratti e il seguente.

x

y

a c b

173

7.4. PROPRIETA DELL’INTEGRALE A.A. 2020-2021

Poiche il grafico delle funzioni continue a tratti e contenuto nell’unione di un numerofinito di grafici di funzioni continue e di un insieme finito di punti, l’integrabilita dellefunzioni continue implica immediatamente il seguente risultato.

Teorema 7.11 (Integrabilita delle funzioni continue a tratti). Sia f : [a, b] ! Rcontinua a tratti. Allora f e integrabile.

x

y

a c b

Osservazione 7.12 (Funzione di Dirichlet). Non tutte le funzioni limitate sono inte-grabili. Ad esempio non lo e la funzione f : [0, 1] ! R data da

f(x) =

(1 se x e razionale

0 se x e irrazionale

poiche I 0(f) = 0 e I 00(f) = 1. f e detta funzione di Dirichlet.

7.4 Proprieta dell’integrale

Vediamo ora alcune proprieta del calcolo integrale molto utili nelle applicazioni.

1. Siano a, b 2 R con a < b e f, g : [a, b] ! R due funzione integrabili, e siano ↵, �,� 2 R. Sipuo innanzitutto dimostrare che le funzioni

f + g, �f, |f |

e la restrizione di f a qualsiasi sottointervallo sono a loro volta integrabili. Inoltre valgonole seguenti proprieta .

(a) Linearita : per ogni ↵, � 2 RZ b

a

(↵f(x) + �g(x)) dx = ↵

Z b

a

f(x) dx+ �

Z b

a

g(x) dx;

174

A.A. 2020-2021 7.4. PROPRIETA DELL’INTEGRALE

(b) Confronto: se f(x) g(x) per ogni x 2 [a, b], si ha

Z b

a

f(x) dx Z b

a

g(x) dx;

(c) Suddivisione: se c 2]a, b[Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx;

(d) Confronto con il modulo:

��Z b

a

f(x) dx

�� Z b

a

|f(x)| dx.

2. Se la funzione f e definita su un intervallo simmetrico rispetto all’origine, cioe del ti-po [�a, a] con a > 0, e f possiede particolari simmetrie, esse si riflettono sul calcolodell’integrale. Se f : [�a, a] ! R e una funzione pari (cioe f(�x) = f(x)), allora

Z a

�a

f(x) dx = 2

Z a

0

f(x) dx.

x

y

�a b

Se invece f e una funzione dispari (cioe f(�x) = �f(x)) si ha

Z a

�a

f(x) dx = 0.

175

7.5. LA MEDIA INTEGRALE A.A. 2020-2021

x

y

�a

b

7.5 La media integrale

L’integrale puo essere usato per fornire una generalizzazione del concetto di media pergrandezze che variano.

1. Per capire il collegamento tra l’integrale ed il concetto di media, torniamo al caso dellefunzioni continue. Abbiamo visto che esse sono integrabili considerando la suddivisioneS di [a, b] in n intervalli uguali di ampiezza (b � a)/n e vedendo che relativamente adessa, somma inferiore e somma superiore si scostano di una quantita sempre piu piccolaal crescere di n. Scegliamo un punto ⇠i qualsiasi all’interno dell’i-esimo intervallo: perdefinizione di somma inferiore e superiore abbiamo la disuguaglianza

⌃0(f, S) f(⇠1)b� a

n+ f(⇠2)

b� a

n+ · · ·+ f(⇠n)

b� a

n ⌃00(f, S).

Poiche ⌃0(f, S) e ⌃00(f, S) sono sempre piu vicini tra loro e vicini all’integrale di f al cresceredi n, concludiamo che per n sempre piu grande la quantita

f(⇠1) + f(⇠2) + · · ·+ f(⇠n)

n(b� a) ⇡

Z b

a

f(x) dx

e cioef(⇠1) + f(⇠2) + · · ·+ f(⇠n)

n⇡ 1

b� a

Z b

a

f(x) dx.

Dunque l’integrale di f diviso per b � a rappresenta una sorta di media aritmetica deivalori della f (i valori di f sono infiniti, noi abbiamo operato in un certo senso uncampionamento).

2. In base a quanto visto, siamo portati a dare la seguente definizione.

176

A.A. 2020-2021 7.5. LA MEDIA INTEGRALE

Definizione 7.13 (Media integrale). Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile.

Diciamo media integrale di f su [a, b] il valore

Mf =1

b� a

Z b

a

f(x) dx.

Osservazione 7.14. Scrivendo la relazione precedente nella formaZ b

a

f(x) dx = Mf (b� a),

deduciamo che Mf ha il seguente significato geometrico: tenendo conto della convenzionesui segni sulle aree, l’area associata al grafico di f e equivalente ad un rettangolo di baseb� a e altezza Mf .

Osservazione 7.15. Notiamo che

inf[a,b]

f Mf sup[a,b]

f.

Infatti dalla disuguaglianza

inf[a,b]

f f(x) sup[a,b]

f, x 2 [a, b]

otteniamo per confrontoZ b

a

inf[a,b]

f dx Z b

a

f(x) dx Z b

a

sup[a,b]

f dx

da cui

[inf[a,b]

f ](b� a) Z b

a

f(x) dx [sup[a,b]

f ](b� a).

Dividendo per (b� a) si ha la tesi.

Osservazione 7.16. Bisogna notare che se f e discontinua, il valore Mf e un valore medioin un senso molto debole. Non e detto infatti che esista x 2 [a, b] tale che f(x) = Mf : inaltre parole Mf potrebbe non essere mai assunto dalla funzione. Questa situazione capitaad esempio per la funzione riportata in figura:

x

y

1

2

1 2

177

7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO A.A. 2020-2021

Si ha infatti Mf = 3/2, ed f assume solo i valori 1 e 2.

3. Nel caso delle funzioni continue, la media integrale Mf e e↵ettivamente un valore assuntoda f .

Teorema 7.17 (Teorema della media). Sia f : [a, b] ! R una funzione continua. Allora

esiste c 2 [a, b] tale che f(c) = Mf e cioe

Z b

a

f(x) dx = f(c)(b� a).

Dimostrazione. Detti m e M il minimo e il massimo di f su [a, b], dall’Osservazione 7.15e dal Teorema di Weierstrass, abbiamo

m Mf M.

Per il teorema dei valori intermedi si ha che esiste c 2 [a, b] tale che f(c) = Mf , ed ilteorema e cosı dimostrato.

x

y

a b

f(c)

c

7.6 I teoremi fondamentali del calcolo

In questa sezione collegheremo il problema dell’integrazione al problema del calcolo dellaprimitiva di una funzione: in cio consistono i teoremi fondamentali del calcolo.

7.6.1 Il problema della primitiva

Poniamo la seguente definizione.

Definizione 7.18 (Primitiva). Sia I ✓ R un intervallo, e siano f : I ! R e F : I ! Rdue funzioni. Diciamo che F e una primitiva di f su I se F e derivabile su I e si ha

8x 2 I : F 0(x) = f(x).

178

A.A. 2020-2021 7.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO

Ad esempio, F (x) = x2 e una primitiva su R di f(x) = 2x, cosı come G(x) = sin(2x)2

e una primitiva su R di g(x) = cos(2x).

1. L’insieme delle primitive di f (se esistono) si usa indicare con il simbolo

Zf(x) dx;

la scelta del simbolo gia anticipa il legame con il problema dell’integrazione. Geometrica-mente, una primitiva F di f e una funzione tale che per ogni x0 2 I la tangente al graficodi F nel punto x0 e una retta il cui coe�ciente angolare e proprio pari a f(x0).

x

y y = F (x)

y = mx+ q con m = F0(x0) = f(x0)

x0

2. Il problema delle primitive puo enunciarsi cosı :

Problema della primitiva: determinare l’insieme di tutte le primitive su I della

funzione f : I ! R.

Tale problema non e a↵atto semplice: innanzitutto f potrebbe non ammettere primitive(vedi gli esercizi per un esempio esplicito); oppure potrebbe ammetterne, ma esse nonrisultano facili da calcolare esplicitamente. Una cosa che possiamo facilmente notare e chese f ammette una primitiva F , allora anche F + c, con c 2 R, e una primitiva di f : infattiderivando si ha che la costante sparisce, cosı che

(F + c)0(x) = F 0(x) = f(x).

Lo stesso fatto puo capirsi geometricamente in termini di traslazioni del grafico di F .

179


x

y

y = F (x)

x0

y = F (x) + c

x0

Infatti traslando in verticale il grafico di F , si ottiene una nuova curva tale che la rettatangente nel punto x0 ha chiaramente inclinazione pari ancora a f(x0): dunque la nuovafunzione e ancora una primitiva di f . Concludiamo che se l’insieme delle primitive e nonvuoto, esso contiene infinite funzioni, in particolare quelle ottenute sommando una costantearbitraria.

Su un intervallo I, questo e l’unico modo di costruire nuove primitive.

Proposizione 7.19 (Struttura dell’insieme delle primitive su un intervallo). SiaF una primitiva di f sull’intervallo I. Allora

Zf(x) dx = {F + c : c 2 R}

cioe ogni altra primitiva F di f e del tipo F (x) + c con c 2 R.Dimostrazione. Se infatti F e un’altra primitiva di f , si ha F 0 = F 0, da cui

(F � F )0 = 0.

Per il Teorema della derivata nulla si ha F = F + c con c 2 R.Osservazione 7.20. Possiamo dire che le primitive di f su un intervallo di↵eriscono peruna costante. Dunque per trovare tutte le primitive di una funzione su un intervallo, bastadeterminarne una.

Osservazione 7.21 (Il caso dell’unione di piu intervalli). Il ragionamento geometricosopra illustrato puo farci capire che la caratterizzazione dell’insieme delle primitive di fcome le funzioni del tipo F+c cessa di valere se il dominio di f non e un intervallo: se infattiil grafico di F si compone di piu pezzi, cioe il dominio e dato dall’unione di piu intervalli,allora ogni tratto del grafico puo essere traslato in maniera indipendente dagli altri. Diconseguenza la generica primitiva di f puo venire a dipendere da tante costanti arbitrarie.

180


x

y

x

y

Ad esempio la funzione

f(x) = � 1

x2

ammette come primitive tutte le funzioni della forma

F (x) =

(1x + c1 se x < 01x + c2 se x > 0

con in generale c1 6= c2.

3. Per formulare i teoremi fondamentali del calcolo, abbiamo bisogno delle seguenti conven-zioni sui segni. Se f : [a, b] ! R e integrabile e se ↵, � 2 [a, b] con ↵ < �, poniamo

Z ↵

↵

f(x) dx = 0 e

Z ↵

�

f(x) dx = �Z �

↵

f(x) dx.

Anche con questa convenzione abbiamo che per ogni ↵, �, � 2 [a, b] si haZ �

↵

f(x) dx =

Z �

↵

f(x) dx+

Z �

�

f(x) dx,

cioe vale ancora una formula di suddivisione per l’integrale.

7.6.2 Il primo teorema fondamentale del calcolo

Possiamo enunciare ora il primo teorema fondamentale del calcolo.

Teorema 7.22 (Primo Teorema Fondamentale del Calcolo). Siano I ✓ R un

intervallo e f : I ! R una funzione continua. Sia A : I ! R definita da

A(x) =

Z x

a

f(t) dt

181


dove a 2 I. Allora A e derivabile su I con A0 = f .In particolare, l’insieme delle primitive di f su I e dato da

Zf(x) dx = {A(x) + c : c 2 R}.

Dimostrazione. Notiamo che la funzione A e ben definita essendo f continua e dunqueintegrabile sull’intervallo di estremi a e x (con eventualmente la convenzione sui segni sex < a). La derivata di A in x0 2 I e data dal limite del rapporto incrementale

limx!x0

A(x)� A(x0)

x� x0.

Inoltre abbiamo che

A(x)� A(x0) =

Z x

a

f(t) dt�Z x0

a

f(t) dt

=

Z x0

a

f(t) dt+

Z x

x0

f(t) dt�Z x0

a

f(t) dt

=

Z x

x0

f(t) dt.

Se x > x0, per il teorema della media esiste ⇠x 2 [x0, x] tale cheZ x

x0

f(t) dt = f(⇠x)(x� x0).

Se x < x0, per la convenzione sui segni si haZ x

x0

f(t) dt = �Z x0

x

f(t) dt

cosı che per il teorema della media esiste ⇠x 2 [x, x0] tale cheZ x

x0

f(t) dt = �f(⇠x)(x0 � x) = f(⇠x)(x� x0).

Concludiamo che per ogni x (maggiore o minore di x0) esiste ⇠x appartenente all’intervallodeterminato da x0 e x tale che

A(x)� A(x0) = f(⇠x)(x� x0)

e cioeA(x)� A(x0)

x� x0= f(⇠x).

Facciamo ora tendere x ! x0: si ha ⇠x ! x0, ed essendo f continua f(⇠x) ! f(x0).Dunque si ha

limx!x0

A(x)� A(x0)

x� x0= f(x0),

182


cioe A e una primitiva di f .Essendo I un intervallo, abbiamo che ogni altra primitiva si ottiene da A(x) sommando

una costante. Dunque Zf(x) dx = {A(x) + c : c 2 R}

e la dimostrazione e conclusa.

Osservazione 7.23. Possiamo dire che il problema della primitiva per f : I ! R continuasi risolve tramite la teoria dell’integrazione (determinazione di A(x)).

Osservazione 7.24. Il risultato del primo teorema fondamentale del calcolo puo esserecapito tramite il seguente ragionamento geometrico: la quantita

A(x)� A(x0)

rappresenta l’area della regione Rx determinata da f sull’intervallo [x0, x].

x

y y = f(x)

x0 x

Rx e un poligono con un lato curvilineo, quello relativo al grafico di f che congiungei punti (x0, f(x0)) e (x, f(x)): essendo f continua, per (x � x0) piccolo il lato curvilineodi↵erisce poco da quello orizzontale ad altezza f(x0). L’area di Rx e dunque approssi-mativamente quella del rettangolo di base [x0, x] e altezza f(x0), e tale approssimazionee sempre migliore al tendere di x a x0. Ricaviamo

A(x)� A(x0) ⇡ f(x0)(x� x0)

da cui

limx!x0

A(x)� A(x0)

x� x0= A0(x0) = f(x0)

Questo ragionamento intuitivo mostra che il risultato del teorema e valido nella sola ipotesidella continuita di f in x0: per questo si vedano gli Esercizi.

183


7.6.3 Il secondo teorema fondamentale del calcolo

Guardiamo ora il legame tra primitiva ed integrazione osservato al punto precedente nelsenso opposto. Di questo si occupa il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo.

Teorema 7.25 (Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo). Siano I ✓ R un

intervallo, e sia f : I ! R una funzione continua. Se F e una primitiva di f su I, alloraper ogni a, b 2 I si ha Z b

a

f(x) dx = F (b)� F (a).

Dimostrazione. Grazie al Primo Teorema Fondamentale del calcolo, sappiamo che, consi-derata la funzione area

A(x) =

Z x

a

f(t) dt,

l’insieme delle primitive di f su I e dato da

{A(x) + c : c 2 R}.

Si ha dunque

F (x) = A(x) + c =

Z x

a

f(t) dt+ c,

dove c e una costante opportuna.Se scegliamo x = a, si ottiene

F (a) =

Z a

a

f(t) dt+ c = c

e cioe c = F (a). Si ha dunque

F (x) =

Z x

a

f(t) dt+ F (a).

Sostituendo x = b si ha

F (b) =

Z b

a

f(t) dt+ F (a)

da cui Z b

a

f(t) dt = F (b)� F (a).

Osservazione 7.26. Si scrive spesso F (b) � F (a) = [F (x)]ba cosı che la conclusione delteorema si scrive Z b

a

f(x) dx = [F (x)]ba .

184

A.A. 2020-2021 7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE

Osservazione 7.27. Possiamo dire che il procedimento di integrazione di una funzionecontinua f si puo risolvere tramite la determinazione di una primitiva. Vediamo alcuniesempi.

1. CalcolareR 5

1 x3 dx. Una primitiva su R di f(x) = x3 e F (x) = x4

4 poiche

✓x4

4

◆0

=1

4(x4)0 =

1

44x3 = x3.

DunqueZ 5

1

x3 dx =

x4

4

�5

1

=54 � 1

4.

2. Calcolare Z ⇡2

0

sin(2x) dx.

Una primitiva di sin(2x) e � cos 2x2 . Dunque

Z ⇡2

0

sin(2x) dx =

�cos 2x

2

�⇡/2

0

= �cos ⇡

2+

1

2=

1

2+

1

2= 1.

Osservazione 7.28. Il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo sposta l’attenzionedalle somme inferiori e superiori al problema di trovare una primitiva. A partire dalle regoledi derivazione, bisogna dunque capire cosa succede andando ”all’indietro”. Il teoremae dunque e�cace per risolvere gli integrali se abbiamo un bagaglio su�cientemente ampiodi funzioni di cui sappiamo calcolare la primitiva.

Osservazione 7.29. Se f : I ! R e derivabile con derivata continua, si ha

Z b

a

f 0(x) dx = f(b)� f(a).

7.7 Formule di integrazione

In questa sezione vediamo due procedimenti di integrazione molto utili nelle applicazioni:l’integrazione per parti e l’integrazione per sostituzione.

7.7.1 Integrazione per parti

L’integrazione per parti riguarda essenzialmente l’integrazione di funzioni che si presentanosotto forma di prodotto.

185

7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE A.A. 2020-2021

Proposizione 7.30 (Calcolo dell’integrale per parti). Sia I un intervallo in R e siano

f, g : I ! R due funzioni derivabili con derivata continua. Allora per ogni a, b 2 I abbiamo

che Z b

a

f(x)g0(x) dx = [f(x)g(x)]ba �Z b

a

f 0(x)g(x) dx.

Dimostrazione. Dalla derivazione di un prodotto si ha (fg)0 = f 0g + fg0 da cui

fg0 = (fg)0 � f 0g.

Per l’ipotesi su f e g, le funzioni che compaiono nella formula sono continue e dunqueintegrabili. Se integriamo tra a e b, applicando le proprieta dell’integrale ed il SecondoTeorema Fondamentale del Calcolo si ha

Z b

a

fg0 dx =

Z b

a

[(fg)0 � f 0g] dx =

Z b

a

(fg)0 dx�Z b

a

f 0g dx = [fg]ba �Z b

a

f 0g dx

che e la tesi.

Osservazione 7.31. Per applicare l’integrazione per parti occorre decidere quale funzioneconsiderare come f e quale come g: la scelta e dettata dall’esperienza. La formula sot-tintende che il problema del calcolo di una primitiva di f 0g debba essere piu semplice diquello di partenza fg0.

Esempio 7.32. Consideriamo Z 1

0

xex dx.

Scegliendo f(x) = x e g0(x) = ex si ha g(x) = ex da cuiZ 1

0

xex dx = [xex]10 �Z 1

0

ex dx = e� [ex]10 = 1.

7.7.2 Integrazione per sostituzione

L’integrazione per sostituzione consiste essenzialmente in un cambio di variabile, cioe nelpassaggio dalla variabile x 2 [a, b] ad una nuova variabile, diciamola t, legata ad x dallarelazione

x = '(t).


Proposizione 7.33 (Calcolo dell’integrale per sostituzione). Siano I, J ✓ R inter-

valli, f : I ! R una funzione continua e ' : J ! I una funzione derivabile con derivata

continua. Allora per ogni c, d 2 JZ '(d)

'(c)

f(x) dx =

Z d

c

f('(t))'0(t) dt.

186

A.A. 2020-2021 7.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE

Dimostrazione. Basta tenere presente che per il Secondo Teorema Fondamentale delCalcolo si ha che se F e una primitiva di f allora

Z '(d)

'(c)

f(x) dx = F ('(d))� F ('(c)).

D’altro canto la funzione F ('(t)) e derivabile con

(F ('(t)))0 = F 0('(t))'0(t) = f('(t))'0(t)

da cui Z d

c

f('(t))'0(t) dt = F ('(d))� F ('(c)).

Osservazione 7.34. Se la funzione ' : J ! I e anche invertibile, cioe x = '(t) e un veroe proprio cambiamento di variabile, si ha allora per ogni a, b 2 I

Z b

a

f(x) dx =

Z '�1(b)

'�1(a)

f('(t))'0(t) dt.

Osservazione 7.35. Notiamo che nell’integrazione per sostituzione, passando da x a t oc-corre cambiare ovviamente gli estremi di integrazione, ma soprattutto la nuova funzione daintegrare non e solo f('(t)) ma f('(t))'0(t). Fare un cambiamento di variabile presupponeche il calcolo della primitiva di f('(t))'0(t) sia piu semplice di quello di f(x).

Esempio 7.36. Calcoliamo l’integrale

Z 7

ln 2

e2xpex � 1

dx.

Se poniamo ex = t, si ha x = ln t. Scegliamo allora come funzione ' della formulad’integrazione per sostituzione l’applicazione '(t) = ln t che e invertibile. Si ha

x = ln 2 =) t = eln 2 = 2

x = 7 =) t = e7

e

'0(t) =1

t.

Otteniamo Z 7

ln 2

e2xpex � 1

dx =

Z e7

2

t2pt� 1

✓1

tdt

◆=

Z e7

2

tpt� 1

dt.

187

7.8. INTEGRALI IMPROPRI A.A. 2020-2021

Il secondo membro e piu facile da integrare. Una primitiva su ]1,+1[ e data daZ

tpt� 1

dt =

Z ✓pt� 1 +

1pt� 1

◆dt =

2

3(t� 1)3/2 + 2(t� 1)1/2.

Dunque si ottiene

Z e7

2

tpt� 1

dt =

2

3(t� 1)3/2 + 2(t� 1)1/2

�e7

2

=2

3(e7 � 1)3/2 + 2(e7 � 1)1/2 � 2

3� 2.

7.8 Integrali impropri

In questa sezione ci occupiamo di estendere la nozione di integrale alle situazione in cui fsia definita su un intervallo illimitato oppure in cui f non e limitata.

1. Siano a 2 R e f : [a,+1[! R una funzione integrabile su ogni intervallo del tipo [a, b] cona < b. Definiamo l’integrale improprio di f su [a,+1[

Z +1

a

f(x) dx

analizzando il limite

(7.4) limb!+1

Z b

a

f(x) dx.

Parleremo di integrali impropri di prima specie.

Definizione 7.37 (Integrali impropri di prima specie). Siano a 2 R e f : [a,+1[! Runa funzione integrabile su ogni intervallo del tipo [a, b] con a < b. Se il limite (7.4) esiste,poniamo Z +1

a

f(x) dx = limb!+1

Z b

a

f(x) dx.

(a) Diciamo che f e integrabile in senso improprio su [a,+1[ o che il suo integrale

improprio converge se il limite (7.4) e finito.

(b) Diciamo che l’integrale di f diverge positivamente o negativamente se il limite vale

+1 o �1.

Se il limite (7.4) non esiste, diciamo che l’integrale improprio di f oscilla.

Osservazione 7.38. Da un punto di vista geometrico, nel caso di funzioni non negative f ,l’integrale improprio di prima specie fornisce la generalizzazione del concetto di area per isottografici di funzioni definite su intervalli illimitati: l’integrabilita in senso improprio su[a,+1[ significa che l’area della regione sottesa da f con l’asse x sull’intervallo [a,+1[risulta finita.

188

A.A. 2020-2021 7.8. INTEGRALI IMPROPRI

x

y

y = f(x)

a

Esempio 7.39. Abbiamo che l’integrale improprio di f(x) = e�x su [0,+1[ e convergentepoiche Z +1

0

e�x dx = limb!+1

Z b

0

e�x dx = limb!+1

(�e�b + 1) = 1.

Esempio 7.40. Sia ↵ 2 R. L’integrale improprio

Z +1

1

1

x↵dx, ↵ 2 R

converge se ↵ > 1 e diverge positivamente se ↵ 1.Infatti se ↵ 6= 1, si ha

Z +1

1

1

x↵dx = lim

b!+1

Z b

1

1

x↵dx = lim

b!+1

x1�↵

1� ↵

�b

1

= � 1

1� ↵+ lim

b!+1

b1�↵

1� ↵.

Dunque l’integrale converge se e solo se ↵ > 1, ed in tal caso vale 1↵�1 . Se ↵ = 1, l’integrale

diviene Z +1

1

1

xdx = lim

b!+1(ln x) = +1

cioe l’integrale diverge positivamente.

Osservazione 7.41. Al caso degli integrali impropri di prima specie si possono estenderele usuali proprieta di linearita , confronto, suddivisione e confronto con il modulo visti perle funzioni integrabili secondo Riemann.

Osservazione 7.42. Possiamo utilizzare le idee precedenti per coprire anche altri casi.

(a) Si possono definire in modo analogo gli integrali impropri di funzioni f :]�1, a] ! Rponendo Z a

�1f(x) dx = lim

b!�1

Z a

b

f(x) dx.

189


(b) Se f : R ! R e integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato, l’integrale impropriodi f su R Z +1

�1f(x) dx

puo definirsi studiando

lima!�1,b!+1

Z b

a

f(x) dx.

Possiamo riportarci al caso di limiti di una variabile utilizzando la proprieta disuddivisione: essendo

Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx,

siamo ricondotti allo studio dei limiti

lima!�1

Z c

a

f(x) dx e limb!+1

Z b

c

f(x) dx.

Poniamo Z +1

�1f(x) dx = lim

a!�1

Z c

a

f(x) dx+ limb!+1

Z b

c

f(x) dx

se la somma e ben definita, altrimenti diciamo che l’integrale improprio oscilla.

2. Lo studio degli integrali impropri ha molte somiglianze con quello delle serie numeriche.Gli integrali impropri di prima specie sono definiti a partire dalla relazione

Z +1

a

f(x) dx = limb!+1

Z b

a

f(x) dx = limb!+1

I(b).

Questa ricorda la definizione delle serie numeriche

+1X

n=0

an = limk!+1

kX

n=0

an = limk!+1

Sk

ed anzi la terminologia associata (converge/diverge/oscilla) e la medesima. Questa ugua-glianza di definizioni e anche sostanziale: cosı come il calcolo esplicito di Sk risulta possibilesolo in pochissimi casi, cosı il calcolo esplicito di I(b) risulta possibile solo nel caso in cuisia nota una primitiva di f .

Come nel caso delle serie numeriche, un integrale improprio e determinato dal limitedi una quantita che di�cilmente puo calcolarsi in modo esplicito. Dunque anche nel casodegli integrali impropri, ci si accontenta in prima istanza di stabilirne il carattere, rinviandoad uno studio successivo (di carattere numerico) l’approssimazione del suo valore (nel caso

190


in cui esso converga). Come nel caso delle serie numeriche, sono disponibili criteri diconvergenza.

3. Nel caso in cui la funzione integranda f sia non negativa, valgono per gli integrali impropricriteri di convergenza simili a quelli visti per le serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 7.43 (Criteri di convergenza per gli integrali impropri). Sia f : [a,+1[!R non negativa ed integrabile su ogni intervallo [a, b] con a < b. Allora l’integrale improprio

Z +1

a

f(x) dx

o converge o diverge positivamente.

Sia inoltre g : [a,+1[! R un’altra funzione non negativa ed integrabile su ogni inter-

vallo [a, b] con a < b. Valgono i seguenti fatti.

(a) Criterio del confronto. Supponiamo che f(x) g(x) per ogni x 2 [a,+1[. Allora

Z +1

a

f(x) dx Z +1

a

g(x) dx.

In particolare se g e integrabile in senso improprio, anche f lo e . Se invece l’integrale

di f diverge, anche quello di g diverge.

(b) Criterio del confronto asintotico. Supponiamo che g 6= 0 su [a,+1[ e che

limx!+1

f(x)

g(x)

esista finito e non nullo. Allora f e integrabile in senso improprio se e solo se anche

g lo e .

Esempio 7.44. Consideriamo f : [0,+1[! R data da f(x) = e�x

1+x . Poiche per ogni x � 0

e�x

1 + x e�x

e Z +1

0

e�x dx = 1,

si ha che l’integrale improprio di f su [0,+1[ e convergente.

Esempio 7.45. Si ha che Z +1

2

1

x↵ ln� xdx

191


converge se e solo se 8><

>:

↵ > 1 e per ogni �

o

↵ = 1 e � > 1.

Se ↵ > 1 e " > 0 e tale che ↵ > 1 + ", allora esiste M > 0 tale che per x � M (usando ilconfronto tra infiniti)

1

x↵ ln� x 1

x1+"

L’integrale improprio associato alla funzione a secondo membro e convergente (l’esponentee maggiore stretto di 1): per confronto otteniamo che l’integrale di partenza e convergente.

Se ↵ < 1 si ha che se " > 0 e tale che ↵ < 1 � " (con 1 � " > 0), allora esiste M > 0tale che per x � M si ha

1

x↵ ln� x� 1

x1�".

L’integrale improprio associato alla funzione a primo membro e divergente (l’esponentee minore stretto di 1): per confronto otteniamo che l’integrale di partenza e divergente.

Se ↵ = 1 si ha Z +1

2

1

x ln� xdx = lim

b!+1

ln��+1 x

�� + 1

�b

2

.

Dunque il limite esiste finito se e solo se � > 1.

Esempio 7.46. Consideriamo

Z +1

1

⇣e

1x2 � 1

⌘dx.

Notiamo che l’infinitesimo principale di f(x) = e1x2 � 1 per x ! +1 e dato da 1

x2 . Alloral’integrale improprio ha lo stesso carattere di

Z +1

1

1

x2dx

e risulta pertanto convergente.

4. Nel caso in cui la funzione integranda non abbia un segno definito, e utile la nozione diconvergenza assoluta.

Definizione 7.47 (Convergenza assoluta). Sia f : [a,+1[! R una funzione integrabile

su ogni intervallo [a, b] con a < b. Diremo che l’integrale improprioR +1a f(x) dx converge

assolutamente se risulta Z +1

a

|f(x)| dx < +1.

192


Come nel caso delle serie numeriche, la convergenza tradizionale e spesso detta conver-genza semplice per distinguerla dalla convergenza assoluta.

Proposizione 7.48 (Convergenza assoluta implica convergenza semplice). Se un

integrale improprio converge assolutamente, allora risulta convergente.

5. Sia f : [0,+1[! R una funzione non negativa e decrescente. Si ha immediatamente laseguente disuguaglianza

kX

n=1

f(n) Z k

0

f(x) dx k�1X

n=0

f(n).

x

y

1 k x

y

1 k � 1 k

Deduciamo allora il seguente risultato.

Proposizione 7.49 (Integrali impropri e serie numeriche). Sia f : [0,+1[! R una

funzione non negativa e decrescente. Allora

+1X

n=1

f(n) Z +1

0

f(x) dx +1X

n=0

f(n).

In particolare l’integrale improprio e la serie hanno lo stesso carattere.

Osservazione 7.50 (Carattere della serie armonica generalizzata). In base al ri-sultato precedente abbiamo che la serie

+1X

n=1

1

n↵

ha lo stesso carattere dell’integrale improprioZ +1

1

1

x↵dx.

193


Grazie all’Esempio 7.40, la serie risulta dunque convergente se e solo se ↵ > 1. In particolareper ↵ = 1 deduciamo che la serie armonica

+1X

n=1

1

n

diverge positivamente.

Osservazione 7.51. In base al risultato precedente e all’Esempio 7.45 abbiamo piu ingenerale che la serie

+1X

n=2

1

n↵ ln� n

converge se e solo se converge l’integrale improprio

Z +1

2

1

x↵ ln� xdx.

Dunque si ha dunque convergenza se e solo se ↵ > 1 e per ogni � 2 R oppure ↵ = 1 con� > 1.

6. Le considerazioni viste per gli integrali su domini illimitati possono utilizzarsi per estendereil concetto di integrale a funzioni illimitate su intervalli limitati.

Definizione 7.52 (Integrali impropri di seconda specie). Siano a, b 2 R e f : ]a, b] !R una funzione illimitata e integrabile su ogni intervallo del tipo [a + ", b] con " > 0.Poniamo Z b

a

f(x) dx = lim"!0

Z b

a+"

f(x) dx

se il limite esiste.

(a) Diciamo che f e integrabile in senso improprio su ]a, b] o che il suo integrale improprio

converge se il limite e finito.

(b) Diciamo che l’integrale improprio di f diverge positivamente o negativamente se tale

limite vale +1 o �1.

Se il limite non esiste, diciamo che l’integrale improprio oscilla.

Osservazione 7.53. Da un punto di vista geometrico, l’integrale improprio di secondaspecie fornisce la generalizzazione del concetto di area per i sottografici di funzioni conasintoti verticali. Se f � 0, l’integrabilita in senso improprio su ]a, b] significa che l’areadella regione sottesa da f con l’asse x sull’intervallo ]a, b] risulta finita.

194


x

y

y = f(x)

a b

Osservazione 7.54. Chiaramente valgono discorsi analoghi ai precedenti se f : [a, b[! Rsi presenta illimitata in un intorno di b: si pone

Z b

a

f(x) dx = lim"!0+

Z b�"

a

f(x) dx

se il limite esiste, altrimenti diciamo che l’integrale improprio oscilla.Se poi f : ]a, b[! R e illimitata vicino ad a e b, poniamo

Z b

a

f(x) dx = lim"!0+

Z c

a+"

f(x) dx+ lim"!0+

Z b�"

c

f(x) dx

se la somma e ben definita (c 2]a, b[), altrimenti diciamo che l’integrale di f oscilla.

Esempio 7.55. Consideriamo l’integrale improprioR 1

01x↵ dx con ↵ > 0. Se ↵ 6= 1, si ha

Z 1

0

1

x↵dx = lim

"!0

Z 1

"

1

x↵dx = lim

"!0

x1�↵

1� ↵

�1

"

=1

1� ↵� lim

"!0

"1�↵

1� ↵.

Dunque l’integrale converge se e solo se ↵ < 1, ed in tal caso vale 11�↵ . Se ↵ = 1, l’integrale

diviene Z 1

0

1

xdx = lim

"!0(� ln ") = +1

cioe l’integrale diverge positivamente.

Esempio 7.56. Sia a < b < a + 1: con ragionamenti analoghi a quelli dell’Esempio 7.45si ha che Z b

a

1

(x� a)↵| ln(x� a)|� dx

converge se e solo se (↵ < 1 e per ogni �

↵ = 1 e � > 1.

195


Una combinazione degli integrali di prima e seconda specie porta agli integrali di terzaspecie.

Definizione 7.57 (Integrali di terza specie). Sia f :]a,+1[! R integrabile su ]a+", b[per ogni " > 0 e b < +1. Poniamo

Z +1

a

f(x) dx = lim"!0

Z c

a+"

f(x) dx+ limb!+1

Z b

c

f(x) dx

se la somma e ben definita. In caso contrario, diciamo che l’integrale improprio di f oscilla.

Osservazione 7.58. Al caso degli integrali impropri di seconda e terza specie si possonoestendere le proprieta viste per gli integrali di prima specie: in particolare per funzioni nonnegative si hanno i criteri di convergenza del confronto e del confronto asintotico.

Esercizi

1. Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni integrabili: dimostrare che f + g e integrabile. (Sugge-rimento: mostrare che I 0(f + g) � I 0(f) + I 0(g) e che I 00(f + g) I 00(f) + I 00(g)).

2. Sia f : [a, b] ! R e sia � 2 R: dimostrare che �f e integrabile. (Suggerimento: consideraprima il caso � � 0 e prova che I 0(�f) = �I 0(f) e I 00(�f) = �I 00(f)).

3. Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile. Dimostrare che |f | e integrabile.

4. Sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile. Dimostrare che f2 e integrabile.

5. Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni integrabili. Dimostrare che fg e integrabile. (Suggeri-mento: ricorda che 4fg = (f + g)2 � (f � g)2).

6. Siano f : [a, b] ! R una funzione integrabile, c 2 [a, b] e d 2 R. Dimostrare che

g(x) =

(f(x) se x 6= c

d se x = c

e integrabile eR ba f(x) dx =

R ba g(x) dx. (Suggerimento: vedi che I 0(f) = I 0(g)).

7. Siano f : [a, b] ! R integrabile e F (x) =R xa f(t) dt. Dimostrare che F e continua.

8. Dimostrare che la funzione

f(x) =

(0 se x 6= 0

1 se x = 0

non ammette primitive su R.

9. Siano a, b 2 R con a < b e sia f : [a, b] ! R una funzione integrabile e continua in x0 2]a, b[.Sia c 2 [a, b] e sia F : [a, b] ! R definita da

F (x) :=

Z x

cf(t) dt.

Dimostrare che F e derivabile in x0 e che F0(x0) = f(x0). (Suggerimento: cerca di seguire

la dimostrazione geometrica del Primo Teorema Fondamentale del Calcolo.)

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10. Sia f : R ! R data da

f(x) =

(1 se x � 0

�1 se x < 0

e sia F (x) =R x0 f(t) dt. Verificare che F non e derivabile in x = 0, ma ammette derivate

destra e sinistra pari rispettivamente a 1 e �1.

11. Sia f : [a, b] ! R integrabile e sia x0 2]a, b[ tale che limx!x+0f(x) = l. Dimostrare che

F (x) =R xa f(t) dt e derivabile da destra in x0 e che la derivata destra vale l.

12. Dimostrare che la funzione f : [�1, 1] ! R data da

f(x) =

(sin 1

x se x 6= 0

0 se x = 0

non e continua a tratti, ma e integrabile su [�1, 1]. (Suggerimento: dividi [�1, 1] negliintervalli [�1,�"], [�", "] e [", 1]...).

13. Si consideri la funzione di Riemann

f(x) =

(1n se x = m

n 2 Q, con m,n primi tra loro

0 se x 2 R \Q.

Dimostrare che f e discontinua in tutti i punti razionali e continua in tutti i punti irrazionali.Dimostrare che f e integrabile su un qualsiasi intervallo [a, b] e che

R ba f(x) dx = 0.

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Capitolo 7 Integrale di Riemann · 2020. 11. 17. · Integrale di Riemann In questo capitolo svilupperemo la teoria dell’integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile