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Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Capitolo 4 – Funzione di trasferimento
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Massima sovraelongazione
Valore di regime
Tempo di assestamento (ε%)
Tempo di salita
Tempo di risposta
Periodo delle oscillazioni
Risposta al gradino unitario
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P(s) = µτ s+1
, τ > 0
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ
+R2s=
−µ
s+ 1τ
+µs
y(t) = µ 1− e−tτ
"
#$
%
&', y(t) = µ
τe−tτ
Sistemi del primo ordine
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
P(s) = µ(τ1s+1)(τ 2s+1)
y(0) = lims→∞ s2 µ(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s= 0
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− 1τ1 −τ 2
e−tτ1 +
1τ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'',τ1 > τ 2 > 0
Sistemi del secondo ordine (poli reali)
τ1 = 2,τ 2 =1 (p2 = −1τ 2
< p1 = −1τ1)
p_1 è il polo dominante (modo più lento) y(s) = R1s+ 1
τ1
+R1,2
s+ 1τ1
!
"#
$
%&
2 +R3s, τ1 = τ 2
y(t) = µ 1− e−tτ1 −
tτ1e−tτ1
!
"##
$
%&&
p_1=p_2: poli coincidenti
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)
P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
τ < 0→ Sistema a fase non-minima
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2
e−tτ1 +
τ 2 −ττ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'',τ1 > τ 2 > 0,τ < 0
y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1
e−tτ1 −
τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&''t=0
, 1(τ1 −τ 2 )
τ1 −ττ1
−τ 2 −ττ 2
"
#$
%
&'< 0 ∀τ < 0, with τ1 > τ 2
Sottoelongazione o risposta inversa
τ1 = 2,τ 2 =1
Sottoelongazione o risposta inversa
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)
P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
Sistema fase minima: non presenta sottoelongazioni
τ > τ1 > τ 2 > 0
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2
e−tτ1 +
τ 2 −ττ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0
y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1
e−tτ1 −
τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&''t=0
> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)
P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2
e−tτ1 +
τ 2 −ττ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'', (4.38)
y(t) ≅ µ 1− e−tτ 2
"
#$$
%
&'', (4.40)
τ ≅ τ1 >> τ 2 > 0
τ1 =1,τ 2 = 0.92(4.38) : τ 2 = 0.05(4.40)
Cancellazione polo-zero: la risposta può essere approssimata assumendo che il residuo del polo
associato a tau_1 (-1/tau_1) sia nullo.
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P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
τ1 > τ > τ 2 > 0
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2
e−tτ1 +
τ 2 −ττ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0
y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1
e−tτ1 −
τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&''t=0
> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2
Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)
τ1 = 2,τ 2 =1
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
τ1 = 2,τ 2 =1
P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
τ1 > τ 2 > τ > 0
y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)
1s
y(s) = R1s+ 1
τ1
+R2
s+ 1τ 2
+R3s
y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2
e−tτ1 +
τ 2 −ττ1 −τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0
y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1
e−tτ1 −
τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2
e−tτ 2
"
#$$
%
&''t=0
> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2
Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)
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P(s) = µω 2
s2 + 2ξωs+ω 2
0 < ξ <1
y(t) = µ 1− 11−ξ 2
e−ξωnt sin ωnt 1−ξ2 + arccos(ξ )( )
"
#$$
%
&'',
Sistemi del secondo ordine (poli complessi)
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ymax = µ(1+ e−ξπ / 1−ξ 2 )
TM =π
ωn 1−ξ 2
Tp =2π
ωn 1−ξ 2
S%=100e−ξπ / 1−ξ2
Sistemi del secondo ordine (poli complessi)
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
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Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
P(s) = (τ s+1)(0.1s+1)(0.002s2 + 0.02s+1)(s2 + 0.1s+1)
(4.50)
Pa(s) = 1(s2 + 0.1s+1)
(4.51)
Pa(s) = 1+ 20s(s2 + 0.1s+1)
(4.52)
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P(s) = (τ s+1)(0.1s+1)(0.002s2 + 0.02s+1)(s2 + 0.1s+1)
(4.50)
Pa(s) = 1(s2 + 0.1s+1)
(4.51)
Pa(s) = 1+ 20s(s2 + 0.1s+1)
(4.52)
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